05 Finanzas en Condiciones de Riesgo Introduccion a Teorias de Carteras

Prof. Angel Haggar 1

Introducción a la teoría de

carteras


Conceptualización

del riesgo


INTRODUCCIÓN

¿QUÉ ES RIESGO?

DICCIONARIO WEBSTER

ES LA POSIBILIDAD DE PÉRDIDA O EL GRADO DE

PROBABILIDAD

DE PÉRDIDA.

PELIGRO, CONTINGENCIA DE UN DAÑO

PROBABILIDAD DE QUE UNA SITUACIÓN TENGA UN

RESULTADO INDESEABLE


¿Qué es el riesgo?

.

• El monto del riesgo se caracteriza por la probabilidad de

ocurrencia y por la magnitud de la pérdida.

Riesgo: *El riesgo es la posibilidad que de tener un

resultado distinto al que se esperaba

conseguir con una decisión.

* Variabilidad de los resultados futuros de las

decisiones. Dependen del entorno donde se

tomen.

RIESGO FINANCIERO ES NUESTRO ENFOQUE


Contexto de Riesgo

Elementos de una decisión en contexto de riesgo:

– Objetivo

– Alternativas decisionales

– Estados naturales

– Probabilidades de ocurrencia de los estados naturales

– Resultado de cada alternativa en cada estado natural.

– Cálculo de valor esperado de cada resultado

– Criterio de Selección


E1 E2 ... Ej … Em

P1 P2 … Pj … Pm

A1 R11 R12 … R1j … R1m

A2 R21 R22 … R2j … R2m

A3 R31 R32 … R3j … R3m

…….. …

…

…

…

… ….. … …..

Ai Ri1 Ri2 … Rij … Rim

…….. …

…

…

…

… ….. … …..

An Rn1 Rn2 … Rnj … Rnm

CRITERIO DE DECISIÓN EN SITUACIÓN

DE RIESGO: EL VALOR MONETARIO

ESPERADO RPV ij

m

jji

1

Altern

ativas d

ecis

ionale

s

Estados naturales

Probabilidades

Resultados


• Riesgo:

– cuando se sabe los resultados posibles y las

probabilidades de cada resultado

– por ejemplo, juegos de dados

• Incertidumbre:

– Cuando no se sabe los resultados posibles o las

probabilidades de cada resultado.

– por ejemplo, Análisis de un químico nuevo

Diferencia entre riesgo e incertidumbre

8

I.- OBJETIVO DE LA EMPRESA:

El objetivo principal de cualquier compañía es la

creación de valor para sus accionistas y para la sociedad.

Para esto debe gestionar de la forma más eficiente los

recursos utilizados y los riesgos que la empresa

encuentra para el desarrollo de su gestión.

La gestión del riesgo se transforma en un factor critico de

la estrategia.

Prof. Angel Haggar


Como se mide el riesgo

Valor medio o esperanza

• El valor medio o esperanza de un conjunto de eventos es definido como:

donde:

• xi : resultado del evento i

• pi: probabilidad de que ocurra el evento i

• E(x): valor medio o esperaza

• N : número total de posibles eventos

N

i

ii xpXE

1

)(


Como se mide el riesgo

Dispersión

• La varianza es el estadígrafo más usado para medir la

dispersión de una distribución.

• Es más utilizada la Desviación Estándar.

N

i

ii XExpXVAR

1

2))(()(

)()( XVARX


Acción de Coca Cola 1987-2004

Cambio de Precio Diario

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

-9 -7 -5 -3 -1 0 2 4 6 7

Pro

porc

ion d

e D

ias

Cambio Diario (%)


El valor de US $1 en 1900

$1

$10

$100

$1.000

$10.000

$100.000

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Año

Dó

lare

s

Acciones Comunes

Bonos de Gobierno

T-Bills

15,578

147

61

2004

Retorno Nominal


El precio de una acción refleja toda la información

relevante de la empresa emisora. Por ende también lo

hace la rentabilidad de mercado del precio.

Riesgo varía según la inversión :

Un pagaré del Tesoro no posee riesgo (libre de riesgo).

Una acción común posee riesgo (título renta variable).

El riesgo máximo soportable depende de la actitud al

riesgo del decisor .

A mayor riesgo se exige una mayor rentabilidad .


Clasificación del riesgo

• Riesgo no sistemático, específico o idiosincrático

Vinculado con factores que son propios de la empresa.

Ej. un nuevo gerente, un nuevo producto, etc.

• Riesgo sistemático o de mercado

Vinculado con factores no relacionados con la empresa.

Ej. acontecimientos políticos (elecciones) o macroeconómicos (inflación, cambio en tasa de interés, crecimiento de la economía, etc.).

• El riesgo total se compone entonces de:

Riesgo Total = Riesgo no Sistemático + Riesgo Sistemático


Algunos tipos de riesgos

• Riesgo de Inflación

• Riesgo de Interés

• Riesgo de tipo de cambio

• Riesgo de variación de precios y costos.

• Riesgo político

• Riesgo de insolvencia


Calificación del riesgo de insolvencia

• El riesgo de insolvencia es valorado, fundamentalmente, por

empresas de calificación o rating independientes.

• Estas empresas califican la capacidad y probabilidad de

pagar los intereses y el principal de la deuda de las

compañías.

• La calificación es entregada a través de una notación.

• Las más conocidas en USA son Moody's y Standard &

Poor's.


Calificación del riesgo de insolvencia

Moody’s Standard & Poors

Alto Grado Aaa AAA

Aa AA

Grado Medio A A

Baa BBB

Especulación Ba BB

B B

Peligro no pago Caa CCC

Ca CC

C C


INTRODUCCION A LA

TEORIA DE CARTERA DE

INVERSIONES


• En 1952, Harry M. Markowitz publicó un trabajo de

investigación que es visto como el origen de la moderna

teoría de portafolios .

Supuestos de la Teoría de Cartera:

• Los inversionistas son racionales.

• Mercado de capitales sin fricciones.

• Los retornos de los activos siguen una distribución

normal.

• Lo único importante para los inversionistas es la media y

la varianza del rendimiento.

• Todos los tomadores de decisiones tienen aversión por

el riesgo y prefieren un rendimiento medio más alto y

una varianza de rendimiento más baja.


Distribución Normal

• Se puede caracterizar el retorno promedio y la desviación de este a través de la Distribución Normal.

• La Distribución Normal. puede ser descrita por dos parámetros:

– Media μ

– Desviación estándar σ

• Bajo ciertos supuestos sobre preferencias, un inversionista considerara estas dos dimensiones para decidir en que activos invierte.


Distribución normal con m =0 para varios valores

0

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

x

0.25

0.5

1

f(x)


Interpretación probabilista de la

Distribución Normal

• Entre la media y una desviación estándar, existe una probabilidad de aproximadamente 68%.

• Entre la media y dos desviaciones estándar, existe una probabilidad de aproximadamente 95%.


Riesgo:

Cada curso de acción posee distintos resultados dependiendo del

entorno que rodea la decisión (variabilidad de los resultados).

Existen 3 posibles actitudes hacia el riesgo:

a) Deseo por el riesgo.

b) Aversión hacia el riesgo.

c) Indiferencia hacia el riesgo.

La utilidad marginal declinante del patrimonio explica esta teoría

donde muestra una relación entre el patrimonio y su utilidad:

a) Utilidad Marginal constante de la riqueza: indiferente al riesgo.

b) Utilidad Marginal decreciente de la riqueza: averso al riesgo.

c) Utilidad creciente de la riqueza: buscador de riesgo.


Rentabilidad

• Valor Esperado:

–promedio ponderado de los resultados

estimados multiplicados por sus

probabilidades de ocurrencia

• Rentabilidad requerida: rentabilidad que

el inversor requiere de un activo,

teniendo en cuenta su riesgo.


Teoría de Carteras

Riesgo y rentabilidad para un activo • Rentabilidad = Incremento de la riquez

Pi

DivPiPfR

Pf = Valor final de inversión

Pi = Valor inicial de la inversión

• 100 acciones de IBM, 9 meses

• Se compraron en $62, y vendieron en $101.50

• $0.80 dividendos

• Rentabilidad en 9 meses: 101.50 - 62 + 0.80

62

= 0.65 =65%

Rentabilidad annual: (1.65)12/9 - 1 = 0.95 = 95%


Activos Individuales

• Las características de activos individuales

que son de interés son:

– Retorno Esperado

– Varianza y Desviación Estándar

– Covarianza y Correlación


Media y Varianza de Activos individuales

N

i

ii RpRE

1

)(

2

1

2)()()(

N

i

ii RERpRERiERVar

)()( RVarR

pi = probilidad de ocurrencia


¿Cómo se mide el riesgo el riesgo?

• Para tener una idea general de la variabilidad del precio de las acciones, se deberían observar las fluctuaciones en los precios de las acciones del año anterior.

• Varianza

Indica qué tan dispersos se encuentran los datos, en promedio, de la media de la población.

• Desviación Estándar • En la varianza, los resultados se expresan en unidades

originales al cuadrado, por lo que se requiere de una medida de desviación que sea útil en unidades originales que no estén al cuadrado.

• Esta medida es llamada desviación estándar y es la raíz cuadrada de la varianza.


Rentabilidad Esperada

Estado de probabilidad rentabilidad

Economía (K1) P(K1) A EMPRESAS B

Recesión (K1) 0,20 4% -10%

Normal (K2) 0,50 10% 14%

Expansión (K3) 0,30 14% 30%

E(K) = P(k1)*k1 + P(k2)*k2 + ...+ P(kn)*kn

E(KA) = 0,2 (4%) + 0,5 (10%) + 0,3 (14%) = 10%

E(KB) = 0,2 (-10%)+ 0,5 (14%) + 0,3 (30%) = 14%


Empresa A

( 4% - 10%)2 (0,2) = 7,2

(10% - 10%)2 (0,5) = 0

(14% - 10%)2 (0,3) = 4,8

Varianza = 12

Desv. Están. = 12 = 3,46%

= (ki –E(K)) P(ki) 2

S n

i=1

Empresa B

(-10% - 14%)2 (0,2) = 115,2

(14% - 14%)2 (0,5) = 0

(30% - 14%)2 (0,3) = 76,8

Varianza = 192

Desv. Están.= 192 = 13,86%

EMPRESAS

A B

Rentabilidad esperada 10% 14%

Desviación estándar 3,46% 13,86%


Rentabilidades EEUU,

1926 – 2001

Rentabilidad Desviación

Promedio Estándar

Acciones empresas pequeñas 17.3% 33.2%

Acciones empresas grandes 12.7 20.2

Bonos corporativos LP 6.1 8.6

Bonos gobierno LP 5.7 9.4

Pagarés del tesoro 3.9 3.2

Source: Based on Stocks, Bonds, Bills, and Inflation: (Valuation

Edition) 2002 Yearbook (Chicago: Ibbotson Associates, 2002), 28.


Conceptos introductorios

Utilidad:

–Satisfacción de disponer o utilizar un

bien o servicio.

– Preferencia que una persona le da a

la ocurrencia de ciertos eventos.

–Medida de la satisfacción que obtiene el

consumidor al consumir o adquirir un

bien o servicio en respuesta a sus

necesidades.

33

Utilidad

• La utilidad expresa que tan deseable es el resultado de cada posible acción

U(a) = Sr U(r) P(r|a,e)

• Donde: – a = posibles acciones

– r = posibles resultados

– e = evidencia disponible

Prof. Angel Haggar

34

Lotería • A cada posible resultado (escenario) se

la asocia una probabilidad de ocurrencia, al conjunto de estos se le denomina una lotería

• Cada estado de la lotería tiene una utilidad, de forma que se pueden ordenar de acuerdo a la preferencia del agente:

– Prefiere A a B – A > B

– Indiferente – A ~ B

Prof. Angel Haggar

35

Axiomas de Utilidad 1. Orden – dados dos estados, se

prefiere uno u otro, o se es indiferente

2. Transitividad – si A > B y B > C, entonces A > C

3. Continuidad – Si A>B>C, existe algún valor de probabilidad, p, de forma que es indiferente entre obtener B o la lotería A, p y C,1-p

Prof. Angel Haggar

36

Axiomas de Utilidad 4. Substitución – si el agente es indiferente

entre dos loterías A y B, entonces es indiferente entre dos loterías más complejas que son iguales excepto en que A es substituida por B en una de ellas

5. Monotonicidad – si hay dos loterías con los mismos resultados, A y B, y el agente prefiere A, entonces debe preferir la lotería en que A tiene mayor probabilidad

6. Descomposición – loterías compuestas se pueden reducir a loterías más simples usando las leyes de probabilidad

Prof. Angel Haggar

37

Principio de Utilidad • Se prefiere la acción (decisión) que de la

mayor utilidad esperada:

U(A) > U(B) A > B (A es mejor que B)

• Si la utilidad es la misma se es indiferente:

U(A) = U(B) A ~ B (indiferencia)

• Normalmente se mide la utilidad en términos

monetarios, aunque la relación de utilidad y $

no es lineal!

Prof. Angel Haggar


Actitud al Riesgo

• Ej. Considere una decisión en donde existe

• 20% de probabilidad de ganar $30

• 80% de probabilidad de ganar $5 => E(decisión) = $10

Pregunta: ¿ Prefiere Ud. $10 con seguridad o prefiere el valor

esperado de la l la decisión?

[i] Si prefiere la decisión, Ud. Es amante del riesgo

[ii] Si es indiferente entre las alternativas, Ud. Es neutral al

riesgo.

[iii] Si prefiere la alternativa que da un resultado seguro, por

sobre la decisión, Ud. es averso al riesgo.


Curva indiferencia

E(r)

σ(r)

Utilidad creciente

Curva indiferencia

- Representa las

compensaciones

individuales riesgo- retorno.

- Supuestos:

1) 5 Axiomas

2) Codicia

3) Aversión al riesgo

4) Rentabilidades distribuidas

normalmente


La Teoría de Cartera (Harry Markowitz)

Cartera: Combinación de activos para cumplir un objetivo deseado ( Rentabilidad, liquidez, seguridad, crecimiento, etc)

• Para construir una cartera de inversión se debe encontrar la composición óptima de títulos que entreguen el menor riesgo para un máximo retorno.

• Se debe resolver cuales son los títulos a considerar y cuanto de comprar de cada uno de ellos.

• El riesgo de la cartera se mide por la varianza o desviación estándar de sus retornos.


Activo 1

Activo i

Activo j

Activo n

.

.

.

(r1, σ1)

(ri, σi)

(rj, σj)

(rn, σn)

Teoría de Cartera (Rentabilidad, Riesgo)

.

.

.

w1

wi

wj

wn


La teoría de H. Markowitz propone buscar:

• Aquellas carteras o títulos que proporcionan el mayor

rendimiento para un riesgo dado, o bien,

• Determinar cuales son las carteras que soportan el

mínimo riesgo para un rendimiento conocido.

• A estas carteras se les denomina “carteras o portfolios

eficientes”.


Inversor racional Rentabilidad esperada

y riesgo

)()(

1

i

n

i

ip rEwrE

ijjij

n

i

n

j

ii

n

i

ip www 1 1

2

1

22

Rentabilidad

Riesgo


Retorno Esperado, Varianza, y Covarianza

Considere los siguientes dos activos

riesgosos. Hay una prob. de 1/3 para cada

estado de la economía y los únicos activos son

un fondo accionario y un fondo de bonos.

Tasa de Retorno

Escenario Prob. Fondo Acc. Fondo en Bonos

Recesión 33,3% -7% 17%

Normal 33,3% 12% 7%

Boom 33,3% 28% -3%


Fondo Accionario Fondo en Bonos

Tasa de Tasa de

Escenario Retorno Retorno

Recesión -7% 17%

Normal 12% 7%

Boom 28% -3%

Retorno Esperado 11,00% 7,00%

Varianza 0,0000 0,0000

Desviación Estándar 0,0% 0,0%


%11)(

%)28(3

1%)12(3

1%)7(3

1)(

S

S

rE

rE



Tasa de Desviación

Escenario Retorno al Cuadrado

Recesión -7% 3,24%

Normal 12% 0,01%

Boom 28% 2,89%

Retorno Esperado 11,00%

Varianza y desviación estándar.

%)89.2%01.0%24.3(3

1%05.2

%24.3%)7%11(2

%01,0%)12%11(2

%89,2%)28%11(2

Varianza de cartera accionaria = .)(1

2

n

iiP

PR

2

)))(((ii

RRE

2

)))(((ii

RRE

)(2

RP



Tasa de Tasa de


Recesión -7% 17%

Normal 12% 7%

Boom 28% -3%


Varianza 0,02050 0,00670



)%)28%11(%)12%11(%)7%11((3

1%05.2

222

0205.0%3.14



Tasa de Desviación Tasa de Desviación

Escenario Retorno al Cuadrado Retorno al Cuadrado

Recesión -7% 3,24% 17% 1,00%

Normal 12% 0,01% 7% 0,00%

Boom 28% 2,89% -3% 1,00%


Varianza 0,0205 0,0067


El Retorno y Riesgo de Porfolios

Note que las acciones tienen un retorno esperado

más alto que los bonos y un riesgo mayor. Veamos

ahora el tradeoff de riesgo-retorno para un porfolio

que es 50% invertido en bonos y 50% invertido en

acciones.


Tasa de Retorno

Escenario Fondo Acc. F. de Bonos Porfolio

Recesión -7% 17% 5,0%

Normal 12% 7% 9,5%

Boom 28% -3% 12,5%

Retorno Esperado 11,00% 7,00% 9,0%

Varianza 0,0205 0,0067


Rentabilidad esperada de Carteras

Rentabilidad esperada de una cartera:

% )7(%50% )11(%50%9 )()()( AABBP rEwrEwrE

Cartera: 50% invertido en acciones (wA) y 50% (wB) en bonos

)()(

1

i

n

i

ip rEwrE


Varianza de una cartera

Varianza de Carteras con dos Activos

w: proporción de la riqueza invertida en el activo A

),()1(2)()1()()(22

BABApRRCovwwRVarwRVarwRVar

)()(),(

1

BB

N

i

AAiBA RERRERpRRCov


» Covarianza: mide la relación lineal entre dos variables aleatorias.

» Correlación: dada la dificultad para interpretar la magnitud de la

covarianza se utiliza la correlación para medir el grado de

movimiento conjunto entre dos variables. Se encuentra entre –1 y +1

se calcula así:



Tasa de Tasa de


Recesión -7% 17%

Normal 12% 7%

Boom 28% -3%


Varianza 0,02050 0,00670


)()(),(

1

BB

N

i

AAiBA RERRERpRRCov

%)7%3%)(11%28)(3/1(

%)7%7%)(11%12)(3/1(

%)7%17%)(11%7)(3/1(),(ba

RRCOV

= -0,0117%

Covarianza de las rentabilidades de fondos accionarios y bonos:


BAABBApwwRVarwRVarwRVar )1(2)()1()()(

22

%08,301,0)()( PP

RVarR

998.0)082)(.143(.

0117.

),(

AB

ba

AB

baCov

Correlación entre las rentabilidades del fondo

accionarios y el de bonos.

Var (Rp)= (1/2)2 x 2,05% + (1/2)2x0,67% + 2x (1/2)x (1/2)x (-0,998)x 14,31%x8,61%

= 0,1%


Tasa de Retorno

Escenario Fondo Acc. F. de Bonos Porfolio

Recesión -7% 17% 5,0%

Normal 12% 7% 9,5%

Boom 28% -3% 12,5%

Retorno Esperado 11,00% 7,00% 9,0%

Varianza 0,0205 0,0067 0,0010

Desviación Estándar 14,31% 8,16% 3,08%

Varianza de rentabilidad de carteras.

Varianza de la rentabilidad de una cartera de dos activos:


Inversor racional Rentabilidad esperada

y riesgo

)()(

1

i

n

i

ip rEwrE

ijjij

n

i

n

jii

n

iip

www 1 1

2

1

22

2

Rentabilidad

Riesgo

Rentabilidad esperada y riesgo de Cartera con

n activos


EJEMPLOS


Escenario Prob. A B

Activo: % rentabilidad

1 0.25 -0.11 0.05

2 0.25 - 0.05 0.10

3 0.25 -0.03 -0.03

4 0.25 0.19 -0.10

Ejemplo 1


Retorno Esperado y Varianza

Tabla 1: Caso activo A

Escenario Probab. R(A) ProbxR(A) (R(A)-E(R(A)))2 x Prob

1 0,25 -0,11 -0,028 0,00390625

2 0,25 -0,05 -0,013 0,00105625

3 0,25 0,03 0,008 0,00005625

4 0,25 0,19 0,048 0,00765625

E(R(A)) 0,015

Var(R(A)) 0,012675

Ds(R(A)) 0,112583

Tabla 2: Caso activo B

Escenario Probab. R(B) ProbxR(B) (R(B)-E(R(B)))2 x Prob

1 0,25 0,05 0,013 0,00050625

2 0,25 0,1 0,025 0,00225625

3 0,25 -0,03 -0,008 0,00030625

4 0,25 -0,1 -0,025 0,00275625

E(R(B)) 0,005

Var(R(B)) 0,005825

Ds(R(B)) 0,076322


Escenario Probab. R(A) R(B) (R(A)-E(A))*(R(B)-E(B)) (*)*Prob

1 0.25 -0.11 0.05 -0.005625 -0.00140625

2 0.25 -0.05 0.1 -0.006175 -0.00154375

3 0.25 0.03 -0.03 -0.000525 -0.00013125

4 0.25 0.19 -0.1 -0.018375 -0.00459375

Cov (R(A),R(B)) -0.007675

Corr(A,B) -0.89

Se puede concluir entonces, que los activos A y B se

comportan de manera muy distinta.

Covarianza


Portafolio de dos Activos

Acción A B

E(R) 1.500% 0.500%

VAR(R) 1.268% 0.583%

Ds(R) 11.258% 7.632%

Cov(A,B) -0.768%

Corr(A,B) -0.89

Portafolio W(A) W(B) E(Rp) Ds(Rp)

1 100% 0% 1.500% 11.258%

2 90% 10% 1.400% 9.457%

3 80% 20% 1.300% 7.674%

4 70% 30% 1.200% 5.926%

5 60% 40% 1.100% 4.256%

6 50% 50% 1.000% 2.806%

7 40% 60% 0.900% 2.100%

8 30% 70% 0.800% 2.778%

9 20% 80% 0.700% 4.218%

10 10% 90% 0.600% 5.885%

11 0% 100% 0.500% 7.632%


E(Rp)

0,000%

0,200%

0,400%

0,600%

0,800%

1,000%

1,200%

1,400%

1,600%

0,000% 2,000% 4,000% 6,000% 8,000% 10,000% 12,000%

100% en Activo A

100% en Activo B

Correlación 1

Corr. Cercana a -1

Gráficamente

Riesgo

mín


Determinemos ahora, el retorno de un portafolio

de activos:

E( Rp ) = wk* E ( rk )

Var( Rp ) = wk2 *Var( rk ) + 2*wmwn*Cov( rm,rn)

Para el caso de dos activos, esto se reduce a:

E( Rp ) = w1* E ( r1 ) + w2* E ( r2 )

Var( Rp )=w12 *Var(r1)+ w2

2 *Var(r2) +2*w1w2*Cov( r1,r2)


Acción A Acción B

Retorno esperado .015 .020

Varianza .050 .060

Desviación estándar .224 .245

% de la inversión 40% 60%

Coeficiente de

correlación

.50

Considere la cartera formada por 2 acciones A y B.

EJEMPLO 1


Rentabilidad esperada de la cartera:

1

( ) ( )

( ) ( )

0.4(0.015) 0.6(0.020)

0.018 1.80%

n

p i i

i

A A B B

E R x E R

x E R x E R


2 2 2 2 2

2 2

2

(.4) (.05) (.6) (.06) 2(.4)(.6)(.5)(.224)(.245)

.0080 .0216 .0132

.0428

p A A B B A B AB A Bx x x x

• Varianza de la cartera:


• Para una cartera de varianza mínima el %

de Inversión dentro de la cartera (X) para

cada activo es :

2

2 2 2

1

B A B ABA

A B A B AB

B A

x

x x


2

2 2

.06 (.224)(.245)(.5)59.07%

2 .05 .06 2(.224)(.245)(.5)

1 1 .5907 40.93%

B A B ABA

A B A B AB

B A

x

x x


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

% i

nve

rtid

o e

n A

Varianza de la cartera


Ejemplo 2

Cartera formada por tres activos en tres estados naturales

con igual probalidad de ocurrencia:

Estados

(s) T-Bill

Retorno% Acción A

Retorno % Acción B

Retorno % (i=1) (i=2) (i=3) s1 “boom” 5 16 3 s2 “normal” 5 10 9 s3 “recesión” 5 1 15

3

1321 ppp

Probabilidades de ocurrencia


Retornos esperados

Para el activo libre de riesgo

Para las acciones A y B:

Para la cartera

Para cartera igualmente ponderada

%5][ 1 rE

%915933

1][

%9110163

1][

3

2

rE

rE

9)(5][ 321 wwwrE

%666.79253

1][

3

1321 ewrEwww


Riesgo de la cartera

Varianza de la cartera:

ij

n

ji

ji

jjii

n

ji

ji

j

n

j

jji

n

i

ii

n

i

ii

n

i

iippp

ww

rrrrwwE

rrwrrwE

rwrwErrE

1,

1,

11

2

11

22

))((

)()(

)(

n

i

n

i

n

jij

ijjiiip www1 1 1

222


Cálculo de varianzas y covarianzas

0

0

3

90)6)(8()0)(1()6)(7(

3

1],cov[

3

72)915()99()93(

3

1]var[

3

114)91()910()916(

3

1]var[

0]var[

31

21

3223

222

3

2

3

222

2

2

2

1

2

1

rr

r

r

r


Riesgo de la cartera:

180721143

1

2

32

2

3

2

2

2332

2

3

2

3

2

2

2

2

2

3223311323322112

13311221

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

3

2

1

2

33231

23

2

221

1312

2

1

3

2

1

2

wwww

wwwwσ

wwwwwwww

wwwwwww

w

w

w

w

w

w

p

t

p

Para cartera igualmente ponderada 27

6

3

1 2

321 ewwww

Documents

05 Finanzas en Condiciones de Riesgo Introduccion a Teorias de Carteras