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Idea : Es la aproximacin a la solucin de un problema
por medio del muestreo de un proceso al azar.
Esto no ayuda mucho lo que es el Mtodo de Monte Carlo
pero podemos familiarizarnos por la va de ejemplos:
Caso 1
x
y
=R
dxdx 21
1,:),( 22 += yxyxyxR
Mtodo de Monte Carlo
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Caso 2:
Sea g(x) una funcin y supongamos que deseamos conocer
Problema determinista
Sea u ~ U(0,1) y sea x = u
Entonces
E[g(u)] =
siendo
=1
0
)( dxxg
1
0
)(*)( duufug
( ) dxduyxguguf === )()(;)( 011
Mtodo de Monte Carlo
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Luego
E[g(u)] =
Entonces transformamos la estimacin de por el clculo
E[g(u)] por la va de la ley de los grandes nmeros.
=1
0
)( dxxg
=
kcuandougEk
ugk
i
i )]([)(
1
> kcuandougPr 0)|)((|
)(ug
Mtodo de Monte Carlo
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Teoremas Lmites
Convergencia en Distribucin:
xpto. continuidad
Convergencia en Probabilidad:
>0
Nota:
)()( xFxFlimssiXX XXnD
n n=
( ) 0= XXPlimssiXX nnP
n
XXXX D
n
P
n
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Desigualdad de Chebyshev:
Sea X v.a. con
Entonces
[ ]
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Teorema Central de Lmite:
Sea {X} suc. de v.a.i.i.d/
finitas. Entonces:
[ ] =XE [ ] 2=XV;
)1,0(N
n
XY
Dn
n
=
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Es decir podemos resolver un problema determinstico pormedio del
clculo del valor esperado de una muestra
grande.
Algoritmo Valores iniciales, S1=0 ; S2 = 0
1.- Generar ui (U(0,1))2.- Calcular g(ui)
3.- Calcular
4.- Repetir el clculo k-veces
5.- Calcular ;
6.- Calcular el ]96,1[)( 2
95,0 kSI =
S1 = S1 + g(ui)
S2 = S2 + [g(ui)]2
k
S1=
)1(][2
21
22
= kk
SSks
Mtodo de Monte Carlo
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Caso 3 : Para
Sea
Entonces
donde
Luego podemos estimar mediante el clculo de E[h(y)]
bxadxxgb
a
= )(
ab
dxdy
ab
axy
=
=
=
+=
1
0
1
0
)(
)(])([
dyyh
dyabyabag
))(()()( yabagabyh +=
Mtodo de Monte Carlo
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Caso 4 :
puede ser calculado mediante
donde U1, U2, ..., Un sucesiones v.a.i.i.d. U(0,1)
=1
0
21
1
0
1
0
21 ...),...,,(... nn dxdxdxxxxg
k
uuugk
i
in
ii
= = 121 ),...,,(
)],...,,([ 21 nuuugE=
Mtodo de Monte Carlo
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Caso 5 : Para
Sea
Entonces
Luego siendo
=0
)( dxxg
dxyx
dxdy
xy 2
2)1(1
1=
+=
+=
10)1(1
02
1
= ydyyg y
2
1 )1()(
)]([
y
gyh
yhE
y =
=
Mtodo de Monte Carlo
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Tarea : Usando el mtodo de Monte Carlo
++0
2
5
0
2 )1(;)1( 23 dxxxdxx
+
1
0
1
0
)( 22
; dxdyedxe yxx
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Caso 6 :
Derive un mtodo aproximado para resolver este problema
de integracin, va Simulacin de Monte Carlo y proponga
un Algoritmo
= dxxg )(
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