Auto estudio Sección 05.

MODELO ATÓMICO de BOHR (1913).

SUPUESTOS (hidrogenoides: H , He+, Li2+, B3+, … ):

1) Modelo “planetario”: núcleo (fijo) y e (orbitando).

2) Conjunto discreto de órbitas circulares (radio rn ). Cada una con Energía única En . Un e en una órbita no absorbe ni emite energía (es un estado estacionario)

3) La órbita se debe a la atracción núcleo-electrón.

4) Un cambio entre estados estacionarios el e “salta” con un cambio en su energía. La diferencia es emitida (absorbida) como radiación electromagnética: E = Ef – Ei = h

5) Las órbitas tienen su momento angular orbital , L, “cuantizado”:

L = me·v·r = n = n ħ n = 1,2,3, h

2

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r

mN

me

v

Estudie la deducción del modelo de Bohr, para 1 electrón de masa me, en movimiento circular uniforme a una distancia r del núcleo. Encuentre las expresiones de En, rn y vn (velocidad tangencial)

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r

mN

me

v

Soln:

Es un sistema dinámico de 2 cargas que se atraen:

q+ = qnúcleo = +Ze

q = qelectrón = e

= 4o con: o = permitividad o constante dieléctrica del vacío

Movimiento circular Fcentrípeta

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Desde mov. Circular:

Desde electrostática:

F = me a = me = me dv dt

dv dr

dr dt

F = me v = me (v = r) v2 r

n h 2

F = me ( r ) v2 r

q+ q

r2 Felectrost = = Ze2

r2

me ( r ) = v2 r

Ze2

r2

( r ) (1)

Por “cuantización” de L:

L = me v r = y reemplazando en (1):

v = n ħ me r

(2) me =

Ze2

r n2 ħ2 me

2 r2 rn =

n2

Z ħ2 me e

2

Luego:

(atractiva, apunta hacia el núcleo)

Felectrost = ( r ) Ze2

r2

(centrípeta)

me v2 =

Ze2

r

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Deducible desde rn:

radio mínimo (n = 1):

radio máx. (n ): r (núcleo y e– mente separados)

En general:

►¿Energía?: Etotal = Ecinética + Epotencial = K + V = ½mev2 – (Ze2/ r)

con V = – (Ze2/ r) Etotal = ½mev2 – (Ze2/ r)

pero… (1) entrega mev2 y (2) entrega rn …, luego Etotal será:

r1 = 1

Z ħ2 me e

2

para H (Z = 1) r1 (H) = = a0 = 0,529 Å ħ2 me e

2

rn = a0 n2 Z

►En general: (4)

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(3)

Menor Energía?: (n = 1) (es la + negativa!!)

Para Hidrógeno (Z = 1) : E1(H) = -13,6 (eV) (H, estado basal)

= -2,181018 (J) por electrón

►Mayor Energía?: (n = ) (es la menos negativa!!)

E = 0 núcleo y e- separados (no hay interacción)

E1= me e

4

Z2

En = E1(H) Z2 n2

En= me e4

2 2 ħ 2

Z2

n 2

22 ħ 2

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• En cuanto a la expresión genérica para la velocidad tangencial:

Soln.:

L = me·v·r = n n = 1,2,3, h

2

n2

Z rn = ao

vn n h 2·me·rn

= vn n h Z

2·me·a0 n2

=

vn h

2·me·a0

Z n

=

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• Propuesto: Estudie como varían rn, En y vn ante un aumento de Z (núcleos con mayor carga positiva).