05cap3 capacidad de apoyo de fundaciones.doc

Mecánica de Suelos

CAPITULO TRES

Capacidad de apoyo de fundaciones superficiales.

Las fundaciones son los elementos encargados de impartir, a través de ellos, cargas estructurales en el terreno. El diseño de fundaciones debe estar regido por criterios de utilidad y resistencia. El criterio de utilidad, se refiere, a que el comportamiento de la fundación durante la aplicación de las cargas de operación, debe cumplir totalmente con los propósitos para los que fue diseñada. Generalmente el criterio de utilidad se halla limitado por la magnitud de los asentamientos u otros posibles movimientos.

El criterio de resistencia, se refiere, al propósito de asegurar que la fundación diseñada sea lo suficientemente resistente para soportar cargas ocasionalmente grandes, debidas por ejemplo, a fuerzas climatológicas intensas o a otra serie de causas.

La resistencia o capacidad de apoyo de la fundación puede ser un problema a corto o largo plazo dependiendo de las siguientes características:

• Condición a corto plazo.- Esta condición se presenta cuando la carga es aplicada durante el periodo de construcción, es decir durante un periodo corto de tiempo. Una condición a corto plazo será crítica sólo para el caso en que la fundación sea emplazada en un suelo arcilloso, es decir, cuando se produzca una condición no drenada. Una condición no drenada se presenta cuando el suelo tiene muy baja permeabilidad, entonces, se considera que el volumen permanece constante y se ha generado un exceso de presión de poros igual al cambio de esfuerzo total vu σ∆=∆. Debe recalcarse que para la condición no drenada en suelos arcillosos debe trabajarse con parámetros de esfuerzos totales.

• Condición a largo plazo.- Esta condición se presenta cuando la carga máxima es aplicada a la fundación luego de un cierto tiempo después del final de la construcción. La condición a largo plazo, reúne las características de una condición drenada, tanto para el caso de suelos arcillosos como para el caso de suelos granulares. Una condición drenada es aquella situación en la que el suelo es cargado y no se genera exceso de presión de poros. Para la condición drenada deben utilizarse parámetros de esfuerzos efectivos.

Para la determinación de la capacidad de apoyo del suelo es necesario realizar las siguientes definiciones:

Carga inicial total o sobrecarga inicial qo es la presión existente antes de la construcción que se debe al peso del suelo sobre el nivel de fundación.

Sobrecarga efectiva inicial 'oq : es igual a la sobrecarga inicial qo menos, el valor de la

presión de poros ou determinado para las condiciones iniciales, es decir, determinado antes

de la construcción.

ooo uqq −='

Carga bruta q es la presión bruta total impartida al terreno después de la construcción, que incluye:

• El peso de la fundación, W• El peso del suelo sobre el nivel de fundación.

• La carga impartida por la columna a la fundación, P .

134

Mecánica de Suelos

Esta presión es igual a la carga total, que es la suma de las cargas anteriores, dividida por el área de la fundación.

Carga bruta efectiva 'q : es igual a la presión bruta de fundación q menos el valor final de la presión de poros fu , determinado para las condiciones finales, es decir, después

de la construcción.

fuqq −='

Carga neta qn: es el incremento neto en esfuerzos efectivos al nivel de fundación, es decir, es la diferencia entre las presiones efectivas antes y después de la construcción. Es así que la carga neta siempre se halla referida a esfuerzos efectivos.

''

on qqq −= [3.1]

Carga bruta última de apoyo qu es el valor de la presión de apoyo que produce falla de

corte en el suelo. Por tanto, la carga última efectiva 'uq , es igual a la carga última uq

menos el valor de la presión de poros u .Carga neta última de apoyo qu(n) es la carga bruta última efectiva de apoyo menos la

sobrecarga efectiva.'o

'u)n(u qqq −= [3.2]

Máxima capacidad segura de apoyo qs es el valor de la presión de apoyo para el cual el riesgo de falla al corte es mínimo. Esta es igual a la carga bruta última de apoyo dividida por un factor de seguridad adecuado.

FS

qq u

s = [3.3]

La máxima capacidad segura efectiva de apoyo 'sq es la máxima capacidad segura de

apoyo sq menos el valor de la presión de poros u .

uqq ss −=' [3.3ª]

Máxima capacidad neta segura de apoyo ( )nsq es la carga neta última de apoyo dividida

por el factor de seguridad adoptado.

FS

qq nu

ns)(

)( = [3.4]

En las ecuaciones [3.3] y [3.4], la elección de un adecuado valor para el factor de seguridad depende tanto del criterio como de la experiencia profesional del ingeniero. Coduto (1994) indica que deben tomarse en cuenta los siguientes aspectos:

• El tipo de suelo. Se recomienda usar valores altos para arcillas y valores bajos para arenas.

• El nivel de incertidumbre en la definición del perfil de suelo y en la determinación de los parámetros de resistencia al corte para diseño.

• La importancia de la estructura y las consecuencias de una posible falla.

Por lo general el factor de seguridad adoptado es probablemente mucho mayor que el factor de seguridad seguro, debido sobre todo a los siguientes aspectos:

135

CAPITULO 3 Capacidad de apoyo de fundaciones superficiales

• Los datos de resistencia al corte son normalmente interpretados de manera muy conservativa, de esta manera los valores de diseño de c y φ contienen implícitamente un otro factor de seguridad.• Las cargas de servicio son probablemente menores a las cargas de diseño.• Es el asentamiento, y no la capacidad de apoyo, el que controla el diseño final, por tanto, la fundación tendrá dimensiones mayores a las requeridas para satisfacer el criterio de capacidad de apoyo.

Finalmente, Coduto (1994) presenta la Tabla 3.1, que es una tabla adaptada a partir de la versión presentada por Vesic en 1975. Esta sugiere ciertos valores para el factor de seguridad; dependen tales valores fundamentalmente del tipo de estructura.

Tabla 3.1.Guías para seleccionar el mínimo factor de seguridad para el diseño de zapatas (Coduto, 1994).

Exploración del Exploración delsuelo completa suelo

y cuidadosa limitada

Puentes ferroviarios, Cargas máximasde diseño almacenes,muros de próximas a ocurrir a menudoretención hidráulica, con consecuencias de falla

silos desastrosas.Puentes carreteros, Cargas máximasde diseño edificios públicos e pueden ocurrir ocasionalmente

industriales. con consecuencias de fallaserias.

Edificios de oficinas Cargas máximasde diseño esy apartamentos. improbable de ocurrir.

Factor de seguridad de diseño

Categoría Estructuras típicasCaracterísticas de la

categoría

A 3.0 4.0

B

3.0

2.5 3.5

C 2.0

Carga admisible de apoyo aq es la presión que asegura que no existirá falla al corte, y

asegura también que los asentamientos a producirse serán iguales a los tolerables.

Por tanto, la falla al corte se produce cuando la carga última de apoyo es alcanzada. Esta falla al corte puede ser de los siguientes tipos:

Falla al corte general.- Este tipo de falla se presenta cuando una fundación superficial localizada sobre un depósito de arena densa o sobre un suelo arcilloso rígido es sometida a una carga que se incrementa gradualmente. Este incremento gradual de carga ocasiona el consiguiente asentamiento de la fundación.

En la Figura 3.1 (a) se puede observar una fundación superficial de ancho B, que está situada a una profundidad Df de la superficie de un depósito de suelo con las características mencionadas anteriormente. Cuando el esfuerzo o presión producido por la carga P iguala la carga última de apoyo qu se produce el asentamiento Su para el cual, el suelo de fundación sufrirá una falla repentina al corte. La superficie de falla del suelo es mostrada en la Figura 3.1 (a) mientras que la Figura 3.1 (b) muestra la gráfica de S vs. q.

136

Mecánica de Suelos

El tipo de falla observado en la Figura 3.1 (a) es el de falla al corte general; y para este, se puede ver en la gráfica de S vs. q que se presenta claramente un valor pico de q igual a qu.

q

Df

B

(a)

qu

uS

Carga por unidad de área , qA

sent

amie

nto

, S

(b)Figura 3.1. Falla al corte general de un suelo.

Falla al corte local.- Este tipo de falla se presenta cuando una fundación superficial como la observada en la Figura 3.2 (a), se encuentra sobre un depósito de arena media densa o sobre un suelo arcilloso de consistencia media.

En la gráfica de S vs. q, Fig. 3.2 (b), se observa que a medida que se incrementa la carga

q se produce también un respectivo asentamiento. Cuando q alcanza el valor de 'uq

denominado carga primera de falla, la superficie de falla desarrollada en el suelo es la mostrada con línea llena en la Figura 3.2 (a). Si la carga continúa incrementándose la curva de la gráfica S vs. q se hace mucho más empinada e irregular como muestra la línea quebrada de la Figura 3.2 (b). Cuando q iguala el valor de qu la superficie de falla del suelo alcanza la superficie del terreno. Más allá del valor de qu la gráfica de S vs. q adquiere una forma lineal, siendo la principal característica de este tipo de falla que nunca es observada una carga pico.

Falla al corte por punzonamiento.- La Figura 3.3 (a) muestra una fundación con las mismas características que en los casos anteriores; pero con la única diferencia de que se encuentra fundada sobre un depósito de arena suelta o sobre un suelo arcilloso blando. Para este tipo de falla, la curva de la gráfica S vs. q es mostrada en la Figura 3.3 (b).

Al igual que en el caso anterior, aquí nunca se observa un valor de carga pico ya que una vez que se ha alcanzado el valor de qu este permanece constante. La superficie de falla del suelo para falla al corte por punzonamiento, no alcanza nunca la superficie del terreno.

137


q

B

Df

(a)

Ase

ntam

ient

o , S

Carga por unidad de área , q

uq

uq'

(b)Figura 3.2. Falla al corte local de un suelo.

q

B

fD

(a)

Ase

ntam

ient

o , S

Carga por unidad de área , q

q

uS

u

(b)Figura 3.3. Falla al corte por punzonamiento de un suelo.

138

Mecánica de Suelos

A continuación, Coduto (1994) presenta los siguientes criterios, que resultan ser muy útiles al momento de determinar cuál de estos tres tipos de falla se presentará en una determinada circunstancia. Estos criterios son:

• Fundaciones emplazadas en arcillas son gobernadas por el caso de falla general al corte.

• Fundaciones emplazadas en arenas densas son gobernadas por el caso de falla general al corte. En este contexto, una arena densa es aquella cuya densidad relativa

RD es mayor que %67 .

• Fundaciones emplazadas en arenas sueltas a medianamente densas, es decir, para %67D%30 R << , son probablemente gobernadas por la falla al corte local.

• Fundaciones emplazadas en arenas muy sueltas, es decir, %30DR < , son gobernadas

por falla al corte por punzonamiento.

1 Carga última de apoyo.

En el análisis de fundaciones pueden emplearse métodos teóricos, aproximaciones semi empíricas y por otra parte aproximaciones empíricas.

Entre los métodos teóricos puede ser utilizado uno de los siguientes:• Método de líneas de deslizamiento• Método de elementos finitos.• Método de equilibrio límite• Método de análisis límite.

Cuando se presentan problemas de estabilidad y se requiere conocer la capacidad de apoyo del suelo; pueden utilizarse el primero, el tercero o el cuarto método. En cambio, cuando se requiere determinar la distribución de esfuerzos o los asentamientos producidos al interior de una masa de suelo puede utilizarse el segundo método.

El método de líneas de deslizamiento se basa en la construcción de una familia de líneas de corte o deslizamiento en las proximidades de las zapatas cargadas. Estas líneas de deslizamiento representan las direcciones de esfuerzos cortantes máximos. Las relaciones constitutivas de este método son aquellas que consideran que el estado de tensiones en la masa de suelo satisface en todas partes el criterio de falla de Mohr-Coulomb.

Este método además de proporcionar una estimación de la carga de rotura, permite también la obtención de la distribución de esfuerzos. Sin embargo, aún no se sabe si la solución obtenida es o no conservadora.

En este método se consideran generalmente solo problemas de deformación en un plano 2-D. Por otro lado, algunas veces las soluciones pueden extenderse asumiendo el criterio de falla de Mohr-Coulomb como la superficie en el límite de fluencia y aplicando compatibilidad de esfuerzos. En este caso la solución obtenida es exacta para un material ideal.

Para el método de elementos finitos puede ser empleada cualquier ley constitutiva. La principal ventaja de este método es que es extremadamente poderoso, debido a que se pueden tratar no linealidades de materiales y geometrías, es decir deformaciones grandes, y son muy pocas las ocasiones en que este presenta dificultades.

139


Sin embargo, una de las desventajas de este método es que se requiere del uso de un computador para efectuar los cálculos y para ciertos análisis no lineales puede resultar muy costoso.

El método de equilibrio límite es una aproximación al método de líneas de deslizamiento; donde la solución se basa en suposiciones que toman en cuenta tanto la forma de la fundación como la distribución de esfuerzos normales en la superficie de falla. Luego, a través de una prueba de ensayo y error se encuentra la superficie crítica de falla en la que la capacidad de apoyo es calculada. Las relaciones constitutivas de este método son aquellas que asumen el criterio de falla de Mohr-Coulomb como válido en la superficie de falla.

Los cálculos realizados para este método son sencillos, dependiendo éste sobre todo de la precisión con que se haya supuesto el mecanismo de falla. Por lo tanto, es apropiado para el análisis de fallas ya ocurridas, donde los planos de falla son conocidos. Aún no se sabe si las soluciones obtenidas con este método son o no conservadoras.

Mc Carron (1991) indica que el método de equilibrio límite es el más ampliamente usado debido sobre todo a su simplicidad matemática y a que los resultados obtenidos gozan de buena aproximación.

Finalmente el método de análisis límite considera la relación esfuerzo-deformación del suelo de una manera idealizada. Este método fue adaptado a la mecánica de suelos a partir de un análisis matemático realizado por Calladine (1985) a la teoría de plasticidad.

Este método consiste en la determinación de una solución de borde superior y una solución de borde inferior. La solución o aproximación de borde superior corresponde a un estado cinemáticamente admisible, en el que solo se consideran los mecanismos de falla, siendo ignorada la compatibilidad de esfuerzos. La ecuación de trabajo para el sistema mostrado en la Figura 3.4 (a) es:

ernoTrabajoexternoTrabajo int= bkbbF ×=×× θπθ2/ [a]

Donde:=θπkb Resistencia k a lo largo del perímetro del medio círculo con un

brazo de fuerza b .Luego:

kqbF 29.6/ == [b]La ecuación [a] asume que el material es idealmente rígido-plástico, es decir, que no

existe movimiento hasta que la resistencia es alcanzada, y por tanto las deformaciones que se producen luego ocurren a esfuerzos cortantes constantes, Fig. 3.4 (b). Además se considera que la disipación de energía interna se produce en la interfase de los bloques rígidos.

Por otro lado si se considera el mecanismo de falla por punzonamiento, Fig. 3.4(c), que resulta ser un mecanismo de falla más factible que el anterior, la ecuación de trabajo puede ser determinada de manera análoga a la primera pero con la ayuda de un diagrama de velocidades, Fig. 3.4(d).

Luego, la fuerza de punzonamiento es:kqbF 76.5/ == [c]

De esta manera se obtienen dos aproximaciones de borde superior.

140

Mecánica de Suelos

F

b

k

θ

τ

ε(a) (b)

F

b

vA

DB

C C'

D'

F

d d'

c'o

c

v

a,b

(c) (d)

Figura 3.4. Método de análisis límite (a) Mecanismo simple utilizado para obtener una solución de borde superior. (b) Propiedades de un material rígido- plástico. (c) Solución al método de análisis límite asociada a un diagrama de velocidades; falla por punzonamiento (d) Diagrama de velocidades.

Por otro lado la aproximación de borde inferior se refiere a un estado estáticamente admisible donde se ignoran los mecanismos de falla y se asegura la compatibilidad de esfuerzos. En la Figura 3.5(a) se observa la discontinuidad de esfuerzos propuesta. Aquí el equilibrio de esfuerzos se mantiene al interior de cada bloque y a través de cada discontinuidad, es decir, II

nIn σσ = . En la Figura 3.5, los círculos de Mohr que representan a

las zonas de esfuerzos I y II tienen un punto en común; y si el material se encuentra en cedencia a ambos lados de la discontinuidad, entonces ambos círculos tendrán el mismo diámetro máximo.

Ahora si se considera que la zona I está libre de esfuerzos, el correspondiente círculo de Mohr es graficado en la Figura 3.5(b), en esta el círculo de la zona I tiene un punto en el origen. Luego por inspección:

kq 2= [d]Ahora si se considera que ambas zonas están en cedencia, los círculos de Mohr para este

caso son presentados en la Figura 3.5(b), y por inspección se tiene:

141


kq 4= [e]Ahora de manera similar a la anterior se puede estimar una solución de borde inferior que

considere, de la forma más general un abanico de planos de discontinuidades, donde todas las zonas delimitadas por este se encuentran en cedencia, Fig. 3.5(c).

De la Figura 3.5(d) la solución de borde inferior es:( ) kkq 14.52 =+= π [f]

De esta manera uno se aproxima a una solución de borde inferior.La solución al problema se encontrará en algún punto ubicado entre el borde superior y el

borde inferior aproximándose a uno o a otro dependiendo de si se incrementan las posibilidades de mecanismos de falla (borde superior) o las posibilidades de discontinuidades de esfuerzos (borde inferior).

d

III

c e

q

qE

IIk

C D

Iσ

90°90°

(a)

II Ik

CDqE

τ

σ

(b)

c rq

45°45°

Rq

k

C

kk

τ

σ

πk

(c) (d)Figura 3.5. Determinación de una solución de borde inferior.

142

3,2σ σ1,2σ1,1= 3,1σ

τ c=τ c + σntan φτ

qult

n c+ σ f

σn

Mecánica de Suelos

La adaptación del problema anterior a la mecánica de suelos, corresponde a la condición de estabilidad a corto plazo en una arcilla saturada sometida a la aplicación de una carga.

Luego, antes de desarrollar los métodos existentes para la determinación de la capacidad de apoyo, debe aclararse, que de aquí en adelante, el valor de *q en todos los métodos corresponde al valor de la sobrecarga que existe en el terreno adyacente a la fundación luego de haber concluido la construcción.

A continuación se presenta una solución basada en el método de análisis límite, realizada por Bowles (1988) para el caso específico de una arcilla saturada sometida a la aplicación de una carga.

Previamente, en las Figuras 3.6 y 3.7 se observan los dos posibles mecanismos de falla que pueden presentarse cuando el suelo de fundación alcanza la carga última de apoyo qu. Estos dos posibles mecanismos de falla son:

• Circular, Fig. 3.6; en la que la resistencia al corte se desarrolla a lo largo del perímetro del círculo que constituye la superficie de falla.

• Punzonamiento en el terreno, representado por la cuña agb en la Figura 3.7 o de manera aproximada por la cuña ObO’ en la Figura 3.6.

Pa

OO'

b

Y

y=0

q = DγD

B

qult

1 2

σ1,1= ultq

3,1σ

3,2σ =q

1,2σr = B

B/2 *

*

(a)

Área dA=Fricción = fnn σφσ =tan

Cohesión dA

dAc=

(b) (c)Figura 3.6. Capacidad de apoyo en un suelo con 0=φ , (a) Zapata fundada en un suelo

con 0=φ (b) Significado físico de la ecuación [3.5] para resistencia al cortante(c) Círculos de Mohr para elementos observados en (a).

143


En ambos mecanismos de falla la resistencia al corte límite del suelo se desarrolla a lo largo de la superficie de deslizamiento. Esta resistencia está dada por la ecuación:

φστ tannc += [3.5]

El significado físico de la ecuación [3.5] es representado en la Figura 3.6 (b). La elección entre parámetros de esfuerzos totales y parámetros de esfuerzos efectivos en la ecuación [3.5] es realizada en función a las condiciones de aplicación de carga, es decir dependiendo si se tienen condiciones drenadas o condiciones no drenadas.

La aproximación de uq desarrollada por Bowles (1988) que se presenta a continuación

es una de las más simples realizadas para su obtención. Esta toma en cuenta las consideraciones realizadas en el método de análisis límite, es decir, consiste en la determinación de una solución de borde superior y una solución de borde inferior, para el caso presentado en la Figura 3.6.

En esta Figura se considera que las dimensiones de la zapata mostrada son ( )∞→=× LBLB ,1 , y que el suelo de fundación tiene un ángulo de fricción 0=φ . Una

solución de borde inferior puede ser obtenida de la siguiente manera:Cuando la fundación es emplazada en el terreno el bloque de esfuerzos 1 mostrado en la

Figura 3.6 (a) tiene los esfuerzos principales que se indican. Debido al esfuerzo ocasionado en el suelo por la aplicación de la carga; el suelo tiende a desplazarse lateralmente hacia la derecha de la línea OY, lo que da lugar a que el esfuerzo principal del bloque de esfuerzos 2 sea igual al esfuerzo horizontal del bloque de esfuerzos 1. Estos bloques de esfuerzos son representados mediante su correspondiente círculo de Mohr en la Figura 3.6 (c). A partir de la ecuación de resistencia al corte se tiene:

++

+=

245tan2

245tan 2

31

φφσσ c [3.6]

Para el caso de la Figura.3.6 0=φ , luego 12

45tan2

45tan 2 =

+=

+ φφ

, y para el

bloque 2 en la esquina de la zapata O fDsobrecargaq γσ === *2,3 . Reemplazando estos

valores en la ecuación [3.6] y se tiene:( ) ( )1c21q*

1,32,1 +== σσ [3.7]

Para el bloque 1 en la esquina O de la zapata se tiene:( ) ( )1211,31,1 cqu +== σσ [3.8]

Reemplazando la ecuación [3.7] en la ecuación [3.8], qu es:c4qc2c2qq **

u +=++= [3.9]

Para el caso en el que el nivel de fundación se encuentra en la superficie del terreno 0* =q , y la ecuación [3.9] se convierte en:

cqu 4= [3.10]

La ecuación [3.10] proporciona una solución de borde inferior. Para obtener una solución de borde superior se considera una falla circular alrededor del punto O. Realizando la sumatoria de momentos en el punto O causados por la carga última, la resistencia al corte perimetral y la sobrecarga, se tiene:

2

BBqBBc

2

BBq *

u

×+×=× π [3.11]

144

Mecánica de Suelos

Resolviendo para qu se tiene:*

u qc2q += π [3.12]

Para el caso en el que el nivel de fundación se encuentra en la superficie del terreno 0* =q ,y la ecuación [3.11] se convierte en:

cqu 28.6= [3.13]

Luego, la carga última obtenida a partir del promedio de las ecuaciones [3.13] y [3.10] es:

c14.5qu = [3.13a]

La ecuación [3.13a] es la solución para la carga última obtenida a partir del método de análisis límite considerando un suelo sin fricción, es decir para °=0φ .

Todos los métodos teóricos para la determinación de la carga última nombrados anteriormente se relacionan de cierta manera, ya que muchas soluciones obtenidas a partir del método de las líneas de deslizamiento proporcionan campos de velocidades cinemáticamente admisibles y pueden ser así consideradas como una solución de borde superior que satisface a la vez las condiciones de borde de velocidad. Por otro lado, si el campo de esfuerzos al interior de una zona plástica puede ser extendido dentro de una región rígida, entonces las condiciones de equilibrio y cedencia son satisfechas, y la solución constituye una solución de borde inferior.

Por otro lado, el método de equilibrio límite utiliza la filosofía básica de la regla de borde superior, mediante la cual, se asume una superficie de falla y al menos una respuesta es buscada. Sin embargo este método no considera que las condiciones cinemáticas y de equilibrio sean satisfechas en un sentido limitado. Por consiguiente, las soluciones de equilibrio límite no son necesariamente soluciones de borde superior o de borde inferior. Sin embargo, una solución de borde superior para el método de análisis límite será obviamente una solución del método de equilibrio límite.

A pesar de la relación existente entre estos métodos, la mayoría de ellos, sobre todo el método de análisis límite presenta grandes dificultades en su desarrollo. Estas dificultades se enuncian a continuación:

• La complejidad de encontrar un mecanismo que pueda describir el proceso de falla razonablemente bien.

• El método de análisis límite aplicado para la determinación de la capacidad de apoyo toma en cuenta un sistema tridimensional, por tanto, incluye solamente materiales sin fricción interna debido a que los mecanismos de colapso en estos materiales no son tan complejos como los que se presentan en materiales con fricción.

• La complejidad de la geometría en tres dimensiones juntamente con la dilatación de los suelos, hace muy difícil el construir modelos de velocidades admisibles, y hace que los cálculos de volúmenes de bloques y superficies de discontinuidades sean bastante laboriosos.

Debido a las dificultades ya enunciadas, fue que se desarrollaron métodos semi-empíricos para la determinación de la capacidad última de apoyo. Estos fueron desarrollados para materiales con fricción inicialmente, siendo luego extendidos de manera muy sencilla, también para suelos cohesivos. Estos métodos se basan en estudios de falla al corte por punzonamiento realizados en otros materiales, tales como metales.

145

1σ

3σ

q = Dγ*q

ult

db

P

g f

W

a

z

α

1σ

ρ

3σ = + γq z

cA

PpA

P,VP

ρ

ρρφ

D

H

αβ e

ρ = 45 − φ /2

B/2

*


Todos estos fueron desarrollados considerando una fundación continua y un caso de deformación plana. Con el paso del tiempo una serie de factores empíricos fueron aplicados a estos métodos con el objeto de compensar las suposiciones realizadas.

A continuación se analiza el caso de una zapata continua emplazada en un suelo que presenta un ángulo de fricción igual a φ y una cohesión igual a c , Fig. 3.7, en la que se puede observar que una vez alcanzada la carga última uq ocurre la falla al corte por

punzonamiento.Para este caso, se realizó una extensión al estudio de Prandtl (1920) quien estudió la

resistencia al punzonamiento de metales, a partir de la cual determinó la capacidad de una masa de metal de gran espesor para resistir las cargas concentradas. Posteriormente al introducir términos geotécnicos al trabajo de Prandtl, se observó que él consideró un suelo puramente cohesivo ( )0=φ y sin peso unitario.

Luego, con estas suposiciones, él definió la forma de las zonas de corte y desarrolló un método para determinar la fuerza requerida para que se produzca el punzonamiento. Las consideraciones realizadas por Prandtl no toman en cuenta precisamente a ninguno de los métodos teóricos, sino más bien, el valor de uq se obtiene a partir de la suma de fuerzas

verticales que actúan en la cuña adg , Fig. 3.7; por tanto, el valor de uq es obtenido

basándose en el método de superposición.A continuación se presenta la estimación de uq realizada como una extensión al trabajo

de Prandtl (1920). La ecuación general presentada posteriormente fue desarrollada por Bowles (1988).

Figura 3.7. Capacidad de apoyo simplificada para un suelo φ−c (Bowles. 1988).

146

α = 45 +φ/2 ρ = 45 +φ/2

H =B2

α tan

B2

A =cosα

P =P,V cosPφP

12

W = γB2

B2

tanα

2pK = tan2 45φ

K =a 452tan2φ

Mecánica de Suelos

Para la estimación de uq se consideró que cuando la cuña se desplaza en el terreno, se

desarrollan presiones laterales en la línea ag, las cuales tienden a trasladar horizontalmente el bloque agf contra la cuña afe. Las presiones desarrolladas a lo largo de la línea vertical af son representadas en el bloque de esfuerzos mostrado a la derecha de la línea. Podría ser mostrado usando el círculo de Mohr que la cuña agb desarrolla líneas de deslizamiento de esfuerzos, que forman un ángulo de 2/45 φα += con la horizontal, situación que puede ser observada en el bloque de esfuerzos mostrado en el interior de la cuña agb, de manera que la línea ab resulta ser un plano principal. Similarmente en la cuña afe las líneas de deslizamiento forman un ángulo de 2/45 φβ −= con la horizontal, siendo la línea ae un plano principal respecto al ángulo β.

Para el bloque de esfuerzos que se encuentra a la derecha de la línea af, la fuerza Pp que es resultado de la resistencia total del terreno, puede ser calculada integrando de Ha0 el esfuerzo principal 1σ .

De acuerdo a la Figura 3.7 y a la ecuación [3.6], se tiene:

( )∫∫

++

++==

H

0

2*H

0

1p dz2

45tanc22

45tanqzdzPφφγσ [3.14]

De acuerdo a la definición de pP hecha en la Figura.3.7, e integrando la ecuación

[3.14], se tiene:

pp*

p

2

p KcH2KHqK2

HP +⋅+⋅= γ

[3.15]

Para la determinación de uq , se realiza la sumatoria de fuerzas verticales que actúan en

la cuña adg de ancho unitario. Estas fuerzas son observadas en la Figura 3.7.

0cos

cos222

=−−⋅+×φρ

ργsen

PcA

HBBq p

u

Sustituyendo los valores de A y H según la Figura 3.7 y despejando uq se tiene:

−++

+= p

2ppp*

pp

u Kcos

K

4

B

cos

KKqK

cos

K2cq

φγ

φφ[3.16]

Reemplazando los multiplicadores de c , *q y Bγ por factores N se tiene:

γγ

N4

BNqcNq q

*cu ++= [3.17]

La ecuación [3.17] es la ecuación utilizada más comúnmente para la determinación de la capacidad de apoyo del suelo. Debe tomarse en cuenta que esta ecuación subestima el valor de uq debido a las razones que se exponen a continuación:

• Zona afg es despreciada.• La interfase de la zapata es generalmente rugosa y por tanto contribuye con el efecto

de rugosidad.• La forma del bloque agfe define pobremente la zona resistente al movimiento de la

cuña en el suelo. Una espiral logarítmica definiría mejor la superficie de deslizamiento de g a f y parcialmente de f a e .

147


• La solución es obtenida para una zapata continua, por tanto debería ser ajustada para la forma real de la zapata, es decir, debería aplicarse un factor de forma.

• La resistencia al corte en el plano ae de la superficie es despreciada. Esta requiere ser ajustada de alguna manera, haciéndose necesaria la utilización de un factor de profundidad.

• Serán necesarios otros factores para el caso en que la carga se halle inclinada respecto de la vertical.

Finalmente la capacidad de apoyo del suelo puede ser determinada a través de métodos empíricos. Estos métodos se basan en el uso de correlaciones determinadas empíricamente y utilizan los resultados obtenidos de la realización de ensayos in- situ, tales como el SPT, el CPT y otros. En todos ellos la capacidad de apoyo es determinada mediante correlaciones empíricas. El procedimiento para la realización de los ensayos in- situ es abordado en el Capítulo 8.

2 Métodos semi- empíricos para la determinación de la capacidad última de apoyo.

Los métodos analíticos utilizados en la actualidad para la determinación de la capacidad de apoyo son métodos semi- empíricos cuyo principal objetivo es analizar la falla por capacidad de apoyo en zapatas continuas y poder realizar un diseño que evite tales fallas. Para esto es necesario entender la relación entre capacidad de apoyo, carga, dimensiones de la zapata y propiedades del suelo.

Con afán de entender esta relación han sido utilizados modelos a escala reducida de zapatas, debido mayormente a que el costo de estos modelos es mucho menor que el de ensayos realizados a escala real. Desafortunadamente, el ensayar modelos tiene sus limitaciones, especialmente cuando se trabaja en arenas. Debido a esto, no ha sido posible a través del tiempo encontrar una solución general que satisfaga completamente las leyes de la estática.

Sin embargo, han sido propuestos una serie de métodos semi- empíricos, los que a través de suposiciones simplifican el problema y permiten en la actualidad, según Coduto (1994) estimar la capacidad de apoyo en zapatas continuas con una aproximación bastante buena para problemas prácticos.

2.1 Método de Terzaghi.

La ecuación de Terzaghi (1943) fue una de las primeras ecuaciones propuestas para capacidad de apoyo. Esta fue derivada a partir de la ecuación [3.17].

Tomando en cuenta las limitaciones de esta ecuación, Terzaghi aplicó los factores necesarios para hacer que los resultados obtenidos sean lo más aproximados a los reales. La ecuación de Terzaghi fue desarrollada para una zapata continua de ancho unitario en la que se produce un caso de deformación plana.

Las principales suposiciones realizadas por Terzaghi son las siguientes:• La profundidad de fundación fD es menor que el ancho de la zapata B, es decir,

menor que la dimensión menor de la zapata.

148

Mecánica de Suelos

• Ocurre una falla al corte general y la base de la zapata es rugosa.

• El ángulo α de la cuña abc es igual a φ, Fig. 3.8.

• La resistencia al corte del suelo por encima de la base de la zapata en el plano cd es despreciable y está representada por la línea punteada en la Figura 3.8.

• El peso del suelo que se encuentra sobre la base de la zapata puede ser

reemplazado por un esfuerzo de sobrecarga f* Dq γ= .

Estas suposiciones son generalmente razonables y conservadoras para el análisis de falla al corte general, aunque en algunos casos, según Coduto (1994), resulta difícil modelar depósitos de suelos estratificados con parámetros de suelos homogéneos equivalentes.

Terzaghi consideró tres zonas en el suelo, Fig. 3.8. Inmediatamente debajo de la zapata una zona de cuña que permanece intacta y que se mueve descendentemente con la zapata, zona abc de la Figura 3.8. Luego, una zona de corte radial que se extiende a ambos lados de la cuña, donde los planos de corte toman la forma de espirales logarítmicas, arco ad de la Figura 3.8. Finalmente, la otra zona es la zona de corte lineal en la cual el cortante del suelo se produce a lo largo de superficies planas, línea de de la Figura 3.8.

Terzaghi terminó las zonas de corte en un nivel uniforme con la base de la zapata, es decir, en el plano ce de la Figura. Esto significa que el consideró al suelo comprendido entre la superficie y la profundidad de fundación solo como una sobrecarga que no ofrece resistencia al corte. Esta es la suposición más conservadora de este método y es la principal razón para que el mismo este relativamente limitado a zapatas superficiales.

La ecuación desarrollada por Terzaghi , así como los diferentes factores utilizados por este , son presentados en la Tabla 3.2.

Tabla 3.2. Ecuación de Terzaghi.Ecuación de Terzaghi.

γγγ sBN5.0NqscNq q*

ccu ++= [3.18]

( )245cos2

2

φ+=

a

aN q

( ) φφπ tan275.0 −= ea( ) φcot1−= qc NN

−= 1

cos2

tan2 φ

φ γγ

pKN

Continua Circular Cuadrada

cs 1.0 1.3 1.3

γs 1.0 0.6 0.8

De la Tabla 3.2 se puede observar que los factores de forma para una zapata continua son iguales a 1. Los factores Ni son calculados de diferente forma que en la ecuación [3.17], esta diferencia radica en que para la ecuación de Terzaghi tanto las líneas de deslizamiento al

149


interior del arco ad como al interior de la cuña exterior cde fueron consideradas como arcos log-espiral, Figura 3.8.

Terzaghi no explicó de manera clara la manera en que el obtuvo los valores de γpK , y

es por tal razón que Kumbhojkar presentó una serie de valores de γN que resultaron ser la

mejor aproximación a los valores obtenidos por Terzaghi.

D < B

q = Dγ

P

BRugoso

Cortante

despreciado( Terzaghi,Hansen )

c

d

*

(a)

q = Dγ

ΙΙΙ

ΙΙ

d η

e c

D

fg

b

a

η

α α ψ

B

I

q ult q

a

45 − φ

2

'd

F = c ab + P tanps φ

pP

Terzaghi y HansenMeyerhoff

* *

θ = ace o abd'

acdψ = abd'oad o ad' = log espiral para φ > 0

η = 90° − φ

Para Hansen y Meyerhoff : α = 45 +φ2

Terzaghi α = φ

(b)Figura 3.8. Método de Terzaghi (Bowles, 1988).

A continuación en la Tabla 3.3 se presentan los valores de capacidad portante de Terzaghi para una serie de ángulos de fricción φ.

150

Mecánica de Suelos

Tabla 3.3. Factores de capacidad portante para las ecuaciones de Terzaghi (Das, 1998).φ[deg] Nc Nq Nγ

a

0 5.70 1 01 6.00 1.10 0.012 6.30 1.22 0.043 6.62 1.35 0.064 6.97 1.49 0.105 7.34 1.64 0.146 7.73 1.81 0.207 8.15 2.00 0.278 8.60 2.21 0.359 9.09 2.44 0.44

10 9.61 2.69 0.5611 10.16 2.98 0.6912 10.76 3.29 0.8513 11.41 3.63 1.0414 12.11 4.02 1.2615 12.86 4.45 1.5216 13.68 4.92 1.8217 14.60 5.45 2.1818 15.12 6.04 2.5919 16.56 6.70 3.0720 17.69 7.44 3.6421 18.92 8.26 4.3122 20.27 9.19 5.0923 21.75 10.23 6.0024 23.36 11.40 7.0825 25.13 12.72 8.3426 27.09 14.21 9.8427 29.24 15.90 11.6028 31.61 17.81 13.7029 34.24 19.98 16.1830 37.16 22.46 19.1331 40.41 25.28 22.6532 44.04 28.52 26.8733 48.09 32.23 31.9434 52.64 36.50 38.0435 57.75 41.44 45.4136 63.53 47.16 54.3637 70.01 53.80 65.2738 77.50 61.55 78.6139 85.97 70.61 95.0340 95.66 81.27 115.3141 106.81 93.85 140.5142 119.67 108.75 171.9943 134.58 126.50 211.5644 151.95 147.74 261.6045 172.28 173.28 325.3446 196.22 204.19 407.1147 224.55 241.80 512.8448 258.28 287.85 650.6749 298.71 344.63 831.9950 347.50 415.14 1072.80

a A partir de Kumbhjkar (1993)

151


2.2 Método de Meyerhof.

Meyerhof (1951,1963) propuso una ecuación de capacidad portante similar a la de Terzaghi. Las diferencias básicas entre ambas ecuaciones son las siguientes:

• Meyerhof toma en cuenta la resistencia al corte del suelo por encima de la base de la zapata, Figura 3.8 (b) (línea punteada) y Fig. 3.9.

• Asume que la superficie de falla se extiende hasta la superficie del terreno.• La ecuación de Meyerhof puede ser aplicada a fundaciones rugosas tanto superficiales

como profundas.

La principal característica de la ecuación de Meyerhof es la inclusión del factor de forma qs en el término de la profundidad, además de los factores de profundidad id y los

factores de inclinación ii para el caso en el que la carga aplicada a la zapata se halla

inclinada en un ángulo θ a partir de la vertical.Los factores N de Meyerhof fueron obtenidos haciendo ensayos en la zona abc, Fig. 3.9.

Para la cuña elástica triangular abc de la Figura, bcd es la zona de corte radial con cd siendo un arco de log-espiral. Por otro lado, bde es una zona de corte mixta donde el cortante varía entre los límites de corte radial y corte plano, dependiendo de la rugosidad y profundidad de la fundación. El plano be es denominado superficie libre equivalente y es a lo largo de este donde se producen tanto esfuerzos normales como esfuerzos de corte. Luego, al igual que en el método de Terzaghi se utiliza el método de superposición para la estimación de uq .

Realizando una analogía con la Figura 3.8, se puede indicar que el método de Meyerhof determina uq tomando en cuenta la resistencia al corte sobre el arco ad’ mientras que el

método de Terzaghi toma en cuenta la resistencia al cortante solo sobre el arco ae, Fig. 3.8.

Df

B

uq

oP oS

ba

d

c

e

θ

β

η

90 − φ90 − φ

Figura 3.9. Campos de líneas de deslizamiento para una fundación continua rugosa. Método de Meyerhoff (Das, 1999).

152

θ V

H

R

Mecánica de Suelos

La ecuación propuesta por Meyerhof, así como los factores utilizados por este autor, se presentan a continuación en la Tabla 3.4 y tienen la siguiente forma:

Tabla 3.4. Ecuación de MeyerhofEcuación de Meyerhof.

Carga vertical: γγγγ dsBN5.0dsNqdscNq qqq*

cccu ++= [3.19]

Carga inclinada: γγγγγ disBNdisNqdiscNq qqqqccccu 5.0* ++= [3.20]

+=

245tan 2tan φφπeN q

( ) φcot1−= qc NN

( ) ( )φγ 4.1tan1−= qNN

+=

245tan 2 φ

pKL

BKss

L

BKs pqpc 1.01,2.01 +==+= γ Para °≥10φ

1,2.01 ==+= γssL

Bs qc Para °=0φ

B

DKdd

B

Dd f

pqf

c 1.01,2.01 +==++ γ

22

1,90

1

−=

°−==

φθθ

γiii qc

En la Tabla 3.4 se incluyen tanto los factores de forma is como los factores de

profundidad id .

Los factores de inclinación de carga ii son determinados para cargas inclinadas que

forman un ángulo θ con la vertical y que se aplican en la dirección del ancho de la zapata.

2.3 Ecuación de Hansen.

Hansen (1970) propuso la ecuación general de capacidad de apoyo. La ecuación de Hansen es una extensión al trabajo realizado por Meyerhof, siendo la principal diferencia con las ecuaciones anteriores que:

• Hansen toma en cuenta un factor ib para considerar el efecto de una posible

inclinación de la superficie de fundación. Esta inclinación es medida respecto a la horizontal.

• Además toma en cuenta el factor ig que considera el caso en que la fundación está siendo soportada por la superficie de un talud que se halla formando un ángulo β con la horizontal.

• Al igual que la ecuación de Meyerhof, la ecuación de Hansen puede ser utilizada tanto para fundaciones superficiales como para fundaciones profundas, ya que esta incluye un factor de profundidad id .

La ecuación general de Hansen es presentada en la Tabla 3.5 (a).

153


Tabla 3.5 (a). Ecuación general de Hansen.

Ecuación de Hansen.

γγγγγγγ bgidsNBbgidsNqbgidscNq qqqqqqccccccu '5.0* ++= [3.21]

Para 0=φ( ) *

cccccuu qgbids1c14.5q +−−−+++= [3.22]

+=



( ) φγ tan15.1 −= qNN

A continuación la Tabla 3.5 (b) presenta las ecuaciones para la determinación de los factores de forma, de profundidad, de inclinación de carga, inclinación de la superficie de fundación y finalmente el factor que considera el efecto que se produce cuando una fundación es emplazada sobre un talud.

Para la utilización de la Tabla 3.5 (b) deben realizarse las siguientes consideraciones:

• Usar '' , cc ds solo para 0=φ .

• Las dimensiones efectivas de 'B y 'L son utilizadas para el caso de carga excéntrica y carga inclinada como se observa en la Figura (a). Estas dimensiones efectivas son utilizadas para el cálculo de los factores de forma pero no para el cálculo de los factores de profundidad. Cuando solo existe excentricidad en la dirección de L , el valor de de 'B en el término de γN es igual a B

• La variable ac representa la adhesión de la base y es igual a ( ) baseladeCohesión0.1a6.0 × .

• La identificación de los ángulos η y β es realizada a partir de la Figura (a)

presentada a continuación. La posición de iH ( )LB HH o puede también causar

excentricidad. Se debe notar que V es la fuerza normal a la base y no la resultante

R . Esta última resulta de la combinación de iH y V .

DV

β D=0H

γφc

B

ze

B

L H

H

B

L

B'

FA =B'Lη

Figura (a). Ecuación de Hansen - Tabla 5 (b).

154

2e

Mecánica de Suelos

BH

V

HB

V

M=H yB

MVe =

Figura (a) (Continuación). Ecuación de Hansen – Tabla 3.5 (b).

Tabla 3.5 (b). Factores para la ecuación general de Hansen,.

Ecuación de Hansen.

Factores de forma Factores de profundidad

'

'' 2.0

L

Bsc = kd c 4.0' =

'

'

0.1L

B

N

Ns

c

qc ⋅+= kd c 4.00.1 +=

0.1=cs Para continua Para 1/ ≤BDBDk /=

Para 1/ >BD( )BDradianesk /tan][ 1−=

φsenL

Bsq '

'

0.1 += ( ) ksend q21tan21 φφ −+=

Para todo φ k definido arriba.

6.04.00.1'

'

≥−=L

Bsγ

0.1=γd para todo φ

Factores de terreno Factores de base (base inclinada)

°=

147' βcg

°=

147' ηcb

°−=

1470.1

βcg

°−=

1470.1

ηcb

( )5q tan5.00.1g β−= ( )φη

γtan7.2−= eb η en radianes.

( ) 5tan5.00.1g βγ −= ( )φη tan2−= ebq

( )φηγ

tan7.2−= eb η en radianes.

155


Tabla 3.5 (b) (Continuación). Factores para la ecuación general de Hansen.

Ecuación de Hansen (Continuación).

Factores de inclinación de carga.

af

ic cA

Hi −−= 15.0'

1

cot

5.01

α

φ

+

−=af

iq cAV

Hi

1

1

−−

−=q

qqc N

iii 52 1 ≤≤ α

2

cot

7.01

α

γ φ

+

−=af

i

cAV

Hi

( ) 2

cot

450/7.01

α

γ φη

+

°°−−=

af

i

cAV

Hi

52 2 ≤≤ α

Se debe apuntar que Hansen (1970) no dio una ecuación para el cálculo de ci cuando 0>φ . La ecuación presentada en la Tabla 3.5 (b) es de Hansen (1961). Esta ecuación

también es usada por Vesic.Para la determinación del factor de inclinación ii en la ecuación de Hansen debe

tomarse en cuenta que la componente horizontal de la carga, H y la componente vertical, V son perpendiculares y paralelas, a la base respectivamente. Luego, para el caso general de carga inclinada se tiene:

• Usar iH como BH si la carga horizontal es paralela a B o iH como LH si la carga horizontal es paralela a L o ambos si existe carga horizontal en ambas direcciones.

• Cuando H es paralelo a la dimensión B , Bi HH = . Para el caso en que 0=BH , se tiene:

0.1,, ,,, =BBqBc iii γ

• Cuando H es paralelo a la dimensión L , Li HH = . Para el caso en el que 0=LH , se tiene:

0.1,, ,,, =LLqLc iii γ

Estos valores de iH son utilizados para el cálculo de los factores de inclinación a partir

de las ecuaciones de la Tabla 3.5 (b). Luego, calculados los factores de inclinación, los factores de forma son calculados a través de las ecuaciones que se presentan en la Tabla 3.6.

Determinados los factores de forma, estos deben ser reemplazados en la ecuación de capacidad portante de Hansen, que adaptada para la aplicación de una carga inclinada, tiene la siguiente forma:

156

Mecánica de Suelos

γγγγγγγ bgidsN'B5.0bgidsNqbgidscNq B,B,qqB,qqB,qq*

ccB,ccB,ccu ++=

ó [3.21a]

γγγγγγγ bgidsN'L5.0bgidsNqbgidscNq L,L,qqL,qqL,qq*

ccL,ccL,ccu ++=

Finalmente el valor de uq es el menor de entre los dos valores obtenidos de la ecuación

[3.21a].

Tabla 3.6. Factores de forma de Hansen para el caso general de carga inclinada.

Factores de Hansen para el caso general de carga inclinada.

LiBs BcBc /2.0 ,', = BiLs LcLc /2.0 ,

', =

'

,'

, 0.1L

iB

N

Ns Bc

c

qBc ⋅+=

'

,'

, 0.1B

iL

N

Ns Lc

c

qLc ⋅+=

',

', /0.1 LiBsens BqBq ⋅+= φ '

,'

, /0.1 BiLsens LqLq ⋅+= φ

LBB iLiBs ,'

,'

, /4.00.1 γγγ −= BLB iBiLs ,'

,'

, /4.00.1 γγγ −=:0=φPara

LiBs BcBc /2.0 ,', = BiLs LcLc /2.0 ,

', =

Nota.-El valor de is ,γ debe ser mayor o igual a 6.0 , es decir, 6.0, ≥isγ .

Si este valor es menor a 6.0 entonces usar 6.0 .

2.4 Método de Vesic.

La ecuación propuesta por Vesic (1973) es esencialmente igual a la dada por el método de Hansen (1961), salvo la introducción de algunos cambios que se especifican a continuación:

• El término γN tiene una ecuación ligeramente diferente.

• Los factores de inclinación de carga ii , inclinación de la superficie de fundación ib

y el factor de fundación emplazada sobre un talud ig son calculados de manera

diferente.

La ecuación de Vesic, juntamente con sus correspondientes factores son presentados en la Tabla 3.7 (a). La Tabla 3.7 (b) presenta también las ecuaciones propuestas por Vesic para la determinación de los factores de inclinación de carga, inclinación de la superficie de fundación y finalmente el factor que considera el efecto que se produce cuando una fundación es emplazada sobre un talud.

Las consideraciones hechas para el uso de estas ecuaciones son las mismas realizadas en el método de Hansen, salvo que Vesic a diferencia de Hansen, para el caso de carga inclinada, no toma en cuenta en la determinación de los nuevos factores de forma a los factores de inclinación.

Para Vesic el exponente m incluye la inclinación de la carga. La ecuación de Vesic no es adaptada para el caso de carga inclinada, y en esta, para este caso, el valor de 'B en el

157


término de γN es igual a la menor dimensión lateral real, incluso cuando Li HH = .

Por otro lado, cuando Bi HH = , entonces Bmm = . Luego, Lmm = cuando

Li HH = . En caso de que 0H B ≠ y 0H L ≠ , usar 2L

2B mmm += . Recordar que deben

usarse las dimensiones de B y L , y no así las dimensiones de 'B y 'L .Para el caso de carga excéntrica e inclinada usar 'B y 'L , en la determinación de los

factores de forma.Finalmente cuando 0=φ y 0≠β ; usar ( )βγ ±−= sen2N

Tabla 3.7 (a). Ecuación general de Vesic.Ecuación de Vesic.

γγγγγγγ bgidsNBbgidsNqbgidscNq qqqqqqccccccu '5.0* ++= [3.23]

+=



( ) φγ tan12 += qNN

Tabla 3.7 (b). Factores para la ecuación general de Vesic.Ecuación de Vesic.

Factores de forma Factores de profundidad

'L

'B

N

N0.1s

c

qc ⋅+= kd c 4.00.1 +=

0.1=cs Para continua Para 1/ ≤BDBDk /=

Para 1/ >BD( )BDradianesk /tan][ 1−=

φtanL

B0.1s

'

'

q += ( ) ksend q21tan21 φφ −+=

Para todo φ k definido arriba.

6.04.00.1'

'

≥−=L

Bsγ

0.1=γd para todo φ

Factores de terreno Factores de base (base inclinada)

14.5g '

c

β= ( )0=φ 'c

'c gb = ( )0=φ

β en radianes

φtan14.5

i1ig q

qc

−−= φ

βtan14.5

20.1bc −=

( ) 2q tan0.1gg βγ −== ( ) 2

q tan0.1bb φηγ −==

Tabla 3.7 (b) (Continuación). Factores para la ecuación general de Vesic.Ecuación de Vesic (Continuación).

158

Mecánica de Suelos

Factores de inclinación de carga.

caf

i'c NcA

mH1i −=

1

1

−−

−=q

qqc N

iii

0=φ 0=φ

m

af

iq cotcAV

H0.1i

+

−=φ

1m

af

i

cotcAV

H0.1i

+

+

−=φγ

LB1

LB2mm B +

+==

BL1

BL2mm L +

+==

3 Criterio para la elección de la ecuación utilizada para la determinación de la capacidad de apoyo.

Una buena elección de un valor adecuado de la capacidad de apoyo de un suelo sería realizada en función a ensayos de zapatas construidas a escala real; sin embargo el realizar este tipo de ensayos es muy complicado debido al alto costo de inversión para su realización y también a la poca disponibilidad del equipo necesario para su ejecución.

A lo largo del tiempo se han logrado registrar muy pocos datos a cerca de este tipo de ensayos, por tanto no se cuenta con valores que podrían ayudar sustancialmente a la elección adecuada de la ecuación a utilizar.

La Tabla 3.8 es un resumen de ocho ensayos de carga realizados por Milovic y Muhs (1965); en cada uno de los cuales se determinó la capacidad de apoyo del suelo. En la parte inferior de la Tabla se observa los valores de capacidad de apoyo obtenidos a partir de las ecuaciones desarrolladas anteriormente, es decir, Terzaghi, Meyerhof., Hansen y Vesic.

Realizadas las comparaciones, se puede decir, que el método de Terzaghi, que fue el primer método propuesto, es de fácil uso, da buenos resultados siendo su mayor desventaja la de no poder ser aplicado para el caso de fuerzas o superficies inclinadas así como también para el caso donde existe momentos o fuerzas horizontales.

Los métodos de Meyerhof y Hansen son también ampliamente usados dando resultados muy parecidos, mientras que el método de Vesic es algo menos utilizado.

Bowles (1988) sugiere para la elección de ecuaciones el criterio escrito en la Tabla 3.9.Sin embargo, por lo general, es buena práctica usar al menos dos métodos y comparar los

resultados obtenidos con cada método. Si los valores obtenidos son muy diferentes se aconseja utilizar un tercer método. Otra buena práctica es utilizar un valor promedio de los valores obtenidos.

159


MétodoCapacidad de Apoyo

D = 0.0 m 0,5 0,5 0,5 0,4 0,5 0,0 0,3B = 0.5 m 0,5 0,5 1,0 0,71 0,71 0,71 0,71L = 2.0 m 2,0 2,0 1,0 0,71 0,71 0,71 0,71

γ = 15.7 kN/m3 16,38 17,06 17,06 17,65 17,65 17,06 17,06φ = 37° 35.5° 38.5° 38,5 22 25 20 20c = 6.37 kPa 3,92 7,8 7,8 12,75 14,7 9,8 9,8

Milovic (ensayos) qult [kg/cm2] = 4,1 5,5 2,2 2,6

Muhs (ensayos) qult [kg/cm2] =10.8 12,2 24,2 33

Terzaghi qult =9.4* 9,2 22,9 19,7 4.3* 6.5* 2,5 2.9*Meyerhof 8.2* 10,3 26,4 28,4 4,8 7,6 2,3 3Hansen 7,2 9,8 23.7* 23,4 5 8 2.2* 3,1Vesic 8,1 10.4* 25,1 24,7 5,1 8,2 2,3 3,2Balla 14 15,3 35,8 33.0* 6 9,2 2,6 3,8

Notas: 1. φ = Valor triaxial 2. γ,c convertidos a las unidades dadas en la Tabla. 3. * el método más aproximado.

Número de ensayo

5 6 7 81 2 3 4

Tabla3.8. Comparación de valores de capacidad de apoyo obtenidos mediante métodos semi- empíricos y valores experimentales de capacidad de apoyo obtenidos por Milovic (1965) y recalculados por Bowles (1993) (Bowles, 1998).

160

Mecánica de Suelos

Tabla 3.9. Criterio para la elección de ecuaciones. Ecuación Mejor para:

Terzaghi Suelos muy cohesivos donde 1/ ≤BD f sobre todo cuando se quiere una

estimación rápida de qu. No debe ser usada para casos en que se presenten zapatas sometidas a momentos o fuerzas horizontales, o para zapatas fundadas en bases inclinadas o en la superficie de un talud.

Hansen,Meyerhof y Vesic Puede ser usada en cualquier situación dependiendo la familiaridad que

tenga el usuario con cualquiera de los métodos.

Hansen y Vesic Cuando la zapata es fundada en una base inclinada o en la superficie de un

talud; o cuando 1/ >BD f

4. Elección de parámetros de resistencia.

4.1 Condiciones drenadas.

Todas las ecuaciones desarrolladas anteriormente consideran que el nivel freático esta situado debajo de la superficie de falla que se produce en el suelo de fundación.

Cuando el nivel freático se encuentra cerca del nivel de fundación, en la ecuación de capacidad de apoyo deben realizarse correcciones por efecto del nivel freático. Estas correcciones deben ser realizadas sólo cuando se trabaja en condiciones drenadas. Tanto la condición drenada como la condición no drenada fueron definidas al inicio del presente Capítulo.

De acuerdo a la Figura 3.10, y considerando que el nivel freático se halla ubicado a una distancia d de la superficie; la corrección por efecto del nivel freático es realizada en los siguientes casos:

Caso I.- 0=dPara 0=d , el peso unitario del suelo debe ser cambiado por el peso unitario efectivo

del suelo 'γ . Donde:

wsat γγγ −=' [3.24]

Donde:=satγ Peso unitario del suelo saturado.=wγ Peso unitario del agua.

Luego, la sobrecarga *q será igual a f* D'q γ= ; y para el término que contiene a γN ,

γ será cambiado por 'γ .

Caso II.- fDd ≤<0

Para este caso, la sobrecarga será igual a ( ) 'dDdq f* γγ −+= ; y el valor de γ

asociado al término que contiene a γN será cambiado por el valor de 'γ .

161


Peso unitario efectivo =

Nivel freático

Peso unitario =

B

Df

dγ

γ '

Figura 3.10.Efecto del nivel freático en la capacidad última de apoyo (Das, 1999).

Caso III.- BdD f ≤<

En este caso el nivel freático se halla ubicado en o debajo, hasta una distancia B, del nivel de fundación. Cuando se cumpla esta condición la sobrecarga será igual a f

* Dq γ= , y

el valor de γ asociado a γN será reemplazado por el valor de γ.

( )'' γγγγ −

−+=

B

Dd f[3.25]

Caso IV.- BDd f +>

Para BDd f +> , tanto el valor de sobrecarga como el valor de γ en el último término

permanecen iguales; es decir; el nivel freático no tiene influencia sobre la capacidad de apoyo para esta condición.

4.2 Condición no drenada.

Para esta condición no es necesario realizar la corrección por efecto del nivel freático, ya que en esta, se trabaja con parámetros de esfuerzos totales.

Esta condición se presenta a corto plazo en depósitos de suelos de baja permeabilidad, es decir, la condición no drenada es aquella que se presenta a corto plazo cuando un estrato de arcilla es sometido a una carga.

En suelos cohesivos, la condición crítica, es la condición no drenada o condición a corto plazo.

5. Capacidad de apoyo para una fundación rectangular cuando la carga es aplicada en un lugar distinto al centroide.

Una carga aplicada en un lugar distinto al centroide es una carga excéntrica. Para la determinación de la capacidad de apoyo originada por la aplicación de una carga excéntrica existen distintos métodos. A continuación se desarrollan algunos de ellos.

162

Mecánica de Suelos

5.1 Método de Meyerhof.

Las cargas excéntricas en fundaciones superficiales ocurren cuando una carga vertical P es aplicada fuera del centro de gravedad de la fundación, o cuando la fundación es sometida a una carga céntrica P y a un momento M , Fig. 3.11.

Para el caso en que se presentan este tipo de cargas, se puede realizar una extensión al método de Meyerhof que inicialmente fue desarrollado para cargas céntricas. De acuerdo a este método las excentricidades de carga están dadas por:

P

Me B

L = [3.26]

P

Me L

B = [3.26]

Donde:=BL ee , Excentricidades de carga, en dirección del eje largo y corto de la

fundación, respectivamente.=BL MM , Componentes de momento en el largo y corto de la fundación,

respectivamente.

P

B

LLe

Be

Fundación sometida a una carga excéntrica P.

P

M

B

PL

eL

Be

Fundación sometida a una carga céntrica P y a un momento M.Figura 3.11. Carga excéntrica en una fundación rectangular

163


A partir de la ecuación [3.20], se tiene:

γγγγγ idsNBidsNqidscNq qqqqccccu '5.0* ++= [3.27]

Donde:='B Ancho efectivo.

Luego, el área efectiva es:''' LBA = [3.28]

Donde:='L Largo efectivo='A Área efectiva.

El área efectiva se define como el área mínima de contacto de la fundación, de tal modo que la carga resulte aplicada en el centroide o centro de gravedad del área efectiva 'A .

El método de Meyerhof, considera solamente el caso de excentricidad en una dirección, Fig. 3.11 (a). Luego, para 0=Le , se tiene:

'L'B'A

L'L;e2B'B B

==−=

[3.29]Sin embargo, si 0=Be , de manera similar al caso anterior, el área efectiva es:

'L'BA

e2L'L;B'B'

L

=

−==

[3.30]Para este último caso, en la ecuación [3.30] el valor del ancho efectivo 'B es el menor

entre el valor de B y ( )LeL 2− .

En la ecuación [3.27], la determinación de los factores de forma γs,s,s qc es realizada

a partir de las ecuaciones de la Tabla 3.10. En estas ecuaciones las dimensiones de B y L deben ser reemplazadas por el ancho efectivo 'B o el largo efectivo 'L respectivamente.

Para la determinación de los factores de profundidad γddd qc ,, utilizar las ecuaciones

de la Tabla 3.10. En estas ecuaciones el valor de B no es reemplazado por el valor del ancho efectivo 'B .

L = L'

P

B

LeL

L-2eL

B'

eB

P

B

Figura 3.11(a). Excentricidad de carga en una dirección para una fundación rectangular.

164

Mecánica de Suelos

5.2 Método de Prakash y Saran.

Prakash y Saran basándose en los resultados de sus modelos ensayados, sugieren para la determinación de la capacidad última de apoyo utilizar la ecuación [3.31]. Esta ecuación es utilizada solamente para el caso de excentricidad en una dirección, Fig. 3.11(a), y tiene la siguiente forma:

)e()e(qq*

)e(ccu sNB5.0sNqscNq γγγ++= [3.31]

Debe notarse que la ecuación [3.31] no contiene factores de profundidad.Las relaciones a utilizarse para los factores de forma, son las siguientes:

2

)( 2

343.068.0

20.1

−+

−+=

L

B

L

e

L

B

B

es BB

eγ [3.32]

1)( =eqs [3.33]

+=

L

Bs ec 2.01)( [3.34]

5.3 Método de Highter y Anders.

Highter y Anders desarrollaron cuatro posibles casos para la determinación de la capacidad última de apoyo. En todos estos casos existe excentricidad en las dos direcciones, es decir:

0;0 ≠≠ BL ee . Los casos mencionados se presentan a continuación:

Caso I.- 6/1/6/1/ ≥≥ BeyLe BL

Este caso es observado en la Figura 3.12. Para este, se debe calcular:

−=

B

eBB B3

5.11 [3.35]

−=

L

eBL L3

5.11 [3.36]

Luego, el área efectiva es:

112

1' LBA = [3.37]

Nuevamente el ancho efectivo es el menor valor entre 1B y 1L .

Caso II.- 6/1/5.0/ <≥ BeyLe BL

Este caso es observado en la Figura 3.13. Una vez que se conocen los valores de BeyLe BL // , los valores de 21 LyL pueden ser obtenidos a partir de las gráficas de las

Figuras 3.14 y 3.15.El área efectiva es:

( )BLLA 212

1' += [3.38]

165


El largo efectivo es el mayor valor entre 21 LyL . Luego, el ancho efectivo es:

'

''

L

AB = [3.39]

L

B

P

eB

eL L1

B1

Figura 3.12. Área efectiva para el caso de 6/1/6/1/ ≥≥ BeyLe BL (Das, 1999).

L

B

P

Be

eL 1L

L2

Figura 3.13. Área efectiva para el caso de 6/1/5.0/ <≥ BeyLe BL , (Das, 1999).

Caso III.- 5.0/6/1/ << BeyLe BL

En la Figura 3.16 se observa este caso. De la misma manera que en el caso anterior conocidas las magnitudes de BeyLe BL // , los valores de 21 ByB pueden ser obtenidos

de las gráficas de las Figuras 3.17 y 3.18.El área efectiva es:

( )LBBA 212

1' += [3.40]

166

Mecánica de Suelos

El largo efectivo es:LL ='

[3.41]Finalmente, el ancho efectivo es:

L

AB

''= [3.42]

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.10

0.08

0.167

0.06

0.04

0.02

0.01

e /L L

L /L1

e /B =B

Figura 3.14. Gráfica de LLvsLeL // 1 para 6/1/5.0/ <≥ BeyLe BL (Das, 1999).

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.167

0.12 0.10 0.080.06 0.04

0.03

0.020.01

L /L2

e /L

L

e /B =B

167


Figura 3.15. Gráfica de LLvsLeL // 2 para 6/1/5.0/ <≥ BeyLe BL (Das, 1999).

168

Mecánica de Suelos

PBe

eL

L

B

B

B2

1

Figura 3.16. Área efectiva para el caso de 5.0/6/1/ << BeyLe BL (Das, 1999).

B /B0

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

e /B

0

0.1

0.2

B

0.3

0.4

0.5

e /L =L

0.01

0.02

0.04

0.06

0.167

0.080.10

Figura 3.17. Gráfica de BBvsBeB // 1 para 5.0/6/1/ << BeyLe BL (Das, 1999).

Caso IV.- 6/1/6/1/ << BeyLe BL

Este caso de excentricidad es mostrado en la Figura 3.19. Conocidos los valores de BeyLe BL // los valores de 22 LyB pueden ser obtenidos a través de las Figuras 3.20 y

3.21 respectivamente.Luego, el área efectiva es:

( ) ( )2

' 22 LLBBBLA

−−−= [3.43]

169


En este caso LL =' y '

''

L

AB = .

Finalmente el valor de 'B que es obtenido a partir de la solución de cualquiera de los cuatro casos anteriores, es reemplazado en la ecuación [3.27]. Los factores de forma y profundidad son determinados a partir de la Tabla 3.10, mientras que el valor de los factores de capacidad de carga es hallado a partir de la Tabla 3.11.

0.167

0.140.12

0.10 0.080.06

0.04

0.020.01

Be /B

B /B2

e /L=L

1.00 0.2 0.4 0.6 0.80

0.1

0.5

0.2

0.3

0.4

Figura 3.18. Gráfica de BBvsBeB // 2 para 5.0/6/1/ << BeyLe BL (Das, 1999).

P

B

L

eB

eL

B2

L2

Figura 3.19. Área efectiva para el caso de 6/1/6/1/ << BeyLe BL (Das, 1999).

170

Mecánica de Suelos

0.20

0.15

0.10

0.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.04

0.06

0.08

0.10

0.140.12

0.16

0.02

e /B B

e /L=L

B /B2

Figura 3.20. Gráfica de BBvsBeB // 2 para 6/1/6/1/ << BeyLe BL (Das, 1999).

0.20

0.05

0.10

0.15

00 0.8 1.00.2 0.60.4

0.02e /L=L

L /L2

e /B B

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

Figura 3.21. Gráfica de LLvsBeB // 2 para 6/1/6/1/ << BeyLe BL (Das, 1999).

171


Tabla 3.10. Factores de forma, profundidad e inclinación recomendados por Das (2001) para la determinación de la capacidad de apoyo para una fundación rectangular cuando la carga es aplicada en un lugar distinto al centroide.

Factor Relación Fuente

Formaa

c

qc N

N

L

Bs +=1

(1970)Hansen

(1970)Beer De

φtan1L

Bsq +=

L

Bs 4.01 −=γ

( )BL >

Profundidadb Para 1/ ≤BD f Hansen (1970)

B

Dd

fc 4.01 +=

( )

−+= −

B

Dsend

fq

12 tan1tan21 φφ

1=γd

Para 1/ ≤BD f

Inclinación2

901

°°−== θ

qc ii

(1981) Meyerhofy Hanna

(1963); Meyerhof

2

1

°°−=

φθ

γi

Donde:=θ Inclinación de la carga respecto de la vertical

a Relaciones empíricas basadas en numerosas pruebas de laboratorio.b El factor tan-1 ( )BD f / está en radianes.

172

φ Nc Nq Nγ Nq/Nc

0 5.14 1 0 0.21 5.38 1.09 0.07 0.22 5.63 1.2 0.15 0.213 5.9 1.31 0.24 0.224 6.19 1.43 0.34 0.235 6.49 1.57 0.45 0.246 6.81 1.72 0.57 0.257 7.16 1.88 0.71 0.268 7.53 2.06 0.86 0.279 7.92 2.25 1.03 0.28

10 8.35 2.47 1.22 0.311 8.8 2.71 1.44 0.3112 9.28 2.97 1.69 0.3213 9.81 3.26 1.97 0.3314 10.37 3.59 2.29 0.3515 10.98 3.94 2.65 0.3616 11.63 4.34 3.06 0.3717 12.34 4.77 3.53 0.3918 13.1 5.26 4.07 0.419 13.93 5.8 4.68 0.4220 14.83 6.4 5.39 0.4321 15.82 7.07 6.2 0.4522 16.88 7.82 7.13 0.4623 18.05 8.66 8.2 0.4824 19.32 9.6 9.44 0.525 20.72 10.66 10.88 0.5126 22.25 11.85 12.54 0.5327 23.94 13.2 14.47 0.5528 25.8 14.72 16.72 0.5729 27.86 16.44 19.34 0.5930 30.14 18.4 22.4 6131 32.67 20.63 25.99 0.6332 35.49 23.18 30.22 0.6533 38.64 26.09 35.19 0.6834 42.16 29.44 41.06 0.735 46.12 33.3 48.03 0.7236 50.59 37.75 56.31 0.7537 55.63 42.92 66.19 0.7738 61.35 48.93 78.03 0.839 67.87 55.96 92.25 0.8240 75.31 64.2 109.41 0.8541 83.86 73.9 130.22 0.8842 93.71 85.38 155.55 0.9143 105.11 99.02 186.54 0.9444 118.37 115.31 224.64 0.9745 133.88 134.88 271.76 1.0146 152.1 158.51 330.35 1.0447 173.64 187.21 403.67 1.0848 199.26 222.31 496.01 1.1249 229.93 265.51 613.16 1.1550 266.89 319.07 762.89 1.2

a Según Vesic (1973)

Mecánica de Suelos

Tabla 3.11. Factores de capacidad de carga recomendados por Das (2001).

173


5.4 Método de Hansen y Vesic.

Hansen y Vesic también consideran el caso de aplicación de carga excéntrica. Los detalles de este procedimiento ya fueron desarrollados en los apartados 2.3 y2.4.

6. Capacidad última de apoyo en un suelo estratificado.

6.1. Estrato de suelo fuerte sobre estrato de suelo débil.

Meyerhof y Hanna desarrollaron una teoría para estimar la capacidad última de apoyo de una fundación continua rugosa que se halla fundada sobre un estrato de suelo duro el que a su vez se halla descansando sobre un estrato de suelo débil. De acuerdo a su teoría, una vez que se alcanza la capacidad última de apoyo qu, la forma de la superficie de falla depende de la relación de BH / , Fig. 3.22. Pueden presentarse los siguientes casos:

• Si el valor de la profundidad H es relativamente pequeño comparado con el ancho de la fundación B , la superficie de falla tiene la forma mostrada en la Figura 3.22.En ésta, el estrato fuerte presentará una falla al corte por punzonamiento, mientras que el estrato débil tendrá una falla al corte general.Luego, la capacidad última de apoyo, considerando un largo unitario de una

fundación continua, es:( )

HB

senPCqq pa

bu 1

2γ

δ−

++= [3.44]

Donde:=B Ancho de la fundación=1γ Peso unitario del estrato fuerte=aC Fuerza adhesiva a lo largo de aa’ y bb’.=pP Fuerza adhesiva en las caras aa’ y bb’=bq Capacidad de apoyo del estrato inferior.

=δ Inclinación respecto de la horizontal de la fuerza pasiva pP .

De la ecuación [3.44]:HcC aa = [3.45]

Donde:=ac Adhesión unitaria.

+=

δγ

cos

21

2

1 21

pHfp

K

H

DHP [3.46]

Donde: =pHK Componente horizontal del coeficiente de presión pasiva del terreno.

( ) )2(2)2(1)2(2 2

1γγγ BNNHDNcq qfcb +++= [3.47]

El subíndice 2 de la ecuación [3.47] se refiere a todas las características del estrato inferior, es decir, del estrato débil.

174

Mecánica de Suelos

P

Ca Ca

uq

a b

a' b'

Suelo fuerte

δ

Ppp

1

1c1

2c

Suelo débil

2

2

B

D f

H

Figura 3.22. Fundación rugosa continua sobre un suelo estratificado; suelo fuerte sobre suelo débil (Das, 1999).

Combinando las ecuaciones [3.44], [3.45], y [3.46], se tiene.

HB

K

H

DH

B

Hcqq pHfa

bu 12

1

tan21

2 γδ

γ −

+++= [3.48]

Y sea:1tantan φδ spH KK =

[3.48a]Donde:

=sK Coeficiente de corte por punzonamiento.

Luego:

HB

K

H

DH

B

Hcqq sfa

bu 112

1

tan21

2 γφγ −

+++= [3.49]

El coeficiente de corte por punzonamiento puede ser estimado a través de la gráfica propuesta por Caquot y Kerisel, Fig. 3.23. Esta gráfica presenta la variación de sK con

12 / qq y 1φ ; siendo 1q y 2q son las capacidades últimas de apoyo del estrato

superior e inferior respectivamente, teniendo en cuenta que se considera una fundación continua de ancho B sometida a una carga vertical.

Los valores de 1q y 2q son obtenidos a partir de las siguientes ecuaciones:

)1(1)1(11 2

1γγ BNNcq c +=

)2(2)2(22 2

1γγ BNNcq c +=

175

20 30 40 50

0

0.20.4

q /q =1.0

0

10

20

30

40

Ks

(grados)φ1

2 1


Donde:=)2()2()1()1( ,,, γγ NNNN cc Factores de capacidad de apoyo

correspondientes a 21 φφ y respectivamente, Tabla 3.11.

Figura 3.23. Análisis de Hanna y Meyerhof – para el coeficiente de corte por punzonamiento para el caso de suelo fuerte sobre suelo débil.

• Si el valor de la profundidad H es relativamente grande comparada con el ancho de la fundación B , entonces la forma de la superficie de falla es la mostrada en la Figura 3.24. En esta Figura se observa que la falla se localiza solo en el estrato superior sin afectar al estrato inferior. En tal caso, la capacidad última es:

)1(1)1()1(1 2

1γγ BNNqNcqq qoctu ++== [3.50]

Combinando las ecuaciones [3.49] y [3.50], se tiene:

tsfa

bu qHB

K

H

DH

B

Hcqq ≤−

+++= 1

121

tan21

2 γφγ [3.51]

La ecuación [3.51] puede ser extendida para fundaciones rectangulares. Para este caso, la ecuación es rescrita de la siguiente forma:

tsfa

bu qHB

K

H

DH

L

B

B

Hc

L

Bqq ≤−

+

++

++= 1

121

tan211

21 γφγ

[3.52]Donde:

176

Mecánica de Suelos

( ) )2()2(2)2()2(1)2()2(2 2

1γγγγ sBNsNHDsNcq qqfccb +++=

[3.53]

( ) )1()1(1)1()1(1)1()1(1 2

1γγγγ sBNsNDsNcq qqfcct ++=

[3.54]Los subíndices 1 y 2 representan a las características del estrato superior e inferior

respectivamente.

Suelo fuerteγφ

Suelo débil

1

c1

1

φc2

2

γ2

B

Df

H

qu

Figura 3.24. Fundación rugosa continua sobre un suelo estratificado; suelo fuerte sobre suelo débil cuando H es relativamente grande en comparación a B (Das, 1999).

Las ecuaciones [3.52], [3.53] y [3.54] son las ecuaciones generales para estimar la capacidad última de apoyo en suelos estratificados. En todas las ecuaciones anteriores los factores de capacidad de apoyo son determinados a partir de la Tabla 3.11, mientras que los factores de forma son determinados a partir de las relaciones de la Tabla 3.10.

A partir de estas ecuaciones pueden desarrollares algunos casos especiales; estos se presentan a continuación:

Caso I: Estrato de arena fuerte sobre un estrato de arcilla saturada débil ( 02 =φ )

Para este caso se tiene 01 =c , por tanto 0=ac . También para 02 =φ , 14.5)2( =cN ,

0)2( =γN , 1)2( =qN , ( )LBsc /2.01)2( += , 1)2( =qs . Luego:

tfsf

u qDB

K

H

DH

L

B

L

Bcq ≤+

+

++

+= 1

1212

tan2112.0114.5 γφγ

[3.55]

177


)1()1(1)1()1(1 2

1γγγγ sBNsNDq qqft += [3.56]

Para la ecuación [3.56] los factores de forma a utilizarse son los de la Tabla 3.10; mientras que el valor de sK es una función de 12 / qq . Para este caso:

)1(1

2

)1(1

)2(2

1

2

5.0

14.5

2

1 γγ

γγ BN

c

BN

Nc

q

q c ==[3.57]

Una vez que 12 / qq es conocido, el valor de sK puede ser obtenido a través de la

Figura 3.23, y puede ser usado en la ecuación [3.55] para determinar el valor de uq .

Otra alternativa para la estimación de sK es el uso de las gráficas propuestas por

Hanna y Meyerhof, Fig. 3.25 y 3.26. La manera de usar las gráficas es la siguiente:

1. Determinar 12 / qq .

2. Con los valores conocidos de 1φ y 12 / qq , determinar el valor de 1/φδ de la

Figura 3.25.3. Con 1/φδ , 1φ y 2c ; estimar sK de la Figura.3.26.

0 0.2 0.4 0.80.6 1.00

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1δ/

φ

2 1q /q

1φ = 50° 40° 30°

Figura 3.25. Análisis de Hanna y Meyerhof – variación de 1/φδ con 12 / qq y con

1φ para el caso de arena fuerte sobre arcilla débil (Das, 1999).

178

Mecánica de Suelos

10 15 20 25 30 355

0.3

0.4

0.5

0.7

0.6

0

10

20

30

40

50

1δ/φ =0.8

c2 (kN/m )2

K s

(a)

5 10 302015 25 35

30

0

10

20

0.3

0.40.5

0.6

0.7

δ/φ =0.81

(kN/m )2c 2

Ks

(b)

0

10

20

105 2515 20 30 35

0.30.4

0.5

0.70.6

δ/φ =0.81

(kN/m )c22

Ks

(c)Figura 3.26. Análisis de Hanna y Meyerhof – para el coeficiente de corte por

punzonamiento para el caso de arena fuerte sobre arcilla débil (a) °= 501φ , (b) °= 451φ ,

(c) °= 401φ (Das, 1999).

179


Caso II. Estrato de arena fuerte sobre estrato de arena débil.

Para este caso 0y0 21 == cc , así, según la ecuación [3.51]:

tssf

bu qHsB

K

H

DH

L

Bqq ≤−

+

++= 1

121

tan211 γφγ [3.58]

Donde:

( ) )2()2(2)2()2(1 2

1γγγγ sBNsNHDq qqfb ++=

[3.59]

)1()1(1)1()1(1 2

1γγγγ sBNsNDq qqft +=

[3.60]Donde:

=)2()2()1()1( ,,, γγ NNNN qq Factores de capacidad de carga del estrato

superior e inferior respectivamente, Tabla 3.11.=)2()2()1()1( ,,, γγ ssss qq Factores de forma del estrato superior e inferior

respectivamente, Tabla 3.10.

Das (1999) aconseja que para diseños más conservadores la relación de LB / puede ser tomada como uno. Para este caso:

)1(1

)2(2

1

2

5.0

5.0

γ

γ

γγ

BN

BN

q

q = [3.63]

Una vez que 12 / qq ha sido determinado el valor de sK puede ser determinado de la

gráfica de la Figura 3.23.

Hanna también desarrolló una gráfica para la determinación del coeficiente de corte por punzonamiento sK considerando que la variación de δ para la superficie de falla asumida

en el estrato superior de arena es la mostrada en la Figura 3.27, o:2

2 'azz += ηφδ [3.64]

Donde:

2

21

21

1

2

H

q

q

a

q

q

φφ

η

−

=

=

[3.65]

Luego:

( ) 22

1

212

1

2 zHq

q

q

qz −

−+

= φφφδ [3.66]

Donde zδ es el ángulo de inclinación de la presión pasiva respecto de la horizontal,

medido a una profundidad z debajo de la fundación. Luego, la fuerza pasiva por unidad de longitud en la superficie vertical aa’ es:

180

Mecánica de Suelos

( )dzDzK

P f

H

z

zpHp +

= ∫

0

)(1

cosδγ

[3.67]Donde:

=)( zpHK Componente horizontal del coeficiente de presión pasiva del terreno

medida a una profundidad z por debajo de la fundación.

z

z'

Arena

2

2

H

δ

B

fDqu

a b Arena

1

1

a'pP b'

(a)

1

H

2

z'

n

(b)Figura 3.27. Suposición de Hanna de la variación de δ con la profundidad en la

determinación de sK .

Para estimar el valor de sK se necesita saber un valor promedio de zδ . Para obtener

este valor promedio se deben seguir los siguientes pasos:1. Asumir un valor promedio de zδ y obtener el valor de pHK

181


2. Calcular pP de la ecuación [3.46] usando los valores obtenidos de zδ y pHK .

3. Repetir los pasos 1 y 2 hasta que el valor obtenido a través de la ecuación [3.46] sea el mismo que el obtenido por la ecuación [3.67].

4. El valor de zδ para el cual las ecuaciones [3.46] y [3.67] dan el mismo valor, es el

valor reemplazado en la ecuación [3.48a] para determinar sK .

El valor de sK puede ser también determinado por medio de la gráfica de la Figura

3.28, en la cual el valor de 1φ es estimado a través del valor de zδ . Luego, teniendo el

valor de 1φ y 2φ , el valor de sK es obtenido a través de la Figura 3.29.

20 25 30 40 45 50350.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1φ =25° 30° 35° 40° 50°45°

1δ/

φ

2φ (deg)

Figura 3.28. Análisis de Hanna – variación de 1/φδ (Das, 1999).

Caso III. Estrato de arcilla fuerte 01 =φ sobre estrato de arcilla débil 02 =φ .

Para este caso 1)2()1( == qq NN y 0)2()1( == γγ NN . También 14.5)2()1( == cc NN . Luego la ecuación [3.52] se convierte en:

tfa

u qDB

Hc

L

Bc

L

Bq ≤+

++

+= 12

2114.52.01 γ [3.68]

Donde:

ft DcL

Bq 1114.52.01 γ+

+= [3.69]

La magnitud de la adhesión ac es una función de 12 / qq . Para este caso:

182

Mecánica de Suelos

1

2

1

2

)1(1

)2(2

1

2

14.5

14.5

c

c

c

c

Nc

Nc

q

q

c

c === [3.70]

La Figura 3.30 muestra la variación teórica de ac con 12 / cc .

20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

30° 35°

40°

45°

47.7°

1φ =50°

φ 2 (deg)

Ks

Figura 3.29. Análisis de Hanna – para una arena fuerte sobre una arena débil (Das, 1999)

1.00.80.20 0.4 0.60.6

0.7

0.8

0.9

1.0

c /c a

1

c /c2 1

Figura 3.30. Análisis de Hanna y Meyerhof para la variación de 1a c/c con 12 c/c .

183


6.2 Estrato de suelo débil sobre estrato de suelo fuerte.

Generalmente cuando una fundación superficial se sitúa sobre un estrato de suelo débil que se encuentra a su vez sobre un estrato de suelo fuerte la superficie de falla que ocurre en el suelo debido a la fundación cargada abarcará a los dos estratos, Figura 3.31 (a) – lado izquierdo.

Sin embargo cuando la relación BH / es lo suficientemente grande la superficie de falla a producirse cuando se alcance uq se localizará solamente en el estrato débil, Figura

3.31 (a) - lado derecho.

(a)

qb

q t

qu

D/B

H/B

(b)Figura 3.31. (a)Fundación emplazada en un estrato de suelo débil que se encuentra

sobre un estrato de suelo fuerte. (b) Variación natural de uq con BH / (Das, 1999).

184

1φc

1

Suelo débil γ

1

2c2

2γφ

Suelo fuerte

Suelo fuerte

φc2

2

γ2

Df

HB

H

D

Mecánica de Suelos

Para estimar el asentamiento en este tipo de fundaciones Meyerhof y Hanna & Meyerhof proponen la siguiente relación semi-empírica:

( ) ttbtu qD

Hqqqq ≥

−−+=

2

1 [3.71]

Donde:=D Profundidad de la superficie de falla debajo del nivel de fundación

considerando un estrato superior de espesor grande.=tq Capacidad última de apoyo del estrato superior de espesor grande.=bq Capacidad última de apoyo del estrato inferior de espesor grande.

Así:

)1()1(1)1()1(1)1()1(1 2

1γγγγ sBNsNDsNcq qqfcct ++=

[3.72]

)2()2(2)2()2(2)2()2(2 2

1γγγγ sBNsNDsNcq qqfccb ++=

[3.73]Las ecuaciones [3.71], [3.72] y [3.73] indican implícitamente que el límite máximo y

mínimo de uq es bq y tq , Fig. 3.31 (b). Das (1999) a través de numerosos ensayos de

laboratorio realizó una mejor aproximación para estimar la capacidad de apoyo. La ecuación obtenida es:

( ) ttbtu qD

Hqqqq ≥

−−+=

8.1

1 [3.74]

185


Por otro lado, Hanna basándose en numerosos estudios propuso la ecuación [3.75] para estimar la capacidad de apoyo. Esta es usada cuando se presenta el caso de un estrato de arena débil que se halla descansando sobre un estrato de arena fuerte:

)2()2(2)2()2(2)(*

1)(*

1 2

1

2

1

2

1qqfmqqfmu NsDNBsNsDNBsq γγγγ γγγγ +≤+=

[3.75]Donde:

=)2()2()2()2( ,,, qq ssNN γγ Factores de capacidad de apoyo y de forma

respectivamente. Estos son los factores de Meyerhof.=**

)()( ,,, qmqm ssNN γγ Factores de capacidad de apoyo y de forma

modificados.Los factores de capacidad de apoyo pueden ser obtenidos por medio de las siguientes

expresiones:

186

Mecánica de Suelos

[ ])1()2()2()( γγγ

γγ NNd

HNN m −

−= [3.76]

[ ])1()2()2()( qqq

qmq NNd

HNN −

−= [3.77]

Donde:=)2()2()1()1( ,,, qq NNNN γγ Factores de capacidad de apoyo de Meyerhof para

21 φφ y respectivamente.

187

Documents

05cap3 capacidad de apoyo de fundaciones.doc