05FISICA1 Trabajo y Energia

7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia

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Captulo 5

TRABAJO Y

ENERGIA

Trabajo y energa cintica. Movimientounidimensional con fuerzas constantes 175

Teorema del trabajo y la energa 176

Trabajo realizado por una fuerza variable 176

Energa potencial 178

Trabajo y energa en dos y tres dimensiones 179

Potencia 181

Fuerzas conservativas y no conservativas 182

Energa potencial y equilibrio en una dimensin 183

Conservacin de la energa:fuerzas conservativas 184

Conservacin de la energa:fuerzas no conservativas 184

Energa cintica a muy altas velocidades 186

Problemas resueltos 186

Problemas propuestos 199

Bohr, Niels Henrik David (1885-1962),

Fsico dans, realiz contribuciones bsicas a

la fsica nuclear y a la comprensin de la

estructura atmica. Eventualmente se traslad a

Manchester, Inglaterra para estudiar la fsica

nuclear bajo la direccin del fsico ingls

Ernest Rutherford.

La teora de Bohr de la estructura atmica, por

el cual recibi el premio Nobel en Fsica en1922, fue publicada en un artculo en 1913 y

1915. Su modelo us la teora cuntica y la

constante de Planck. En 1920 Bohr, siendo

rector de la universidad de Copenhague,

nuevamente form el Instituto de Fsica

Terica.. All hizo una mayor contribucin a la

fsica terica y al estudio de la estructura

atmica. En 1939, l reconoci la significacin de los

experimentos de fisin de los fsicos alemanes Otto

Hahn y Fritz Strassmann

Bohr y su familia escaparon de la ocupacin

alemana de Dinamarca con destino a Suecia

durante la Segunda Guerra Mundial (1939-

1945). De Suecia, los Bohr se trasladaron a

Estados Unidos, donde Bohr ayud a desarrollar la

primera bomba atmica. En 1945 Bohr regres

a la universidad de Copenhague, donde l

trabajo en el desarrollo de los usos pacficos de

la energa atmica


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INTRODUCCION

En este captulo, se desarrollarn otros aspectos de

la dinmica de una partcula. La descripcin

matemtica supone la presencia de una sola

partcula reduciendo su interaccin con el

resto del universo a una nica fuerza. Bajo este

criterio se define los conceptos de impulso,

trabajo, energa y potencia.

5.1 TRABAJO Y ENERGIA CINETICA.MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL CON

FUERZAS CONSTANTES

Una fuerza aplicada sobre una mesa realiza

trabajo slo en el caso de que ocasione su

desplazamiento, de no ser as, no se realiza

ningn trabajo, ya que el punto de aplicacin de la

fuerza no se mueve

Intimamente relacionado con el concepto de

trabajo, est el concepto de energa, que es lacapacidad de realizar trabajo. Cuando un

sistema realiza trabajo, por ejemplo cuando una

persona empuja una mesa, el trabajo

realizado se transforma parcialmente en

energa de movimiento o energa cintica y

parcialmente en energa trmica que surge de

la friccin entre la mesa y el piso, al mismo

tiempo que la energa qumica de la persona

disminuye en el proceso. El resultado neto es la

transformacin de la energa qumica interna del

cuerpo de la persona en energa cintica

externa de la mesa y energa trmica

El trabajo realizado por una fuerza se define como el

producto de la fuerza por el desplazamiento del

punto de aplicacin de la fuerza

Figura 5.1 Trabajo W = Fxx

En el caso especial de fuerzas constantes y

movimiento en una dimensin como en la

figura 5.1, el trabajo realizado por la fuerza F

formando un ngulo con el desplazamiento x,

est dado por:

W = Fcos.x = Fxx (5.1)

El trabajo es una magnitud escalar, serpositiva si Fx y x tienen signos iguales yser negativa, si tienen signos opuestos

UNIDADES DE TRABAJO

1) SI joule (J); 1 J = 1N 1m

2) cgs ergio (erg); 1 erg = 1 din 1cm

3) Britnico lib-pi; 1 lib-pi = 1libra 1pi

Equivalencias: 1 J = 10

7

erg.1 lib-pie = 1,356 J.

EJEMPLO 5.1 Al aplicar una fuerza de 50 N

sobre un bloque como se indica en la figura

5.1 se produce un desplazamiento horizontal

de 120 cm. Hllar el trabajo realizado si el

ngulo entre la direccin de la fuerza y el

desplazamiento es a) = 60 b) 180

Solucin Si el desplazamiento es x = 1,20 m

segn la ecuacin (5.1) el trabajo realizado

por la fuerza es

a) W = (Fcos)x = (50 cos60 )(1,20 ) =30 J

b) W = (Fcos)x = (50cos180 )(1,20)= - 60 J

ENERGIA CINETICA

En la ecuacin 5.1 reemplazando Fx = max,

hallamos:

175 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma

x

F

Fx


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W = maxxCuando un mvil acelera de v1 a v2 en la

distancia x, con aceleracin constante se

encuentra que:

v22 v1

2 = 2ax ax = (v22 v12)

De modo que el trabajo realizado por la

fuerza Fx est dado por:

W mv mv= 1

2

1

222

1

2 (5.2)

En general, la expresin mv

2

se llamaenerga cintica Ec de la partcula y se define

por:

E mvc =1

22 (5.3)

Por consiguiente la expresin 5.2 indica que el

trabajo realizado por la fuerza es equivalente al

incremento de la energa cintica

W = Ec2 - Ec1 (5.4)

Es importante notar que, el incremento de la

energa cintica est relacionada con el

trabajo realizado por una fuerza resultante y no

por una fuerza equilibrante; de tal modo

que durante la accin de la fuerza, el cuerpo

est cambiando su velocidad y por tanto su

energa cintica. En otros trminos podemos

afirmar que el trabajo de la fuerza resultante es la

medida de la variacin de la energa cintica.

Este hecho queda establecido en el teoremasiguiente:

5.2 TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA

"El trabajo efectuado por una fuerza resultantesobre una partcula, es igual al cambio

producido en la energa cintica de la partcula"

W = Ec (5.5)

Esta ecuacin indica tambin que la reduccin de

la energa cintica slo ser posible a travs

de la realizacin de un trabajo; pero este

trabajo tendr signo negativo porque la

fuerza tendr que ser de signo opuesto al dela velocidad para producir el frenamiento.

EJEMPLO 5.2 Un bloque de 10 kg que se

desliza sobre un piso horizontal logra

detenerse despus de recorrer una distancia

de 20 m . Si al inicio su velocidad era de 50

m/s Cul es la fuerza de friccin entre el

piso y el bloque?

Solucin El trabajo de la fuerza de friccines igual a la reduccin de la energa cintica hasta

su anulacin total. Por tanto:

W = mv22 mv1

2

Donde W = fkd, m = 10 kg, v2 = 0, v1 = 50 m/s,

d = 20 m

fk(20) = 0 (10 )(50)2 = - 12500

El signo menos indica que el desplazamiento y la

fuerza son de sentidos opuestos. Como el

desplazamiento se ha escogido + 20 m, la

fuerza, segn la expresin anterior es:

fk= - 625 N

5.3 TRABAJO REALIZADO POR UNA

FUERZA VARIABLE

El trabajo realizado por una fuerza constante estdado por W = Fxx, de modo que si

graficamos Fx en funcin de x como se

muestra en la figura 5.2 el rea rayada

representa el trabajo realizado:

0 x

Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 176

Fx

x


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Figura 5.2 Diagrama fuerza-distancia

En muchos casos la fuerza que realiza el

trabajo es variable como se muestra en lafigura 5.5 donde el rea de la franja vertical oscura

de ancho dx y alto Fx representa el trabajo

elemental que representamos por:

dW = Fxdx

Luego, el trabajo en un desplazamiento finito

de x1 a x2 est dado por la suma de un

nmero infinito de franjas de ancho dx y

altura variable Fx; esto es, por la integral

W = 2x

1xx dxF (5.6)

Fig.5.3 El rea debajo de la curva es el trabajo

Un ejemplo tpico de fuerza variable es la

fuerza que se requiere para estirar un resorte. Se

verifica experimentalmente que para estirar

el resorte una pequea distancia x o

comprimirlo, sin producir aceleracin, la

fuerza que se emplea es proporcional a esa

distancia que se alarga comprime fig 5.4

(a)

(b)

Figura.5.4 (a) Resorte en estado natural (b) Resorte

estirado: fuerza deformadora F y su equilibrante F'

Este fenmeno que se cumple dentro de

cierto lmite de tolerancia se expresa en una

ecuacin emprica conocida como la ley de

Hooke.

F = kx (5.7)

La constante de proporcionalidad k se

denomina constante de fuerza del resorte o

constante elstica. La figura 5.4(b) muestra

adems de la fuerza deformadora F, la fuerza

de reaccin del resorte denominada fuerza

recuperadora F' = - kx.

Si estiramos el resorte lentamente con una

fuerza F fig.5.4(b) y asumiendo que la fuerza

F sea tal que estire el resorte una distancia x,

entonces el trabajo efectuado es:

===x

0

x

0

2x

0]x[k

2

1dxkxdxFW

2kx2

1W = (5.8)

Este trabajo de deformacin, lo realiza unafuerza exterior al resorte; modificando su

estado interno y generando en l la fuerza

restauradora que tiende a restituir al resorte a

su estado normal.

F

0 x

Figura.5.5 Trabajo durante la deformacin

En la figura 5.5 el rea sombreada representa el

trabajo al estirar el resorte desde su posicin

natural.

EJEMPLO 5.3 Para lograr un estiramiento de

5 mm, el trabajo realizado sobre un muelle es


x

dx

Fx

Fx

0 xx1 x2

F'


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de 500 J. Cul es el valor de la constante

elstica del muelle?

Solucin. De la ecuacin 5.8 se tiene:

k =2x

W2= 2)005,0(

)500(2

k = 4107 N/m

5.4 ENERGIA POTENCIAL.

Al estudiar el trabajo realizado sobre unresorte mediante la aplicacin de una fuerzadeformadora, se encontr que el trabajo dedicha fuerza est dada por:

W k x=1

2

2

donde x es el desplazamiento o elongacin apartir del punto de equilibrio. Anlogamente paralevantar un cuerpo de peso mg a cierta altura y,venciendo a la gravedad ser necesariorealizar un trabajo de valor igual a

W = (Fy) y = mgy

Figura 5.6 Ganando energa potencial

Si el trabajo de la fuerza resultante da lugar a laenerga cintica; el trabajo de la fuerza

deformadora en equilibrio con las fuerzasinternas da lugar a otra forma de energa quedesignamos como energa potencial Ep y quedepende esencialmente de la posicin. Luego laenerga potencial del resorte con relacin a lafuerza elstica queda definida por:

E k xp =1

2

2 (5.9)

Y la energa potencial de un cuerpo con

relacin a la fuerza de gravedad es:

Ep = mgy (5.10)

Estas dos ltimas ecuaciones de definicin

son en realidad las funciones de energa

potencial, que de un modo ms general

podemos expresar as:

E x k xp ( ) =1

22 + c1 (5.11)

Ep(y) = mgy + c2 (5.12)

donde las constantes aditivas estn relacionadas

con un nivel de energa de referencia respecto al

cual ha de medirse la energa potencial ya

que estas energas dependen de la posicin. As la

energa potencial gravitatoria puede medirse

a partir del nivel del mar o partir del 5to pisode un determinado edificio.

Tanto la energa cintica como la energa

potencial se han definido como efectos de la

realizacin del trabajo de una fuerza. Sin

embargo sus caractersticas son diferentes,

mientras la energa cintica est relacionada con el

movimiento del cuerpo y por lo mismo es una

energa en sentido dinmico, la energa potencial

est relacionada con la posicin y se encuentra

latente o potencialmente almacenada en un estado

de reposo, pero que puede hacerse manifiesta o

activa, cuando el trabajo es realizado por la

fuerza interior.

Cuando el resorte se estira, un agente exterior

ha provocado sta deformacin pero con un

gasto o utilizacin de energa, dicha energa

no desapareci, sino que se transform en

energa potencial del resorte. Anlogamente

cuando un cuerpo se elev por encima de lasuperficie terrestre, algn agente exterior

realiz el trabajo de vencer a las fuerzas

gravitatorias (interiores), pero transfirindole

al cuerpo cierta cantidad de energa la que

qued almacenada como energa potencial

gravitatoria del cuerpo.

Esta energa se hace manifiesta cuando las

fuerzas interiores realizan el trabajo disminuyendo la

energa potencial pero cediendo ahora al

medio exterior una energa equivalente si


Fy = mgy


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termina en el reposo transformndose en

energa cintica si est en movimiento. Estos

hechos nos permiten afirmar que un sistema

posee energa cuando es capaz de realizar

trabajo. Esto significa que trabajo es unproceso de transferencia o intercambio de

energa

EJEMPLO 5.4 Hallar la energa potencialtotal del bloque de masa 5 kg en la posicinindicada en la figura si el resorte esta estirado20 cm y fijo en el extremo inferior

Figura 5.7 Energa potencial total

Solucin. En la posicin mostrada en lafigura el bloque tiene dos clases deenerga potencial, una de origenelstico kx2 y otra de origen

gravitatorio mgy, por tanto:

Ep = kx2 + mgy

En SI los datos son x = 0,20; m = 5; y = 4

Ep = 0,5(500)(0,20)2 + 5(9,8)(4) = 206 J

5. 5 TRABAJO Y ENERGIA EN DOS OTRES DIMENSIONES

Consideremos una partcula de masa m que

se mueve por accin de la fuerza F en la

trayectoria curvilnea C (figura 5.8).

y

r

F 2

z

Figura.5.8 la componente tangencial realiza trabajo

Si en el pequeo intervalo de tiempo dt la

fuerza ocasiona el desplazamiento diferencial dr; afirmamos que la fuerza ha producido un

trabajo infinitesimal dW definido como elproducto escalar de la fuerza F por eldesplazamiento dr.

dW = F.dr (5.13)

Definido el trabajo elemental podemos

expresar el trabajo realizado para llevar a la

partcula desde el punto (1) al punto (2) por

la integral definida entre limites 1 y 2:

=2

1W (5.14)

utilizando componentes rectangulares y

desarrollando el producto escalar tenemos:

F = Fxi + Fyj + Fzk

dr= dx i + dyj + dz k

W = F dx F dy F dzx y z+ +1

2

1

2

1

2

(5.15)

Otra forma de expresar este resultado es

usando la definicin de producto escalar y

asumiendo que el mdulo de dres ds, vemos que

en la ecuacin (5.14).F.dr = F ds cos y

segn la figura 5.8, Fcos = FT; por tanto:

W F dsT=12

( 5.16)

Este resultado demuestra que el trabajo solodepende de la componente tangencial de la

fuerza. La componente normal no realiza

trabajo

Como en el caso unidimensional puede probarse

que el trabajo de la fuerza resultante es igual

al cambio de la energa cintica. En efecto,

dado que ds = vdt, se tiene:

Ftds = ma ds = m dt

dv

vdt = = mv dv


x

drF

T1

0

C

k = 500 N/my = 4 m

F.dr

m


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reemplazando en la ecuacin (5.16) eintegrando entre 1 y 2 hallamos el trabajototal en ese tramo:

W F ds mv dvT= = 12

1

2

W mv mv= 1

2

1

222

1

2 (5.17)

Expresin que coincide con lo obtenido en elcaso unidimensional dado en la ecuacin(5.2) y representa el teorema del trabajo y laenerga en tres dimensiones

EJEMPLO. 5.5 Encontrar el trabajo realizado

por la fuerza F al trasladar un bloque de masam a lo largo del plano inclinado uniendo lasposiciones 1 y 2.

Solucin Para ste propsito es suficienteque la fuerza F tenga igual valor que el

peso pero en direccin verticalascendente.F = mgj

F

Figura.5.9 trabajo de la fuerza peso

mientras que el peso (fuerza restauradora)est dirigido hacia abajo;F = - mgj (1)Se ve que F + F = 0 es decir no hay fuerza

resultante sobre el cuerpo; sin embargo estono significa que no pueda moverse puessabemos que puede hacerlo pero convelocidad constante.El trabajo realizado por la fuerza F en contrade la fuerza gravitatoria, al trasladar alcuerpo desde la posicin 1 hasta la posicin 2,siguiendo cualquier trayectoria, tal como laindicada en la fig.5.9 est dada por:W F dr =

(2)

utilizando: dr= dx i + dyj + dz k y efectuando elproducto escalar e integrando se tiene:

W = 2

1dymg

W = mg(y2- y1) (3)

El trabajo realizado por la fuerza peso ofuerza debido a la gravedad en el trayectoentre las posiciones 1 y 2 es:W' = - mg(y2 - y1) (4)

Si hacemos y1 = 0 y y2 = y, el trabajo de lafuerza peso es:

W' = - mgy (5)

Este resultado nos dice que el trabajo de lafuerza peso es proporcional a la altura, o quedicho trabajo no depende de la forma de latrayectoria seguida para llevar al cuerpo de su

posicin inicial hasta su posicin final otambin se puede afirmar que el trabajo de lafuerza de gravedad depende solamente de ladiferencia de alturas de la posicin inicial yfinal del cuerpo.

De la ecuacin 5.14 se deduce que si lafuerza es perpendicular al desplazamiento (= 90 ) el trabajo de dicha fuerza es cerocomo se ve en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5.6 La fuerza de la gravedad noproduce trabajo cuando acta sobre uncuerpo que se mueve horizontalmente(fig.5.10-a). La fuerza centrpeta FN en elmovimiento circular, no produce trabajo

sobre la partcula.(fig.5.10-b).

m m dr v

dr

FN

mg

(a) (b)

Figura.5.10 la fuerza perpendicular a la

trayectoria no realiza trabajo5.6 POTENCIA


1

2

dr

F


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Es la rapidez con la que se realiza trabajo. Untrabajo determinado que se efecta en untiempo muy largo est asociado a una

potencia muy baja en tanto que el mismotrabajo realizado en un tiempo muy cortocorresponde a una potencia grande. Si eltrabajo se realiza a un ritmo constante la

potencia media P se define por:

PW

t= (5.18)

Si el trabajo se realiza a un ritmo variable, la

potencia instantnea queda definida por:

P dWdt

= (5.19)

PF dr

dt=

P = F v (5.20)

UNIDADES DE POTENCIA

1) SI : vatio o watt (W): 1 W = 1 J/s2) Britnico: pie-lib/s = 1,356 W

Unidades prcticas de potencia y energa:

Potencia:

Caballo de vapor (HP): 1 HP = 550 pie-lib1 HP = 746 W

Trabajo o energa:

Electronvoltio (eV) 1 eV = 1,6x10-19 J

Kilowatt-hora (kWh):1kWh = 1kWx1 hora1kWh = 3.6x10 6 J

En los recibos de consumo mensual de energaelctrica encontramos corrientemente los kWh(kilovatio-hora). El electronvoltio es unaunidad muy apropiada para expresar laenerga de los tomos, As por ejemplo se hadeterminado que la energa de ionizacin del tomode hidrogeno es de 13,6 electronvoltiosEJEMPLO 5.7 Para deslizar una caja sobre

una superficie horizontal rugosa se requiere de

una fuerza constante de 50 N que forma unngulo de 60 sobre la horizontal. Cul es la

potencia desarrollada si la caja se mueve auna velocidad constante de 4 m/s? Quenerga se transfiere en 10 minutos?

Solucin Ntese que la fuerza no tiene lamisma direccin que la velocidad. Por tantola potencia en funcin de la fuerza yvelocidad est dada por el producto escalar:

P = F.v = Fvcos = (50 N)(4 m/s)cos60P = 100 J

En el tiempo de 10 minutos (600 s) el trabajorealizado o la energa transferida es:

W = Pt = (100 J)(600 s) = 60000 J = 60 kJ

5.7 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NOCONSERVATIVAS

Reciben el nombre de fuerzas conservativas,aquellas fuerzas que al actuar sobre uncuerpo realizan un trabajo que nicamentedepende de la evaluacin de la funcin Ep(x)en sus estados inicial y final mas no de latrayectoria seguida (infinitos estadosintermedios) para pasar entre dichos estados.

Entonces, si la fuerza es conservativa, eltrabajo efectuado es:

W =

F dr = - (Ep2 - Ep1)W = F dr = - Ep (5.21)

y recprocamente, si el trabajo realizado poruna fuerza es igual a la diferencia de losvalores de una funcin potencial en las

posiciones inicial y final, la fuerza esconservativa.

F(conservativa) W = - Ep

Es evidente que el concepto de energapotencial puede emplearse slo cuando setrata de las fuerzas conservativas, tales comola fuerza elstica del resorte, la fuerzagravitatoria o fuerza electrosttica. Otrasfuerzas tales como las de friccin sedistinguen de las fuerzas conservativas, porque el trabajo que realizan depende de latrayectoria seguida por la partcula; estas



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fuerzas se llaman no conservativas o fuerzasdisipativas.

En la figura 5.11 se muestran 3 posiblestrayectorias para que el bloque de masa m

llegue al punto B partiendo de A. Si no hayfuerza de friccin y slo acta la fuerzagravitatoria el trabajo de esta fuerza entre los

puntos A y B tiene el mismo valor cualquieraque sea la trayectoria elegida porque ladiferencia de alturas entre los puntos A y Bes nica e independiente de la forma ylongitud de las trayectorias.

A

h

B

Figura 5.11 el trabajo de la fuerza peso

no depende de la trayectoria

Las fuerzas de friccin son tangenciales a latrayectoria y se oponen siempre al movimiento, ental caso si admitimos un valor constante para

dichas fuerzas en cualquiera de lastrayectorias, se encontrar que el trabajo destas fuerzas ser proporcional a la longitudde la trayectoria. En la fig.5.12. se muestrauna trayectoria cerrada.

Figura 5.12 recorrido cerrado

Si la fuerza es conservativa, en el viaje de ida de A

a B pasando por M el trabajo ser +W; y el de

retorno de B a A pasando por N es -W. Luego el

trabajo total es cero. Matemticamente esto se

indica con una integral circular

F dr = 0 F (conservativa)EJEMPLO 5.8 En la figura 5.13 se representauna trayectoria cerrada ABNA: AB = 15 m,BN = 12 m y NA = 9 m. Calcular el trabajo total

en el circuito cerrado ABNA si la nica fuerzaes la gravitatoria F = mg.

Solucin: Observemos que la fuerza peso esconstante en valor y direccin, por tanto

calculamos el trabajo, con la relacin sencilla:W = F.S = FS cos

donde es el ngulo formado por la fuerzaF y el desplazamiento S

dr dr

F F

dr

F

Figura 5.13 Trabajo en trayectoria cerrada

El trabajo en el circuito cerrado ABNA mostrado enla figura 5.13 es:

W =

F dr = WAB + WBN + WNA

WAB= mg(AB)cos = mg(15)(9/15) = 9 mgWBN = mg(BN)cos90 = mg(12)(0) = 0WNA= mg(AN)cos180= mg(9)(-1) =-9mg

W = 9mg + 0 - 9mg = 05.8 ENERGIA POTENCIAL Y EQUILIBRIOEN UNA DIMENSION

De la ecuacin 5.21 se puede ver que el trabajoinfinitesimal y el cambio infinitesimal de laenerga potencial estn relacionados delsiguiente modo

F.dr = - dEp

Si el desplazamiento es unidimensional podemosescribir Fxdx= - dEp. De donde

Fx = -dx

dEp(5.22.)

Esta expresin indica que la componente de

la fuerza en la direccin x no es sino el

negativo de la derivada de la funcin potencial con

respecto a x. En otros trminos la direccin


m

A

B N

M


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de la fuerza es aquella en la que disminuye la

energa potencial. Esto queda ilustrado en las

figuras 5.14 (a) y (b)

Fx

(a) Ep = kx2 (b) Ep = mgy

Figura 5.14 (a) La partcula se mueve siempre hacia

el origen donde el potencial es nulo. (b)En la direccin

descendente sobre el plano inclinado la esfera reduce

su energa potencial

En la fig 5.14(a) la curva de energa potencial tiene

un mnimo en x = 0 y constituye la posicin de

equilibrio estable donde justamente Fx = 0. En la

fig 5.14(b) la energa potencial no tiene un

mnimo y por tanto no hay puntos de

equilibrio estable

Con estos resultados podemos afirmar que

una fuerza es conservativa si se deriva o

resulta de una funcin potencial o energa

potencial; tales como

Ep = kx2 elstica (resorte )

Ep = mgy gravitatoria

Ep = c/r elctrica

Ep = - ce-r/r nuclear

Generalizamos la expresin 5.22 para calcular la

componente de la fuerza en una direccin

arbitraria s del siguiente modo:

Fs = -s

Ep

Donde el smbolo de derivada parcial /s,indica que si Ep es funcin de s y otras

variables mas, solo se deriva respecto a s

considerando constantes a las restantes

EJEMPLO 5.9 Encontrar la fuerza gravitatoria Fssobre una esfera colocada en la superficie lisa

de un plano inclinado mostrado en la figura

5.15

s

Fs y

Figura 5.15 Esfera deslizante

Solucin La funcin energa potencial es:

Ep = mgy

La direccin de la fuerza Fs es la de su

desplazamiento ds.

F FE

ssp

= =

=

ds

dymg

s

)mgy(=

de la figura 5.15 se tiene que: y = (s)(sen)

de modo que dy/ds = sen. Por tanto:

F = - mg sen

EJEMPLO 5.10 Si la energa potencial deuna partcula est dada por U = Uo(x

2 a2)2.

Hallar a) la fuerza sobre la partcula. b) la

posicin de los puntos de equilibrio estable e

inestable

Solucin a) Aplicando la ecuacin (5.22)

calculamos la fuerza neta sobre la partcula:

Fx = -dx

dU= -

dx

d[Uo(x

2 a2)2]

Fx = - 4Uox(x2 a2) (1)

b) Para determinar los puntos de equilibrio

estable o inestable resolvemos la ecuacin para la

fuerza neta igual a cero: - 4Uox (x2 a2) = 0

Las soluciones son: x = 0, x = +a , x = -a;

por tanto existen 3 puntos de equilibrio,

En la vecindad de un punto de equilibrio estable la

fuerza debe ser una fuerza recuperadora (F =

- kx ), La fuerza recuperadora es tal que si lapartcula se aleja ligeramente hacia la


FsEp

0 x

ys


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derecha de la posicin de equilibrio, la fuerza

recuperadora acta hacia la izquierda Esto es; si

el desplazamiento de la partcula es +, la fuerza

es - k y recprocamente si el desplazamiento

es - la fuerza es + k

i) Para el primer punto de equilibrio (x = 0);

consideremos un ligero desplazamiento (


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En todo proceso en el cual intervienen las

fuerzas no conservativas o disipativas, toda la

energa mecnica o parte de ella se disipa en

el medio ambiente en forma de calor, este es un

proceso en el cual las fuerzas de friccin realizantrabajo de transformacin o conversin de

energa mecnica en calor. El calor

producido es exactamente igual al trabajo de

las fuerzas de friccin. Por tanto la energa se

conserva dentro de un contexto ms amplio en la

que resulta incluido la energa mecnica y la

trmica o calorfica. Desde que la fuerza de

friccin se opone al movimiento, el trabajo

realizado por esta fuerza es siempre negativo, esto

es, el trabajo de la fuerza de friccin es equivalente

a la prdida de energa mecnica que experimentael sistema:

ambiente

Sistema - E = Wf

Si el sistema pasa de un estado inicial (1) en el

cual su energa mecnica es E1 = Ec1 + Ep1 a otro

estado final (2) con una energa mecnica E2 = Ec2+ Ep2, la prdida de energa mecnica es:

- E = E2 - E1- E = Wf (5.38)

donde Wf es al trabajo de las fuerzas de

friccin; as tenemos:

- (E2 - E1) = Wf(Ec + Ep)2 - (Ec + Ep)1 = - Wf (5.39)

EJEMPLO 5.11 Una fuerza F acta sobre una

partcula P, que se mueve en el plano XY.

Determinar si F es una fuerza conservativa y

calcular el trabajo de F cuando la trayectoria de P

es un cuadrado de lado a y el movimiento es en

sentido antihorario, para los siguientes casos: a)

F = kyi; b) F = k(x i +yj )

y1

x1 x2

Figura 5.16 trayectoria rectangular

Solucin a) El trabajo en una trayectoria

cerrada tal como ABCDA es:

W = WAB + WBC + WCD + WDA

cada trmino del segundo miembro queda

determinado por la siguiente expresin

W = F. dr = (kyi).(dx i + dyj) =ky dx

Entre A y B; los valores de x e y son:

x1 < x < x2; y = y1 = constante,

WAB = ky dx11

2

= ky1 [ ]x 12 = ky1(x2 - x1) =

ky1aEntre B y C, x = constante, de modo que dx = 0

WBC = ky dx = 0

Entre C y D: x1 < x < x2, y = y2 = constante

WCD = ky dx2

1

= ky2(x1 - x2) = -ky2a

Entre D y A: x = x1 (constante); dx = 0, luego:

WDA = ky dx = 0

Sumando resultados parciales:

W = ky1a + 0 - ky2a + 0 = - k(y2 - y1)a = -ka2

Este resultado (diferente de cero) indica que

la fuerza es no conservativa


y2

A B

CD


13/34

b) W = F. dr = k (x i + yj ) . (dx i + dy j)

W = k ( )x dx y dy+

De A a B; dy = 0 por tanto:

WAB = k x dx1

2

= kx2 ] 12

= k(x22 - x1

2)

De B a C, dx = 0

WBC = ky dy1

2

= ky2 ] 12

= k(y22 - y1

2)

De C a D; dy = 0 entonces

WCD = k x dx2

1

= kx2 ] 21

= - k(x22 - x1

2)

De D a A, x = constante; dx = 0

WDA = ky dy = ky2 = -k(y22 - y12)Sumando los resultados parciales:

W = WAB + WBC + WCD + WDA = 0

Conclusin: la fuerza F es conservativa.

5.11 ENERGIA CINETICA A MUY

ALTAS VELOCIDADES

En el captulo tres se dijo que las leyes de

Newton dejan de aplicarse en dos casos: uno

es el dominio en el cual las velocidades se acercan

a la velocidad de la luz y otro en el dominio

de la fsica cuntica, vlido

principalmente para tomos y entidades

diminutas. En el primer dominio es necesarioutilizar la teora de la relatividad especial,

tema que s tratar en el curso de FISICA III, all

demostraremos que, el lmite mximo de las

velocidades en la naturaleza es justamente

la velocidad de la luz c = 3108 m/s

La famosa relacin de Einstein E = mc2

expresa que en relatividad la energa es

equivalente a la masa, y consecuentemente

cuando un cuerpo se encuentra en movimiento

con una velocidad v. su masa se incrementa ya

que su energa aumenta con la velocidad.

Esto es:

m =

m

v c

o

1 2 ( / ) (5.40)

Podemos calcular la energa cintica por el

trabajo realizado por la fuerza F = dp/dt al

acelerar a un cuerpo desde el reposo hasta

alcanzar la velocidad v, obteniendo:

Ec = mc2 - moc

2 (5,41)

resultado que indica que la energa cintica

es igual a la diferencia entre la energa totalmc2 y la energa en el estado de reposo moc2.

Utilizando la frmula de la masa relativista,

la energa cintica a altas velocidades debe

calcularse con la siguiente expresin:

Ec = moc2

1

11

2

( / )v c(5,42)

Esta frmula de energa cintica es en

cuanto a su forma muy diferente a la

correspondiente a bajas velocidades Ec =

mov2, sin embargo existe correspondencia

entre ambas, como se ver a continuacin:

Si x


14/34

EJEMPLO 5.12. Calcular desde el punto de vista

clsico y relativstico la energa cintica de un

electrn que se mueve a una velocidad v =

0,6c, masa del electrn en reposo mo =9,110-31 kg

Solucin a) frmula clsica Ec = mov2

La velocidad es v = 0,6(3108) = 1,8108 m/s

Ec = 0,5(9,110-31)(1,8108)2 = 1,4710-14 J

b) frmula relativista Ec. (5.42)

Ec = 9,110-31(3108)2

1

)6,0(1

1

2

Ec = 2,0510-14 J

5.12 PROBLEMAS RESUELTOS

1. Un cuerpo de masa m se mueve a una

velocidad v, con una energa cintica Eo. Cual

ser su energa cintica cuando su velocidad: (a)

se reduce a la mitad; (b) se duplica?

Solucin (a) Como la energa cintica es

directamente proporcional al cuadrado de la

velocidad encontramos que al reducirse la

velocidad a la mitad, la energa cintica se

reduce a la cuarta parte Eo (b) al duplicarse

la velocidad, la energa cintica se cuadruplica

4Eo

2 Una masa de 5 kg se eleva a una altura de 4

m por una fuerza vertical de 80 N,

Determinar a) el trabajo realizado por lafuerza b) el trabajo realizado por la gravedad

y c) la energa cintica final de la masa si

originalmente se encontraba en reposo.

Solucin La fuerza neta que acelera a la

masa hacia arriba es F = Fa mg. Donde Fa

es la fuerza aplicada y mg = 5(9,8) = 49 N el

peso del cuerpo. Multiplicando por la altura h a

cada trmino de la ecuacin anterior se tiene

Fh = Fah - mgh

Con relacin a la direccin del movimiento los

trabajos para cada una de las fuerzas son:

a) fuerza aplicada: Wa = Fah = (80N)(4m)= 320J

b) gravedad Wg = - mgh = - (49N)(4m) = -196 Jfuerza neta W = Wa Wg = 320 196 = 124 J

c) Puesto que el trabajo de la fuerza neta es igual

al incremento de la energa cintica se tiene

W (fuerza neta) = Ec = Ecf- Eci = 124 J

Donde Eci es cero ya que parte del reposo. Por

tanto Ecf= 124 J

3. Una masa de 5 kg que se mueve en ladireccin +X con una velocidad de 4 m/s,

entra bajo la accin de una fuerza nica F

que vara desde x = 0 hasta x = 4 m como se

indica en la figura 5.17 (SI) Calcular (a) su

energa cintica en x = 0 (b) El trabajo total

realizado por la fuerza (c) Cul es la velocidad

de la masa en x = 4 m?

..

Figura 5.17 Fuerza variable

Solucin: Como F es la fuerza neta, el trabajo

realizado por esta fuerza representa el incremento dela energa cintica del cuerpo

Energa cintica inicial en x = 0

Eci = mvi2 = (0,5)(5)(4)2 = 40J

El trabajo total realizado por la fuerza, es el rea

debajo de la curva F vs x:

W = rea del tringulo issceles de base 4 m y

altura 8 N = ( )(4m)(8N) = 16 J


0 1 2 3 4 x

8

4

0

F


15/34

Desde que W = Ecf - Eci; la energa cintica

en x = 4 m es Ecf = W + Eci = 16 + 40 = 56 J.

Luego su velocidad es:

v = m/E2 cf = 5/)56(2 = 4,73 m/s

4 Un cuerpo de 3 kg experimenta un

desplazamiento s = 3 i +3j - 2 ka lo largo de

una lnea recta. Durante el desplazamiento acta

una fuerza constante F = 2 i j + kDeterminar (a)

el trabajo realizado por F en este

desplazamiento b) el componente de F en la

direccin y sentido del desplazamiento

Solucin a) El trabajo de una fuerza constante est

dado por:

W = F.s = (2 i j + k).( 3 i +3j - 2 k) W= 6 3 2 = 1 J

b) Desde que W = Fss donde Fs es el

componente del vector fuerza en la direccin

del desplazamiento y s el mdulo del vector

desplazamiento dado por: s =222 )2(33 ++ = 4,69 metros

Encontramos:

Fs =s

W

69,4

1= = 0,21 N

5 A qu altura debe elevarse un cuerpo para

que incremente su energa potencial en una

cantidad igual a la energa que posee si se

desplaza con una velocidad de 20 m/s?

Solucin La energa debido a su movimiento es laenerga cintica cuyo valor es mv2 y su

energa potencial a la altura h, segn el

enunciado es tal que mgh = mv2. De

donde:

h =g2

v2

=)8,9(2

)20( 2

= 20,4 m

6. Un cuerpo de 2 kg sujeto al extremo de

una cuerda se mueve sobre una superficie

horizontal sin rozamiento en un crculo de 3

m de radio. La velocidad del cuerpo es 1,5

m/s a) Determinar la tensin en la cuerda. b)

Hacer una relacin de las fuerzas que actan

sobre el cuerpo y determinar el trabajo

realizado por cada fuerza en una revolucin.

Solucin (a) La tensin en la cuerda ser

igual a la fuerza centrpeta Fc

Fc = mr

v 2= 2

3

5,12

= 1,5 N

b) En la figura 5.18 se muestran las tres fuerzas

que actan sobre el cuerpo en movimiento, el peso

mg, la normal N, y la fuerza centrpeta Fc

Figura 5.18 Fc no realiza trabajo

Dado que las tres fuerzas son perpendiculares al

desplazamiento indicado por el vector

velocidad; el trabajo de cada una de estasfuerzas es cero

7. Un carro de 1000 kg sube un escaln de 1

m mediante un plano inclinado formado por un

tabln de longitud L, apoyado entre los

niveles inferior y superior del escaln. a)

En ausencia de rozamientos calcular la fuerza

necesaria paralela al plano inclinado para

impulsar al carro hacia arriba sin aceleracin,

para valores de L iguales a 3, 4 y 5 m. b)

Calcular el trabajo necesario para impulsar elcarro hacia arriba para cada uno de estos

valores de L. c) Puesto que el trabajo

encontrado en b) es el mismo para cada valor

de L, qu ventaja resulta de elegir una

longitud u otra?

Solucin La fuerza necesaria para impulsar al

carro a velocidad constante es equivalente a

la componente del peso en la direccin del

plano inclinado


mg

NFc v


16/34

F = mgsen = mg(h/L)

1m

Figura 5.19. Reduciendo la fuerza necesaria

Reemplazando valores numricos m =1000 kg g

= 9,8 m/s2 , h = 1 m , L = 3, 4, y 5 m , los

tres valores de la fuerza F son:

F= 3267 N , 2450 N , 1960 N

b) Para cada una de estas fuerzas y las distancias

respectivas los valores del trabajo son:

W = 3267(3) = 9801 J

W = 2450(4) = 9800 J

W = 1960(5) = 9800 J

c) La ventaja de utilizar longitudes de tabln cada

vez mayores es la de disminuir la fuerza,

pero no hay economa de energa.

8. Una fuerza constante viene expresada por

Fx = 4 N (a) Determinar la funcin energa

potencial Ep asociada con esta fuerza para

una eleccin arbitraria del cero de energa

potencial. Determinar (b) Ep de tal modo que

Ep = 0 para x = 6 c) Ep de tal modo que Ep =

12 J para x = 6 m

Solucin a) Teniendo en cuenta que la

componente de una fuerza en una direccin es el

gradiente negativo de la energa potencial:

Fx = -dx

dEp

obtenemos

d Ep = - Fxdx Ep = - dx.Fx

Con el valor dado para la fuerza hallamos:

Ep = - dx.4 = - 4x + c

(1)

Donde c es la constante de integracin cuyo

valor depende de la eleccin del cero de la

energa potencial.

b) Si en la ecuacin (1) se reemplaza Ep = 0 para

x = 6 m, la constante de integracin tiene el

siguiente valor: c = 24 J

La funcin de energa potencial es Ep = 24 4x

c) Si Ep = 12 J cuando x = 6 m la ecuacin (1)

nos da para la constante c el siguiente valor

c = 12 + 24 = 36 J,

Ep = - 4x + 36

9. Un objeto de 3 kg en reposo (figura 5.20) se deja

libre a una altura de 5 m sobre una rampa curva y

sin rozamiento. Al pie de la rampa existe un

muelle cuya constante es k = 400 N/m

m

Figura 5.20 Dos formas de energa potencial

El objeto se desliza por la rampa y llega achocar contra un muelle comprimindolo una

distancia x, antes de que quede

momentneamente en reposo. (a) Hallar x.

(b) qu le ocurre al objeto despus de que

queda en reposo?

Solucin a) Por la ley de conservacin de

energa, podemos afirmar que la energa potencial

gravitatoria mgh se transforma primero en

cintica y esta se transforma en energa potencial

del resorte en mxima compresin kx2


L

h

F

x

5m


17/34

kx2 = mgh

reemplazando valores numricos se tiene

(400)x2 = 3(9,8)(5)

despejando hallamos: x = 0,86 m

b) Despus de que instantneamente el objeto queda

en reposo, la fuerza recuperadora del muelle,

le comunica un movimiento de retorno hasta

la posicin inicial y se contina

indefinidamente el movimiento de ida y

vuelta (movimiento oscilatorio)

10. En la posicin indicada en la figura 5.21

los bloques se encuentran en reposo y luego

se sueltan. Elegir el cero de la energa en la

posicin inicial de reposo. a) Expresar la

energa mecnica total del sistema cuando la

masa m2 ha descendido una distancia y. b)

Calcular la velocidad de la masa m2 despus de

haber descendido 2 m (masas m1 = 4 kg , m2 =

2 kg)

m1

m2

y

Figura 5.21 Transformando energa

Solucin a) La Energa mecnica total es lasuma de la energa cintica y potencial.

Segn el enunciado la energa es cero en la

posicin inicial. Luego por el principio de

conservacin la energa del sistema no

cambia, es decir permanece igual a cero, lo

cual significa que si las masas ganan energa

cintica es porque hay prdida de energa

potencial

Puesto que la masa m1 no cambia de altura

los cambios de la energa potencial del

sistema se deben nicamente al cambio de

energa potencial de la masa m2. Luego la

energa del sistema en cualquier instante es

E = m1v2

+ m2v2

m2gy = 0 (1)

El signo menos en el trmino de energa

potencial indica su reduccin al descender m2 la

distanciay

b) reemplazando en (1) m1 = 4 kg , m2 = 2 kg,y

= 2 m, se encuentra:

( )(4)v2 + (2)v2 2(9,8) (2) = 0

v = 3,61 m/s

11. Un patinador de 60 kg, empujando contra

la pared de una pista de patinaje, adquiere una

velocidad de 4 m/s (a) Cunto trabajo se realiza

sobre el patinador? b) Cual es la variacin de

energa mecnica del mismo. Analizar el

principio de conservacin de la energa

aplicada al patinador

Solucin a) El trabajo realizado sobre el

patinador es equivalente a la energa cintica

adquirida

W = mv2 = (0,5)(60)(4)2 = 480 J

b) La variacin de la energa mecnica es

igual al trabajo realizado sobre el patinador

E = W = 480 J

Este incremento de energa mecnica esposible gracias a la transformacin de la energa

interna o qumica que tiene almacenada el

patinador en su propio organismo

12. Un cuerpo de 10 kg es elevado por una

fuerza igual al peso con una velocidad constante

de 4 m/s. (a) Cul es la potencia de la fuerza?

(b) Cunto trabajo realiza esta fuerza en 3 s?

Solucin (a) La potencia desarrollada por la

fuerza est dada por:



18/34

P = Fv = mgv = 10(9,8)(4) = 392 Watts

El trabajo realizado en 3 segundos es

W = P.t = 392 (3) = 1176 J

13. En un da despejado, la energa solar

incide sobre una casa a razn de 400 W/m 2

durante 8 horas. Cunta energa es captada por

una gran ventana de vidrio de 40 m2 de rea?

Solucin La potencia captada a travs de la

ventana es:

P = IS

Siendo I = 400 W/m2 la intensidad de la

energa solar y S = 40 m2

P = (400)(40) = 16000 Watts

Luego la energa total captada en t = 8 horas

(28800 segundos) es:

W = P t = (16000)(28800) = 4,6x108 Joules

14 Un muchacho se encuentra balancendose en

una cuerda suspendida, de 4,0 m de longitud,

que se romper cuando la tensin a la que se

encuentre sometida sea igual al doble del

peso del muchacho. (a). Cul es el mayor

ngulo o que puede formar la cuerda con lavertical sin romperse. (b) Cul es la

velocidad del muchacho, en el momento de

romperse la cuerda, para un ngulo

ligeramente superior al ngulo calculado en el

apartado (a)

Solucin a) A fin de determinar el mximo

ngulo permisible es necesario relacionar la

tensin en la cuerda con la fuerza centrpeta

del movimiento circular del muchacho en la

parte mas baja de su trayectoria, donde la fuerza

centrpeta o la tensin son mximas. Esto es:

T mg = mr

v 2(1)

Donde r es la longitud de la cuerda r = L

Figura 5.22 Aprovechando la energa

potencial

En la parte ms alta la energa es slo

potencial e igual a mgh, en tanto que en la

parte ms baja la energa es slo cintica de valor

igual a la energa potencial mxima. Luego por

conservacin de la energa mecnica tenemos:

mgh = mv2 (2)

Combinando (1) y (2) se elimina la velocidad en

trminos de h. Si adems T = 2 mg (tensin

mxima permitida) obtenemos:

2mg mg = m(2gh/L) (3)

de donde hallamos la relacin entre h y L:

para este caso:

21

Lh = (4)

En la figura 5.22 la posicin angularo es talque:

coso =L

hL = 1 -

L

h= 1-

2

1=

2

1

Luego o = 60


o

L

h

L


19/34

b) De la ecuacin (2) la velocidad en el

momento de romperse la cuerda es:

v = gh2 = )2)(8,9(2 = 6,3 m/s

15. Un tren con una masa total de 2106 kgse eleva 707 m a lo largo de una distancia de

70 km con una velocidad media de 15 km/h.

Si la fuerza de rozamiento es igual a 0,8 por

ciento del peso. a) Calcular la energa

cintica del tren b) La variacin total de la

energa potencial. c) el trabajo realizado frente

a las fuerzas de rozamiento d) la potencia de la

locomotora.

Solucin Transformando unidades al sistema

internacional: velocidad v = 15 km/h = 4,17 m/s;

distancia d = 70 km = 70000 m; ngulo

de elevacin de la pista sen = h /d =

707/70000 = 1,0110-2

a) Energa cintica

Ec = mv2 = 0,5 (2106)(4,17)2 = 1,74107 J

b) Incremento de energa potencial

Ep = mgh = 2x106 (9,8)(707) = 1,381010 J

Fuerza de rozamiento f

f = 0,008(mg)=0,008(2106)(9,8)=1.57105 N.

Trabajo de la fuerza de rozamiento W

W = f.d = (1,57105 N)(70000 m)

W = 1,11010 J

e) Fuerza F desarrollada por el motor

F = mg.sen + f

F = 2106(9,8)(707/70000)+1,57105

F = 3,55105 N

Potencia del motor

P = F.v = 3,55105(4,17) = 1,48106 watts

16. Un pequeo bloque se ata a un material de

caucho que ejerce una fuerza Fx = - kx ax2,

cuando se alarga una distancia x (x > 0)siendo k y a constantes. Determinar el trabajo

realizado por el material sobre el bloque

cuando aquel se alarga de x = 0 a x = A

Solucin

W = A

0

x dx.F = - +A

0

2 dx).axkx(

W = - kx2 31 ax3 = - kA2 3

1 aA3

17. En la figura 5.23 se muestra la fuerza Fx

que acta sobre una partcula en funcin de

su distancia x desde el origen. a) graficar el

trabajo realizado por la fuerza cuando la partcula

se desplaza desde x = 0 a los siguientes

valores de x = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 m b)

Representar la energa potencial U en funcin de x

para un intervalo de x que oscila de 4 m a +4m,

suponiendo que U = 0 para x = 0.

Figura 5.23 Fuerza variable

Al graficar Fx vs x el rea debajo de la curvarepresenta el trabajo realizado. Por

consiguiente si el desplazamiento se realiza

desde x = 0 a x = - 4 m el rea debajo de la

curva es el trapecio de bases 2 y 4 m y altura

4 N. Como ambas, distancia y fuerza son

negativas, el trabajo es positivo:

W1 = (2+4)4 = 12 J

Para el desplazamiento de x = 0 a x = -3 m

(trapecio)


x

Fx

2

4

-2

-4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


20/34

W2 = (3 +1)(4) = 8 J


( tringulo)

W3 = (2)(4) = 4 J


(tringulo

W4 = (1)(2) = 1 J

Para el desplazamiento de x= 0 a x = 1 m

(tringulo)

W5 = (1)(2) = 1 J

Para el desplazamiento de x = 0 a x = 2 m

(trapecio)

W6 = (2+1)(2) = 3 J

Para el desplazamiento de x = 0 hasta x= 3 m

(trapecio)

W7 = (3 + 2)(2) = 5 J

x

Figura 5.24 Energa potencial

Para el desplazamiento de x = 0 a x = 4 m

(trapecio)

W8 = (4+2)(2) = 6 J

b) Desde que el trabajo realizado W es la

energa potencial U graficamos (ver fig 5.24) los

pares de puntos hallados en (a) (-4,12) (-3,8)

(-2, 4) (-1, 1) (0,0) (1, 1) (2, 3) (3, 5) (4, 6)

18.Una partcula de masa m se mueve en un

crculo horizontal de radio r sobre una mesarugosa. La partcula est sujeta a una cuerda

fija en el centro del crculo. La velocidad de la

partcula es inicialmente vo. Despus de

completar una vuelta alrededor del crculo, la

velocidad de la partcula es vo. a)

Determinar el trabajo realizado por la friccin

durante una vuelta en funcin de vo, r y m. (b)

cul es el coeficiente de friccin cintica?

(c) Cuntas vueltas dar la partcula antes de

alcanzar el reposo

Solucin a) Puesto que el trabajo realizado

por cualquier fuerza que es perpendicular al

desplazamiento es nulo. La nica fuerza cuyo

trabajo no es nulo es la fuerza de friccin cuya

direccin es opuesta al del desplazamiento.

Por tanto la prdida de energa cintica se

debe al trabajo de la fuerza de friccin:

Wf= -Ec = - (Ecf Eci)

Wf = - [ m(v0/2)2 mvo

2 ] = 83 mvo

2 (1)

b) Teniendo en cuenta que la fuerza de friccin es f

= kN = kmg y la longitud del camino recorrido

en una vuelta es d = 2r; el trabajo de la fuerza

de friccin queda expresada por:

Wf = fd = (kmg) (2r) (2)

Igualando los resultados (1) y (2) y despejando elcoeficiente de friccin se tiene

83 mvo

2 = kmg.(2 r) k=gr

v

16

32o

c) El nmero de vueltas se obtiene dividiendo la

energa inicial entre la energa disipada en

cada vuelta, esto es:

n =2

o83

2

o21

mv

mv= 8/6 = 1,33 vueltas


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

12

8

4

U


21/34

19 Una partcula P se mueve sobre una

circunferencia de radio R, bajo la accin de

la fuerza F = Fosen tangente a la

circunferencia. Calcular el trabajo que serealiza para trasladar la partcula desde el

punto A a la parte ms alta. .

P

R

Figura 5.25 Fuerza tangencial

Solucin: Desde que la partcula se mueve a

lo largo del arco de circunferencia, el

desplazamiento dr y la fuerza F son

paralelos, entonces el trabajo est dado por:

W = F.dr = Fds cos0 = Fds

donde el arco diferencial ds es el mdulo del

vector dr y subtiende un ngulo d.

F d r

d R

A

Figura 5.26 desplazamiento diferencial dr

Luego, reemplazando en la frmula hallada F

= Fosen , ds = Rd e integrando entrelmites = 0 y = 90 (parte ms alta de latrayectoria) se tiene:

W = Fosen Rd = RFo sen dW = RFo (-cos) ] 0

90

= RFo

20. Una fuerza cuyo valor en SI es F = 6x2 - 2x

acta en la direccin del eje +X desde x = 1 m

hasta x = 5 m Calcular el trabajo realizado.

Solucin. Segn los datos tanto la fuerza

como el desplazamiento apuntan en la

direccin +X. Por tanto el trabajo realizado

est dado por:

W = Fdx = 5

1(6x2 2x)dx

W = 2x3 - x2 ]1

5

=2(5)3-(5)2 - [2(1)3 - (1)2]

W = 224 J

21 Una partcula describe la trayectoria OAB en

el plano XY como se muestra en la figura 5.27,

donde las coordenadas se miden en metros.

Si el movimiento es producido por la nica

fuerza. F = 4x i + 4yj N.

y B(3,3)

0 A(1,0) x

Figura 5.27 Trabajo y trayectoria

Calcular el trabajo total efectuado sobre el

cuerpo en su recorrido OAB.

Solucin. WOAB = WOA + WAB

W = F.dr

WOA = (4x i + 4yj ) . ( dx i )

WOA = ]4 2 220

1

0

1

x dx x= = J

WAB = (4x i + 4yj ). ( dx i + dyj)WAB = (4x dx + 4y dy) =

3

1dxx4 +

3

0ydy4

WAB = [2x2 ] 31 + [2y

2 ]3

0 = 16 + 18 = 34 J

luego; WOAB = 2 J + 34 J = 36 J.

22. Una partcula describe una trayectoria

circular por accin de una fuerza de valor

constante Fo y tangente a la curva de radio R.


F

A

ds

dr


22/34

Calcular el trabajo realizado en una vuelta

completa.

R d r

F o

Figura 5.28

Solucin: El desplazamiento diferencial en

una trayectoria circular es tangente a la curva por

tanto, desplazamiento y fuerza son paralelos.

Entonces si ds es el valor del desplazamiento

tangencial, el trabajo est dado por:

W F ds F dso o

R

= = 0

2

W = 2RFo

23.- Un bloque de 5kg de masa se desplaza

sobre el eje +X bajo la accin de la fuerza F

que depende de x conforme se muestra en la

figura 5.29. Si el bloque tiene una velocidad de 3

6 m/s en el origen, calcular la velocidad al

final del tramo.

F(N)

30

0 2 4 6 9 12 m

Figura. 5.29

Solucin Con los datos que se registran en lafigura 5.29 y sabiendo que m = 5 kg; vo =

3 6 m/s y se tiene

W F dr =

= AREA bajo la curva.

Areas: A1 = 302 = 60; A2 = 230/2 = 30

A3 = 330/2 = 45;A4 = 330 = 90

Trabajo W = A1 + A2 + A3 + A4

W = 60 + 30 + 45 + 90 = 225 J

Por el teorema del trabajo y la energa

W = Ec = mv2 - mvo2

225 = (5)v2 - (5)(3 6 )2

v = 12 m/s.

24. Hallar el trabajo efectuado por una

partcula al desplazarse bajo la accin de una

fuerza segn las variaciones que se muestran

en la figura 5.30.

F(N)3

21

0-1 x (m)

-2

Figura 5.30

Solucin.. El trabajo est dado por el rea

sombreada: dos rectngulos (positivo y

negativo) y un trapecio (positivo).

321

0-1 3 4 5x (m)

-2

Figura 5.31

W = F.dr = Area = 3(1) - 2(1) +3 2

22

+

W = 6 Joule.

Observe que el rea que est bajo el eje x es

negativo

25. a) Determinar el mnimo acortamiento L del

resorte para que el bloque de masa m de la

figura 5.32 recorra una pista rectilnea con

coeficiente de friccin y luego sea capaz deseguir la pista del crculo vertical, de radio R,

donde = 0 sin abandonarlo en ningn sitio.

b)Hallar la fuerza que ejerce la pista sobre el

bloque en el punto C definido por el ngulo


1 2 3 4 5


23/34

R

m

L L A B

Figura 5.32

Solucin. a) Para que el bloque no abandone la

pista en ningn sitio, su aceleracin

centrpeta en D tiene que ser al menos

igual a la aceleracin g. Esto es:

a gv

RcD

= =

2

vD2 = gR

Por conservacin de energa en B es:

mvB2 = mvD

2 + mg(2R)

reemplazando el valor de vD2 hallamos

mvB2 = (5/2)mgR

Luego la energa de la masa al abandonar el

resorte es:

k (L)2 = mg(L+L)+ mvB2

donde mg(L+L) es la energa disipada en el

trayecto de longitud (L+:L). Resolviendo la

ecuacin cuadrtica para L se tiene:

L =

++

+

R2

5L

k

mg2

k

mg

k

mg2

b) Calculemos ahora en C la fuerza que

ejerce la pista sobre el bloque.

R FN

mg

Figura 5.33

En la figura la fuerza de contacto o fuerzanormal (FN) y la fuerza centrpeta FC estn

relacionadas por:

FN + mgcos( - ) = Fc =R

mv 2

Para determinar v2 utilizamos la ley de

conservacin de energa mecnica:

mvB2 = mv2 + mg[R+Rcos(180-)]

de donde; v2 = gR(3 + 2cos)

esto es: FN = 3mg(1 + cos)

26. Un cuerpo recorre la pista ABC de la

figura. Partiendo de A con velocidad

inicial vo = 5 m/s El tramo AB es liso pero

en BC el coeficiente de friccin es = 0.2

Calcular la velocidad que tiene el cuerpo al

llegar al punto C

vo = 5 m/s

h = 15 m

Figura 5.34 Bajando por la rampa

Solucin. La energa total en el punto C ser

igual a la emerga total en A menos lasprdidas de energa por friccin en el

trayecto BC = d:

EC = EA - Wf

Dado que la energa potencial en A es mgh y

es nula en B y C se tiene:

mvC2 = ( mvA

2 + mgh ) - mgd


A

B C5m

-


24/34

de donde, despejando la velocidad vC se tiene:

vC = gd2gh2v2

A +

Desde que los datos estn en SI, por sustitucindirecta obtenemos el resultado

vC = )5)(8,9)(2,0(2)15)(8,9(252 +

vC = 17,3 m/s

27. Con los datos de la figura 5.35 y aplicando el

teorema del trabajo y la energa hallar en

magnitud y direccin la fuerza adicional F1

que acta sobre la masa M de 1 kg de modo

que su velocidad cambie de vo = 2 m/s a v =30 m/s

M

vo = 2 m/s

10 m v = 30 m/s

= 0,130

Figura 5.35

Solucin. Si W = Fd es el trabajo de la

fuerza resultante (F) segn el teorema del

trabajo y la energa se tiene:

Fd = Mv2 - Mvo2 (1)

donde d = 10csc30 = 20m, M = 1 kg, v = 30m/s, vo= 2 m/s Sustituyendo datos obtenemos:

F = 22,8 N

La sumatoria de fuerzas en la direccin del

movimiento es:

Fix = mg sen30 - f + F1 = F (2)

donde F1 es la fuerza adicional que est por

determinar y f es la fuerza de friccin:

f = N = (Mg cos30) (3)

Luego, reemplazando (3) en (2) y despejando F1tenemos

F1 = F + Mg(cos30 - sen30) (4)

Haciendo: F = 22,8 N, = 0,1, g =10 m/s2

F1 = 22,8 + 1(10)[0,1(0,866) 0,5]

F1 = 18,67 N en direccin descendente.

28.- Un bloque se encuentra inicialmente en

la posicin mostrada en la figura, cuando el

resorte A se encuentra comprimido LA = 0,2 m.

A B

m lisa rugosa lisa

2,2 m 2m 1m

Figura 5.36 Pista rugosa y liza

Se suelta el resorte A y el bloque va a chocar

contra el resorte B y este se comprime y otra

vez el bloque se mueve pero en sentido contrario,se desea saber, Cunto recorre e l bloque desde

que empez su movimiento hasta que se

detiene? (kA = kB = 300 N/m, = 0,2; m = 1 kg,

g = 10 m/s2).

Solucin.. Energa del bloque al abandonar el

resorte A:

EA = kA(LA )2 = (300)(0,2)2 = 6 J.

Energa disipada al pasar el bloque sobre lasuperficie rugosa.

Wf= mgd = (0,2)(1)(10)(2) = 4 J.

Se observa que por cada pasada se disipa 4J

de energa; por tanto la energa que se

convierte en energa potencial del resorte B

es la diferencia EA - Wf :

kB(LB )2

= 6J - 4J = 2J



25/34

es decir::

BB k

4

L = 3004

=LB = 0,115 m.

Con la energa de 2J; el bloque slo puede

recorrer de retorno la mitad de la distancia

con superficie rugosa. La distancia total

recorrida es:

ida = 2,2 + 2 + 1 + 0,115 = 5,315 m

retorno = 0,115 + 1 + 1 = 2,115 m

total = 7,430 m

29. Una partcula de masa m se mueve con

una energa potencial dada por:

4

2

opx8

x1U)x(E

++

=

a) graficar Ep(x) vs x. b) encontrar la fuerza.

c) determinar los puntos de equilibrio. d)

analizar el movimiento cuando la energa

mecnica total es E = - Uo

Solucin: a) Para hacer la grfica de modo

cualitativo hallamos:

Intersecciones: x = 0 Ep(0) = -8

U o

Asntotas: vemos que cuando x, Ep() 0-Entonces el eje X es asntota

Simetra Introduciendo el cambio x -x enla ecuacin dada, encontramos que los

resultados son iguales: Ep(x) = Ep(-x)

Entonces el eje Y ( Ep): es eje de simetra.

Puntos crticos: se obtienen de la solucin de

la ecuacin :dE

dx

p= 0

0)x8(

)x4)(x1()x2)(x8(24

324

=

+

++

luego de simplificar la ecuacin a resolver es:

x(8 - 2x2 - x4) = 0

De esta expresin vemos que x = 0 es unaraz; las otras races se obtienen de:

x4 + 2x2 - 8 = 0

resolviendo la ecuacin de cuarto grado

x2 = - 1 8)1( 2 +

x2 = -13 x2 = 2, x = 2x2 = -4, x = imaginario

Por tanto, existen puntos crticos en

x = - 2 , 0, + 2

Mximos y mnimos: Para decidir si un punto

crtico es mximo mnimo podemos hallar

la pendiente a la izquierda del punto crtico.

Si el resultado es positivo se trata de un

mximo de lo contrario es un mnimo.

Sean x = -1,5, -1, +1 respectivamente lospuntos a la izquierda de - 2 , 0 , + 2

La pendiente Ep' = dEp/dx est dada por:

Ep' = 24

324

o)x8(

)x4)(x1()x2)(x8(U

+++

Ep' = 24

42

o)x8(

)x4x28)(x2(U

+

Los resultados son:

x = -1.5, Ep' < 0, Ep(- 2 ) = -Uo (mn)

x = -1, Ep' > 0 , Ep(0) = - (1/8)Uo (max)

x = +1, Ep' < 0 , Ep(+ 2 ) = -Uo (mn)

Con estos datos podemos trazar la grfica

Ep(x) vs x


Ep/Uo


26/34

Figura 5.37 Curva de energa potencial

la fuerza se obtiene de F =

E

x

p

Con la derivada hallada anteriormente

tenemos:

24

42

o)x8(

)x4x28)(x2(UF +

=

c) Puntos de equilibrio: Los puntos de

equilibrio estable son aquellos de mnima

energa potencial.

Estos puntos son: x = 2 , Ep = 14 Uo

Los puntos de equilibrio inestable, son los

puntos de mayor energa potencial. En este

caso slo tenemos uno en x = 0 cuya

energa es:

Ep = -1

8Uo

d) si la energa total es E = 14 Uo, seencuentra en el punto de equilibrio estable,

donde la energa potencial es Ep = 14 Uo,

por tanto no hay energa cintica y el cuerpo seencuentra en reposo.

30. Un objeto de masa m ejecuta un

movimiento a lo largo del eje x, de manera

que su desplazamiento x(t) al tiempo t est

dado por: x(t) = Asent; donde A y en unmovimiento armnico simple (MAS) son

constantes y se denominan respectivamente

amplitud y frecuencia. Determinar: a) La

potencia para mantener esta clase de

movimiento en cualquier instante. b)

Determinar la potencia requerida cuando: A =

1,5m, m = 5kg, = 12,57 rad/s t = 0,0625 s

Solucin: La potencia instantnea est

dada por:

P = F.v

siendo F la fuerza y v la velocidad instantnea,

cuyo valor calculamos as:

vdx

dt

d

dtA t= = ( sen ) = A cost

Luego la aceleracin a y la fuerza F del MAS

son respectivamente:

adv

dt

d

dtA t= = ( cos ) = - A2sent

F = ma = - mA2sent

La potencia instantnea desarrollada por la

fuerza interna o recuperadora es:

P = Fv = (- mA2

sent)(Acost)P = - mA23sentcost

P = - mA23sen(2t)

Reemplazando datos en el sistema SI

P= - (5)(1,5)2(12,57)3sen[2(12,57)(0,0625)]

P = - 1,12104 watts.

5.13 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un automvil de 3000 kg de peso chocacontra un muro de concreto. Despus del

choque se observa que slo el auto ha sufrido

deformacin (abolladura). Los experimentos han

mostrado que se requiere de un trabajo de 300 kJ

para producir una deformacin como la que

sufri el automvil. Cul era la velocidad de

impacto ?

2. Se dispara una bala de 4 g de masa con

una velocidad de 600 m/s a un bloque de

madera de 5 kg que se encuentra sobre un

piso horizontal. Si el coeficiente de rozamiento


-3 -2 -1 0 1 2 3

-1/ 8

-1/ 4

x


27/34

entre el piso y el bloque es 0,2; calcular la

distancia que se desliza el bloque, el porcentaje de

la energa inicial disipada en el rozamiento entre el

bloque y el piso, si el impulso recibido por le

bloque es 2,4 N.s

3. Un bloque de 15 kg de peso se desliza

desde lo alto de un plano inclinado 37 con la

horizontal. En el piso contina su movimiento

hasta el punto C determinar la distancia

horizontal recorrida si la longitud del plano

inclinado es de 10 m y el coeficiente de

friccin es 0,1 en todo el trayecto .Que cantidad

de energa mecnica se transform en calor ?

A

B C

Figura 5.38 Generando calor

4. Desde el pie de un plano inclinado 30 con

la horizontal se lanza un bloque de 1 kg en

direccin ascendente con una velocidad

inicial de 50 m/s. Si el coeficiente de friccin entreel bloque y el plano es de 0,2; calcular el trabajo

realizado por la friccin, en el movimiento

ascendente.

5. Dos masas iguales unidas mediante una

cuerda que pasa por una polea como se indica

en la figura. Si al dejarlas en libertad, la que est

sobre la superficie horizontal recorre la

distancia h + d antes de llegar al reposo.

Encontrar el coeficiente de friccin en funcin

de h y d.

m

h

Figura 5.39

6. Un collar de 3 kg est unido a un resorte y

resbala sin rozamiento a lo largo de una barra

circular que descansa en el plano horizontal.

El resorte tiene una constante k = 3 N/cm. y

est sin deformar cuando el collar est en B.

Si se suelta del reposo en D. Calcular: a) La

velocidad del collar cuando pasa por C. b) La

fuerza que hace la barra sobre el collar. R= 12cm. d = 5 cm

B

d

A C

R

collar

Figura 5.40

7. Se suelta en "A" un bloque con velocidad cero,

que se desplaza sobre la gua lisa hasta el

punto B donde abandona la gua con una

velocidad horizontal. Si h = 8 m y b = 3 m;

determinar: la velocidad del bloque cuando

golpea la pista en "C" y la distancia "d"

A

B

h

b

C

Figura 5.41

8.Cuando un cuerpo se encuentra a grandes

alturas sobre la superficie de la Tierra (de

radio R), Su peso est dado por:

P = - mgR

R x+

2

donde, mg es el peso en la superficie

terrestre, y x la altura medida desde el nivel

del mar. Calcular el trabajo que se realiza al

levantar al cuerpo desde la superficie

terrestre hasta una altura R


37

d

10m

D

m


28/34

9. Un camin lleva una caja de 100 kg y

acelera uniformemente desde el reposo hasta

63 km/h. Calcular el trabajo efectuado por el

camin sobre la carga.

10 Una persona tira hacia arriba de una carga

pesada de 80 kg de masa por el muro exterior

de un edificio, empleando una polea sin

friccin, La carga sube una altura de 34 m.

Considere que la carga se mueve con

velocidad constante y no tenga en cuenta

aceleracin alguna al inicio o fin del

movimiento a) Cunto trabajo efecta la

gravedad sobre la carga.? b) Cunto trabajo

efecta la tensin de la cuerda sobre la

carga?. c) Cunto trabajo efecta la personasobre la carga?.

Figura 5.42 Venciendo a la gravedad

11. Calcular el trabajo que debe efectuar una

fuerza dirigida hacia arriba para elevar una

cuerda enrollada de longitud L y masa M

apartndolo por completo de la superficie

12. Un trabajador de la construccin con 75

kg de masa iza una carga de ladrillos de42 kg de masa. Pasa una cuerda por una

polea y deja que su peso eleve la carga.

Suponiendo que no hay friccin, cul es el

trabajo que efecta la gravedad, durante un

periodo de 2,0 s?

13. Por una cascada de 40 m de altura caen

200 m3 de agua por segundo. Cuantos

joules de trabajo efecta la gravedad cada

hora?, la masa de 1 m3 de agua es 1000 kg

14. Dos caballos en las orillas opuestas de un

canal rectilneo tiran de una balsa de 3000 kg

de masa. Las cuerdas que atan a los caballos

con la balsa forman, cada una, un ngulo de

30 con la direccin de avance de laembarcacin. Los caballos tardan 1 minuto

en acelerar la nave a una velocidad de 1 m/s.

cuanto trabajo neto se efecta sobre la barcaza

durante ese minuto, suponiendo que la

aceleracin es uniforme?

30

30

Figura 5.43

15. Se arroja una piedra desde una altura ho

sobre un terreno plano y sale de la mano a un

ngulo de 40 sobre la horizontal. No tenga en

cuenta los efectos de la resistencia del aire. a)

calcular el trabajo efectuado por la gravedad,

al caer la piedra de nuevo a la altura ho.

Recuerde que el movimiento se puede dividir

en movimiento en direccin vertical y

horizontal b) Demuestre, aplicando el teorema

del trabajo y la energa que la velocidad de la

piedra al llegar de nuevo a ho es idntica a la

velocidad que tena al salir de la mano

16. La fuerza F (3,2,0) acta sobre un cuerpo

que pasa de r1 = (14,1,3), a una nueva posicin

r2 = (16,4,6). Si stas cantidades estn expresadas

en el sistema SI Cunto trabajo efecta estafuerza sobre el cuerpo?.

17. Una caja de 50 kg se desliza pendiente

abajo de un plano inclinado que forma un

ngulo de 30 con la horizontal, partiendo del

reposo en la parte superior del plano. La

velocidad de la caja al llegar al pie del plano

de 10 m de longitud es 8 m/s. Cul es el

coeficiente de friccin? Cunto trabajo efecta

la fuerza de friccin?



29/34

18. La fuerza sobre una partcula est dada

por F = x, siendo = - 4,00 N/m cuando x

< 0, y = + 6,00 N/m para x > 0. Calcule eltrabajo efectuado por la fuerza sobre un

bloque, cuando ste pasa de x = - 4 m hastax = + 2 m.

19. Un resorte especial (no estndar) ejerce

una fuerza F = - k1x - k2x3 para restaurarse al

equilibrio, siendo x la distancia del punto de

equilibrio. Los valores de k1 y k2 son 5,0

N/m y 15 N/m3, respectivamente. Calcule el

trabajo efectuado para estirar el resorte de

0,10 m hasta 0,20 m

20. Las componentes de una fuerza F son:

Fx = 2xy - 2y2 y Fy = - 2xy + 2x

2 . Calcule

el trabajo efectuado sobre un cuerpo de 4,0

kg de masa, si se mueve en una trayectoria

cerrada desde (x,y) = (0,1), pasando por (4,1),

(4,3), (0,3) y de nuevo (0,1). La trayectoria

entre los puntos es a lo largo de la recta ms

corta .

21. Una fuerza acta sobre un cuerpo de

masa m que se mueve en el plano xy. Lafuerza es F(x, y) = k1x i + k2yj. Calcule el

trabajo efectuado sobre el cuerpo al

moverse en un crculo de radio 1 m, expresado

por x2 + y2 = 1; comenzando en x = 1 m, y = 0 m

y terminando en un punto que forme un

ngulo de a) 90, b) 180, c) 360 con la

direccin original del radio vector de posicin

(sugerencia el problema se simplifica si se

usan coordenadas polares, r y , siendo x =

rcos, y = rsen )

22. Se emplean simultneamente dos motores

para mover una masa de 100 kg, partiendo

del reposo una distancia de 100 m en lnea

recta por una superficie horizontal sin

friccin. El motor 1 ejerce una fuerza constante de

12 N y el motor 2 de 36 N. a) Qu trabajo

efecta cada motor b) Cul es la potencia

promedio suministrada por cada motor?

23. Un cuerpo de 4,0 kg de masa cuelga de

un resorte fijo en el techo, Sin la masa el

resorte tiene 40 cm de longitud. Cuando se le

fija la masa, el resorte se estira hasta una

longitud de 80 cm. Cul es el trabajo

efectuado por la fuerza de gravedad durante el

estiramiento?

24. Una fuerza constante de 10 N empuja una

partcula a lo largo del eje x. La posicin de

la partcula est representada por x = 11 - 2t

+ 0,5t2. Calcule el trabajo efectuado por la

fuerza entre t = 0 s y t = 1 s y entre t = 1 s y

t = 2 s .Es conservativa la fuerza ?

25. La fuerza neta que acta sobre una

partcula depende de la posicin de la

partcula en el eje x, de acuerdo con laecuacin: F = Fo + Cx donde Fo = 20 N y C

= -10 N/m. La partcula se encuentra

inicialmente en reposo en el punto x = 0,

cuando la fuerza comienza a actuar .

a) Calcule el trabajo efectuado por la f uerza

cua ndo la par tc ula lle ga a x = 1 , 2, 3,

4 m . b) determine cualquier posicin que no

sea x = 0 en la cual el trabajo efectuado sea cero

c) Es conservativa la fuerza?

26. Un cuerpo de masa m debe pasar de la

azotea de un edificio, a una altura h, a un

punto en el piso, a una distancia horizontal h

de su lugar inicial, de modo que el vector de

posicin inicial se puede escoger como hj y

la posicin final como hi. Hay dos

trayectorias posibles a) el cuerpo se baja con

una cuerda, a velocidad constante y, al

haber llegado al piso, se mueve

horizontalmente hasta su ubicacin final; y

b) el cuerpo se deja resbalar a lo largo de unsoporte rectilneo que va del punto inicial

al punto final. Demuestre que el trabajo

efectuado por la gravedad es igual en ambos

casos.

27. Demuestre que, si una fuerza que acta

slo en una dimensin en funcin de la

posicin, y de ninguna otra condicin de su

movimiento, esa fuerza es conservativa.

Incluye lo anterior fuerzas con magnitud

constante?. En vista de su respuesta cmo se



30/34

las arregla la fuerza de friccin para ser no

conservativa?

28. Una fuerza constante y desconocida F

empuja un objeto de 10 kg verticalmentehacia arriba, a partir del reposo, desde el piso. A

una altura de 2 m, la velocidad del cuerpo es v =

2,4 j m/s a) calcule el cambio de energa

potencial asociada con la gravedad b) Cul

es el trabajo neto efectuado y cul el que

efecta la fuerza desconocida?

29. Cuando estn muy alejados dos tomos

unidos por una lnea no hay fuerza entre

ellos. Al comenzar a acercarse hay una

atraccin entre ellos. La cual a distanciasmuy cercanas, se vuelve una fuerza muy

repulsiva. Haga un esquema cualitativo de. la

energa potencial como funcin de la

distancia entre los tomos

30. Un cuerpo est sujeto a una fuerza

unidimensional expresado por F = A + Bx.

La velocidad de un cuerpo de masa m en el

punto x = xo es v = vo. Para qu valores de x

la velocidad es cero?

31. Un resorte tiene una constante igual a

100 N/m y obedece la ley de Hooke. Hasta

donde se debe comprimir el resorte si su

energa potencial debe ser 30 J ? Cul es la

masa de una pelota en el extremo del resorte, si

la velocidad mxima de sta es 3,0 m/s

cuando se suelta el resorte?

32. La energa de un oscilador armnico

(que es una masa que se mueve en el extremo

de un resorte) est representada por E = mv2 + kx2. Haga una grfica del contorno

de E constante en la cual x se mida en un eje

y v en el eje perpendicular. Escoja los

parmetros E = 16. J , m = 2,0 kg y k = 8,0

J/m2 . Dicha grfica se llama grfica de

fase; el movimiento de un sistema se

restringe a la curva que corresponde a la

energa E.

33. Para la energa potencial Ep(x) que se ve

en la figura: a) Cul es el signo de la fuerza

en las posiciones de 1 a 6. b) Cules

posiciones tienen las fuerzas ms

posi t iva, ms negativa o cero? c)

Determine las posiciones de equilibrio e

indique si este es estable o inestable.

Figura 5.44

34. La energa potencial de dos tomos

separados una distancia r se puede representar

con U(r) = Uo[(ro/r)12-2(ro/r)

6] Calcule la

separacin r, en la cual no existe fuerza entre

los tomos. Cul es la magnitud de la energa

potencial en ese lugar?

35. El pndulo de longitud L mostrado en la

figura es soltado desde el punto A. Cuando se

encuentra en la posicin vertical, la cuerda toca

a la clavija en el punto B y la pelota oscila a

travs del punto C. a) Qu tan rpido se

mueve la pelota al pasar por C?. b) Si se

desprecia la fuerza de friccin, la pelota

alcanzar una rapidez lmite a medida que la

cuerda se enrolla en la clavija. Cul es esa

rapidez?

A L

B C13 L

Figura 5.45 pndulo

36. Un resorte vertical con k = 200 N/m,

tiene en su parte superior una plataforma

ligera. Cuando una masa de 0,5 kg se

coloca sobre la plataforma, el resorte se


0x

Ep(x)

1

2

3

4

5

6

Energa


31/34

comprime 0,0245 m. La masa se empuja

todava hacia abajo 0,0755 m y se suelta.

Qu tan lejos volar la masa sobre esta

ltima posicin?

37. En la figura 5.46, ningn resorte est

deformado, cuando se hallan en la posicin

mostrada. Si ahora la masa es desplazada 20

cm hacia la derecha y se suelta, encuntrese

a) la rapidez del bloque al pasar por la

posicin de equilibrio. b) Qu tan a la

izquierda se desplaza el bloque antes de

llegar al reposo? k1 = 8 N/m k2 = 5 N/m , m

= 4 kg

k1 k2m

Figura. 5.46 Superposicin de fuerzas elsticas

38. Un bloque de masa m se halla en reposo

sobre una mesa sin friccin dentro de un

ferrocarril que se mueve en una va

horizontal recta con una rapidez vo. Una

persona que viaja en el ferrocarril aplica al

bloque una fuerza neta F durante un tiempo t

en la direccin del movimiento del ferrocarril.

Calclese para un observador fijo en el

ferrocarril y para un observador fijo en tierra

las siguientes magnitudes: a) la rapidez final

del bloque. b) el cambio en la energa

cintica c ) en trminos de F, m y t , el

desplazamiento del bloque d) el trabajo

realizado por F e) la diferencia entre el

trabajo realizado y la energa cintica ganada

Qu puede concluirse de este clculo?

39. La curva de energa potencial gravitacional

para un objeto de masa m a una distancia r

del centro de la Tierra, se muestra en la

figura 5.47. El cero de energa se toma

cuando la separacin entre la Tierra y la

masa m es infinita. Si un objeto se suelta

lejos de la Tierra, encuntrese su rapidez a

una distancia r = 2RT del centro de la Tierra,

donde RT es el radio de la Tierra.

Ep/m

1 2 3 4 r/RT

-31106

-62106

Fig 5.47 Curva de Energa potencial

40. Una partcula se mueve en un campo

conservativo de energa potencia Ep = 20xy/z.

Encuntrese la fuerza vectorial ejercida sobre

la partcula.

41. Dos resortes de longitud L cuando estn

en equilibrio, estn fijos a los puntos cuyas

coordenadas son: (-L,0) y (0, L). Se fija una

masa m a los extremos libres de ambos y se

desplaza hasta el punto (0, y). Cul es la

energa potencial del sistema, si las

constantes de los resortes son k1 y k2

respectivamente?. Use lo anterior para

calcular la fuerza en la direccin del eje Y

42. Una fuerza que acta en el plano xy es

conservativa y tiene funcin energa potencial

Ep(x) = A(x2 + y2 + 2xy). Describa el

movimiento de una partcula de masa m que

est en el punto x = y = 0 en t = 0, con una

velocidad vo = voi

43. Determine si son o no conservativas:

a) F(x) = ax + bx2 + cx4 b) F = Axyi+ By2j

44. Una pelota en el extremo del pndulo de

longitud L se suelta partiendo del reposo en

una posicin inicial en la cual el hilo del

pndulo es horizontal. El piso est

inmediatamente abajo del punto inferior de la

trayectoria. Al haber pasado ese punto, se

corta el hilo, cuando forma un ngulo = -90 . Determine la distancia horizontal que

recorre la pelota desde el punto de altura

mnima hasta que llega al piso.



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Figura 5.48

45. La superficie del agua en una cubeta est

determinada por la condicin de que la

energa potencial por unidad de masa,

referencia en el cual el agua est en reposo, es

constante en todos los puntos de la superficie.

Suponga que se pone a girar la cubeta a una

velocidad angular , alrededor de su eje

central vertical, y que el agua gira con la

cubeta. Deducir la forma de la superficie.

46. Una cadena de 1 kg de masa y 2 m de

longitud descansa en una mesa y 80 cm de

ella cuelgan de una orilla. Cunta energa se

necesita para volver a subir la cadena a la mesa?

47. Una representacin de la fuerza nuclear

entre dos nucleones (neutrn o protn) es lafuncin de Yukawa de energa potencial

Ep(r ) = -Ae-kr/r , en la cual 1/k tiene el valor

aproximado de 10-15 m y A es una constante

a) Grafique Ep(r) vs r en incrementos de

0,210-15 m hasta llegar a 2,410-15, Grafique

Ep(r) en unidades de A1015 b) A qu

distancia es mnima la energa potencial?. c)

Determine la fuerza F(r). d) Calcule la fuerza

cuando r = 0,110-15 m y 1010-15 m

48. Un ascensor y su carga tienen una masade 2000 kg y est contrapesado por una

placa metlica de 1700 kg que baja cuando el

ascensor sube. Cunto trabajo debe hacer el

motor contra la fuerza de la gravedad para

elevar 30 m el ascensor?

49. En la figura la polea y las cuerdas se

consideran sin masa. El coeficiente de

rozamiento cintico entre el bloque y el plano

es 0.2 y m = 84 kg . a) Cunto trabajo serealiza contra el rozamiento cuando el

sistema se desplaza 3 m? b) si inicialmente

se halla en reposo, cul es su velocidad

cuando se ha desplazado 3 m?

m

m

Figura 5.49 gravedad contra rozamiento

50. Un ciclista debe desarrollar una potencia de

100 Watts contra las fuerzas disipativas para

correr a una velocidad constante de 5 m/sen terreno llano. a) si las fuerzas disipativas

fueran independientes de la velocidad. que

potencia debera desarrollar a una velocidad

constante de 10 m/s? b) La parte de las

fuerzas disipativas debida a la resistencia del

aire aumenta de hecho rpidamente con la

velocidad, Si suponemos que las fuerzas

disipativas son proporcionales al cuadrado de la

velocidad. qu potencia debera desarrollar

para mantener una velocidad constante de 10

m/s ?

51. Para que un coche de 200 kg, pueda

mantener una velocidad constante de 65 km/h

debe realizar trabajo contra las fuerzas

disipativas a una tasa de 9 kW a) Cunto valen

las fuerzas disipativas?. b) Para que el coche

suba por una pendiente se necesita

suminstrarle cierta potencia adems de la

necesaria para mantener una velocidad constante

en terreno llano. qu ngulo forma la carreteracon la horizontal, si la potencia total

necesaria es el doble que en terreno llano?

52 a) Mediante el teorema del trabajo y la

energa determine la distancia ms corta en

que puede detenerse un auto con velocidad

inicial v sobre una superficie horizontal, si el

coeficiente de friccin esttica entre los

neumticos y la superficie es s b) Halle la

respuesta a la parte a) suponiendo que

transcurre un tiempo de reaccin t entre el



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instante en que el conductor percibe la orden

de detenerse y el momento en que aplica los

frenos

53. Un auto de 2000 kg de masa aceleradesde el reposo hasta 26 m/s en 20 s. Qu

potencia media se requiere para lograr esta

aceleracin?

54 Una de las fuerzas que actan sobre cierta

partcula depende de la posicin de sta en

el plano xy.

y B(0,1) C(1,1)

x

0(0,0) A (1,0)

Figura 5.50 comparando trayectorias

Esta fuerza F2, expresada en newtons est

dada por la expresin F = xy i + xy j.

Calcular el trabajo realizado por esta fuerza,

cuando la partcula se mueve del punto O al

punto C en la figura 5.50 a lo largo de:

a) la trayectoria OAC;

la trayectoria OBC;

la recta OC;

b) es conservativa la fuerza?

55 Un bloque de masa m se encuentra sobre

una superficie horizontal como se muestra en

la figura 5.51. Los coeficientes de friccin

esttico y cintico entre el bloque y lasuperficie son s y k respectivamente. El

bloque se encuentra atado a un resorte de

masa despreciable y de constante k. Al

comienzo el bloque se halla en reposo y el

resorte en su longitud normal, luego se da un

impulso de tal manera que empiece a

moverse hacia la derecha con una velocidad

vo

k

m

Figura 5.51 fuerza elstica contra friccin

a) Cunto se habr alargado el resorte

cuando cesa el movimiento hacia la derecha?

b) Encuentre un criterio para decidir si el

bloque regresar hacia la izquierda o si

simplemente permanecer en el punto de

mxima elongacin obtenido en la parte (a).

c) Calcule las expresiones obtenidas en las

partes (a) y

(b) cuando m = 10 kg, k = 100 N/m vo = 1

m/s s = 0,30 y k= 0,15

56. Uno de los extremos de un resorte se

encuentra unido a un pivote O que se halla en

el extremo de un soporte vertical fijo como

se muestra en la figura 5.52 . El resorte tiene

una longitud normal y una constante k. En

el extremo libre del resorte se asegura uncuerpo mediante un pivote. El cuerpo se

obliga a moverse, mediante una gua, sobre

una pista circular de radio r horizontal y lisa,

cuyo centro se encuentra a una distancia h de

O Para las preguntas (a) hasta (d) considere

la situacin libre = o para definir la

posicin de referencia de la energa potencial

a) Cul es la energa potencial del sistema

cuando el cuerpo se halla en la punto A?.

Exprese el resultado en funcin de k, h

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05FISICA1 Trabajo y Energia