PROBLEMAS Y EJERCICIOSDE MECNICA CUNTICAEDICIONES CIENTFICAS UNIVERSITARIASTEXTO CIENTFICO UNIVERSITARIOuis de la ea irna illavicencioPROBLEMAS Y EJERCICIOSDE MECNICA CUNTICAos autores de la presente obra nos dicen en suPrefacio: En este volumen se discute condetalle la solucin de cada uno de losproblemas sugeridos al lector en el textoIntroduccin a la mecnica cuntica, de Luis de la Pea, a los quese han agregado otros para redondear su contenido. Durante laelaboracin del volumen se ha tenido presente en todo momen-to que, mucho ms importante que la mera solucin de un ejer-cicio, es el valor didctico que el proceso de su solucin puedetener para fijar y mejorar la comprensin del tema en estudio.Este libro, tal como sucede con el texto que le sirve de base,est destinado en primer lugar a los estudiantes de nivel de licen-ciatura que desean adquirir un slido conocimiento de los princi-pios de la mecnica cuntica, particularmente estudiantes de lascarreras de fsica y afines, como algunas de las ingenieras mo-dernas o la qumica terica. Sin embargo, el nivel se extiende demanera natural hasta cubrir varios temas ms propios de losestudios de posgrado o de cursos especializados; es el intersdel propio alumno el que debe decidir hasta dnde avanza encada ocasin. La organizacin del volu-men es directa: en la primera seccinde cada captulo se resuelven to-dos y cada uno de los problemaspropuestos en Introduccin a lamecnica cuntica Sigue encada caso una segunda sec-cin en que se resuelven y dis-cuten de manera anloga losproblemas adicionales Final-mente, aparece la seccin deejercicios a resolver; el nivelde estos ejercicios es normal-mente introductorio.UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICOFONDO DE CULTURA ECONMICADiseo de portada: Guadalupe Villa Ramrez

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illavicencio9 789681 670351LProblemas yMec. CuantPortFor 3/1/10 6:35 PM Page 1EDICIONES CIENTFICAS UNIVERSITARIASSerie Texto Cientfico UniversitarioProblemas y ejercicios de mecnica cunticaLuis de la Pea realiz sus estudios de ingeniero en comunicacionesy electrnica en la Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctri-ca (esime) del Instituto Politcnico Nacional, y el doctorado en cien-cias fsico-matemticas en la Universidad Estatal Lomonosov deMosc. Desde 1958 labora en el Instituto de Fsica de la UniversidadNacional Autnoma de Mxico (unam), del cual es investigadoremrito. En 1984 se le otorg la Medalla Acadmica de la SociedadMexicana de Fsica, en 1989 el Premio Universidad Nacional (en In-vestigacin en Ciencias Exactas) y en 2002 el Premio Nacional deCiencias y Artes en el rea de Ciencias Fsico-Matemticas y Naturales.Mirna Villavicencio realiz sus estudios de licenciatura y maestraen la Facultad de Ciencias de la unam. Desde 1993 es profesoraasociada del Departamento de Fsica de la Facultad de Ciencias de launam.LUIS DE LA PEA MIRNA VILLAVICENCIOPROBLEMAS Y EJERCICIOSDE MECNICA CUNTICAUniversidad Nacional Autnoma de MxicoFondo de Cultura EconmicamxicoPrimera edicin, 2003Se prohbe la reproduccin total o parcial de esta obra incluido el diseo tipogrco y de portada, sea cual fuere el medio, electrnico o mecnico, sin el consentimiento por escrito del editorAgradecemos sus comentarios y sugerencias al correo electrnicolaciencia@fce.com.mxConozca nuestro catlogo enhttp://www.fondodeculturaeconomica.comD. R. 2003, Universidad Nacional Autnoma de MxicoEdicio de la Coordinacin Cientca, circuito exteriorCiudad Universitaria, Mxico, D.F.http://www.unam.mxD. R. 2003, Fondo de Cultura EconmicaCarretera Picacho-Ajusco, 227; 14200 Mxico, D. F.ISBN 968-16-7035-3Impreso en Mxico Printed in MexicoPea, Luis de la, y Mirna VillavicencioProblemas y ejercicios de mecnica cuntica / Luisde la Pea y Mirna Villavicencio Mxico : FCE,UNAM, 2003xxxii, 815 p. ; 28 21 cm (Colec. Seccin deObras de Ciencia y Tecnologa)Texto para nivel licenciatura, maestra y doctoradoISBN 968-16-7035-31. Fsica Mecnica cuntica I. Villavicencio, Mirnacoaut. II. Ser III. tLC QC 174.12 P46 Dewey 530.12 P562p

lndicc cncraIndice de guras XXIXPrefacio XXXII. La mecanica cuantica primitiva 1I.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.1. Lmites de la distribucion de Planck . . . . . . . . 1I.2. Ley de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . 2I.3. Ley de desplazamiento de Wien . . . . . . . . . . 3I.4. Frecuencia de corte para los osciladores de Planck 5I.5. Radiacion cosmica de fondo . . . . . . . . . . . . 6I.6. Energa de un cuanto de luz visible . . . . . . . . 7I.7. Funcion de trabajo del potasio . . . . . . . . . . . 7I.8. Perdida maxima de energa del foton en el efectoCompton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.9. Dispersion Compton . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.10. Energa de retroceso de un n ucleo que emite unfoton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.11. Dispersion y absorcion de fotones por cargas libres 12I.12. Potencia radiada en una orbita circular de Bohr . 13I.13. Orbitas elpticas en el modelo de Bohr . . . . . . 14I.14. Cuantizacion de Wilson-Sommerfeld para poten-cial proporcional a rk. . . . . . . . . . . . . . . . 16I.15. Cuantizacion de Wilson-Sommerfeld para poten-cial proporcional a 1/r3/2. . . . . . . . . . . . . . 18I.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.16. Energa emitida por un cuerpo negro . . . . . . . 18I.17. Efecto fotoelectrico en aluminio . . . . . . . . . . 18I.18. Retrodispersion de rayos X en el efecto Compton 19I.19. Un ejemplo de aplicacion del principio de corres-pondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.20. Cuantizacion de Wilson-Sommerfeld para un po-tencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.21. Fluctuaciones de la energa de un campo de radia-cion en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23viiProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaII. Propiedades estadsticas y ondulatorias del movimiento departculas 25II.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.1. Comparacion de longitudes de onda de de Broglie 25II.2. Longitud de onda de de Broglie y masa . . . . . . 26II.3. Modelo de Bohr y longitud de onda de de Broglie 26II.4. Radio de la primera orbita de Bohr y longitud deonda de luz visible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.5. Combinacion de dos distribuciones normales . . . 28II.6. Propiedades de una distribucion gaussiana . . . . 31II.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.7. Longitud de onda de de Broglie de electrones rela-tivistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.8. Masa relativista del electron y masa efectiva delfoton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.9. Longitud de onda de de Broglie en terminos de laenerga cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.10. Potencial cuadrado unidimensional y relacion dede Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35II.11. Difraccion de Bragg de primer orden . . . . . . . 35II.12. Presion de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36III. Ecuacion estacionaria de Schrodinger 39III.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.1. Coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 39III.2. Transformada integral de Fourier de diversas fun-ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40III.3. Solucion de algunos problemas de valores propios 42III.4. Densidad triangular de electrones en un pozo depotencial unidimensional . . . . . . . . . . . . . . 44III.5. Metodo de normalizacion de Gram-Schmidt . . . 46III.6. Valor medio de x y de x2en una caja de potencialunidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50III.7. Eigenfunciones para un pozo cuadrado innito yoperador de momento . . . . . . . . . . . . . . . . 50III.8. Evolucion de la funcion de onda para partculas enun pozo de potencial innito . . . . . . . . . . . . 50III.9. Mnima desviacion cuadratica media de la posicion 51III.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51IV. La partcula libre 53IV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53IV.1. Propiedades de la funcion delta de Dirac . . . . . 53IV.2. Una representacion integral de la funcion delta deDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56IV.3. Relacion entre la distibucion normal y la funciondelta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56IV.4. Funcion delta de Dirac y variables ignorables . . . 57viiiIndice generalIV.5. Funcion delta de Dirac en coordenadas polares . . 58IV.6. Funcion delta de Dirac en coordenadas esfericas . 59IV.7. Indenicion del origen del potencial en la ecuacionestacionaria de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . 60IV.8. Posicion y velocidad medias para un paquete departculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60IV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63IV.9. Transformada de Fourier de la funcion de onda departculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63IV.10. Evolucion de un paquete de partculas libres . . . 63IV.11. Propagacion sin distorsion de un paquete de partcu-las libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65IV.12. Velocidad de fase asociada a una onda de de Broglie 66IV.13. Velocidad de fase y velocidad de grupo de ondasen agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68V. Ecuacion completa de Schrodinger 71V.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71V.1. Generalizacion de la ecuacion de continuidad cuan-tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71V.2. Propiedades de continuidad de la derivada de lafuncion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71V.3. Propagador de la ecuacion de Schrodinger . . . . 72V.4. Propiedades integrales del propagador . . . . . . . 74V.5. Densidad de ujo en un pozo rectangular innito 75V.6. Fase de la funcion de onda como potencial de ve-locidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75V.7. Analisis de un estado no estacionario . . . . . . . 76V.8. Evolucion de un paquete bajo la accion de un cam-po constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78V.9. Evolucion de un paquete inicialmente uniforme . . 79V.10. Evolucion de un paquete inicialmente gaussiano . 79V.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81V.11. Evolucion de un paquete inicialmente gaussiano.Lmite clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81V.12. Evolucion de una funcion de onda para un pozorectangular innito . . . . . . . . . . . . . . . . . 83V.13. Cuantizacion de Schrodinger para un potencialgravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84V.14. Ecuacion de Schrodinger y transfomaciones de Ga-lileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85V.15. Relacion de de Broglie y relatividad galileana . . 87V.16. Conexion con la interpretacion de Bohm de lamecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88V.17. Lmite no relativista de la ecuacion de Klein-Gor-don para partcula libre . . . . . . . . . . . . . . . 91V.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92ixProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaVI. Barreras y pozos unidimensionales 95VI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95VI.1. N umero de estados ligados en un pozo cuadradounidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95VI.2. Pozo de potencial simetrico. N umero de estadosligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96VI.3. Potencial atractivo delta de Dirac . . . . . . . . . 97VI.4. Coecientes de transmision y reexion para un po-zo rectangular nito . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.5. Coecientes de transmision y reexion para unabarrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 101VI.6. Primeros estados de un pozo doble simetrico rec-tangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102VI.7. Coecientes de transmision y reexion para el pozodel problema anterior . . . . . . . . . . . . . . . . 106VI.8. Pozo de potencial tridimensional rectangular nito 106VI.9. Propiedades de la matriz S para potenciales unidi-mensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108VI.10. Matriz S para un pozo rectangular unidimensional 110VI.11. Pozo rectangular nito con barrera innita . . . . 112VI.12. Coecientes de transmision y reexion e inversiontemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114VI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114VI.13. Forma de las resonancias para la barrera rectangular 114VI.14. Fuerza media sobre las paredes de un pozo cuadra-do innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115VI.15. Coecientes de transmision y reexion para unabarrera delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 116VI.16. Potencial modelado por dos funciones delta de Dirac 117VI.17. Valor medio de la posicion a tiempo arbitrario enun pozo cuadrado innito . . . . . . . . . . . . . . 118VI.18. Tiempo medio de cruce en una barrera de potencial 119VI.19. Velocidad de ujo en presencia de una barrera . . 121VI.20. Incidencia oblcua de partculas sobre un escalonde potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124VI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126VII. Metodos aproximados I: metodo WKB, teora y aplicacio-nes. 129VII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129VII.1. Coeciente de transmision para una barrera rec-tangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129VII.2. Estados ligados para un potencial lineal unidimen-sional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130VII.3. Metodo WKB y potencial de Hylleraas. Coeci-ciente de transmision . . . . . . . . . . . . . . . . 132VII.4. Metodo WKB y condiciones de cuantizacion conbarrera innita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133VII.5. Metodo WKB y condiciones de cuantizacion paraun potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . 134xIndice generalVII.6. Metodo WKB para el pozo rectangular innito . . 135VII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136VII.7. Solucion de ecuaciones diferenciales utilizando elmetodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136VII.8. Metodo WKB aplicado a un potencial proporcionala x4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137VII.9. N umero de niveles discretos de energa en un po-tencial atractivo general . . . . . . . . . . . . . . 137VII.10. Coeciente de transmision para una barrera de Hy-lleraas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138VII.11. Efecto t unel macroscopico . . . . . . . . . . . . . 138VII.12. Estructura del espectro de problemas unidimensio-nales y metodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . 139VII.13. Funciones propias del pozo de potencial cilndrico 140VII.14. Metodo WKB y vida media en un pozo de poten-cial esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143VII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144VIII. Operadores y variables dinamicas 145VIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145VIII.1. Separacion de un operador unitario . . . . . . . . 145VIII.2. Operadores unitarios en terminos de operadoreshermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146VIII.3. Combinaciones hermitianas de dos operadores her-mitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146VIII.4. Hermiticidad del hamiltoniano de Schrodinger . . 147VIII.5. Propiedades del conmutador. Identidad de Jacobi 148VIII.6. Propiedades adicionales del conmutador . . . . . 149VIII.7. Algunas propiedades de conmutacion de los opera-dores inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150VIII.8. Conmutador del producto de operadores que con-mutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VIII.9. Calculo de los conmutadores fundamentales [ x, H]y [ p, H] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VIII.10. Representacion de un operador con espectro con-tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VIII.11. Representaciones diversas de la relacion de com-pletez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152VIII.12. Propiedad asociativa de los elementos de matriz enla notacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 153VIII.13. Conmutacion y eigenfunciones comunes de opera-dores. Notacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 153VIII.14. Expresion general para la dispersion de un opera-dor hermitiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154VIII.15. Desigualdades de Heisenberg para un pozo rectan-gular innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155VIII.16. Estimacion del radio caracterstico del atomo dehidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156VIII.17. Ecuacion diferencial para paquetes de mnima dis-persion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157xiProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaVIII.18. Propiedes de los operadores de proyeccion . . . . 158VIII.19. Desarrollo de la funcion de Green en terminos defunciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . 160VIII.20. Desigualdades de Heisenberg para los operadoresp, senx y cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161VIII.21. Expresiones asintoticas para un paquete minimalde electrones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 162VIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164VIII.22. Eigenvalores y condiciones de frontera en un casosimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164VIII.23. Determinacion de vectores y valores propios de unoperador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165VIII.24. Hermiticidad del operador de paridad . . . . . . . 166VIII.25. Operador de traslacion espacial . . . . . . . . . . 167VIII.26. Propiedades del operador An. . . . . . . . . . . . 168VIII.27. Valores bien denidos de una variable dinamica yeigenvalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169VIII.28. Operador de conjugacion de carga y sus eigenestados 170VIII.29. Relacion entre las representaciones de momentos yde coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170VIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171IX. Propiedades dinamicas de los sistemas cuanticos 175IX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175IX.1. a) Separacion de un operador en sus partes hermi-tiana y antihermitiana b) Operadores r, p, L y deparidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175IX.2. Propiedades de los parentesis de Poisson. Identidadde Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177IX.3. Conmutador de un operador con una funcion deoperadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178IX.4. Una propiedad del operador exponencial de un pro-ducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179IX.5. Evolucion del operador de energa cinetica . . . . 179IX.6. Teorema de Ehrenfest con un campo magneticoexterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180IX.7. Transformaciones locales de norma . . . . . . . . 181IX.8. Calculo de [ qi, pnj] y [qi, f(p)] . . . . . . . . . . . . 183IX.9. Invariancia del espectro de un operador ante trans-formaciones unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . 184IX.10. Ecuacion de movimiento de un operador en la des-cripcion de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . 184IX.11. Equivalencia entre las descripciones de Schrodingery Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185IX.12. Teorema cuantico del virial . . . . . . . . . . . . . 185IX.13. Desigualdades de Heisenberg a tiempos diferentes 186IX.14. Desigualdades de Heisenberg a tiempos diferentes 187IX.15. Cambio brusco en las dimensiones de una caja depotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188IX.16. Evolucion de la variancia de la posicion en general 189xiiIndice generalIX.17. Version tensorial del teorema del virial . . . . . . 190IX.18. Regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn . . . . . 191IX.19. Regla de suma con dos observables diferentes . . . 192IX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IX.20. Conmutacion de operadores, eigenfunciones comu-nes y degeneracion . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IX.21. Solucion de una paradoja asociada al teorema deEhrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194IX.22. Descripcion de Heisenberg de una partcula sujetaa una fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . 194IX.23. Invariancia de la ecuacion de continuidad antetransformaciones de norma . . . . . . . . . . . . . 196IX.24. Efecto Aharonov-Bohm y similares . . . . . . . . 197IX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200X. Topicos complementarios de la teora de representaciones 203X.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203X.1. Cambio de representacion . . . . . . . . . . . . . 203X.2. Invariancia de la paridad de un estado ante uncambio de representacion . . . . . . . . . . . . . . 204X.3. No diagonalidad de la derivada de la delta de Dirac 204X.4. Solucion del potencial delta de Dirac en la repre-sentacion de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 205X.5. Operadores de proyeccion para un sistema de dospartculas de espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 206X.6. Operadores de proyeccion en terminos de diadas . 206X.7. Proyectores con traza arbitraria . . . . . . . . . . 207X.8. Probabilidad de un estado como valor esperado deun proyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208X.9. Producto de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . 209X.10. Conmutador de operadores en diferentes espaciosde Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209X.11. Producto tensorial y proyectores . . . . . . . . . . 210X.12. La funcion A(r)/r en la representacion de momentos 210X.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211X.13. Periodicidad temporal de un sistema descrito porun hamiltoniano diagonal . . . . . . . . . . . . . . 211X.14. Propiedades generales de observables cuyo conmu-tador es una constante . . . . . . . . . . . . . . . 211X.15. Descripcion en el espacio de Hilbert de una cadenalineal de n partculas . . . . . . . . . . . . . . . . 213X.16. Invariancia de eigenvalores ante una traslaciontemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215X.17. Cambio brusco de una caja de potencial y distri-bucion de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 216X.18. Partcula en un campo de fuerzas uniforme. Repre-sentacion de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 217X.19. Transformaciones galileanas en el espacio de mo-mentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219X.20. Construccion de una transformacion unitaria conel invariante x2+ p2. . . . . . . . . . . . . . . . . 220X.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222xiiiProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaXI. El oscilador armonico unidimensional 225XI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225XI.1. Solucion de la ecuacion de Schrodinger del oscila-dor armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225XI.2. Normalizacion de la funcion de onda de un paquetede osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227XI.3. Dispersion de la posicion y el momento del paquetecoherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227XI.4. Evolucion del paquete coherente de osciladores . . 228XI.5. Energa del estado base del oscilador armonico ydesigualdades de Heisenberg . . . . . . . . . . . . 229XI.6. Teorema del virial para estados estacionarios deloscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230XI.7. Variancia de la posicion para el estado base deloscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231XI.8. Desigualdad de Heisenberg para un estado estacio-nario del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232XI.9. Paquete minimal de osciladores armonicos en ter-minos de eigenestados . . . . . . . . . . . . . . . . 234XI.10. Degeneracion del espectro del oscilador armonicoisotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236XI.11. Potencia radiada por un oscilador armonico clasicoy cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237XI.12. Propiedades basicas de los operadores de creaciony aniquilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238XI.13. Conmutador de los operadores de creacion y ani-quilacion y el hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . 239XI.14. Elementos de matriz del operador de posicion y desu cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240XI.15. Representacion matricial de los operadores de crea-cion y aniquilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 240XI.16. Representacion matricial de los operadores de po-sicion y momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241XI.17. Operadores de dezplazamiento . . . . . . . . . . . 242XI.18. Hamiltoniano del oscilador con termino lineal enlos operadores a y a . . . . . . . . . . . . . . . . 244XI.19. Estados propios del operador de aniquilacion . . . 245XI.20. Cambio brusco de la frecuencia de un osciladorarmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246XI.21. Propagador de Feynman para el oscilador armonico 248XI.22. Frecuencias normales para dos osciladores acoplados 250XI.23. Desigualdades de Heisenberg para tiempos diferen-tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252XI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253XI.24. Representacion del operador de creacion del osci-lador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253XI.25. Funcion de Green del oscilador armonico . . . . . 255XI.26. Dispersion constante simultanea de la posicion y elmomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256xivIndice generalXI.27. Los estados coherentes son de mnima dispersion . 258XI.28. Estados coherentes en la representacion de coorde-nadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258XI.29. Determinacion simple de la evolucion de un estadocoherente del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . 260XI.30. El oscilador armonico en el espacio de momentos 261XI.31. Teorema de desenmara namiento . . . . . . . . . . 262XI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264XII. Introduccion a la teora del momento angular 267XII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267XII.1. Hermiticidad de los operadores de momento angular 267XII.2. Operador de momento angular en coordenadasesfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267XII.3. Coeciente de normalizacion de los armonicos es-fericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268XII.4. Momento angular de un sistema de dos partculas 269XII.5. Relaciones de conmutacion del momento angularrelativo y cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270XII.6. Propiedades de la componente radial del operadorde momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271XII.7. Relaciones de conmutacion de la componente ra-dial del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272XII.8. Problema de valores propios para el momento radial 272XII.9. Algunas relaciones de conmutacion del operador demomento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273XII.10. Relacion algebraica entre los operadores de mo-mento lineal y momento angular . . . . . . . . . . 274XII.11. Relaciones de conmutacion de los operadores demomento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275XII.12. Conmutacion de un operador con los operadoresde momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . 276XII.13. Elementos de matriz del momento angular . . . . 277XII.14. Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278XII.15. Propiedades de anticonmutacion de las matrices dePauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279XII.16. Productos de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 280XII.17. Base para la representacion de matrices de dimen-sion 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281XII.18. Operadores de proyeccion para espn 1/2 . . . . . 282XII.19. Representacion matricial del momento angular pa-ra j = 1 y j = 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282XII.20. Matrices de Pauli en una direccion arbitraria . . . 285XII.21. Representacion matricial de los operadores de mo-mento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287XII.22. Condicion para que las componentes del momentoangular esten denidas . . . . . . . . . . . . . . . 287XII.23. Relaciones de recurrencia entre coecientes deClebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288xvProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaXII.24. Acoplamiento de un momento angular y un mo-mento espinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289XII.25. Coecientes de acoplamiento de un momento an-gular j = 1 y un espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 290XII.26. Coecientes de ClebschGordan para acoplamientode j = 1/2 y j = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291XII.27. Propiedades de los coecientes de acoplamientocon un espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292XII.28. Funciones de estado del singulete y el triplete dedos espines 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293XII.29. Ortogonalidad de los estados del acoplamiento dej = 1 y s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294XII.30. Relacion del triangulo para momentos angularesacoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295XII.31. Accion del operador de ascenso para un sistema dedos partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296XII.32. Momento angular de un foton . . . . . . . . . . . 296XII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297XII.33. Sistemas que emiten partculas de espn semientero 297XII.34. Consecuencias de la invariancia ante el operadorde rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298XII.35. Momento angular y operadores cartesianos de as-censo y descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299XII.36. Haz polarizado de partculas de espn 1 . . . . . . 300XII.37. Proyeccion de un espinor sobre un eje arbitrario . 301XII.38. Un problema de eigenvalores para operadores deespn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302XII.39. Vectores propios de un sistema de tres espines 1/2 303XII.40. Evolucion temporal de un sistema con dos estados 306XII.41. Niveles de energa de electrones en un campo mag-netico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307XII.42. Operador de rotaciones de un cuerpo rgido . . . 308XII.43. Funciones de Wigner para j = 1/2 y 1 . . . . . . . 310XII.44. Estados de isoespn de sistemas de un pion y unnucleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310XII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311XIII. Potenciales centrales. El atomo de hidrogeno 317XIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317XIII.1. Ecuaciones de Heisenberg para el problema de doscuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317XIII.2. Separacion de la ecuacion de Schrodinger para elproblema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . 318XIII.3. Separacion de la funcion de onda de un sistema dedos partculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 318XIII.4. Molecula diatomica en un potencial gravitatorio yen un potencial electrico . . . . . . . . . . . . . . 320XIII.5. Coordenadas normales de dos osciladores armoni-cos acoplados elasticamente . . . . . . . . . . . . 322xviIndice generalXIII.6. Coecientes que aparecen en el calculo de elemen-tos de matriz angulares . . . . . . . . . . . . . . . 324XIII.7. Estimacion de la energa del estado base del atomode hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327XIII.8. Normalizacion de la funcion radial del atomo hi-drogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327XIII.9. Funcion hipergeometrica conuente y polinomiosde Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328XIII.10. Funcion hipergeometrica conuente y funcion ra-dial del oscilador isotropico . . . . . . . . . . . . . 329XIII.11. Maximo de la densidad radial hidrogenoide paral = n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332XIII.12. Excentricidad de las orbitas hidrogenoides . . . . 332XIII.13. Valor esperado de rn, n = 3, . . . , 2, para el atomohidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334XIII.14. Relacion de recurrencia de Kramers . . . . . . . . 338XIII.15. Relacion de recurrencia de Kramers para un po-tencial rs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340XIII.16. Valor esperado de rnen el estado base hidrogenoide 341XIII.17. Atomo hidrogenoide con potencial adicional /r2341XIII.18. Relacion entre el momento magnetico y el momen-to angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342XIII.19. Componentes para y diamagnetica del momentomagnetico atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . 343XIII.20. Campo magnetico medio generado por el movi-miento orbital del electron . . . . . . . . . . . . . 345XIII.21. Coecientes de Einstein del hidrogeno . . . . . . . 346XIII.22. Vida media del estado 3s hidrogenoide . . . . . . 347XIII.23. Vida media de estados hidrogenoides que decaencon emision en el visible . . . . . . . . . . . . . . 348XIII.24. Inexistencia de estados ligados excitados del deu-teron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349XIII.25. Desfasamiento de la onda s debido a un potencialesferico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349XIII.26. Onda plana y eigenestados de Lz . . . . . . . . . 350XIII.27. Representacion de la delta de Dirac en terminos defunciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 350XIII.28. Estados degenerados y conmutacion de operadores 350XIII.29. Relacion entre los espectros del potencial de Morsey del hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352XIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355XIII.30. Una funcion hidrogenoide y sus n umeros cuanticos 355XIII.31. Valor medio de la energa cinetica para un atomohidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356XIII.32. Potencial exponencial y estado base del deuteron 357XIII.33. Estados estacionarios de un oscilador isotropicobidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359XIII.34. Estados coherentes de un oscilador isotropico bidi-mensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363xviiProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaXIII.35. Determinacion del espectro del atomo hidrogenoi-de con el metodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . 364XIII.36. Estados ligados en un potencial central del tipodelta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366XIII.37. Periodo medio asociado al movimiento orbital . . 367XIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369XIV. Metodos aproximados II: teora de perturbaciones inde-pendientes del tiempo. Efecto Stark 373XIV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373XIV.1. Oscilador unidimensional con perturbacion ax3+bx4373XIV.2. Elementos de matriz de una observable a primerorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379XIV.3. Perturbacion gravitatoria de un rotor plano . . . 380XIV.4. Tratamiento exacto y perturbativo de un penduloplano cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381XIV.5. Tratamiento perturbativo del efecto Zeeman normal 386XIV.6. Transformacion unitaria entre estados degeneradosy perturbativos correctos . . . . . . . . . . . . . . 386XIV.7. Efecto Stark lineal y n umero cuantico principal . 387XIV.8. Tratamiento del efecto Stark lineal y cuadraticocon el metodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . 387XIV.9. Ecuacion diferencial para el efecto Stark cuadratico 390XIV.10. Solucion de la ecuacion diferencial para el efectoStark cuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391XIV.11. Efecto Stark para los niveles hidrogenoides con n =3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392XIV.12. Intensidades de las componentes Stark de la lneaH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395XIV.13. Efecto Stark a segundo orden para niveles hidro-genoides con n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 400XIV.14. Elementos de matriz para dos osciladores armoni-cos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403XIV.15. Correccion a la energa de dos osciladores acopla-dos a segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 404XIV.16. Funciones de onda para el problema anterior . . . 406XIV.17. Funciones de onda correctas y modos normales pa-ra el problema anterior . . . . . . . . . . . . . . . 408XIV.18. Tratamiento exacto y perturbativo de dos oscila-dores armonicos acoplados . . . . . . . . . . . . . 410XIV.19. Espectro de emision de dos osciladores armonicosacoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413XIV.20. Osciladores armonicos acoplados con un potencialgaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414XIV.21. Correccion a la energa debida a una perturbaciongeneral hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 416XIV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418XIV.22. Solucion exacta y perturbativa de un sistema dedos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418xviiiIndice generalXIV.23. Cambio repentino de la carga nuclear en un atomohidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420XIV.24. Efecto Zeeman para atomo hidrogenoide con unpotencial armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 421XIV.25. Efecto Stark a quinto orden en el estado base deun atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . 423XIV.26. Efectos del tama no nito del n ucleo y de la correc-cion relativista a la masa . . . . . . . . . . . . . . 426XIV.27. Transformacion canonica de Bogoliubov . . . . . . 427XIV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428XV. El espn del electron 433XV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433XV.1. Relaciones de conmutacion de momentos angulares 433XV.2. Funciones de las matrices de Pauli . . . . . . . . . 434XV.3. Generalizacion de la formula de Euler con matricesde Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435XV.4. Matrices que anticonmutan con las matrices de Pauli 436XV.5. Operador de rotacion y las matrices de Pauli . . . 436XV.6. Espinores que son eigenestados del espn en el pla-no xOy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438XV.7. Matriz de rotacion para un espinor . . . . . . . . 439XV.8. Ecuacion de Pauli para partcula libre . . . . . . . 440XV.9. Ecuaciones para las componentes de un espinor dePauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441XV.10. Factorizacion de la funcion de onda de Pauli . . . 443XV.11. Valor esperado de la proyeccion del espn sobre eleje Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444XV.12. Correccion relativista a la energa cinetica en elatomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 444XV.13. Correccion debida a la estructura nuclear en elatomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 445XV.14. Acoplamiento espn-orbita en el oscilador tridi-mensional isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . 446XV.15. Eigenvectores de un sistema de tres electrones . . 448XV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450XV.16. Integrales de movimiento para partcula en uncampo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450XV.17. Densidad de probabilidad y de ujo asociadas a laecuacion de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452XV.18. Precesion de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . 454XV.19. Resonancia magnetica con partculas de espn 1/2 456XV.20. Metodo de Rabi para la medicion del momentomagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458XV.21. Sistema con interaccion espn-espn en un campomagnetico homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . 460XV.22. Descripcion general de un sistema de dos niveles . 461XV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464xixProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaXVI. Sistemas de partculas iguales 467XVI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467XVI.1. Hermiticidad del operador de intercambio . . . . 467XVI.2. Proyectores de estados simetricos y antisimetricos 468XVI.3. Perturbacion debida a un potencial simetrico yefectos de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . 470XVI.4. Funciones de onda para un sistema de tres partcu-las sin interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472XVI.5. Intercambio de dos osciladores acoplados . . . . . 473XVI.6. Coordenadas normales de un sistema de tres boso-nes de espn cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474XVI.7. Eigenfunciones para un sistema de tres bosonesiguales de espn cero . . . . . . . . . . . . . . . . 475XVI.8. Dos osciladores iguales, sin espn, acoplados por unpotencial gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 478XVI.9. Eigenfunciones de un sistema de cuatro osciladoresdesacoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478XVI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482XVI.10. Estados base de un sistema de dos electrones inde-pendientes connados . . . . . . . . . . . . . . . . 482XVI.11. Sistema unidimensional de tres electrones en inte-raccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483XVI.12. Estados simetricos y antisimetricos de dos partcu-las con espn s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484XVI.13. Movimiento relativo de un sistema de dos partcu-las iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484XVI.14. Conmutadores del operador de intercambio de dospartculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485XVI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486XVII. Metodos aproximados III: Absorcion y emision de radia-cion 489XVII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489XVII.1. Relacion entre el metodo variacional y la teora deperturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489XVII.2. Soluciones variacionales del oscilador armonico . . 489XVII.3. Soluciones variacionales para el estado base deloscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 493XVII.4. Tratamiento variacional y WKB del rotor plano . 496XVII.5. Tratamiento variacional de una partcula en unpotencial de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . 499XVII.6. Tratamiento variacional y WKB de un osciladorarmonico truncado . . . . . . . . . . . . . . . . . 501XVII.7. Analisis variacional de los estados ligados de unpotencial atractivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 505XVII.8. Determinacion de la energa de un atomo con elmetodo Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . 506XVII.9. Fuerzas de van der Waals entre dos moleculas neu-tras simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508xxIndice generalXVII.10. Transiciones periodicas producidas por una pertur-bacion adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511XVII.11. Probabilidad de transicion debida a una perturba-cion impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513XVII.12. Transiciones producidas por una perturbacion s u-bita de un oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . 514XVII.13. Probabilidad de transicion para un sistema de dosestados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . 516XVII.14. Coeciente B de Einstein para procesos de absor-cion resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518XVII.15. Probabilidad de transicion cuadrupolar espontaneaen un atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520XVII.16. Reglas de seleccion para transiciones cuadrupola-res electricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523XVII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525XVII.17. Estimacion variacional de la energa del estado ba-se hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525XVII.18. Tratamiento variacional de un atomo hidrogenoidecon perturbacion /r2. . . . . . . . . . . . . . . 525XVII.19. Analisis variacional para una barrera impenetrabley potencial lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526XVII.20. Analisis variacional del quarkonio . . . . . . . . . 528XVII.21. Transiciones de un oscilador en un campo electricouniforme y pulsante . . . . . . . . . . . . . . . . . 529XVII.22. Transiciones de un atomo de H en un campo electri-co uniforme y pulsante . . . . . . . . . . . . . . . 530XVII.23. Probabilidad de excitacion de un atomo cuyo n u-cleo recibe un impulso . . . . . . . . . . . . . . . 530XVII.24. Partcula con espn en dos campos magneticos cru-zados, uno periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . 532XVII.25. Teora de perturbaciones en la descripcion de inte-raccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534XVII.26. Evolucion de una integral de movimiento debida auna perturbacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539XVII.27. Transiciones en un atomo excitado con Z electronesy solo dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540XVII.28. Metodo Hartree-Fock para un sistema de dos fer-miones acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543XVII.29. Efectos de un campo cuantizado sobre un atomode dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544XVII.30. Modelo de Jaynes y Cummings . . . . . . . . . . 549XVII.31. El efecto fotoelectrico tratado en primera cuanti-zacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550XVII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552XVIII. Estructura atomica. Modelo de capas nuclear 555XVIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555XVIII.1. Conguracion electronica del F, Ca y Rb . . . . . 555XVIII.2. Ecuacion de Schrodinger para el movimiento inter-no de N cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556xxiProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaXVIII.3. Estimacion variacional de la energa de disociaciondel H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558XVIII.4. Transiciones dipolares entre los estados orto- ypara- del helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559XVIII.5. Formula general de Rydberg, incluyendo el defectocuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560XVIII.6. N umeros magicos nucleares predichos por el mo-delo de oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . 563XVIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563XVIII.7. Relacion entre los sistemas de unidades internacio-nal y atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563XVIII.8. Probabilidad del estado base atomico del tritiofrente al decaimiento beta . . . . . . . . . . . . . 564XVIII.9. Estimacion de la energa del estado base de unatomo helioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566XVIII.10. Funciones de onda de la conguracion 1s2s de unatomo de He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568XVIII.11. Potencial efectivo de repulsion entre electrones deun atomo de He excitado . . . . . . . . . . . . . . 569XVIII.12. Calculo variacional de la energa del estado basedel litio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570XVIII.13. Conguracion electronica de las tierras raras . . . 572XVIII.14. Reglas de Slater para la carga nuclear efectiva . . 573XVIII.15. Carga nuclear efectiva de un electron 3d y un elec-tron 4s del hierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575XVIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575XIX. Moleculas 577XIX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577XIX.1. Traslape de las funciones de un electron referidasa dos n ucleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577XIX.2. Determinacion de la energa del ion H+2 . . . . . . 579XIX.3. Estado base de la molecula de hidrogeno . . . . . 580XIX.4. Fuerzas de van der Waals y potencial de enlace dela molecula de H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581XIX.5. Legitimizacion del principio de Franck y Condon . 581XIX.6. Determinacion a cuarto orden de la energa de unamolecula diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . 582XIX.7. Potencial de Morse y energa electronica hastacuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584XIX.8. Transicion vibracional en una molecula de LiH . . 585XIX.9. Distancia de equilibrio entre los atomos de la mo-lecula de HCl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586XIX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587XIX.10. Espectro rotacional y vibracional de un modelo demolecula diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . 587XIX.11. Potencial efectivo para oscilaciones peque nas de lamolecula diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . 589XIX.12. Uso de coordenadas elpticas en el calculo de laenerga del ion H+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590xxiiIndice generalXIX.13. Momento dipolar electrico de una molecula diato-mica heteronuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . 591XIX.14. Propiedad de aditividad de las fuerzas de van derWaals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592XIX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593XX. Teora de la dispersion 595XX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595XX.1. Sistemas de laboratorio y CM en un problema dedos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595XX.2. Seccion ecaz elastica en el sistema de laboratorioy el de CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597XX.3. Generalizacion al caso de colisiones binarias inelas-ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598XX.4. Retroceso del blanco en una colision elastica . . . 599XX.5. Distribucion angular de las partculas blanco enuna colision elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . 600XX.6. Atenuacion lineal por un blanco grueso . . . . . . 601XX.7. Dispersion por una barrera esferica unforme. Apro-ximacion de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602XX.8. Efecto Ramsauer-Townsend en un pozo esfericouniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603XX.9. Dispersion de neutrones lentos por protones. Esta-do base del deuteron . . . . . . . . . . . . . . . . 607XX.10. Dispersion de partculas extensas por blancos conestructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608XX.11. Dispersion de protones por una hoja delgada dealuminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609XX.12. Dispersion de neutrones por una hoja na de n u-cleos pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611XX.13. Estados ligados en un pozo esferico uniforme pro-fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613XX.14. Desfasamientos en la aproximacion de Born . . . 615XX.15. Unitaridad de la matriz S y conservacion del ujode partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616XX.16. Teorema optico para dispersion elastica . . . . . . 618XX.17. Teorema optico para dispersion inelastica . . . . . 620XX.18. Dispersion pn en la aproximacion de rango efectivo 621XX.19. Ecuaciones de Lippman-Schwinger . . . . . . . . . 622XX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625XX.20. Dispersion de partculas clasicas por un potencialcentral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625XX.21. Formula de Rutherford para el caso clasico . . . . 626XX.22. Desarrollo de Born hasta segundo orden en la re-presentacion de coordenadas . . . . . . . . . . . . 627XX.23. Seccion diferencial de dispersion y teora de per-turbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629XX.24. Primera aproximacion de Born para el potencialcoulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630xxiiiProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaXX.25. Fraccion de partculas dispersadas dentro de uncono agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631XX.26. Dispersion elastica de electrones hacia adelante . 632XX.27. Desfasamiento de la onda s debido a un potencialdelta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632XX.28. Dispersion elastica de deuterones por deuteronesen el sistema CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633XX.29. Dispersion de neutrones lentos con inversion delespn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634XX.30. Efecto del espn total del sistema en la dispersionde neutrones por protones . . . . . . . . . . . . . 634XX.31. Efectos de la conservacion del isoespn en la dis-persion elastica N . . . . . . . . . . . . . . . 635XX.32. Desfasamientos debidos a un potencial central ymetodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637XX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638XXI. La matriz de densidad 641XXI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641XXI.1. Invariancia de la traza del producto de operadoresfrente a su reordenamiento . . . . . . . . . . . . . 641XXI.2. Condicion para que una matriz de densidad des-criba un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . 641XXI.3. La matriz de densidad media de un estado purodescribe una mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . 642XXI.4. Imposibilidad de la reduccion unitaria de una mez-cla a un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . 643XXI.5. Ejemplos de operadores que representan una ma-triz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643XXI.6. Matriz de densidad general para un sistema condos estados ortonormales . . . . . . . . . . . . . . 645XXI.7. Accion de los proyectores de espn 1/2 sobre unamatriz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 646XXI.8. Operador de densidad y vector de polarizacion pa-ra un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648XXI.9. Matriz de densidad para un sistema de tres estados 648XXI.10. Distribucion de Planck, incluyendo la energa depunto cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649XXI.11. Teorema del virial para un ensamble canonico deosciladores bosonicos . . . . . . . . . . . . . . . . 650XXI.12. Momento paramagnetico de un atomo. Formula deCurieLangevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652XXI.13. Matriz de densidad para un ensamble canonico deosciladores armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . 653XXI.14. Solucion de la ecuacion de Bloch para osciladoresarmonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655XXI.15. Lmites T 0 y T del ensamble canonico deosciladores armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . 656XXI.16. Solucion de la ecuacion de Bloch para partcula libre 657xxivIndice generalXXI.17. Matriz de densidad de partcula libre en la repre-sentacion de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 658XXI.18. Matriz de densidad y propagador de partcula libre 659XXI.19. Valor medio de la derivada temporal del operadorde densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660XXI.20. Ecuacion de von Neumann en la representacion decoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660XXI.21. Condicion para que una matriz de densidad redu-cida sea idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . 661XXI.22. Teora de perturbaciones de la matriz de densidada primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663XXI.23. Peso de un estado como valor medio de un proyector 666XXI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666XXI.24. Evolucion unitaria de un estado puro . . . . . . . 666XXI.25. Transformacion de un estado puro en una mezclaal tomar promedios . . . . . . . . . . . . . . . . . 668XXI.26. Propiedades de la traza del cuadrado de la matrizde densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668XXI.27. Matriz de densidad para partculas en una caja depotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669XXI.28. Matriz de densidad para un electron en un campomagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671XXI.29. Operador de densidad reducido de un sistema condos subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672XXI.30. Determinacion de la matriz de densidad para unhaz de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674XXI.31. Matriz de densidad para un atomo de dos estadoscon Z electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676XXI.32. Distribucion de Wigner para una y dos partculaslibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678XXI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679XXII. Ecuaciones cuanticas relativistas 683XXII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683XXII.1. Ecuacion de Klein-Gordon para un potencial atrac-tivo isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683XXII.2. Representaciones de Dirac-Pauli, Kramers-Weyl yMajorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688XXII.3. Transicion de la representacion de Dirac-Pauli a lade Kramers-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690XXII.4. Ecuaciones de Heisenberg para las matrices k . . 692XXII.5. Operador de Dirac de acoplamiento espn-orbita . 693XXII.6. Construccion de los espinores esfericos de la teorade Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697XXII.7. Solucion a la ecuacion de Dirac para el pozo esferi-co uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699XXII.8. Reglas de seleccion del atomo hidrogenoide en lateora de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704XXII.9. Conmutador del hamiltoniano de Dirac de partcu-la libre y el operador . . . . . . . . . . . . . . . 708xxvProblemas y ejercicios de mecanica cuanticaXXII.10. Hamiltoniano de Dirac en la represetacion de Fol-dy-Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708XXII.11. Ecuaciones de movimiento para acoplamiento mi-nimal en la teora de Dirac . . . . . . . . . . . . . 712XXII.12. Zitterbewegung de una partcula en un campomagnetico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 714XXII.13. Soluciones del problema anterior para el espn i(t) 717XXII.14. Movimiento de una partcula en un campo electricouniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719XXII.15. Operadores en la representacion de Foldy-Wout-huysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724XXII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728XXII.16. Ecuacion de Klein-Gordon y conservacion del n u-mero de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728XXII.17. Eigenfunciones de Dirac para un electron en uncampo magnetico uniforme . . . . . . . . . . . . . 728XXII.18. Separacion de un operador de Dirac en sus partespar e impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733XXII.19. Teora de dos componentes para el neutrino . . . 735XXII.20. Operador de helicidad y matriz 5 . . . . . . . . . 738XXII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739XXIII. La electrodinamica estocastica 741XXIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741XXIII.1. Energa del estado base del oscilador armonico . . 741XXIII.2. Espectro del campo de punto cero capaz de sopor-tar atomos estables . . . . . . . . . . . . . . . . . 744XXIII.3. Densidad espectral y autocorrelaciones del campoelectromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746XXIII.4. Dinamica del oscilador armonico inmerso en elcampo de punto cero . . . . . . . . . . . . . . . . 749XXIII.5. Propiedades estadsticas de x(t) para el osciladorarmonico estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . 752XXIII.6. Dispersion de la energa del estado base del oscilador 755XXIII.7. Energa media de un ensamble de osciladores ar-monicos en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 756XXIII.8. Velocidades sistematica y estocastica . . . . . . . 757XXIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759XXIII.9. Expresion general para la velocidad estocastica . 759XXIII.10. Signicado del orden de dos operadores . . . . . . 760XXIII.11. Estabilidad del estado base en un atomo hidroge-noide modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761XXIII.12. Electrodinamica estocastica lineal . . . . . . . . . 763XXIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766xxviIndice generalApendices matematicos 769A.1. Algunas constantes y unidades fsicas . . . . . . . . . . 769A.2. Identidades de uso frecuente . . . . . . . . . . . . . . . 770A.3. Coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 771A.3.1. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 771A.3.2. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . 772A.3.3. Coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . 773A.4. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774A.5. Funcion gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774A.6. Polinomios ortogonales y funciones especiales . . . . . 775A.6.1. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 775A.6.2. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 776A.6.3. Polinomios asociados de Legendre . . . . . . . . . 777A.6.4. Armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . 778A.6.5. Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . 779A.6.6. Polinomios asociados de Laguerre . . . . . . . . . 780A.6.7. Funciones cilndricas de Bessel . . . . . . . . . . . 781A.6.8. Funciones modicadas de Bessel . . . . . . . . . . 782A.6.9. Funciones esfericas de Bessel . . . . . . . . . . . . 783A.6.10. Funcion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . 785A.6.11. Funcion hipergoemetrica conuente . . . . . . . . 786A.7. Notacion relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787A.8. Respuestas a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . 788Bibliografa 7911. Manuales y tablas matematicas . . . . . . . . . . . . . 7912. Textos de mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . 7913. Problemarios de mecanica cuantica . . . . . . . . . . . 793Indice tematico y onomastico 795xxvii

lndicc dc ura-I.1. Energa media de los osciladores de Planck como funcionde la frecuencia, a una temperatura dada. . . . . . . . . 6I.2. Dispersion Compton de un foton por un electron. . . . . 10I.3. Forma general del potencial V(r); se ilustra el caso k=10. 16II.1. Comparacion entre varias distribuciones normales paradiferentes valores de la variancia. . . . . . . . . . . . . . 31III.1. Distribucion inicial de electrones para el problema III.4. 44III.2. Obtencion de una base ortonormal a partir de un con-junto de vectores arbitrarios por el metodo de Gram-Schmidt para el caso n=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47VI.1. Localizacion de los valores propios de la energa para elpozo cuadrado innito. En (a) se muestran las solucionespares y en (b) las impares. . . . . . . . . . . . . . . . . 96VI.2. Pozo de potencial simetrico que produce un espectro dis-creto para E < 0 y un espectro continuo para E > 0. . . 97VI.3. Pozo rectangular unidimensional nito. . . . . . . . . . 99VI.4. Barrera rectangular unidimensional. . . . . . . . . . . . 101VI.5. Pozo doble simetrico rectangular. . . . . . . . . . . . . . 103VI.6. Funciones de onda para n = 1 para el pozo rectangulardoble. En (a) se muestran las soluciones deslocalizadassimetrica y antisimetrica, mientras que en (b) se mues-tran las soluciones que corresponden a partculas locali-zadas en un pozo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105VI.7. Funciones de onda entrante y saliente. . . . . . . . . . . 110VI.8. Pozo rectangular nito con barrera innita. . . . . . . . 112VI.9. Pozo para el ejercicio VI.22. . . . . . . . . . . . . . . . . 126IX.1. Diagrama esquematico del efecto Aharonov-Bohm. . . . 199XIV.1. Efecto Stark lineal para la lnea H alfa, debido al desdo-blamiento de los niveles n = 2 y n = 3. . . . . . . . . . . 396XV.1. Metodo de Rabi para la medicion del momento magnetico. 459XIX.1. Absorcion de radiacion electromagnetica por HCl. . . . 587XX.1. Coordenadas de laboratorio y CM; en (a) se muestranlos vectores de posicion y en (b) las velocidades. . . . . 597XX.2. Dispersion de partculas por un potencial central. . . . . 625XX.3. Dispersion elastica por una esfera rgida. . . . . . . . . . 627xxixlrctacioEn este volumen se discute con detalle la solucion de cada uno de losproblemas sugeridos al lector en el texto Introduccion a la mecanicacuantica, de Luis de la Pe na, a los que se han agregado otros pararedondear su contenido. Durante la elaboracion del volumen se hatenido presente en todo momento que mucho mas importante que lamera solucion de un ejercicio es el valor didactico que el proceso de su solucionpuede tener para jar y mejorar la comprension del tema en estudio. Por estarazon, las discusiones son normalmente detalladas y, con mucha frecuencia, se lesextiende bastante mas alla de las fronteras que podran considerarse naturales siel libro fuera un simple problemario. Por lo mismo, en muchos casos se presentansoluciones alternativas o discusiones complementarias, que tienen que ver mascon la fsica involucrada que con el metodo a seguir, o bien, se agrega materialpara mostrar posibles aplicaciones del tema o del metodo empleado. Todo estohace del volumen un auxiliar didactico a ser usado de preferencia lado a ladocon el correspondiente texto, preparado con la intencion de ayudar al estudiantede mecanica cuantica a adquirir conocimientos mas solidos del tema, a la vezque experiencia y practica sucientes en la solucion de problemas, aspecto queconstituye un apremiante escollo para la mayora de los estudiantes del tema. Conel objeto de enriquecer el volumen y hacerlo de interes para un crculo mas ampliode usuarios, se han agregado a los 340 problemas propuestos en el texto original,otros 171 agrupados en cada captulo bajo el rubro de problemas adicionales,seleccionados para complementar apropiadamente los anteriores, lo que hace untotal de 511 problemas resueltos en la obra. Finalmente, como colofon de cadacaptulo se proponen nuevos ejercicios a resolver, hasta formar un total de 332.Este libro, tal como sucede con el texto que le sirve de base, esta destinadoen primer lugar a los estudiantes de nivel de licenciatura que desean adquirir unsolido conocimiento de los principios de la mecanica cuantica, particularmenteestudiantes de las carreras de fsica y anes, como algunas de las ingenierasmodernas o la qumica teorica. Sin embargo, el nivel se extiende de manera naturalhasta cubrir varios temas mas propios de los estudios de posgrado o de cursosespecializados, los que aparecen marcados en el texto de base con frecuencia conun asterisco. De manera analoga, los problemas que requieren de conocimientos oprocedimientos de solucion claramente mas avanzados que los que corresponden alnivel introductorio han sido marcados con un asterisco o, de manera excepcional,con un doble asterisco. Las frecuentes discusiones complementarias a lo que serala solucion escueta de los problemas no han sido marcadas en forma alguna, detal manera que es el propio contexto lo que debe orientar al alumno a distinguiruna parte de otra, aunque con la intencion de facilitar esta tarea, en ocasiones seabre tal discusion con alguna frase introductoria apropiada. En todo caso, es elinteres del propio alumno el que debe decidir hasta donde avanza en cada ocasion.La organizacion del volumen es directa; en la primera seccion de cada captu-lo se resuelven todos y cada uno de los problemas propuestos en Introduccion ala mecanica cuantica, libro al cual se hace referencia simplemente como el tex-xxxiProblemas y ejercicios de mecanica cuanticato. Sigue en cada caso una segunda seccion en que se resuelven y discuten demanera analoga los problemas adicionales, los que pueden cubrir cualquiera delos topicos propios al captulo y han sido ordenados por contenido siguiendo demanera aproximada al texto base. Finalmente, aparece la seccion de ejercicios aresolver, en el mismo o cercano orden; el nivel de estos ejercicios es normalmenteintroductorio. La redaccion de los problemas de la primera seccion es la originaldel texto, aunque se dan de vez en cuando peque nos cambios de estilo. Solo enun caso especco se encontro conveniente modicar el enunciado del problemapara aumentar su interes didactico.A la preparacion del presente volumen han ayudado muchas personas, directao indirectamente, a todos los cuales los autores desean expresar su agradecimiento.En primer lugar, deben contarse los muchos estudiantes (aunque menos de loque hubiera sido deseable) que a lo largo de los a nos aportaron sus comentariosy observaciones sobre los problemas del texto (o a un sobre el propio texto).Colaboraciones particularmente utiles y