GEOMETRIA C.A.V.A

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UNIDAD 1. ELEMENTOS BÁSICOS

INTRODUCCIÓN

Geometría es la ciencia que tiene por objeto el

estudio de la extensión, considerada bajo sus

tres formas: línea, superficie y volumen.

Para su estudio se admite la existencia de

algunos objetos primitivos, dotados de ciertas

propiedades, y se aceptan unas reglas de

trabajo para manipularlos y obtener nuevas

propiedades de ellos.

Las propiedades admitidas como válidas son los

axiomas y las que deben justificarse son los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser

universales y se utilizan las de la lógica

matemática.

AXIOMAS Y DEFINICIONES

AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO:

Existe un conjunto llamado el espacio que

tiene subconjuntos propios llamados planos, quienes a su vez tienen subconjuntos propios

llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos

está formado por infinitos elementos llamados

puntos.

Realmente el axioma de existencia no define ni

el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un punto.

El conjunto de todos los axiomas permitirá que

estos objetos alcancen las propiedades que

intuimos de ellos.

FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquier

subconjunto propio del espacio.

PUNTO INTERIOR (EXTERIOR): Si un

punto pertenece a una figura entonces es

interior a ella, (está sobre la figura, o la

figura pasa por el punto). En caso contrario

es exterior a la figura.

PUNTOS COLINEALES (ALINEADOS): Dos

o más puntos son colineales (alineados) si

están en la misma recta. En caso contrario son

no colineales o no alineados.

PUNTOS COPLANARES: Dos o más puntos

son coplanares si están en el mismo plano. En

caso contrario son no coplanares.

AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean

A y B dos puntos distintos, entonces existe

una y sólo una recta a la cual ambos

pertenecen, llamada “la recta AB”, (AB ).

AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean

A, B y C, puntos no colineales, entonces existe

uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen,

llamado “el plano ABC”, (ABC).

AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA

EN EL PLANO: Si una recta L y un plano

tienen dos puntos distintos en común, entonces

la recta L está contenida en el plano .

AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS:

Si dos planos distintos tienen algún punto en

común entonces su intersección es una recta.

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ORDEN EN LA RECTA

Para establecer el axioma de ordenación de la

recta es necesario definir primero que es un

conjunto linealmente ordenado y la relación

“estar entre”:

CONJUNTO LINEALMENTE ORDENADO:

Es un conjunto entre cuyos elementos se puede

establecer la relación “preceder a”, con las

siguientes propiedades:

1. Dados dos elementos P y Q se cumple que

“P precede a Q” ó “Q precede a P”.

2. Si “P precede a Q” y “Q precede a R”

entonces “P precede a R”.

NOTA: La relación “preceder a” se puede

cambiar por “seguir de”, “estar delante de” ,

“estar detrás de”, “estar antes de” “estar

después de”.

RELACIÓN “ESTAR ENTRE”: Si P, Q y R

son puntos alineados tales que “P precede a Q”

y “Q precede a R”, entonces se dice que “Q está entre P y R” y se denota por “PQR” o

“RQP”.

AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA:

Una recta es un conjunto linealmente

ordenado, que no tiene ni primero ni último

punto y no tiene puntos consecutivos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA:

Todo punto de una recta separa a los demás

puntos de la recta en dos conjuntos: el

conjunto de los que le preceden y el conjunto

de los que le siguen y tales que:

1. Todo punto de la recta, distinto de él,

pertenece a uno y sólo a uno de dichos

conjuntos.

2. El punto dado está entre dos puntos de

conjuntos distintos y no está entre dos

puntos del mismo conjunto.

SEMIRRECTA: Si O es un punto de una recta

L entonces se llama semirrecta de origen O al

conjunto formado por el punto O y cada una de

los conjuntos en que él divide a la recta, es

decir:

1. O y todos los puntos de L que le preceden.

2. O y todos los puntos de L que le siguen.

Si O está entre A y B entonces las

semirrectas obtenidas OA y OB se llaman

semirrectas opuestas.

SEGMENTO DE RECTA: El conjunto formado

por los puntos A, B y todos los puntos P entre

A y B se llama segmento de recta AB y se

denota por AB .

Los puntos A y B se llaman extremos. Las

semirrectas determinadas por los extremos de

un segmento y que no tienen más puntos

comunes con el segmento, son las

prolongaciones del segmento.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL PLANO:

Toda recta de un plano separa a los demás

puntos del plano en dos regiones tales que:

1. Todo punto del plano, exterior a la recta,

pertenece a una y sólo a una de las

regiones.

2. El segmento que une dos puntos de

regiones distintas corta a la recta y de la

misma región no la corta.

SEMIPLANO: Dado un plano y una recta en él,

un semiplano es el conjunto formado por la

recta y cada una de las regiones en que ella

divide al plano. La recta es el borde de cada

semiplano y los semiplanos son semiplanos opuestos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO:

Todo plano separa a los demás puntos del

espacio, en dos regiones tales que:

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1. Todo punto del espacio, exterior al plano,

pertenece a una y sólo a una de las

regiones.

2. El segmento que une dos puntos de

distintas regiones corta al plano y de la

misma región no lo corta.

SEMIESPACIO: Es el conjunto formado por

un plano dado y cada uno de los dos conjuntos

en que él divide a los demás puntos del espacio.

El plano se llama borde o cara de cada

semiespacio y ellos son semiespacios opuestos.

AXIOMA DE DISTANCIA: Dados dos

puntos P y Q existe un único número real

llamado “La distancia entre P y Q”, denotado por “d(P,Q)” o “PQ”, el cual cumple

las siguientes propiedades:

1. d(P,Q) 0

2. d(P,Q) = 0 sii P coincide con Q

3. d(P,Q) = d(Q,P)

4. Si P, Q y R son puntos del espacio,

entonces d(P,R) d(P,Q) + d(Q,R)

5. Si Q está entre P y R entonces

d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R)

OBSERVACIONES:

Podemos citar como ejemplos de figuras

geométricas: un plano, una recta, un semiplano,

una semirrecta, un semiespacio, un conjunto

formado por un punto.

Por el axioma de existencia cada recta es un

subconjunto propio del espacio y entonces

existen puntos exteriores a ella, es decir en el

espacio existen puntos no colineales.

Según el axioma de existencia los puntos del

espacio no son todos coplanares.

El axioma de enlace de la recta garantiza que

dos puntos siempre son colineales.

Los puntos de un plano no son todos colineales

porque dos puntos de él determinan una recta

y si ella es un subconjunto propio del plano

entonces existen puntos del plano exteriores a

ella.

Los puntos de una recta son coplanares.

Tres puntos siempre son coplanares, pero

cuatro no necesariamente lo son.

Por un punto pasa más de una recta.

Entre dos puntos distintos existen infinitos

puntos.

COINCIDENCIA DE RECTAS

TEOREMA: Si dos rectas tienen dos puntos

distintos en común, entonces ellas coinciden .

Dm: Supongamos que dos rectas tienen dos

puntos distintos en común. Por el axioma de

enlace de la recta por dos puntos distintos

pasa sólo una recta, entonces las dos rectas

son la misma recta.

** En consecuencia, para probar que dos

rectas coinciden, será suficiente probar que

tienen dos puntos distintos en común.

COINCIDENCIA DE PLANOS:

TEOREMA: Si dos planos tienen tres puntos

no colineales en común, entonces los planos

coinciden.

Dm: Ejercicio

** Para probar que dos planos coinciden, será

suficiente probar que tienen tres puntos no

colineales en común.

NOTA: La no colinealidad de los tres puntos

es fundamental porque por tres colineales pasa

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más de un plano porque una recta está

contenida en más de un plano.

En efecto, si se toman D exterior a la recta

AB y E exterior al plano ABD entonces la

recta AB está contenida en los planos ABD y

ABE que son distintos. En definitiva por tres

puntos colineales pasa más de un plano.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS

RECTAS

Por el axioma de enlace dos rectas distintas

máximo pueden tener un punto en común, es

decir tienen solamente un punto en común o

ninguno.

RECTAS SECANTES: Son las que tienen

solamente un punto en común. Se dice que

ellas concurren en dicho punto.

RECTAS PARALELAS: Son rectas coplanares

que no tienen puntos en común.

RECTAS CRUZADAS: Son rectas no

coplanares.

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

TEOREMA: (PLANO RECTA Y PUNTO

EXTERIOR) Por una recta y un punto

exterior a ella pasa uno y sólo un plano que les

contiene.

Dm: Ejercicio.

TEOREMA: (PLANO RECTAS SECANTES)

Dos rectas secantes determinan uno y sólo un

plano que les contiene.

Dm: El punto en común y otros dos puntos,

uno en cada una de las rectas, son tres puntos

no colineales, que determinan un único plano en

el cual estarán contenidas ambas rectas.

COROLARIO: Dos rectas cruzadas no

tienen ningún punto en común.

Dm: En efecto, si tuviesen sólo un punto en

común serían secantes y por lo tanto

coplanares; si tuviesen dos o más puntos en

común serían la misma recta y también

resultarían coplanares.

TEOREMA: (PLANO RECTAS PARALELAS)

Dos rectas paralelas determinan uno y sólo un

plano que les contiene.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA

Y UN PLANO

Un plano y una recta no contenida en él,

máximo tienen un punto en común, es decir

tienen sólo uno o ningún punto en común.

RECTA Y PLANO SECANTES: Una recta y

un plano son secantes si tienen sólo un punto en

común. Se dice que la recta y el plano son

secantes en dicho punto.

RECTA Y PLANO PARALELOS: Una recta y

un plano son paralelos si no tienen ningún punto

en común.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS

PLANOS

PLANOS SECANTES: Son planos distintos

con algún punto común.

TEOREMA: La intersección entre dos planos

secantes es una recta.

PLANOS PARALELOS: Son planos que no

tienen ningún punto en común.

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UNIDAD 2. SEGMENTOS Y ÁNGULOS

SEGMENTOS

Recordemos que dados los puntos A y B, se

llama segmento de recta AB (AB ) al conjunto

formado por los puntos A, B y todos los puntos

P entre A y B

Los puntos A y B se llaman extremos. Las

semirrectas determinadas por los extremos de

un segmento y que no tienen más puntos

comunes con el segmento, se llaman las

prolongaciones del segmento.

MEDIDA DE SEGMENTOS: La medida de un

segmento AB, denotada por m(AB ) o AB, es la

distancia entre sus puntos extremos:

m(AB )=d(A,B)=AB

SEGMENTOS CONGRUENTES: Son

segmentos que tienen igual medida:

AB CD m(AB)=m(CD) AB=CD

CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a

confusión en lugar de AB usaremos AB y en

lugar de AB CD usaremos AB=CD.

TEOREMA: La congruencia de segmentos es

una relación de equivalencia, es decir, cumple

las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: AB AB

2. Simétrica: AB CD CD AB

3. Transitiva: AB CD CD EF AB EF

SEGMENTOS DESIGUALES: Son segmentos

no congruentes. Entre dos segmentos

desiguales será menor el que tenga menor

medida:

AB CD m(AB)<m(CD) AB<CD

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE

SEGMENTOS: En toda semirrecta OA , para

cada real positivo “x”, existe un único punto B

sobre OA , distinto de O, tal que m(OB ) = x.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el

punto entre los extremos del segmento que lo

divide en dos segmentos congruentes.

1M es punto medio de AB AM MB AB

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SEGMENTOS ADYACENTES: Son dos

segmentos de extremos colineales y que tienen

un extremo común situado entre los extremos

no comunes.

SUMA DE SEGMENTOS: Si AB y BC son

segmentos adyacentes entonces el segmento

AC es la suma de los segmentos AB y BC :

AC AB BC

Además AB AC BC y BC AC AB

Para sumar dos segmentos no adyacentes se

construyen dos segmentos adyacentes

respectivamente congruentes a ellos.

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ÁNGULOS

ÁNGULO: Es la figura formada por dos

semirrectas que tienen el mismo origen. Si

ellas son OA y OB , se denota por AOB. El

origen O es el vértice del ángulo y las

semirrectasOA y OB son los lados del ángulo.

INTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el conjunto

formado por los puntos que están en la

intersección de dos semiplanos, (cada uno de

ellos con un lado sobre su borde y conteniendo

al lado restante), excepto los que están sobre

los lados del ángulo.

EXTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el

subconjunto del plano del ángulo formado por

los puntos que no están sobre los lados del

ángulo ni en el interior del ángulo.

ÁNGULO NULO: Es el ángulo que forma toda

semirrecta consigo misma.

ÁNGULO LLANO: Es el ángulo formado por

dos semirrectas opuestas.

AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado

un semiplano con una semirrecta OA , fija en

su borde, entonces a cada semirrecta OB de

dicho semiplano, se le asigna un único número

real “a” en el intervalo 0,180. Para la

semirrecta OA se asigna el 0 y para su

semirrecta opuesta el 180.

MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO:

La “medida” (sexagesimal) de un AOB es

igual a “a” grados sexagesimales, tomando el

número real “a” en el intervalo 0,180, que le

asigna el axioma anterior y lo denotaremos

por: mAOB=a o simplemente AOB=a

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA:

Según su medida los ángulos se clasifican así:

es NULO: si m=0°

es AGUDO: si 0° < m < 90°

es RECTO: si m=90°

es OBTUSO: si 90° < m < 180°

es LLANO: si m =180°

ÁNGULOS CONGRUENTES: Son ángulos que

tienen igual medida:

ABCDEF mABC=mDEF

CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a

confusión en lugar ABCDEF o de

mABC=mDEF usaremos ABC=DEF.

TEOREMA: La congruencia de ángulos es una

relación de equivalencia, es decir, cumple las

siguientes propiedades:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF DEFABC

3. Transitiva:

ABCDEF DEFPQRABCPQR

ÁNGULOS DESIGUALES: Son dos ángulos no

congruentes. Entre dos ángulos desiguales será

menor el que tenga menor medida.

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE

ÁNGULOS: Dado un semiplano y fijada una

semirrecta OA sobre su borde, entonces para

cada real “x” en el intervalo 0,180, existe

solamente una semirrecta OB en dicho

semiplano, tal que mAOB = x°.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es la

semirrecta interior que lo divide en dos

ángulos congruentes. Si BX es una semirrecta

interior al ABC entonces:

BX es bisectriz del ABCABXXBCABC/2

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ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos

coplanares que tienen el mismo vértice, un lado

común y cada uno de los lados no comunes está

en el exterior del otro ángulo.

SUMA DE ÁNGULOS: Si ABC y CBD son

adyacentes, entonces el ABD es la suma de

los ángulos ABC y CBD:

ABDABC+CBD

Además ABCABD–CBD y

CBDABDABC.

Para sumar dos ángulos no adyacentes se

construyen dos ángulos adyacentes

respectivamente congruentes a ellos.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos

ángulos cuyas medidas suman 90°. De cada

uno de ellos se dice que es el complemento del

otro:

A + B = 90°

B = 90° A = AC y A = 90° B = BC

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son dos

ángulos cuyas medidas suman 180°. Cada uno

de ellos es el suplemento del otro:

A + B = 180°

B = 180°A = AS Y A = 180°B = BS

PAR LINEAL: Son dos ángulos adyacentes

cuyos lados no comunes son semirrectas

opuestas.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:

Son dos ángulos tales que los lados de uno de

ellos son las semirrectas opuestas de los lados

del otro.

TEOREMA: Dos ángulos son congruentes si y

sólo si sus complementos son congruentes si y

sólo si sus suplementos son congruentes.

Dm:

=90°–=90°– 180°–=180°–

Luego = C = C S = S

TEOREMA: Si dos ángulos forman un par

lineal entonces son suplementarios.

Dm: ABX + XBC = 1llano = 180°, luego

ABX y XBC son suplementarios

TEOREMA: Si dos ángulos adyacentes, ABC

y CBD son suplementarios entonces forman

un par lineal y por lo tanto los puntos A, B y D

son colineales.

** Este teorema se utilizará para probar que

tres puntos son colineales.

TEOREMA: Dos ángulos opuestos por el

vértice son congruentes.

Dm:

Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual

suplemento, luego son congruentes.

TEOREMA: Las bisectrices de dos ángulos

opuestos por el vértice son semirrectas

opuestas. (Ejercicio)

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas

secantes L y M son perpendiculares, L M, si

forman por lo menos un ángulo recto. En caso

contrario son oblicuas.

Dos segmentos (semirrectas) son

perpendiculares si están contenidos en rectas

perpendiculares.

TEOREMA: Dos rectas perpendiculares

forman cuatro ángulos rectos. (Ejercicio)

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TEOREMA: Las bisectrices de un par lineal

son perpendiculares. (Ejercicio)

TEOREMA: Por cada punto de una recta pasa

una y solamente una recta perpendicular a ella.

Dm: Por el axioma de construcción de ángulos

para x=90 existe una y sólo una semirrecta que

determina la recta pedida.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la

recta que pasa por el punto medio de un

segmento y es perpendicular al segmento.

Si M es el punto medio de AB entonces:

L mediatriz de AB L pasa por M y L AB

LÍNEA POLIGONAL: Sea nZ y n 3. Si A1

, A2 , ... , An son puntos coplanares, tales que

ninguna tripleta de consecutivos son colineales

entonces a la unión de los segmentos 1 2A A ,

2 3A A , ..., n 1 nA A . se le llama poligonal

A1A2...An

Los extremos de cada segmento son los

vértices de la poligonal, los segmentos son los

lados y la suma de las medidas de sus lados es

el perímetro.

Si el extremo final del último segmento

coincide con el inicial del primero entonces la

poligonal es cerrada, en caso contrario la

poligonal es abierta.

POLÍGONO: Es la región del plano limitada

por una poligonal cerrada.

Según el número de lados se llaman:

Triángulo (3), Cuadrilátero (4), Pentágono (5),

Hexágono (6), Heptágono (7), Octágono (8),

Eneágono (9), Decágono (10), Dodecágono (12),

Pentedecágono (15), polígono de n lados (n).

POLÍGONO CONVEXO: Un polígono es

convexo si al unir dos puntos cualesquiera

situados sobre dos lados distintos, el

segmento está contenido en el polígono. En

caso contrario es no convexo.

Ángulo interior de un polígono convexo es el

formado por dos lados consecutivos y ángulo

exterior es el que forma un par lineal con un

ángulo interior.

POLÍGONO REGULAR: Es un polígono con

todos sus lados congruentes y todos sus

ángulos interiores congruentes.

CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un

punto O en dicho plano, y un número real

positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de centro O y radio r en el plano ” y se

denota por: “C(O;r)”, al conjunto formado por

todos los puntos P del plano tales que su

distancia al centro es igual a r, es decir tales

que OP = r.

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UNIDAD 3. TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Un triángulo es un polígono de tres vértices.

Tiene tres lados, tres ángulos interiores y tres

ángulos exteriores. Si los vértices son A, B y

C lo denotamos ABC .

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS

Un triángulo es:

ESCALENO: Si tiene sus tres lados

desiguales.

ISÓSCELES: Si tiene por lo menos un par de

lados congruentes. Si ACAB entonces se

dice que el ABC es isósceles de base BC .

EQUILÁTERO: Si tiene sus tres lados

congruentes.

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS

Un triángulo es:

ACUTÁNGULO: Si tiene los tres ángulos

agudos.

RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El

lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y

los lados que lo forman son los catetos.

OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso.

EQUIÁNGULO: Si tiene los tres ángulos

congruentes.

TEOREMA: Todo triángulo equilátero es

isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

MEDIANA: Es el segmento que une un

vértice con el punto medio M de su lado

opuesto, por ejemplo AM .

ALTURA: Es la perpendicular trazada desde

un vértice a su lado opuesto o a su

prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es

la base relativa a dicha altura.

BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de

un ángulo interior, por ejemplo AD .

BISECTRIZ EXTERIOR: Es la bisectriz de

un ángulo exterior, por ejemplo AE .

MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa

por el punto medio M de un lado, por ejemplo

MN .

Todo triángulo tiene tres medianas, tres

alturas, tres bisectrices interiores, tres

bisectrices exteriores y tres mediatrices.

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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN: Dos triángulos son

congruentes si tienen sus tres lados

respectivamente congruentes y sus tres

ángulos respectivamente congruentes:

AB DE A D

ABC DEF BC EF B E

C FAC DF

Dos elementos respectivamente congruentes

son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados

Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos).

TEOREMA: La congruencia de triángulos es

una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF DEFABC

3. Transitiva:

ABCDEF DEFGHIABCGHI

NOTA: La transitividad será muy útil para

probar que dos triángulos son congruentes.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S

CRITERIO L.A.L.

AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si

tienen un ángulo congruente formado por lados

respectivamente congruentes.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo isósceles los ángulos

opuestos a los lados congruentes son

congruentes.

2. Todo triángulo equilátero es equiángulo.

(Ejercicio)

3. En todo triángulo isósceles, la bisectriz

del ángulo opuesto a la base también es

mediana, altura y mediatriz con respecto

a la base.

4. Por un punto exterior a una recta pasa una

y sólo una perpendicular a ella.

5. En todo triángulo, cada ángulo exterior es

mayor que cualquiera de los dos ángulos

interiores no adyacentes.

6. Todo triángulo tiene por lo menos dos

ángulos agudos. (Ejercicio)

Dm:

1. Supongamos que el

ABC es isósceles de

base BC y tracemos la

bisectriz AD del BAC,

con B-D-C.

Tenemos:

L : AB AC hip.

A : BAD CAD const.

L : AD AD reflex.

, luego

por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos

homólogos resulta B = C. 3. También por lados homólogos BD=DC

entonces AD es mediana. Además por sHs

ADB=ADC, pero BDC=180º (por B-D-C),

entonces ADC=90º, luego AD es altura y

como pasa por el punto medio de BC , también

es su mediatriz.

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11

4. Debemos probar tanto la existencia como la

unicidad de dicha perpendicular.

Existencia: Sea A un

punto exterior a la

recta L. Tomemos dos

puntos B y C sobre L y

tracemos AB .

Construyamos el CBD

tal que BD=BA y

CBDCBA, con D en

el semiplano opuesto de

A con respecto a L .

Tracemos AD que corta a L en el punto E. Por

construcción el ABD es isósceles y BE es

bisectriz del ABD, luego BE es altura sobre

AD y en definitiva AD L.

Unicidad: Supongamos

que existe otro punto

F sobre la recta L tal

que AF L, luego

AFB =90º.

Tracemos FD . Por

LAL, ABFDBF,

luego AFBDFB,

(sHs) y entonces

también DFB = 90º.

Sumando resulta AFD = 180º y por lo tanto

A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden

porque las rectas AD y L sólo tienen un punto

en común.

5. En el ABC consideremos el ángulo

exterior DAC y veamos que BCADAC .

Tracemos la mediana

BM y prolonguémosla

hasta F de modo que

BM=MF. Tracemos AF .

Por LAL resulta

AMFCMB, luego

FACBCA, (sHs).

Pero AF es interior al CAD, luego

FACDAC y por lo tanto BCADAC .

CRITERIO A.L.A.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si

tienen respectivamente congruentes dos

ángulos y el lado común a ellos.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que

BE, BC=EF y CF.

En la semirrecta BA tomemos el punto G tal

que BG=ED y tracemos CG . Por el axioma LAL

se obtiene GBCDEF, luego BCGEFD

(sHs) y como EFDBCA entonces por

transitividad BCGBCA. Por lo tanto G

está sobre la semirrecta CA y debe coincidir

con A y resulta BG=BA. Por transitividad

BA=ED y por el axioma LAL se obtiene

ABCDEF.

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COROLARIOS:

1. Si un triángulo tiene dos ángulos

congruentes entonces es isósceles.

2. Todo triángulo equiángulo es equilátero.

(Ejercicio)

Dm: 1. Consideremos el

ABC tal que BC.

Tracemos las bisectrices

BD y CE , tales que A-D-C

y A-E-B. Por el teorema

ALA resulta BCDCBE

luego BD=CE (LsHs), y

BDCCEB (sHs), y por

suplementos BDACEA.

Por el teorema ALA se obtiene BDACEA

luego AB=AC (LsHs).

CRITERIO L.L.L.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si

tienen sus tres lados respectivamente

congruentes.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que

AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos

FEGCBA con G en el semiplano opuesto de

D y EG=BA y tracemos DG . Por el axioma LAL

se obtiene ABCGEF, luego AC=GF (LsHs) y

BACEGF (sHs).

En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se

forman los triángulos isósceles EDG y FDG,

entonces EDGEGD y FDGFGD.

Sumando EDFEGF y por transitividad

BACEDF. En definitiva, por el axioma LAL

se obtiene ABCDEF.

CRITERIO A1 A2 L1

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si

tienen dos ángulos respectivamente

congruentes y el lado opuesto a uno de ellos

congruente.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que

BE, CF y AB=DE. Tomemos sobre la

semirrecta BC el punto G con BG=EF y

tracemos AG . Por el axioma LAL se obtiene

ABGDEF, luego AGBDFE (sHs), pero

DFEACB entonces AGBACB (*).

Debemos probar que G coincide con C. Si no

coinciden entonces G precede a C ó C precede

a G. Si G precede a C entonces en el AGC se

tiene ACBAGB (exterior), lo que

contradice (*). En forma similar se obtiene

una contradicción cuando C precede a G. En

definitiva G y C tienen que coincidir, luego

BC=EF y por el axioma LAL se obtiene

ABCDEF.

CONGRUENCIA DE s RECTÁNGULOS

TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son

congruentes si satisfacen alguna de las

siguientes condiciones:

1. RCC: Si tienen respectivamente

congruentes los dos catetos.

2. RCAady: Si tienen respectivamente

congruentes un cateto y el ángulo agudo

adyacente a dicho cateto.

GEOMETRIA C.A.V.A

13

3. RCAop: Si tienen respectivamente

congruentes un cateto y el ángulo agudo

opuesto a dicho cateto.

4. RHA: Si tienen respectivamente

congruentes la hipotenusa y un ángulo

agudo.

5. RHC: Si tienen respectivamente

congruentes la hipotenusa y un cateto.

(Ejercicio)

Dm:

1. Por el axioma LAL

2. Por el teorema ALA

3. Por el teorema A1 A2 L1

4. Por el teorema A1 A2 L1

CONGRUENCIA DE LAS LÍNEAS

NOTABLES HOMÓLOGAS

TEOREMA: Si dos triángulos son

congruentes entonces las medianas, las alturas

y las bisectrices respectivamente homólogas

son congruentes. (Ejercicio)

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO

ISÓSCELES

TEOREMA:

1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene

dos ángulos congruentes.

2. En todo triángulo isósceles la mediana, la

altura, la mediatriz (con respecto a su

base) y la bisectriz del ángulo opuesto,

coinciden y recíprocamente. (Ejercicio)

3. Todo triángulo isósceles tiene

respectivamente congruentes dos alturas,

dos medianas y dos bisectrices.

(Ejercicio)

DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no

congruentes entonces al mayor de dichos lados

se opone un ángulo mayor y recíprocamente.

Dm:

[] Supongamos que en el

ABC ABAC . Tomemos

D sobre AC con AD=AB y

tracemos BD .

Resulta el ABD isósceles

y ABDADB. Como BD es interior al ABC

entonces ABC ABD luego

ABC ADB . Además ADB DCB (por

exterior en el DBC), y por transitividad

ABC DCB , es decir, en el ABC se

obtiene que CB .

[] Supongamos que en el ABC CB (*)

y probemos que ABAC . Supongamos que

ABAC ó AC=AB. Si ABAC entonces por

la primera implicación se obtiene CB lo

que contradice (*). Si AC=AB entonces el

ABC es isósceles y resulta B=C que

también contradice (*). En definitiva se debe

cumplir que ABAC .

COROLARIOS:

1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa

es mayor que cada uno de los catetos.

(Ejercicio)

2. En todo triángulo obtusángulo el lado

mayor es el que se opone al ángulo obtuso.

(Ejercicio)

GEOMETRIA C.A.V.A

14

DESIGUALDAD TRIANGULAR

TEOREMA: En todo triángulo cada lado es

menor que la suma de los otros dos y mayor

que el valor absoluto la diferencia entre ellos.

Dm: En el ABC

tomemos D sobre la

prolongación de BA

tal que AD=AC y

tracemos DC y

obtenemos el ADC

isósceles con

ADC=ACD y como

CA es interior al

BCD resulta BCDACD luego

BCDADC y en el DBC se obtiene

CD , luego ACBABDBC , es decir

BCABBC . De un modo similar se prueba

que BCABAC y que BCACAB .

De las dos últimas desigualdades se obtiene

ABACBC y ACABBC entonces

ACABBC .

COROLARIOS:

1. El camino más “corto” entre dos puntos es

el segmento que los tiene por extremos.

(Ejercicio)

2. Toda poligonal abierta convexa es menor

que cualesquiera otra poligonal abierta

envolvente que tenga sus mismos

extremos. (Ejercicio)

3. Para que un triángulo exista dados sus

tres lados, es suficiente que el lado mayor

sea menor que la suma de los otros dos.

(Ejercicio)

TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos

triángulos tienen dos lados respectivamente

congruentes y el ángulo comprendido desigual

entonces al mayor ángulo comprendido se

opone un mayor tercer lado y recíprocamente.

Dm:

[] Consideremos ABC y DEF tales que

AB=DE, AC=DF y A D y probemos que

EFBC .

Tracemos AG en el interior del BAC tal que

BAGEDF y AG=DF; tracemos el segmento

BG . Por el axioma LAL resulta BAGEDF,

luego BG=EF (LsHs). Tracemos AR bisectriz

del GAC con B–R-C y tracemos RG . Por el

axioma LAL se obtiene GARCAR, luego

RG=RC (LsHs). Además en el BRG se tiene

RGBRBG , luego RGBREF , por lo

tanto BCEF .

[] (Ejercicio)

GEOMETRIA C.A.V.A

15

PERPENDICULARES Y OBLICUAS

TEOREMA: Si desde un punto exterior a una

recta se trazan el segmento perpendicular a la

recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro

extremo sobre la recta, entonces:

1. El segmento perpendicular es menor que

cualesquiera de los segmentos oblicuos.

(Ejercicio)

2. Dos segmentos oblicuos son congruentes

sii sus pies equidistan del pie de la

perpendicular. (Ejercicio)

3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que

tenga su pie más cercano del pie de la

perpendicular es menor y recíprocamente.

Dm:

3. [] Sean AH L, AB y AC oblicuas tales

que HCHB y probemos que ACAB

Si HCHB entonces

existe un punto D, tal

que D-H-C y HBHD .

Tracemos AD y

entonces los pies de las

oblicuas AB y AD

equidistan del pie de la

perpendicular y por lo

tanto AB=AD, luego el

ABD es isósceles con

ABD=ADB.

Además el ACDADB (ext. al ADC),

luego ACDADB , es decir, en el ABC se

tiene que CB , luego ABAC .

[] (Ejercicio)

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA

RECTA

Se llama “Distancia de un punto P a una

recta L"”, y se denota por “d(P;L)”, a la

medida del segmento PQ L, Q L.

Si el punto P es interior a la recta L entonces

la distancia es cero.

La distancia de un punto a una semirrecta o a

un segmento es la distancia del punto a la

recta que contiene a la semirrecta o al

segmento.

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

Una figura F es el lugar geométrico de una

propiedad P si está formada por todos los

puntos que cumplen la propiedad P y solamente

por ellos, es decir, F es el lugar geométrico de

P si se cumple que:

1. (X) ( X F X cumple P)

2. (X) ( X cumple P X F)

LA MEDIATRIZ COMO LG

TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un

segmento es el lugar geométrico de todos los

puntos del plano que equidistan de los

extremos del segmento.

Dm: [] Sea M la mediatriz de AB , entonces

M es perpendicular a AB en su punto medio C.

Sea XM, como AC=CB, los pies de las

oblicuas XA y XB equidistan del pie de la

perpendicular entonces XA=XB.

[] (Ejercicio)

GEOMETRIA C.A.V.A

16

COROLARIO: En un plano, si dos puntos

equidistan de los extremos de un segmento

entonces la recta que ellos determinan es la

mediatriz del segmento. (Ejercicio)

** Este corolario será muy útil para realizar la

construcción de perpendiculares.

LA BISECTRIZ COMO LG

TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un

ángulo es el lugar geométrico de los puntos del

interior del ángulo que equidistan de los lados

del ángulo.

Dm: [] Ejercicio

[] Supongamos que un punto P en el interior

del AOB equidista de los lados OA y OB , es

decir PQ=PR con PQ OA Y PR OB .

Luego por RHC resulta QOPROP y

entonces AOP=BOP (sHs) y por lo tanto

OP es la bisectriz del AOB.

COROLARIO: Si un punto del interior de un

ángulo, equidista de los lados del ángulo,

entonces pertenece a la bisectriz del ángulo.

CONSTRUCCIONES BÁSICAS

1. Trazar la mediatriz de un segmento.

2. Trazar la perpendicular a una recta por un

punto interior a ella.

3. Trazar la perpendicular a una recta por un

punto exterior a ella.

4. Construir un ángulo congruente con un

ángulo dado.

5. Trazar la bisectriz de un ángulo con

vértice dado.

6. Construir un triángulo dado dos lados y el

ángulo formado por ellos.

7. Construir un triángulo dado dos ángulos y

el lado adyacente a ambos.

8. Construir un triángulo dados sus tres

lados.

9. Construir un triángulo rectángulo dados la

hipotenusa y un ángulo agudo.

10. Construir un triángulo rectángulo dados la

hipotenusa y un cateto.

11. Construir un triángulo dados dos de sus

lados y la mediana relativa al tercer lado.

12. Construir un triángulo dados dos de sus

lados y la altura relativa al tercer lado.

Analizar todas las posibles soluciones.

GEOMETRIA C.A.V.A

17

UNIDAD 4. PARALELISMO

RECTAS PARALELAS

Se dice que dos rectas L1 y L2 son paralelas si

son coplanares y no tienen ningún punto en

común. Se denota por L1 L2 o L2 L1 . Dos

segmentos (semirrectas) son paralelos si

pertenecen a rectas paralelas.

TEOREMA: (1er Criterio de paralelismo) Si en

un mismo plano, dos rectas son

perpendiculares a una tercera entonces ellas

son paralelas.

Dm: Sean L1, L2 y L3 rectas coplanares tales

que L1 L3 y L2 L3. Si L1 y L2 no fueran

paralelas entonces tendrían un punto común A,

por el cual pasarían dos perpendiculares a L3, y

esto contradice que por un punto exterior a

una recta pasa solamente una perpendicular a

ella. Luego L1 L2 .

NOTA: Si las tres

rectas no son

coplanares, entonces

dos perpendiculares a

una tercera en lugar de

ser paralelas son

secantes o cruzadas.

Por ejemplo en el espacio se tiene,

DC BC y EC BC , sin embargo DC y EC son

secantes, también AB BC y EC BC pero

AB y EC son cruzadas.

EXISTENCIA DE UNA PARALELA

TEOREMA: Por un punto exterior a una recta,

pasa por lo menos una paralela a dicha recta.

Dm: Consideremos el plano determinado por

una recta L1 y un punto A exterior a L1. Por A

tracemos la recta L2 L1 y después por A

tracemos la recta L3 L2, resulta L3 L1 (s a

3a). Por lo tanto por A pasa por lo menos una

recta paralela a L1.

POSTULADO DE EUCLIDES

AXIOMA: Por un punto exterior a una recta

solamente pasa una paralela a dicha recta.

Este postulado garantiza la unicidad de la

paralela a una recta por un punto exterior a

ella, es decir, si por un punto A exterior a una

recta L, pasan las rectas L1 y L2 , con L1 L y

L2 L, entonces L1 y L2 deben coincidir.

TEOREMA: En un plano, si dos rectas son

paralelas entonces toda secante a una de ellas

también es secante a la otra.

Dm: Ejercicio

TEOREMA: (Criterio de perpendicularidad) En

un plano, si dos rectas son paralelas entonces

toda perpendicular a una de ellas es

perpendicular a la otra.

Dm: Sean L1 L2 y L3 L1, entonces L3

también será secante a L2. Sea A el punto

común entre L3 y L2. Tracemos por A la recta

L4 L3 y como L1 L3 entonces L4 L1 (s a

3ª). En suma, por A se tienen L2 L1 y L4 L1

entonces por el postulado de Euclides L2 y L4

deben coincidir y en definitiva L3 L2 .

L3

L1

L2

A

B C

A

E

D

GEOMETRIA C.A.V.A

18

TEOREMA: En un plano, dos rectas

respectivamente perpendiculares a dos rectas

secantes, son secantes. (Ejercicio)

TRANSITIVIDAD

TEOREMA: (2o Criterio de paralelismo) Dos

rectas paralelas a una tercera son paralelas, es

decir, la relación de paralelismo es transitiva.

Dm: Sean L1 L2 y L2 L3 . Si L1 y L3 no

fueran paralelas, entonces tendrían un punto

en común A, y por él estarían pasando dos

paralelas a L2 , lo cual contradice el postulado

de Euclides, luego L1 L3.

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS

Y UNA TRANSVERSAL A ELLAS

TRANSVERSAL: Es una recta secante a dos

rectas coplanares, pero en puntos distintos.

Si T es una transversal a L1 y L2 (secante a L1

en A y a L2 en B), entonces se forman cuatro

ángulos internos: (1, 2, 3 y 4), y cuatro

ángulos externos: (5, 6, 7 y 8), que se

clasifican en:

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son dos

ángulos internos de distinto vértice situados

en distinto semiplano con respecto a la

transversal: 1 y 4 ; 2 y 3.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son dos

ángulos externos de distinto vértice situados

en distinto semiplano con respecto a la

transversal: 5 y 8 ; 6 y 7.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son dos

ángulos de distinto vértice, uno interno y otro

externo y situados en un mismo semiplano con

respecto a la transversal: 5 y 3 ; 1 y 7;

6 y 4 ; 2 y 8.

ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: Son

dos ángulos internos de distinto vértice y

situados en un mismo semiplano con respecto a

la transversal: 1 y 3 ; 2 y 4.

ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: Son

dos ángulos externos de distinto vértice y

situados en un mismo semiplano con respecto a

la transversal: 5 y 7 ; 6 y 8.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS ENTRE

DOS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL

TEOREMA: Entre dos paralelas y una

transversal se forman ángulos alternos

internos congruentes.

Dm: Sean L1 L2 y T una transversal, secante

a L1 en A, a L2 en B. Tracemos por el punto

medio C de AB la recta L3 L1 en D y si L1L2

entonces L3 L2 en un punto E.

Por RHA, se tiene DACEBC, luego

DACEBC (sHs) y por lo tanto los ángulos

alternos internos entre paralelas resultan

congruentes.

L1

L2

T

A

B

1 2

6 5

4 3

7 8

C

A

B E

D L1

L2

T L3

GEOMETRIA C.A.V.A

19

B

L

A

C D

COROLARIO: Entre dos paralelas y una

transversal se forman pares de ángulos:

1. Alternos internos congruentes.

2. Alternos externos congruentes.

3. Correspondientes congruentes.

4. Colaterales internos suplementarios.

5. Colaterales externos suplementarios.

Dm: Ejercicio.

TEOREMA: (3er Criterio de paralelismo) Si

entre dos rectas y una transversal, se forma

algún par de ángulos alternos internos

congruentes entonces las dos rectas son

paralelas.

Dm: Sea T una transversal a las rectas L1 y L2,

secante a L1 en A, a L2 en B. Supongamos que

los ángulos alternos internos CAB y DBA,

(CL1 y DL2) son congruentes,

Tracemos por A la recta L3 L2 entonces para

E sobre L3 en el semiplano opuesto de D

respecto a T, resulta EABDBA, (por ser

Alt.Int. entre L3 L2) . Luego CABEAB,

y por lo tanto AC coincide con AE y las

rectas L1 y L3 coinciden. En definitiva L1 L2 .

COROLARIO: Si entre dos rectas y una

transversal se forma algún par de ángulos

alternos externos congruentes, o

correspondientes congruentes, o colaterales

internos (externos) suplementarios entonces

las dos rectas son paralelas. (Ejercicio)

TEOREMA: Dos ángulos agudos (obtusos) con

sus lados respectivamente paralelos son

congruentes. (Ejercicio)

COROLARIO: Dos ángulos, uno agudo y otro

obtuso, con sus lados respectivamente

paralelos son suplementarios. (Ejercicio)

TEOREMA: En un plano, dos ángulos agudos

(obtusos) con sus lados respectivamente

perpendiculares son congruentes. (Ejercicio)

COROLARIO: En un plano, dos ángulos, uno

agudo y otro obtuso, con sus lados

respectivamente perpendiculares son

suplementarios. (Ejercicio).

DISTANCIA ENTRE PARALELAS

TEOREMA: Dadas dos rectas paralelas

entonces la distancia de cualquier punto, (de

una de ellas), a la otra es una constante.

Dm: Supongamos que L1 L2. Tomemos

A,BL1. Tracemos 2AC L , 2BD L y AD ,

(C,DL2 ). Luego CDABAD (Alt.Int.

L1L2) y como AC BD (s a 3a) resulta

CADBDA (Alt.Int. ACBD). Entonces

por ALA, ACDDBA y por lo tanto AC=BD

(LsHs).

TEOREMA: (4o Criterio de paralelismo) Si

dos puntos A y B, en el mismo semiplano con

respecto a una recta L, equidistan de ella

entonces la recta AB es paralela a L.

Dm: Sean A y B puntos en

el mismo semiplano con

respecto a una recta L,

tales que AC=BD, AC L ,

BD L , con C, DL.

Como AC BD (s a 3a), entonces

CADBDA (Alt.Int. AC BD ) y por LAL,

CADBDA, luego ACDDBA (sHs) y

como ACD es recto entonces DBA también

lo es y por lo tanto BD AB , y como BD L ,

luego AB L (s a 3a).

GEOMETRIA C.A.V.A

20

B C

E A D

SUMA DE ÁNGULOS EN EL TRIÁNGULO

TEOREMA: La suma de los ángulos interiores

de un triángulo mide 180°.

Dm: En un ABC, por

A tracemos DE BC y

resultan DABABC

y EACACB, (Alt.

Int. entre DE BC ) .

Como DAB+BAC+CAE=180°, reemplazando

se obtiene que: A +B +C = 180°.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo equilátero cada ángulo

interior mide 60°.

2. En todo triángulo rectángulo los ángulos

agudos son complementarios.

3. En todo triángulo, cada ángulo exterior es

congruente con la suma de los dos ángulos

interiores no adyacentes a él.

4. En todo triángulo, la suma de sus ángulos

exteriores mide 360°.

5. En todo polígono convexo de n lados, los n

ángulos interiores suman 180°(n2).

6. En todo polígono convexo de n lados, los n

ángulos exteriores suman 360°.

7. En todo triángulo rectángulo 60º-30º la

hipotenusa es el doble del cateto menor.

Dm: Ejercicio

BASE MEDIA EN UN TRIÁNGULO

BASE MEDIA: En un triángulo se llama

base media al segmento que une los puntos

medios de dos lados. Cada triángulo tiene tres

bases medias.

TEOREMA: (5o Criterio de paralelismo) La

base media de un triángulo es paralela al

tercer lado y mide la mitad de dicho lado.

Dm:

En un ABC, sea

DE la base media

prolongada hasta F

tal que DE=EF y

tracemosFC .

Por LAL, se obtiene que AED CEF, luego

AD = CF (LsHs) y también DAE FCE

(sHs) y como son alternos internos entre AB

y FC , resulta AB FC . Además, como AD=DB

entonces DB = FC.

Tracemos DC y se obtiene que BDCFCD,

(Alt.Int.AB FC ) y por LAL, BDCFCD

luego BCD FDC (sHs) y DF = BC (LsHs).

Como BCD FDC y son alternos internos

entonces DE BC . Además DE = ½DF = ½BC.

TEOREMA: Si por el punto medio de un lado

de un triángulo se traza una paralela a un

segundo lado, entonces se obtiene la base

media con respecto a dicho lado.

Dm: (Ejercicio)

C

E

A

D F

B

GEOMETRIA C.A.V.A

21

MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA

TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la

mediana relativa a la hipotenusa es congruente

con la mitad de la hipotenusa.

Dm: En el ABC rectángulo en A, sea AM la

mediana sobre la hipotenusa BC , (BM=MC).

Tracemos MH AB , HAB ,

luego MH CA , (s a 3a), y H

punto medio de AB, ( por el

punto medio M). Entonces en

el MAB se tiene que MH es

altura y mediana y por lo

tanto el MAB es isósceles

con MA=MB. En definitiva

AM=½BC.

TEOREMA: Si en un triángulo un lado es el

doble de su respectiva mediana, entonces el

triángulo es rectángulo. (Ejercicio)

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

BARICENTRO

TEOREMA: Las tres medianas de un triángulo

concurren en un punto que se llama

BARICENTRO, el cual está, sobre cada

mediana, a dos terceras partes de mediana

desde el vértice o a una tercera parte de

mediana desde su pie.

Dm: En el ABC tracemos

las medianas BE y CD que

se cortan en G, (D y E

puntos medios de

AB y AC ). Tracemos DE

y resulta DE BC y

DE=½BC.

Sean P y Q los puntos medios de BG y CG

respectivamente. Tracemos PQ , entonces en

el GBC resulta PQ BC y PQ=½BC, luego

DE PQ y DE=PQ. También GPQGED y

GQPGDE (Alt.Int.DE PQ ), y por ALA,

GPQGED, luego GP=GE y GQ=GD. En

definitiva GE=BE/3 y GD=CD/3.

De un modo similar se demuestra que las

medianas AM y BE se cortan en un punto G’

tal que G’M=AM/3 y G’E=BE/3, entonces los

puntos G y G’ coinciden y por lo tanto las tres

medianas concurren en el punto G, el cual está

sobre cada mediana, situado a una tercera

parte de mediana desde el pie o a dos terceras

partes de mediana desde el vértice.

CIRCUNCENTRO

TEOREMA: Las tres mediatrices de un

triángulo concurren en un punto que se llama

CIRCUNCENTRO, el cual equidista de los tres

vértices y es el centro de la circunferencia

circunscrita al triángulo:

Dm: En el ABC sea J el punto de

intersección de las mediatrices de los lados

AB y BC , luego JA=JB y JB=JC (mediatriz es

LG), entonces JA=JC y por lo tanto J también

está sobre la mediatriz de AC . En definitiva

las tres mediatrices concurren en el punto J,

el cual equidista de los tres vértices del

triángulo.

M

A H B

C

E

B C

D

G

P Q

A

A

B C N

M J

GEOMETRIA C.A.V.A

22

ORTOCENTRO

LEMA: Si por cada vértice de un triángulo se

traza la paralela al lado opuesto, entonces se

forma un triángulo cuyos lados tienen por

puntos medios los vértices del triángulo dado.

(Ejercicio)

TEOREMA: Las tres alturas de un triángulo

concurren en un punto que se llama

ORTOCENTRO.

Dm: En el ABC, tracemos por los vértices A,

B y C las paralelas a sus lados opuestos, y se

obtiene el DEF en el cual A, B y C son los

puntos medios de sus lados.

Las mediatrices del DEF son las alturas del

ABC y como dichas mediatrices concurren

entonces las alturas del ABC concurren.

INCENTRO

TEOREMA: Las tres bisectrices interiores de

un triángulo concurren en un punto que se

llama INCENTRO, el cual equidista de los lados

del triángulo y es el centro de la

circunferencia inscrita en el triángulo.

Dm: En el ABC sea I el punto de corte de las

bisectrices de los A y B interiores.

Tracemos ID AB , IE BC , IF AC , (D, E

y F sobre AB , BC y CA ). Luego IF=ID e

ID=IE (bisectriz es LG), entonces IF=IE y por

lo tanto I también está sobre la bisectriz del

C interior. En definitiva las tres bisectrices

interiores concurren en el punto I, el cual

equidista de los tres lados del triángulo.

EXINCENTRO

TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de

un ángulo interior y las bisectrices de los dos

ángulos exteriores no adyacentes a él,

concurren en un punto que se llama

EXINCENTRO, el cual equidista de los lados

del triángulo y es el centro de una

circunferencia exinscrita al triángulo. El

triángulo tiene tres exincentros. (Ejercicio).

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

1. Trazar la paralela a una recta dada, por un

punto exterior dado, por medio de:

a. Perpendiculares a una tercera.

b. Alternos internos congruentes.

c. Correspondientes congruentes.

A D F

C

E

B R

P

Q

H

E C B

D

F

I

A

A

B C

GEOMETRIA C.A.V.A

23

d. Puntos equidistantes.

2. Trazar la bisectriz de un ángulo con

vértice inaccesible.

3. Construir un triángulo rectángulo

conocidos un cateto y su ángulo opuesto.

4. Construir un triángulo conocidos un lado,

su ángulo opuesto y la altura relativa a

otro de los lados.

5. Construir un triángulo conocidos dos de

sus ángulos y la altura relativa al lado

común de dichos ángulos.

6. Construir un triángulo conocidos un lado,

la mediana relativa a otro lado y el ángulo

desde el que parte dicha mediana.

7. Construir un triángulo conocidos dos de

sus ángulos y la bisectriz de uno de ellos.

8. Construir un triángulo conocidos un lado,

un ángulo no opuesto a él y la bisectriz de

dicho ángulo.

9. Encontrar el circuncentro de un triángulo

dado y trazar la circunferencia

circunscrita.

10. Encontrar el ortocentro de un triángulo

dado.

11. Encontrar el incentro de un triángulo dado

y trazar la circunferencia inscrita.

12. Encontrar los exincentros de un triángulo

dado y trazar las circunferencias

exinscritas.

13. Encontrar el baricentro de un triángulo

dado.

14. Construir un triángulo conocidas las tres

medianas.

GEOMETRIA C.A.V.A

24

UNIDAD 5. CUADRILÁTEROS

PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero cuyos

lados opuestos son paralelos.

RECTÁNGULO: Es un cuadrilátero con sus

cuatro ángulos interiores congruentes.

ROMBO: Es un cuadrilátero con sus cuatro

lados congruentes.

CUADRADO: Es un cuadrilátero con sus

cuatro ángulos interiores congruentes y sus

cuatro lados congruentes, es decir, es

rectángulo y rombo a la vez.

TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con

un par de lados paralelos y el otro par no

paralelos.

TRAPECIO ISÓSCELES: Es un trapecio

cuyos lados no paralelos son congruentes.

TRAPECIO RECTÁNGULO: Es un trapecio

con algún ángulo recto.

TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero que no

tiene lados paralelos.

ABCD es un cuadrado

A B C D

AB BC CD DA

C D

B A

ABCD es un trapecio

AB ll DC AD ll BC

D

A B

lls

s

C

ABCD es un rectángulo

A B C D

C

B A

D

ABCD es un rombo

AB BC CD DA

B

A

C

D

D

A

C

B s

s

ABCD es un paralelogramo

AB DC AD BC

ABCD es un trapezoide

AB ll DC AD ll BC

D

A

B

C

ABCD es un trapecio rectángulo

ABCD es un trapecio A 90º

D

A B

C

D

A B

C ABCD es un trapecio isósceles

ABCD es un trapecio AD BC

GEOMETRIA C.A.V.A

25

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

TEOREMA: En todo paralelogramo se cumplen

las siguientes propiedades:

1. Los lados opuestos son respectivamente

paralelos.

2. Los lados opuestos son respectivamente

congruentes.

3. Los ángulos opuestos son respectivamente

congruentes.

4. Las diagonales se cortan en su punto medio.

Dm: Tomemos un paralelogramo ABCD, con

AB DC y AD BC .

1. Trazamos DB , luego ABDCDB por:

A: ABDCDB, (sAlt.Int. AB DC ),

L: BD=DB, (común),

A: ADBCBD, (sAlt.Int. AD BC ).

Entonces AB=DC y AD=BC (LsHs).

2. Como A+B=180, (sCol.Int.AD BC ) y

B+C=180, (sCol.Int. AB DC )

entonces A=180–B=C. Similarmente

se prueba que B=D.

3. Sea O el punto de corte de AC y DB , luego

OABOCD por:

A: OABOCD, sAlt.Int. AB DC ,

L: AB=CD, por (1),

A: OBAODC, Alt.Int. AB DC .

Entonces AO=OC y BO=OD, (LsHs).

CRITERIOS DE PARALELOGRAMO

TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un

paralelogramo sii cumple cualquiera de las

siguientes propiedades:

1. Los lados opuestos son paralelos.

2. Los lados opuestos son respectivamente

congruentes.

3. Un par de lados opuestos son paralelos y

congruentes.

4. Los ángulos opuestos son respectivamente

congruentes.

5. Las diagonales se cortan en su punto medio.

Dm: (Ejercicio)

PROPIEDADES DE LOS RECTÁNGULOS

TEOREMA: En todo rectángulo se cumplen las

siguientes propiedades:

1. Los cuatro ángulos interiores son rectos.

2. El rectángulo es paralelogramo.

3. Las diagonales son congruentes.

Dm: Sea ABCD un rectángulo:

1. A=B=C=D, por definición y

A+B+C+D=360, por ser convexo,

entonces A=B=C=D=90.

2. Como los ángulos opuestos son

respectivamente congruentes entonces es

un paralelogramo.

3. Por (2) es paralelogramo, luego

AO=OC=AC/2 y BO=OD=BD/2. Además en

el triángulo rectángulo ABD, AO es la

mediana relativa a la hipotenusa DB ,

entonces AO=DB/2 y como AO=AC/2 se

obtiene DB=AC.

D

A

C

B

GEOMETRIA C.A.V.A

26

CRITERIOS DE RECTÁNGULO

TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un

rectángulo sii cumple cualquiera de las

siguientes propiedades:

1. Tiene tres ángulos rectos.

2. Es un paralelogramo con un ángulo recto.

3. Las diagonales son congruentes y se cortan

en su punto medio.

Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.

3. Si AC=BD y se cortan en su punto medio O

entonces es paralelogramo y además en el

DAB resulta la mediana AO=DB/2, luego

el ángulo A es recto. En definitiva, por

(2), ABCD es un rectángulo.

PROPIEDADES DEL ROMBO

TEOREMA: En todo rombo se cumplen las

siguientes propiedades:

1. Los cuatro lados son congruentes.

2. Es paralelogramo.

3. Las diagonales son perpendiculares.

4. Cada diagonal es bisectriz.

Dm: (Ejercicio)

CRITERIOS DE ROMBO

TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un

rombo sii cumple cualquiera de las siguientes

propiedades:

1. Los cuatro lados son congruentes.

2. Es un paralelogramo con dos lados

consecutivos congruentes.

3. Las diagonales son perpendiculares y se

cortan en su punto medio.

4. Cada diagonal es bisectriz.

Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.

4. Supongamos que las diagonales AC y BD

son bisectrices de los ángulos, entonces

ABDCBD (ALA), luego AB=CB y AD=CD

(LsHs). En el ABC, se tiene

A/2+B+C/2=180 y en el ADC se

tiene A/2+D+C/2=180, luego B=D

y por lo tanto el ABD resulta isósceles

con AB=AD. En definitiva AB=BC=CD=DA,

es decir ABCD es un rombo.

PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS

TEOREMA: Todo cuadrado es paralelogramo,

rectángulo y rombo y por lo tanto cumple todas

las propiedades de éstos.

Dm: (Ejercicio)

CRITERIOS DE CUADRADO

TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un

cuadrado sii cumple cualquiera de las siguientes

propiedades:

1. Es rectángulo y rombo.

2. Es un rectángulo con dos lados

consecutivos congruentes.

3. Es un rombo con un ángulo recto.

4. Las diagonales son perpendiculares,

congruentes y se cortan en su punto medio.

Dm: (Ejercicio)

GEOMETRIA C.A.V.A

27

A B

D

M P N

C

A B

D

E F

C

PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS

TEOREMA: En todo trapecio los lados

paralelos son desiguales.

Dm: En efecto, si los lados paralelos fuesen

congruentes se obtendría un

paralelogramo y entonces el otro par de

lados serían paralelos.

En un trapecio, los lados paralelos se llaman

BASE MAYOR y BASE MENOR; el segmento

que une los puntos medios de los lados no

paralelos se llama la BASE MEDIA; la distancia

entre las bases es la ALTURA.

TEOREMA: En todo trapecio, los ángulos

adyacentes a cada uno de los lados no paralelos

son suplementarios.

Dm: (Ejercicio)

TEOREMA: La base media del trapecio es

paralela a las bases y es congruente con la

semisuma de las bases mayor y menor, es decir:

Base mayor Base menor

Base media2

Dm: Sea ABCD un trapecio con ABllDC y

ADllBC (no paralelos).

Tracemos DB , MP

y PN con M, P y N

los puntos medios

de DA, DB y CB .

En el DAB, MP AB y MP AB/2 (base

media) y en el BCD, PN DC y PN DC/2

(base media), luego por el Postulado de

Euclides las rectas MP y PN coinciden y

resulta AB MN DC y MN=(AB+DC)/2.

TEOREMA: El segmento que une los puntos

medios de las diagonales de un trapecio está

contenido en la base media y es congruente con

la semidiferencia entre las bases mayor y

menor.

Dm: (Ejercicio)

PROPIEDADES DEL TRAPECIO ISÓSCELES

TEOREMA: En todo trapecio isósceles se

cumplen las siguientes propiedades:

1. Los lados no paralelos son congruentes.

2. Los ángulos adyacentes a cada una de sus

bases son congruentes.

3. Los ángulos opuestos son suplementarios.

4. Las diagonales son congruentes.

5. Las mediatrices de las bases coinciden, y

las mediatrices de los cuatro lados

concurren.

Dm: Sea ABCD un trapecio isósceles con

AB DC y AD ║BC (no paralelos) y

AD=BC.

1. Tracemos las alturas DE y CF , entonces

DE=CF (AB DC ) y por RHC,

AEDBFC, luego A=B (sHs).

Además A+D=180 y B+C=180,

entonces D=C.

4. Tracemos las diagonales AC y BD ,

entonces ABCBAD por

L: BC = AD, (hipótesis)

A: B = A, (por 1)

L: AB=BA, (común)

Luego AC BD .

GEOMETRIA C.A.V.A

28

A B

D

E F

C

CRITERIOS DE TRAPECIO ISÓSCELES

TEOREMA: Un trapecio es isósceles sii cumple

cualquiera de las siguientes propiedades:

1. Los lados no paralelos son congruentes.

2. Los ángulos adyacentes a una de las bases

son congruentes.

3. Un par de ángulos opuestos son

suplementarios.

4. Las diagonales son congruentes.

5. Las mediatrices de las bases coinciden.

Dm:

2. Sea ABCD un trapecio tal que ABllDC y

ADllBC con A=B.

Tracemos las alturas DE y CF , entonces

DE=CF (AB DC ) y por el teorema RCAop,

AEDBFC, luego AD=BC (LsHs) y el

trapecio es isósceles.

5. Supongamos que MN es la mediatriz de

AB y CD , con M y N puntos medios de

AB y CD respectivamente. Si trazamos

las alturas DE y CF , resultan los

rectángulos DEMN y NMFC (3s rectos) y

entonces EM=MF y por lo tanto AE=BF.

Ahora, por RCC AEDBFC, luego AD=BC

y el trapecio es isósceles.

CONSTRUCCIONES

1. Construir un paralelogramo si se conocen:

a. Sus lados y uno de los ángulos que

ellos forman.

b. Sus lados y una de sus diagonales.

c. Sus diagonales y uno de los ángulos que

ellas forman.

d. Sus diagonales y uno de sus lados.

2. Construir un rectángulo si se conocen:

a. Un lado y su diagonal.

b. Sus diagonales y uno de los ángulos que

ellas forman.

3. Construir un rombo si se conocen:

a. Su lado y una sus diagonales.

b. Sus diagonales.

4. Construir un cuadrado si se conoce su

diagonal.

5. Construir un trapecio si se conocen:

a. Sus bases, su altura y una de sus

diagonales.

b. Sus lados no paralelos, su altura y una

de sus diagonales.

6. Construir un trapecio isósceles, si se

conocen

a. Sus bases y su altura.

b. Uno de sus ángulos, su altura y su

diagonal.

c. Su altura, su lado no paralelo y su

diagonal.

GEOMETRIA C.A.V.A

29

UNIDAD 6. CIRCUNFERENCIA

DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un punto O

en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se

llama “Circunferencia de centro O y radio r”, “C(O;

r)”, al conjunto formado por todos los puntos P del

plano , tales que OP = r.

RADIO: Segmento que une el centro con un punto

de la circunferencia, por ejemplo: OA , OB , OC ,

OD , OE y OF .

CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos

de la circunferencia, por ejemplo: AB , CD .

DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la

circunferencia, por ejemplo: CD .

ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el

centro de la circunferencia, por ejemplo: EOF .

ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado

por dos puntos de ella, por ejemplo: AB . Si son

extremos de un diámetro, los arcos se llaman

semicircunferencias, por ejemplo: CAD y CED .

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que

tienen el mismo centro.

TEOREMA: En una circunferencia, todos los

radios son congruentes; todos los diámetros son

congruentes; el diámetro es el doble del radio y el

diámetro es la mayor cuerda.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO

Y UNA CIRCUNFERENCIA

En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:

1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.

2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.

3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA

CIRCUNFERENCIA

TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y

dado un punto P en su plano, entonces los extremos

del diámetro AB , contenido en la recta OP , son

los puntos de la circunferencia que están a la menor

y a la mayor distancia del punto dado.

La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia

entre P y el extremo de dicho diámetro que esté

más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB.

TEOREMA: (L.G. ra)

Dada una C(O; r) y dada una distancia a, (0 < a < r),

el lugar geométrico de los puntos situados a una

distancia a de la C(O; r) está formado por las

circunferencias C(O; r a).

GEOMETRIA C.A.V.A

30

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN

PUNTO DADO

TEOREMA: Por un punto

dado A pasan infinitas

circunferencias.

Para cada real positivo r,

el lugar geométrico de los

centros de éstas es la

C(A; r).

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS

PUNTOS DADOS

TEOREMA: Por dos puntos

dados A y B, pasan infinitas

circunferencias.

El lugar geométrico de los

centros de éstas es la mediatriz

del segmento AB y el radio

mínimo es AB/2.

TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa

ninguna circunferencia.

COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia

no pueden ser colineales. Intuitivamente “la

circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo”.

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR

TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS

TEOREMA: Por tres

puntos A, B y C no alineados,

pasa una y sólo una

circunferencia que tiene por

centro el circuncentro del

ABC.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA

Y UNA CIRCUNFERENCIA

1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia

si no tiene puntos comunes con ella. 2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia

si tiene exactamente un punto común con ella,

llamado punto de tangencia. 3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si

tiene exactamente dos puntos comunes con ella.

TEOREMA: Si una recta es tangente a una

circunferencia entonces es perpendicular al radio

que llega al punto de tangencia.

TEOREMA: Dadas una

recta y una circunferencia

de radio r, si d es la

distancia del centro a la

recta, entonces:

1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo

si d < r. 2. La recta es tangente a la circunferencia si y

sólo si d = r. 3. La recta es exterior a la circunferencia si y

sólo si d > r.

GEOMETRIA C.A.V.A

31

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS

CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias son :

1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada

una de ellas son exteriores a la otra. 2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un

punto común y los demás puntos de cada una de

ellas son exteriores a la otra. 3. SECANTES: Si tienen exactamente dos

puntos comunes. 4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un

punto común y los demás puntos de una de ellas

son interiores a la otra, entonces la primera es

tangente interior a la segunda. 5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y

todo los puntos de una de ellas son interiores a

la otra, entonces la primera es interior a la

segunda.

TEOREMA: Si dos circunferencias no

concéntricas tienen un punto común exterior a la

recta de los centros entonces son secantes y

recíprocamente.

TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes

entonces la línea de sus centros es la mediatriz de

su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos

centrales subtendidos por la cuerda.

TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes

entonces los centros y su punto de tangencia son

colineales y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y

C(O’; r’), entonces ellas son:

1. Exteriores OO’ > r + r’

2. Tangentes exteriores OO’ = r + r’

3. Secantes r r ’< OO’ < r + r’

4. Tangentes interiores OO’ = r r’

5. Interiores OO’ < r r ’

GEOMETRIA C.A.V.A

32

ARCOS Y CUERDAS

CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos

circunferencias son congruentes si sus radios tienen

igual medida.

ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una misma

circunferencia o de circunferencias congruentes

son congruentes si subtienden ángulos centrales

congruentes.

ARCOS DESIGUALES: Dos arcos de una misma

circunferencia o de circunferencias congruentes

son desiguales si subtienden ángulos centrales

desiguales y será mayor el que subtienda mayor

ángulo central.

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO: La medida

angular de un arco es la medida del ángulo central

que subtiende.

TEOREMA: En una misma circunferencia o en

circunferencias congruentes:

1. Dos ángulos centrales son congruentes sii

subtienden cuerdas congruentes.

2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden

arcos congruentes.

3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende

un arco menor y un ángulo central menor y

recíprocamente.

4. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro

y recíprocamente.

5. La mayor de dos cuerdas desiguales está más

próxima al centro y recíprocamente.

PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO

PERPENDICULAR A UNA CUERDA

TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda

secante a ella cumple dos de las siguientes

propiedades entonces las cumple todas:

1. Es diámetro.

2. Es perpendicular a la cuerda.

3. Pasa por el punto medio de la cuerda.

4. Pasa por el punto medio del arco menor.

5. Pasa por el punto medio del arco mayor.

6. Es bisectriz del ángulo central que la cuerda

subtiende.

ARCOS Y PARALELAS

TEOREMA: Dos arcos o dos cuerdas comprendidos

entre dos rectas paralelas son congruentes. TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en una

circunferencia dos cuerdas o dos arcos son

congruentes entonces sus extremos determinan un

par de rectas paralelas.

GEOMETRIA C.A.V.A

33

ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA

CIRCUNFERENCIA

1. ÁNGULO INSCRITO: El vértice es un punto

de la circunferencia y sus lados son dos

semirrectas secantes a la circunferencia, por

ejemplo el ABC . 2. ÁNGULO SEMIINSCRITO: El vértice es un

punto de la circunferencia y sus lados son dos

semirrectas una tangente y la otra secante a la

circunferencia, por ejemplo el DEF . 3. ÁNGULO INTERIOR: El vértice es punto

interior a la circunferencia y sus lados son dos

semirrectas secantes a la circunferencia, por

ejemplo el GHK . 4. ÁNGULO EXTERIOR: El vértice es punto

exterior a la circunferencia y sus lados son

semirrectas tangentes y/o secantes a la

circunferencia, por ejemplo el LMR , el

LMN y el NMP ,

TEOREMA: En una circunferencia, en medidas

angulares: 1. Un ángulo inscrito mide la mitad del arco

comprendido entre sus lados, por ejemplo

(INSCRITO)ABC AC 2 .

2. Un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco

comprendido entre sus lados, por ejemplo

(SEMIINSCRITO)DEF DE 2 .

3. Un ángulo interior mide la semisuma del arco

comprendido entre sus lados y el arco

comprendido entre las prolongaciones de ellos,

por ejemplo (INTERIOR)GHK (GK K'G') 2 .

4. Un ángulo exterior mide la semidiferencia de

los arcos mayor y menor comprendidos entre

sus lados, por ejemplo :

(EXTERIOR)LMR (LNR LN'R) 2 ,

(EXTERIOR)LMN (LN LN') 2 ,

(EXTERIOR)NMP (NP N'P') 2

COROLARIOS:

1. Todos los ángulos inscritos que subtienden el

mismo arco son congruentes.

2. Todos los ángulos inscritos en una

semicircunferencia son rectos.

ARCO CAPAZ (LG)

TEOREMA: Dado un segmento AB y dado un

ángulo , 0° < < 180°, entonces existen dos arcos

de extremos A y B, (sobre circunferencias

congruentes y simétricas con respecto a la recta

AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto los

puntos A y B, forman el lugar geométrico de los

puntos P del plano, para los cuales APB= .

GEOMETRIA C.A.V.A

34

ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado un

, 0° < < 180°, el “Arco capaz del segmento

AB bajo el ”, es cada uno de los arcos a los que

se refiere el teorema anterior.

TEOREMA: El arco capaz de un segmento, bajo

90° es la semicircunferencia que le tiene por

diámetro

PROPIEDADES DE LAS RECTAS

TANGENTES DESDE UN PUNTO

EXTERIOR

TEOREMA: Sean PA y PB los segmentos tangentes

a una circunferencia trazados desde un punto P

exterior a ella, (A y B puntos de tangencia)

entonces:

1. Las tangentes son congruentes PA = PB.

2. OP es bisectriz del AOB y del APB.

3. AOB=Pexterior del cuadrilátero PAOB.

CONSTRUCCIÓN DE RECTAS TANGENTES

TEOREMA: Las rectas tangentes a una C(O; r)

trazadas desde un punto P exterior a ella, pasan por

los puntos de intersección entre ella y la

circunferencia de diámetro OP.

TEOREMA: Las rectas tangentes comunes a dos

circunferencias de distinto radio, no tangentes

interiores y no interiores, son paralelas a las rectas

tangentes trazadas desde el centro de la menor, a

la circunferencia concéntrica con la mayor y de

radio igual a la diferencia o a la suma de los radios.

CUADRILÁTEROS INSCRITOS Y

CIRCUNSCRITOS

TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está

inscrito en una circunferencia entonces sus ángulos

opuestos son suplementarios y recíprocamente si un

cuadrilátero convexo tiene un par de ángulos

opuestos suplementarios entonces es inscriptible en

una circunferencia.

TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está

circunscrito a una circunferencia entonces las

sumas de las medidas de sus lados opuestos son

iguales y recíprocamente si en un cuadrilátero

convexo las sumas de las medidas de sus lados

opuestos son iguales entonces es circunscriptible a

una circunferencia.

GEOMETRIA C.A.V.A

35

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

RAZONES Y PROPORCIONES

DEFINICIONES

RAZÓN: La razón entre dos números reales

a y b, (b0), es el cociente entre a y b, es

decir a

b. También se escribe: a/b, ab, a:b.

Al numerador se le llama antecedente y al

denominador consecuente.

PROPORCIÓN: Es la igualdad entre dos

razones: a c

b d . Se lee: “a es a b” como “c

es a d”. También se escribe: a/b=c/d,

a:b=c:d.

a y d son los extremos; b y c son los medios.

CUARTA PROPORCIONAL: Si a c

b x , es

decir a:b=c:x entonces “x es la cuarta

proporcional entre a, b y c”, en ese orden.

MEDIA PROPORCIONAL: Si a x

x b , es

decir a:x=x:b entonces “x es la media

proporcional entre a y b”. También se llama

media geométrica.

TERCEROS PROPORCIONALES: Si “x es la

media proporcional entre a y b”. Entonces “a

y b” son las terceras proporcionales de x.

RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS: La

razón entre dos segmentos es la razón entre

sus medidas, en la misma unidad de medida.

SEGMENTOS PROPORCIONALES: Dos

segmentos son proporcionales a otros dos si la

razón entre los dos primeros es igual a la

razón entre los dos segundos.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

Siempre que las razones resulten definidas:

1. Producto extremos = Producto medios

Si a c

b d entonces ad=bc

2. Razones inversas

Si a c

b d entonces

b d

a c

3. Intercambio de extremos

Si a c

b d entonces

d c

b a

4. Intercambio de medios

Si a c

b d entonces

a b

c d

5. Sumar (restar) a cada antecedente su

respectivo consecuente

Si a c

b d entonces

a b c d

b d

6. Sumar (restar) a cada consecuente su

respectivo antecedente

Si a c

b d entonces

a c

b a d c

7. Razones entre la suma y la diferencia del

antecedente y el respectivo consecuente

Si a c

b d entonces

a b c d

a b c d

8. La suma de los antecedentes es a la suma

de los consecuentes como cada

antecedente es a su consecuente,

Si a c

b d entonces

a c a c

b d b d

GEOMETRIA C.A.V.A

36

Esta propiedad es aplicable a cualquier

serie de dos o más razones iguales, es

decir:

n1 2n1 2

n n1 2 1 2

a a ... aaa a...

b b b b b ... b

9. El cuadrado de la media proporcional es

igual al producto entre las terceras

proporcionales, es decir:

Si a x

x b entonces 2x ab .

Luego la la media geométrica entre a y b

es x ab .

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA

PROPORCIONALIDAD

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN

SEGMENTOS CONGRUENTES

TEOREMA: Si tres o más paralelas

determinan segmentos congruentes sobre una

transversal entonces dichas paralelas también

determinan segmentos congruentes sobre

cualquier otra transversal.

CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado

en n segmentos congruentes, (nZ, n2)

TEOREMA DE THALES TEOREMA: Si dos rectas son cortadas por

tres paralelas entonces los segmentos que

dichas paralelas determinan sobre una de las

rectas son proporcionales a los segmentos que

determinan sobre la otra.

COROLARIO: Toda paralela a un lado de un

triángulo determina segmentos proporcionales

sobre los otros dos lados, (o sobre sus

prolongaciones),

CONSTRUCCIÓN: Construir la cuarta

proporcional de tres segmentos dados.

TEOREMA (6o criterio de paralelismo): Si

en un triángulo una recta determina segmentos

proporcionales sobre dos lados (o sobre sus

prolongaciones) entonces dicha recta es

paralela al tercer lado.

TEOREMA: Si tres rectas concurrentes son

transversales a dos rectas paralelas entonces

sobre las paralelas se determinan segmentos

proporcionales y recíprocamente.

PROPIEDADES MÉTRICAS DE LAS

BISECTRICES

TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de

un ángulo interior divide al lado opuesto en dos

segmentos proporcionales a los lados que

forman el ángulo y recíprocamente.

En un ABC, si AD es la bisectriz del A

interior, entonces: DB/DC=AB/AC y además

DB=ac/(b+c) ; DC=ab/(b+c)

TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de

un ángulo exterior(*) divide exteriormente al

lado opuesto en segmentos proporcionales a los

lados del ángulo interior adyacente y

recíprocamente.

En un ABC, si AE es la bisectriz del A

exterior, con E sobre la prolongación de BC,

entonces EB/EC=AB/AC y además

EB=ac/bc; EC=ab/bc

(*) Excepto para el ángulo exterior del

ángulo opuesto a la base de un triángulo

isósceles.

GEOMETRIA C.A.V.A

37

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes

si sus tres ángulos son respectivamente

congruentes y sus tres lados son

respectivamente proporcionales. Se denota

ABC A'B'C':

ABC A'B'C'

A A´

1. B B´

C C´

AB BC CA2. k

A B´ B C´ C A´

Los ángulos respectivamente congruentes, y

los lados respectivamente proporcionales se

llaman elementos homólogos (en semejanza).

El número k es la razón de semejanza del

ABC con respecto al A'B'C' y significa que

la medida de un lado del ABC es k veces la de

su lado homólogo en el A'B'C'.

Obviamente dos triángulos congruentes son

semejantes y su razón de semejanza es k=1.

TEOREMA: La relación de semejanza de

triángulos es una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC.

2. Simétrica: Si ABCA'B'C'

entonces A'B'C'ABC.

3. Transitiva: Si ABCA'B'C'

y A'B'C'A"B"C"

entonces ABCA"B"C".

La transitividad es un método muy utilizado

para probar que dos triángulos son semejantes.

CRITERIOS DE SEMEJANZA

TEOREMA FUNDAMENTAL: Toda paralela a

un lado de un triángulo dado determina un

triángulo semejante a éste.

TEOREMA: ( SLAL) Si dos triángulos tienen

un ángulo congruente formado por lados

proporcionales entonces son semejantes.

TEOREMA: (SAA) Si dos triángulos tienen

dos ángulos respectivamente congruentes

entonces son semejantes.

TEOREMA: (SLLL) Si dos triángulos tienen

sus tres lados respectivamente proporcionales

entonces son semejantes.

TEOREMA: Si dos triángulos rectángulos

cumplen alguna de las siguientes propiedades

entonces son semejantes:

1. Si tienen un ángulo agudo

congruente.

2. Si tienen los catetos

proporcionales.

3. Si tienen proporcionales las

hipotenusas y uno de sus catetos.

TEOREMA: Si dos triángulos son semejantes

entonces la razón entre dos elementos

(rectilíneos) homólogos: alturas, medianas,

bisectrices, es igual a la razón de semejanza

entre los triángulos.

GEOMETRIA C.A.V.A

38

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS

TRIÁNGULOS

PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE

UNA RECTA

PROYECCIÓN DE UN PUNTO: La proyección

ortogonal de un punto P sobre una recta L es el

punto P’ de intersección entre la recta L y la

recta perpendicular a L que pasa por P; es

decir P’ es el pie de dicha perpendicular.

PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO: La

proyección ortogonal de un segmento AB sobre

una recta L es el segmento A’B’ formado por

los puntos proyecciones ortogonales de todos

los puntos del segmento AB sobre la recta L.

NOTA: En adelante nos referiremos a una

proyección ortogonal simplemente como

proyección.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS

TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la

altura relativa a la hipotenusa determina dos

triángulos rectángulos semejantes a él.

En un ABC rectángulo en A, sean m y n las

proyecciones de los catetos c y b sobre la

hipotenusa a y sea h la altura sobre ella:

CATETO MEDIA PROPORCIONAL TEOREMA: Cada cateto es media proporcional

entre la hipotenusa y su proyección sobre ella:

b2 = a n ; c2 = a m.

TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA: El cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

a2 = b2 + c2.

ALTURA MEDIA PROPORCIONAL TEOREMA: La altura sobre la hipotenusa es

media proporcional entre las proyecciones de

los catetos sobre la hipotenusa: h2 = m n.

ALTURA 4a PROPORCIONAL TEOREMA: La altura relativa a la hipotenusa

es cuarta proporcional entre la hipotenusa y

los catetos: ah = bc .

CONSTRUCCIÓN: Dados dos segmentos

construir su media proporcional.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS

LEY DEL COSENO TEOREMA: En un triángulo, el cuadrado del

lado a opuesto a un ángulo A agudo (obtuso)

es igual a la suma de los cuadrados de los otros

dos lados, menos (más) el doble producto de

uno de ellos por la proyección del otro sobre

él, es decir:

A agudo: a2 = b2 + c2 – 2 b Proy (c /b)

A obtuso: a2 = b2 + c2 + 2 b Proy (c /b)

NOTA: Este teorema es una generalización

del teorema de Pitágoras.

TEOREMA: Dado un triángulo ABC de lados

a, b y c entonces:

1. A es agudo a2 < b2 + c2

2. A es recto a2 = b2 + c2

3. A es obtuso a2 > b2 + c2

GEOMETRIA C.A.V.A

39

CÁLCULO DE ALTURAS TEOREMA: La altura ha, relativa al lado a,

de un triángulo ABC está dada por:

a2

h p(p a)(p b)(p c)a

donde p es el semiperímetro: a b c

p2

CÁLCULO DE MEDIANAS TEOREMA: La mediana ma, relativa al lado a,

de un triángulo ABC está dada por:

22 2

2a

ab cm

2 4

CÁLCULO DE BISECTRICES TEOREMA: Si la bisectriz va=AD, del ángulo

Aint de un triángulo ABC determina los

segmentos DB y DC sobre el lado a, entonces:

2

av bc DB.DC

TEOREMA: Si la bisectriz wa=AE, del ángulo

Aext de un triángulo ABC determina los

segmentos EB y EC sobre el lado a y su

prolongación, entonces:

2

aw EB.EC bc

RELACIONES MÉTRICAS EN LA

CIRCUNFERENCIA

RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA

CIRCUNSCRITA TEOREMA: En un ABC, el producto entre el

diámetro 2r de su circunferencia circunscrita

y la altura ha, es igual al producto entre los

lados b y c del triángulo, es decir a2rh bc ,

luego:

a

bc abcr

2h 4 p(p a)(p b)(p c)

donde p es el semiperímetro: a b c

p2

CUERDAS SECANTES TEOREMA: Si en un punto P interior a la

circunferencia se cortan dos cuerdas AB y

A B´ entonces el producto entre los dos

segmentos de la primera es igual al producto

entre los dos segmentos de la segunda, es

decir PA x PB PA´x PB´ .

RECTAS SECANTES TEOREMA: Si desde un punto P exterior a

una circunferencia se trazan dos rectas AB y

A B´ secantes a ella, (P-A-B, P´-A´-B´),

entonces el producto entre el segmento

externo de la primera y la secante completa es

igual al producto entre el segmento externo de

la segunda y la secante completa, es decir

PA x PB PA´x PB´ .

SECANTE Y TANGENTE TEOREMA: Si desde un punto P exterior a

una circunferencia se trazan una tangente PT ,

y una secante PAB , entonces el segmento

tangente es media proporcional entre la

secante completa y su segmento externo, es

decir: 2

PA x PB PT

GEOMETRIA C.A.V.A

40

POTENCIA

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A

UNA CIRCUNFERENCIA: Dada una C(O; r) y

dado un punto P en su plano, se llama Potencia

“p” del punto P con respecto a la C(O; r), ¸ al

producto entre las medidas de los segmentos

orientados determinados, por él y por la

circunferencia, sobre cualquier recta secante

a ella que pase por P.

TEOREMA: Dada una C(O; r ) y dado un punto

P en su plano, si d = OP, entonces la potencia

p del punto P con respecto a la C(O; r ) está

dada por: p = d2 r2.

TEOREMA: La potencia de un punto exterior

a una circunferencia es el cuadrado del

segmento de tangente trazado desde él.

TEOREMA: El lugar geométrico de los puntos

de igual potencia con respecto a dos

circunferencias no concéntricas es una recta

perpendicular a la recta de sus centros.

EJE RADICAL

Dadas dos circunferencias no concéntricas se

llama Eje Radical de ellas al lugar geométrico

de los puntos del plano que tienen igual

potencia con respecto a ellas.

TEOREMA: Las tangentes a dos

circunferencias no concéntricas trazadas

desde un punto de su eje radical, exterior a

ellas, son congruentes y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias no

concéntricas, según su posición, el eje radical

se obtiene como sigue:

1. Exteriores: La recta que une los puntos

medios de sus segmentos tangentes

exteriores comunes.

2. Secantes: La recta secante común

3. Tangentes: La recta tangente común.

4. Interiores: La recta perpendicular a la

línea de sus centros que pasa por el punto

donde concurren los ejes radicales entre

cada una de ellas y una circunferencia

secante a ambas.

TEOREMA: Dadas tres circunferencias, de

centros no colineales, entonces sus ejes

radicales concurren en un punto.

CENTRO RADICAL

Dadas tres circunferencias, de centros no

colineales, se llama Centro Radical de ellas al

punto donde sus ejes radicales concurren.

GEOMETRIA C.A.V.A

41

EJERCICIOS UNIDAD 1y 2- ELEMENTOS BÁSICOS

1. ¿Por qué puede afirmarse la existencia

de puntos exteriores a un plano?.

2. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo

tres puntos no colineales?. Explique.

3. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo

cuatro puntos puntos no coplanares?.

Explique.

4. ¿Cuántas rectas pasan por un punto

dado?.

5. ¿Por qué dos puntos siempre son

colineales?.

6. Diga una condición necesaria y

suficiente para que dos rectas

coincidan.

7. ¿Tres puntos siempre son colineales?.

Ilustre las posibles alternativas.

8. ¿Dados tres puntos no colineales,

cuántas rectas pueden trazarse

tales que cada una contenga dos de

ellos?. Ilustre.

9. ¿Cuántos planos pasan por un punto

dado?. Ilustre.

10. ¿Cuántos planos pasan por dos

puntos dados?. Ilustre.

11. ¿Cuántos planos pasan por tres puntos

colineales dados?. Ilustre.

12. ¿Por qué tres puntos no colineales

siempre son coplanares?.

13. Diga una condición necesaria y

suficiente para que dos planos

coincidan.

14. ¿Cuatro puntos no colineales siempre

son coplanares?. Ilustre las posibles

alternativas.

15. ¿Si una recta y un plano tienen dos

puntos comunes, la recta puede

tener algún punto que no pertenezca

al plano?. ¿Por qué?.

16. ¿Dos planos distintos sólo pueden

tener un punto común?. ¿Por qué?.

17. ¿Dos rectas coplanares tienen que

ser paralelas?. Ilustre las posibles

alternativas.

18. ¿Dos rectas no secantes tienen que

ser paralelas?. Ilustre las posibles

alternativas.

19. ¿Dados cuatro puntos no colineales,

cuántas rectas pueden trazarse

tales que cada una contenga mínimo

dos de ellos?. Ilustre las posibles

alternativas.

20. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 3), con

ninguna tripleta colineales, cuántas

rectas pueden trazarse tales que

cada una contenga dos de ellos?.

21. ¿Dados cuatro puntos no coplanares,

alguna tripleta de ellos serán

colineales?. Explique.

22. ¿Dados cuatro puntos no coplanares,

cuántos planos pueden trazarse

tales que cada uno contenga tres de

ellos?. Ilustre.

23. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 4), con

ninguna cuarteta coplanares, cuántos

GEOMETRIA C.A.V.A

42

planos pueden trazarse tales que

cada uno contenga tres de ellos?.

24. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 4), con

una cuarteta coplanares y ninguna

tripleta colineales, cuántos planos

pueden trazarse tales que cada uno

contenga tres de ellos?.

25. Dados dos planos paralelos 1 y 2,

ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2,

tales que L1 1 y L2 2.

26. Dados dos planos 1 y 2 secantes

en la recta L, ilustre dos rectas

paralelas L1 y L2 , distintas de L,

tales que L1 1 y L2 2 .

27. Si BXC=45 y CXD=85, ¿cuánto

mide el BXD si:

a. C es interior al BXD?

b. C es exterior al BXD?

28. Determinar la medida del

complemento de cada uno de los

siguientes ángulos: 20, 60, 35, x,

(90 n), 40.

29. Encontrar la medida del suplemento

de cada uno de las siguientes

ángulos: 100, 80, n, 140,

(180n).

30. Si un ángulo mide el doble de su

suplemento, encontrar su medida.

31. Dados dos ángulos suplementarios, si

uno de ellos mide 30 más que el

otro, ¿cuánto mide cada uno?.

32. Encontrar la medida de un ángulo

sabiendo que cuatro veces su medida

es igual a cinco veces la medida de

su suplemento.

33. Encontrar la medida de un ángulo

sabiendo que cuatro veces su medida

es igual a cinco veces la medida de

su suplemento.

34. Cuatro veces la medida de un ángulo

es 60 más que dos veces la medida

de su suplemento. ¿Cuánto mide el

ángulo?.

35. Si la medida del complemento de un

ángulo es un tercio de la medida del

suplemento del ángulo, ¿cuál es la

medida del ángulo?.

36. Uno de los ángulos de un par vertical

(ángulos opuestos por el vértice)

mide 128. Encontrar la medida de

los otros tres ángulos que se

forman.

37. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas

coplanares, tales que AOB=COD

y BOC=DOA. Demostrar que

tanto OA y OC como OB y OD, son

semirrectas opuestas.

38. Cuatro semirrectas consecutivas

OA, OB, OC y OD forman ángulos

tales que DOA=COB=2AOB y

COD = 3 AOB. Calcular las

medidas de tales ángulos y

demostrar que las bisectrices de

AOB y COD están en línea recta.

39. Sean OX y OY las bisectrices de dos

ángulos agudos adyacentes AOB y

BOC, tales que AOBBOC=36.

Sea OZ la bisectriz del XOY.

Calcular el ángulo que hace OZ con:

a. La semirrecta OB.

b. La bisectriz OK del AOC.

GEOMETRIA C.A.V.A

43

40. Las semirrectas OA y OB forman

con la semirrecta OX los ángulos y

. Probar que la bisectriz OC del AOB

forma con OX un ángulo (+) / 2 con

>

41. Sean OX y OY semirrectas

opuestas. En un mismo semiplano se

trazan las semirrectas OA y OB y las

bisectrices de los ángulos XOA,

AOB y BOY. Calcular las medidas

de los ángulos, cuando la bisectriz del

ángulo AOB es perpendicular a la

recta XY y si las bisectrices de los

ángulos extremos forman un ángulo de

100.

42. Las semirrectas consecutivas OA,

OB, OC y OD forman cuatro ángulos

adyacentes consecutivos que son entre

sí como 1, 2, 3, 4. Calcular dichos

ángulos y los ángulos adyacentes

consecutivos formados por sus

bisectrices.

43. Dados A-B-C tal que M es punto

medio de BC. Demostrar que

AM = (AB+AC)/2

44. Las semirrectas consecutivas OA,

OB, OC, OD y OE forman cinco

ángulos adyacentes consecutivos.

Calcular dichos ángulos si los cuatro

primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4

y además OD es la prolongación de la

bisectriz del AOB.

45. Dados los puntos O-A-B-C tales que

(AB/3) = (BC/4). Demostrar que:

OB = (4 OA+ 3 OC)/7

46. Sean A-B-C-D tales que M punto

medio de AB, N punto medio de CD.

Demostrar que:

MN = (AC + BD)/2

47. Dados los puntos O-A-B-C tales que

(AB/m) = (BC/n). Demostrar que:

OB = (n OA+ m OC)/(n + m)

48. Dados los puntos P,Q,O,R y S

colineales con O punto medio de PS y

QR demostrar que PR es congruente

con QS

49. Sean A-B-C y D-H-E tales que

AB=DH y BC=HE demostrar que AC=DE

GEOMETRIA C.A.V.A

44

EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIÁNGULOS

1. En un ABC equilátero, sobre cada

lado a partir del vértice y en el

mismo sentido, se toman A', B' y C'

con AA'=BB'=CC'. Probar que el

A'B'C' es equilátero.

2. En un ABC equilátero, a partir de

cada vértice en el mismo sentido, se

prolongan los lados de modo que

AA'=BB'=CC'. Probar que el

A'B'C' es equilátero.

3. En un ABC isósceles de base BC, se

trazan las bisectrices de los ángulos

B y C, las cuales se cortan en I.

Probar que el BIC es isósceles.

4. En un ABC isósceles de base BC, se

trazan las medianas relativas a los

lados AB y AC, las cuales se cortan

en G. Probar que el BGC es

isósceles.

5. En un ABC isósceles de base BC, se

toman sobre las prolongaciones de

los lados BA y CA los puntos E y D

con AE=AD:

a. Probar que DAB=EAC.

b. Se toman B' y C' sobre AB y AC

tales que AB'=AC' y se trazan B'C y

C'B que se cortan en O. Probar que

BOB'=COC'.

c. Probar que la recta AO pasa por

el punto medio de BC.

6. Desde un punto A sobre el lado OX del

XOY, se traza AB perpendicular a

la bisectriz OZ, con B sobre OY.

Probar que AB forma ángulos

congruentes con los lados del XOY.

7. Sobre los lados AB y AC de un ABC

isósceles de base BC, se toman los

puntos E y F tales que AE = AF y se

unen con el pie H de la altura

relativa a la base. Demostrar que

EHA=FHA y EFH=FEH.

8. En un ABC isósceles de base BC, se

traza la secante BD con D sobre AC.

Probar que DC < BD.

9. En un ABC rectángulo en A, se traza

la bisectriz CD del C, con D sobre

AB. Probar que DB > DA.

10. Si dos lados de un triángulo miden 2

m y 9 m, hallar el mayor tercer lado

posible cuya medida sea un número

entero.

11. Sean a, b reales positivos, con a > b.

¿Cuál otra condición deben cumplir

para que sean las medidas de los

lados de un triángulo isósceles?.

12. En un ABC se traza la mediana

AM y se prolonga hasta D con

AM=MD.

a. Probar que BD=CA.

b. Deducir que la mediana es menor

que la semisuma de los lados que

parten desde el mismo vértice

que ella.

13. Dados una recta y dos puntos

situados en el mismo semiplano con

respecto a ella, encontrar el camino

más corto entre los dos puntos y que

pase por la recta dada.

GEOMETRIA C.A.V.A

45

14. Dados un ángulo y dos puntos en su

interior, encontrar el camino más

corto entre los dos puntos y que

pase por los dos lados del ángulo.

15. Dados dos puntos y una recta,

encontrar sobre ella un punto que

equidiste de los puntos dados.

Intuitivamente analizar las posibles

alternativas.

16. Probar que la semirrecta opuesta a

la bisectriz de un ángulo es el lugar

geométrico de los puntos del plano

exteriores al ángulo, que equidistan

de los lados del ángulo.

17. En un XOY se toman A y B sobre

OX y OY. Se trazan las bisectrices

de los ángulos XAB y YBA que se

cortan en R. Probar que

ROA=ROB.

18. Encontrar un punto que a la vez

equidiste de dos puntos dados y

equidiste de dos rectas

concurrentes dadas.

19. Sea OM la bisectriz del XOY.

Sobre OX y OY se toman A y B con

OA=OB; se unen A y B con un punto

cualquiera C de la bisectriz. Probar

que OAC=OBC y AC=BC.

20. Dadas dos rectas X'OX y Y'OY,

sobre OX y OY se toman A y B con

OA=OB; sobre OX' y OY' se toman

A' y B' con OA'=OB'. Probar que

A'B=AB' y OA'B=OB'A.

21. Dados dos triángulos ABC y

A'B'C' tales que AB=A'B',

BC=B'C' y las medianas AM=A'M',

probar que los dos triángulos son

congruentes.

22. Dados dos triángulos ABC y

A'B'C' tales que B=B' , BC=B'C'

y las bisectrices BE=B'E', probar

que los dos triángulos son

congruentes.

23. Si dos triángulos isósceles tienen las

bases y las alturas relativas a ellas

respectivamente congruentes,

probar que los triángulos son

congruentes.

24. Si dos triángulos isósceles tienen

congruentes los ángulos opuestos a

las bases y las alturas relativas a

ellas, probar que los triángulos son

congruentes.

25. Dado un ángulo agudo XOY. Por O

y hacia el exterior se levantan

OX'OX y OY'OY. Se toman A,

B, C y D sobre OX, OX', OY y OY'

tales que OA=OB y OC=OD. Se

trazan AD y BC. Probar que

OAD=OBC y AD=BC.

26. Dos triángulos ABC y A'BC están

situados en distinto semiplano con

respecto a la recta BC, la cual es

bisectriz de los ángulos ABA' y

ACA'. Probar que:

a. ABC=A'BC.

b. Para todo punto M de BC, se

cumple que AM=A'M.

c. AA'BC

27. En un ABC ( AB > AC), se traza la

bisectriz AD. Se traza la

semirrecta DE tal que ADE=ADC,

con E sobre AB. Probar que:

a. DE = DC y AE = AC.

b. AD es la mediatriz de EC.

GEOMETRIA C.A.V.A

46

28. Por el punto medio O de un segmento

AB se traza una recta cualquiera.

Desde A y B se trazan las

perpendiculares AC y BD a la recta.

Probar que AC=BD. ¿Cuál

propiedad tienen los vértices A y B

de un MAB con respecto a la

mediana relativa al lado AB?.

GEOMETRIA C.A.V.A

47

EJERCICIOS UNIDAD 4 – PARALELISMO

1. En un XOY se traza su bisectriz OZ .

Por un punto A sobre el lado OX se traza

la paralela a OY , que corta a OZ en B.

Probar que el AOB es isósceles.

2. En un ABC se traza la bisectriz AD del

A. Por cualquier punto E sobre el lado

AB se traza la paralela a AD , que corta a

la prolongación de CA en F. Demostrar

que el AEF es isósceles.

3. En un ABC se trazan las bisectrices del

B y del C que se cortan en un punto I.

Por I se traza DE ll BC , D sobre AB y E

sobre AC . Probar que:

a. DBI y ECI son isósceles.

b. Perímetro ADE = AB + AC.

4. En un ABC se trazan las bisectrices de

los ángulos exteriores B y C, y la del A

interior, que concurren en I. Por I se

traza DE ll BC , D y E respectivamente

sobre las prolongaciones de AB y AC .

Probar que DE = BD + CE

5. En un ABC se prolongan los lados BA y

CA , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar

que B'C'll BC .

6. Probar que si dos ángulos agudos tienen

sus lados respectivamente paralelos,

entonces sus bisectrices son paralelas.

7. Probar que si dos ángulos, uno agudo y

otro obtuso, tienen sus lados

respectivamente paralelos, entonces sus

bisectrices son perpendiculares.

8. Probar que dos ángulos agudos con sus

lados respectivamente perpendiculares,

tienen sus bisectrices perpendiculares.

9. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso

tienen sus lados respectivamente

perpendiculares, entonces sus bisectrices

son paralelas.

10. En un ABC, isósceles de base BC , se

toman sobre los lados iguales, las

longitudes iguales BM y CN . Demostrar

que MN ll BC .

11. Probar que la recta que une los pies de las

alturas iguales de un triángulo isósceles,

es paralela a la base.

12. Dado un punto P sobre una recta AB se

toman PM y PN de longitudes iguales, en

un mismo semiplano con respecto a la

recta AB y con igual inclinación con

respecto a ella. Probar que MN ll AB .

13. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos

opuestos son rectos, entonces las

bisectrices de los otros dos ángulos son

paralelas.

14. En un cuadrilátero convexo ABCD, tal que

AB=AD, BC=DC y AB < BC, los lados

opuestos prolongados se cortan en M y N.

Probar que MN ll BD .

15. Probar que en todo cuadrilátero convexo

la suma de las diagonales es mayor que la

suma de cada par de lados opuestos.

16. Dado un cuadrilátero no convexo BADC

con el D interior mayor que un llano,

probar que el ADC (exterior) es igual a

A + B + C (interiores).

17. En ABC, isósceles de base BC , se toma

un punto cualquiera P sobre BC , y por los

puntos medios M y N de los segmentos

BP y PC se trazan ME BC y NF BC ,

E sobre AB y F sobre AC . Demostrar

que EPF = A.

18. Probar que en un triángulo rectángulo la

altura relativa a la hipotenusa divide al

GEOMETRIA C.A.V.A

48

ángulo recto en dos ángulos iguales a los

ángulos agudos del triángulo.

19. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la

mediana relativas a la hipotenusa forman

un ángulo de 20°, hallar sus ángulos

agudos.

20. Si el ángulo entre las bisectrices de los

ángulos de la base de un triángulo

isósceles es igual al ángulo opuesto a la

base, ¿ cuánto mide cada uno de los

ángulos del triángulo ?.

21. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo

de 30° entonces la mediana y la altura

relativas a la hipotenusa, dividen al ángulo

recto en tres ángulos iguales.

22. Sobre los lados OX y OY de un ángulo

recto, se toman los puntos A y B. Se

trazan las rectas AM y BN , (M sobre

OY , N sobre OX ), que forme cada una un

ángulo de 30° con un lado del ángulo recto

y que se corten en D. Demostrar que el

AND y el BMD son isósceles.

23. Probar que en todo triángulo rectángulo la

bisectriz del ángulo recto es bisectriz del

ángulo formado por la mediana y la altura

relativas a la hipotenusa. Construir un

triángulo rectángulo dadas las longitudes

de la altura y la bisectriz que parten del

vértice del ángulo recto.

24. Calcular los ángulos agudos de un triángulo

rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto

es congruente con el cateto menor.

Construir un triángulo rectángulo que

cumpla esta propiedad, conociendo

únicamente la medida de la altura sobre la

hipotenusa.

25. Demostrar que las tres alturas de un

triángulo dividen a sus ángulos en ángulos

iguales dos a dos.

26. En un ABC se designan los ángulos por

2a, 2b y 2c. La bisectriz AE forma con

BC , dos ángulos adyacentes m y n, (m > n).

a. Probar que m - n = 2 b - 2 c

b. Se traza la altura AH sobre BC .

Probar que HAE = b – c

27. En un ABC, B=72° y C=30°. Hallar

los ángulos que forman:

a. Las alturas de dos en dos.

b. Las bisectrices de dos en dos.

28. En un ABC, rectángulo en A, se trazan la

altura AH relativa a BC , HD AB y

HE AC . Probar que:

a. DE=AH.

b. AM DE (M punto medio de BC )

29. En un ABC, rectángulo en A, el B es

igual a 2/5 del ángulo recto, calcular los

ángulos que la hipotenusa forma con su

mediana y con la bisectriz del ángulo

recto.

GEOMETRIA C.A.V.A

49

30. En un ABC, rectángulo en A, AH es la

altura relativa a BC , HD AB , HE AC

y AM mediana. Prolongando EH y AM

se cortan en F. Se traza BF . Probar que

a. AHB=BFA

b. BF ll DE

c. Las rectas AH , BF y MN

concurren, (N punto medio de AB )

31. En un ABD se tiene que B=2D. Se

traza la altura AH y se prolonga AB

hasta E con BE=BH. Se traza la recta EH

que corta a AD en F. Demostrar que:

FHD=FDH y FAH=AHF.

32. En un ABC, rectángulo en A, se

construye MAB=B, con M sobre BC .

Pruebe que AM=BM=CM.

33. En un ABC, isósceles de base BC , se

prolonga BC tal que CD=AB y se prolonga

AB tal que BE=BC/2. Se traza la recta

EHF , con H punto medio de BC y F sobre

AD . Probar que:

a. ADB= 1/2 ABC

b. EA=HD

c. FA=FD=FH

d. Si BAC=58°, calcular el valor del

AFH y del ADB.

34. En un ABC, rectángulo en A, AB < AC, se

traza la altura AH y se toma D sobre la

hipotenusa con HD=HB. Desde C se traza

CE AD . Demostrar que BC es la

bisectriz del ACE.

35. En un ABC, rectángulo en A, se prolonga

CA en una longitud igual a AD. Por D se

traza DH BC con H sobre BC y

cortando a la recta AB en G. Probar que

CG DB .

36. Encontrar con regla y compás los puntos

del plano que están a una distancia dada de

dos rectas secantes dadas.

37. ¿En un triángulo isósceles podrá ocurrir

que las bisectrices de los ángulos iguales

sean perpendiculares? ¿Por qué?

GEOMETRIA C.A.V.A

50

EJERCICIOS UNIDAD 5- CUADRILÁTEROS

1. En un ABC, se prolongan AB y AC hasta

M y N tal que BM=AB, y CN=AC; se traza

MN . Probar que M=B y N=C.

2. En un paralelogramo ABCD se prolongan

AB en BE=BC y AD en DF=DC.

a. Probar que DCF=BCE.

b. Demostrar que los puntos F, C y E

están alineados.

3. En un paralelogramo ABCD se trazan las

diagonales AC y BD que se cortan en O.

Demostrar que OAB=OCD.

4. En un paralelogramo, el segmento que une

los puntos medios de dos lados opuestos

tiene por punto medio al punto de corte

de las diagonales.

5. Sobre los lados de un XOY dado, se

toman los puntos A sobre OX y B sobre

OY tales que OA+OB=k (k longitud dada),

y se construye el paralelogramo OACB.

¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C

del paralelogramo ?.

6. Probar que en un triángulo isósceles la

suma de las distancias desde un punto P

de la base a los lados iguales es constante.

Usar esta propiedad para hallar el lugar

geométrico de los puntos tales que la

suma de sus distancias a dos rectas

secantes dadas, sea igual a una medida

constante dada.

7. Probar que en un triángulo isósceles la

diferencia de las distancias desde un

punto P sobre las prolongaciones de la

base a los dos lados iguales es constante.

Utilizar esta propiedad para hallar el

lugar geométrico de los puntos tales que

la diferencia de sus distancias a dos

rectas secantes dadas, sea igual a una

medida constante dada.

8. Se considera un paralelogramo ABCD tal

que CD= 2AD. Se unen A y B con el punto

medio M de CD . Demostrar que el AMB

es recto.

9. Demostrar que la mediana de un triángulo

está comprendida entre la semisuma y la

semidiferencia de los lados trazados

desde el mismo vértice.

10. En un cuadrado ABCD se prolongan sus

lados opuestos en su longitud y en

sentidos opuestos: BM=AB, DN=CD,

CP=BC, AQ=DA. Se trazan MN y PQ .

Demostrar que MN=PQ.

11. En un cuadrado ABCD se unen los puntos

medios M, N, P y Q de los lados

consecutivos. Probar que el cuadrilátero

obtenido es un cuadrado.

12. En un cuadrado ABCD se toman M sobre

AD y N sobre DC con AM=DN.

Demostrar que AN BM .

13. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto

en A, sobre los lados AB y AC se

construyen los cuadrados ABDE y ACFG.

Luego se trazan DD' y FF'

perpendiculares a BC . Probar que:

a. DD’+FF’=BC

b. D, A y F son colineales

c. Las rectas DE y FG concurren

sobre la prolongación de la altura AH .

14. Sobre los lados AB , BC , CD y DA de un

cuadrado ABCD se toman los puntos A’, B’,

C’ y D’ tales que AA’, BB’, CC’ y DD’ sean la

cuarta parte del lado del cuadrado y se

unen dichos puntos. Demostrar que

A’B’C’D’ es un cuadrado y que los dos

cuadrados tienen el mismo punto de

concurso de las diagonales.

GEOMETRIA C.A.V.A

51

15. Demostrar que si dos paralelas son

cortadas por una secante, entonces las

bisectrices de los ángulos interiores

forman un rectángulo.

16. Sobre los lados de un cuadrado y hacia el

exterior se construyen cuatro triángulos

equiláteros AEB, BFC, CGD y DHA.

Probar que E, F, G y H son los vértices de

un cuadrado.

17. Demostrar que las bisectrices de los

ángulos de un paralelogramo forman un

rectángulo. Examinar los casos en los que

el paralelogramo sea rectángulo, rombo.

18. En un rombo ABCD se traza BM AD y

DN BC . Demostrar que BMDN es un

rectángulo.

19. Dado un rombo ABCD, desde los vértices

B y D se trazan las perpendiculares BM ,

BN , DP y DQ a los lados opuestos.

Estas perpendiculares se cortan en E y F.

Demostrar que el cuadrilátero BFDE es

un rombo y que sus ángulos son iguales a

los del rombo ABCD.

20. Probar que si se unen los puntos medios de

los lados consecutivos de un trapecio

isósceles el cuadrilátero que se forma es

un rombo.

21. En un ABC, se toman los puntos medios

M, N y P de los lados AB , AC y BC . se

traza la altura AH y los segmentos MN ,

NP y MH . Demostrar que MNPH es un

trapecio isósceles.

22. Por el punto medio M del lado AB de un

ABC se traza la perpendicular MN a

dicho lado. Demostrar que si N es el

punto medio del lado BC entonces el

ABC es rectángulo.

23. Por el punto medio M del lado AB de un

ABC, se traza una recta XY cualquiera

que corta a AC en N. Se toma P tal que

P–M–N con PM=MN. Demostrar que

PB AC .

24. En un ABC, se trazan las medianas AM

y BN , por N se traza una paralela a BC y

por C una paralela a BN ; estas dos

paralelas se cortan en P. Sea D el punto

medio de PN , demostrar que CD MN .

25. En un ABC se traza la mediana AD

relativa al lado BC . Se traza la recta

BEF con E punto medio de AD y F sobre

AC . Probar que AF=AC/3.

26. En un paralelogramo ABCD se unen los

vértices B y D con los puntos medios de

CD y AB respectivamente. Probar que

AC resulta dividida en tres segmentos

iguales.

27. En un paralelogramo ABCD se unen los

vértices B y D con los puntos medios de

AD y BC respectivamente. Probar que

AC resulta dividida en tres segmentos

iguales.

28. En un ABC cualquiera se traza la

bisectriz AF del A, con B–F–C. Se

trazan ABFE // , y BCED // , con E sobre

AC y D sobre AB . Probar que AE=BD.

29. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC) se

trazan las diagonales AC y BD , las

bisectrices de los ángulos DAB y DBA que

se cortan en F y las bisectrices de los

ángulos CBA y CAB que se cortan en G.

Demostrar que ABFG // .

30. Se considera un trapecio ABCD tal que la

base menor CD sea igual a la suma de los

lados no paralelos AD y BC . Probar que

las bisectrices de los ángulos A y B

concurren sobre la recta DC .

31. Se prolongan los lados no paralelos de un

trapecio ABCD hasta que se corten en E.

Se unen los puntos medios M y N de AE

y BE , y los puntos medios P y Q de las

GEOMETRIA C.A.V.A

52

diagonales AC y BD . Demostrar que

MNPQ es un trapecio.

GEOMETRIA C.A.V.A

53

EJERCICIOS UNIDAD 6- CIRCUNFERENCIA

1. En una C(O; r) se trazan un diámetro AB y

un radio OC perpendicular a AB ; se

prolonga AB a cada lado y en el exterior

de la circunferencia en longitudes iguales

AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a

la circunferencia en F y G. Probar que:

OFC=OGC.

2. Un ABC está inscrito en una C(O; r); sus

alturas se cortan en H. Demostrar que la

recta que une el punto medio N de AH con

el punto medio P de AB es paralela a la

recta que une O con el punto medio Q de

AC . Demostrar que OPNQ es un

paralelogramo.

3. Desde el vértice A de un ABC equilátero, se

traza el arco menor de la circunferencia

que pasa por B y C; se toma sobre este

arco el punto D y se trazan DB y DC .

Demostrar que la recta que une el punto

medio del radio AB con el punto medio de

DC es perpendicular a la recta que une el

punto medio AC con el punto medio de

DB .

4. En una C(O;r) un diámetro AB y una cuerda

AC forman un ángulo de 30°; se traza la

tangente en el punto C que corta al

diámetro prolongado en el punto D.

Demostrar que el ACD es isósceles.

5. En una semicircunferencia de radio dado R

inscribir una circunferencia de radio dado

r. ¿ Cuál condición deben cumplir los

radios R y r para que exista una única

solución?, ¿Para dos soluciones?.

En una C(O;r) se trazan por los extremos de un

diámetro AB dos cuerdas paralelas AC y

BD . Probar que ACO=BDO.

7. Por el punto medio O de un segmento AB se

traza una recta cualquiera XY ; se toma B'

simétrico de B con respecto a XY y se

traza B'N OB' con el punto N sobre

XY . Probar que NB es tangente a la

circunferencia de diámetro AB .

8. Por el punto de contacto A de dos

circunferencias tangentes exteriores se

traza una cuerda BAC . Demostrar que las

tangentes en B y en C son paralelas.

9. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r')

tangentes en un punto A; se trazan en la

C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la

cuerda AN AM . Probar que OM O'N .

10. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son

secantes en A y B; por A se trazan los

diámetros AC y AD . Demostrar que C,

B y D están alineados.

11. Se traza una cuerda que corta a dos

circunferencias concéntricas, a la menor

en A y B y a la mayor en C y D. Demostrar

que AC =BD y AD =BC .

12. En una C(O;r) se traza una cuerda AB y se

toman los puntos medios M del arco mayor

AB y N del arco menor AB . Se trazan las

bisectrices de los ángulos MAB y MBA que

se cortan en I y cortan a la circunferencia

en D y F; se traza DF que corta a MN en

H. Demostrar que:

a. El punto I está sobre la recta MN .

b. DH=HF.

13. En una C(O; r) se trazan dos radios OA y

OB y una cuerda MN perpendicular a la

bisectriz del AOB; MN corta a OA en F

y a OB en G. Demostrar que: MF=NG y

FA=GB.

GEOMETRIA C.A.V.A

54

14. Se trazan dos circunferencias concéntricas.

Demostrar que todas las cuerdas de la

mayor que son tangentes a la menor son

iguales.

15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se

cortan en A; se une A con el punto medio

M de OO' y se traza la perpendicular a

AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la

C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC.

16. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y

una cuerda cualquiera CD ; De A se traza

la cuerda AE perpendicular a la dirección

de CD y de B se traza la cuerda BF

perpendicular a CD ; AE y BF

prolongados cortan a CD o a sus

prolongaciones en G y H. Demostrar que:

EG=BH y HC=DG.

17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa

por un punto interior a una circunferencia

es perpendicular al diámetro que pasa por

dicho punto.

18. Considerar un cuarto de circunferencia AOB.

Desde los puntos A y B se trazan cuerdas

iguales AM=BN; estas cuerdas se cortan en

el punto C. Demostrar que OC AB .

19. En una C(O; r) se trazan dos radios

perpendiculares OA y OB y en el mismo

sentido con respecto a los radios se trazan

dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar

que ellas son perpendiculares.

20. En una C(O; r) se traza una cuerda AB

sobre la que se toma un punto D que se une

con un punto cualquiera C de la

circunferencia. Por los puntos medios de

AD y CD se levantan perpendiculares que

se cortan en M. Demostrar que OM AC .

21. Probar que todo trapecio inscrito en una

circunferencia es isósceles.

22. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r)

se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y

AN ; después las cuerdas BM' AM y

BN' AN . Demostrar que MN' M'N .

23. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC'

y DD' perpendiculares a un diámetro AB ;

se trazan CD y C'D' . Probar que la recta

que une los puntos medios de CD y C'D'

es perpendicular al diámetro AB .

24. Se hace pasar una circunferencia por los

puntos medios de los tres lados de un

triángulo rectángulo. Demostrar que el

arco exterior a la hipotenusa es la

diferencia de los arcos exteriores a los

catetos.

25. En un ABC acutángulo se traza las

alturas AD y BE . Probar que la

circunferencia de diámetro AB pasa por

los pies D y E de las alturas. Si el

BAC=64°, calcular el ADE.

26. En una semicircunferencia de diámetro

AB se traza una cuerda AC tal que el

BAC=20° y se traza la tangente

XDY AC Calcular el valor del ADX y el

del BDY.

27. Dos circunferencias son tangentes

exteriores en un punto A. Se trazan las

secantes BAC y B'AC' . Probar que

BB' CC'.

GEOMETRIA C.A.V.A

55

28. Construir un triángulo rectángulo si se

conocen la hipotenusa y un cateto.

29. Hallar el lugar geométrico del centro de

un rombo si uno de sus lados está fijo en

alguna posición.

30. En un ABC inscrito en una

circunferencia se trazan las bisectrices de

los ángulos A y B que se cortan en I y

cortan a la circunferencia en D y F.

Demostrar que DI=DB.

31. Sea I el centro de la circunferencia inscrita

en un ABC, rectángulo en A. Probar que

BC es el lado del cuadrado que se puede

inscribir en la circunferencia que pasa por

los tres puntos B, I y C.

32. En un ABC inscrito en una

circunferencia se trazan las alturas AD y

BF que se cortan en H; se prolonga AD

hasta que corte a la circunferencia en M.

Demostrar que HD=DM.

33. Por un extremo A de un diámetro AB de

una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por

el extremo B se traza la tangente a la

circunferencia. Se traza la bisectriz del

CAB que corta a la cuerda BC en F, a la

circunferencia en H y a la tangente en D.

Demostrar que BD=BF y FH=HD.

34. Sobre una circunferencia se toman

consecutivos y en un mismo sentido de

rotación los puntos A, B, C, D y E, tales que

los arcos AB , BC , CD y DE midan

respectivamente 90°, 60°, 45° y 105°.

Encontrar:

a. La medida del arco EA .

b. El valor de los ángulos ABC, BCD,

CDE, DEA, EAB.

c. El valor de los ángulos que se forman

en el punto H, intersección de las

cuerdas EB y AD .

d. El valor de los ángulos que se forman

en el punto I, intersección de las

cuerdas ED y BC .

e. El valor de los ángulos que se forman

en el punto B, al trazar la recta

tangente FBT .

35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero

inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace

con los lados AB y AD ángulos de 45° y

con la diagonal BD un ángulo de 70°.

36. Construir un triángulo equilátero

conociendo el radio del círculo:

a. Inscrito.

b. Circunscrito.

37. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito

en una circunferencia, y el cuadrilátero

circunscrito ABCD, cuyos lados , , y ,

son tangentes a la circunferencia

respectivamente en N, P, R y M.

a. Demostrar que AD+BC=DC+AB.

1. b. Si los arcos, miden 110° y 120° y el

concurren las diagonales del MNPR,

calcular los ángulos de los dos

cuadriláteros

GEOMETRIA C.A.V.A

56

EJERCICIOS UNIDAD 7- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

(recopiló: Carlos Alberto Ríos Villa)

1. En un ΔABC cualquiera se trazan las

alturas AJ y CH que se interceptan en I.

Demostrar que: IA.IJ = IC.IH

2. En un triángulo ABC cualquiera se trazan OF

(O baricentro) y CE perpendiculares a AB, con

F y E sobre AB. Demostrar que OF = (1/3)CE

3. En una circunferencia C(O,R) se traza un

diámetro AB, se toma un punto P tal que A-O-

P-B , se levanta PC perpendicular a AB que

corta a C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC que

corta a C(O,R) en D (A-D-C). Demostrar que

AB . AP = AD . AC

4. Dado un trapecio ABCD rectángulo en A con

AB=2DC=2a, CD=DA=a; AC y BD se interceptan

en I. Demostrar que 5aBD , 2aAC

y aBI3

52

5. Demostrar que el segmento tangente común

a dos circunferencias tangentes exteriores y

no congruentes es media proporcional entre

los diámetros de las circunferencias.

6. Se tiene un triángulo ABC rectángulo en A

con BC=a, AC=b, AB=c, CD=d , DB=f y AD=h;

siendo D el pie de la altura relativa a la

hipotenusa si:

a) c =6 2 y d = 4 hallar f y b, h, a

b) b = f = 8. Hallar d, h, c y a

7. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una

circunferencia, se toma un punto cualquiera E

sobre el arco BC y D punto de intersección

entre AE y BC, Demostrar que:

AC . DE = DC . BE

8. Demostrar que en un paralelogramo la suma

de las medidas de los cuadrados de los cuatro

lados es igual a la suma de los cuadrados de las

diagonales.

9. Una persona de 180 cm. de estatura camina

hacia un tanque esférico que reposa sobre el

piso. Cuando está a una distancia de 500cm.

Del punto de contacto del tanque con el piso,

su cabeza chaca con el tanque. ¿Cuánto mide el

radio del tanque?

10. En un triángulo PQR se prolonga PQ hasta

S con PQ = QS, se toma U sobre PR tal que

UR = (2/3) PU y se traza SU que corta a QR

en T. Calcular la razón QT/QR

11. Se toma un triángulo ABC y se traza una

recta que corta a los lados AC y AB del

triángulo en E y H respectivamente; se trazan

AD, BK y CR perpendiculares a la recta y se

prolonga CB hasta cortarla en L. Demostrar

que 1CL

BL

BH

AH

AE

CE

12. Se da un triángulo ABC con AB > AC . Se

trazan las bisectrices interior AD y exterior

de AE del A , con D y E sobre BC.

Demostrar que:

GEOMETRIA C.A.V.A

57

22222

BD

AEAD

CD

AEAD

13. La hipotenusa de un triángulo mide 60u y la

altura sobre ella 12u. Calcular la medida de los

catetos y su proyección sobre la hipotenusa.

14. En un trapecio ABCD isósceles de base

mayor AB, la diagonal BD es perpendicular a

AD. Si AB mide 50u y AD = 14u. Calcular el

perímetro del trapecio.

15. En una circunferencia C(O,r), AB = 10u y

CD = 6u son cuerdas paralelas y la distancia

entre ellas es de 4u; encuentre el radio de la

circunferencia.

16. En un trapecio ABCD de base mayor

AB = 3a, AD = CD = a y A = 60º. Calcular BC

y la longitud del segmento que une los puntos

medios de las bases.

17. En un triángulo ABC Isósceles de base BC,

se traza CD perpendicular a AB. Demostrar

que AB2 + AC2 + BC2 = BD2 + 2AD2 +

3CD2

18. Desde el punto medio D del cateto AB de

un triángulo rectángulo en A se traza DE

perpendicular a la hipotenusa. Demostrar que

EC2 - EB2 = AC2

19. Si CD es la bisectriz interior del ángulo C

en un triángulo ABC y AC = b, BC = a , AB = c,

AC 2 . Demuestre que abac 2

20. Dos circunferencias secantes y

congruentes O y O´ son ortogonales (las

tangentes trazadas en sus puntos de

intersección son perpendiculares); por uno de

sus puntos de intersección A se traza una

cuerda MAN(M sobre la circunferencia O y N

sobre la circunferencia O´). Demostrar que

MA2 + NA2 = 2 2,OO

21. Se tiene un triángulo cualquiera ABC. D y

E dividen a BC en tres partes iguales, o es el

punto medio de BC y H el pie de la altura

relativa a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ;

hallar AO, HO, AE y AD en función de a, b y

c.

22. Se tiene un paralelogramo ABCD con

AD = 20, AB = 36 y BD = 40, encontrar la

medida del segmento AC.

23. Demostrar que si se traza un segmento

tangente y uno secante a una circunferencia

C(O,r) desde un mismo punto exterior a ella, el

segmento tangente es media proporcional

entre el segmento secante y su parte exterior.

24. Si ABC triángulo cualquiera, AD bisectriz

del ángulo A, DE paralelo con AB (E sobre AC)

y AB = c, AC = b , BC = a, encontrar DC, BD,

AE, CE y DE en función de a ,b y c.

25. Se tiene un triángulo isósceles ABC de

base BC inscrito en una circunferencia C(O,r),

se traza un segmento AE cualquiera, con E

sobre el arco CB y que corta a BC en D

demostrar que AB2 = AE . AD

26. Demostrar que el triángulos formado por

los pies de dos alturas de un triángulo y el otro

vértice es semejante al triángulo inicial.

27. En un Triángulo ABC rectángulo en C se

inscribe un cuadrado DEFG con DE sobre la

hipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que

AD . EB = DG . FE y que DE es media

proporcional entre AD y EB.

28. En un triángulo HJL rectángulo en H, LH =

15u y HJ = 20u, se traza por un punto K

ubicado a 10u de L y sobre la hipotenusa una

GEOMETRIA C.A.V.A

58

perpendicular a ella que corta a HJ en I.

Calcular KI.

29. Encontrar la relación entre el lado, el radio

y la apotema de los polígonos regulares de 3, 4,

5, 6, 8 y 10 inscritos en una circunferencia de

radio “r”. ¿Qué haría en el caso de que los

polígonos no fueran inscritos sino

circunscritos?

30. En una circunferencia de r = 15u se trazan

los diámetros AB y CD perpendiculares y la

cuerda BC, si M es el punto medio de BC,

calcular la medida de AM.

31. Los radios de dos circunferencias

concéntricas son 26u y 10u , calcular la

longitud de la cuerda de la mayor que es

tangente a la menor.

32. Una cuerda de 48u dista 7u del centro de

una circunferencia. Calcular la distancia al

centro de otra cuerda de 40u de longitud.

33. El diámetro de una circunferencia mide

20u. ¿En cuánto habrá que prolongarlo para

que la tangente trazada desde el punto

obtenido tenga igual longitud que el diámetro?

34. La cuerda CD es perpendicular al diámetro

AB y M es un punto cualquiera del arco BC. Si

se trazan las cuerdas AM, AC y CM y E punto

de intersección entre AM y CD. Demostrar que

los ángulos DEM y ACM son congruentes.

35. En un trapecio ABCD se trazan por los

extremos de la base menor CD las paralelas CF

y DE a los lados no paralelos (F y E sobre la

base mayor); dichas paralelas encuentran a las

diagonales DB y AC en los puntos M y N. Por

F y E se trazan paralelas a las diagonales AC

y BD ; estas últimas encuentran a BC y AD

en P y Q. Demostrar que M-N-P-Q y que el

segmento que los contiene es paralelo a AB.

36. Sean P,Q,R y X puntos tales que tres

cualesquiera de ellos no están alineados y X

esté en el exterior del triángulo PQR, y se

trazan los segmentos XP, XQ y XR. Sea A un

punto cualquiera de XR y trazamos una recta

que pasa por A paralela a PR y que intersecta a

XP en B. Además, una recta paralela a PQ y que

pasa por B intersecta a XQ en C y se traza AC.

Demostrar que los triángulos ABC y RPQ son

semejantes.

37. En una circunferencia se traza un diámetro

PQ, por P se traza la tangente PR, si QR = 8 y

el arco MQ = 120º calcular el radio de la

circunferencia.

38. Se traza el cuadrilátero ABCD tal que:

A-E-D, B-F-E, FCBF ACBC ,

ADBE , ADCD . Probar que:

1.

2.

AC

BCADBF

3. AB

BC

AC

AD

AB

AC

AC

CD

AB

BE

39. Dado un triángulo cualquiera ABC, las

bisectrices de los ángulos interno y externo de

A intersectan a BC en D y D’ respectivamente.

Demostrar que:

,, CD

CD

BD

BD

40. (CIRCUNFERENCIA) En un ángulo recto

XOY se inscribe un circulo C tangente a OX en

D, se traza una recta OAB tal que el arco AD

sea la mitad del arco DB. Calcular la medida

del ángulo DOB y los ángulos del cuadrilátero

CADB (sugerencia: trace CDAH ).

GEOMETRIA C.A.V.A

59

41. Se unen los tres vértices de un triángulo

ABC con un punto O ubicado en el semiplano

opuesto a B con respecto a AC, sobre OA(o su

prolongación) se toma un punto cualquiera A’

por el cual se traza la paralela A’B’ a AB y la

paralela A’C’ a AC, B’ y C’ puntos sobre OB

y OC. Demostrar que BCCB ,, .

EJERCICIOS UNIDAD 8- AREAS

Taller recopilado y adaptado por: Carlos Ríos

1. En un triángulo equilátero se inscribe una

circunferencia de radio R y otra de radio r

tangente a dos de los lados y a la primera

circunferencia, hallar el área que se encuentra

adentro del triángulo y afuera de las

circunferencias, en función de R.

2. Para cada caso calcular el área sombreada.

GEOMETRIA C.A.V.A

60

3. Hallar el área sombreada en función de “l”.

GEOMETRIA C.A.V.A

61

5. ABCD es un paralelogramo, E y F son los

puntos medios de los lados AB y BC

respectivamente. AB = 18 cm. y la altura CH =

12. Halle el área de DEBF.

6. En un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y

5cm. Se inscribe una circunferencia. Halle el

área del círculo.

7. Sobre cada lado de un hexágono regular se

construyen exteriormente cuadrados y se unen

en forma consecutiva los doce vértices

resultantes. Halle el área del dodecágono

resultante, y el área de los triángulos

resultantes, en función del radio “R” del

hexágono.

8. Hallar el área sombreada en función de “l”.

9. Hallar el área sombreada en función de “l”.

10. ABCD es un cuadrilátero. Si DE es

perpendicular a AC y BF a AC. Encuentre el

área de ABCD en función de DE, BF y AC.

11. Los radios de dos circunferencias

concéntricas están en relación 1:2. Si la cuerda

AB es tangente a la circunferencia interior,

determine el área de la región circular limitada

por la secante y la circunferencia exterior.

12. Hallar el área del ovoide de la figura en

función de “a”. Si el radio de la circunferencia

con centro en “O” es “a”. Los arcos BM y AN

tienen centro en A y B respectivamente; y el

arco MN tiene centro en D.

GEOMETRIA C.A.V.A

62

13. Hallar el área sombreada en función de

“R”.

14. Hallar el área sombreada en función de

“D”.

15. En un trapecio ABCD, AB paralela a CD,

los ángulos adyacentes a una de las bases de

longitud 27 cm. son 45º y 120º y el lado

adyacente al ángulo de 45º mide 12 cm.

Encuentre el área del trapecio.

16. Se inscribe una circunferencia y se

circunscribe otra a un triángulo equilátero de

lado “a” . Halle el área de la región circular

exterior a la circunferencia inscrita e interior

a la circunscrita.

17. En la figura el ángulo XOY es recto el arco

AO tiene radio “a” y el arco MN radio “a”, con

centro en “M” y “O”. Halle el área de la región

circular MPA.

18. Hallar el área sombreada en función de “l”.

19. Hallar el área sombreada en función de

“R”.

GEOMETRIA C.A.V.A

63

20. Encuentre el área de un triángulo si:

a. Dos de sus lados miden 18 y 15cm. y la

altura relativa al tercer lado mide 12cm.

b. Sus lados miden 5, 12 y 15cm.

21. Los vértices de un triángulo equilátero de

lado “a” son centros de arcos de

circunferencias de radio a/2, hallar el área

de la región circular común a los tres arcos.

22. En la figura AB y CD son diámetros,

C(O,R) y C(A,X). Encuentre el área

sombreada en función de “R”.

23. Hallar el área sombreada en función de “l”.

24. Hallar el área sombreada en función de

“R”.

25. Halle el área de un paralelogramo ABCD, si

los lados del rectángulo que se forma al unir

los puntos medios de sus lados están en

relación de 2:3 y su perímetro es 100cm.

26. ABC es un triángulo rectángulo en A, e

isósceles, con centro en A y radio igual a la

altura AH, se traza el arco de circunferencia

DE. Halle el área de la región circular exterior

al arco e interior al triángulo.

27. ABC equilátero de lado “a”, O1, O2, O3

centros de los arcos

O1A=O1C=O2B=O2C=O3A=O3B. Halle el área

sombreada en función de “a”.

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28. Hallar el área sombreada en función

de “l”.

29. Hallar el área sombreada en función

de “R”.

30. En un rombo encuentre:

a. Una diagonal si la otra mide 14cm y el área

es de 42cm2

b. El lado, si el área es 54m2 y las diagonales

son entre sí como 4:3

31. Dos circunferencias concéntricas tienen

radio “r” y “2r” . Halle el radio del circulo de

área igual a la corona circular.

32. Encontrar el área de un trapecio en

función de a y b donde la base menor es a y la

base mayor b y los ángulos adyacentes a la

base mayor son de 30º y 45º.

33. Hallar el área sombreada en función de “l”.

34. Demostrar que T = N + M, si AB es

Perpendicular a BC

35. M, N y P son respectivamente los puntos

medios de los lados AB, BC y CD del

cuadrilátero ABCD. Si MN =

39cm, NP = 41cm y PM = 50cm. Halle el área

de ABCD.

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36. ABCD es un cuadrilátero cuyas diagonales

forman entre sí en ángulo de 60º. Demuestre

que el área del cuadrilátero

ABCD = AC . BD

37. En la gráfica OA = OB = OD = AD = r, CD y

BC tangentes. Halle el área CDB en función de

“r”.

38. Hallar el área sombreada en función de

“R”.

39. Hallar el área sombreada en función de

“D”.

40. ABCD es un trapecio isósceles con AB

paralelo a CD, AD = DC = CB = a y el ángulo A

mide 60º. Encuentre el área del trapecio

ABCD.