07aplicaciones Integral

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicacionesde la integral

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Volumen derevolucion

Herramientas digitales de

auto-aprendizaje para Matematicas

HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica

Departamento de Matematicas

Universidad de Extremadura

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bloque: Analisis Matematico

Tema: Aplicaciones de la integral

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Indice

Introduccion

Calculo de areas de superficies planas

Longitud de un arco de curva plana

Volumen de un solido de revolucion

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Introduccion

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Introduccion

En muchos fenomenos fısicos, economicos, sociales,... el area bajo la curvade una funcion representa una magnitud relevante que conviene saber medir.

Por ejemplo, si representamos la velocidad de un movil en funcion deltiempo, el area bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.

En esta leccion usaremos el calculo integral para formalizar conceptossencillos e intuitivos como el de area de una region, volumen de un cuerpo, ylongitud de curvas planas.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Calculo de areas de superficiesplanas

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)

Si f(x) ≥ 0, entonces el valor del area es

∫ b

a

f(x)dx.

Si f(x) ≤ 0, entonces el valor del area es −∫ b

a

f(x)dx.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)

Si la funcion tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar losintervalos donde f(x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Porejemplo, si f(x) ≥ 0 en [a, c] y f(x) ≤ 0 en [c, b], entonces el valor delarea es:

∫ c

a

f(x)dx−∫ b

c

f(x)dx.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



II. Area determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f(x) ey = g(x)

Si f(x) ≥ g(x), entonces el valor del area es:

∫ a

b

(f(x)− g(x))dx.

En otro caso, hay que separar [a, b] en intervalos y actuar como antes encada intervalo.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



Ejemplo: Area del cırculo

Sin perdida de generalidad podemos suponer queel cırculo tiene su centro en el origen decoordenadas.Gracias a la simetrıa de la figura, el areasera igual a cuatro veces el area de la parte delcırculo encerrado en el primer cuadrante.

La curva que define el contorno de un cırculo de centro (0, 0) y radio r es

x2 + y2 = r2 , luego y =√r2 − x2 y el area sera

4

∫ r

0

√r2 − x2dx = 4r

∫ r

0

√1−

x2

r2dx =

Cambio de variablexr= sent

dx = rcost

=

= 4r2∫ π

2

0cos2tdt = 4r2

∫ π2

0

1 + cos(2t)

2dt = 4r2

(t

2+sen(2t)

4

) ∣∣∣π20 = πr2

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Longitud de un arco de curvaplana

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



Longitud de un arco de curva

Sea f : [a, b] ⊂ D −→ R una funcion derivable en D y tal que su derivada f ′

es continua en [a, b]. Entonces la longitud L del arco de curva

L = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b]},

viene dada por

L =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2dx

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



Ejemplo

Calculemos la longitud L del arco de curva y =√x3 entre los puntos (0, 0) y

(4, 8). Se tiene que∫ 4

0

√1 + (

3

2x

12 )2 dx =

∫ 4

0

√1 +

9

4x dx =

8

27(10√10− 1).

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Volumen de un solido derevolucion

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



Solidos de revolucion

Los solidos de revolucion son cuerpos que se generan al girar una regionplana alrededor de un eje.

Por ejemplo:

El cilindro surge al girar un rectangulo alrededor de uno de sus lados.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



Volumen de un solido por secciones

∀x ∈ [a, b], sea A(x) el area de la seccion de obtenida al cortar un solidocomo el de la figura por un plano transversal al eje OX.

El volumen del mismovendra dado por

V =

∫ b

a

A(x)dx

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco




Sean

f : [a, b] −→ R una funcion continua en [a, b]

A(x) la seccion transversal al eje x del solido generado al girar lafuncion alrededor del eje OX. Se tiene que:

A(x) = πf(x)2 ∀x ∈ [a, b]

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco




Teniendo en cuenta que A(x) = πf(x)2 ∀x ∈ [a, b], se tiene que el volumendel solido obtenido al girar y = f(x) alrededor del eje OX viene dado por

V = π

∫ b

a

f(x)2dx

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



Ejemplo

El volumen del cuerpo de revolucion engendrado al girar el trozo de parabolay =√x, para los valores x ∈ [0, 4], alrededor del eje OX, viene dado por:

V = π

∫ 4

0

(√x)2dx = π

∫ 4

0

x dx = π

[x2

2

]40

= 8π

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco



Ejemplo: Calculo del volumen de una esfera de radio r

Sin perdida de generalidad podemos suponer que su centro se encuentra en elorigen de coordenadas.En ese caso la esfera es generada al girar el semicırculo y = +

√r2 − x2,

x ∈ [−r, r], en torno al eje OX, por tanto

π

∫ r

−r

(√r2 − x2

)2dx = π

∫ r

−r

(r2 − x2)dx = π

[r2x− x3

3

]r−r

=4

3πr3.

Documents

07aplicaciones Integral