Matemática IITema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas2012–2013

Índice

Cónicas 1

Parábolas 1

Circunferencias y elipses 2

Hipérbolas 5

Cilindros y superficies cuádricas 6

Cilindros 6

Superficies cuádricas 7

Trabajo práctico 10

Ejemplos con Sage 11

Graficar cilindros y cuádricas 11

Cónicas

Parábolas

x

y

O

P

QF

l

|−→PF||−→PQ|

Figura 1: los puntos de una pa-rábola, con foco F y directriz l,cumplen que |−→PF| = |−→PQ|.

¿Qué es una parábola?

Definición 1 (parábola). Una parábola es el conjunto de todos lospuntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de unarecta fija.

El punto fijo se denomina foco F y la recta fija se denomina direc-triz l.

Ecuación de una parábola

Teorema 1. Una ecuación de una parábola, cuyo foco está en F(0, p) ytiene como su directriz a la recta y = −p, es

x2 = 4py

Ecuación de una parábola

Teorema 2. Una ecuación de una parábola, cuyo foco está en F(p, 0) ytiene como su directriz a la recta x = −p, es

y2 = 4px

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 2

x

y

O

P(x, y)

Q(x,−p)

F(0, p)

y = −p

p > 0

x

y

O

P(x, y)

Q(x,−p)

F(0, p)

y = −p

p < 0

Figura 2: gráficos de dos pa-rábolas con foco F(0, p) ydirectriz y = −p.

x

y

O

P(x, y)Q(−p, y)

F(p, 0)

x = −p

p > 0

x

y

O

P(x, y)Q(−p, y)

F(p, 0)

x = −p

p < 0

Figura 3: gráficos de dos pa-rábolas con foco F(p, 0) ydirectriz x = −p.

x

y

O

P

C

|−→CP|

Figura 4: los puntos de unacircunferencia, con centro C,cumplen que |−→CP| = r.

Ejemplo 1. Obtener una ecuación de la parábola que tiene su foco enF(0, 3) y como su recta directriz y = −3.

1. El foco está sobre el eje y, y está por arriba de la directriz, por loque la parábola se abre hacia arriba y p = 3.

2. Una ecuación de la parábola es de la forma x2 = 4py, con 4p =

12, lo que resultax2 = 12y

3. Si quisieramos graficar la parábola, podríamos despejar y

y =1

12x2

x

y

O

P(x, y)

C(x0, y0)

r

Figura 5: gráfico de una circun-ferencia con centro C(x0, y0) yradio r.

Circunferencias y elipses

¿Qué es una circunferencia?

Definición 2 (circunferencia). Una circunferencia es el conjunto detodos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo.

El punto fijo se denomina centro C y la distancia constante sellama radio r.

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 3

Ecuación de una circunferencia

Teorema 3. Una ecuación de una circunferencia, cuyo centro está enC(x0, y0) y tiene radio r, es

(x− x0)2 + (y− y0)

2 = r2

Si el centro es el origen O(0, 0) la ecuación quedará

x2 + y2 = r2

Ejemplo 2. Obtener el centro y el radio de la circunferencia que tienela ecuación

x2 + y2 + 6x− 4y− 23 = 0

1. Debemos “completar cuadrados”

x2 + y2 + 6x− 4y = 23(x2 + 6x + 9

)+

(y2 − 4y + 4

)= 23 + 9 + 4

(x + 3)2 + (y− 2)2 = 36

2. Está ecuación tiene la forma (x − x0)2 + (y − y0)

2 = r2, por loque el centro es C(−3, 2) y el radio es r = 6.

x

y

O

P

F

F′

|−→PF′|

|−→PF|

Figura 6: los puntos de unaelipse, con focos F y F′, cum-

plen que |−→PF| + |−→PF′| es unaconstante.

¿Qué es una elipse?

Definición 3 (elipse). Una elipse es el conjunto de todos los pun-tos de un plano tales que la suma de sus distancias, desde dospuntos fijos, es constante.

Los puntos fijos se denominan focos F y F′.

x

y

O

B(0, b)

B′(0,−b)

V(a

, 0)

V′ (−

a,0)

F(c, 0)F′(−c, 0)

Figura 7: gráfico de unaelipse con focos F(c, 0) yF′(−c, 0), y con constante

|−→PF| + |−→PF′| = 2a. Se indi-can los vértices V y V′ y losextremos del eje menor B y B′.

Ecuación de una elipse

Teorema 4. Si 2a es la constante referida en la definición de una elipse,si los focos son F(c, 0) y F′(−c, 0), y si se cumple que b2 = a2 − c2,entonces una ecuación de la elipse es

x2

a2 +y2

b2 = 1

Ecuación estándar de una elipse

Teorema 5. Si el centro de una elipse está en C(x0, y0), y la distanciaentre los vértices es 2a, entonces una ecuación de la elipse es de la forma

(x− x0)2

a2 +(y− y0)

2

b2 = 1 (con a > b)

si el eje mayor es horizontal, y

(y− y0)2

a2 +(x− x0)

2

b2 = 1 (con a > b)

si el eje mayor es vertical.

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 4

x

y

O

B

B′

VV′

F(x0 + c, y0)F′(x0 − c, y0)C(x

0, y0)

x

y

O

V

V′

BB′

F(x0, y0 + c)

F′(x0, y0 − c)

C(x0, y

0)

Figura 8: gráficos de dos elip-ses con centro C(x0, y0) ydistancia entre vértices 2a.

Ejemplo 3. Demostrar que la gráfica de la ecuación

25x2 + 16y2 + 150x− 128y− 1119 = 0

es una elipse. Determinar el centro, una ecuación para el eje mayor,los vértices, los extremos del eje menor y los focos.

1. Comenzamos completando cuadrados

25x2 + 16y2 + 150x− 128y = 1119

25(x2 + 6x + 9) + 16(y2 − 8y + 16) = 1119 + 25 · 9 + 16 · 16

25(x + 3)2 + 16(y− 4)2 = 1119 + 255 + 256

25(x + 3)2 + 16(y− 4)2 = 1600

2. Ahora buscamos la forma general de la ecuación

25(x + 3)2 + 16(y− 4)2 = 1600

25(x + 3)2

1600+

16(y− 4)2

1600= 1

(x + 3)2

64+

(y− 4)2

100= 1

que resulta ser

(y− y0)2

a2 +(x− x0)

2

b2 = 1 (con a > b)

entonces el centro es C(−3, 4), a2 = 100 y b2 = 64.

−5

5

10

15

y

−10 −5 5

xO

V(−3, 14)

V′(−3,−6)

B(5, 4)B′(−11, 4)

F(−3, 10)

F′(−3,−2)

C(−3, 4)

Figura 9: el gráfico corres-pondiente a la ecuación25x2 + 16y2 + 150x− 128y− 1119 = 0es una elipse.

3. La ecuación quedó

(y− 4)2

100+

(x + 3)2

64= 1

el centro es C(−3, 4), a2 = 100 y b2 = 64. Entonces el eje mayores vertical, tiene ecuación x = −3.

4. Como a = 10 y b = 8, los vértices son

V(−3, 4 + 10) = V(−3, 14)

V′(−3, 4− 10) = V′(−3,−6)

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 5

5. Los extremos del eje menor son

B(−3 + 8, 4) = B(5, 4)

B′(−3− 8, 4) = B′(−11, 4)

6. Para encontrar los focos utilizamos b2 = a2 − c2

64 = 100− c2

c2 = 36

c = 6

entonces los focos son

F(−3, 4 + 6) = F(−3, 10)

F′(−3, 4− 6) = F′(−3,−2)

Hipérbolasx

y

O

P

F

F′

|−→PF|

|−→PF′|

Figura 10: los puntos de unahipérbola, con focos F y F′,

cumplen que∣∣∣|−→PF| − |−→PF′|

∣∣∣ esuna constante.

¿Qué es una hipérbola?

Definición 4 (hipérbola). Una hipérbola es el conjunto de todoslos puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferen-cia de sus distancias, a dos puntos fijos, es constante.

Los puntos fijos se denominan focos F y F′.

x

y

O F(c, 0)F′(−c, 0)

V(a, 0)V′(−a, 0)

B(0, b)

B′(0,−b)

Figura 11: gráfico de una hi-pérbola con focos F(c, 0) yF′(−c, 0), y con constante

|−−→VV′| = 2a. Se indican losvértices V y V′ y los extremosdel eje conjugado B y B′.

Ecuación de una hipérbola

Teorema 6. Si 2a es la constante referida en la definición, si los focosson F(c, 0) y F′(−c, 0), y si b2 = c2 − a2, entonces una ecuación de lahipérbola es

x2

a2 −y2

b2 = 1

Ecuación estándar de una hipérbola

Teorema 7. Si el centro de una hipérbola está en C(x0, y0), y la distanciaentre los vértices es 2a, entonces una ecuación de la hiperbola es de laforma

(x− x0)2

a2 − (y− y0)2

b2 = 1

si el eje principal es horizontal, y

(y− y0)2

a2 − (x− x0)2

b2 = 1

si el eje principal es vertical.

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 6

x

y

O

C(x0, y

0)

F(x 0+

c,y 0)

F ′(x0 −

c, y0 ) VV′

B

B′

x

y

O

C(x0, y0)

F(x0, y0 + c)

F′(x0, y0 − c)

V

V′

B′ B

Figura 12: gráficos de dos hi-pérbolas con centro C(x0, y0) ydistancia entre vértices 2a.

Repaso de ideas clave

1. Una ecuación de una parábola es x2 = 4py o y2 = 4px (puede serp > 0 o p < 0).

2. Una ecuación de una circunferencia es (x− x0)2 + (y− y0)

2 = r2.

3. Una ecuación de una elipse es (x−x0)2

a2 + (y−y0)2

b2 = 1 o (y−y0)2

a2 +(x−x0)

2

b2 = 1 (siempre con a > b).

4. Una ecuación de una hipérbola es (x−x0)2

a2 − (y−y0)2

b2 = 1 o(y−y0)

2

a2 − (x−x0)2

b2 = 1.

Cilindros y superficies cuádricas

Cilindros

Definición de cilindro

Definición 5. Un cilindro es una superficie que se genera por elmovimiento de una recta, paralela a otra recta fija dada, y a lolargo de una curva plana dada.

La curva se llama curva generatriz del cilindro.

Identificar la ecuación de un cilindro en el espacio es muy fácil:siempre falta una de las variables independientes.

Ejemplos de superficies cilíndricas

y + z = 1 x2 + y2 = 4 z = sin xno tiene x no tiene z no tiene y

Figura 13: gráfico de un ci-lindro circular con ecuaciónx2 + y2 = r2.

Cilindro circular

Tenemos una recta fija.

Y tenemos una circunferencia generatriz.

Una ecuación de un cilindro circular es

x2 + y2 = r2

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 7

Cilindro sinusoidal

Tenemos una recta fija.

Y tenemos una sinusoide generatriz.

Una ecuación de un cilindro sinusoidal es

z = sin x

Figura 14: gráfico de un cilin-dro sinusoidal con ecuaciónz = sin x.

Superficies cuádricas

Definición de superficies cuádricas

Definición 6 (superficie cuádrica). Una superficie cuádrica es lagráfica en el espacio de una ecuación de segundo grado en x, y y z.

Describiremos algunas superficies particulares del tipo

Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E

donde A, B, C, D y E son constantes.

Estas superficies incluyen elipsoides, paraboloides, hiperboloidesy conos elípticos.

¡Y esferas también, ya que son casos especiales de elipsoides!

El elipsoide y la esfera

Una ecuación de un elipsoide es

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

Si a = b = c = r, se tiene una esfera

x2 + y2 + z2 = r2

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 8

Figura 15: izquierda: gráficode un elipsoide con ecuaciónx2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1; derecha: gráfi-co de una paraboloide elíptica

con ecuación x2

a2 + y2

b2 = zc .

La paraboloide elíptica

Una ecuación de una paraboloide elíptica es

x2

a2 +y2

b2 =zc

La paraboloide hiperbólica

Una ecuación de una paraboloide hiperbólica es

y2

b2 −x2

a2 =zc

c > 0

Figura 16: izquierda: gráfico deuna paraboloide hiperbólica

con ecuación y2

b2 − x2

a2 = zc ; dere-

cha: gráfico de un cono elíptico

con ecuación x2

a2 + y2

b2 = z2

c2 .

El cono elíptico

Una ecuación de un cono elíptico es

x2

a2 +y2

b2 =z2

c2

La hiperboloide de una hoja

Una ecuación de una hiperboloide de una hoja es

x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 1

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 9

La hiperboloide de dos hojas

Una ecuación de una hiperboloide de dos hojas es

z2

c2 −x2

a2 −y2

b2 = 1

Figura 17: izquierda: gráfico deuna hiperboloide de una hoja

con ecuación x2

a2 + y2

b2 − z2

c2 = 1;derecha: gráfico de una hi-perboloide de dos hojas con

ecuación z2

c2 − x2

a2 − y2

b2 = 1.

Repaso de ideas clave

1. En el espacio, toda ecuación a la que le falte una de las variablesindependientes es un cilindro.

2. Las ecuaciones correspondientes a superficies cuádricas soncuadráticas en x, y y z.

3. Las superficies cuádricas son

a) los elipsoides

b) las paraboloides

c) las hiperboloides

d) los conos.

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 10

Trabajo práctico

1. Encontrar la ecuación de las siguientes parábolas.

a) con foco F(0, 4) y directriz y = −4.

b) con foco F(1/2, 0) y directriz x = −1/2.

2. Hallar las coordenadas del centro y el radio del círculo 2x2 +

2y2 − 8x + 5y− 4 = 0.

3. Escribir la ecuación del círculo con centro C y radio r:

a) C(0, 0), r = 4

b) C(0, 2), r = 2

4. Identificar y dibujar (esquemáticamente) las curvas representa-das por las ecuaciones siguientes.

a) x2

4 + y2 = 1

b) 9x2 + 16y2 = 144

c) x2

4 − y2 = 1

d) x2 − y2 = −1

5. Identificar las superficies representadas por las ecuaciones si-guientes.

a) x2 + 4y2 + 9z2 = 36

b) x2 + y2 + 4z2 = 4

c) x2 − y2 − z2 = 4

d) y = z2

e) z = x2 + 2y2

f) −x2 + y2 + z2 = 4

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 11

Ejemplos con Sage. El código Sage en los siguientes

recuadros puede ser seleccionado,copiado y pegado en una hoja detrabajo de Sage, para ejecutarlo y asíobtener los resultados y los gráficos.

Graficar cilindros y cuádricas

Gráfico de una esfera con cartesianas (en dos partes)x,y = var("x,y") # variables cartesianas x e yr = 1 # el radio de la esfera es r# la ecuacion es z2 + y2 + x2 = r2

z1 = +sqrt(r**2-x**2-y**2) # despejamos z > 0z2 = -sqrt(r**2-x**2-y**2) # despejamos z < 0# para z positivo...

semiesfera1 = plot3d(z1,(x,-1,1),

(y,-1,1),frame=False)

# para z negativo...

semiesfera2 = plot3d(z2,(x,-1,1),

(y,-1,1),color="red")

# hacer y mostrar el grafico

esfera = semiesfera1 + semiesfera2

esfera.show(aspect_ratio=1). Puede utilizar estos ejemplos de

código Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios deltrabajo práctico.Gráfico de una esfera con paramétricas (mejor)

s,t = var("s,t") # parámetros s y tr = 1 # el radio es r# las ecuaciones parametricas

x = r*cos(s)*cos(t)

y = r*sin(s)*cos(t)

z = r*sin(t)

# crear el gráfico de la esfera

esfera = parametric_plot3d([x,y,z],

(s,0,2*pi),(t,-pi/2,pi/2),color="red",

frame=False)

# mostrar el gráfico de la esfera

esfera.show()

Gráfico de una paraboloide elípticax,y = var("x,y") # variables cartesianas x e ya = 1; b = 0.5 # los ejes mayor y menor

# la ecuación de la paraboloide elíptica

z = x**2/a**2+y**2/b**2

# crear el gráfico de la paraboloide

paraboloide = plot3d(z,(x,-1,1),(y,-0.5,0.5),

color="green",frame=False)

# mostrar el gráfico de la paraboloide

paraboloide.show()

tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 12

Gráfico de una paraboloide hiperbólicax,y = var("x,y") # variables cartesianas x e ya = 1; b = 0.5 # los ejes mayor y menor

# la ecuación de la paraboloide elíptica

z = x**2/a**2-y**2/b**2

# crear el gráfico de la paraboloide

paraboloide = plot3d(z,(x,-1,1),(y,-0.5,0.5),

color="green",frame=False)

# mostrar el gráfico de la paraboloide

paraboloide.show()

Gráfico de un cilindro con paramétricass,t = var("s,t") # parámetros s y ta = 1; b = 1/2 # los ejes mayor y menor

# las ecuaciones parametricas

x = a*cos(s)

y = b*sin(s)

z = t

# crear el gráfico del cilindro

cilindro = parametric_plot3d([x,y,z],

(s,0,2*pi),(t,-1,1),color="green",

frame=False)

# mostrar el gráfico del cilindro

cilindro.show()