08 Flujo de fluidos compresibles - Dr Jorge Ibarrajoibarra.yolasite.com/resources/Flujo compresible.pdf · Flujo de fluidos compresibles 2 Dos parámetros importantes son el número

Flujo de fluidos compresibles

1

La variación de la densidad debe ser considerada

en las ecuaciones que representan los sistemas en

los que se transportan fluidos compresibles.

En el área de la ingeniería química se presentan

pocos casos de los muy variados que existen en el

área de estudio de los fluidos compresibles.

Flujo de fluidos compresibles

2

Dos parámetros importantes son el número de

Mach y el número de Reynolds.

A bajas densidades, cuando la trayectoria media

libre de las moléculas es apreciable en

comparación con las dimensiones de los sólidos o

las partículas en contacto se deben involucrar

otras ecuaciones que no se presentan en este

contexto.

Flujo de fluidos compresibles / Definiciones y

ecuaciones básicas

3

Consideraciones para analizar los sistemas

correspondientes al curso:

1. Estado estacionario

2. Flujo en una dimensión

3. Gradientes de velocidad despreciables

4. Fricción únicamente en la pared

5. Sin trabajo de eje

6. Energía potencial despreciable

7. Gas ideal con Cp constante

Flujo de fluidos compresibles / Definiciones y

ecuaciones básicas

4

Ecuaciones utilizadas:

1. Ecuación de continuidad

2. Balance total de energía

3. Balance de energía mecánica

4. Ecuación de velocidad del sonido

5. Ecuación de estado del gas ideal

Flujo de fluidos compresibles / Definiciones y ecuaciones básicas /

Ecuación de continuidad

5

udSdm

lnr + lnS+ lnu= constante

dr

r+

dS

S+

du

u= 0


Balance total de energía

6

Q

m= Hb - Ha +

ub

2

2-

ua

2

2

dQ

m= dH + d

u2

2

æ

èç

ö

ø÷

Análisis de unidades


Balance de energía mecánica

7

dp

r+ d

u2

2

æ

èç

ö

ø÷+ dhf = 0

dhf =u2

2

fdL

rH

D = 4rH



8

D = 4rH

D = 4Area de Flujo

Perímetro Mojado



9

dp

r+ d

u2

2

æ

èç

ö

ø÷+

u2

2

fdL

rH

= 0


Velocidad del sonido

10

a=dp

dr

æ

èç

ö

ø÷

S


Velocidad del sonido

11

Es la velocidad de una onda de compresión -

rarefacción moviéndose adiabáticamente y sin

fricción.

Termodinámicamente, el movimiento de una onda

de sonido es un proceso isentrópico.


Ecuaciones del gas ideal

12

P =r

MRT

)TT(CpHH 00

cteP cteTP )/( 11

M/RCp

Cp

Cv

Cp

𝑈 = 𝐻 + 𝑃𝑉 = 𝑈0 + 𝑐𝑣(𝑇 − 𝑇0)



RT

p

M

RTa

𝑐𝑝 =𝑅𝛾

𝛾 − 1

𝑐𝑣 =𝑅

𝛾 − 1

𝑆 = 𝑆0 + 𝑐𝑣 ln𝑇

𝑇0+ 𝑅 ln

𝜌0𝜌

𝑆 = 𝑆0 + 𝑐𝑝 ln𝑇

𝑇0− 𝑅 ln

𝑝

𝑝0



Ma2 =ru2

g p=

u2

gTR M

Fluye aire en estado estable entre dos secciones de un tubo largo recto de 4 in de diámetro. Las temperaturas y presiones son T1=540ºR, p1=100 psia y T2=453ºR, p2=18.4 psia. Calcule (a) el cambio en energía interna entre la sección 1 y 2; (b) el cambio en entalpía entre las secciones y (c) el cambio en densidad entre las secciones.

Calcule ahora el cambio en entropía entre ambas secciones.

15

• Calcule la velocidad del sonido a 0ºC, si R=286.9 J/(kg K).

16


Condición asterisco

17

La condición a la que u = a, Ma = 1, es conocida

como la condición asterisco, la presión, la

temperatura , la densidad y la entalpía se denotan

como: p*, T*, *, H*.

18


Temperatura de estancamiento

19

Se define para un fluido con alta velocidad, como

la temperatura de reposo después de un proceso

adiabático y sin trabajo de eje.

El estado de estancamiento se asocia con

velocidad cero y un valor de entropía que

corresponde a la del flujo de fluido. Se usa el

subíndice 0.

Flujo de fluidos compresibles / Procesos de flujo

compresible

20

Puede suceder:

1. Expansión isentrópica

2. Flujo adiabático

3. Flujo isotérmico

(Uno de los tres)

Flujo de fluidos compresibles / Procesos de flujo compresible / Flujo

isentrópico en boquillas

21

Una boquilla consiste de una sección convergente

y una sección divergente unidas por una garganta.

La garganta es de longitud corta y con paredes

paralelas al eje de viaje del fluido.

𝑑𝑉

𝑉= −

𝑑𝐴

𝐴

1

1 −𝑀𝑎2



22

La configuración de la boquilla es manipulada

por el diseñador al fijar la relación entre el área

de flujo y la longitud axial.



23

El propósito de la sección convergente es

incrementar la velocidad y disminuir la

presión del gas.



24

En la sección convergente siempre existe flujo

subsónico. NO es posible que se genere flujo

supersónico en esa región.



25

En la garganta puede presentarse flujo sónico.



26

En la sección divergente puede presentarse flujo

subsónico o supersónico.



27

En flujo subsónico se reduce la velocidad y se

incrementa la presión. (Medición de flujo)

En el flujo supersónico se generan jets, spray,

túneles, condensación



28

El flujo a través de una boquilla está controlado

por las presiones en el reservorio y en el destino

del fluido.



29

Si pr = p0 no existe flujo: Línea aa’

Flujo de fluidos compresibles / Flujo isentrópico en

boquillas

30

Si la presión en el destino es menor que en el

reservorio entonces se presenta flujo con un perfil

como el descrito en la línea abc. Obsérvese que

en la región de convergencia se recobra la

presión.

Flujo de fluidos compresibles / Flujo isentrópico en

boquillas

31

Si la presión en el destino disminuye puede

presentarse flujo sónico en la garganta. Según

línea ade. Ma = 1. p*/p0 se conoce como razón

crítica de presión.

Flujo de fluidos compresibles / Flujo isentrópico en boquillas /

Relaciones de flujo isentrópico

32

Para cambio en las propiedades del gas durante el

flujo.

P

rg=

P0

r0

g

T

p1-1 g=

T0

p0

1-1 g



33

El balance de energía puede aplicarse, primero en

forma diferencial:

Puede integrarse desde el reservorio hasta cierto

punto, antes utilizando la relación de estado

mostrada.

dP

r= -d

u2

2

æ

èç

ö

ø÷

du2

2

æ

èç

ö

ø÷

0

u

ò = -P0

1 g

r0

dP

P1 gP0

P

ò



34

Integrando y despejando para la velocidad:

u2 =2gP0

g -1( )r0

1-P

P0

æ

èç

ö

ø÷

1-1 gé

ë

êê

ù

û

úú



35

La anterior expresión de velocidad puede

insertarse en la expresión

Resultando

o

Ma2 =2gP0r

g -1( )Pr0

1-P

P0

æ

èç

ö

ø÷

1-1 gé

ë

êê

ù

û

úú

Ma2 =ru2

g p=

u2

gTR M

Ma2 =2

g -1( )

P0

P

æ

èç

ö

ø÷

1-1 g

-1é

ëêê

ù

ûúú



36

Explícitamente para la presión:

Si se sustituye Ma =1, se puede conocer la

presión crítica para un fluido de interés:

Para aire, esta relación es 0.528

P

P0

=1

1+ g -1( ) 2éë ùûMa2{ }1 1-1 g( )

rc =P*

P0

=2

g +1

æ

èç

ö

ø÷

1 1-1 g( )



37

Finalmente para el flux másico:

G = ur =

2gr0 p0

g -1

p

p0

æ

èç

ö

ø÷

1 g

1-p

p0

æ

èç

ö

ø÷

1-1 g

38

Se presenta si se transfiere calor por el conducto

(paredes) por donde fluye el fluido y si no hay

efectos de la fricción que causen un cambio en la

temperatura.

Además si el conducto no está aislado y existe la

misma temperatura dentro y fuera del mismo y el

gas fluye a bajas velocidades.


isotérmico

39

Aun en grandes conductos pueden aplicarse estas

deducciones y consideraciones.

Ecuación de Energía: 0 dFdp

gdzvdv

Si dz = 0, entonces: 02 2

D

dLfvVdpvdv

A

m

V

vvG

El gasto másico:


isotérmico

40

Sustituyendo v por GV: 02 2

2 dLD

fG

V

dp

V

dVG

RTM

pV1

2

1

2

1

22

1

2 022

V

V

L

L

P

PdL

D

Gfpdp

RT

M

V

dVG

Usando la ecuación de estado:

Sustituyendo por la presión e integrando:


isotérmico

41

022

ln2

2

1

2

2

1

22 LD

Gfpp

RT

M

V

VG

1

2

2

1

V

V

p

p

2

1

22

2

2

1 ln24

p

p

M

RTG

DM

RTLGfpp

Integrando y reacomodando:


isotérmico

2

1

22

2

2

1 ln22

p

p

D

Lf

M

RTGpp

42

El Balance de Energía queda como:


isotérmico

Análisis de unidades

Ecuación 3.21. Levenspiel O., Engineering Flow and Heat Exchange. Plenum Press. New York (Fanning)

Ecuación 6.49. Mc Cabe, W. L., Unit Operations of Chemical Engineering 7th Ed. McGraw-Hill’s. New York 2005 (Fanning)

Ecuación 20-30 d. Foust, A. S., Principles of Unit Operations 2nd Ed., JWS, 1987, New York, (Darcy)

43

Sistema 1 - Ejemplo. Se transporta aire a 20 C en

una tubería de acero comercial de diámetro interno

0.1524 m, la presión de entrada es 500 kPa y de

salida es 300 kPa. La longitud de la tubería es 168

m. Calcular el gasto másico.


isotérmico

44

El proceso de flujo es adiabático y sin fricción.

Es un fenómeno que ocurre si el flujo es “muy

rápido”, de tal forma que no tiene oportunidad

para la transferencia de calor con los alrededores.

El análisis isentrópico puede aplicarse a flujos de

alta velocidad sobre cortas distancias en las que la

transferencia de calor y la fricción pueden

despreciarse.


adiabático

45

Aplicando relaciones termodinámicas para

procesos adiabáticos en gases ideales a la

ecuación del balance de energía:

1

1

2

1

1

2

1

2

2 112 p

pPvv

112

1

2

1

2

2

2

1

2

2

p

pPvvó


adiabático

46

v = velocidad

g = gravedad

p = presión

= Cp/Cv

= densidad


adiabático

47

Considere que se transporta aire adiabáticamente,

con velocidades respectivas en los puntos de

entrada y salida: V1 = 30.5 m s-1, V2 = 150 m s-1,

la presión en la entrada del sistema: P1 = 350x 103

Pa, con peso específico = 0.028x103 N m-3

Calcular P2


adiabático

48

Resolución:

1

1

2

1

1

2

1

2

2 112 P

PPvv

1

21

1

1

2

1

2

2

1

1

2

P

vvv

P

P


adiabático

49

1*

21

1

1

1

1

2

2

1

1

2

P

vv

P

P 1

1

1

2

1

2

212

1

21

P

vvPP

14.1

4.1

3

3223

24.1

14.1

10350*8.9

10028.0

2

5.30150110350

x

xxP

P2 = 320x103 Pa


adiabático

50

Los equipos para mover gases y vapores a

traves de otros equipos y ductos reciben el

nombre de compresores, ventiladores o

sopladores, dependiendo de la caída de

presión o presión de trabajo.

Los ventiladores tienen presiones de descarga

de 0.01 a 0.15 atm. (centrífugos o axiales)

Flujo de fluidos compresibles / Procesos de flujo compresible /

Ventiladores y Compresores

51

Los sopladores (son de 1 etapa) con presiones de

descarga de 0.15 atm a 1 atm. Las relaciones de

compresión son de 4.

Los compresores manejan presiones de salida hasta

de 55 atm.



52

Ventiladores

Un ventilador es esencialmente una bomba para gas;

la diferencia es el grado de compresibilidad respecto

a los líquidos. Su aplicaron es en secadores, hornos,

quemadores, acondicionamiento de aire, eliminación

de humo.



53

Cálculo de trabajo y potencia

2

2

21

2

1

22

PvW

Pv

El comportamiento de un ventilador centrífugo varía

con la temperatura, el número de revoluciones por

minuto y la densidad del gas. Es necesario tener esto

en consideración, ya que los catálogos de los

fabricantes toman como base 20 ªC y 1 atm de presión.



54

Un compresor es una bomba para un gas, con

Psalida/ Pentrada significativamente mayor a 1.0. Si

la presión cambia en menor proporción la bomba es

llamada soplador o ventilador. Los ventiladores y

sopladores trabajan como las bombas centrífugas y

su comportamiento se predice como el de esas

bombas.



55

El trabajo de un pistón simple es

W = F dx = PAdx = PdV^

òòò =dP

rò

En términos de la Primera Ley de la

Termodinámica (ecuación del Balance de Energía):

W =dp

rPa

Pb

ò



56

Si la compresión es adiabática, se utilizan las

relaciones de procesos adiabáticos, resultando:

W =Pag

g -1( )ra

Pb

Pa

æ

èç

ö

ø÷

1-1 g

-1é

ë

êê

ù

û

úú



57

Si la compresión es isotérmica:

W = V^

dPPa

Pb

ò

W =dP

rPa

Pb

ò =RT

M

dP

PPa

Pb

ò =RT

MIn

Pb

Pa

Usando las relaciones de estado del gas ideal



58

EJEMPLO:

Un compresor con 100% de eficiencia se requiere

para comprimir aire de 1 a 3 atm. La temperatura

de entrada 68º F. Calcular el trabajo por libra mol

para un compresor isotérmico y para un compresor

adiabático.



59

Compresor Isotérmico:

W = RTInP2

P1

=1.987Btu

lbmol ºRx528ºRIn3

W =1,153Btu

lbmol= 2.68

kJ

mol= 92.36

kJ

kg



60

Compresor adiabático:

W =1.987Btu

lbmol ºRx528ºR

1.4

0.4

æ

èç

ö

ø÷ 3

0.4

1.4 -1æ

èç

ö

ø÷

W =1,354Btu

lbmol= 3.146

kJ

mol=108.5

kJ

kg



61

La diferencia entre las dos respuestas es debida al

incremento en la temperatura del gas en el

compresor adiabático. De

T1

gP1

1-g = T2

gP2

1-g

Se obtiene que T2 = 722.7 ºR



62

Para el caso de la compresión isotérmica se

incrementó la densidad 3 veces, y en el caso de la

compresión adiabática se incrementó 2.192 veces.

En el segundo caso no se requiere servicio de

enfriamiento.



63

Otro ejemplo.

Se comprime aire de 1 a 10 atm. La temperatura de

entrada es 68ºF

¿Cuánto es el trabajo por mol para:

a) Un compresor isotérmico

b) Un compresor adiabático

c) Un compresor adiabático de dos etapas en el cual el

gas se comprime adiabáticamente a 3 atm y luego es

enfriado a 68ºF y posteriormente se comprime de 3 a

10 atm.



64

a) Compresor Isotérmico

W =1.987Btu

lbmol ºRx528ºRIn10 = 2, 416

Btu

lbmol

W = 5.614kJ

mol



65

b) Compresor Adiabático

W =1.987Btu

lbmol ºRx528ºR

1.4

0.4

æ

èç

ö

ø÷ 10

0.4

1.4 -1æ

èç

ö

ø÷

W = 3, 418Btu

lbmol= 7.96

kJ

mol



66

c) Compresión por etapas:

W =1.987Btu

lbmol ºRx528ºR

1.4

0, 4

æ

èç

ö

ø÷ 3

0.4

1.4 -1+10

3

æ

èç

ö

ø÷

0.4

1.4

-1

é

ë

êê

ù

û

úú

W = 2,862Btu

lbmol= 6.6

kJ

mol



67

Ejemplo

Se debe comprimir aire a 70 F y presión

atmosférica a 4000 psig, el flujo es de 125 ft3 min-1

(STD), ¿Cuál es la potencia del compresor o de los

compresores con etapas de enfriamiento?

11

1

1

21

/

P

PRTnW



68

smolK

smatm

RT

PVn /6319.2

15.273314.8

/05899.01 3

1101325

107680352

1401

401261129431486319241141

7./.

Pa

Pax.

.

.K..s/mol.W

W = 89 410.27 Watts = 119.9011 hp



69

//P

T

P

T11

0

0

11

KPaxPa

KT 715.1461107680.2

101325

2611.294 4.1/117

4.1/11

N =1



70

18392731

2 .P

Prc (Relación de compresión)

N = 2

P1 = 14.61 psia

P2 =

P3 = 4014.69 psia



71

n/

n

P

Pr

1

1

1

53166914

69401421

..

.r

/

P2 = 242.825 psia.



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