COORDENADAS CILNDRICAS

Ejemplo 1:

Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, , z) = (4,5/6,3).

Solucin:

Con las formulas de conversin de cilndricas a rectangulares obtenemos.

X = 4 cos 5 / 6 = 4 (-3 / 2) = 2 (3).

Y = 4 sen 5 / 6 = 4 (1/2) = 2

Z = 3

As pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (2)( 3, 2, 2).

Ejemplo 2:

Hallar ecuaciones en coordenadas cilndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuacin:

a) x2 + y2 =4z2

b) y2 = x

Solucin a)

Por la seccin procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono de dos hojas con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuacin en cilndricas.

x2 +y2 =4z2 ecuacin en coordenadas rectangulares.

r2 = 4z2 ecuacin en coordenadas cilndricas.

Solucin b)

La superficie y2 = x es un cilindro parablico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 y x por r cos , obtenemos:

y2 = x ecuacin rectangular.

r2 sen2 = r cos sustituir y por sen , x por r cos .

r(r sen2 cos ) = 0 agrupar trminos y factorizar

r sen2 cos = 0 dividir los dos miembros por r

r =cos / sen2 despejar r

r csec ctan ecuacin en cilndricas.

Ntese que esta ecuacin incluye un punto con r = 0, as que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.

Ejemplo 3:

Hallar la ecuacin en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuacin en cilndricas:

r2 cos 2 + z2 + 1 = 0

Solucin:

r2 cos 2 + z2 + 1 = 0 ecuacin en cilndricas

r2 (cos2 sen2 ) + z2 = 0 identidad trigonomtrica.

r2 cos2 r2 sen2 +z2 = 1

X2 y2 +z2 = 1 sustuir r cos por x y r sen por y

Y2 x2 z2 = 1 ecuacin rectangular.

Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.

COORDENADAS ESFERICAS.

Ejemplo 1:

Hallar una ecuacin en coordenadas esfricas para las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.

a).- cono: x2 + y2 = z2

b).- esfera: 4z = 0

Solucin:

a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuacin dada se obtiene:

x2 + y2 = z2

p2 sen2 cos2 + p2 sen2 sen2 =p2 cos2

p2 sen2 (cos2 + sen2) =p2 cos2

p2 sen2 = p2 cos2

sen2 / cos2 = 1 p> 0

tg2 = 1 = /4 o = 3/4

La ecuacin = /4 representa la mitad superior del cono y la ecuacin = 3/4 su mitad inferior.

b).-como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos , la ecuacin dada adopta la siguiente forma en coordenadas esfricas.

P2 4 p cos = 0 p (p 4 cos ) = 0

Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuacin en esfricas.

P 4 cos = 0 o p = 4cos