09 Space Geometry

Embed Size (px)

Citation preview

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9. Poliedros y cuerpos redondos1. Poliedros 1.1. Elementos de un poliedro 1.2. Relacin de Euler 1.3. Poliedros regulares 1.4. Poliedros duales 1.5. Prismas 1.6. Pirmides 2. Cuerpos de revolucin 2.1. Cilindro 2.2. Cono 2.3. Esfera 3. La esfera terrestre 4. Soluciones a los ejercicios de la unidad

Antes de comenzar el estudio de esta unidad es necesario conocer y trabajar las principales frmulas de clculo de las reas de figuras planas (tringulo, cuadrado, rectngulo, polgonos regulares y crculo), as como el teorema de Pitgoras. Conviene realizar alguna actividad de repaso en este sentido. Puedes utilizar el tema anterior o cualquier texto de matemticas de 2 de ESO o visitar este enlace en la Web: Curso de geometra (primer ciclo de ESO): http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/1eso.htm

1. PoliedrosUn poliedro es un cuerpo geomtrico cerrado, limitado por caras planas poligonales. En una primera clasificacin distinguiremos entre poliedros cncavos y convexos. Un poliedro se llama convexo si todo l est en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras, es decir, al prolongar cualquiera de sus caras, stas no cortan al poliedro. Poliedro cncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura, o sea, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. Tambin: en un poliedro convexo todas sus caras se pueden apoyar sobre un plano y en un poliedro cncavo no. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

Poliedro convexo

Poliedro cncavo

Ejercicio

9.1 Trata de dar una definicin de poliedros cncavos y convexos y acompala de una fotografa o una ilustracin.

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

101

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

1.1 Elementos de un poliedro Caras: son los polgonos que limitan el poliedro. Aristas: son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas comparten una arista. Vrtices: puntos donde concurren tres o ms caras. ngulo diedro: es el ngulo formado por dos caras del poliedro. El ngulo formado por tres o ms caras que concurren en un vrtice, se denomina ngulo poliedro. Diagonal: es un segmento que une dos vrtices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.

Ejercicios

9.2 Busca el significado etimolgico de la palabra poliedro. 9.3 Cuenta los elementos de este poliedro:

1.2 Relacin de EulerUn poliedro simple es aqul que no tiene orificios. Los poliedros no simples se caracterizan por tener un agujero en su interior, como los que se muestran a continuacin:

En un poliedro simple convexo se cumple una relacin, formulada por Euler, entre sus caras aristas y vrtices: N de caras + N de vrtices=N de aristas +2, es decir:Ejercicio

9.4 Investiga sobre Euler y su obra.

102

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

1.3 Poliedros regularesLos poliedros regulares, tambin llamados slidos platnicos, son aquellos cuyas caras son polgonos regulares iguales en forma y tamao, y en cada vrtice concurre el mismo nmero de caras. Solo hay cinco y se nombran por el nmero de caras que tienen: tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Poliedro

N de caras

Polgono que forman sus caras

Aspecto

Tetraedro

4

Tringulos equilteros

Hexaedro

6

Cuadrados

Octaedro

8

Tringulos equilteros

Dodecaedro

12

Pentgonos

Icosaedro

20

Tringulos equilteros

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

103

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Ejercicios

9.5 Hay muchas formas de hacer el desarrollo de un cubo. Todas ellas consisten en pegar seis cuadrados por los lados como se observa en la figura de la derecha. Las figuras que se obtienen se llaman hexamins. Dibuja en tu cuaderno al menos 6 hexamins que sean el desarrollo de un cubo y otros 6 que no lo sean. 9.6 Haz una tabla en tu cuaderno donde recojas, para cada uno de los poliedros regulares, el nmero de caras, aristas y vrtices. Comprueba que se cumple la relacin de Euler. Dibuja un desarrollo plano de estos poliedros. 9.7 Construye los cinco poliedros regulares. Haz una foto de los modelos y pgala en tu cuaderno. 9.8 Por qu no existe un poliedro regular cuyas caras sean hexgonos regulares?

1.4 Poliedros conjugados o dualesSi unimos los centros de cada dos caras contiguas de un cubo, se forma un octaedro. Se dice que el octaedro es dual del cubo.

El poliedro dual del cubo es el octaedro, el del dodecaedro es el icosaedro, y viceversa. El tetraedro es dual de s mismo. En dos poliedros duales el nmero de caras de uno coincide con el de vrtices de su dual.

104

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Ejercicios

9.9 Construye dos poliedros duales con material plstico transparente (tipo acetato) de diferente color. Haz una foto y pgala en tu cuaderno. 9.10 La frmula de Hern nos proporciona el rea de un tringulo conociendo sus lados: Donde , y son los lados del tringulo y .

Calcula el rea de: a) Un tetraedro regular de 1 cm de arista b) Un octaedro de 3 cm de arista c) Un icosaedro de 10 cm de arista.

1.5 PrismasUn prisma es un poliedro que tiene: dos bases, que son polgonos iguales y paralelos entre s. Si son tringulos, cuadrilteros, pentgonos, etc., el prisma se dice triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., respectivamente tantas caras laterales, que son paralelogramos, como lados tienen las bases.

La altura del prisma es la distancia entre las bases. Si las caras laterales son perpendiculares a las bases, se dice que el prisma es recto y, en ese caso, son rectngulos. En caso contrario el prisma es oblicuo. Nosotros estudiaremos los primas regulares, que son rectos; sus bases son polgonos regulares y sus caras laterales son rectngulos. Abajo se muestran los prismas regulares de base triangular, cuadrada, pentagonal y hexagonal.

Un prisma recto de caras rectangulares se denomina ortoedro:

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

105

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Ejercicio

9.11 Busca en prensa, publicidad o haz fotos de diferentes situaciones donde aparezcan prismas. Pega en el cuaderno las diferentes situaciones que encuentres y marca los elementos de los prismas. REA DE UN PRISMA Teniendo en cuenta el desarrollo plano de un prisma, resulta fcil calcular el rea lateral (suma del rea de las caras laterales) y el rea de las bases. El rea total es la suma de todas ellas:

a P

rea lateral

rea de la base Base triangular Base cuadrada Otra

DIAGONAL DE UN ORTOEDRO Para hallar la diagonal, , de un ortoedro, comenzamos calculando la diagonal, , de una cara:

Ahora podemos calcular la diagonal, d, aplicando nuevamente el teorema de Pitgoras:

Por tanto,

106

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

VOLUMEN DE UN PRISMA El volumen de un prisma es igual al rea de la base por la altura:

Ejercicios

9.12 Un prisma cuadrado de 10

de altura tiene un rea total de 250

(a) Cunto mide el lado de la base? (b) Calcula el volumen. (c) Dibuja su desarrollo plano y construye el prisma. 9.13 Dibuja en cartulina, con la mayor precisin posible, el desarrollo plano de un prisma recto de base triangular de 4 cm de lado y altura del prima 9 cm. Calcula su rea y su volumen.

1.6 PirmidesUna pirmide es un poliedro que tiene: una nica base, que es un polgono. Al igual que en los prismas, si la base es un tringulo, cuadriltero, pentgono, etc., la pirmide se dice triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. Cuando la base es un polgono regular, la pirmide se considera igualmente regular. tantas caras laterales triangulares como lados tienen las bases. Las caras laterales tienen un vrtice comn llamado vrtice de la pirmide. La altura de la pirmide es la distancia de la base al vrtice.

Si la pirmide es recta y la base es regular, las caras laterales son tringulos issceles y la altura de stos se llama apotema de la pirmide. Igual que en el caso de los prismas, solo trabajaremos con pirmides regulares y rectas.Ejercicio

9.14 Busca en prensa, publicidad o haz fotos de diferentes situaciones donde aparezcan pirmides. Pega en el cuaderno las diferentes situaciones que encuentres y marca los elementos de las pirmides. 9.15 Si se corta una pirmide regular por un plano paralelo a la base se forma un cuerpo que se llama tronco de pirmide. Qu tipo de polgono se forma en las caras laterales?

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

107

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

REA DE UNA PIRMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRMIDE PIRMIDE

El rea de la base es el rea del polgono de que se trate. El rea lateral (suma del rea de las caras laterales) se obtiene a partir de su desarrollo plano:

TRONCO DE PIRMIDE

El rea lateral es la suma de n trapecios:

VOLUMEN DE UNA PIRMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRMIDE El volumen de una pirmide es la tercera parte del producto del rea de la base por la altura:

El volumen de un tronco de pirmide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies y , y cuya altura es h, se obtiene mediante la frmula siguiente:

108

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Ejercicios

9.16 Calcular el rea total y el volumen de una pirmide hexagonal regular cuya arista de la base es de 8 cm y cuya arista lateral mide 10 cm. 9.17 Halla el rea total y el volumen de un tronco de pirmide cuadrangular regular cuyas bases tienen de lados 30 cm y 14 cm y cuya arista lateral mide 17 cm. 9.18 Una pirmide de base cuadrada tiene una capacidad de 96 cm. (a) Cul es la medida del lado de la base. (b) Calcula el volumen del tronco de pirmide obtenido al cortar la pirmide anterior por un plano que dista 7 cm de la base. 9.19 Un cubo tiene 25 cm de arista. Calcula su rea y la longitud de la diagonal. 9.20 Dibuja los siguientes cuerpos geomtricos y calcula su rea: a) prisma de altura 24 cm y cuya base es un rombo de diagonales 18 y 12 cm.; b) octaedro regular de arista 18 cm. 9.21 Calcula la longitud del mayor listn que cabe en cada una de estas cajas: y una altura de 12

9.22 Calcula la superficie del mayor tetraedro que cabe dentro de un cubo de 10 cm de arista.

9.23 Calcula la superficie del tringulo coloreado en la figura.

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

109

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

2. Cuerpos de revolucinExisten cuerpos geomtricos que no tienen caras no aristas como los poliedros y que pueden obtenerse mediante el giro de una figura plana alrededor de un eje: por eso se les llama cuerpos de revolucin. Los principales son el cilindro, el cono y la esfera.

2.1 CilindroUn cilindro recto es un cuerpo geomtrico engendrado por un rectngulo que gira alrededor de uno de sus lados.

REA DEL CILINDRO Observando el desarrollo de un cilindro, se aprecia que su superficie lateral es un rectngulo cuya base es igual al permetro de crculo, , y cuya altura, , es la del cilindro. Por tanto,

VOLUMEN DEL CILINDRO El volumen de un cilindro es igual al rea de la base por la altura:

Ejercicios

9.24 Busca objetos y/o situaciones donde aparezcan cilindros indicando en cada caso si son rectos u oblicuos. 9.25 Una empresa quiere envasar cierto refresco en latas cilndricas de 30 capacidad. (a) Si el dimetro de una base es de 5 cm, qu altura han de tener las latas? (b) Puedes encontrar otras dimensiones ms conveniente para ahorrar material al fabricar las latas? 9.26 Un tubo de uralita de 10 m de longitud tiene un dimetro exterior de 20 cm y un grosor de 2 cm. Halla su volumen. 9.27 Halla el volumen del cuerpo engendrado por la parte coloreada de la figura. de

110

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

2.2 ConoUn cono recto es un cuerpo engendrado por un tringulo rectngulo que gira alrededor de uno de sus catetos. Si se corta un cono recto por un plano paralelo a la base se obtiene un nuevo cuerpo que se llama tronco de cono.

Ejercicios

9.28 El tronco de cono se puede generar por revolucin, qu figura es necesario girar alrededor de un eje para generar un tronco de cono? 9.29 Busca diferentes situaciones donde aparezcan conos y troncos de cono. Recoge las situaciones en tu cuaderno. REA DE UN CONO Y DE UN TRONCO DE CONO El rea de un cono es la suma del rea lateral (sector circular de radio de la base: ) y del rea

Observa el desarrollo plano del tronco de cono:

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

111

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

El rea lateral se obtiene como si fuera un trapecio:

El rea total es igual al rea lateral ms el rea de los crculos de las dos bases:

Ejercicios

9.30 Haciendo girar un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm alrededor de cada uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibjalos y halla el rea total de cada uno de ellos. 9.31 Halla el rea total del tronco de cono generado al girar un trapecio rectngulo de bases 4 cm y 7 cm y altura 4 cm alrededor de esta. VOLUMEN DE UN CONO Y DE UN TRONCO DE CONO El volumen de un cono es igual a un tercio del rea de la base por la altura:

El volumen de un tronco de cono se puede obtener restando el volumen del cono completo menos el de cono superior que se ha suprimido:

Veamos un ejemplo de aplicacin:

112

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Ejemplo: Cul es la mxima cantidad de agua que admite un vaso cuya forma y dimensiones muestra la figura del margen?

Sustituyendo en la frmula del volumen del tronco de cono:

9.32 Qu capacidad tendr un cucurucho de helado de 10 cm de altura y dimetro? 9.33 Averigua la cantidad de chapa que se necesita para fabricar un depsito, como el de la figura adjunta, si su capacidad es de 500 .

cm de

9.34 Calcula la capacidad del embudo de la figura. El dimetro del cilindro es de 1 cm.

2.3 EsferaUna esfera es un slido de revolucin que se puede obtener al girar un semicrculo alrededor de su dimetro. La esfera queda determinada por su centro y por su radio. No tiene desarrollo plano.

REA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

113

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Ejercicio

9.35 Se introduce una esfera de 2 cm de radio en un cilindro del mismo radio y cuya altura es igual al dimetro de la esfera. Calcula: (a) El volumen del cilindro. (b) El volumen de la esfera. (c) El volumen del hueco entre el cilindro y la esfera. Qu relacin hay entre el volumen de la esfera y el del hueco? Y entre el volumen del cilindro y el de la esfera? En la esfera se dan diferentes superficies que dan lugar a los correspondientes slidos: Segmento esfrico es el slido que resulta al cortar la esfera por dos planos paralelos. Su volumen es:

La banda de superficie que limita al segmento esfrico se llama zona esfrica. Su rea es:

Cua esfrica es el equivalente a un gajo de naranja. Se obtiene al cortar la esfera mediante dos planos que confluyen en un dimetro de la misma. Su volumen es:

La parte de superficie esfrica que limita a una cua esfrica se denomina huso esfrico. Su rea es:

114

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Sector esfrico es el slido que se obtiene al hacer girar un sector circular sobre el dimetro perpendicular a su cuerda. Su volumen es:

La parte curva de un sector esfrico se denomina casquete esfrico. Su rea es:

Veamos un ejemplo: Ejemplo: Cortamos una esfera de 10 cm de radio con un plano para obtener uncasquete esfrico. Hemos medido el dimetro de la base obteniendo como resultado 12 cm. Qu superficie tiene el casquete?

Para poder aplicar la frmula del rea del casquete necesitamos conocer su altura. Para ello, basta fijarnos en el tringulo ABC de la figura del margen. La hipotenusa es el radio de la esfera, es decir, R=10 cm. El cateto AB es el radio de la base del casquete, que mide la mitad del dimetro: r=6 cm. Aplicando el teorema de Pitgoras:

Por tanto, la altura h del casquete ser:

Y su rea es:

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

115

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Ejercicios

9.36 De los slidos que se derivan de la esfera, cules son de revolucin y cules no? Para aquellos slidos de revolucin, indica qu figura genera el slido. 9.37 Localiza y describe tres objetos que estn formados, total o parcialmente, por partes de la esfera. (Haz fotos o esquemas) 9.38 Calcula el rea y el volumen de una esfera cuyo dimetro mide 18 cm. Halla el rea de una zona esfrica de 11 cm de altura. 9.39 Halla la cantidad de pintura necesaria para pintar la cpula semiesfrica de una catedral, cuyo dimetro es de 12 m, sabiendo que para pintar 5 metros cudrados usamos 2 kg de pintura. 9.40 Un depsito de propano est formado por un cuerpo cilndrico y dos semiesferas iguales. La longitud total del depsito es de 2 m y su dimetro de 1 m. Calcula su volumen.

9.41 Introducimos un casquete esfrico de 7 cm de altura, y cuya esfera tiene 15 cm de radio, dentro de un cilindro cuya base y altura son las mismas que las del casquete. Qu es mayor, el rea del casquete o el rea lateral del cilindro?

3. La esfera terrestreLa Tierra es quinto planeta del Sistema Solar. Tiene una superficie de ms de 510 millones de kilmetros cuadrados, de la cual, casi un 70% est cubierta por agua. No es una esfera perfecta. La fuerza centrfuga de la rotacin terrestre ha ocasionado el achatamiento de los polos y un abultamiento por donde pasa la lnea del Ecuador, que divide el globo en dos hemisferios, Norte y Sur. Esta especie de deformacin se confirma al comparar los radios del Ecuador (6.378 km) con el polar (6.357 km), estos 21 km de diferencia determinan el achatamiento terrestre. El giro de la tierra se produce alrededor de un eje, lnea imaginaria que pasa por su centro y la corta en dos puntos: polos. Los planos perpendiculares al eje de la Tierra la cortan en circunferencias llamadas paralelos. Entre dos paralelos consecutivos hay 15.

116

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

El paralelo que tiene su centro en el centro de la esfera se llama ecuador. Es una circunferencia mxima que divide la superficie de la Tierra en dos mitades: los hemisferios norte y sur. Los meridianos son las circunferencias que se obtienen al cortar la superficie terrestre con un plano que contiene a su eje. Todos ellos pasan por los polos. La separacin entre dos meridianos es de 15. Entre dos puntos situados en cada uno de ellos existe una diferencia de una hora: el sol sale una hora antes en uno de ellos. Coordenadas geogrficas Por cada punto de la Tierra, pasa un paralelo y un meridiano. Se designan por la posicin que ocupan respecto al ecuador y al meridiano cero (o de Greenwich): son respectivamente su latitud y su longitud. La latitud puede medir entre 0 y 90 y ser Norte o Sur, segn la posicin del punto respecto al ecuador. La longitud puede medir entre 0 y 180 y ser Este u Oeste, segn la posicin del punto respecto al meridiano de Greenwich. Diferencias horarias El tiempo que tarda el sol en dar una vuelta en su movimiento aparente alrededor de la Tierra se llama da. Es decir, la Tierra, en su movimiento de rotacin da una vuelta completa cada 24 horas (exactamente 23 horas y 56 minutos). Cuando el Sol pasa por el meridiano de un lugar se dice que es medioda y cuando pasa por su antimeridiano, medianoche. Segn esto, en cada longitud ser medioda en un momento distinto y, por tanto, si los relojes se ajustasen a ese hecho, lugares prximos tendran horas parecidas pero no iguales. Para simplificar esta situacin, se establecen distintos husos horarios u horas oficiales que van de hora en hora. Centrado en el meridiano 0 se forma un huso esfrico de 15 (360:24h). En ese huso sern las 12 cuando el Sol pase por el meridiano 0. Este es el huso horario que corresponde a Espaa, salvo la comunidad canaria. A partir de l se forman los otros 23 husos. Los pases se amoldan a esta regla con algunos ajustes para evitar que un pas pequeo tenga dos horas distintas en su territorio.Ejercicios

9.42 Todos los puntos de un mismo paralelo, tienen igual alguna coordenada geogrfica? Y todos los puntos de un mismo meridiano? 9.43 Un barco va de un punto A (30 latitud N y 10 longitud oeste) a otro B (30 latitud N y 80 longitud oeste) siguiendo el paralelo comn. a) Qu distancia ha recorrido?; b) qu distancia recorrera si la diferencia de longitudes de los dos puntos fuera de 180?; c) qu distancia recorrera en este ltimo caso si pudiera navegar de un punto a otro siguiendo un arco de crculo mximo? 9.44 Dos ciudades tienen la misma longitud 3 O, y sus latitudes son 4527' N y 3435' S. Cul es la distancia entre ellas? 9.45 Roma est en el huso 1 E y Nueva York en el 5 O. Si un avin sale de Roma a las 9 a.m. y el vuelo dura 8 h, cul ser la hora local de llegada a Nueva York?

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

117

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.46 En una naranja de forma esfrica, de 4 cm de radio, se realizan dos cortes, uno por el ecuador y otro 2 cm ms arriba. As se obtienen tres trozos. Calcula el volumen de ca uno de ellos y las reas de las zonas esfricas correspondientes. 9.47 Se dispone de 1 kg de hierro para hacer bolas de 1 cm de dimetro. La desidad del hierro es 7,86 . Cuntas bolas podemos fabricar? 9.48 Un casquete esfrico de una esfera de radio 1 dm tiene un rea de 3 su altura? . Cul es

9.49 En una sanda esfrica de 25 cm de dimetro se corta una raja en forma de cua esfrica de30 de amplitud. Cunto pesar? La desidad de la sanda es de 0,87 9.50 Un barco navega siguiendo un meridiano, desde un punto de latitud 40 N hasta otro de latidud 5 S. Cuntos kilmetros ha navegado?

118

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

4 Soluciones de los ejercicios de la unidad9.1 Trata de dar una definicin de poliedros cncavos y convexos y acompala de una fotografa o una ilustracin. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. Busca lo que se pide en, cualquier libro de texto, en una enciclopedia o en Internet, y exprsalo con palabras que sean comprensibles. 9.2 Busca el significado etimolgico de la palabra poliedro. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. Utiliza una enciclopedia o busca en Internet y exprsate con palabras sencillas y comprensibles. 9.3 Cuenta los elementos de este poliedro: Caras: 8 Aristas: 18 Vrtices: 12 9.4 Investiga sobre Euler y su obra. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. Puedes utilizar una enciclopedia o Internet pero no se trata de copiar todo lo que encuentres sino que resumas lo fundamental en un lenguaje comprensible en a lo sumo una carilla de un folio. 9.5 Hay muchas formas de hacer el desarrollo de un cubo. Todas ellas consisten en pegar seis cuadrados por los lados como se observa en la figura de la derecha. Las figuras que se obtienen se llaman hexamins. Dibuja en tu cuaderno al menos 6 hexamins que sean el desarrollo de un cubo y otros 6 que no lo sean. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. 9.6 Haz una tabla en tu cuaderno donde recojas, para cada uno de los poliedros regulares, el nmero de caras, aristas y vrtices. Comprueba que se cumple la relacin de Euler. Dibuja un desarrollo plano de estos poliedros. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. 9.7 Construye los cinco poliedros regulares. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. Puedes utilizar para ello, cartulina, cartn, madera, plstico, metal, 9.8 Por qu no existe un poliedro regular cuyas caras sean hexgonos regulares? Porque la suma de los ngulos de las caras que confluyen en un vrtice debe ser menor que 360 porque en caso de sumar 360 exactamente no encerraran un volumen sino que tendramos una figura plana. En el hexgono esta suma es exactamente de 360 como se observa en el dibujo adjunto. Por tanto, es imposible que exista un poliedro regular de caras hexagonales.

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

119

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.9 Construye dos poliedros duales con material plstico transparente (tipo acetato) de diferente color. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. 9.10 La frmula de Hern nos proporciona el rea de un tringulo conociendo sus lados:

Donde ,

y

son los lados del tringulo y

.

Calcula el rea de los siguientes poliedros regulares: d) Un tetraedro regular de 1 cm de arista El rea de una de las caras es:

Como el tetraedro tiene cuatro caras iguales:

e) Un octaedro de 3 cm de arista. El rea de una de las caras es:

Como el octaedro tiene ocho caras iguales:

f) Un icosaedro de 10 cm de arista. El rea de una de las caras es:

Como el icosaedro tiene veinte caras iguales:

120

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.11 Busca en prensa, publicidad o haz fotos de diferentes situaciones donde aparezcan prismas. Marca los elementos de los prismas. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. 9.12 Un prisma cuadrado de 10 de altura tiene un rea total de 250

(a) Cunto mide el lado de la base? Como el prisma cuadrado tiene dos bases cuadradas y las caras laterales son rectngulos, si llamamos b al lado de la base, el rea ser la de cuatro rectngulos de base b y altura 10 ms la de dos cuadrados de lado b:

Sustituyendo los datos:

Resolvemos esta ecuacin de 2 grado para obtener el valor del lado de la base:

(Se desprecia el valor negativo de la ecuacin por carecer de sentido en el contexto de este problema) El lado de la base mide 5 cm. (b) Calcula el volumen. El volumen es:

(c) Dibuja su desarrollo plano y construye el prisma. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. 9.13 Dibuja en cartulina, con la mayor precisin posible, el desarrollo plano de un prisma recto de base triangular de 4 cm de lado y altura del prima 9 cm. Calcula su rea y su volumen. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. 9.14 Busca en prensa, publicidad o haz fotos de diferentes situaciones donde aparezcan pirmides. Pega en el cuaderno las diferentes situaciones que encuentres y marca los elementos de las pirmides. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin.

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

121

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.15 Si se corta una pirmide regular por un plano paralelo a la base se forma un cuerpo que se llama tronco de pirmide:

Qu tipo de polgono se forma en las caras laterales? Las caras laterales de un tronco de pirmide son trapecios. 9.16 Calcular el rea total y el volumen de una pirmide hexagonal regular cuya arista de la base es de 8 cm y cuya arista lateral mide 10 cm. El rea lateral es igual al rea de uno de los tringulos de las caras laterales multiplicado por seis. Para obtener el rea de uno de los tringulos que forman las caras laterales necesitamos obtener su altura. Para ello utilizaremos el teorema de Pitgoras:

El rea de la base es la de un hexgono cuyo apotema podemos obtener aplicando nuevamente el teorema de Pitgoras:

El rea de la base es:

El rea total es:

Para obtener el volumen es preciso obtener la altura de la pirmide. sta puede calcularse aplicando el teorema de Pitgoras:

El volumen:

122

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.17 Halla el rea total y el volumen de un tronco de pirmide cuadrangular regular cuyas bases tienen de lados 30 cm y 14 cm y cuya arista lateral mide 17 cm. La altura de uno de los trapecios que forman las caras laterales se puede calcular utilizando el teorema de Pitgoras:

El rea lateral es igual a la de uno de las trapecios que forman las caras laterales, multiplicado por cuatro:

El rea de las bases:

El rea total:

Para calcular el volumen hay que obtener previamente la altura. Para esto utilizaremos el teorema de Pitgoras:

El volumen:

9.18 Una pirmide de base cuadrada tiene una capacidad de 96 cm. (a) Cul es la medida del lado de la base? Como el volumen de una pirmide de base cuadrada es:

y una altura de 12

Sustituyendo los datos:

(b) Calcula el volumen del tronco de pirmide obtenido al cortar la pirmide anterior por un plano que dista 7 cm de la base. Calculemos el lado del cuadrado que forma la cara superior del tronco de pirmide. Para ello utilizaremos el teorema de Thales:

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

123

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Esta es la mitad del lado. El lado ser:

El volumen del tronco de pirmide:

9.19 Un cubo tiene 25 cm de arista. Calcula su rea y la longitud de la diagonal. El rea total es igual al rea de una de las caras multiplicada por seis:

La diagonal:

9.20 Dibuja los siguientes cuerpos geomtricos y calcula su rea: a) prisma de altura 24 cm y cuya base es un rombo de diagonales 18 y 12 cm. El rea de la base:

Para obtener el rea lateral necesitamos calcular previamente el lado del rombo que forma la base:

El rea lateral:

El rea total:

b) octaedro regular de arista 18 cm. El octaedro regular est formado por ocho tringulos equilteros. Por tanto, el rea total ser ocho veces la de una de sus caras. Para obtener el rea de una de las caras triangulares es preciso obtener la altura de un tringulo equiltero de lado 18 cm. Utilizaremos el teorema de Pitgoras:

124

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

El rea del octaedro:

9.21 Calcula la longitud del mayor listn que cabe en cada una de estas cajas:

a)

Se trata de calcular la diagonal de un cuadrado de lado 4 cm:

b) Se trata de calcular la diagonal de un prima de base hexagonal:

c)

Se trata de calcular la diagonal de un cubo de 5 cm de arista:

9.22 Calcula la superficie del mayor tetraedro que cabe dentro de un cubo de 10 cm de arista. La arista del tetraedro es igual a la diagonal del cubo y puede obtenerse utilizando el teorema de Pitgoras:

La altura del tringulo que forma las caras del tetraedro puede obtenerse utilizando nuevamente el teorema de Pitgoras:

El rea de una de las caras del tetraedro:

El rea del tetraedro ser cuatro veces este valor:

9.23 Calcula la superficie del tringulo coloreado en la figura. Se trata de un tringulo equiltero. Su lado es la diagonal de una de las caras del cubo y se puede obtener utilizando el teorema de Pitgoras:

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

125

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

La altura del tringulo debe obtenerse utilizando el teorema de Pitgoras:

El rea pedida es:

9.24 Busca objetos y/o situaciones donde aparezcan cilindros indicando en cada caso si son rectos u oblicuos. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. Puedes utilizar el entorno que te rodea realizando fotografas o buscar en revistas o en la prensa. 9.25 Una empresa quiere envasar cierto refresco en latas cilndricas de 300 capacidad. (a) Si el dimetro de una base es de 5 cm, qu altura han de tener las latas? El volumen del cilindro: de

El radio es la mitad del dimetro: Sustituyendo los datos en la expresin del volumen:

(b) Qu superficie de material hace falta para fabricar las latas? Con las dimensiones dadas, la superfice de la lata sera:

9.26 Un tubo de uralita de 10 m de longitud tiene un dimetro exterior de 20 cm y un grosor de 2 cm. Halla su volumen. El volumen del tubo podemos obtenerlo calculando el volumen del cilintro exterior menos el volumen del cilindro interior:

9.27 Halla el volumen del cuerpo engendrado por la parte coloreada de la figura. La figura engendrada es un cilindro hueco cuyo volumen se puede obtener restando el volumen del cilindro exterior menos el interior. El volumen del cilindro exterior:

El volumen del cilindro interior:

126

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

El volumen del cuerpo engendrado es:

9.28 El tronco de cono se puede generar por revolucin, qu figura es necesario girar alrededor de un eje para generar un tronco de cono? Un trapecio como se observa en la figura de la derecha. 9.29 Busca diferentes situaciones donde aparezcan conos y troncos de cono. Recoge las situaciones en tu cuaderno. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. 9.30 Haciendo girar un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm alrededor de cada uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibjalos y halla el rea total de cada uno de ellos.

La generatriz de cada cono es la hipotenusa del tringulo, que coincide en ambas figuras:

El rea del cono engendrado por el tringulo de la izquierda es:

El rea del cono engendrado por el tringulo de la derecha es:

9.31 Halla el rea total del tronco de cono generado al girar un trapecio rectngulo de bases 4 cm y 7 cm y altura 4 cm alrededor de esta. La generatriz del tronco de cono es el lado inclinado del trapecio:

rea:

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

127

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.32 Qu capacidad tendr un cucurucho de helado de 10 cm de altura y 4 cm de dimetro? Se trata de obtener el volumen del cono de altura 10 cm y radio 2 cm:

9.33 Averigua la cantidad de chapa que se necesita para fabricar un depsito, como el de la figura adjunta, si su capacidad es de 500 . El volumen de esta figura es la suma de los volmenes de un cilindro de altura 15 m y un cono de la misma altura:

Sustituyendo los datos:

Operando adecuadamente esta expresin podemos obtener el valor del radio:

Para obtener el rea lateral del cono, es preciso obtener previamente su generatriz:

El rea lateral del cono:

El rea lateral del cilindro:

El rea de la base:

El rea total de la figura es la suma de las tres reas calculadas y es la cantidad de chapa que se necesita para fabricar el depsito:

128

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.34 Calcula la capacidad del embudo de la figura. El dimetro del cilindro es de 1 cm. El volumen del cilindro:

El volumen del tronco de cono:

Sustituyendo los datos en la frmula del volumen del tronco de cono:

La capacidad total del embudo:

9.35 Se introduce una esfera de 2 cm de radio en un cilindro del mismo radio y cuya altura es igual al dimetro de la esfera. Calcula: (a) El volumen del cilindro.

(b) El volumen de la esfera.

(c) El volumen del hueco entre el cilindro y la esfera.

Qu relacin hay entre el volumen de la esfera y el del hueco? Y entre el volumen del cilindro y el de la esfera?

El volumen de la esfera es el doble que el volumen del hueco.

9.36 De los slidos que se derivan de la esfera, cules son de revolucin y cules no? Para aquellos slidos de revolucin, indica qu figura genera el slido. Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin.

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

129

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.37 Localiza y describe tres objetos que estn formados, total o parcialmente, por partes de la esfera. (Haz fotos o esquemas). Realiza esta actividad aparte y entrgala al profesor para su correccin. 9.38 Calcula el rea y el volumen de una esfera cuyo dimetro mide 18 cm. Halla el rea de una zona esfrica de 11 cm de altura. El rea de la esfera:

El volumen de la esfera:

El rea de la zona esfrica:

9.39 Halla la cantidad de pintura necesaria para pintar la cpula semiesfrica de una catedral, cuyo dimetro es de 12 m, sabiendo que para pintar 5 metros cudrados usamos 2 kg de pintura. El rea de la cpula semiesfrica:

Los kilos de pintura necesarios:

9.40 Un depsito de propano est formado por un cuerpo cilndrico y dos semiesferas iguales. La longitud total del depsito es de 2 m y su dimetro de 1 m. Calcula su volumen. El volumen es igual al de una esfera mas un cilindro:

9.41 Introducimos un casquete esfrico de 7 cm de altura, y cuya esfera tiene 15 cm de radio, dentro de un cilindro cuya base y altura son las mismas que las del casquete. Qu es mayor, el rea del casquete o el rea lateral del cilindro?

Para calcular el rea lateral el cilindro es preciso conocer r.

130

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Es mayor el rea del casquete. El rea del casquete sera igual que el rea lateral de un cilindro de su misma altura y cuyo radio coincide con el de la esfera, que evidentemente es mayor que el cilindro de la actividad. 9.42 Todos los puntos de un mismo paralelo, tienen igual alguna coordenada geogrfica? Tienen la misma latitud. Y todos los puntos de un mismo meridiano? Tienen la misma longitud. 9.43 Un barco va de un punto A (30 latitud N y 10 longitud oeste) a otro B (30 latitud N y 80 longitud oeste) siguiendo el paralelo comn. a) Qu distancia ha recorrido?; b) qu distancia recorrera si la diferencia de longitudes de los dos puntos fuera de 180?; c) qu distancia recorrera en este ltimo caso si pudiera navegar de un punto a otro siguiendo un arco de crculo mximo? a) La diferencia de longitudes entre los dos puntos es: .

El radio del paralelo 30 se puede obtener por trigonometra sabiendo que el radio de la tierra es de 6371 km:

Por tanto, la distancia recorrida es:

b) Utilizando la misma expresin anterior:

c)

9.44 Dos ciudades tienen la misma longitud 3 O, y sus latitudes son 4527' N y 3435' S. Cul es la distancia entre ellas? Como una de las ciudades tiene latitud N y la otra latitud sur, sumamos sus latitudes: . Considerando que el radio de la tierra es de 6371 km, la distancia entre ellas es:

9.45 Roma est en el huso 1 E y Nueva York en el 5 O. Si un avin sale de Roma a las 9 a.m. y el vuelo dura 8 h, cul ser la hora local de llegada a Nueva York? Como hay 1+5=6 husos horarios entre Roma y Nueva York, habr 6 horas de diferencia. El avin sale a las 9 a.m. de Roma mientras en Nueva York son las 3 a. m (6 horas menos). Como invierte 8 horas en el viaje, llegar a las 3+8=11 horas am de Nueva York.

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

131

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

9.46 En una naranja de forma esfrica, de 4 cm de radio, se realizan dos cortes, uno por el ecuador y otro 2 cm ms arriba. As se obtienen tres trozos. Calcula el volumen de cada uno de ellos y las reas de las zonas esfricas correspondientes. El primer trozo es un casquete esfrico de 2 cm de altura.

El tercero es una semiesfera:

El segundo es un segmento esfrico de dos bases. Para calcular su rea y su volumen podemos proceder de manera indirecta restando a los de la semiesfera el rea y volumen del casquete:

El rea coincide con la del casquete al tener la misma altura:

9.47 Se dispone de 1 kg de hierro para hacer bolas de 1 cm de dimetro. La desidad del hierro es 7,86 . Cuntas bolas podemos fabricar? El volumen de una bola es:

Su peso es:

Por tanto con 1000 gramos podemos fabricar:

9.48 Un casquete esfrico de una esfera de radio 1 dm tiene un rea de 3 su altura?

. Cul es

9.49 En una sanda esfrica de 25 cm de dimetro se corta una raja en forma de cua esfrica de30 de amplitud. Cunto pesar? La desidad de la sanda es de 0,87

132

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Su peso ser:

9.50 Un barco navega siguiendo un meridiano, desde un punto de latitud 40 N hasta otro de latidud 5 S. Cuntos kilmetros ha navegado?

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

133

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

PERMETROS Y REAS DE FIGURAS PLANAS Figura Geomtrica Permetro rea

Tringulo

P= a + b + c

Cuadrado

Rectngulo

Rombo

Romboide

134

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

Nivel I POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

Figura Geomtrica

Permetro

rea

Trapecio

P=a+b+c+d

Circunferencia

r

Crculo

Sector Circular

Corona circular

CEPA de COSLADA: Fernando Moya

135