1 1-Estudio del cambio uniforme-5 (1).docx

8/18/2019 1 1-Estudio del cambio uniforme-5 (1).docx

1/9

Instituto Tecnológico de Sonora Cálculo I

Depto. Matemáticas

Unidad I. La Problemática

Tema 1.1 Estudio del cambio uniorme. Modelo LinealSituación Problema 1.1! En seguida presentamos tres contextos reales en los que se considera la variación de

una magnitud con respecto a otra. En cada contexto se cuenta con información a partir de la cual se puede

responder las preguntas planteadas. El propósito de esta Situación Problema consiste, además de contestar, enanalizar la problemática común que se presenta en los tres contextos reales y su estrategia de solución.

Primer conte"to real! n automóvil transita por una carretera recta.

!a siguiente tabla muestra el "ilómetro sobre la carretera en el que seencuentra el automóvil para diferentes valores del tiempo en su recorrido.

a# $%uál será la posición del automóvil a las t=3 horas&

b# $'ónde estará el automóvil a las 2 horas y cuarto&

c# Suponiendo que el automóvil mantiene su velocidad constante, $En qu( instante pasará por la gasolinera

más cercana que se encuentra en el kilómetro 167 de la carretera&

d# )uestre en un sistema de e*es coordenados el comportamiento gráfico de la posición del auto con

respecto al tiempo, tomando al e*e +orizontal como el tiempo t y el e*e vertical la posición x deautomóvil.

Segundo conte"to real! Se coloca una olla con agua en una parrilla encendida de

modo que la temperatura T del agua aumenta uniformemente a razón de

6°C/minuto.a# En un lapso de tres minutos, $%uánto aumenta la temperatura&

b# Si a los 2 minutos la temperatura del agua era de 50°C , $%uál será su temperatura a los cinco minutos&, y$%uál fue la temperatura al inicio , cuando se colocó la olla en la parrilla&

1

t

(en

horas

x

(kms so!re la

carretera# -

#.$ -

1 //

1.$ 01

% 2


2/9


Depto. Matemáticas

c# $%uál es el cambio en la temperatura ocurrido entre los 5 y 6.5 minutos&, $3 entre los " y #.5 minutos&

d# %onstruye una expresión matemática a trav(s de la cual

se pueda predecir la temperatura del agua, T 4en 5%#

cuando transcurre un tiempo 6arbitrario7 de t minutos.

e# $En qu( instante comienza a +ervir el agua&4suponer el grado de ebullición de 005%#

f# 8ealiza la gráfica de la Temperatura de la olla

con respecto al tiempo t.

Tercer conte"to real! la temperatura de la atmósfera en la primera de sus capas

4tropósfera# disminuye uniformemente con respecto a la altitud9 lo +ace a razón

de $6.5 °C/kilometro. %ierto monta:ista llega a la cumbre de una monta:a dealtura desconocida y reporta por radio su compa:ero 4que está en la base de la

monta:a# que la temperatura allá arriba es de $1°C . Por su parte, su compa:ero,

en la parte más ba*a de la monta:a, observa el termómetro marca 20°C .

a# %onstruye una expresión matemática que permita predecir la temperatura % para diferentes valores de la

altitud h.

b# $%uál es la altura de la monta:a&

c# 8ealiza la gráfica de la Temperatura en función de la altitud h.

Cuarto conte"to real. 'os tanques con agua tienen la misma forma y tama:o; la de un cilindro circular recto de m

de altura y -00 cm como área de su base. < uno de ellos, cuyo nivel actual del agua es cm, una llave lo está llenando

a razón constante de /-00 cm1=min9 al otro, cuyo nivel actual del agua es >0 cm, una llave lo está vaciando a un ritmo de

-000 cm1=min.

a& $Por qu( va llegar un momento en que ambos tanques tendrán el mismo nivel&

b& $%uánto tiempo +a de transcurrir para que el nivel del agua en ambos tanques sea el mismo&

y $cuál es dic+o nivel común que ambos tanques tendrán&

c& $En cuánto tiempo se llenará el tanque cuyo nivel está creciendo&

d& $En cuánto tiempo se vaciará el tanque cuyo nivel está decreciendo&

2


3/9

O

eje x1er. auto 2do. auto

x

t


Depto. Matemáticas

'uinto conte"to real.

'os automóviles transitan sobre una carretera recta con doscarriles. El primero de ellos va en el carril con circulación de

izquierda a derec+a, y el segundo, en el carril con circulación

contraria. n e*e x 4medido en metros#, +a sido colocado sobre la carretera con el origen en el punto & y con

dirección positiva de izquierda a derec+a. El primer automó(il se encuentra en x ? %# cuando t ? ) segundosy avanza +acia la derec+a a un ritmo constante de $ metros cada segundo. El segundo automó(il se encuentra

en x ? *# cuando t ? % segundos y avanza +acia la izquierda a un ritmo constante de $ metros cada segundo%ontesta lo siguiente.

a# !a ecuación que expresa la posición del primer automóvil en t(rminos del tiempo.

b# !a ecuación que expresa la posición del segundo automóvil en t(rminos del tiempo.

c# $En qu( tiempo los autos están en la misma posición&

d# $%uál es el valor de x donde los autos están en la misma posición&

'ibu*a las gráficas de las dos ecuaciones en un mismo plano coordenado, donde la variable t se coloca en el e*e

+orizontal, y la variable x en el e*e vertical y se:ala en ella las respuestas de los cuatro incisos.

3


4/9


Depto. Matemáticas

Tema 1.1 Estudio del cambio uniorme. Modelo Lineal

Problemas ComplementariosProblema 1. %uando un paracaidista se lanza desde una gran altura y abre su paraca@das, llega un instante en

que su movimiento es prácticamente uniforme. %onsideremos que un paracaidista se encuentra a 2'500 metros

de altura y está descendiendo uniformemente a una rapidez de 5 metros/seun)o.

a# %onstruye la *unción que permita predecir la altura h (en metros) del

paracaidista.

b# %alcula el tiem+o que tarda el paracaidista en llegar al suelo.

c# En el instante de t = 1.23 minutos $Au( +osición tendrá el paracaidista&

d# Brafica la función de la altura h con respecto al tiempo t .

Problema %. !a presión + que experimenta ba*o el agua un buzo depende de la profundidad h a la que se

encuentra (ste. !a razón con lo que está cambiando la presión 4con respecto a la profundidad# es constante eigual a 0.0##, atmós*eras/metro.

a# %onstruye la *unción que permita predecir la presión a la que está expuesto un

buzo considerando que la presión en la superficie es de atmosfera.

b# $%uál será la +resión a la que se encuentra el buzo a los 50 metros de

profundidad, si la presión en la superficie es de 1 atmós*era&

c# Brafica la función de la presión + con respecto a la profundidad h.

Problema ). %uando un automóvil está en movimiento, la cantidad de gasolina en su

tanque disminuye con respecto a la distancia que recorre. En un Csuru 0 la razón con laque disminuye la gasolina es de 0.05 litros +or kilómetro. Supongamos que vamos en ese

automóvil por la carretera nacional y sabemos que +ay ,0 litros )e asolina en el tanque

del carro.

a# %onstruye la *unción que predice la cantidad de gasolina en el tanque en t(rminos de los "ilómetrosrecorridos.

b# $%uántos litros quedarán en el tanque una vez que el carro +a recorrido 130 kilómetros&

c# $%uántos kilómetros se +abrán recorrido cuando en el tanque quedan 1" litros )e asolina&

d# $


5/9


Depto. Matemáticas

Problema +. na llave está llenando de agua un tanque que tiene la forma

de un cilindro de un metro y medio de altura y radio en su base de D-

cent@metros. !a siguiente tabla muestra los valores del nivel de agua

en el tanque en determinados tiempos.

!os datos en la tabla nos permite suponer que a partir de que lo observamos (en t=0) el nivel del agua en el

tanque está cambiando uniformemente en el tiempo.a# $%uál es el valor de la ra-ón )e cam!io 4constante# del nivel h con respecto al tiempo t &

b# %onstruye la *unción lineal que permite predecir el nivel de agua en cualquier tiempo admisiblemientras el tanque se está llenando.

c# $%uál será el niel del agua en el tanque a los 21.5 minutos&

d# $%uánto tiem+o se tardará en llenar el tanque&

e# $%uál es el cam!io que produce en el nivel entre los 3 y 3.5 minutos&

Problema $. aciendo e*ercicio en una bicicleta el@ptica, manteni(ndose a un ritmo de 30 reoluciones +or

minuto, por cada segundo que pasa el tablero muestra que se acumulan 0.2 caloras. Supongamos que se realizauna rutina de calentamiento en la que se +an acumulado ,0 caloras.

a#%onstruye la *unción que calcule las calor@as acumuladas en t(rminos del tiempo

4medido en minutos# una vez que ya se +a realizado la rutina de calentamiento y semantiene el ritmo.

b#$%uántas caloras muestra el tablero un cuarto )e hora despu(s del calentamiento&

c# Para satisfacer los requerimientos de una dieta balanceada en carbo+idratos, prote@nasy grasas se recomiendan acumular en la bicicleta el@ptica diariamente 375 caloras.

$%uántos minutos 4aparte de los del calentamiento# se debe usar la el@pticadiariamente al ritmo de 30 reoluciones +or minuto&

d#$%uál es el cam!io que se produce en la cantidad de calor@as por cada 5 minutos&

5

Ciempo t

4minutos#

Fivel h

4cent@metros#

0 0

2

D 1>

G D/

> -G


6/9


Depto. Matemáticas

Problema ,. !a !ey de %+arles establece que a presión constante, el volumen de un gas cambia

uniformemente respecto a la temperatura. !a siguiente tabla muestra valores delvolumen de un gas contenido en un recipiente a

determinadas temperaturas;

a# $%uál es la ra-ón )e cam!io 4constante# con el olumen )e as respecto a la tem+eratura % &

b# %onstruye la *unción que modela el comportamiento del olumen )e as 4medido el mililitros# en

t(rminos de la tem+eratura % 4medida en grados#

c# $%uál será el olumen del gas cuando la temperatura sea de ,0°C &

d# Si extrapolamos la función lineal para valores de la temperatura fuera del intervalo o donde estamagnitud es conocida, podr@as contestar a qu( tem+eratura el olumen )el as es iual a cero.

e# Brafica la función lineal de (t desde la temperatura en la que se supone cero +asta que se llega a la

temperatura de 100°C.

6

Cemperatura

% 45%#

Holumen

4mililitros#

0 0/.2- 02.>/-

0 .>-

- 1.>-

0 -.>


7/9


Depto. Matemáticas

Tema 1.1 Estudio del cambio uniorme. Modelo Lineal

Tarea 1.1Problema 1. na taza de caf( se calienta en un +orno de microondas alcanzado una

temperatura de 65°C . Se extrae y se expone al medio ambiente que se encuentra a una

temperatura de 21°C . Para fines prácticos se puede suponer que en los primeros " minutos latemperatura de a taza de caf( disminuye uniformemente a razón de 3.5 °C/minuto.

a# %onstruye la función que permite predecir la temperatura T para diferentes valores del tiempo t medidoen minutos.

b# $%uántos minutos se deberá esperar a partir de su extracción del +orno para beber el caf( a unatemperatura de ,0°C &

c# Si consideramos este modelo lineal funcionando por más tiempo $Au( temperatura alcanza el caf( a los

15 minutos& $Es eso posible&

Problema %. !os aviones comerciales deben estar provistos de sistemas de presurización en

la cabina de pasa*eros ya que la presión atmosf(rica )isminuye a razón de 1 mili!ar +or

ca)a # metros )e altura. < nivel del mar la +resión atmos*rica es de 1013 mili!ares.

a# %onstruye la *unción que representa la presión atmosf(rica en t(rminos de la altura

h, tomando como referencia el nivel del mar.

b# Encuentra la +resión atmos*rica en el exterior de un avión que está colocado a " kilómetros )e altura.

c# Predice el valor de la altura que debe alcanzar un avión para que la +resión atmos*rica a esa altura sea

de #27.5 mili!ares.

d# 8ealiza la r*ica de la presión con respecto a la altura h.

Problema ). !a temperatura T en cualquier lugar de nuestro planeta

disminuye a razón constante con respecto a la altura h sobre el nivel del

mar. En la siguiente tabla se muestran temperaturas 4en gradoscent@grados# a diferentes alturas 4en "ilómetros# en cierto lugar del planeta.

a# $< qu( razón está cambiando la temperatura T con respecto a la

altura h&

b# %onstruye la función que calcula la temperatura T en t(rminos de la altura h.

c# $< qu( altura podemos esperar que la temperatura sea 05%&

d# %onstruye la r*ica de % con respecto a h.

7

h 4Im# T 45%#

0 -

>./

.D1 J1.2

D J0.


8/9

Tanque A

Tanque B


Depto. Matemáticas

Problema +.


9/9


Depto. Matemáticas

e# $En qu( momento se vaciará por completo el tanque /&

f# 8ealiza la grafica del comportamiento de ambos tanques, colocando to)a la in*ormación obtenida en losincisos anteriores.

Problema ,. 8esuelve los siguientes e*ercicios.

a# Evalúa la función lineal y ( x )=2.5 x−1.3 en x=−1.1

b# Kguala a – 1.1 la función lineal y ( x )=2.5 x−1.3 y obt(n el valor correspondiente de x .

c# 'espe*a

x

de

y ( x )=−5

2

x+3

d# 'espe*a y de3

2 x−5 y=

1

3

e# Sustituye y=1−2 x en 2 x−3 y+5=0 y encuentra el valor de x .

f# Sustituye x=2 y−5 en y=−2 x+1.5 y encuentra el valor de y .

g# Kguala a 0 4cero# la y en−5

2 x+3 y−6=0 y encuentra el valor de x .

+# Kguala a 0 la x en −2.5 x+ y

3−6=0 y encuentra el valor de y.

i# Sustituye x por $2 en −2.5 x−3 y+6=0 y encuentra el valor de y .

*# En la función

y ( x )=2

3

−1

3

x

- si

y

vale 0$ $%uánto vale

x

&

9

Documents

1 1-Estudio del cambio uniforme-5 (1).docx