1. 2. 3. · PDF filedepositan en el cajero 225 billetes por un importe de 7000 euros. Averiguar el número de billetes de cada valor depositado,

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Álgebra linealSelectividad CCNN 2008

1. [ANDA] [JUN-A] Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes, con un importe de3000 euros.(a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?(b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuántos billetes hay de cadatipo.

2. [ANDA] [JUN-B] Considera la matriz A = 1 1 1m m2 m2

m m m2.

(a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

(b) Estudia si el sistema Axyz

= 111

tiene solución para cada uno de los vlaores de m obtenidos en el apartado anterior.

3. [ANDA] [SEP-A] Considera el siguiente sistema de ecuaciones x+y+z = a-12x+y+az = ax+ay+z = 1

a) Discútelo, según los valores del parámetro a.b) Resuélvelo en el caso a = 2.

4. [ANDA] [SEP-B] Sabemos que el sistema de ecuaciones 2x-y+3z = 1x+2y-z = 2

tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle

la ecuación ax+y+7z = 7.a) Determina el valor de a.b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a launidad.

5. [ARAG] [JUN] (a) Sean A, B, I las matrices: A = 0 1 11 1 01 0 0

, B = 6 -3 -4-3 2 1-4 1 5

, I = 1 0 00 1 00 0 1

. Estudiar si existe algún valor de

para el cual se satisfaga (A-I)2 = B.

(b) Teniendo en cuenta que x y z1 0 21 1 3

= 1, determinar el valor de x 1/4 4y 0 4z 1/2 12

.

6. [ARAG] [JUN] Dado el sistema

x+3y-az = 4-ax+y+az = 0-x+2ay = a+22x-y-2z = 0

, discutirlo según los valores de a, y resolverlo cuando sea compatible.

7. [ARAG] [SEP] Hallar una matriz X = a bc d

de orden 2 tal que A-1XA = B, siendo A = 3 1-2 -1

y B = 1 -12 1

.

8. [ARAG] [SEP] a) Probar que 1 1 1a b ca2 b2 c2

= (b-a)(c-a)(c-b).

b) Hallar la solución del sistema de ecuaciones x+2y+3z = 0x+4y+9z = 2

que además satisface que la suma de los valores correspondientes a

cada una de las incógnitas es 4.

9. [ASTU] [JUN] Sean las matrices A = x y xy 0 y1 z z

, B = a 2 3 y C = 4 0 2 .

Página 1 de 6 5 de diciembre de 2009



a) Halle los valores de x, y, z para los que A no tiene inversa.b) Determine los valores de a para los que el sistema B·A = C tiene solución.c) Resuelva el sistema anterior cuando sea posible.

10. [ASTU] [SEP] Dado un número real a, se considera el sistema 2x+ay+6z = 0ax+2y+4z = 2ax+2y+6z = a-2

.

a) Discuta el sistema según los valores de a.b) Resuelva el sistema para el caso a = 1.

11. [ASTU] [SEP] Se considera una matriz cadrada A de orden 3 que verifica la ecuación A2 = 6A-9I, donde I = 1 0 00 1 00 0 1

.

a) Exprese A4 como combinación lineal de I y A.

b) Estudie si la matriz B = 1 3 1-2 6 12 -3 2

verifica la ecuación B2 = 6B-9I. Determine si B tiene inversa y, si la tiene, calcúlela.

12. [C-LE] [JUN-A] Sean las matrices B = 5 33 2

y C = 13 88 5

. Calcular la matriz A, sabiendo que A2 = B y A3 = C.

13. [C-LE] [JUN-B] Se considera el sistema x-y+z = -1y+z = 2ax+2z = a2

donde a es un parámetro real.

a) Discutir el sistema en función del valor de a.b) Resolver el sistema para a = 0.c) Resolver el sistema para a = 1.

14. [C-LE] [JUN-B] Calcular el rango de la matriz A =

1 3 -1 -5-1 1 -3 -32 4 0 -63 2 4 -1

.

15. [C-LE] [SEP-A] Sea a un parámetro real. Se considera el sistema x+ay+z = 2+a(1-a)x+y+2z = 1ax-y-z = 1-a

a) Discutir el sistema en función del valor de a.b) Resolver el sistema para a = 0.c) Resolver el sistema para a = 1.

16. [C-LE] [SEP-A] Sea A una matriz 3x3 de columnas C1, C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1+C2, 2C1+3C3 y C2 (enese orden). Calcular el determinante de B en función del de A.

17. [C-LE] [SEP-B] Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a: ax+y = 02x+(a-1)y = 0

18. [C-MA] [JUN] Dada la matriz A = 1 0 01 1 00 0 1

, se pide:

a) Encuentra la expresión de la potencia n-ésima de A. En otras palabras, calcula la expresión de An, donde n es un número naturalcualquiera.b) Razona que la matriz An tiene inversa para cualquier nN, n 1, y calcula dicha matriz inversa.




19. [C-MA] [JUN] Encuentra, si es posible, un valor del parámetro a de modo que el sistema x+y-z = 1

x-y+2z = 22x+z = a

a) Sea compatible determinado.b) Sea compatible indeterminado.c) Sea incompatible.

20. [C-MA] [SEP] Sabiendo que x -3 1y 0 1z 7 1

= 6, calcula el valor de z/2 z+7 3y/2 y 3x/2 x-3 3

y

x -3 1 2y 0 1 2z 7 1 20 6 0 2

.

21. [C-MA] [SEP] Clasifica el sistema

x-2y+az = 0-ay+2z = 0

2x-y+(a+1)z = 0x+y+z+ = 0

en función del parámetro a, y resuélvelo para a = -2.

22. [CANA] [JUN] Estudiar el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro y resolverlo en los casos en los que

sea posible: 6x+2y+2z = 6x+2y+z =

5x+3y+z = 5

23. [CANA] [JUN] Dadas las matrices A = -1 1 2k 0 1

y B = 0 1-1 0k 2

, se pide:

i) Razonar para qué valores de k la matriz BtAt tiene inversa.ii) Resolver la ecuación (AB)tX = I, para k = 0, siendo I la matrid identidad.

24. [CANA] [SEP] Dadas las matrices A = 2 11 2

y la identidad de orden 2, I:

i) ¿Para qué valores de m la matriz A-mI no admite inversa?ii) Describir las matrices X de orden 2x2 que cumplen: (A-3I)X = O.

25. [CANA] [SEP] Se sabe que |A| = a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

= -3. Calcula:

i) 3a1 3b1 15c1a2 b2 5c2a3 b3 5c3

ii) - 13

A iii) a1 b1 c1

a2-a3 b2-b3 c2-c3a3 b3 c3

26. [CATA] [JUN] Considere las matrices A = 1 -32 2

y B = 1 32 -2

.

a) Encuentre la matriz M, cuadrada de orden 2, tal que M·A = B.b) Compruebe que M2 = I2 (matriz identidad de orden 2) y deduzca la expresión de Mn.

27. [CATA] [JUN] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro m:x+y+(m-1)z = 1x+(m-1)y+z = m-1(m-1)x+y+z = m+2




28. [CATA] [SEP] Considere la matriz A = 0 0 11 0 00 -1 0

.

a) Calcule A2 y A3.b) Determine, razonadamente, el valor de A60124.

29. [CATA] [SEP] Considere un sistema de dos ecuaciones con tres incógntas.a) ¿Puede ser incompatible?b) ¿Puede ser compatible determinado?Razone las respuestas.

30. [EXTR] [JUN-A] Discute, en función del parámetro a, el sistema de ecuaciones (no es necesario resolverlo en ningún caso):-x+2y+z = 1ax-y+2z = 2

2x+(a-1)z = 2

31. [EXTR] [JUN-B] Determina el rango de la matriz A en función de los valores de b: A = -1 2 bb b-3 -10 2 1

.

32. [EXTR] [SEP-A] a) Define el concepto de rango de una matriz.

b) Determina razonadamente si la tercera fila de la matriz A es combinación lineal de las dos primeras: A = 1 1 11 2 -12 1 1

.

33. [EXTR] [SEP-B] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales, según el valor del parámetro a: ax+ay = 0

x+z = a-2y+az = a

.

No es necesario resolver el sistema en ningún caso.

34. [MADR] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales x-ay = 2ax-y = a+1

, se pide:

(a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única.(b) Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2.

35. [MADR] [JUN-B] Dada la siguiente matriz de orden n: An =

1 1 1 ... 1 1-1 9 1 ... 1 1-1 -1 9 ... 1 1... ... ... ... ... ...-1 -1 -1 ... -1 9

, se pide:

(a) Calcular el determinante de la matriz A2.(b) Calcular el determinante de la matriz A3.(c) Calcular el determinante de la matriz A5.

36. [MADR] [SEP-A] Dada la matriz A = 2 a+1 12a 0 12 0 a+1

, se pide:

a) Determinar el rango de A según los valores del parámetro a.b) Decir cuándo la matriz A es invertible. Calcular la inversa para a = 1.




37. [MADR] [SEP-B] Resolver el siguiente sistema:

x -2y +z -3v = -4x +2y +z +3v = 4

2x -y +2z -6v = -82x +2z = 0

38. [MADR] [SEP-B] El cajero automático de una cierta entidad bancaria sólo admite billetes de 50, de 20 y de 10 euros. Los viernesdepositan en el cajero 225 billetes por un importe de 7000 euros. Averiguar el número de billetes de cada valor depositado,sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros.

39. [MURC] [JUN] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = 1 2 -2-1 3 -10 -2 1

.

40. [MURC] [JUN] Calsificar el siguiente sistema, según los valores de los parámetros a y b: x-y-z = b-x+y = 2

x+ay+2z = -2.

41. [MURC] [SEP] Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro a: A = 1 -1 -2 02 0 -4 2-3 4 6 a

.

42. [MURC] [SEP] i) Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius.

ii) Resolver, si es posible, el sistema de ecuaciones lineales siguiente: -2x+y-z = 1

-x+3y+2z = 2x-y-2z = 3

43. [RIOJ] [JUN] Hallad, según el valor de a, el rango de la matriz 1 1 11 a 11 1 a2

44. [RIOJ] [JUN] Discutid, según los valores de a,b el siguiente sistema de ecuaciones: x-3y-4z = 3

ax+3y-az = 0x+3ay-10z = b

45. [RIOJ] [SEP] Sea A una matriz 2x2 no nula. ¿ Puede ocurrir que A·A sea la mitriz nula? Dad un ejemplo o mostrad que no esposible.

46. [RIOJ] [SEP] Sean las matrices A = 3 3x y

y B = z 00 z

; además, denotemos con At a la matriz traspuesta de A. Averiguad para

qué valores de x, y, z se cumple la relación AAt = B.

47. [VALE] [JUN] Dado el sistema dependiente del parámetro real x+y+z = 1x+y+z = 1x+y+z = 1

, se pide:

a) Determinar, razonadamente, los valores de para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado eincompatible.b) Resolver el sistema cuando es compatible determinado.c) Obtener, razonadamente, la solución del sistema cuando = 0.

48. [VALE] [JUN] Sean I y A las matrices cuadradas siguientes: I = 1 00 1

, A = 17 29-10 -17

. Se pide calcular, escribiendo

explícitamente las operaciones necesarias:a) Las matrices A2y A3.




b) Los números reales y para los que se verifica (I+A)3 = I+A.

49. [VALE] [SEP] Dada la matriz A = 1 -12 4

y el vector X = xy

, se pide obtener razonadamente:

a) El vector X tal que AX = 0X.b) Todos los vectores X tales que AX = 3X.c) Todos los vectores X tales que AX = 2X.

50. [VALE] [SEP] Dado el sitema de ecuaciones lineales x+y+z = +32x-y+z = +13x+y+2z = 4

, se pide:

a) Probar que es compatible para todo valor de .b) Obtener razonadamente el valor de para el que el sistema es indeterminado.c) Resolver el sistema cuando = 0, escribiendo los cálculos necesarios para ello.

Soluciones

1. no; 80, 10, 40. 2. (a) 0, 1 (b) Si m=1: a,b,1-a-b 3. a) a = 1: inc.; a = 2: comp. ind.; a{1,2}: comp. det. b) (1-k,0,k) 4. a) 8 b) 65

, 15

,-25

5. (a) 2 (b) 1 6. a = -3:

comp.det. (1,0,1); a = 2: comp.indet. 4+8c7

,8+2c7

,c ; a{-3,2}: incomp. 7. 9 11-6 -7

8. b) (13,-4,5) 9. a) z = 1, y = 0, x; b) a 0; c) a+2a2

,-1a

, 13

10. a) a = -2: inc; a =

2: comp. ind; a{-2,2}: comp. det. b) 103

,73

,-32

11. a) A4 = 108A-243I b) 127

15 -9 -36 0 -3-6 9 12

12. 2 11 1

13. a) a = 1: comp. ind; a 1: incomp. b) inc. c) (1-2k,2-k,k) 14.

2 15. a) a = -1: inc; a = : comp. ind; a{-1,0}: comp.det b) (2-k,-1-k,k) c) 32

,2,-12

16. -3A 17. a{-1,2}: comp. ind: a{-1,2}: comp. det. 18. a) 1 0 0n 1 00 0 1

b) 1 0 0-n 1 00 0 1

19. a) no b) a = 3 c) a 3 20. -9, 6 21. a{-2,3}: comp. ind; a{-2,3}: comp. det ; (0,-k,k) 22. = 2: comp.ind. 4-c4

,-c4

,c ; = 7: comp.ind. (1+c,-4c,c) ; {2,7}:

comp.det. (1,0,0) 23. i) -{-1,1} ii) -12

2 -30 -1

24. i) 1, 3 ii) a ba b

, a,b 25. -45, - 19

, -3 26. a) 14

-2 34 2

b) M , n imparI2 , n par

27. m = 2: incomp; m = -1: comp.

indet; m{-1,2}: comp. det. 28. a) 0 -1 00 0 1-1 0 0

; -I b) 0 0 -1-1 0 00 1 0

. 29. a) si b) no 30. a= -32

: inc; a=3: c.i. a -32

,3 : c.d. 31. b 12

,1 : 2; b 12

,1 : 3 32. b) no

33. a=2: inc; a=0: c.i; a{0,2}: c.d. 34. (a) a = -1: inc. a = 1: comp. ind. a {-1,1}: comp.det. a+2a+1

, -1a+1

(b) -32

, 1 35. (a) 10 (b) 100 (c) 10000 36. a)

a -1,-1- 52

,-1+ 52

: rg(A) = 2; a -1,-1- 52

,-1+ 52

: rg(A) = 3 b) 14

0 4 -22 -2 00 -4 4

37. -k,0,k,43

38. 50 de 10, 75 de 20 y 100 de 50 39. -1 -2 -4-1 -1 -3-2 -2 -5

40. a = -1: b

= -2: comp.ind; b -2: inc. a -1: comp. det. 41. a = 1: 2; a 1: 3. 42. 1710

, 510

,-1910

43. a = 1: 1; a = -1: 2; a{-1,1}: 3 44. a{-2,-1}: b9, inc; b=9: comp.ind. ; a{-2,-1}:

comp. det. (b) 45. si ; 2 1-4 -2

46. 3, -3, 18 ; -3, 3, 18 47. a) = -2: incomp; = 1: comp. ind; {-2,1}: comp. det. b) 1+2

,, 1+2

, 1+2

c) 12

, 12

, 12

48. a) -1 00 -1

,

-17 -2910 17

b) -2, 2 49. a) 00

b) k-2k

c) k-k

50. = 0: comp. ind; 4-2k3

,5-k3

,k ; 0: comp. det.


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