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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL MARCEL SAINTARD VERA PRIMER SEMESTRE 2009 Para Curso LGEBRA II- USACH Material N6

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UNIDAD II: ESPACIOS VECTORIALES.

2.1.- CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL.

DEFINICION:

Consideremos una estructura de cuerpo que anotaremos (IK, +, ) y a cuyos elementos llamaremos escalares. Adems, un conjunto V de elementos que llamaremos vectores, y para los cuales se ha definido una igualdad o criterio de igualdad (=). Diremos que V sobre IK , anotado V(IK), es o constituye un espacio vectorial si y slo si cumple con los siguientes axiomas:

A.- De adicin vectorial: Al definir una operacin de adicin vectorial en V, como una funcin +: (VV) V tal que a cada par (v1, v2) le asigna un nico resultado v1 + v2 = v, la estructura (V, +) llega a ser un grupo abeliano, es decir, cumple los cinco axiomas que conocemos como clausura, asociatividad, existencia de neutro, existencia de inverso aditivo y conmutatividad.

B.- De ponderacin: Al definir una operacin ponderacin en V como una funcin pond.: (IK V) V tal que a cada par (, v) le asigna un nico resultado v, se cumple que , IK, v, v1, v2 V: B.1.- v V. (Pseudoclausura de la Ponderacin) B.2.- (v1 + v2) = v1 + v2. (Pseudodistributividad del escalar) B.3.- ( + ) v1 = v1 + v1 (Pseudodistributividad vectorial) B.4.- ()v1 = (v1) (Pseudoasociatividad ponderativa) B.5.- 1v = v (Pseudoneutro ponderador)

Como B.1.- es la definicin de la Ponderacin, podra considerarse como una exigencia previa, pero los otros cuatro axiomas son esenciales para que V(IK) llegue a ser un espacio vectorial y en muchos textos se les llama leyes del coeficiente.

En trminos prcticos, estaremos ante un espacio vectorial V(IK) cuando tengamos: 1.- Un cuerpo (IK, +, ) de escalares; 2.- Un conjunto V de vectores (con un criterio de igualdad vectorial), y 3.- Dos operaciones de adicin y ponderacin vectorial, que satisfagan las siguientes

propiedades:


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I) (V, +) cumple: II) La ponderacin cumple: i) clausura aditiva. i) Pseudoclausura de la ponderacin.

ii) asociatividad de la adicin. ii) Pseudodistributividad escalar.

iii) existe neutro aditivo (cero, nulo). iii) Pseudodistributividad vectorial.

iv) existe inverso aditivo (opuesto). iv) Pseudoasociatividad.

v) conmutatividad de la adicin. v) Ponderacin unitaria.

2.2.- MODELOS ILUSTRATIVOS.

2.2.1.- Trazos dirigidos en el Plano Geomtrico. 1) Sea IK = IR (Cuerpo)

2) Sea V=IR2 = {(x, y) / x IR y IR} el conjunto de pares ordenados reales que representan a la cabeza P(a, b) de un trazo dirigido OP que nace en el origen O(0, 0) del sistema de coordenadas ortogonales IR2. (Ver Figura A)

Si adems convenimos en que cada trazo dirigido estndar v (que nace en el origen) representar a la familia de trazos dirigidos del plano con igual direccin, sentido y magnitud (como v y v para v), entonces V es el conjunto de todos los trazos dirigidos del plano IR2. (Ver Figura B)

v

v v v

O a

y

b

y

O

P

x x

Figura A Figura B

3) En IR2 de trazos dirigidos y con escalares en (IR, +, ), se define: a) IGUALDAD: Diremos que dos trazos son iguales si sus

correspondientes trazos estndar tienen igual punto extremo terminal (cabezal) si v1(x1, y1) y v2(x2, y2) son los trazos estndar para AB y CD cualesquiera en el plano, entonces AB = CD si x1 = x2 y1 = y2.

(x, y) = (z, u) x = z y = u


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b) ADICIN VECTORIAL (Ley del paralelogramo)

Def. : v(x1, y1); w(x2, y2)IR2: v + w = (x1 + x2, y1 + y2) y y1 + y2 y1 v + w y2 v w 0 x1 x2 x1 + x2 x

c) PONDERACION VECTORIAL (Amplificacin)

Def. : IR, v(x1, y1) IR2: v = (x1, y1) y

y1 v y1 v 0 x1 x1 x

4.- Se verifican los axiomas de Espacio Vectorial. Hagmoslo.

I.- (IR2, +) es grupo abeliano pues cumple: Clausura: por definicin de la suma en V. Asociatividad: se hereda del Cuerpo IR en cada componente. Conmutatividad: se hereda del Cuerpo IR en cada componente. Existencia de neutro: 0v = (0, 0)

Existencia de opuesto: El opuesto de v(x, y) ser v = (x, y) II.- Leyes del coeficiente:

Consideremos , IR, v(v1, v2) y w(w1, w2) en IR 2, i) Por demostrar que (v + w) = v + w.

Dem.: (v + w) = (v1 + w1, v2 + w2) = [(v1 + w1), (v2 + w2)], Distrib. en IR = [v1 + w1, v2 + w2] = (v1, v2) + (w1, + w2) = (v1, v2) + (w1, w2) = v + w


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ii) Por demostrar que ( + )v = v + v. Dem.: ( + )v = ( + )(v1, v2) = [( + )v1, ( + )v2] Distrib. en IR = [v1 + v1, v2 + v2] = (v1, v2) + (v1, v2) = (v1, v2) + (v1, v2) = v + v

iii) Por demostrar que ()v = (v). Dem.: ()v = ()(v1, v2) = [()v1, ()v2] Asociat. en IR = [(v1), (v2)] = (v1, v2] = (v).

iv) Por demostrar que 1v = v. Dem.: 1v = 1(v1, v2) = (1v1, 1v2) Unidad en IR = (v1, v2) = v. Luego, IR2(IR) es un Espacio Vectorial.

2.2.2.- GENERALIZACIN: IRn = {(x1, x2,... , xn) / xi IR, i =1,... , n} es un espacio geomtrico ndimensional sobre IR en que los trazos dirigidos se asocian a un cabezal v(v1, v2,... , vn), con (v1, v2,... , vn)IRn = IR x IR x ... x IR

se puede definir : 1) v = w vi = wi , i = 1,... , n 2) v + w = (v1 + w1, v2 + w2,,.. , vn + wn)

3) v = (v1, v2,...., vn) Es fcil demostrar que IRn(IR) es espacio vectorial con estas operaciones. Es muy anlogo a IR2(IR).

Observacin: Note que IR(IR) es el espacio vectorial unidimensional de trazos OP , OQ sobre la recta numrica real

Q O P IR


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2.2.3.- Las matrices de tamao mxn, Mmxn(IR), son espacios vectoriales sobre IR con las operaciones de adicin y ponderacin matricial habituales (por componentes).

1) IK = IR. 2) V = Mmxn

3) A = B ssi aij = bij A + B = (aij + bij) , con A = (aij), B = (bij) Mmxn

A = (aij), con A = (aij) Mmxn Observacin: Mmxn rene matrices con elementos reales: Los Axiomas fueron

mencionados al inicio del tema de matrices

4) (Mmxn, +) era grupo abeliano

Mmxn(IR) cumple que , R: A, BMmxn : i) (A + B) = A + B ii) ( + )A = A + A iii) ()A = (A) iv) 1A = A

2.2.4.- Polinomios Formales del tipo anxn + an 1xn 1 + ....+ a2x2 + a1x + a0. 1) IK = IR.

2) V = IR[x], donde IR[x] es el conjunto de polinomios formales del tipo donde a01

1nn

0k1n

nn

kk axaxaxaxaxp +++==

= LL)( kIR, x es una

indeterminada, nINo, llamado grado de p(x). 3) a) Igualdad:

====

n

0k

kk

m

0k

kk xbxqxaxp )(;)(

en IR[x], son iguales, ssi m = n y ak = bk, k = 1,...,n. Ejemplo: ax3 + bx2 + cx + d = 3x3 5x2 + 3

ssi a = 3, b = 5 , c = 0 , d = 3 b) Adicin: para se define

====

n

0k

kk

m

0k

kk xbxqxaxp )(;)(

( ) k0k

kk xbaxqxpnmMax

=+=+

),(

)()(

c) Ponderacin: para IR y IR[x], =

=n

0k

kk xbxp )(

kn

0kk xbxp

== )()(


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Afirmacin: Si en IR[x] se considera Pn = {p(x)IR[x] / gr(p(x)) n }, conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que un n fijo en INo, podremos hablar de una familia de espacios vectoriales polinomiales, pues Pn(IR) es un espacio vectorial con estas operaciones ya que :

I.- (Pn, +) es un grupo abeliano al cumplir:

i) Clausura: note que Pkn0k

kk xba )(=

+ n ii) Asociatividad: Se hereda de la asociatividad en IR, en los

coeficientes de los polinomios.

( )[ ] kn0k

kkk xcba=

++ = ( )[ ] kn0k

kk xcb=

++ka

iii) con a=

=n

0k

kk xaxp )( k = 0, k = 1,...,n ser el neutro

aditivo. es polinomio nulo. Diremos que no

tiene grado.

=

=n

0k

kk x00

iv) Opuesto de , ser =

=n

0k

kk xaxp )( ( ) kn

0kk xaxp

== )(

v) Conmutividad: tambin se hereda de IR II.- Demuestre Usted las leyes del coeficiente.

Observacin: Son muchos los espacios vectoriales polinomiales, por ejemplo P2 = { ax2 + bx + c, con a, b, c IR } o bien Po = IR.

2.2.5.- Funciones como espacio vectorial:

Si definimos el conjunto V = F como el de las funciones reales continuas, { }continuasrealesfuncionesIf contnuas ,: IRRF = (podran ser con igual dominio) donde para f, g F, f = g si f(x) = g(x), xIR y definimos las operaciones : f + g : IR IR / (f + g)(x) = f(x) + g(x)

f : IR IR / (f )(x) = f(x), con IR podemos afirmar que F(IR) es un espacio vectorial con la suma y ponderacin de imgenes. Dejamos la demostracin a su cargo.

UNIDAD II: ESPACIOS VECTORIALES.

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