1

Bioestadística

Francisco Javier Barón LópezDpto. Medicina PreventivaUniversidad de Málaga – Españabaron@uma.es

2

Inferencia estadística

Hablar de la población, a pesar de haber estudiado sólo a una muestra:

Respuestas con probabilidad alta de acertar (típicamente 95%)

La respuesta la solemos dar en forma de: intervalo de confianza Contraste de hipótesis.

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Error típico/estándar

Es “misteriosillo”……al principio.

Es muy fácil de interpretar:El valor obtenido en la muestra se espera que

esté cerca del valor buscado en la población. ¿cómo de cerca? Hay una probabilidad del 95% de que no esté a

más de 2 errores típicos de distancia

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Aplic. de la normal: Estimación en muestras

Como ilustración mostramos una variable que presenta valores distribuidos de forma muy asimétrica. Claramente no normal.

Saquemos muestras de diferentes tamaños, y usemos la media de cada muestra para estimar la media de la población.

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Aplic. de la normal: Estimación en muestras

Cada muestra ofrece un resultado diferente: La media muestral es variable aleatoria.

Su distribución es más parecida a la normal que la original.

También está menos dispersa. A su dispersión (‘desv. típica del estimador media muestral’… ¿os gusta el nombre largo?) se le suele denominar error típico.

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Aplic. de la normal: Estimación en muestras

Al aumentar el tamaño, n, de la muestra:

La normalidad de las estimaciones mejora

El error típico disminuye.

7

Aplic. de la normal: Estimación en muestras

Puedo ‘garantizar’ medias muestrales tan cercanas como quiera a la verdadera media, sin más que tomar ‘n bastante grande’

Se utiliza esta propiedad para dimensionar el tamaño de una muestra antes de empezar una investigación.

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Tamaño de la muestra

Media Error estándar

Respuesta

10 mujeres 77 6 No hay evidencia en contra

100 mujeres 71 1.6 No

1000 mujeres 73 0.5 No

•El valor medio de BUA en mujeres jóvenes es de 85. ¿Las mujeres de las que se ha extraído la muestra, tienen una BUA similar?

•Dar respuesta con confianza del 95%

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Contrastando una hipótesis

No se si los fumadores pesarán

como el resto… unos 70Kg

(hipótesis nula)...

Son demasiados...

kg 85X

¡Gran diferencia!

Rechazo la hipótesis

Muestra aleatoria de fumadores

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¿Qué es una hipótesis?

Una creencia sobre la población, principalmente sus parámetros: Media Varianza Proporción/Tasa

OJO: Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del análisis.

Creo que el porcentaje de

enfermos será el 5%

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Introducción breve: ¿Los fumadores pesan más?

Veamos qué puede ocurrir si tomamos muestras de tamaño 4 y calculamos el peso medio… para cada caso.

70 75

En la población de no fumadores, el pesomedio es 70 kg.

¿Cómo podríamos ‘demostrar’ si los fumadores pesan más…... unos 5 kg más?

12

Decidir si los fumadores pesan más: Tamaño muestral

¿Qué puede ocurrir si tomamosmuestras de tamaño 30 y calculamos el peso medio?

70 75

13

Decidir si los fumadores pesan más: Tipos de error

Tomemos la decisión basándonosen muestras de tamaño 4...

Puedo cometer 2 tipos de error.

70 75

Se acepta que no hay diferencias

Se aceptaque sí hay diferencias

Error de tipo II

Error de tipo I

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Razonamiento básico

7085X

Si supongo que H0 es cierta...

... el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

¿qué hace un científico cuando su teoría no coincide con sus predicciones?

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Razonamiento básico

7085X

Si supongo que H0 es cierta...

... el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

Rechazo que H0 sea cierta.

16

Razonamiento básico

7072X

Si supongo que H0 es cierta...

... el resultado del experimento es coherente.

• No hay evidencia contra H0

•No se rechaza H0

•El experimento no es concluyente

•El contraste no es significativo

¿Si una teoría hace predicciones con éxito, queda probado que es cierta?

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Significación: p

H0: =70

18

Significación: p

72X

No se rechazaH0: =70

H0: =70

19

Significación: p

72X

No se rechazaH0: =70

Es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor del estadístico obtenido de la muestra. Es la probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H0. Es la probabilidad de que por puro azar obtengamos una muestra “más extraña” que la obtenida.p es conocido después de realizar el experimento aleatorioEl contraste es no significativo cuando p>

P

P

20

Significación : p

85X

Se rechaza H0: =70

Se acepta H1: >70

21

Significación : p

P

P

85X

Se rechaza H0: =40

Se acepta H1: >40

El contraste es estadísticamente significativo cuando p<Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori.

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Resumen: , p y criterio de rechazo

Sobre Es número pequeño,

preelegido al diseñar el experimento

Conocido sabemos todo sobre la región crítica

Sobre p Es conocido tras

realizar el experimento

Conocido p sabemos todo sobre el resultado del experimento

Sobre el criterio de rechazo Contraste significativo = p menor que

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Resumen: , p y criterio de rechazo

Sobre el criterio de rechazo Contraste significativo = p menor que

Estadísticos de contrastea

259753,500

462319,500

-2,317

,021

U de Mann-Whitney

W de Wilcoxon

Z

Sig. asintót. (bilateral)

Edad delencuestado

Variable de agrupación: Sexo del encuestadoa.

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Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presuntapresunta comisión de un delito comisión de un delito

H0: Hipótesis nula Es inocente No hay diferencias entre

grupos

H1: Hipótesis alternativa Es culpable Sí hay diferencias entre

grupos

Los datos pueden refutarla

La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario

Hipótesis nula y alternativa

No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

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Contrastes de hipótesis clásicos

Pruebas para comparar dos grupos Un grupo de individuos recibirá un tratamiento. Otro grupo ‘comparable’ recibirá un placebo. ¿Los resultados son similares?

¿Cómo medimos el resultado? Numéricamente

prueba t-student

Si/No, Sana/Enferma, … Prueba chi-cuadrado

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Problema: ¿Las diferencias numéricas obtenidas al comparar

dos tratamientos (o dos poblaciones) son lo suficientemente grandes como para que su única causa sea atribuible al azar?

Clasificación: Muestras independientes

Muestras apareadas/relacionadas

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Muestras relacionadas (apareadas)

Cómo: Observamos al mismo individuo dos veces

(antes/después,…)

O bien, hacemos parejas de individuos “parecidos”…

Cuándo: Cuando hay fuentes de variabilidad que pueden tener

un efecto grande con respecto a lo que medimos.

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Contrastes con muestras relacionadas Hipótesis Nula:

No hay diferencias entre las parejas de observaciones

Se rechazará cuando la muestra discrepe. (p es pequeño)

Hay diferentes aproximaciones: Paramétrica (T- Student)

No puede aplicarse así como así…

No paramétrica (Wilcoxon) Se puede aplicar siempre.

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Ejemplo:

Comparar la producción de maiz de dos tipos de semillas.

Las semillas influirán, pero posiblemente poco con respecto a otras variables:

Sol, viento, terreno,…

Idea: Probar los dos tipos de semillas en “idénticas” condiciones.

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Ejemplo: SemillasPrueba de muestras relacionadas

-33,7273 19,95135 -78,1816 10,7271 ,122Semilla tipo I -Semilla tipo II

MediaError típ. de

la media Inferior Superior

95% Intervalo deconfianza para la

diferencia

Diferencias relacionadas

Sig. (bilateral)

Estadísticos de contrasteb

-1,600a

,110

Z

Sig. asintót. (bilateral)

Semilla tipo II- Semilla tipo I

Basado en los rangos negativos.a.

Prueba de los rangos con signo de Wilcoxonb.

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Muestras independientes Problema:

¿La ingesta de calcio reduce la presión sanguínea?

Esquema de estrategia: Elegimos 2 muestras de individuos (independientes)

Unos toman dosis fija de calcio. Otros no. Experimental/Placebo

Alguna diferencia habrá en los resultados… ¿Se deben al azar?

Elección de un contraste y cálculo de significación.

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Muestras independientes Hipótesis Nula:

No hay diferencias entre los resultados de ambos grupos.

Al igual que antes… sigue habiendo diferentes aproximaciones:

Paramétrica (T- Student) No puede aplicarse así como así…

No paramétrica (Wilcoxon, Mann-Whitney) Se puede aplicar siempre.

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Muestras independientes: Ejemplo Se cree que la ingesta de calcio reduce la

presión sanguínea. Para contrastarlo se decidió elegir 2 muestras independientes:

Casos: A 10 individuos, se les asignó un tratamiento consistente en un suplemento de calcio durante 3 meses y se observó la diferencia producida en la presión arterial

la que había “antes” menos la que había “después”

Controles: A los 11 individuos restantes se les suministró un placebo y se midió también la diferencia.

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… y ahora la inferencia…Prueba de muestras independientes

,051 ,119 -12,02622 1,48077

,129 -12,25749 1,71204

Se han asumidovarianzas iguales

No se han asumidovarianzas iguales

EfectoSig.

Pruebade

Levenepara la

igualdadde

varianzasSig. (bilateral) Inferior Superior

95% Intervalo deconfianza para la

diferencia

Prueba T para la igualdad de medias

Estadísticos de contraste

40,500

,306

U de Mann-Whitney

Sig. asintót. (bilateral)

Efecto

35

Sobre las condiciones de validez (paramétrica) Igualdad en la dispersión

en cada muestra es algo a tener en cuenta. No es un problema para

dos muestras, !pero sí para casos más complicados!

Normalidad en cada muestra: Kolmogorov

-Smirnov

Placebo Calcio

Grupo

-10,00

0,00

10,00

20,00

Efe

cto

13

Pruebas de normalidad

,200 ,753,200 ,194

GrupoPlacebo

Calcio

EfectoSig. Sig.

Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk

36

-10 -5 0 5 10

Valor observado

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

No

rmal

esp

erad

o

para grupo= Placebo

Gráfico Q-Q normal de Efecto

-10 -5 0 5 10 15 20

Valor observado

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

No

rmal

esp

erad

o

para grupo= Calcio

Gráfico Q-Q normal de Efecto

Condición de normalidad

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Una variable numérica y varios grupos Problema:

¿Las diferencias numéricas obtenidas al comparar dos, tres o más tratamientos (o poblaciones) son lo suficientemente grandes como para que su única causa sea atribuible al azar?

Observar que generaliza lo anterior.

A la variable numérica que observamos se la suele llamar dependiente.

A la variable que clasifica a los individuos en diferentes grupos se la llama factor (o variable independiente).

A sus modalidades se les llama niveles del factor.

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Muestras independientes

Hipótesis Nula: No hay diferencias entre los niveles del factor.

Aproximaciones:

Paramétricas: ANOVA de un factor Es el caso más simple de toda una familia de técnicas muy

poderosas.

No paramétricas: Kruskal-Wallis.

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Muestras independientes Problema:

¿La ingesta de calcio reduce la presión sanguínea?

Esquema de estrategia: Elegimos 2 muestras de individuos (independientes)

Unos toman dosis fija de calcio. Otros no. Control/Placebo

Alguna diferencia habrá en los resultados… ¿Se deben al azar?

Elección de un contraste y cálculo de significación.

40

Muestras independientes: Ejemplo Ejemplo: Se realizó un experimento para comparar tres

métodos de aprendizaje de lectura. Se asignó aleatoriamente los estudiantes a cada uno de

los tres métodos. Los métodos de lectura son el factor (lo que explicará los

resultados).

Cada método fue probado con 22 estudiantes (experimento equilibrado). Cada método es uno de los niveles del factor

Se evaluó mediante diferentes pruebas la capacidad de comprensión de los estudiantes, antes y después de recibir la instrucción. Variables dependientes (numéricas).

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¿Problemas de diseño?

Los individuos fueron asignados al azar a cada grupo… ¿Se repartieron bien? ¿Tenían la misma puntuación “antes”?

No se encuentra evidencia en contra (p=0,436)

ANOVA

Antes

7,826 2 3,913 ,842 ,436

292,739 63 4,647

300,564 65

Inter-grupos

Intra-grupos

Total

Suma decuadrados gl

Mediacuadrática F Sig.

42

Sobre las condiciones de validez (paramétrica) Igualdad en la

dispersión en cada muestra (Levene)

Normalidad de cada muestra.

Pruebas de normalidad

,032 ,589,026 ,039,118 ,073

Grupo

ControlTécnica ITécnica II

pre1Sig. Sig.

Kolmogorov-Smirnov

Shapiro-Wilk

Prueba de homogeneidad de varianzas

Antes

,305 2 63 ,738

Estadísticode Levene gl1 gl2 Sig.

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Y ahora lo interesante…

Informe

Diferencia

9,8712 2,67505 22

13,5000 3,06283 22

13,0909 2,36918 22

12,1540 3,13531 66

GrupoControl

Técnica I

Técnica II

Total

Media Desv. típ. N

222222N =

Grupo

Técnica IITécnica IControl

Dife

renc

ia

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

¿Las tres técnicas de aprendizaje producen el mismo efecto?

44

Prueba de homogeneidad de varianzas

Diferencia

1,412 2 63 ,251

Estadísticode Levene gl1 gl2 Sig.

ANOVA

Diferencia

173,814 2 86,907 11,771 ,000

465,148 63 7,383

638,962 65

Inter-grupos

Intra-grupos

Total

Suma decuadrados gl

Mediacuadrática F Sig.

45

Análisis a posteriori de un ANOVA significativo

Comparaciones planeadas Hay que ser honestos

Comparaciones no planeadas (post-hoc) Muy conservadoras

Para que las diferencias sean significativas, tienen que serlo muuuucho.

46

Versión no paramétrica (Kruskal Wallis)

No requerimos ninguna condición que sea de comprobación difícil.

Estadísticos de contrastea,b

18,042

2

,000

Chi-cuadrado

gl

Sig. asintót.

Diferencia

Prueba de Kruskal-Wallisa.

Variable de agrupación: Grupob.