1. La curva C es definida implícitamente por la expresión:

3 y - x - 2x + y + 7 = 0Sea la función compuesta , donde es una función real. Suponga que . ¿Cuál es la variación en la cota de F si a partir del Punto (1,2) se desplazan los valores del dominio 0.05 unidades, en la dirección del vector normal a la curva C en el punto (-2, -1)?

---------------------------------------------------------------------------

= f(g(x, y))

Obtencion de

Completemos el diagrama con el punto obtenido.

Teorema de la funcion compuesta

Gradiente de f(u,v) = ( fu, fv) 0 fu = -1 fv=1

=

Como F es real JF y tienen las mismas componentes.

Variación de la cota de F

DERIVADA DIRECCIONAL DE F EN LA DIRECCION DE û

Obtencion de la direccion normal a la curva definida por:

h(x, y) = 3 y - x - 2x + y + 7 = 0 en el punto (-2, -1).

Vh = ( )

(simplificando la direccion) Direccion unitaria

û =

Vh(1,1) =(3,2)Derivada Direccional

Variación de la cota de F

=

2. Sean las funciones:

g(u,v)= ( , , )

Y sabiendo que la función F(x, y, z, u, v) define implícitamente a la función f(x, y, z) = (u, v). Diga si es posible invertir a la función compuesta H = g+f en un entorno del punto (1, 2, -1).

-------------------------------------------------------------------------------------------

> >

> >

F(1, 2, -1, u0, v0) =

= g(u0, v0) = g(-2, -1)

Actualicemos el diagrama con los puntos obtenidos.

Teorema de la funcion compuesta

Jg = =

=

=

Teorema de la funcion implicita

=

Teorema de la funcion compuesta

Si el determinante de JH es diferente de cero, se puede invertir la función H.

NO se puede invertir la función H. en el punto dado.

3. Sea la función:

= 0La cual en un entorno del punto (x0, y0, z0) = (2, -2, 1) define implícitamente a la función z = f(x, y). Encuentre la ecuación vectorial del plano tangente a la superficie definida por f en el punto (x0, y0, z0).--------------------------------------------------------------------------------

= 0

)

=

Teorema de la funcion implicita

=

Ecuacion del plano tangente a la superficie definida de manera explicita por: z=f(x,y)

(

z =

z =

z =

Para la ecuacion vectorial encontremos dos vectores ortogonales a la normal del plano. (Se anula una componente y se invierten las otras dos, cambiandole el signo a una de ellas.)

vn = (10, -4, 3)

Ecuacion vectorial:

4. En un cultivo de bacterias aeróbicas, la concentración de oxígeno, medida con un sistema coordenado XY, está dado por:

C(x,y) = 18 Una bacteria se encuentra en el punto de coordenadas (2, 0). Dibuje la trayectoria de movimiento que deberá efectuar la bacteria para que

Su concentración de oxigeno aumente continuamente. -----------------------------------------------------------------

( )

___________________________________________________________________________________

Obtencion del Gradiente de f___________________________________________________________________________________

Vf = (-2x+2, -4y+1)

La direccion de Maximo incremento es la direccion del gradiente de f.

Dir_Max_Incremento = ( fx, fy ) La pendiente de esta direccion serà

En cada punto de la trayectoria la pendiente de la recta tangente a la grafica de la trayectoria, en ese punto, es la direcion del movimiento en ese punto. por lo tanto la ecuacion de movimiento tendria la siguiente forma:

que es una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden y de variables separadas.

=

0

0

0 (se agruparon las constantes en una sola)

0

(x, y) = (

0

=

--------------------------------------------------------------------

FORMA 1

Se tomó a x = radio de la semicircunferencia.

Funcion a optimizar :

Volúmen = Area de la base por altura = y

f(x,y) =

Restriccion: Superficie exterior = 24 m

g(x, y) = + (2x y) + ( )y = 24

g(x, y) = +2x y + x y = 24

Funcion de Lagrange

=

=

0 x = y =

Dimensiones:

Radio de la semicircunferencia = 2.257 Altura = 1.379

Volumen máximo = 11.03

FORMA 2

Se tomó a x = radio de la semicircunferencia.

Funcion a optimizar :

Volúmen = Medio cilindro de altura y = y

f(x,y) =

Restriccion: Superficie exterior = 24 m

g(x, y) = + ( )y = 24

g(x, y) = + x y - 24 = 0

Funcion de Lagrange

= x y

=

x y

0 x = y =

Dimensiones:

Radio de la semicircunferencia = 1.596 Altura = 3.192

Volumen máximo = 12.766

6. Determine en qué punto del primer cuadrante la tangente a la elipse

= 0 forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima en el primer cuadrante. Diga cuál es el valor de ésta área mínima.-----------------------------------------------------------------------------------------

Funcion a optimizar : Área del triángulo =

f(x, y) =

Restriccion: Punto sobre la elipse = 36

g(x,y) = - 36 = 0

Ecuacion de la recta tangente en (x0,y0)g define implícitamente a la elipse, por lo tanto el evaluado enel punto ( s normal a la elipse en ese punto.

( = (18x , 8y )

El vector director de la recta es normal a este gradiente, por lo tanto:

Vd = (-8 , 18 )

Ecuación vectorial de la recta tangente: (x,y) = (

El Punto (A,0) pertenece a la recta (A,0) = (

El Punto (0, B) pertenece a la recta (0,B) = (

Area del triangulo:

Funcion a optimizar : f(x, y) =

Restriccion: g(x,y) = - 36 = 0

METODO DE SUSTITUCION DIRECTASe despeja y de la restricción:

- 36 = 0 0 y = raiz positiva. ( y >0 en este caso).

Se sustituye en la función f(x,y) y se construye una función h(x) de una sola variable:

> >

h(x) = 0

h(x) =

h'(x) = =

h'(x) =

h'(x) = 0 0

y =

Punto del primer cuadrante: (x, y) =

NOTA: Puede comprobarse que este valor de area es mínima, evaluando el signo de la segunda derivada de h(x)

h'(x) = 0

h''(x) =

h''( ) = 12 > 0 minimo en x = de valor 6

7. Se requiere construir un contenedor metálico rectangular cerrado,

utilizando 60 de láminas de acero que deben ser soldadas a lo largo de todas sus aristas. Diga cuál es el volumen de la caja cuyas dimensiones minimizan el costo de la soldadura. Sabiendo que el precio de la misma es de 500 Bs/m.----------------------------------------------------------------------------------

Se desea minimizar el costo de la soldadura de 500 bs el metro. Por lo tanto, se requiere minimizar la longitud total de las aristas a soldar.Longitud de las aristas =

Funcion a optimizar : Costo de la soldadura =

f(x,y) =

Restriccion: Superficie exterior = 2 x y + 2 x z + 2 y z = 60 m g(x, y) = 2(x y + x z + y z) - 60 =0

Funcion de Lagrange

=

=

0 = 0

x = y = z =

Volumen =

Costo minimo = f , , = 6000

Volumen =

Prof.Amabiles Nuñez