Dpto. Física y Mecánica

d b d

p y

Fuerzas distribuidas

1 Centro de gravedad centro de masas1. Centro de gravedad, centro de masas2. Momento de inercia

Cálculo de centroides y centros de gravedad

Introducción. Fuerzas distribuidas

Cálculo de centroides y centros de gravedad

Momento de inercia. Propiedades. Cálculo

Producto de inercia respecto a dos rectas.

Momento de inercia respecto a una recta R

Teorema de Steiner

Momentos y direcciones principales de inerciaMomentos y direcciones principales de inercia

Círculo de Mohr

Cuádrica de inercia

OCW-UPM

En el tratamiento de las fuerzas distribuidas no es muy difícilencontrar la resultante de estas fuerzas distribuidas.encontrar la resultante de estas fuerzas distribuidas.

Para que la resultante tenga el mismo efecto que las fuerzasdistribuidas ésta debe actuar en un punto denominadodistribuidas, ésta debe actuar en un punto denominadocentroide del sistema

OCW-UPM

El centroide de un sistema es un punto en el que puedeconsiderarse que está concentrado un sistema de fuerzasconsiderarse que está concentrado un sistema de fuerzasdistribuidas, con el mismo efecto exactamente.

Este concepto se encuentra en el análisis de esfuerzos ydeformaciones de vigas y árboles, y es conocidocomúnmente con el nombre de primer momentocomúnmente con el nombre de primer momento.

OCW-UPM

Z

Centroide de un sistema material discreto

n

(x y z )

1 1 2 2 1... i in n i

C

m xm x m x m xx

m m m M=+ + +

= =+ + +

∑mi(xi, yi, zi) 1 2 ... nm m m M+ + +

n

∑zi 1 1 2 2 1

1 2

......

i in n i

Cn

m ym y m y m yy

m m m M=+ + +

= =+ + +

∑

Y

xi

1 2 n

n

∑X

yi1 1 2 2 1

1 2

......

i in n i

C

m zm z m z m zz

m m m M=+ + +

= =+ + +

∑X 1 2 ... nm m m M+ + +

OCW-UPM

Centroide de un sistema material continuo

∫∫∫ZV

VC

xdmx

M=∫∫∫

M

ydm∫∫∫z

VC

ydmy

M=∫∫∫

Yzdm∫∫∫x

yV

Cz M=∫∫∫

X

OCW-UPM

Momento de inercia respecto a un eje

ω ωii rv =

rmi

2 2 2 2 21 1 1n n n

E m v m r m rω ω= = =∑ ∑ ∑

mi

1 1 12 2 2C i i i i i ii i i

E m v m r m rω ω= = =

= = =∑ ∑ ∑

212C ejeE I ω= ∑=

n

iiieje rmI

1

2

2 j=i 1

OCW-UPM

M d i i j lMomentos de inercia respecto puntos, ejes y planos

2 2 2 2( )n n

OI m r m x y z= = + +∑ ∑1 1

( )O i i i i i ii i

I m r m x y z= =

+ +∑ ∑Z

2

1

n

YOX i iI m z=∑ mi(xi, yi, zi)

1i=

2n

∑ ziri

2

1YOZ i i

iI m x

=

= ∑ zi

Y

2n

XOZ i iI m y=∑xi

yi

Y

1XOZ i i

iy

=∑ yi

X

OCW-UPM

M d i i j lMomentos de inercia respecto puntos, ejes y planos

2 2( )n

I m y z I I+ +∑1

( )OX i i i XOY XOZi

I m y z I I=

= + = +∑

2 2( )n

OY i i i XOY YOZI m x z I I= + = +∑1i=

2 2n

∑ 2 2

1( )OZ i i i XOZ YOZ

iI m x y I I

=

= + = +∑1 ( )2O OX OY OZ XOY XOZ YOZI I I I I I I= + + = + +2

OCW-UPM

El momento de inercia respecto a un punto es la suma dep plos momentos de inercia respecto a tres planosperpendiculares entre sí que se corten en dicho punto

O XOY XOZ YOZI I I I= + +O XOY XOZ YOZ

El momento de inercia respecto a un punto es la semisumaEl momento de inercia respecto a un punto es la semisumade los momentos de inercia respecto a tres ejesperpendiculares entre sí que se corten en dicho punto

1 ( )O OX OY OZI I I I= + +( )2O OX OY OZI I I I+ +

OCW-UPM

El momento de inercia respecto a un punto es la suma delp pmomento de inercia respecto a un eje y el momento deinercia respecto a un plan perpendicular a él que se corten endi h tdicho punto

I I I I I I I= + = + = +O OZ XOY OY XOZ OX YOZI I I I I I I= + = + = +

El t d i i t j l d lEl momento de inercia respecto a un eje es la suma de losmomentos de inercia respecto a los dos planosperpendiculares entre sí que se corten en dicho ejeperpendiculares entre sí que se corten en dicho eje

OX XOY XOZI I I= + YOZXOYOY III += YOZXOZOZ III +=OX XOY XOZ YOZXOYOY YOZXOZOZ

OCW-UPM

T d St i

Z

El momento de inercia respecto a un

Teorema de Steiner

p

punto O es la suma del momento de

inercia respecto al centro de

G

inercia respecto al centro de

gravedad G y de la masa total delG

sistema por el cuadrado de la

distancia que separa los puntos G y

YOd1 O

2I I Md= +X 1O GI I Md= +X

OCW-UPM

T d St i

Z El momento de inercia respecto a un

Teorema de Steiner

d2eje cualquiera (OZ) es la suma del

momento de inercia respecto a unmomento de inercia respecto a un

eje paralelo que pase por el centro

G de gravedad G (Eje CZ) y la masa

total del sistema por el cuadrado de

YO

la distancia que separa los dos ejes

X

O22OZ GZI I Md= +

X

OCW-UPM

T d St i

El momento de inercia respecto

Teorema de Steiner

Z a un plano cualquiera (XOY) es

la suma del momento de inercia

G

la suma del momento de inercia

respecto a un plano paralelo que

pase por el centro de gravedad

G (Plano XGY) y la masa total

YO

d3 del sistema por el cuadrado de la

distancia que separa los dos

2I I MdX

distancia que separa los dos

planos23XOY XGYI I Md= +

OCW-UPM

T d St iTeorema de Steiner

El momento de inercia respecto a un punto, eje o plano es

igual al momento de inercia respecto a un punto eje oigual al momento de inercia respecto a un punto, eje o

plano paralelo al anterior y que pase por el centro de

gravedad, mas la masa total del sistema por el cuadrado

de la distancia que separa ambos puntos, ejes o planos

OCW-UPM

P d t d i i t d tProducto de inercia respecto a dos rectas

YYRespecto a las rectas OX, OY

mi

n

P m x y=∑mi

1XY i i i

i

P m x y=

=∑yi

xiX

OCW-UPM

Producto de inercia respecto a dos rectas A y B

Respecto a las rectas OX, OY

AY n

XY i i iP m x y=∑B

ai

b

Ai 1XY i i i

iy

=∑

n

bi

yi

Respecto a las rectas A, B

1

n

AB i i ii

P Aa b=

=∑yi

xi

Xα β

1i=i

OCW-UPM

Producto de inercia respecto a dos rectas A y B

ai m

AY D

iCD x senα=i mi

xi CO

α

yiE

D mi

xi CO

α

XyiE

CECDai −=αα cosysenxa =

E

C

α

αα cosiii ysenxa −= CαcosiyCE =OCW-UPM

Y

Producto de inercia respecto a dos rectas A y B

Y

FC βF

Bbi

mi

F

cosiFC y β=β yi

yiG C

xi X

β

O CG

iGC x senβ=i

O xi C

βib FC CG= −

cosb y x senβ β icosi i ib y x senβ β= −

OCW-UPM

Producto de inercia respecto a dos rectas A y B

∑∑nn

=−−== ∑∑==

)cos)(cos(11

ββαα senxyysenxmbamP iiiii

iiii

iAB

OYOXXYAB IIPP βαβαβα sensencoscos)sen( −−+=

OCW-UPM

Teorema de Steiner para productos de inercia

El producto de inercia respecto a dos rectas cualesquiera es igual a la suma al producto de inercia respecto a dos rectas paralelas a las anteriores que pasen por el centroide y elparalelas a las anteriores que pasen por el centroide y el producto del área de la figura por las distancias entre las rectasrectas

OCW-UPM

Z

Momento de inercia respecto a una recta R

P(x,y,z)

Z

Aid

2n

I Ad=∑R

d1

R ii

I Ad=

=∑ϕ

Y Rd OP sen OP uϕ= = ∧

ϕ

XY

OP xi yj zk= + +

cos cos cosRu i j kα β γ= + +R jβ γ

OCW-UPM

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos ( ) cos ( ) cos ( )2 2 2

d y z x z x yα β γβ β

= + + + + + −2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosxy xz yzα β α γ β γ− − −

2 2 2I I I Iβ2 2 2cos cos cos2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosR OX OY OZ

XY XZ YZ

I I I IP P P

α β γα β α γ β γ

= + + −

− − −

OCW-UPM

2 2 2cos cos cosR OX OY OZI I I Iα β γ= + + −2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosXY XZ YZP P Pα β α γ β γ− − −

En el planoEn el plano

2 2cos cos 2 cos cosR OX OY XYI I I Pα β α β= + −Y

R

α

β2 2cos sen sen2R OX OY XYI I I Pα α α= + −

αX

OCW-UPM

Di i t i i l d i iDirecciones y momentos principales de inercia

De todas las posibles orientaciones hay algunas que proporcionan valores máximo y mínimo del momento de inercia

OCW-UPM

Mét d d l lti li d d LMétodo de los multiplicadores de Lagrange

Espacio tridimensionalEspacio tridimensional

Espacio bidimensionalp

Método del círculo de Mohr (gráfico). Bidi i lBidimensional

OCW-UPM

é

2 2 2cos cos cosR OX OY OZI I I Iα β γ= + + −

Método de los multiplicadores de Lagrange. Tridimensional

2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosR OX OY OZ

XY XZ YZP P Pα β α γ β γ− − −

2 2 2( , , ) 0 cos cos cos 1 0f α β γ α β γ= + + − =

0R R RR

I I IdI d d dα β γα β γ

∂ ∂ ∂= + + =∂ ∂ ∂ Máximo o mínimo(1)β γ

0f f fdf d d dα β γ∂ ∂ ∂= + + = (2)0df d d dα β γ

α β γ+ +

∂ ∂ ∂(2)

(1) (2) 0 Mé d d l l i li d d L(1)-λ(2)=0 Método de los multiplicadores de Lagrange

OCW-UPM

( )cos cos cos 0OX XY XZI P Pλ α β γ− − − =( )( )

cos cos cos 0

cos cos cos 0OX XY XZ

XY OY YZ

I P P

P I P

λ α β γ

α λ β γ− + − − =( )( )cos cos cos 0

XY OY YZ

XZ YZ OZP P I

β γ

α β λ γ− − + − =( )

λ PPI0=

−−−λ

λ XZXYOX

PIPPPI

0=−−−

−−−λ

λ

O

YZOYXY

IPPPIPλOZYZXZ IPP

OCW-UPM

23 0 λλλλλλ →=+++ DCBA 321 ,,0 λλλλλλ →=+++ DCBA

( )cos cos cos 0I P Pλ α β( )( )

cos cos cos 0

cos cos cos 0OX XY XZI P P

P I P

λ α β γ

α λ β γ

− − − =

− + − − =( )( )

cos cos cos 0

cos cos cos 0XY OY YZ

XZ YZ OZ

P I P

P P I

α λ β γ

α β λ γ

− + − − =

− − + − =

Rrecta→→ λβαλ

( )cos cos cos 0XZ YZ OZP P Iα β λ γ+

22222

11111

,,,,

RrectaRrecta

→→→→

λβαλλβαλ

33333 ,, Rrecta→→ λβαλOCW-UPM

βαβα coscos2coscos 22XYOYOXR PIII −+=

Método de los multiplicadores de Lagrange. Bidimensional

βαβα coscos2coscos XYOYOXR PIII +

2 2( ) 0 cos cos 1 0f α β α β= + − =

Má i í i

( , ) 0 cos cos 1 0f α β α β+

(1)0R R

RI IdI d dα βα β

∂ ∂= + =∂ ∂

Máximo o mínimo(1)

β

f f∂ ∂ 0f fdf d dα βα β∂ ∂

= + =∂ ∂

(2)

(1)-λ(2)=0 Método de los multiplicadores de LagrangeOCW-UPM

( )cos cos 0OX XYI Pλ α β− − =( )( )cos cos 0

OX XY

XY OYP I

β

α λ β− + − =( )XY OY

0=−−

λλ XYOX

IPPI−− λOYXY IP

( ) 0)( 22 =++ PIIIIλλ ( ) 0)( =−+−−+ XYOYOXOYOX PIIIIλλOCW-UPM

( ) 0)( 22 =−+−−+ PIIIIλλ ( ) 0)( =++ XYOYOXOYOX PIIIIλλ

( ) ( )( ) ( )2

4 22XYOYOXOYOXOYOX PIIIIII −−+±+

=λ

( )cos cos 0OX XYI Pλ α β− − =( )( )cos cos 0

OX XY

XY OYP I

β

α λ β− + − =

1111 , Rrecta→→ βαλ

2222 , Rrecta→→ βαλOCW-UPM

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

24

2 2 4OX OY OX OY OX OY XY OX OYOX OY

OX OY XY

I I I I I I P I II I I I Pλ+ ± + − − ++

= == ± − − =

( )2 2 2 2

2

2 2

2 4 42 2 2 4

2

OX OY OX OY OX OY OX OX OX OY OX OY XYOX OY XY

I I I I I I I I I I I I PI I P

I I I I I I I I I I

+ + + + + − +⎛ ⎞= ± − − = ± =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞22 2

222 4 2 2

OX OY OX OX OX OY OX OY OX OYXY

I I I I I I I I I IP+ + − + −⎛ ⎞= ± + = ± ⎜⎝

22

XYP+⎟⎠

2I I I I⎛ ⎞ 2

2 2OX OY OX OY

XYI I I I Pλ + −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

OCW-UPM

Cí l d M hCírculo de Mohr

IOX > IOY

PXY>0

A (IOX, PXY)

R

• II •C

ED

ImaxImin

B (IOY, -PXY)

OCW-UPM

IOX

R

PXY

● CD E

2ϕ

I i

●Imax2

OX OYI I−Imin max

-PXY

2

I 2I I⎛ ⎞IOY 2

2OX OY

XYI IR P−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠OCW-UPM

OX OY OX OYI I I II I CE R I R R− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟min 2 2

OX OY OX OYox oxI I CE R I R R= − − = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

max min 2 22 2

OX OY OX OYI I I II I R R R R+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

max min 2 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22OX OY OX OY OX OYI I I I I II R P λ+ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞± ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟2

max,min 2 2 2OX OY OX OY OX OY

XYI R P λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± = ± + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

OCW-UPM

Cuádrica: Es una superficie en el espacio n-dimensionalrepresentada por una ecuación de segundo grado en susrepresentada por una ecuación de segundo grado en susvariables

2 2 2 1Ax By Cz Dxy Exz Fyz G+ + + + + + =1Ax By Cz Dxy Exz Fyz G+ + + + + +

OCW-UPM

ád dCuádrica de inercia

Recta R

• P(x y z)P(x,y,z)

Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que cumplenEs el lugar geométrico de los puntos del espacio que cumplen que el módulo del vector que une el origen de coordenadas y un punto P de una recta R, es la inversa de la raíz cuadrada del momento de inercia respecto a dicha recta

OCW-UPM

2 2 2cos cos cosR OX OY OZI I I Iα β γ= + + −

2 cos cos 2 cos cos 2 cos cosR OX OY OZ

XY XZ YZP P Pβ γ

α β α γ β γ− − −

)coscos(cos kjiOPkzjyixOP γβα ++=++=

x ycos R

x x IOP

α = = cos Ry y I

OPβ = = cos R

z z IOP

γ = =

2 2 21 2 2 2OX OY OZ XY XZ YZI x I y I z P xy P xz P yz= + + − − −1 2 2 2OX OY OZ XY XZ YZI x I y I z P xy P xz P yz+ +

OCW-UPM

2 2 21 2 2 2I I I P P P+ +2 2 21 2 2 2OX OY OZ XY XZ YZI x I y I z P xy P xz P yz= + + − − −

OXR II =

cos OXx x I

OPα = =

• P(x,0,0)cos 0OY

y y IOP

β = = =P(x,0,0)

cos 0OXz z I

OPγ = = =

OP

OCW-UPM

Si las direcciones son principales

2221 III ++

los productos de inercia son nulos

2221 zIyIxI OZOYOX ++=

Ecuación de un elipsoide deEcuación de un elipsoide de semiejes a, b, c

2 2 22 2 2

2 2 21 x y za b c

= + +

1aI

= 1bI

=1cI

= Elipsoide de inerciaOXI

OYI OZI p

OCW-UPM

l l l ió d liEn el plano, la ecuación corresponde a una elipse

l d l l d d lSi las direcciones son principales los productos de inercia son nulos

2b

y2 21 OX OYI x I y= +

2a 2 2x yEcuación de una elipse de semiejes a, b 2 21 x y

a b= +

a 1= b 1

=OXI

a =OYI

b =

OCW-UPM