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20/03/2015
1
nI :r
CAPTULO I
FUNCION VECTORIAL FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE DE UNA VARIABLE
REALREAL
CLCULO VECTORIAL
SESIN 1
Rosa ique Alvarez 2
LOGRO: Al final de la unidad el alumnodescribe las caractersticas geomtricas deuna curva para luego visualizarlo usandoMatlab.
CAPTULO ICAPTULO I
FUNCION VECTORIAL DE FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REALUNA VARIABLE REAL
Rosa ique Alvarez 3
LaLa riquezariqueza geomtricageomtrica dede unauna curvacurva sese concretaconcreta conconloslos temastemas dede curvaturacurvatura yy torsintorsin laslas quequedescribendescriben elel comportamientocomportamiento locallocal dede lala curvacurva..
ESPIRALRosa ique Alvarez 4
Rosa ique Alvarez 5
FUNCION VECTORIAL DE FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REALUNA VARIABLE REAL
( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 Lr
niIx i K,2,1,: =
)(:
ttI n
rr
Rosa ique Alvarez 6
INTERPRETACIONINTERPRETACION
I
n
t
(t)r
r
)(:
ttI n
rr
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20/03/2015
2
Rosa ique Alvarez 7
Caso particular: Caso particular: n n =3=3
( ) 3)(,)(),()( = tztytxtr
( ) ( ) ( )kjir tztytxt ++=)(
)(: 3
ttI
rr
Rosa ique Alvarez 8
Para Para nn = 3= 3
)(trt
Ir
( ) ( ) ( )kjir tztytxt ++=)(
Rosa ique Alvarez 9
DOMINIO RANGO E IMAGENDOMINIO RANGO E IMAGEN
( ) ( ){ }ini xDomtItDom 1==r
)( ( ){ } nI = rrIm
( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 Lr
)(:
ttI n
rr
Rosa ique Alvarez 10
Grafico de CurvasGrafico de Curvas
{ }= IttPPC n ),(: r
( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 Lr
)(:
ttI n:C
rr
Rosa ique Alvarez 11
CURVASCURVASFORMA VECTORIAL
FORMA PARAMTRICA
==
=
)()()(
:tzz
Ittyytxx
C
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) IttztytxtC
IttztytxtC=
++=;,,)(:
;)(:rr kji
Rosa ique Alvarez 12
EJEMPLO 1EJEMPLO 1 HLICE CIRCULAR o ESPIRAL CIRCULAR
( ) [ ]p= 6,0;,,cos)( ttsentttr
[ ]
=p=
=
tztsenty
txC 6,0
cos:
x2 + y2 = 1
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Rosa ique Alvarez 13
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
10
5
10
15
20
X
Hlice Circular
Y
Z
ESPIRAL
( ) [ ]p= 6,0;,,cos)( ttsentttrSUPERFICIESSUPERFICIES
Rosa ique Alvarez 14
CILINDROS
SUPERFICIES CUADRTICAS
OTROS
Rosa ique Alvarez 15
CILINDROCILINDRO CIRCULAR RECTOCIRCULAR RECTO222 Ryx =+
CILINDROCILINDRO
Rosa ique Alvarez 16
Un cilindro se genera al mover una rectaque recorre la curva paralela al eje decoordenadas que es representada por lavariable que falta en su ecuacin.
CILINDROCILINDRO
Rosa ique Alvarez 17 Rosa ique Alvarez 18
EJEMPLOS DE EJEMPLOS DE CILINDROSCILINDROS
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4
Rosa ique Alvarez 19
EJEMPLOS DE EJEMPLOS DE CILINDROSCILINDROS SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS
Rosa ique Alvarez 20
ELIPSOIDE
122
2
2
2
2
=++cz
by
ax
a>0,b>0,c>0
SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS
Rosa ique Alvarez 21
PARABOLOIDE ELPTICO a b
2
2
2
2
by
axz +=
a>0,b>0
SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS
Rosa ique Alvarez 22
PARABOLOIDE CIRCULAR
22 yxz +=
SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS
Rosa ique Alvarez 23
CONO ELPTICO, a b
2
2
2
2
2
2
by
ax
cz
+=
a>0,b>0,c>0
SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS
Rosa ique Alvarez 24
CONO CIRCULAR
222 yxz +=
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SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS
Rosa ique Alvarez 25
122
2
2
2
2
=-+cz
by
ax
a>0,b>0,c>0
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS
Rosa ique Alvarez 26
122
2
2
2
2
=--by
ax
cz
a>0,b>0,c>0
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS
Rosa ique Alvarez 27
2
2
2
2
ax
byz -=
a>0,b>0PARABOLOIDE HIPRBOLICO
Rosa ique Alvarez 28
CURVASCURVASUNA CURVA TAMBIN SE OBTIENE ALINTERSEPTAR DOS O MASSUPERFICIES
Rosa ique Alvarez 29
Cilindro, S1: x2 + y2 = 1
Plano, S2: y + z = 2
EJEMPLO 2: Interseccin de EJEMPLO 2: Interseccin de superficiessuperficies
Rosa ique Alvarez 30
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6
Rosa ique Alvarez 31
( )p
-++=
-=p=
=
202cos)(
220
cos:
: 21
ttsensentttC
tsenzttseny
txC
SSC
kjir:
S2: y + z = 2S1: x2 + y2 = 1
Rosa ique Alvarez 32
ElipseElipse ( )p20
2cos)(
-++=t
tsensentttC kjir:
Rosa ique Alvarez 33
EJEMPLO 3: Interseccin de EJEMPLO 3: Interseccin de superficiessuperficies
Cilindro, S1: y = x2
Cilindro, S2: z = x3
Rosa ique Alvarez 34
SS11:y = x:y = x2 2 yy SS22 : z = x: z = x33
Rosa ique Alvarez 35
22;)(:
22:
:
32
3
2
21
-++=
=
-=
=
tttttC
tztty
txC
SSC
kjir
SS11:y = x:y = x2 2 yy SS22 : z = x: z = x33
Rosa ique Alvarez 36
Cbica Alabeada Cbica Alabeada ( ) 22;,,)(: 32 -= tttttC r
-2 -1.5 -1 -0.50 0.5 1 1.5
20
12
34-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
X
CUBICA ALABEADA
Y
Z
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7
Rosa ique Alvarez 37
GRAFICA DE CURVAS GRAFICA DE CURVAS USANDO MATLABUSANDO MATLAB
Rosa ique Alvarez 38
( ) [ ]battztytxtrC ,;)(),(),())(: =
t x(t) y(t) z(t) P = r(t)
t1=a x1=x(t1) y1=y(t1) z1=z(t1) (x1, y1, z1)
t2 x2=x(t2) y2=y(t2) z2=z(t2) (x2, y2, z2)
t3 x3=x(t3) y3=y(t3) z3=z(t3) (x3, y3, z3)
tn=b xn=x(tn) yn=y(tn) zn=z(tn) (xn, yn, zn)
Rosa ique Alvarez 39
COMANDO DESCRIPCIN
variable=linspace[a, b, n]Define el vector variable cuyoprimero y ltimo elementos son a y b,y que tiene en total n elementosuniformemente espaciados entre s.
plot3(x, y, z)Dibuja el conjunto de puntos (x, y, z)donde x, y, z son vectores fila omatrices del mismo tamao.
plot3(x, y, z, S)Grfica de plot3(x, y, z) con lasopciones definidas en S. Usualmente Sse compone de dos valores entrecomillas simples, el primero de loscuales fija el color de la lnea delgrfico y el segundo es el carcter ausar en el grfico.
Rosa ique Alvarez 40
COMANDO DESCRIPCIN
comet3(x, y, z) Grfica en forma dinmica lospuntos (x(t), y(t), z(t)) de la curva C.
quiver3(x,y,z,u,v,w) Dibuja los vectores de componentes (u,v,w) en los puntos (x,y,z).
set(H,propiedad 1, propiedad 2,.) Sita las propiedades especificadas en el objeto H.
clear Borra todas las variables de laventana de comandos.
clc Limpia la ventana de comandos.
Rosa ique Alvarez 41
COMANDO DESCRIPCION
clf Borra la figura actual de la ventana degrficos.
reset Restablece las propiedades de objetosgrficos a sus valorespredeterminados.
pauseCausa la interrupcin de la ejecucinde un M-fichero hasta que el usuariopulse una tecla para continuar.
Rosa ique Alvarez 42
COMANDO DESCRIPCIN
grid onSita rejillas en los ejes de un grfico.La opcin grid on coloca las rejillas ygrid off las elimina.
holdPermite mantener el grfico existentecon todas sus propiedades, de modoque el siguiente grfico que se realicese situ sobre los mismos ejes y sesuperponga al existente. La opcin holdon activa la opcin y hold off laelimina
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EJEMPLO 1EJEMPLO 1
Rosa ique Alvarez 43
Grafique la siguiente curva
( ) [ ]2,2;,,)(: 32 -= tttttrC
[ ]
=
-=
=
3
2 2,2,:tz
ttytx
C
SolucinSolucin
Rosa ique Alvarez 44
Programa%Grafica una curvaclear; clc; clf resett=linspace(-2,2,100);x=t;y=t.^2;z=t.^3;comet3(x,y,z)pauseH=plot3(x,y,z,'b');
set(H,'lineWidth',2)grid onxlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');title('curva')
( ) [ ]2,2;,,)(: 32 -= tttttrC
Grfica de la CurvaGrfica de la Curva
Rosa ique Alvarez 45
-2-1
01
2
01
23
4-10
-5
0
5
10
X
curva
Y
Z
EJEMPLO
Rosa ique Alvarez 46
EJEMPLO 2: Hlice CircularEJEMPLO 2: Hlice Circular(Espiral Circular)(Espiral Circular)
( ) [ ]p6,0;,,cos)( = ttsentttr
[ ]
==
=
tztsenty
txC p6,0
cos:
x2 + y2 = 1
Rosa ique Alvarez 47
TabulandoTabulandot x=cost y=sent z=t
0 1 0 0
p/4 0.7072 0.7072 p/4
p/2 0 1 p/2 3p/4 -0.7072 0.7072 3p/4
.. .. .. ..
6p 1 0 6p
Rosa ique Alvarez 48
GRFICAGRFICA
ESPIRAL
-1-0.5
00.5
1
-1-0.5
00.5
10
5
10
15
20
X
ESPIRAL
Y
Z
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9
Rosa ique Alvarez 49
-1.5-1
-0.50
0.51
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50
10
20
X
ESPIRAL
Y
Z
ESPIRAL
Rosa ique Alvarez 50
EJEMPLO 3EJEMPLO 3
( ) [ ]4,4;,,cosh)( -= tttsenhttr
[ ]
=-=
=
tztsenhty
txC 4,4
cosh:
x2 - y2 = 1
Rosa ique Alvarez 51
TabulandoTabulandot x=cosht y=senht z=t
-4 + - -4
.. + - ..
0 1 0 0
1 + + 1
+ +
4 + + 4
Rosa ique Alvarez 52
GrficaGrfica
curva6
( ) [ ]4,4;,,cosh)( -= tttsenhttr
0.5
1
1.5
2
2.5
-4-2
02
4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
X
CURVA
Y
Z
Rosa ique Alvarez 53
( ) [ ]p6,0;),(),cos()( = tttsenttttr
[ ]
==
=
tzttsenty
ttxC p6,0)(
)(cos:
x2 + y2 = t2 x2 + y2 = z2
EJEMPLO 4: Concoide
Rosa ique Alvarez 54
GRFICAGRFICA
Concoide
-20-10
010
20
-20-10
0
10
200
5
10
15
20
X
CONCOIDE
Y
Z
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Rosa ique Alvarez 55
EJEMPLO 5: Espiral EJEMPLO 5: Espiral ToroidalToroidal
=+=
+=
tztsenttseny
ttsenxC
20cos20;)204(
cos)204(: p
Rosa ique Alvarez 56
EspiralToroidal
-5
0
5
-5
0
5-1
-0.5
0
0.5
1
X
ESPIRAL TOROIDAL
Y
Z
GRFICAGRFICA
Rosa ique Alvarez 57
EJEMPLO 6: Nudo de TrbolEJEMPLO 6: Nudo de Trbol
=+=
+=
tsenztsentty
ttxC
5.140;)5.1cos2(
cos)5.1cos2(: p
Rosa ique Alvarez 58
NudoTrebol -4-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-1
-0.5
0
0.5
1
X
NUDO DE TREBOL
Y
ZGRFICAGRFICA
Rosa ique Alvarez 59
CMO RESOLVER PROBLEMAS?
1. Leer el problema por lo menos dos veces
2. Analizar y tratar de entender el problema
3. Plantear la estrategia de resolucin del problema
4. Ejecutar la estrategia
5. Observar y verificar la respuesta
6. Visin retrospectivaRosa ique Alvarez 60
lgebra de las funciones lgebra de las funciones vectorialesvectoriales
nI :, ur
jj orururrur y,, ,. xJ:j
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Rosa ique Alvarez 61
( )
( ) ( ) ( )urur
urur
DomDomDom
ttt
=
= ;)()()(.1
( )
rr
rr
DomDomDom
ttt
=
=
jj
jj
)(
);()()(.2
lgebra de las funciones vectorialeslgebra de las funciones vectoriales
Rosa ique Alvarez 62
( )( )
( ) ( ) ( )urur
urur
DomDomDom
ttt
=
=
)()(.3
( )
( ) ( ) ( ) 3ensolo,
);()()(.4
=
=
urur
urur
DomDomDom
ttt
lgebra de las funciones vectorialeslgebra de las funciones vectoriales
Rosa ique Alvarez 63
( ) ( )
( ) { })()()(
)()(.5
rr
rr
DomRangtItDom
tt
=
=
jjj
jj
o
o
lgebra de las funciones vectorialeslgebra de las funciones vectoriales
Rosa ique Alvarez 64
ComposicinComposicin
jor
jr
))(( tjr
)(tj
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