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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

EstadísticaCapítulo 4.7

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Distribución Normal

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Distribución Normal

Es la distribución de probabilidad más importante, que corresponde a una variable continua. También se la llama distribución

gaussiana.

En esta distribución no es posible calcular la probabilidad de un valor exacto, siempre se

trabaja con rangos.

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En la práctica, muchas variables que se observan

tienen distribuciones que sólo se aproximan a la normal.

Esto es, las variables tienen propiedades que sólo se

acercan a las propiedades teóricas de la distribución

normal.

Distribución Normal

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Propiedades de la distribución normal

1. Tiene forma de campana (es simétrica)

2. Sus medidas de tendencia central son idénticas (media, mediana, moda, rango medio y eje medio

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Propiedades de la distribución normal

3. El “intervalo medio” es 1.33 desviaciones estándar (1.33σ)

4. La variable aleatoria asociada tiene un intervalo infinito ( -∞ < X < +∞)

32

32 X

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Distribución Normal

La fórmula de la distribución normal es un complicado modelo matemático

desarrollado por Gauss; pero con facilidad para realizar la estandarización mediante una tabla definida que facilita la búsqueda

de resultados.

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Fórmula Distribución Normal

2)(2

1

2

1)(

X

eXf

e = constante matemática con valor aproximado de 2.71828π = constante matemática con valor aproximado de 3.14159µ = media de la poblaciónσ = desviación estándar de la población

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Si los datos son estandarizados, de manera que se aproximen a su valor normal en la

distribución, se puede utilizar una tabla para encontrar los resultados de las

probabilidades.

Para ello se utiliza la fórmula de estandarización, que es denotada por Z

Distribución Normal

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Fórmula de la Estandarización

XZ

Al estandarizar los datos de la población, la media se convierte en 0 y la desviación

estándar en 1

Los elementos base para estandarizar los datos son los parámetros de la Media Aritmética y la Desviación Estándar.

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Supongamos que los datos de una muestra van de 30 a 90 (en el plano cartesiano se traza la recta en

una escala de 10 en 10).

En la muestra, la media aritmética es 60 y la desviación estándar es 10.

Estandarizar cada uno de los datos de la recta del plano cartesiano; es decir, cuál es el valor de Z de

cada dato desde 30 hasta 90.

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310

30

10

603030

ZXPara

010

0

10

606060

ZXPara

13

210

20

10

608080

ZXPara

310

30

10

609090

ZXPara

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Las probabilidades en una curva normal es el áreaque está rodeada por:• El valor entre 0 y Z• El eje horizontal• La curva de la Normal (ver zona sombreada).

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Para calcular el área en una curva normal, no seutiliza la fórmula, sino el diseño una tabla para buscar el resultado.

Usualmente los valores de Z están entre -4 y 4, y su representación se denota por un número dedos decimales.

dde.

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Es una tabla trazada en filas y

columnas que calcula el valor

entre 0 y z

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La tabla de la distribución normal de nuestro cursosolamente tiene el 50% del total de área, porquecomo la figura es igual antes del 0 que despuésdel 0, las áreas solamente se homologan; lo mismoresulta al calcular un área con Z=1.25 que conZ= -1.25.

El procedimiento es el siguiente:

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• Se configura el valor de Z de manera que tenga 2 decimales

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• Se divide en dos números; el primero formado por la parte entera y el primer decimal; el segundo formado por el segundo decimal

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• En la primer columna se busca el que tiene la parte entera

21

• En la fila de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal.

22

• En la fila de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal.

23

Encontrar el área para Z=1.02

• Z se convierte en 1.0 y 0.02

• Localizar 1.0 en la tabla

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Encontrar el área para Z=1.02• Localizar 0.02 en la

tabla• Ubicar la intersección• En la tabla de la curva

normal se muestra la probabilidad 0.3461

• La probabilidad es de 34.61%

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En la curva, por tratarse de áreas, no es posible calcular valores con el signo igual; siempre se hace referencia con el signo de

menor o con el mayor.

)( izZP )( izZP

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Enunciado: Calcular P(zi < Z)

Acción : Encuentra el área entre 0 y Z

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Calcular P(Z < 1.11)•Se va a calcular el área de 0 a 1.11 •El # 1.11 se convierte en : 1.1 y 0.01• Buscar en la columna 1.1• Buscar en la fila 0.01

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Calcular P(Z < 2.01)•Se calculará el área de 0 a 2.01 •El # 2.01 se convierte en 2.00 y 0.01•Columna: 2.0•Fila: 0.01

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Calcular P(Z > - 1.28)•Se calculará el área de -1.28 a 0 •1.28 = 1.2 + 0.08• Buscar en la columna 1.2• Buscar en la fila 0.08

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Calcular P(Z > 1.28)

•Primero el área de 0 a 1.28

•1.28 = 1.2 + 0.08

•El área encontrada se resta de 0.50•El área es 0.1003

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Calcular P(Z < -2.23)

•Calcular área de -2.23 a 0 •2.23 = 2.2 + 0.03

El área es 0.0129

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Calcular P(-0.57 < Z < 1.02)

•El área total es la suma de ambos resultados.

Área = 0.2157+0.3461

Área = 0.5618

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Calcular P(1.00 < Z < 1.253)

ÁREA =0.3944 – 0.3413 = 0.0531

Calcular el área que va de 0 a 1.25 = 0.3944

Calcular el área que va de 0 a 1.00 = 0.3413

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Calcular P(-1.25 < Z < -1.00)

ÁREA izquierda = 0.5-0.3944 = 0.1056AREA derecha = 0.5-0.3413 = 0.1587 ÁREA Total = 0.2643

• Calcular el área que va de 0 a 1.25 = 0.3944• Calcular el área que va de 0 a 1.00 = 0.3413• Se restan ambas áreas de 0.5• Se suman los resultado

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Distribución normal estándar

Un conjunto de datos con distribución normal siempre se puede convertir en su

forma estandarizada y después determinar cualquier probabilidad deseada, a partir de

la tabla de distribución normal.

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El gerente de una ensambladora de automóviles estudia el proceso para montar una pieza específica de un automóvil, con el fin de reducir el tiempo requerido para el montaje. Después de estudiar el proceso, el equipo determina que el tiempo de montaje se aproxima a una distribución normal con media aritmética (µ) de 75 segundos y desviación estándar (σ) de 6 segundos. Como puede el equipo aprovechar esta información para responder preguntas acerca del proceso actual.

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Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar requiera más de 81 segundos para ensamblar la pieza

µ = 75σ = 6

)1()6

7581()81(

ZPZPXP

x

Z

38

)1( ZP

1587.03413.05.0)1( ZP

La probabilidad de que un empleado ensamble una piezaen mas de 81 segundos es de 15.87%

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Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en un tiempo entre 75 y 81 segundos

µ = 75σ = 6

)10()8175(

)6

7581

6

7575()8175(

ZPXP

ZPXP

x

Z

40

)10( ZP

3413.0)10( ZP

La probabilidad de que un empleado ensamble una piezaEntre 75 y 81 segundos es de 34.13%

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Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en mas de 81 segundos o menos de 75 segundosµ = 75σ = 6

)81()75()8175( XPXPXóXP

x

Z

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)1()6

7581()81(

ZPZPXP

P(X > 81) = P(Z>1) = 0.5 – 0.3413 = 0.1587

1.) Calcular la P(X > 81)

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)0()6

7575()75(

ZPZPXP

P(X <75) = P(Z<0) = 0.5000

2.) Calcular la P(X < 75)

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)1()0( ZPZP

6587.015875.0)1()0( ZPZPLa probabilidad de que un empleado tarde menos de 75 ó más de 81 segundos es de 66%

3.) Sumas ambas probabilidades

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Tarea• Entregar un resumen de los aspectos

éticos que se deben observar en el uso de las probabilidades.

• ¿Qué se hace para realizar una verificación de la normalidad?

• Cuales son los pasos que se siguen paa construir un diagrama de probabilidad normal

46

Fin del capítulo 6.1

Continúa 7.1