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1
ECUACIONES DE FRESNEL
Estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores. Las soluciones presentadas aquí se basan en los enunciados resueltos por
los profesores de la sede central Carmen Carreras y Manuel Yuste
Óptica
2
Óptica
PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel.
Un rayo láser, de intensidad I0 = 0.1 W/cm2, incide perpendicularmente sobre una de las paredes laterales de una cubeta paralelepipédica de vidrio transparente. Después de atravesarla sale por la pared opuesta con la intensidad I. Admitiendo por simplicidad que sólo se produce una reflexión en cada una de las caras de las paredes de la cubeta (es decir, despreciando las múltiples reflexiones internas), se pide:
1 2 3 4
Determinar el índice de refracción nv del vidrio respecto del aire (índice del aire na = 1), sabiendo que el valor de la intensidad luminosa de salida con la cubeta vacía es I = 0.08493 W/cm2.
1.
Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl < nv, la intensidad de salida vale I = 0.09208 W/cm2. Halle nl.
2.
Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl > nv, la intensidad de salida vale I = 0.09163 W/cm2. Halle nl.
3.
Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio.
4.
1. El rayo entra perpendicularmente, por lo tanto el factor de reflexión cada vez que atraviesa una interfase es:2
4321 1
1
v
v
n
nRRRRR pues inicialmente la cubeta está vacía y todas las interfases son vidrio/aire
Intensidades
1
I0
2
I1
3
I2
4
I3 I4
RII 101
2012 11 RIRII
3023 11 RIRII
4034 11 RIRII
40
4 1 RI
I
0400.08493.01 4/1 R
1.0
08493.02
1
1
v
v
n
n
50.18.0
2.1 vn
Factor de reflexión en incidencia nomal: ver
demostración aquí
3
Óptica
Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl < nv, la intensidad de salida vale I = 0.09208 W/cm2. Halle nl.
2.
PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel.
1
I0
2
I1
3
I2
4
I3 I4
ln
vn
En este caso los coeficientes de reflexión son:2
41 1
1
v
v
n
nRRR
(iguales al caso anterior ya que las interfases 1 y 4 son aire/vidrio)
0400.02
32
lv
lvl nn
nnRRR (interfases líquido/vidrio)
Intensidades RII 101 ll RRIRII 111 012
2023 111 ll RRIRII 22034 111 lRRIRII
1.0
09208.011 22
0
4 lRRI
I
42 1034.4
04.01
9208.01
lR v
l
ll n
R
Rn
1
1 439.1
Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl > nv, la intensidad de salida vale I = 0.09163 W/cm2. Halle nl.
3.
En caso de que el índice de refracción del líquido y del vidrio sean iguales, el razonamiento es el mismo que en el apartado anterior, con la única salvedad siguiente: cuando se haya de despejar nl a partir de Rl, debe utilizarse el signo negativo de la raíz cuadrada, pues en caso contrario no se cumple la condición nl > nv .
22034 111 lRRIRII
1.0
09163.011 22
0
4 lRRI
I
32 1088.2
04.01
9163.01
lR
2
32
lv
lvl nn
nnRRR l
lv
lv Rnn
nn
vl
ll n
R
Rn
1
1 670.1
Tomamos el signo negativo
50.1
4
PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel.
Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio.
4.
1
I0
2
I1
3
I2
4
I3 I4
ln
vn 50.1
Coeficientes de reflexión para nl = nv:2
41 1
1
v
v
n
nRRR
02
32
lv
lvl nn
nnRRR
0400.0
Intensidad 22034 111 lRRIRII 20 1 RI
2-2204 cm W 09216.004.011.01 RIII
Óptica
5
Óptica
Un haz de luz de intensidad I0 incide sobre un prisma en ángulo recto de vidrio flint denso (n = 1.72 respecto al aire) como se indica en la figura. El haz está polarizado linealmente en la dirección perpendicular al plano de incidencia.
90º
nl
n
1
2
3
r
i
90º
nl
n
1
2
3I0
ISobre la superficie horizontal del prisma hay un líquido de índice de refracción nl respecto al aire que se quiere determinar. Se pide:
Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y nl.
1.
Sabiendo que I/I0 = 0.127, determinar el índice de refracción nl del líquido.2.
Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I0. 3.
PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel.
La luz incidente sobre la cara 1 se reflejará y transmitirá en primer lugar en la cara 2;pero hay que tener en cuenta que cada vez que la luz alcanza una interfase se produce reflexión y refracción, de modo que en las tres caras 1, 2 y 3 habrá que considerar el efecto de las reflexiones múltiples sobre la intensidad que finalmente emerge de la cara 3.
Coeficientes de reflexión: RRR 31
2
1
1
n
n0701.0
172.1
172.1
1
122
n
nR(Incidencia normal)
2
22 sin
sin
ri
riRR
2
22 sincoscossin
sincoscossin
riri
ririRR (puesto que i = 45º sin i = cos i)
2
sincos
sincos
rr
rr
(Nótese que el ángulo r no es conocido por el momento, ya que depende del índice de refracción del líquido, desconocido por ahora, que tendremos que determinar)
Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y nl.
1.
Factor de reflexión en incidencia normal: ver
demostración aquí.
6
Óptica
Luz que entra al prisma: estudio de las reflexiones múltiples.
RI 10
20 1 RRI
22
20 1 RRRI
Los coeficientes de reflexión de interés son R (cada vez que hay una reflexión en la cara 1 o en la 3) y R2 (cada vez que hay una reflexión en la cara 2). 2
1
1
n
nR
La intensidad que, procedente de múltiples reflexiones, sale finalmente por la cara 3 se puede obtener siguiendo el esquema siguiente.
0I 2
20 1 RRRI
1
3
2La intensidad luminosa que sale de la cara 3 tras las múltiples reflexiones producidas es la suma:
20 1 RRRI
22
0 1 RRI
32
20 1 RRRI
32
220 1 RRRI
32
30 1 RRRI
52
420 1 RRRI 4
23
0 1 RRRI
42
40 1 RRRI
52
40 1 RRRI
2
2 sincos
sincos
rr
rrR
...111 52
420
32
2202
20 RRRIRRRIRRII
...11 42
222
20 RRRRRRII
Este término es una serie geométrica de razón 22RR
22
1
1
1
1 RRr
aS
El primer término es a1 = 1 y la razón r es menor que la unidad, por tanto la suma de los infinitos términos de la serie es:
2
2
22
01
1
RR
RRII
Intensidad que emerge por la
cara 3:
2
1
1
n
nR
2
2 sincos
sincos
rr
rrR
PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel.
7
Sabiendo que I/I0 = 0.127, determinar el índice de refracción nl del líquido.2.
PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel.
2
2
22
01
1
RR
RRII
127.01
1
02
2
22
I
I
RR
RR0701.0
172.1
172.1
1
122
n
nR
127.00701.01
0701.012
2
22
R
R0127.08647.01024.6 2
22
4 RR 2R1469.0
1469.0
Valor aceptado
2
2 sincos
sincos
rr
rrR 3832.01469.0
sincos
sincos
rr
rr
rrrr sin3832.0cos3832.0sincos
rr sin3832.1cos6168.0 4195.03832.1
6168.0tan r
Respecto al ángulo r hay dos posibilidades: que al salir el rayo transmitido por la cara 2 se acerque a
la normal, cuando (cos r – sin r) > 0, o bien se aleje de la normal, cuando (cos r – sin r) < 0.Caso 1. Se acerca a la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell
º03.24r 99.203.24sin
45sin72.1 ln
Un índice tan elevado es poco realizta
rrrr sin3832.0cos3832.0sincos
rr sin6168.0cos3832.1 2425.26168.0
3832.1tan r
Caso 2. Se aleja de la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell
º97.65r 332.197.65sin
45sin72.1 ln
Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I0. 3.
Véase que el ángulo de incidencia de 45º es superior al ángulo límite para n = 1.72, por lo que R2 = 1
22
22
01
1
RR
RRII
RR
R
R
R
I
I
11
1
1
1 2
2
2
0
2
2
0 1
1
R
RII
R
R
1
1869.0
0701.01
0701.01
Óptica
8
Óptica
PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)Utilización de las ecuaciones de Fresnel para determinar el índice de refracción de un líquido
1 2
O
I0
Fotómetro A
Fotómetro B
Se dispone de dos cubetas semicilíndricas, de paredes transparentes y adosadas como se indica en la figura.
En ellas hay sendos líquidos de índices de refracción respecto del aire n1 y n2. Sobre la cubeta 1 incide radialmente un rayo láser polarizado linealmente y de intensidad I0 = 0.1 W/cm2.
Cuando el rayo está polarizado paralelamente al plano de incidencia, la intensidad IA // medida por el fotómetro A es mínima para = 50.96º. Se pide:
1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n2/n1.
2. Si la intensidad IB // medida por el fotómetro B es 0.0748 W/cm2, determine n1 y n2.
AI3. Determine e para el mismo valor de cuando el láser está polarizado perpendicularmente BI
al plano de incidencia.
Nota. Desprecie los efectos debidos a las paredes de las cubetas y considere una sola reflexión en los pasos de la luz a través de las superficies de separación líquido-líquido y líquido-aire. Use cuatro cifras decimales para los cálculos numéricos.
9
Óptica
1 2
O
Considerando en todos los casos una sola reflexión, según el enunciado, veamos cuanta luz llega al fotómetro.
Del aire a la cubeta 1: el rayo I0 incide normalmente a la superficie, por lo tanto el coeficiente de reflexión es
La intensidad del rayo I1 será pues
2
1
11 1
1
n
nR 101 1 RII
I0
I1
Ir
Fotómetro A
IA
Reflexión en el punto O: El ángulo de incidencia es , el de refracción es ; el coeficiente de reflexión será:
2
// tg
tg)O(
R
Intensidad reflejada Ir: )O( 1)O( //10//1 RRIRIIr
De la cubeta 1 al aire tenemos el rayo IA (incidencia normal)
)O( 11 //2
101 RRIRII rA
(Las ecuaciones de Fresnel son reversibles, el coeficiente de reflexión del medio 1 al aire es el mismo que si el rayo va a la inversa)
(Recordemos que el rayo incidente está polarizado paralelamente al plano de incidencia)
R//(O) es mínima si + = 90ºPuesto que el coeficiente de reflexión R1 (el que corresponde a incidencia normal) es constante, la intensidad del rayo IA será mínima si R//(O) es mínima
Es decir, R//(O) se anula cuando el ángulo de incidencia es el ángulo de Brewster. Entonces = 90 - = 39.04º
sensen 21 nn
La relación entre los índices de refracción n = n2/n1 se obtiene aplicando la ley de Snell
sen
sen
1
2 n
nn 2331.1tg
cos
sen
90sen
sen
1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n2/n1.
PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
Factor de reflexión en incidencia normal: ver
demostración aquí.
10
2. Si la intensidad IB // medida por el fotómetro B es 0.0748 W/cm2, determine n1 y n2.
PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
1 2
O
I0
I1
Ir
Fotómetro A
IA Fotómetro B
El factor de transmisión de la luz que se refracta se expresa como ii
tt
I
IT
cos
cos R1
i incidentet refractado (transmitido)
En nuestro caso1IIi i
)O(//RR t
It
)O(1cos
cos//R
I
IT
i
t
Recordemos que en las condiciones propuestas en el enunciado 0)O(// R
cos
cos1
cos
cos)O(1 10//1 RIRIIt
101 1 RII = 0
Intensidad que alcanza el fotómetro B:
IB
210 1cos
cos1 RRIIB
2
2
22 1
1
n
nR
(incidencia normal)
2
1
11 1
111
n
nR
21
1211
21
21
121
1
1212
1
121
n
nnnn
n
nn 21
11
1
41
n
nR
2
2
22 1
111
n
nR
22
2222
22
22
222
1
1212
1
121
n
nnnn
n
nn 21
12
2
22
1
4
1
41
nn
nn
n
nR
sen
sen
1
2 n
nnDe la relación
sen
sen1
2
1 n
n
nse obtiene
sen
cos
cos
cos (ya que = 90-)
Óptica
11
Óptica
PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
210 1cos
cos1 RRIIB
21
11
1
41
n
nR
21
12
2
22
1
4
1
41
nn
nn
n
nR
cos
cos1
n
21
12
1
10
1
4
1
4
nn
nn
n
n
n
IIB
2
0
I
IB
212
1
21
1 1
16
nnn
n
1 1
4
11
1
nnn
n
86487.01.0
0748.0
0
I
IB
111 41 1 nnnn 11121 41 nnnnnn
0 4-1 121 nnnn
0
1
4-11
21
nn
n
nn
Valores numéricos: 2331.1n
0 8110,09397.1 121 nnResolvemos la ecuación de 2º grado en n1: 330.1
610.0
1
1
n
n
640.12331.1 12 nn
3. Determine e para el mismo valor de cuando el láser está polarizado perpendicularmente
al plano de incidencia.
AI BI
Recordemos del apartado 1 que la intensidad que alcanza el fotómetro A es:
2
sen
sen)O(
R
)O( 1 210 RRII A
2sen
(ya que + = 90º)
)O( 11 //2
101 RRIRII rA
Siguiendo el mismo razonamiento, la intensidad en el fotómetro A cuando la luz está polarizada perpendicularmente al plano de incidencia será:
2-3210 cm W 101.4)O( 1
RRII A
12
Óptica
Fotómetro B
PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
El factor de transmisión de la luz que se refracta se expresa como
R1
i incidentet refractado (transmitido)
En nuestro caso1IIi i
)O(RR t
)O(1cos
cos R
I
IT
i
t
ii
tt
I
IT
cos
cos
cos
cos)O(11
cos
cos)O(1 101 RRIRIIt
101 1 RII
cos
cos1)O(11 210 RRRIIB
Intensidad que alcanza el fotómetro B
1 2
O
I0
I1
Ir
Fotómetro A
IA Fotómetro B
It IB
2sen)O(R
º96.50
º04.39
2
1
11 1
1
n
nR
2
2
22 1
1
n
nR
= 0.0716 W cm-2
13
ANEXO. COEFICIENTES DE REFLEXIÓN EN INCIDENCIA NORMAL
2
sen
sen
ri
riR
1n
2n
2
// tg
tg
ri
riR
rnin sensen 21
2
sencoscossen
sencoscossen
riri
ririR
2
00 sencoscossen
sencoscossen
riri
ririlimRri
2
21
21
0 sen/sen
sen/sen
inni
innilimi
2
21
21
0 sen/sen
sen/sen
inni
innilimRi
2
12
12
nn
nnR
Coeficiente de reflexión perpendicular Coeficiente de reflexión perpendicular
Ley de Snell
Cuando la incidencia es normal:
Cuando i 0 y r 0, el seno y la tangente tienden al mismo límite
2
00
// tg
tg
ri
rilimRri
2
00 sen
sen
ri
rilimri
2
12
12
nn
nn
2
12
12//
nn
nnRR
En incidencia normal
Volver Problema 1
Volver Problema 2
Volver Problema 3
Óptica