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EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD

En todo experimento aleatorio siempre hay incertidumbresobre si un suceso específico ocurrirá o no.

Como medida de la oportunidad o probabilidad con la quepodemos esperar que un suceso ocurra se puede asignarun número entre 0 y 1.

0 1 P X xi( )

Si estamos seguros que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 1 o 100%, pero si estamos seguros que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es 0.

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ESTIMACION DE LA PROBABILIDAD

ENFOQUE CLASICO: si un suceso puede ocurrir en “h” maneras diferentes de un número total de “n” maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabi-lidad del suceso es h/n

Ej. Si deseamos calcular la probabilidad que al lanzar un dado “honrado” caiga en tres, consideremos que solo hay seis (n = 6) maneras, igualmente factibles, de que caiga el dado, de las cuales, solo una (h=1) manera favorece el suceso en estudio. Es decir la probabilidad es de 1/6 que caiga el tres.

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ESTIMACION DE LA PROBABILIDAD

ENFOQUE COMO FRECUENCIA RELATIVA: si después de “n” repeticiones de un experimento, donde “n” es muy grande, un suceso ocurre “h” veces, entonces la probabilidad del suceso es h/n.

Ej. Si lanzamos una moneda 1000 veces y hallamos que 532 veces resultan caras, estimamos que la probabilidad de una cara es 532/1000 = 0.532

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FUNCION DE PROBABILIDAD f(x)

O función de probabilidad, es la expresión matemática que define el valor de la probabilidad de ocurrencia de un suceso.

En general f(x) cumple con:

f x

f x para discretas

f x dx para continuas

x

( )

( ) ,

( ) ,

0

1

1

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Para las variables discretas la función de DISTRIBUCION corresponde a una función escalonada.

Para las variables continuas la función de DISTRIBUCION(o DENSIDAD) corresponde al área bajo la curva.

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD(Probabilidad Acumulada)

Complemente: http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_2/distribuciones_probabilidad/index_discont.htm

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FUNCION DE PROBABILIDAD

El portafolio de los inversionistas puede estar compuesto por dos tipos de activos: de renta fija (F) y de renta variable (V).

Si se analiza el portafolio de un inversionista podríamos encontrar que su composición se encuentra en uno de los siguientes casos: solo renta fija (F), solo renta variable (V) o mixto (M)

{F, V, M}

ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Cada uno de losresultados se llama PUNTO MUESTRAL.

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FUNCION DE PROBABILIDAD

Considere X la variable aleatoria que representa el númerode portafolios F (solo renta fija) encontrados al analizar la composición de dos de ellos.

Espacio muestral:

{FF,VF,FV,MF,FM,MV,VM,MM }

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FF VF FV MF FM MV VM MM

X 2 1 1 1 1 0 0 0

Los posibles valores de X serían:

La funcion de probabilidad para la variable X estaríadada por: P(X=0) = 3/8

P(X=1) = 4/8P(X=2) = 1/8

FUNCION DE PROBABILIDAD

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Distribución de frecuencia de Variable discreta

0

0

1/5

1/3

2/5

1/2

3/5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

No. de portafolios F

Pro

ba

bili

da

d

10

F(j) = 0 si j < 1 j - 1 si 1 <= j <= 2 -j +3 si 2 <= j <= 3

0 si j> 3

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

Ejercicio: Considere la función definida para la VA j

Se trata de una función de densidad?

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F(r) = 0 si r < 0 3/8 si r >= 0 y r < 1 7/8 si r >= 1 y r < 2 1 si r >= 2

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

Considere la función definida para la VA r

Se trata de una función de densidad?

12NO se trata de una función de densidad!

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F(k) = 0 si k < 0 0,5 k si 0 <= k <= 2

0 si k > 2

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

Ejercicio: Considere la función definida para la VA k

Se trata de una función de densidad?

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADPARA VARIABLES CONTINUAS

DISTRIBUCION BINOMIAL DISTRIBUCION NORMAL O GAUSSIANADISTRIBUCION DE POISSONDISTRIBUCION MULTINOMIALDISTRIBUCION HIPERGEOMETRICADISTRIBUCION UNIFORMEDISTRIBUCION DE CAUCHYDISTRIBUCION GAMMADISTRIBUCION CHI-CUADRADODISTRIBUCION T-ESTUDENTDISTRIBUCION F

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Distribución NormalLa distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente:

Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas.

Es además límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.

Complemente:http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_2/distribuciones_probabilidad/dis_normal.htm

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Distribución Normal

Las cuatro distribuciones del gráfico son normales, con distintos valores de la media y de la desviación típica.

La verde es la "normal estándar", de media cero y desviación típica uno.

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Distribución NormalLa probabilidad de un valor entre -1 y 1 es de 68,26%; la probabilidad de un valor entre -2 y 2 es de 95.44% y de entre -3 y 3 es de 99.72%

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Distribución Normal•Distribución normal estándarCuando μ = 0 y σ = 1, la distribución se conoce con el nombre de normal estándar.

EstandarizaciónDada una variable aleatoria normal X, con media μ y desvío σ, si definimos otra variable aleatoria

entonces la variable aleatoria Z tendrá una distribución normal estándar y su valor de probabilidad se puede calcular mediante las tablas de la D. Normal.

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Distribución NormalEJERCICIO –

Suponga que la variable aleatoria, X: No. de inversionistas participantes en FOREX por ciudad, se distribuye normalmente con media 10 y desviación 2, cuál es la probabilidad de qué en una cierta ciudad X esté entre 10 y 14 inversionistas?

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Distribución NormalUsando:

Estandarice la variable X

Para x= 10 entonces Z=0; para X=14, entonces Z=2.

Es decir, se trata de calcular la probabilidad de que Z (normal estándar) esté entre 0 y 2.

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Distribución NormalUsando excel:

Calcule DISTR.NORM.ESTAND(0) = 0.5

Calcule DISTR.NORM.ESTAND(2) = 0.97

Determine el valor de probabilidad entre 0 y 2 (Rpta: 0.47).

Haga una interpretación gráfica.

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Distribución Normal

TALLER: Considere dos proyectos de inversión A y B, presentes para tres estados específicos de la economía (recesión, normal, auge) y cuyos rendimientos para cada estado, se distribuyen normalmente y se muestran en el siguiente cuadro:

Cuál es la probabilidad de que los rendimientos de A estén entre $450 y $575?

Cuál es la probabilidad de que los rendimientos de B estén entre $450 y $575?

Cuál es la probabilidad de que los flujos de “A” sean al menos $100?

Suponga que A y B tienen costos de $450, cada uno, Cuál es la probabilidad, para cada uno de no generar pérdidas?Utilice la hoja normal_1 del

archivo talleres_practica_2.xls