IES Victor García de la Concha

Dpto. de Matemáticas

Matemáticas II 2º BCT Global Mayo 9 de Mayo de 2017

INSTRUCCIONES: Lee atentamente el enunciado de cada uno de los ejercicios. Escribe tu nombre y apellidos. Al final de la prueba se entregarán todas las hojas escritas, incluidas las de sucio. Haz dibujos. Si tienes que recuperar una evaluación deberás hacer sólo el examen de esa evaluación. Si tienes que recuperar 2 evaluaciones resolverás los 2 ejercicios de cada evaluación marcados con un * . Si tienes que recuperar todos deberás escoger tres ejercicios, uno de cada evaluación que esté marcado con + y un cuarto de elección libre. Todos los ejercicios valen 2,5 ptos. así que asegurate de que eliges 4.

Apellidos................................................................. Nombre:...................................

1.- a) Calcula las matrices reales cuadradas de orden 3, X e Y, que satisfacen las ecuaciones:

X Y C

X Y B

2

2 donde:

111

111

011

y

100

110

101

CB

b)) S X e Y son las matrices anteriores, calcula (2·X + Y)·X – (2·X + Y)·(2Y) (1,5 ptos.)

3.- Sean las matrices

a

A

33

211

121

a

B a

0

0

0

0

C donde a es desconocido.

a)) Sea el sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es A y de términos independientes B.¿Puede para algún valor de a no tener solución este sistema? ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución única?

b)) Si la matriz de coeficientes es A pero la de términos independientes es C, ¿es posible que para algún valor de a elsistema no tenga solución? Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga más de una solución y calcula dos de ellas.

4.-Dados los puntos , se pide: a) Hallar para qué valores del parámetro m están alineados. b) Hallar si existen valores de m para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de áreau2 y, en caso afirmativo, calcularlos. c) Hallar para qué valor de m formarán un triángulo rectángulo en B, y calcular elárea.

A 1,1,1 , B 1,1,0 y C 3,m,25 2

*

*+ 2.

Dado el sistema de ecuaciones

x+ y+ z = ax+ay+ z = ax+ y+az = 1

a) Estudia su compatibilidad según los distintos valores del número real a. (1,5 ptos.)

b) Resuélvelo cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 pto.)

(1 pto.)

1ª Evaluación

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2ª Evaluación

Nota: Todos los ejercicios valen 2,5 ptos.

1. Sean las rectas: 11

2 z

k

yr : x y

2

2

1

z

y

x

s : . a) Halla k para que r y s sean coplanarias.

b)) Para el valor anterior de k, halla la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.c)) Para el valor anterior de k, halla la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas dadas.

2. Sea el tetraedro de la figura formado por A (3 ,0,0), B (0,2,0), C (0 ,0,0) y D (α,3,1) Calcula:a)) El área del triángulo limitado por los puntos A, B y C.b)) La ecuación del plano π que pasa por los puntos A, B y C.

c) El valor de α para que el vector AD sea perpendicular al plano π.

d)) Para α = 5, el punto D’ simétrico de D respecto al plano π.

3. Dada la recta r de ecuación4

21x y z 3

y el punto P 1,2,1 . Calcula:

a)) La ecuación de la recta que pasa por P , es perpendicular a r y se apoya en r.b) Las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto a r.

4. Dado un triángulo de vértices A (2,1,1), B (0,2,0) ( y C 4,3,1) halla: a) El perímetro. b) El área. c) El valor de laaltura correspondiente al vértice A. d) La ecuación de una mediana. e) La ecuación de una mediatriz. f) La ecuación de una altura.

5. a) Halla el valor de k para que la función f(x)

2si

2si2

42

xk

xx

x sea continua en x 2 .

6.– Calcula los siguientes límites:

a)

x 1·

1lím

2x2

xb) 2 x

xlím 9x 2x 3 3

c)

x x x 3 xlím

d)

x

x

x

xx

1

1

2lím

22

lím e)2

2

2

2

52

2x

x x x

x 6x

4

3

35

3lím

x

x x

x

*

*

b) Calcula

(0,5 ptos cada lím)

(0,5 ptos)

(2,0 ptos)

(0,5 ptos cada pto.

(1,5 ptos)(1,5 ptos)

(0,75 ptos)

(0,75 ptos)(0,75 ptos)

(0,75 ptos)

(1 pto.)

(1 pto.)(0,5 ptos.)

+

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4. En un edificio inteligente dotado de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0’4, de molinos eólicos con probabilidad 0’26 y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad 0’12. Elegido un día al azar, calcula la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:(0,5 planteamiento con dibujo y 1 pto cada apartado)

a) por alguna de las dos instalacionesb) solamente por una de las dos.

3.Se disponen de tres urnas A, B y C. La urna A contiene 1 bola blanca y 2 bolas negras, la urna B contiene 2 bolas blancas y 1 bola negra y la urna C contiene 3 bolas blancas y 3 bolas negras. Se lanza un dado equilibrado y si sale 1, 2 o 3 se escoge la urna A, si sale el 4 se escoge la urna B y si sale 5 o 6 se elige la urna C. A continuación, se extrae una bola de la urna elegida. (0.5 plantemiento) a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? (1 pto). b) Se sabe que la bola extraída ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola haya sido extraída de la urna C? (1 pto).

1. El propietario de la empresa “Asturfabril” ha estimado que si compra x máquinas y contrata y empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función ,��,�)=9� · �� . Sabiendo que tiene un presupuesto de 22.500 euros, que cada máquina supone una inversión de 2.500 euros y cada contrato de un nuevo empleado 1.500 euros, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para optimizar la producción.

2.-Sea la función f(x)x x

123

111

11

2

2

2

si xx x

xsi xx . a) Halla un valor de la función en x 1 que la haga

continua en ese punto.0.7 ptos. b) Analiza su continuidad y derivabilidad en toda la recta real. 0.8 ptos. c) Traza su gráfica aproximada estudiando también su curvatura. 1 pto.

3ª Evaluación

+ *

*

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