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1 Funciones lineales
CONSULTAR la Gran Idea
1.1 Funciones madre y transformaciones1.2 Transformaciones de funciones lineales y de valor absoluto1.3 Representar con funciones lineales1.4 Resolver sistemas lineales
Pizzería (pág. 34)
Fiesta de graduación (pág. 23)
Bicicleta montañera (pág. 7)
Gastos de un café (pág. 16)
Natación (pág. 10)
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Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com 1S l i di á i di ibl BigId M th
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasEvaluar las expresiones
Ejemplo 1 Evalúa la expresión 36 ÷ (32 × 2) − 3.
36 ÷ (32 × 2) − 3 = 36 ÷ (9 × 2) − 3 Evalúa las potencias dentro del paréntesis.
= 36 ÷ 18 − 3 Multiplica dentro del paréntesis.
= 2 − 3 Divide.
= −1 Resta.
Evalúa.
1. 5 ⋅ 23 + 7 2. 4 − 2(3 + 2)2 3. 48 ÷ 42 + 3 —
5
4. 50 ÷ 52 ⋅ 2 5. 1 —
2 (22 + 22) 6.
1 —
6 (6 + 18) − 22
Transformaciones de figuras
Ejemplo 2 Refleja el rectángulo negro en el eje x. Luego traslada el nuevo rectángulo 5 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo.
x
y4
2
−4
−2
4−2−4
AB
CD
A′ B′
C′D′
A″ B″
C″D″ Toma el opuesto decada coordenada y.
Mueve cada vértice 5 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo.
Haz una gráfica de la transformación de la figura.
7. Traslada el rectángulo
1 unidad hacia la derecha y
4 unidades hacia arriba.
8. Refleja el triángulo en el eje
y. Luego traslada 2 unidades
hacia la izquierda.
9. Traslada el trapecio
3 unidades hacia abajo.
Luego refleja en el eje x.
x
y3
1
−5
31−3
x
y
4
6
−2
42−2−4
x
y4
2
−4
−2
2−2−4−6
10. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Da un ejemplo para mostrar por qué el orden de las operaciones
es importante cuando se evalúa una expresión numérica. ¿El orden de las transformaciones de las
fi guras es importante? Justifi ca tu respuesta.
hsnb_span_alg2_pe_01op.indd 1hsnb_span_alg2_pe_01op.indd 1 6/17/15 1:56 PM6/17/15 1:56 PM
2 Capítulo 1 Funciones lineales
Prácticas Prácticas matemáticas matemáticas
Los estudiantes que dominan las matemáticas usan herramientas tecnológicas para explorar conceptos.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progresoUsa una calculadora gráfi ca para hacer la gráfi ca de la ecuación usando la ventana de visualización estándar y la ventana de visualización cuadrada. Describe cualquier diferencia en las gráfi cas.
1. y = 2x − 3 2. y = ∣ x + 2 ∣ 3. y = −x2 + 1
4. y = √—
x − 1 5. y = x3 − 2 6. y = 0.25x3
Determina si la ventana de visualización es cuadrada. Explica.
7. −8 ≤ x ≤ 8, −2 ≤ y ≤ 8 8. −7 ≤ x ≤ 8, −2 ≤ y ≤ 8 9. −6 ≤ x ≤ 9, −2 ≤ y ≤ 8 10. −2 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 3 11. −4 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3 12. −4 ≤ x ≤ 4, −3 ≤ y ≤ 3
Usar una calculadora gráfi ca
Usar una calculadora gráfi ca
Usa una calculadora gráfi ca para hacer la gráfi ca de
y = ∣ x ∣ − 3.
SOLUCIÓN
En la ventana de visualización estándar nota que las
marcas en el eje y están más cerca que las marcas en
el eje x. Esto implica que la gráfi ca no se muestra
en su perspectiva verdadera.
En una ventana de visualización estándar nota
que las marcas en ambos ejes tienen el mismo
espaciamiento. Esto implica que la gráfi ca no
se muestra en su perspectiva verdadera.
Concepto Concepto EsencialEsencialVentanas de visualización estándar y cuadradaLa pantalla típica de una calculadora gráfi ca tiene una razón
de altura a ancho de 2 a 3. Esto signifi ca que cuando usas la
ventana de visualización estándar de –10 a 10 (en cada eje),
la gráfi ca no estará en su perspectiva verdadera.
Para ver una gráfi ca en su perspectiva verdadera, necesitas
cambiar a una ventana de visualización cuadrada, en donde
las marcas en el eje x están espaciadas la misma distancia que
las marcas en el eje y.
Xmin=-10VENTANA
Xmax=10Xscl=1Ymin=-10Ymax=10Yscl=1
Esta es laventana devisualizaciónestándar.
Xmin=-9VENTANA
Xmax=9Xscl=1Ymin=-6Ymax=6Yscl=1
Esta es unaventana devisualizacióncuadrada.
10
−10
−10
10
Esta es la gráficaen la ventana devisualización estándar.
6
−4
−6
4
Esta es la gráficaen una ventana devisualización cuadrada.
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1.1
Sección 1.1 Funciones madre y transformaciones 3
Funciones madre y transformaciones
Pregunta esencial Pregunta esencial ¿Cuáles son las características de algunas de las
funciones madre básicas?
Identifi car funciones madre básicas
Trabaja con un compañero. Abajo se muestran las gráfi cas de ocho funciones madre
básicas. Clasifi ca cada función como constante, lineal, de valor absoluto, cuadrática, de raíz cuadrada, de raíz cúbica, recíproca o exponencial. Justifi ca tu razonamiento.
a.
6
−4
−6
4 b.
6
−4
−6
4
c.
6
−4
−6
4 d.
6
−4
−6
4
e.
6
−4
−6
4 f.
6
−4
−6
4
g.
6
−4
−6
4 h.
6
−4
−6
4
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 2. ¿Cuáles son las características de algunas de las funciones madre básicas?
3. Escribe una ecuación de cada función cuya gráfi ca se muestra en la Exploración 1.
Luego usa una calculadora gráfi ca para verifi car que tus ecuaciones estén correctas.
JUSTIFICAR CONCLUSIONESPara dominar las matemáticas, necesitas justifi car tus conclusiones y comunicarlas claramente a los demás.
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1.1
4 Capítulo 1 Funciones lineales
Lección Qué aprenderásQué aprenderás Identifi car familias de funciones.
Describir transformaciones de funciones madre.
Describir combinaciones de transformaciones.
Identifi car familias de funcionesLas funciones que pertenecen a la misma familia comparten características clave. La
función madre es la función más básica en una familia. Las funciones de la misma
familia son transformaciones de su función madre.
función madre, pág. 4transformación, pág. 5traslación, pág. 5refl exión, pág. 5alargamiento vertical, pág. 6encogimiento vertical, pág. 6
Anteriorfuncióndominiorangopendientediagrama de dispersión
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
Identifi car una familia de funciones
Identifi ca la familia de funciones a la que pertenece f.Compara la gráfi ca de f a la gráfi ca de su función
madre.
SOLUCIÓN
La gráfi ca de f tiene forma de V, entonces f es
una función de valor absoluto.
La gráfi ca está desplazada hacia arriba y es más
angosta que la gráfi ca de la función de valor
absoluto madre. El dominio de cada función es
todos los números reales, pero el rango de f es y ≥ 1
y el rango de la función de valor absoluto madre es y ≥ 0.
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1. Identifi ca la familia de funciones a la que
x
y
4
2
6
42 6
g(x) = (x − 3)214pertenece g. Compara la gráfi ca de g con la
gráfi ca de su función madre.
BUSCAR UNA ESTRUCTURA
También puedes usar reglas de las funciones para identifi car las funciones. El único término variable en f es un término ∣ x ∣ , entonces es una función de valor absoluto.
x
y
4
6
42−2−4
f(x) = 2�x� + 1
Concepto Concepto EsencialEsencialFunciones madreFamilia Constante Lineal Valor absoluto Cuadrática
Regla f(x) = 1 f(x) = x f(x) = ∣ x ∣ f(x) = x2
Gráfi ca:
x
y
x
y
x
y
x
y
Dominio Todos los Todos los Todos los Todos los
números reales números reales números reales números reales
Rango y = 1 Todos los números y ≥ 0 y ≥ 0 reales
hsnb_span_alg2_pe_0101.indd 4hsnb_span_alg2_pe_0101.indd 4 6/17/15 1:57 PM6/17/15 1:57 PM
Sección 1.1 Funciones madre y transformaciones 5
Describir TransformacionesUna transformación cambia el tamaño, la forma, la posición o la orientación
de una gráfi ca. Una traslación es una transformación que desplaza una gráfi ca
horizontalmente y/o verticalmente pero no cambia su tamaño, forma u orientación.RECUERDALa forma de pendiente e intersección de una ecuación lineal esy = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y.
Hacer una gráfi ca y describir traslaciones
Haz una gráfi ca de g(x) = x − 4 y su función madre. Luego describe la transformación.
SOLUCIÓN
La función g es una función lineal con una pendiente
de 1 y una intersección con el eje y de – 4. Entonces,
dibuja una línea a través del punto (0, – 4) con una
pendiente de 1.
La gráfi ca de g es 4 unidades por debajo de la
gráfi ca de la función lineal madre f.
Entonces, la gráfi ca de g(x) = x − 4 es una
traslación vertical 4 unidades hacia abajo de la
gráfi ca de la función lineal madre.
Una refl exión es una transformación que invierte una gráfi ca sobre una línea llamada
la línea de refl exión. Un punto refl ejado es la misma distancia desde la línea de
refl exión que el punto original pero en el lado opuesto de la línea.
x
y2
−6
−2
42−2−4
g(x) = x − 4
f(x) = x
(0, −4)
Hacer una gráfi ca y describir refl exiones
Haz una gráfi ca de p(x) = −x2 y su función madre. Luego describe la transformación.
SOLUCIÓN
La función p es una función cuadrática. Usa una tabla de valores para hacer una
gráfi ca de cada función.
x y = x2 y = −x2
−2 4 −4
−1 1 −1
0 0 0
1 1 −1
2 4 −4
x
y4
2
−4
−2
42−2−4
f(x) = x2
p(x) = −x2
La gráfi ca de p es la gráfi ca de una función madre invertida sobre el eje x.
Entonces, p(x) = −x2 es una refl exión en el eje x de la función cuadrática madre.
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Haz una gráfi ca de la función y de su función madre. Luego describe la transformación.
2. g(x) = x + 3 3. h(x) = (x − 2)2 4. n(x) = − ∣ x ∣
RECUERDALa función p(x) = −x2 está escrita en notación de función, donde p(x) es otro nombre para y.
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6 Capítulo 1 Funciones lineales
Otra manera de transformar la gráfi ca de una función es multiplicando todas las
coordenadas y por el mismo factor (distinto de 1). Cuando el factor es mayor que 1, la
transformación es un alargamiento vertical. Cuando el factor es mayor que 0 y menor
que 1, se trata de un encogimiento vertical.
Hacer una gráfi ca y describir alargamientos y encogimientos
Haz una gráfi ca de cada función y de su función madre. Luego describe la transformación.
a. g(x) = 2 ∣ x ∣ b. h(x) = 1 —
2 x2
SOLUCIÓN
a. La función g es una función de valor absoluto. Usa una tabla de valores para hacer
una gráfi ca de las funciones.
x y = ∣ x ∣ y = 2 ∣ x ∣ −2 2 4
−1 1 2
0 0 0
1 1 2
2 2 4
x
y
4
2
6
42−2−4
g(x) = 2�x�
f(x) = �x�
La coordenada y de cada punto en g es dos veces la coordenada y del punto
correspondiente en la función madre.
Entonces, la gráfi ca de g(x) = 2 ∣ x ∣ es un alargamiento vertical de la gráfi ca
de la función de valor absoluto madre.
b. La función h es una función cuadrática. Usa una tabla de valores para hacer la
gráfi ca de las funciones.
x y = x2 y = 1 — 2 x2
−2 4 2
−1 1 1 —
2
0 0 0
1 1 1 —
2
2 4 2
x
y
4
2
6
42−2−4
f(x) = x2
h(x) = x212
La coordenada y de cada punto en h es la mitad de la coordenada y del punto
correspondiente en la función madre.
Entonces, la gráfi ca de h(x) = 1 —
2 x2 es un encogimiento vertical de la gráfi ca de
la función cuadrática madre.
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Haz una gráfi ca de la función y de su función madre. Luego describe la transformación.
5. g(x) = 3x 6. h(x) = 3 —
2 x2 7. c(x) = 0.2 ∣ x ∣
RAZONAR DE MANERA ABSTRACTA
Para visualizar un alargamiento vertical, imagínate estar tirando de los puntos alejándolos del eje x.
Para visualizar un encogimiento vertical, imagínate estar empujando los puntos hacia el eje x.
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Sección 1.1 Funciones madre y transformaciones 7
Combinaciones de transformacionesPuedes usar más de una transformación para cambiar la gráfi ca de una función.
Describir combinaciones de transformaciones
Usa una calculadora gráfi ca para hacer la gráfi ca de g(x) = − ∣ x − 5 ∣ − 3 y su función
madre. Luego describe la transformación.
SOLUCIÓN
La función g es una función de valor absoluto.
La gráfi ca muestra que g(x) = − ∣ x − 5 ∣ − 3
es una refl exión en el eje x seguida de una
traslación 5 unidades a la izquierda y
3 unidades hacia abajo de la gráfi ca de la
función de valor absoluto madre.
Representar con matemáticas
La tabla muestra la altura y de una bicicleta montañera x segundos después de saltar
de una rampa. ¿Qué tipo de función puedes usar para representar los datos? Calcula la
altura después de 1.75 segundos.
SOLUCIÓN
1. Comprende el problema Te piden identifi car el tipo de función que pueda
representar la tabla de valores y luego hallar la altura en un momento específi co.
2. Haz un plan Crea un diagrama de dispersión de los datos. Luego usa la
relación mostrada en el diagrama de dispersión para calcular la altura después
de 1.75 segundos.
3. Resuelve el problema Crea un diagrama de dispersión.
Los datos parecen pertenecer a una curva que se
asemeja a una función cuadrática. Dibuja la curva.
Entonces, puedes representar los datos con
una función cuadrática. La tabla muestra
que la altura es alrededor de 15 pies después
de 1.75 segundos.
4. Verifícalo Para verifi car que tu solución sea razonable, analiza los valores de la
tabla. Nota que las alturas disminuyen después de 1 segundo. Ya que 1.75 está entre
1.5 y 2, la altura debe estar entre 20 pies y 8 pies.
8 < 15 < 20 ✓
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Usa una calculadora gráfi ca para hacer la gráfi ca de la función y su función madre. Luego describe las transformaciones.
8. h(x) = − 1 —
4 x + 5 9. d(x) = 3(x − 5)2 − 1
10. La tabla muestra la cantidad de combustible en una sierra eléctrica con el paso del
tiempo. ¿Qué tipo de función puedes usar para representar los datos? ¿Cuándo estará
vacío el tanque?
Tiempo (minutos), x 0 10 20 30 40
Combustible restante (onzas líquidas), y 15 12 9 6 3
Tiempo(segundos), x
Altura(pies), y
0 8
0.5 20
1 24
1.5 20
2 8
x
y
20
10
0
30
210 3
10
−10
−12
8
f
g
hsnb_span_alg2_pe_0101.indd 7hsnb_span_alg2_pe_0101.indd 7 6/17/15 1:57 PM6/17/15 1:57 PM
1.1
8 Capítulo 1 Funciones lineales
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
En los Ejercicios 3–6, identifi ca la familia de funciones a la que pertenece f. Compara la gráfi ca de f con la gráfi ca de su función madre. (Consulta el Ejemplo 1).
3. 4.
x
y
−4
−2
−2−4
f(x) = 2�x + 2� − 8
x
y
−2
42−2−4
f(x) = −2x2 + 3
5. 6.
x
y20
10
−20
42 6−2
f(x) = 5x − 2
x
y
4
6
2
−2
42−2−4
f(x) = 3
7. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS A las 8:00 a.m.,
la temperatura es 43°F. La temperatura aumenta 2°F
cada hora por las próximas 7 horas. Haz una gráfi ca
de las temperaturas con el paso del tiempo t (t = 0
representa las 8:00 a.m.). ¿Qué tipo de función puedes
usar para representar los datos? Explica.
8. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Compras un
auto en un concesionario por $10,000. El valor de
cambio del auto cada año después de la compra está
dado por la función f(x) = 10,000 − 250x2. ¿Qué tipo
de función representa el valor del cambio?
En los Ejercicios 9–18, haz una gráfi ca de la función y su función madre. Luego describe la transformación. (Consultar los Ejemplos 2 y 3).
9. g(x) = x + 4 10. f(x) = x − 6
11. f(x) = x2 − 1 12. h(x) = (x + 4)2
13. g(x) = ∣ x − 5 ∣ 14. f(x) = 4 + ∣ x ∣
15. h(x) = −x2 16. g(x) = −x
17. f(x) = 3 18. f(x) = −2
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
1. COMPLETAR LA ORACIÓN La función f(x) = x2 es el(la) ______ de f(x) = 2x2 − 3.
2. DISTINTAS PALABRAS, LA MISMA PREGUNTA ¿Cuál es diferente? Halla “ambas” respuestas.
¿Cuáles son los vértices de la fi gura después
de una refl exión en el eje x, seguida por una
traslación 2 unidades hacia la derecha?
¿Cuáles son los vértices de la fi gura después de
una traslación 6 unidades hacia arriba y 2 unidades
hacia la derecha?
¿Cuáles son los vértices de la fi gura después
de una traslación 2 unidades hacia la derecha,
seguida por una refl exión en el eje x?
¿Cuáles son los vértices de la fi gura después
de una traslación 6 unidades hacia arriba,
seguida por una refl exión en el eje x?
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
x
y4
2
−4
−2
42−2−4
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Sección 1.1 Funciones madre y transformaciones 9
En los Ejercicios 19–26, haz una gráfi ca de la función y su función madre. Luego describe la transformación. (Consulta el Ejemplo 4).
19. f(x) = 1 —
3 x 20. g(x) = 4x
21. f(x) = 2x2 22. h(x) = 1 —
3 x2
23. h(x) = 3 —
4 x 24. g(x) =
4 —
3 x
25. h(x) = 3 ∣ x ∣ 26. f(x) = 1 —
2 ∣ x ∣
En los Ejercicios 27–34, usa una calculadora gráfi ca para hacer una gráfi ca de la función y su función madre. Luego describe la transformación. (Consulta el Ejemplo 5).
27. f(x) = 3x + 2 28. h(x) = −x + 5
29. h(x) = −3 ∣ x ∣ − 1 30. f(x) = 3 —
4 ∣ x ∣ + 1
31. g(x) = 1 —
2 x2 − 6 32. f(x) = 4x2 − 3
33. f(x) = −(x + 3)2 + 1 —
4
34. g(x) = − ∣ x − 1 ∣ − 1 —
2
ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 35 y 36, identifi ca y corrige el error cometido al describir la transformación de la función madre.
35.
x
y
−8
−12
−4
42−2−4
La gráfi ca es una refl exión en el eje x y un encogimiento vertical de la función cuadrática madre.
✗
36.
x
y
4
2
42 6
La gráfi ca es una traslación 3 unidades hacia la derecha de la función de valor absoluto madre, entonces la función es f(x) = ∣ x + 3 ∣ .
✗
CONEXIONES MATEMÁTCIAS En los Ejercicios 37 y 38, halla las coordenadas de la fi gura después de la transformación.
37. Traslada 2 unidades 38. Refl eja en el eje x.
hacia abajo.
x
y4
2
−4
4−2−4
A
C
B
x
y4
−2
−4
42−2−4
A
CD
B
USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 39–44, identifi ca la familia de funciones y describe el dominio y el rango. Usa una calculadora gráfi ca para hacer verifi car tu respuesta.
39. g(x) = ∣ x + 2 ∣ − 1 40. h(x) = ∣ x − 3 ∣ + 2
41. g(x) = 3x + 4 42. f(x) = −4x + 11
43. f(x) = 5x2 − 2 44. f(x) = −2x2 + 6
45. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La tabla muestra
las velocidades de un auto a medida que viaja a través
de una intersección con una señal de pare. ¿Qué tipo
de función puedes usar para representar los datos?
Calcula la velocidad del auto cuando está a 20 yardas
después de la intersección. (Consulta el Ejemplo 6).
Desplazamiento desde la señal
(yardas), x
Velocidad (millas por hora), y
−100 40
−50 20
−10 4
0 0
10 4
50 20
100 40
46. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO En el mismo plano de
coordenadas, dibuja la gráfi ca de la función cuadrática
madre y la gráfi ca de una función cuadrática que
no tiene intersecciones con el eje x. Describe la(s)
transformación(es) de la función madre.
47. USAR LA ESTRUCTURA Haz una gráfi ca de las
funciones f(x) = ∣ x − 4 ∣ y g(x) = ∣ x ∣ − 4. ¿Son
equivalentes? Explica.
hsnb_span_alg2_pe_0101.indd 9hsnb_span_alg2_pe_0101.indd 9 6/17/15 1:57 PM6/17/15 1:57 PM
10 Capítulo 1 Funciones lineales
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasDetermina si el par ordenado es una solución de la ecuación. (Manual de revisión de destrezas)
55. f(x) = ∣ x + 2 ∣ ; (1, −3) 56. f(x) = ∣ x ∣ − 3; (−2, −5)
57. f(x) = x − 3; (5, 2) 58. f(x) = x − 4; (12, 8)
Halla la intersección con el eje x y la intersección con el eje y de la gráfi ca de la ecuación. (Manual de revisión de destrezas)
59. y = x 60. y = x + 2
61. 3x + y = 1 62. x − 2y = 8
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
48. ¿CÓMO LO VES? Considera las gráfi cas de f, g y h.
x
y4
2
−4
−2
42−4
fg
h
a. ¿La gráfi ca de g representa un alargamiento
vertical o un encogimiento vertical de la gráfi ca de
f? Explica tu razonamiento.
b. Describe cómo transformar la gráfi ca de f para
obtener la gráfi ca de h.
49. ARGUMENTAR Tu amigo dice que dos traslaciones
distintas de la gráfi ca de la función lineal madre
pueden dar como resultado la gráfi ca de f(x) = x − 2.
¿Tiene razón tu amigo? Explica.
50. SACAR CONCLUSIONES Una persona nada a una
velocidad constante de 1 metro por segundo. ¿Qué
tipo de función puede usarse para representar la
distancia que recorre el nadador? Si la persona
tiene una ventaja inicial de 10 metros, ¿qué tipo de
transformación representa esto? Explica.
51. RESOLVER PROBLEMAS Estás jugando básquetbol
con tus amigos. La altura (en pies) de la pelota por
encima del suelo t segundos después de que el tiro
sale de tu mano está representada por la función
f(t) = −16t2 + 32t + 5.2.
a. Sin hacer la gráfi ca, identifi ca el tipo de función
que representa la altura de la pelota.
b. ¿Cuál es el valor de t cuando se suelta la pelota de
tu mano? Explica tu razonamiento.
c. ¿A cuántos pies por encima del suelo está la pelota
cuando la suelta tu mano? Explica.
52. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La tabla muestra
la duración de una batería de computadora con el paso
del tiempo. ¿Qué tipo de función puedes usar para
representar los datos? Interpreta el signifi cado de la
intersección con el eje x en esta situación.
Tiempo (horas), x
Batería restante, y
1 80%
3 40%
5 0%
6 20%
8 60%
53. RAZONAR Compara cada función con su función
madre. Indica si contiene una traslación horizontal, una traslación vertical, ambas o ninguna. Explica tu
razonamiento.
a. f(x) = 2 ∣ x ∣ − 3 b. f(x) = (x − 8)2
c. f(x) = ∣ x + 2 ∣ + 4 d. f(x) = 4x2
54. PENSAMIENTO CRÍTICO Usa los valores −1, 0, 1
y 2 en el recuadro correcto para que la gráfi ca de
cada función se interseque con el eje x. Explica tu
razonamiento.
a. f(x) = 3x + 1 b. f(x) = ∣ 2x − 6 ∣ −
c. f(x) = x2 + 1 d. f(x) =
hsnb_span_alg2_pe_0101.indd 10hsnb_span_alg2_pe_0101.indd 10 6/17/15 1:57 PM6/17/15 1:57 PM
Sección 1.2 Transformaciones de funciones lineales y de valor absoluto 11
Pregunta esencial Pregunta esencial ¿Cómo se comparan las gráfi cas de
y = f(x) + k, y = f (x − h) y y = −f(x) con la gráfi ca de la función madre f ?
Transformaciónes de la función madre de valor absoluto
Trabaja con un compañero. Compara la gráfi ca
de la función
y = ∣ x ∣ + k Transformación
con la gráfi ca de la función madre
f (x) = ∣ x ∣ . Función madre
USAR HERRAMIENTAS ESTRATÉGICAMENTEPara dominar las matemáticas, necesitas usar herramientas tecnológicas para visualizar los resultados y explorar las consecuencias.
Transformaciónes de la función madre de valor absoluto
Trabaja con un compañero. Compara la gráfi ca
de la función
y = ∣ x − h ∣ Transformación
con la gráfi ca de la función madre
f (x) = ∣ x ∣ . Función madre
Transformación de la función madre de valor absoluto
Trabaja con un compañero. Compara la gráfi ca
de la función
y = − ∣ x ∣ Transformación
con la gráfi ca de la función madre
f (x) = ∣ x ∣ . Función madre
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta4. ¿Cómo se comparan las gráfi cas de y = f (x) + k, y = f (x − h) y k(x) = −f(x) con
la gráfi ca de la función madre f ?
5. Compara la gráfi ca de cada función con la gráfi ca de su función madre f. Usa una
calculadora gráfi ca para verifi car que tus respuestas estén correctas.
a. y = √—
x − 4 b. y = √—
x + 4 c. y = − √—
x
d. y = x2 + 1 e. y = (x − 1)2 f. y = −x2
6
−4
−6
4y = �x� y = �x� + 2
6
y = �x� − 2
6
−4
−6
4y = �x − 2�
4y = �x�
−6
y = �x + 3�
6
−4
−6
4
6
y = −�x�
4y = �x�
1.2 Transformaciones de funciones lineales y de valor absoluto
hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 11hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 11 6/17/15 1:58 PM6/17/15 1:58 PM
12 Capítulo 1 Funciones lineales
1.2 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Escribir funciones que representen traslaciones y refl exiones.
Escribir funciones que representen alargamientos y encogimientos.
Escribir funciones que representen combinaciones de transformaciones.
Traslaciones y refl exionesPuedes usar la notación de funciones para representar transformaciones de gráfi cas
de funciones.
Escribir traslaciones de funciones
Imagina que f(x) = 2x + 1.
a. Escribe una función g cuya gráfi ca sea una traslación 3 unidades hacia abajo de la
gráfi ca de f.
b. Escribe una función h cuya gráfi ca sea una traslación 2 unidades hacia la izquierda
de la gráfi ca de f.
SOLUCIÓNa. Una traslación 3 unidades hacia abajo es una traslación vertical que suma −3 a cada
valor de salida.
g(x) = f(x) + (−3) Suma −3 a la salida.
= 2x + 1 + (−3) Sustituye 2x + 1 por f(x).
= 2x − 2 Simplifi ca.
La función trasladada es g(x) = 2x − 2.
b. Una traslación 2 unidades hacia la izquierda es una traslación horizontal que resta
–2 de cada valor de entrada.
h(x) = f(x − (−2)) Resta −2 de la entrada.
= f(x + 2) Suma el opuesto.
= 2(x + 2) + 1 Remplaza x con x + 2 en f(x).
= 2x + 5 Simplifi ca.
La función trasladada es h(x) = 2x + 5.
Verifi ca
5
−5
−5
5
f gh
Concepto Concepto EsencialEsencialTraslaciones horizontales Traslaciones verticalesLa gráfi ca de y = f (x − h) es una
traslación horizontal de la gráfi ca
de y = f (x), donde h ≠ 0.
La gráfi ca de y = f (x) + k es una
traslación vertical de la gráfi ca de
y = f (x), donde k ≠ 0.
x
y
y = f(x − h),h < 0
y = f(x − h),h > 0
y = f(x)
x
y
y = f(x) + k,k < 0
y = f(x) + k,k > 0
y = f(x)
Restar h de las entradas antes de
evaluar la función desplaza la gráfi ca
hacia la izquierda cuando h < 0 y
hacia la derecha cuando h > 0.
Sumar k a las salidas desplaza la
gráfi ca hacia abajo cuando k < 0 y
hacia arriba cuando k > 0.
hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 12hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 12 6/17/15 1:58 PM6/17/15 1:58 PM
Sección 1.2 Transformaciones de funciones lineales y de valor absoluto 13
Escribir refl exiones de funciones
Imagina que f(x) = ∣ x + 3 ∣ + 1.
a. Escribe una función g cuya gráfi ca sea una refl exión en el eje x de la gráfi ca de f.
b. Escribe una función h cuya gráfi ca sea una refl exión en el eje y de la gráfi ca de f.
SOLUCIÓN
a. Una refl exión en el eje x cambia el signo de cada valor de salida.
g(x) = −f(x) Multiplica la salida por −1.
= − ( ∣ x + 3 ∣ + 1 ) Sustituye ∣ x + 3 ∣ + 1 por f(x).
= − ∣ x + 3 ∣ − 1 Propiedad distributiva
La función refl ejada es g(x) = − ∣ x + 3 ∣ − 1.
b. Una refl exión en el eje y cambia el signo de cada valor de entrada.
h(x) = f(−x) Multiplica la entrada por −1.
= ∣ −x + 3 ∣ + 1 Reemplaza x con −x en f(x).
= ∣ −(x − 3) ∣ + 1 Descompone en factores −1.
= ∣ −1 ∣ ⋅ ∣ x − 3 ∣ + 1 Propiedad del producto de valor absoluto
= ∣ x − 3 ∣ + 1 Simplifi ca.
La función refl ejada es h(x) = ∣ x − 3 ∣ + 1.
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Escribe una función g cuya gráfi ca represente la transformación indicada de la gráfi ca de f. Usa una calculadora gráfi ca para verifi car tu respuesta.
1. f(x) = 3x; traslación 5 unidades hacia arriba
2. f(x) = ∣ x ∣ − 3; traslación 4 unidades hacia la derecha
3. f(x) = − ∣ x + 2 ∣ − 1; refl exión en el eje x
4. f(x) = 1 —
2 x + 1; refl exión en el eje y
Verifi ca
10
−10
−10
10
f
g
h
CONSEJO DE ESTUDIO
Cuando refl ejas una función en una línea, las gráfi cas son simétricas alrededor de esa línea.
Concepto Concepto EsencialEsencialRefl exiones en el eje x Refl exiones en el eje y
La gráfi ca de y = −f (x) es una
refl exión en el eje x de la gráfi ca
de y = f (x).
La gráfi ca de y = f (−x) es una refl exión
en el eje y de la gráfi ca de y = f (x).
x
y
y = −f(x)
y = f(x)
x
yy = f(−x) y = f(x)
Multiplicar las salidas por −1
cambia sus signos.
Multiplicar las entradas por −1
cambia sus signos.
hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 13hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 13 6/17/15 1:58 PM6/17/15 1:58 PM
14 Capítulo 1 Funciones lineales
Concepto Concepto EsencialEsencialAlargamientos y encogimientos horizontalesLa gráfi ca de y = f (ax) es un alargamiento o
encogimiento horizontal por un factor de 1 —
a de
la gráfi ca de y = f(x), donde a > 0 y a ≠ 1.
Multiplicar las entradas por a antes de evaluar la
función alarga la gráfi ca horizontalmente (alejándose
del eje y) cuando 0 < a < 1 y encoge la gráfi ca
horizontalmente (hacia el eje y) cuando a > 1.
Alargamientos y encogimientos verticalesLa gráfi ca de y = a ⋅ f(x) es un alargamiento o
encogimiento vertical por un factor de a de la
gráfi ca de y = f(x), donde a > 0 y a ≠ 1.
Multiplicar las salidas por a alarga la gráfi ca
verticalmente (alejándose del eje x) cuando
a > 1 y encoge la gráfi ca verticalmente (hacia
el eje x) cuando 0 < a < 1.
Alargamientos y EncogimientosEn la sección anterior, aprendiste que los alargamientos y encogimientos verticales
transforman gráfi cas. También puedes usar alargamientos y encogimiento horizontales
para transformar gráfi cas.
CONSEJO DE ESTUDIO
Las gráfi cas de y = f(−ax)y y = −a ⋅ f(x) representan un alargamiento o encogimiento y una refl exión en el eje x o eje y de la gráfi ca de y = f (x).
Escribir alargamientos y encogimientos de funciones
Imagina que f(x) = ∣ x − 3 ∣ − 5. Escribe (a) una función g cuya gráfi ca es un
encogimiento horizontal de la gráfi ca de f por un factor de 1 —
3 y (b) una función h cuya
gráfi ca es un alargamiento vertical de la gráfi ca de f por un factor de 2.
SOLUCIÓN
a. Un encogimiento horizontal por un factor de 1 —
3 multiplica cada valor de entrada por 3.
g(x) = f(3x) Multiplica la entrada por 3.
= ∣ 3x − 3 ∣ − 5 Reemplaza x con 3x en f(x).
La función transformada es g(x) = ∣ 3x − 3 ∣ − 5.
b. Una función vertical por un factor de 2 multiplica cada valor de salida por 2.
h(x) = 2 ⋅ f(x) Multiplica la salida por 2.
= 2 ⋅ ( ∣ x − 3 ∣ − 5 ) Sustituye ∣ x − 3 ∣ − 5 por f(x).
= 2 ∣ x − 3 ∣ − 10 Propiedad distributiva
La función transformada es h(x) = 2 ∣ x − 3 ∣ − 10.
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Escribe una función g cuya gráfi ca representa la transformación de la gráfi ca de f. Usa una calculadora gráfi ca para verifi car tu respuesta.
5. f(x) = 4x + 2; alargamiento horizontal por un factor de 2
6. f(x) = ∣ x ∣ − 3; encogimiento vertical por un factor de 1 —
3
Verifi ca
14
−12
−10
4
fg h
x
y
y = f(ax),0 < a < 1
y = f(ax),a > 1
y = f(x)
La intersección con el eje y
permanece igual.
x
y
y = a ∙ f(x),0 < a < 1
y = a ∙ f(x),a > 1
y = f(x)
La intersección con el eje x
permanece igual.
hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 14hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 14 6/17/15 1:58 PM6/17/15 1:58 PM
Sección 1.2 Transformaciones de funciones lineales y de valor absoluto 15
Combinaciones de transformacionesPuedes escribir una función que represente una serie de transformaciones de la gráfi ca
de otra función aplicando las transformaciones una a la vez en el orden indicado.
Verifi ca
12
−8
−8
12
g
f
Combinar transformaciones
Imagina que la gráfi ca de g es un encogimiento vertical por un factor de 0.25 seguido por
una traslación 3 unidades hacia arriba de la gráfi ca de f(x) = x. Escribe una regla para g.
SOLUCIÓN
Paso 1 Primero escribe una función h que represente el encogimiento vertical de f.
h(x) = 0.25 ⋅ f(x) Multiplica la salida por 0.25.
= 0.25x Sustituye x por f(x).
Paso 2 Luego escribe una función g que represente la traslación de h.
g(x) = h(x) + 3 Suma 3 a la salida.
= 0.25x + 3 Sustituye 0.25x por f(x).
La función transformada es g(x) = 0.25x + 3.
Representar con matemáticas
Diseñas un juego de computadora. Tus ingresos por x descargas está dado por f(x) = 2x. Tu
ganancia es $50 menos que el 90% del ingreso por x descargas. Describe cómo transformar
la gráfi ca de f para representar la ganancia. ¿Cuál es tu ganancia por 100 descargas?
SOLUCIÓN
1. Comprende el problema Te dan una función que representa tu ingreso y un enunciado
verbal que representa tu ganancia. Te piden hallar la ganancia por 100 descargas.
2. Haz un plan Escribe una función p que represente tu ganancia. Luego usa esta
función para hallar la ganancia por 100 descargas.
3. Resuelve el problema ganancia = 90% ⋅ ingreso − 50
p(x) = 0.9 ⋅ f(x) − 50
= 0.9 ⋅ 2x − 50 Sustituye 2x por f(x).
= 1.8x − 50 Simplifi ca.
Para hallar la ganancia por 100 descargas, evalúa p cuando x = 100.
p(100) = 1.8(100) − 50 = 130
Tu ganancia es $130 por 100 descargas.
4. Verifícalo El encogimiento vertical disminuye la pendiente y la traslación desplaza
la gráfi ca 50 unidades hacia abajo. Entonces, la gráfi ca de p está por debajo y no es
tan inclinada como la gráfi ca de f.
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
7. Imagina que la gráfi ca de g es una traslación 6 unidades hacia abajo seguida de
una refl exión en el eje x de la gráfi ca de f (x) = ∣ x ∣ . Escribe una regla para g. Usa
una calculadora gráfi ca para verifi car tu respuesta.
8. ¿QUÉ PASA SI? En el ejemplo 5, la función de tu ingreso es f(x) = 3x. ¿Cómo
afecta esto tu ganancia por 100 descargas?
Encogimiento vertical por un factor de 0.9
S tit 2 f(f )
Traslación 50 unidades hacia abajo
3000
0
200
f p
y = 1.8x − 50
X=100 Y=130
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16 Capítulo 1 Funciones lineales
1.2 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
En los Ejercicios 3–8, escribe una función g cuya gráfi ca represente la transformación indicada de la gráfi ca de f. Use una calculadora gráfi ca para verifi car tu respuesta. (Consulta el Ejemplo 1).
3. f(x) = x − 5; traslación 4 unidades hacia la izquierda
4. f(x) = x + 2; traslación 2 unidades hacia la derecha
5. f(x) = ∣ 4x + 3 ∣ + 2; traslación 2 unidades hacia abajo
6. f(x) = 2x − 9; traslación 6 unidades hacia arriba
7. f(x) = 4 − ∣ x + 1 ∣ 8. f(x) = ∣ 4x ∣ + 5
x
y5
1
31−1
f g
x
y
2
4
2−2
fg
9. ESCRIBIR Describe dos traslaciones diferentes de la
gráfi ca de f que den como resultado la gráfi ca de g.
x
y2
−6
42−2
f(x) = −x − 5
g(x) = −x − 2
10. RESOLVER PROBLEMAS Abres un café. La función
f(x) = 4000x representa tu ingreso neto esperado (en
dólares) después de estar abierto x semanas. Antes de
abrir, incurres en un gasto extra de $12,000. ¿Cuál
transformación de f es necesaria para representar
esta situación? ¿Cuántas semanas te tomará pagar
completamente el gasto extra?
En los Ejercicios 11–16, escribe una función g cuya gráfi ca represente la transformación indicada de la gráfi ca de f. Usa una calculadora gráfi ca para verifi car tu respuesta. (Consulta el Ejemplo 2).
11. f(x) = −5x + 2; refl exión en el eje x
12. f(x) = 1 —
2 x − 3; refl exión en el eje x
13. f(x) = ∣ 6x ∣ − 2; refl exión en el eje y
14. f(x) = ∣ 2x − 1 ∣ + 3; refl exión en el eje y
15. f(x) = −3 + ∣ x − 11 ∣ ; refl exión en el eje y
16. f(x) = −x + 1; refl exión en el eje y
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
1. COMPLETAR LA ORACIÓN La función g(x) = ∣ 5x ∣ − 4 es un ___________ horizontal de la
función f (x) = ∣ x ∣ − 4.
2. ¿CUÁL NO CORRESPONDE? ¿Cuál transformación no pertenece al grupo de las otras tres? Explica tu
razonamiento.
Traslada la gráfi ca de f(x) = 2x + 3
2 unidades hacia arriba.
Encoge la gráfi ca de f(x) = x + 5
horizontalmente por un factor de 1 —
2 .
Alarga la gráfi ca de f(x) = x + 3
verticalmente por un factor de 2.
Traslada la gráfi ca de f(x) = 2x + 3
1 unidad hacia la izquierda.
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
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Sección 1.2 Transformaciones de funciones lineales y de valor absoluto 17
En los Ejercicios 17–22, escribe una función g cuya gráfi ca represente la transformación indicada de la gráfi ca de f. Usa una calculadora gráfi ca para verifi car tu respuesta. (Consulta el Ejemplo 3).
17. f(x) = x + 2; alargamiento vertical por un factor de 5
18. f(x) = 2x + 6; encogimiento vertical por un factor de 1 —
2
19. f(x) = ∣ 2x ∣ + 4; encogimiento horizontal por un
factor de 1 —
2
20. f(x) = ∣ x + 3 ∣ ; alargamiento horizontal por un factor de 4
21. f(x) = −2 ∣ x − 4 ∣ + 2
x
y2
−2
4
f
g
(4, 2)(4, 1)
22. f(x) = 6 − x
x
y
f
4
2
6
84−4
(0, 6)
g
ANALIZAR RELACIONES
x
y
f
En los Ejercicios 23–26, une la gráfi ca de la transformación de f con la ecuación correcta mostrada. Explica tu razonamiento.
23.
x
y 24.
x
y
25.
x
y 26.
x
y
A. y = 2f(x) B. y = f (2x)
C. y = f (x + 2) D. y = f(x) + 2
En los Ejercicios 27–32, escribe una función g cuya gráfi ca represente las transformaciones indicadas de la gráfi ca de f. (Consulta el Ejemplo 4).
27. f(x) = x; alargamiento vertical por un factor de 2
seguido de una traslación 1 unidad hacia arriba
28. f(x) = x; traslación 3 unidades hacia abajo seguida de
un encogimiento vertical por un factor de 1 —
3
29. f(x) = ∣ x ∣ ; traslación 2 unidades hacia la derecha
seguida de un alargamiento horizontal por un factor de 2
30. f(x) = ∣ x ∣ ; refl exión en el eje y seguida por una
traslación 3 unidades hacia la derecha
31. f (x) = ∣ x ∣ 32. f (x) = ∣ x ∣
x
y4
−4
−12
84−4−8
f
g
x
y4
2
−4
42−2−4
f
g
ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 33 y 34, identifi ca y corrige el error cometido al escribir la función g cuya gráfi ca representa las transformaciones indicadas de la gráfi ca de f.
33. f (x) = ∣ x ∣ ; traslación
3 unidades hacia la derecha seguida de una traslación 2 unidades hacia arriba
g(x) = ∣ x + 3 ∣ + 2
✗
34. f (x) = x ; traslación 6 unidades hacia abajo seguida de un alargamiento vertical por un factor de 5
g(x) = 5x − 6
✗
35. ARGUMENTAR Tu amigo afi rma que cuando escribe
una función cuya gráfi ca represente una combinación
de transformaciones, el orden no es importante. ¿Tiene
razón tu amigo? Justifi ca tu respuesta.
hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 17hsnb_span_alg2_pe_0102.indd 17 6/17/15 1:58 PM6/17/15 1:58 PM
18 Capítulo 1 Funciones lineales
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasEvalúa la función para el valor de x dado. (Manual de revisión de destrezas)
46. f(x) = x + 4; x = 3 47. f(x) = 4x − 1; x = −1
48. f(x) = −x + 3; x = 5 49. f(x) = −2x − 2; x = −1
Crea un diagrama de dispersión de los datos. (Manual de revisión de destrezas)
50. x 8 10 11 12 15
f(x) 4 9 10 12 12
51. x 2 5 6 10 13
f(x) 22 13 15 12 6
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
36. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Durante un período
de tiempo reciente, las ventas de las librerías han estado
decayendo. Las ventas (en miles de millones de dólares)
pueden representarse mediante la función f(t) = − 7 —
5 t + 17.2,
donde t es el número de años desde 2006. Supón que
las ventas decayeron al doble de la tasa. ¿Cómo puedes
transformar la gráfi ca de f para representar las ventas?
Explica cómo las ventas en 2010 se ven afectadas por
este cambio. (Consulta el Ejemplo 5).
CONEXIONES MATEMÁTICAS En los Ejercicios 37–40, describe la transformación de la gráfi ca de f a la gráfi ca de g. Luego halla el área del triángulo sombreado.
37. f(x) = ∣ x − 3 ∣ 38. f(x) = − ∣ x ∣ − 2
f g
x
y6
−2
42−2−4
x
y
−4
2−2
f
g
39. f(x) = −x + 4 40. f(x) = x − 5
x
y
f
g2
−2
4 62−2
f g
xy
−2
2−2
41. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Las funciones
f(x) = mx + b y g(x) = mx + c representan dos
líneas paralelas.
a. Escribe una expresión para la traslación vertical de
la gráfi ca de f a la gráfi ca de g.
b. Usa la defi nición de pendiente para escribir una
expresión para la traslación horizontal de la gráfi ca
de f a la gráfi ca de g.
42. ¿CÓMO LO VES? Considera la gráfi ca de
f(x) = mx + b. Describe el efecto que cada
transformación tiene en la pendiente de la línea
y las intersecciones de la gráfi ca.
x
y
f
a. Refl eja la gráfi ca de f en el eje y.
b. Encoge la gráfi ca de f verticalmente por un factor de 1 —
3 .
c. Alarga la gráfi ca de f horizontalmente por un
factor de 2.
43. RAZONAR La gráfi ca de g(x) = −4 ∣ x ∣ + 2 es una
refl exión en el eje x, un alargamiento vertical por un
factor de 4 y una traslación 2 unidades hacia abajo de la
gráfi ca de su función madre. Elige el orden correcto para
las transformaciones de la gráfi ca de la función madre
para obtener la gráfi ca de g. Explica tu razonamiento.
44. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Estás planeando un
paseo en bicicleta a campo traviesa de 4320 millas.
Tu distancia d (en millas) desde el punto medio puede
representarse mediante d = 72 ∣ x − 30 ∣ , donde x es
el tiempo (en días) y x = 0 representa el 1° de junio.
Tus planes son modifi cados de tal manera que el
modelo sea ahora un desplazamiento hacia la derecha
del modelo original. Da un ejemplo de cómo puede
suceder esto. Dibuja tanto el modelo original y el
modelo desplazado.
45. PENSAMIENTO CRÍTICO Usa el valor correcto 0,
−2 o 1 con a, b y c para que la gráfi ca de
g(x) = a ∣ x − b ∣ + c sea una refl exión en el eje x
seguida de una transformación una unidad hacia la
izquierda y una unidad hacia arriba de la gráfi ca de
f(x) = 2 ∣ x − 2 ∣ + 1. Explica tu razonamiento.
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1919
1.1–1.2 ¿Qué aprendiste?
Vocabulario EsencialVocabulario Esencialfunción madre, pág. 4transformación, pág. 5 traslación, pág. 5
refl exión, pág. 5alargamiento vertical, pág. 6encogimiento vertical, pág. 6
Conceptos EsencialesConceptos EsencialesSección 1.1Funciones madre, pág. 4 Describir transformaciones, pág. 5
Sección 1.2Traslaciones horizontales, pág. 12Traslaciones verticales, pág. 12Refl exiones en el eje x, pág. 13
Refl exiones en el eje y, pág. 13Alargamientos y encogimientos horizontales, pág. 14Alargamientos y encogimientos verticales, pág. 14
Prácticas matemáticasPrácticas matemáticas1. ¿Cómo puedes analizar los valores dados en la tabla del Ejercicio 45 de la página 9 para ayudarte
a determinar qué tipo de función representa los datos?
2. Explica cómo redondearías tu respuesta en el Ejercicio 10 de la página 16 si el gasto extra es
de $13,500.
1. Siéntate donde puedas ver y oír fácilmente al profesor, y donde el profesor pueda verte a ti.2. Presta atención a lo que dice el profesor sobre las matemáticas, no solamente a lo que
está escrito en la pizarra.3. Haz una pregunta si el profesor está avanzando demasiado rápido
por el material. 4. Trata de memorizar nueva información mientras la aprendes.5. Pide una aclaración si no entiendes algo.6. Piensa tan intensamente como si fueras a tomar una prueba
sobre el material al fi nal de la clase.7. Preséntate como voluntario cuando el profesor pida que
alguien se acerque a la pizarra.8. Al fi nal de la clase, identifi ca los conceptos o problemas
para los que todavía necesitas una aclaración.9. Usa las guías didácticas en BigIdeasMath.com si deseas ayuda adicional.
Destrezas de estudio
Asumir el control de tu tiempo en clase
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20 Capítulo 1 Funciones lineales
1.1–1.2 Prueba
Identifi ca la familia y funciones a la que pertenece g. Compara la gráfi ca de la función con la gráfi ca de su función madre. (Sección 1.1)
1.
x
y
2
−2
4−2
g(x) = x − 113
2.
x
y
8
12
4
2−2−4
g(x) = 2(x + 1)2
3.
x
y4
2
2−4
g(x) = �x + 1� − 2
Haz una gráfi ca de la función y su función madre. Luego describe la transformación. (Sección 1.1)
4. f(x) = 3 —
2 5. f(x) = 3x 6. f(x) = 2(x − 1)2
7. f(x) = − ∣ x + 2 ∣ − 7 8. f(x) = 1 —
4 x2 + 1 9. f(x) = −
1 —
2 x − 4
Escribe una función g cuya gráfi ca represente las transformaciones indicadas de la gráfi ca de f. (Sección 1.2)
10. f(x) = 2x + 1; traslación 3 unidades hacia arriba 11. f(x) = −3 ∣ x − 4 ∣ ; encogimiento vertical por un factor de 1 —
2
12. f(x) = 3 ∣ x + 5 ∣ ; refl exión en el eje x 13. f(x) = 1 —
3 x −
2 —
3 ; traslación 4 unidades hacia la izquierda
Escribe una función g cuya gráfi ca represente las transformaciones indicadas de la gráfi ca de f. (Sección 1.2)
14. Imagina que g es una traslación 2 unidades hacia abajo y un encogimiento horizontal por
un factor de 2 —
3 de la gráfi ca de f(x) = x.
15. Imagina que g es una traslación 9 unidades hacia abajo seguida de una refl exión en el eje
y de la gráfi ca de f(x) = x.
16. Imagina que g es una refl exión en el eje x y un alargamiento vertical por un factor de 4 seguido
de una traslación 7 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha de la gráfi ca de f(x) = ∣ x ∣ .
17. Imagina que g es una traslación 1 unidad hacia abajo y 2 unidades hacia la izquierda
seguida de un encogimiento vertical por un factor de 1 —
2 de la gráfi ca de f (x) = ∣ x ∣ .
18. La tabla muestra la distancia total que recorre un auto nuevo cada mes después que lo
compran. ¿Qué tipo de función puedes usar para representar los datos? Calcula el millaje
después de 1 año. (Sección 1.1)
Tiempo (meses), x 0 2 5 6 9
Distancia (millas), y 0 2300 5750 6900 10,350
19. El costo total de un pase anual más campamento por x días en un Parque Nacional puede
representarse mediante la función f(x) = 20x + 80. Los adultos mayores pagan la mitad
de este precio y reciben un descuento adicional de $30. Describe cómo transformar la
gráfi ca de f para representar el costo total para un adulto mayor. ¿Cuál es el costo total
para que un adulto mayor vaya de campamento por tres días? (Sección 1.2)
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1.3
Sección 1.3 Representar con funciones lineales 21
Representar con funciones lineales
Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes usar una función lineal para
representar y analizar una situación de la vida real?
Representar con una función lineal
Trabaja con un compañero. Una compañía
compra una fotocopiadora por $12,000. La
hoja de cálculo muestra cómo se deprecia la
fotocopiadora en un período de 8 años.
a. Escribe una función lineal para representar el
valor V de la fotocopiadora como una función
del número t de años.
b. Dibuja una gráfi ca de la función. Explica por
qué este tipo de depreciación se conoce como
depreciación de línea recta.
c. Interpreta la pendiente de la gráfi ca en el
contexto del problema.
Representar con funciones lineales
Trabaja con un compañero. Une cada descripción de la situación con su gráfi ca
correspondiente. Explica tu razonamiento.
a. Una persona la da $20 por semana a un amigo para repagar un préstamo de $200.
b. Un empleado recibe $12.50 por hora más $2 por cada unidad producida por hora.
c. Un representante de ventas recibe $30 por día por concepto de alimentación más
$0.565 por cada milla que maneja.
d. Una computadora que se compró por $750 se deprecia $100 cada año.
A.
x
y
40
20
84
B.
x
y
200
100
84
C.
x
y
20
10
84
D.
x
y
800
400
84
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Cómo puedes usar una función lineal para representar y analizar una situación de
la vida real?
4. Usa el Internet u otro tipo de referencia para hallar un ejemplo de la vida real de
depreciación de línea recta.
a. Usa una hoja de cálculo para mostrar la depreciación.
b. Escribe una función que represente la depreciación.
c. Dibuja una gráfi ca de la función.
REPRESENTAR CON MATEMÁTIAS
Para dominar las matemáticas, necesitas interpretar rutinariamente tus resultados dentro del contexto de la situación.
ones lineales
AAño, t
012345678
BValor, V$12,000$10,750$9,500$8,250$7,000$5,750$4,500$3,250$2,000
21
34567891011
hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 21hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 21 6/17/15 1:59 PM6/17/15 1:59 PM
1.3
22 Capítulo 1 Funciones lineales
Lección
línea de ajuste, pág. 24línea de mejor ajuste, pág. 25co efi ciente de correlación,
pág. 25
Anterior pendientefo rma de pendiente e
intersecciónforma de punto y pendientediagrama de dispersión
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
Qué aprenderásQué aprenderás Escribir ecuaciones de funciones lineales usando puntos y pendientes.
Hallar líneas de ajuste y líneas de mejor ajuste.
Escribir ecuaciones lineales
Escribir una ecuación lineal a partir de una gráfi ca
La gráfi ca muestra la distancia que recorre el asteroide 2012 DA14 en x segundos.
Escribe una ecuación de la línea e interpreta la pendiente. El asteroide llegó dentro de
17,200 millas de la Tierra en febrero de 2013. ¿Aproximadamente cuánto se demora el
asteroide en recorrer esa distancia?
SOLUCIÓN
A partir de la gráfi ca, puedes ver que la pendiente es m = 24
— 5 = 4.8 y la intersección
con el eje y es b = 0. Usa la forma de pendiente e intersección para escribir una
ecuación de la línea.
y = mx + b Forma de pendiente e intersección
= 4.8x + 0 Sustituye 4.8 por m y 0 por b.
La ecuación es y = 4.8x. La pendiente indica que el asteroide viaja a 4.8 millas por
segundo. Usa la ecuación para hallar cuánto se demora el asteroide en recorrer
17,200 millas.
17,200 = 4.8x Sustituye 17,200 por y.
3583 ≈ x Divide cada lado entre 4.8.
Ya que hay 3600 segundos en 1 hora, al asteroide le toma alrededor de 1 hora
recorrer 17,200 millas.
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
1. La gráfi ca muestra el saldo restante
y en un préstamo de auto después
de hacer x pagos mensuales.
Escribe una ecuación de la línea
e interpreta la pendiente y la
intersección con el eje y. ¿Cuál
es el saldo restante después de
36 pagos?
Asteroide 2012 DA14Asteroide 2012 DA14
Dis
tan
cia
(mill
as)
0
8
16
24
y
Tiempo (segundos)60 2 4 x
(5, 24)
RECUERDAUna ecuación de la forma y = mx indica que x y y están en una relación proporcional.
Préstamo de autoPréstamo de auto
Sald
o(m
iles
de
dó
lare
s)
0
6
12
18y
Número de pagos300 10 20 40 50 60 x
(0, 18)
(10, 15)
Conceptos Conceptos EsencialesEsencialesEscribir una ecuación de una línea
Dada la pendiente m y la intersección b Usa la forma de pendiente e intersección:
con el eje y y = mx + b
Dada la pendiente m y un punto Usa la forma de punto y pendiente:
(x1, y1) y − y1 = m(x − x1)
Dados los puntos dados Primero usa la fórmula de pendiente
(x1, y1) y (x2, y2) para hallar m. Luego usa la forma de
punto y pendiente con cualquiera de
los puntos dados.
hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 22hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 22 6/17/15 1:59 PM6/17/15 1:59 PM
Sección 1.3 Representar con funciones lineales 23
Representar con matemáticas
Dos locales para la fi esta de graduación cobran una tarifa de alquiler más una tarifa
por alumno. La tabla muestra los costos totales para números diferentes de alumnos
en Lakeside Inn. El costo total y (en dólares) para x alumnos en Sunview Resort está
representado por la ecuación
y = 10x + 600.
¿Qué local cobra menos por alumno? ¿Cuántos alumnos deben asistir para que los
costos totales sean los mismos?
SOLUCIÓN
1. Comprende el problema Te dan una ecuación que represente el costo total en un
local y una tabla de valores mostrando los costos totales en otro local. Necesitas
comparar los costos.
2. Haz un plan Escribe una ecuación que represente el costo total en Lakeside Inn.
Luego compara las pendientes para determinar qué local cobra menos por alumno.
Finalmente, iguala las expresiones de costos y resuelve para determinar el número
de alumnos para los cuales los costos totales son los mismos.
3. Resuelve el problema Primero halla la pendiente usando dos puntos cualquiera
de la tabla. Usa (x1, y1) = (100, 1500) y (x2, y2) = (125, 1800).
m = y2
− y1 — x2 − x1
= 1800 − 1500
—— 125 − 100
= 300
— 25
= 12
Escribe una ecuación que represente el costo total en Lakeside Inn usando la
pendiente de 12 y un punto de la tabla. Usa (x1, y1) = (100, 1500).
y − y1 = m(x − x1) Forma de punto y pendiente
y − 1500 = 12(x − 100) Sustituye por m, x1 y y1.
y − 1500 = 12x − 1200 Propiedad distributiva
y = 12x + 300 Suma 1500 a cada lado.
Iguala las expresiones de costos y resuelve.
10x + 600 = 12x + 300 Iguala las expresiones de costo.
300 = 2x Combina los términos semejantes.
150 = x Divide cada lado entre 2.
Comparando las pendientes de las ecuaciones, Sunview Resort cobra $10 por
alumno, lo cual es menos que los $12 por alumno que cobra Lakeside Inn.
Los costos totales son los mismos para 150 alumnos.
4. Verifícalo Nota que la tabla muestra que el costo total para 150 alumnos en
Lakeside Inn es $2100. Para verifi car que tu solución está correcta, verifi ca que el
costo total en Sunview Resort sea también $2100 para 150 alumnos.
y = 10(150) + 600 Sustituye 150 por x.
= 2100 ✓ Simplifi ca.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
2. ¿QUÉ PASA SI? Maple Ridge cobra una tarifa de alquiler más una tarifa de
$10 por alumno. El costo total es $1900 por 140 alumnos. Describe el número de
alumnos que deben asistir para que el costo total en Maple Ridge sea menor que
los costos totales en los otros dos locales.
Lakeside Inn
Número de alumnos, x
Costo total, y
100 $1500
125 $1800
150 $2100
175 $2400
200 $2700
hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 23hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 23 6/17/15 1:59 PM6/17/15 1:59 PM
24 Capítulo 1 Funciones lineales
Hallar líneas de ajuste y líneas de mejor ajusteLos datos no siempre muestran una relación lineal exacta. Cuando los datos en un
diagrama de dispersión muestran aproximadamente una relación lineal, puedes
representar los datos con una línea de ajuste.
Hallar una línea de ajuste
La tabla muestra las longitudes (en centímetros) y alturas (en centímetros) de fémures
de varias personas. ¿Los datos muestran una relación lineal? Si es así, escribe una
ecuación de una línea de ajuste y úsala para calcular la altura de una persona cuyo
fémur tiene 35 centímetros de largo.
SOLUCIÓN
Paso 1 Crea un diagrama de dispersión de los datos.
Los datos muestran una relación lineal.
Paso 2 Dibuja la línea que parece seguir más de
cerca el ajuste de los datos. Se muestra una
posibilidad.
Paso 3 Elige dos puntos de la línea. Para la línea
mostrada, podrías elegir (40, 170) y (50, 195).
Paso 4 Escribe una ecuación de la línea.
Primero, halla la pendiente.
m = y2 − y1 — x2 − x1
= 195 − 170
— 50 − 40
= 25
— 10
= 2.5
Usa la forma de punto y pendiente para escribir una ecuación. Usa
(x1, y1) = (40, 170).
y − y1 = m(x − x1) Forma de punto y pendiente
y − 170 = 2.5(x − 40) Sustituye por m, x1 y y2.
y − 170 = 2.5x − 100 Propiedad distributiva
y = 2.5x + 70 Suma 170 a cada lado.
Usa la ecuación para estimar la altura de la persona.
y = 2.5(35) + 70 Sustituye 35 por x.
= 157.5 Simplifi ca.
La altura aproximada de una persona con un fémur de 35 centímetros es de
157.5 centímetros.
Esqueleto humanoEsqueleto humano
Alt
ura
(cen
tím
etro
s)
0
80
160
y
Longitud del fémur(centímetros)
50 x0 30 40
(40, 170)
(50, 195)
Longitud del fémur, x
Altura, y
40 170
45 183
32 151
50 195
37 162
41 174
30 141
34 151
47 185
45 182
Conceptos Conceptos EsencialesEsencialesHallar una línea de ajustePaso 1 Crea un diagrama de dispersión de los datos.
Paso 2 Dibuja la línea que parece seguir de más cerca la tendencia dada por
los puntos de datos. Debería haber tantos puntos por encima de la línea
como por debajo de ella.
Paso 3 Elige dos puntos de la línea y calcula las coordenadas de cada punto.
Estos puntos no tienen que ser puntos de datos originales.
Paso 4 Escribe una ecuación de la línea que pasa a través de los dos puntos del
Paso 3. Esta ecuación es una representación para los datos.
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Sección 1.3 Representar con funciones lineales 25
La línea de mejor ajuste es la línea que pertenece tan cerca como sea posible a todos
los puntos de datos. Muchas herramientas tecnológicas tienen una función de regresión lineal que puedes usar para hallar la línea de mejor ajuste para un conjunto de datos.
El coefi ciente de correlación, denotado por r es un número de –1 a 1 que mide cuán
bien se ajusta una línea a un conjunto de pares de datos (x, y). Cuando r está cerca a 1,
los puntos están cerca a una línea con una pendiente positiva. Cuando r está cerca a,
los puntos no están cerca a una línea con pendiente negativa.
Usar una calculadora gráfi ca
Usa la función de regresión lineal en una calculadora gráfi ca para hallar una ecuación de
la línea de mejor ajuste para los datos del Ejemplo 3. Calcula la altura de una persona cuyo
fémur mide 35 centímetros de largo. Compara esta altura con tu cálculo del Ejemplo 3.
SOLUCIÓN
Paso 1 Ingresa los datos en
dos listas.
Paso 2 Usa la función de regresión lineal. La línea de mejor ajuste es
y = 2.6x + 65.
L2 L3L1
L1(1)=40
170183151195162174141
4540
3250374130
y=ax+bRegLin
a=2.603570555b=64.99682074r2=.9890669473r=.9945184499
El valor der está más cerca de 1.
Paso 3 Haz una gráfi ca de la
ecuación de regresión con
el diagrama de dispersión.
Paso 4 Usa la función trazar para hallar
el valor de y cuando x = 35.
55120
25
210
55120
25
210
X=35 Y=156
y = 2.6x + 65
La altura aproximada de una persona con un fémur de 35 centímetros es
156 centímetros. Esto es menor que el cálculo hallado en el Ejemplo 3.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
3. La tabla muestra las longitudes (en centímetros) y alturas (en centímetros) de
húmeros de varias mujeres.
Longitud del húmero, x 33 25 22 30 28 32 26 27
Altura, y 166 142 130 154 152 159 141 145
a. ¿Los datos muestran una relación lineal? Si es así, escribe una ecuación de una
línea de ajuste y úsala para calcular la altura de una mujer cuyo húmero tiene
40 centímetros de largo.
b. Usa la función de regresión lineal en una calculadora gráfi ca para hallar una
ecuación de la línea de mejor ajuste para los datos. Calcula la altura de una
mujer cuyo fémur mide 40 centímetros de largo. Compara esta altura con tu
cálculo de la parte (a).
PRESTAR ATENCIÓN A LA PRECISIÓNAsegúrate de analizar los valores de los datos para ayudarte a seleccionar una ventana de visualización apropiada para tu gráfi ca.
húmero
fémur
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1.3
26 Capítulo 1 Funciones lineales
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
1. COMPLETAR LA ORACIÓN La ecuación lineal y = 1 —
2 x + 3 se escribe en forma de ____________.
2. VOCABULARIO Una línea de mejor ajuste tiene un coefi ciente de correlación de −0.98. ¿Qué puedes
concluir acerca de la pendiente de la línea?
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
En los Ejercicios 3–8, usa la gráfi ca para escribir una ecuación de la línea e interpreta la pendiente. (Consulta el Ejemplo 1).
3. 4. Tanque de gasolinaTanque de gasolina
Co
mb
ust
ible
(g
alo
nes
)
Distancia (millas)0
0
4
8
y
60 120 x
390
(90, 9)
. 4PropinaPropina
Pro
pin
a (d
óla
res)
0
2
4y
Costo de lacomida (dólares)
0 4 8 12 x
(10, 2)
5. Cuenta de ahorrosCuenta de ahorros
Sald
o (
dó
lare
s)
0
150
250
350
y
Tiempo (semanas)0 2 4 x
(4, 300)
2
100
6.
7. Velocidad de tipeoVelocidad de tipeo
Pala
bra
s ti
pea
das
Tiempo (minutos)0
0
50
100
150
y
2 4 x
(3, 165)
(1, 55)
8.
9. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Dos periódicos
cobran una tarifa por publicar un aviso publicitario en
su periódico más una tarifa basada en el número de
líneas del aviso. La tabla muestra los costos totales
para avisos de distinta longitud en el Daily Times. El
costo total y (en dólares) para un aviso que tiene
x líneas en el Greenville Journal se representa
mediante la ecuación y = 2x + 20. ¿Qué periódico
cobra menos por línea? ¿Cuántas líneas debe haber en
un aviso para que los costos totales sean los mismos?
(Consulta el Ejemplo 2).
Daily Times
Número de líneas, x
Costo total, y
4 27
5 30
6 33
7 36
8 39
10. RESOLVER PROBLEMAS Durante una vacación en
Canadá, notas que las temperaturas las informan en
grados Celsius. Sabes que hay una relación lineal
entre Fahrenheit y Celsius, pero olvidas la fórmula.
De la clase de ciencias recuerdas que el punto de
congelación del agua es 0°C o 32°F, y su punto de
ebullición es 100°C o 212°F.
a. Escribe una ecuación que represente los grados
Fahrenheit en términos de grados Celsius.
b. La temperatura exterior es 22°C. ¿Cuál es esta
misma temperatura en grados Fahrenheit?
c. Reescribe tu ecuación de la parte (a) para representar
grados Celsius en términos de grados Fahrenheit.
d. La temperatura del agua de la piscina del hotel es
83°F. ¿Cuál es esta misma temperatura en grados
Celsius?
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
PiscinaPiscina
Vo
lum
en (
pie
s cú
bic
os)
0
200
400
y
Tiempo (horas)
0 2 4 x
(3, 300)
(5, 180)
Crecimiento de un árbolCrecimiento de un árbol
Alt
ura
de
un
árb
ol
(pie
s)
Edad (años)0
0
2
4
6y
2 4 x4
6
hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 26hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 26 6/22/15 10:17 AM6/22/15 10:17 AM
Sección 1.3 Representar con funciones lineales 27
ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 11 y 12, describe y corrige el error cometido al interpretar la pendiente en el contexto de la situación.
11. Cuenta de ahorrosCuenta de ahorros
Sald
o (
dó
lare
s)
0
110
130
150
y
Año60 2 4 x
(0, 100)
(4, 140)
La pendiente de la línea es 10, entonces, después de 7 años, el saldo es $70.
✗
12.
En los Ejercicios 13–16, determina si los datos muestran una relación lineal. Si es así, escribe una ecuación de la línea de ajuste. Calcula y cuando x = 15 y explica su signifi cado en el contexto de la situación. (Consulta el Ejemplo 3).
13. Minutos caminando, x 1 6 11 13 16
Calorías quemadas, y 6 27 50 56 70
14. Meses, x 9 13 18 22 23
Longitud del cabello (pulg), y
3 5 7 10 11
15. Horas, x 3 7 9 17 20
Vida útil de la batería (%), y
86 61 50 26 0
16. Talla de zapato, x 6 8 8.5 10 13
Ritmo cardíaco (ppm), y
112 94 100 132 87
17. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Los pares de
datos (x, y) representan el costo de la educación anual
promedio y (en dólares) para las universidades públicas
de los Estados Unidos x años después del 2005. Usa la
función de regresión lineal en una calculadora gráfi ca
para hallar una ecuación de la línea de mejor ajuste.
Calcula el costo de la educación anual promedio para
el año 2020. Interpreta la pendiente y la intersección
con el eje y en esta situación. (Consulta el Ejemplo 4).
(0, 11,386), (1, 11,731), (2, 11,848)
(3, 12,375), (4, 12,804), (5, 13,297)
18. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La tabla muestra
los números de boletos vendidos para un concierto
cuando se cobran distintos precios. Escribe una ecuación
de una línea de ajuste para los datos. ¿Parece razonable
usar tu modelo para predecir el número de boletos
vendidos cuando el precio del boleto es $85? Explica.
Valor del boleto (dólares), x
17 20 22 26
Boletos vendidos, y
450 423 400 395
USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 19–24, usa la función de regresión lineal en una calculadora gráfi ca para hallar una ecuación de la línea de mejor ajuste para los datos. Halla e interpreta el coefi ciente de correlación.
19.
x
y
4
2
0420 6
20.
x
y
4
2
0420 6
21.
x
y
4
2
0420 6
22.
x
y
4
2
0420 6
23.
x
y
4
2
0420 6
24.
x
y
4
2
0420 6
25. FINAL ABIERTO Da dos cantidades de la vida real
que tengan (a) una correlación positiva, (b) una
correlación negativa y (c) aproximadamente ninguna
correlación. Explica.
GananciasGanancias
Ing
reso
(d
óla
res)
0
20
40
60
80
y
Horas60 2 4 x
(0, 0)
(3, 33)
La pendiente es 3, entonces el ingreso es $3 por hora.
✗
hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 27hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 27 6/17/15 1:59 PM6/17/15 1:59 PM
28 Capítulo 1 Funciones lineales
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasResuelve el sistema de ecuaciones lineales en dos variables por eliminación o sustitución. (Manual de revisión de destrezas)
33. 3x + y = 7 34. 4x + 3y = 2 35. 2x + 2y = 3
−2x − y = 9 2x − 3y = 1 x = 4y − 1
36. y = 1 + x 37. 1 — 2 x + 4y = 4 38. y = x − 4
2x + y = −2 2x − y = 1 4x + y = 26
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
26. ¿CÓMO LO VES? Obtienes un préstamo sin intereses
para comprar un bote. Aceptas hacer pagos mensuales
iguales por los próximos dos años. La gráfi ca muestra
la cantidad de dinero que todavía debes.
Préstamo para el botePréstamo para el boteSa
ldo
del
pré
stam
o(c
ien
tos
de
dó
lare
s)
0
10
20
30
y
Tiempo (meses)24 x0 8 16
a. ¿Cuál es la pendiente de la línea?
¿Qué representa la pendiente?
b. ¿Cuál es el dominio y rango de la función?
¿Qué representa cada uno de estos?
c. ¿Cuánto debes todavía después de hacer
pagos por 12 meses?
27. ARGUMENTAR Un conjunto de pares de datos tiene un
coefi ciente de correlación de r = 0.3. Tu amigo dice que
ya que el coefi ciente de correlación es positivo, es lógico
usar la línea de mejor ajuste para hacer predicciones.
¿Tiene razón tu amigo? Explica tu razonamiento.
28. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Los puntos A y B
pertenecen a la línea y = −x + 4. Elige coordenadas
para los puntos A, B y C donde el punto C está a la
misma distancia del punto A que del punto B. Escribe
ecuaciones para las líneas que conectan los puntos A y
C y los puntos B y C.
29. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Si x y y tienen una
correlación positiva y y y z tienen una correlación
negativa, entonces, ¿qué puedes concluir acerca de la
correlación entre x y z? Explica.
30. CONEXIONES MATEMÁTICAS ¿Qué ecuación tiene
una gráfi ca que es una línea que pasa a través del punto
(8, –5) y es perpendicular a la gráfi ca de y = −4x + 1?
○A y = 1 —
4 x − 5 ○B y = −4x + 27
○C y = − 1 —
4 x − 7 ○D y =
1 —
4 x − 7
31. RESOLVER PROBLEMAS Estás participando en una
competencia de orientación. El diagrama muestra
la posición de un río que pasa a través del bosque.
Actualmente te encuentras a 2 millas al este y 1 milla
al norte de tu punto de salida. ¿Cuál es la distancia
más corta que debes recorrer para llegar al río?
Este
Norte
4
2
0
8
y
6
210 4 x3
y = 3x + 2
32. ANALIZAR RELACIONES Los datos de los países
norteamericanos muestran una correlación positiva
entre el número de computadoras personales per
cápita y la expectativa de vida promedio del país.
a. ¿Una correlación positiva tiene sentido en esta
situación? Explica.
b. ¿Es razonable
concluir que
entregar
computadoras
personales a
los residentes
de un país
aumentará sus
expectativas de
vida? Explica.
hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 28hsnb_span_alg2_pe_0103.indd 28 6/17/15 1:59 PM6/17/15 1:59 PM
1.4
Sección 1.4 Resolver sistemas lineales 29
Resolver sistemas lineales
Pregunta esencial Pregunta esencial ¿Cómo puedes determinar el número de
soluciones de un sistema lineal?
Un sistema lineal es consistente cuando tiene al menos una solución. Un sistema lineal
es inconsistente cuando no tiene ninguna solución.
Reconocer gráfi cas de sistemas lineales
Trabaja con un compañero. Une cada sistema con su gráfi ca correspondiente.
Explica tu razonamiento. Luego clasifi ca el sistema como consistente o inconsistente.
a. 2x − 3y = 3 b. 2x − 3y = 3 c. 2x − 3y = 3
−4x + 6y = 6 x + 2y = 5 −4x + 6y = −6
A.
x
y
2
−2
42−2
B.
x
y
2
−2
42
C.
x
y
2
−2
42−2
Resolver sistemas de ecuaciones lineales
Trabaja con un compañero. Resuelve cada sistema lineal por sustitución o
eliminación. Luego usa la gráfi ca del sistema a continuación para verifi car tu solución.
a. 2x + y = 5 b. x + 3y = 1 c. x + y = 0
x − y = 1 −x + 2y = 4 3x + 2y = 1
x
y
2
42x
y4
−2
−2−4x
y
2
−2
2−2
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta3. ¿Cómo puedes determinar el número de soluciones de un sistema lineal?
4. Supón que te dan un sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables. Explica
cómo resolverías dicho sistema.
5. Aplica tu estrategia en la Pregunta 4 para resolver el sistema lineal.
x + y + z = 1 Ecuación 1
x − y − z = 3 Ecuación 2
−x − y + z = −1 Ecuación 3
HALLAR UN PUNTO DE ENTRADA
Para dominar las matemáticas, necesitas observar los puntos de entrada a la solución de un problema.
hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 29hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 29 6/17/15 1:59 PM6/17/15 1:59 PM
1.4
30 Capítulo 1 Funciones lineales
Lección
ecuación lineal en tres variables, pág. 30 sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 30 solución de un sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 30 triple ordenado, pág. 30
Anteriorsistema de dos ecuaciones lineales
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
Qué aprenderásQué aprenderás Visualizar soluciones de sistemas de ecuaciones lineales en tres variables.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales en tres variables de forma algebraica.
Resolver problemas de la vida real.
Visualizar soluciones de sistemasUna ecuación lineal en tres variables x, y y z es una ecuación de la forma
ax + by + cz = d, donde no todo a, b y c son cero.
A continuación hay un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones lineales en tres
variables.
3x + 4y − 8z = −3 Ecuación 1
x + y + 5z = −12 Ecuación 2
4x − 2y + z = 10 Ecuación 3
Una solución de dicho sistema es un triple ordenado (x, y, z) cuyas coordenadas
hacen que cada ecuación sea verdadera.
La gráfi ca de una ecuación lineal en tres variables es un plano en espacio tridimensional.
Las gráfi cas de tres ecuaciones como tales que forman un sistema son tres planos cuya
intersección determina el número de soluciones del sistema, como se muestra en los
diagramas a continuación.
Exactamente una soluciónLos planos se intersecan en un único
punto, el cual es la solución del sistema.
Infi nitas soluciones posiblesLos planos se intersecan en una línea. Cada
punto de la línea es una solución del sistema.
Los planos también podrían ser el mismo
plano. Cada punto del plano es una solución
del sistema.
Ninguna soluciónNo hay puntos en común con ninguno de los demás planos.
hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 30hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 30 6/17/15 2:00 PM6/17/15 2:00 PM
Sección 1.4 Resolver sistemas lineales 31
Resolver sistemas de ecuaciones de forma algebraicaLos métodos algebraicos que usaste para resolver los sistemas de ecuaciones lineales
en dos variables pueden extenderse para resolver un sistema de ecuaciones lineales en
tres variables.
Resolver un sistema en tres variables (Una solución)
Resuelve el sistema. 4x + 2y + 3z = 12 Ecuación 1
2x − 3y + 5z = −7 Ecuación 2
6x − y + 4z = −3 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal en dos variables.
4x + 2y + 3z = 12 Suma 2 multiplicado por la Ecuación 3
12x − 2y + 8z = −6 a la Ecuación 1 (para eliminar y).
16x + 11z = 6 Nueva Ecuación 1
2x − 3y + 5z = −7 Suma −3 multiplicado por la Ecuación 3
−18x + 3y − 12z = 9 a la Ecuación 2 (para eliminar y).
−16x − 7z = 2 Nueva Ecuación 2
Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para ambas variables.
16x + 11z = 6 Suma la nueva Ecuación 1
−16x − 7z = 2y la nueva Ecuación 2.
4z = 8
z = 2 Resuelve para hallar z.
x = −1 Sustituye en la nueva Ecuación 1 o 2 para hallar x.
Paso 3 Sustituye x = –1 y z = 2 en una ecuación original y resuelve para hallar y.
6x − y + 4z = −3 Escribe la Ecuación 3 original.
6(−1) − y + 4(2) = −3 Sustituye −1 por x y 2 por z.
y = 5 Resuelve para hallar y.
La solución es x = −1, y y = 5, y z = 2 o el triple ordenado (−1, 5, 2). Verifi ca
esta solución en cada una de las ecuaciones originales.
BUSCAR UNA ESTRUCTURA
El coefi ciente de −1 en la Ecuación 3 hace que y sea una variable conveniente de eliminar.
OTRA MANERAEn el Paso 1, también podrías eliminar x para obtener dos ecuaciones en y y z o podrías eliminar z para obtener dos ecuaciones en x y y.
Concepto Concepto EsencialEsencialResolver un sistema en tres variablesPaso 1 Reescribe el sistema lineal en tres variables como un sistema lineal en dos
variables usando el método de sustitución o eliminación.
Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para ambas variables.
Paso 3 Sustituye los valores hallados en el Paso 2 en una de las ecuaciones
originales y resuelve para hallar la variable restante.
Cuando obtienes una ecuación falsa, como 0 = 1, en cualquiera de los pasos, el
sistema no tiene ninguna solución.
Cuando no obtienes una falsa ecuación, pero obtienes una identidad como 0 = 0,
el sistema tiene infi nitas soluciones posibles.
hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 31hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 31 6/17/15 2:00 PM6/17/15 2:00 PM
32 Capítulo 1 Funciones lineales
Resuelve un sistema en tres variables (Ninguna solución)
Resuelve el sistema. x + y + z = 2 Ecuación 1
5x + 5y + 5z = 3 Ecuación 2
4x + y − 3z = −6 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal en dos variables.
−5x − 5y − 5z = −10 Suma –5 multiplicado por la Ecuación 1
5x + 5y + 5z = 3 a la Ecuación 2.
0 = −7
Ya que obtienes una falsa ecuación, el sistema original no tiene ninguna solución.
Resolver un sistema en tres variables (Infi nitas soluciones)
Resuelve el sistema. x − y + z = −3 Ecuación 1
x − y − z = −3 Ecuación 2
5x − 5y + z = −15 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal en dos variables.
x − y + z = −3 Suma la Ecuación 1 a la
x − y − z = −3 Ecuación 2 (para eliminar z).
2x − 2y = −6 Nueva Ecuación 2
x − y − z = −3 Suma la Ecuación 2 a la
5x − 5y + z = −15 Ecuación 3 (para eliminar z).
6x − 6y = −18 Nueva Ecuación 3
Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para sus dos variables.
−6x + 6y = 18 Suma –3 multiplicado por la nueva
6x − 6y = −18 Ecuación 2 a la nueva Ecuación 3.
0 = 0
Ya que obtienes la identidad 0 = 0, el sistema tiene infi nitas soluciones posibles.
Paso 3 Describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado. Una manera de
hacerlo es resolviendo la nueva Ecuación 2 para hallar y para obtener y = x + 3.
Luego sustituye x + 3 por y en la Ecuación 1 para obtener z = 0.
Entonces, cualquier triple ordenado de la forma (x, x + 3, 0) es una solución del
sistema.
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Resuelve el sistema. Verifi ca tu solución, si es posible.
1. x − 2y + z = −11 2. x + y − z = −1 3. x + y + z = 8
3x + 2y − z = 7 4x + 4y − 4z = −2 x − y + z = 8
−x + 2y + 4z = −9 3x + 2y + z = 0 2x + y + 2z = 16
4. En el Ejemplo 3, describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado en
términos de y.
OTRA MANERARestar la Ecuación 2 de la Ecuación 1 da z = 0. Luego de sustituir 0 por z en cada ecuación, puedes ver que cada una es equivalente a y = x + 3.
hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 32hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 32 6/17/15 2:00 PM6/17/15 2:00 PM
Sección 1.4 Resolver sistemas lineales 33
Resolver problemas de la vida real
Resolver un problema de varios pasos
Un anfi teatro cobra $75 por cada asiento de la Sección A, $55 por cada asiento de
la Sección B y $30 por cada asiento en el césped. En la Sección B hay el triple de
asientos que en la Sección A. El ingreso por vender los 23,000 asientos es $870,000.
¿Cuántos asientos hay en cada sección del anfi teatro?
SOLUCIÓN
Paso 1 Escribe un modelo verbal para la situación.
Número de
asientos en B, y = 3 ⋅
Número de
asientos en A, x
Número de
asientos en A, x + Número de
asientos en B, y +
Número de asientos
en el césped, z = Número total
de asientos
75 ⋅
Número de
asientos en
A, x + 55 ⋅
Número de
asientos en
B, y + 30 ⋅
Número de
asientos en
el césped, z =
Ingreso
total
Paso 2 Escribe un sistema de ecuaciones.
y = 3x Ecuación 1
x + y + z = 23,000 Ecuación 2
75x + 55y + 30z = 870,000 Ecuación 3
Paso 3 Reescribe el sistema del Paso 2 como un sistema lineal en dos variables
sustituyendo 3x por y en las Ecuaciones 2 y 3.
x + y + z = 23,000 Escribe la Ecuación 2.
x + 3x + z = 23,000 Sustituye 3x por y.
4x + z = 23,000 Nueva Ecuación 2
75x + 55y + 30z = 870,000 Escribe la Ecuación 3.
75x + 55(3x) + 30z = 870,000 Sustituye 3x por y.
240x + 30z = 870,000 Nueva Ecuación 3.
Paso 4 Resuelve el nuevo sistema lineal para sus dos variables.
−120x − 30z = −690,000 Suma −30 multiplicado por la nueva
240x + 30z = 870,000 Ecuación 2 a la nueva Ecuación 3. 120x = 180,000
x = 1500 Resuelve para hallar x.
y = 4500 Sustituye en la Ecuación 1 para hallar y.
z = 17,000 Sustituye en la Ecuación 2 para hallar z.
La solución es x = 1500, y = 4500 y z = 17,000 o (1500, 4500, 17,000). Entonces,
hay 1500 asientos en la Sección A, 4500 asientos en la Sección B y 17,000 asientos
en el césped.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
5. ¿QUÉ PASA SI? El primer día, se venden 10,000 boletos, generando $356,000 en
ingresos. El número de asientos vendidos en las Secciones A y B son los mismos.
¿Cuántos asientos en el césped quedan disponibles?
CONSEJO DE ESTUDIOCuando se sustituye para hallar valores de otras variables, elige ecuaciones originales o nuevas que sean las más fáciles de usar.
ESCENARIO
A AAB
BBBB
CÉSPED
hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 33hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 33 6/17/15 2:00 PM6/17/15 2:00 PM
1.4
34 Capítulo 1 Funciones lineales
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
En los Ejercicios 3–8, resuelve el sistema usando el método de eliminación. (Consulta el Ejemplo 1).
3. x + y − 2z = 5 4. x + 4y − 6z = −1
−x + 2y + z = 2 2x − y + 2z = −7
2x + 3y − z = 9 −x + 2y − 4z = 5
5. 2x + y − z = 9 6. 3x + 2y − z = 8
−x + 6y + 2z = −17 −3x + 4y + 5z = −14
5x + 7y + z = 4 x − 3y + 4z = −14
7. 2x + 2y + 5z = −1 8. 3x + 2y − 3z = −2
2x − y + z = 2 7x − 2y + 5z = −14
2x + 4y − 3z = 14 2x + 4y + z = 6
ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 9 y 10, describe y corrige el error cometido en el primer paso de resolver el sistema de ecuaciones lineales.
4x − y + 2z = −18
−x + 2y + z = 11
3x + 3y − 4z = 44
9. 4x − y + 2z = −18−4x + 2y + z = 11
y + 3z = −7
✗
10. 12x − 3y + 6z = −18 3x + 3y − 4z = 44
15x + 2z = 26
✗
En los Ejercicios 11–16, resuelve el sistema usando el método de eliminación. (Consulta los Ejemplos 2 y 3).
11. 3x − y + 2z = 4 12. 5x + y − z = 6
6x − 2y + 4z = −8 x + y + z = 2
2x − y + 3z = 10 12x + 4y = 10
13. x + 3y − z = 2 14. x + 2y − z = 3
x + y − z = 0 −2x − y + z = −1
3x + 2y − 3z = −1 6x − 3y − z = −7
15. x + 2y + 3z = 4 16. −2x − 3y + z = −6
−3x + 2y − z = 12 x + y − z = 5
−2x − 2y − 4z = −14 7x + 8y − 6z = 31
17. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Se hacen tres
pedidos en una pizzería. Dos pizzas pequeñas, un litro
de gaseosa y una ensalada cuestan $14; una pizza
pequeña, un litro de gaseosa y tres ensaladas cuestan
$15; y tres pizzas pequeñas, un litro de gaseosa y dos
ensaladas cuestan $22. ¿Cuánto cuesta cada artículo?
18. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La tienda de
muebles Sam’s Furniture Store publica el siguiente
anuncio en el periódico local. Escribe un sistema de
ecuaciones para las tres combinaciones de muebles.
¿Cuál es el precio de cada pieza de mueble? Explica.
Sofá y sillón de dos cuerpos
Sofá y dos sillas
Sofá, sillón de dos cuerpos y una silla
SAM’SFurniture Store
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
1. VOCABULARIO La solución de un sistema de tres ecuaciones lineales se expresa como un(a)__________.
2. ESCRIBIR Explica cómo sabes cuando un sistema lineal en tres variables tiene infi nitas soluciones
posibles.
Verifi cación de vocabulario y concepto esencialVerifi cación de vocabulario y concepto esencial
hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 34hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 34 6/17/15 2:00 PM6/17/15 2:00 PM
Sección 1.4 Resolver sistemas lineales 35
En los Ejercicios 19–28, resuelve el sistema e ecuaciones lineales usando el método de sustitución. (Consulta el Ejemplo 4).
19. −2x + y + 6z = 1 20. x − 6y − 2z = −8
3x + 2y + 5z = 16 −x + 5y + 3z = 2
7x + 3y − 4z = 11 3x − 2y − 4z = 18
21. x + y + z = 4 22. x + 2y = −1
5x + 5y + 5z = 12 −x + 3y + 2z = −4
x − 4y + z = 9 −x + y − 4z = 10
23. 2x − 3y + z = 10 24. x = 4
y + 2z = 13 x + y = −6
z = 5 4x − 3y + 2z = 26
25. x + y − z = 4 26. 2x − y − z = 15
3x + 2y + 4z = 17 4x + 5y + 2z = 10
−x + 5y + z = 8 −x − 4y + 3z = −20
27. 4x + y + 5z = 5 28. x + 2y − z = 3
8x + 2y + 10z = 10 2x + 4y − 2z = 6
x − y − 2z = −2 −x − 2y + z = −6
29. RESOLVER PROBLEMAS El número de personas
zurdas en el mundo es un décimo del número de
personas diestras. El porcentaje de personas diestras
es nueve veces el porcentaje de las personas zurdas
y ambidiestras combinadas. ¿Qué porcentaje de
personas son ambidiestras?
30. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Usa un sistema
de ecuaciones lineales para representar los datos del
siguiente artículo del periódico. Resuelve el sistema
para hallar cuántos atletas terminaron en cada lugar.
La escuela secundaria Lawrence High fue distinguida en la carrera del sábado con la ayuda de 20 corredores individuales, cuyos puestos en forma combinada, han logrado obtener 68 puntos. Un primer puesto obtiene 5 puntos, un segundo puesto obtiene 3 puntos y un tercer puesto obtiene 1 punto. Lawrence tuvo una sólida participación en cuanto a segundos puestos; el número de segundos puestos era igual a los de primer y tercer puesto combinados.
31. ESCRIBIR Explica cuándo sería más conveniente usar
el método de eliminación que el método de sustitución
para resolver un sistema lineal. Da un ejemplo para
respaldar tu afi rmación.
32. RAZONAMIENTO REPETIDO Usa lo que sabes acerca
de resolver sistemas lineales en dos y tres variables,
planifi ca una estrategia para cómo resolverías un sistema
que tenga cuatro ecuaciones lineales en cuatro variables.
CONEXIONES MATEMÁTICAS En los Ejercicios 33 y 34, escribe y usa un sistema lineal para responder las preguntas.
33. El triángulo tiene un perímetro de 65 pies. ¿Cuáles
son las longitudes de los ladosℓ, m y n?
m
n = + m − 15= m1
3
34. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos A, B y C?
(5A − C)°
A°
(A + B)°
A
B C
35. FINAL ABIERTO Considera el sistema de ecuaciones
lineales a continuación. Elige valores distintos de cero
para a, b y c para que el sistema satisfaga la condición
dada. Explica tu razonamiento.
x + y + z = 2
ax + by + cz = 10
x − 2y + z = 4
a. El sistema no tiene ninguna solución.
b. El sistema tiene exactamente una solución.
c. El sistema tiene infi nitas soluciones posibles.
36. ARGUMENTAR Un sistema lineal en tres variables no
tiene ninguna solución. Tu amigo llega a la conclusión
de que no es posible que dos de las tres ecuaciones
no tengan ningún punto en común. ¿Tiene razón tu
amigo? Explica tu razonamiento.
hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 35hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 35 6/17/15 2:00 PM6/17/15 2:00 PM
36 Capítulo 1 Funciones lineales
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasSimplifi ca. (Manual de revisión de destrezas)
44. (x − 2)2 45. (3m + 1)2 46. (2z − 5)2 47. (4 − y)2
Escribe una función g descrita por la transformación dada de f(x) = ∣ x ∣ − 5. (Sección 1.2)
48. traslación 2 unidades hacia la izquierda 49. refl exión en el eje x
50. traslación 4 unidades hacia arriba 51. alargamiento vertical por un factor de 3
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
37. RESOLVER PROBLEMAS Se contrata a un contratista
para construir un complejo de departamentos. Cada
unidad de 840 pies cuadrados tiene un dormitorio, una
cocina y un baño. El dormitorio tendrá el mismo tamaño
que la cocina. El dueño hace un pedido de 980 pies
cuadrados de losetas para cubrir los pisos por completo
de dos cocinas y dos baños. Determina cuántos pies
cuadrados de alfombra se necesita para cada dormitorio.
Área total: 840 pies2
DORMITORIO
BAÑO COCINA
38. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO ¿El sistema de
ecuaciones lineales tiene más de una solución?
Justifi ca tu respuesta.
4x + y + z = 0
2x + 1 —
2 y − 3z = 0
−x − 1 —
4 y − z = 0
39. RESOLVER PROBLEMAS Un fl orista debe preparar
5 ramos de fl ores idénticos para las damas de honor
de una boda. El presupuesto es $160 y cada bouquet
debe tener 12 fl ores. Las rosas cuestan $2.50 cada
una, los lirios cuestan $4 cada uno y los irises cuestas
$2 cada uno. El fl orista desea el doble de rosas que los
otros dos tipos de fl ores combinadas.
a. Escribe un sistema de ecuaciones para representar
esta situación, asumiendo que el fl orista planea
usar el máximo de su presupuesto.
b. Resuelve el sistema para hallar cuántas de cada
tipo de fl ores debe haber en cada bouquet.
c. Supón que no hay límite en el costo total de los
bouquets. ¿El problema todavía tiene exactamente
una sola solución? Si es así, halla la solución; si
no, da tres soluciones posibles.
40. ¿CÓMO LO VES? Determina si el sistema de
ecuaciones lineales que representa los círculos no
tiene ninguna solución, una solución o infi nitas soluciones posibles. Explica tu razonamiento.
a.
x
y b.
x
y
41. PENSAMIENTO CRÍTICO Halla los valores de a, b y c
para que el sistema lineal mostrado tenga (−1, 2, −3)
como su única solución. Explica tu razonamiento.
x + 2y − 3z = a
−x − y + z = b
2x + 3y − 2z = c
42. ANALIZAR RELACIONES Determina qué agrupación(es)
de los enteros −5, 2 y 3 produce(n) una solución
del sistema lineal que consista de enteros solamente.
Justifi ca tu respuesta.
x − 3y + 6z = 21
__x + __ y + __z = −30
2x − 5y + 2z = −6
43. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Escribe un sistema
lineal para representar las primeras tres fi guras a
continuación. Usa el sistema para determinar cuántas
mandarinas se requieren para equilibrar la manzana en
la cuarta fi gura. Nota: La primera fi gura muestra que
una mandarina y una manzana equilibran una toronja.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 2000 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 2000 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 36hsnb_span_alg2_pe_0104.indd 36 6/17/15 2:00 PM6/17/15 2:00 PM
37
1.3–1.4 ¿Qué aprendiste?
Vocabulario EsencialVocabulario Esenciallínea de ajuste, pág. 24 sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 30línea de mejor ajuste, pág. 25 sol ución de un sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 30coefi ciente de correlación, pág. 25 triple ordenado, pág. 30ecuación lineal en tres variables, pág. 30
Conceptos EsencialesConceptos EsencialesSección 1.3Escribir una ecuación de una línea, pág. 22Hallar una línea de ajuste, pág. 24
Sección 1.4Resolver un sistema en tres variables, pág. 31Resolver problemas de la vida real, pág. 33
Prácticas matemáticasPrácticas matemáticas 1. Describe cómo puedes escribir la ecuación de la línea en el Ejercicio 7 de la
página 26 usando solamente uno de los puntos rotulados.
2. ¿Cómo usaste la información del artículo de periódico en el Ejercicio 30 de la
página 35 para escribir un sistema de tres ecuaciones lineales?
3. Explica la estrategia que usaste para elegir los valores para a, b y c en el
Ejercicio 35 parte (a) de la página 35.
Los secretos de las canastas que cuelganUn juego de feria usa dos canastas que cuelgan de resortes a diferentes alturas. Junto a la canasta más alta hay una pila de pelotas de béisbol. Junto a la canasta más baja hay una pila de pelotas de golf. El objeto del juego consiste en añadir el mismo número de pelotas a cada canasta para que las canastas tengan la misma altura. Pero, hay un truco: sólo tienes una oportunidad. ¿Cuál es el secreto para ganar el juego?
Para explorar las respuestas a esta pregunta y más,visita BigIdeasMath.com.
Tarea de desempeño
3737
n el
emppeññoo
hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 37hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 37 6/17/15 1:55 PM6/17/15 1:55 PM
38 Capítulo 1 Funciones lineales
Repaso del capítulo
Funciones madre y transformaciones (págs. 3–10)
Haz una gráfi ca de g(x) = (x − 2)2 + 1 y su función madre. Luego describe la transformación.
La función g es una función cuadrática.
x
y
4
2
42−2−4
f g La gráfi ca de g es una traslación 2 unidades hacia la
derecha y 1 unidad hacia arriba de la gráfi ca de la
función cuadrática madre.
Haz una gráfi ca de la función y su función madre. Luego describe la transformación.
1. f(x) = x + 3 2. g(x) = ∣ x ∣ − 1 3. h(x) = 1 —
2 x2
4. h(x) = 4 5. f(x) = − ∣ x ∣ − 3 6. g(x) = −3(x + 3)2
Transformaciones de funciones lineales y de valor absoluto (págs. 11–18)
Sea la gráfi ca de g una transformación 2 unidades hacia la derecha seguida de una refl exión en el eje y de la gráfi ca de f(x) = ∣ x ∣ . Escribe una regla para g.
Paso 1 Primero escribe una función h que represente la traslación de f.
h(x) = f(x − 2) Resta 2 de la entrada.
= ∣ x − 2 ∣ Reemplaza x con x − 2 en f(x).
Paso 2 Luego escribe una función g que represente la refl exión de h.
g(x) = h(−x) Multiplica la entrada por −1.
= ∣ −x − 2 ∣ Reemplaza x con −x en h(x).
= ∣ −(x + 2) ∣ Descompone en factores −1.
= ∣ −1 ∣ ⋅ ∣ x + 2 ∣ Propiedad del producto de valor absoluto
= ∣ x + 2 ∣ Simplifi ca.
La función transformada es g(x) = ∣ x + 2 ∣ .
Escribe una función g cuya gráfi ca represente la transformaciónes indicada de la gráfi ca de f. Usa una calculadora gráfi ca para verifi car tu respuesta.
7. f(x) = ∣ x ∣ ; refl exión en el eje x seguida de una traslación 4 unidades hacia la izquierda
8. f(x) = ∣ x ∣ ; encogimiento vertical por un factor de 1 —
2 seguida de una traslación 2 unidades
hacia arriba
9. f(x) = x; traslación 3 unidades hacia abajo seguida de una refl exión en el eje y
111.1
1.2
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 38hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 38 6/17/15 1:55 PM6/17/15 1:55 PM
Capítulo 1 Repaso del capítulo 39
Representar con funciones lineales (págs. 21–28)
La tabla muestra los números de conos de helado vendidos en diferentes temperaturas externas (en grados Fahrenheit). ¿Los datos muestran una relación lineal? Si es así, escribe una ecuación de una línea de ajuste y úsala para estimar cuántos conos de helado se venden cuando la temperatura es de 60°F.
Temperatura, x 53 62 70 82 90
Número de conos, y 90 105 117 131 147
Paso 1 Crea un diagrama de dispersión de los datos.
Los datos muestran una relación lineal. Conos de helado vendidos
Nú
mer
o d
e co
no
s
Temperatura (°F)x
y
40
0
80
120
160
20 40 60 800
(70, 117)
(90, 147)
Paso 2 Dibuja la línea que parece ajustar los datos más de
cerca. Se muestra una posibilidad.
Paso 3 Elige dos puntos de la línea. Para la línea
mostrada, podrías escoger (70, 117) y (90, 147).
Paso 4 Escribe una ecuación de la línea. Primero, halla la
pendiente.
m = y2 − y1 — x2 − x1
= 147 − 117
— 90 − 70
= 30
— 20
= 1.5
Usa la forma de punto y pendiente para escribir una
ecuación. Usa (x1, y1) = (70, 117).
y − y1 = m(x − x1) Forma de punto y pendiente
y − 117 = 1.5(x − 70) Sustituye por m, x1 y y1.
y − 117 = 1.5x − 105 Propiedad distributiva
y = 1.5x + 12 Suma 117 a cada lado.
Usa la ecuación para calcular el número de conos de helado vendidos.
y = 1.5(60) + 12 Sustituye 60 por x.
= 102 Simplifi ca.
Aproximadamente 102 conos de helado se venden cuando la temperatura está a 60°F.
Escribe una ecuación de la línea.
10. La tabla muestra el número total y (en billones) de entradas a los cines estadounidenses cada año
por x años. Usa una calculadora gráfi ca para hallar una ecuación de la línea de mejor ajuste para
los datos.
Años, x 0 2 4 6 8 10
Entradas, y 1.24 1.26 1.39 1.47 1.49 1.57
11. Montas bicicleta y mides cuánto recorres. Después de 10 minutos, recorres 3.5 millas. Después
de 30 minutos, recorres 10.5 millas. Escribe una ecuación para representar tu distancia. ¿Cuánto
recorres en tu bicicleta durante 45 minutos?
1.3
hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 39hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 39 6/17/15 1:55 PM6/17/15 1:55 PM
40 Capítulo 1 Funciones lineales
Resolver sistemas lineales (págs. 29–36)
Resuelve el sistema.
x − y + z = −3 Ecuación 1
2x − y + 5z = 4 Ecuación 2
4x + 2y − z = 2 Ecuación 3
Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal en dos variables.
x − y + z = −3 Suma la Ecuación 1 a la Ecuación 3 (para eliminar z).
4x + 2y − z = 2
5x + y = −1 Nueva Ecuación 3
−5x + 5y − 5z = 15 Suma −5 multiplicado por la Ecuación 1 a la Ecuación 2 (para eliminar z).
2x − y + 5z = 4
−3x + 4y = 19 Nueva Ecuación 2
Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para sus dos variables.
−20x − 4y = 4 Suma −4 multiplicado por la nueva Ecuación 3 a la nueva Ecuación 2.−3x + 4y = 19
−23x = 23
x = −1 Resuelve para hallar x.
y = 4 Sustituye en la nueva Ecuación 2 o 3 para hallar y.
Paso 3 Sustituye x = −1 y y = 4 en una ecuación original y resuelve para hallar z.
x − y + z = −3 Escribe la Ecuación 1 original.
(−1) − 4 + z = −3 Sustituye −1 por x y 4 por y.
z = 2 Resuelve para hallar z.
La solución es x = −1, y = 4 y z = 2 o el triple ordenado (−1, 4, 2).
Resuelve el sistema. Verifi ca tu solución, si es posible.
12. x + y + z = 3 13. 2x − 5y − z = 17 14. x + y + z = 2
−x + 3y + 2z = −8 x + y + 3z = 19 2x − 3y + z = 11
x = 4z −4x + 6y + z = −20 −3x + 2y − 2z = −13
15. x + 4y − 2z = 3 16. x − y + 3z = 6 17. x + 2z = 4
x + 3y + 7z = 1 x − 2y = 5 x + y + z = 6
2x + 9y − 13z = 2 2x − 2y + 5z = 9 3x + 3y + 4z = 28
18. Una banda escolar realiza un concierto de primavera para
una multitud de 600 personas. El ingreso por el concierto
es de $3150. Hay 150 adultos más que alumnos en el
concierto. ¿Cuántos boletos de cada tipo se han vendido?
1.4
CONCIERTO DE LABANDA
ALUMNOS - $3 ADULTOS - $7NIÑOS MENORES DE 12 - $2
hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 40hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 40 6/17/15 1:55 PM6/17/15 1:55 PM
Capítulo 1 Prueba del capítulo 41
11 Prueba del capítulo
Escribe una ecuación de la línea e interpreta la pendiente y la intersección con el eje y.
1. Cuenta bancariaCuenta bancariaSa
ldo
(d
óla
res)
0
200
400
600
800
y
Semanas0 2 4 x
(2, 400)
(3, 600)
2. Oferta de zapatos
Prec
io d
e p
ar d
e za
pat
os
(dó
lare
s)
0
10
20
30
40
50y
Porcentaje de descuento600 20 40 80 x
20 unidades
(0, 50)
10 unidades
Resuelve el sistema. Verifi ca tu solución, si es posible.
3. −2x + y + 4z = 5 4. y = 1 —
2 z 5. x − y + 5z = 3
x + 3y − z = 2 x + 2y + 5z = 2 2x + 3y − z = 2
4x + y − 6z = 11 3x + 6y − 3z = 9 −4x − y − 9z = −8
Haz una gráfi ca de la función y su función madre. Luego describe la transformación.
6. f(x) = ∣ x − 1 ∣ 7. f(x) = (3x)2 8. f(x) = 4
Une la transformación de f(x) = x con su gráfi ca. Luego escribe una regla para g.
9. g(x) = 2f(x) + 3 10. g(x) = 3f(x) − 2 11. g(x) = −2f(x) − 3
A.
x
y4
2
−4
42−2−4
B.
x
y4
−4
−2
42−4
C.
x
y4
2
−2
42−2−4
12. Una pastelería vende donas, muffi ns y bagels. La pastelería
prepara el triple de donas que de bagels. La pastelería gana un total
de $150 cuando todos los 130 artículos almacenados se venden.
¿Cuántos de cada artículo se encuentran en el almacén?
Justifi ca tu respuesta.
13. Una fuente con una profundidad de 5 pies se drena y se vuelve a llenar. El nivel del
agua (en pies) después de t minutos puede representarse mediante f(t) = 1 —
4 ∣ t − 20 ∣ . Una
segunda fuente con la misma profundidad se drena y se vuelve a llenar dos veces más
rápido que la primera fuente. Describe cómo transformar la gráfi ca de f para representar
el nivel de agua en la segunda fuente después de t minutos. Halla la profundidad de cada
fuente después de 4 minutos. Justifi ca tus respuestas.
Donas.................... $1.00Magdalenas............ $1.50Panecillos................ $1.20
yEspeciales para el desayuuunnnnnooooo
hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 41hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 41 6/17/15 1:55 PM6/17/15 1:55 PM
42 Capítulo 1 Funciones lineales
11 Evaluación acumulativa
1. Describe la transformación de la gráfi ca de f(x) = 2x − 4 representada en cada gráfi ca.
a.
x
y
2
−2
42−2
g b.
x
y2
−4
4−2
g
c.
x
y4
−4
84−4
g d. x
y
−8
−4
84−4g
e.
x
y
4
2
4−2
g f.
x
y2
−4
2−4
g
2. La tabla muestra los costos de la matrícula de una escuela privada entre los años
2010 y 2013.
Años después de 2010, x 0 1 2 3
Matrícula (dólares), y 36,208 37,620 39,088 40,594
a. Verifi ca que los datos muestren una relación lineal. Luego escribe una ecuación
de una línea de ajuste.
b. Interpreta la pendiente y la intersección con el eje y en esta situación.
c. Predice el costo de la matrícula para el año 2015.
3. Tu amigo afi rma que la línea de mejor ajuste para los datos mostrados en el diagrama
de dispersión tiene un coefi ciente de correlación cercano a 1. ¿Tiene razón tu amigo?
Explica tu razonamiento.
x
y
4
2
0420
hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 42hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 42 6/17/15 1:55 PM6/17/15 1:55 PM
Capítulo 1 Evaluación acumulativa 43
4. Ordena los siguientes sistemas lineales de menor a mayor según el número de soluciones.
A. 2x + 4y − z = 7 B. 3x − 3y + 3z = 5 C. 4x − y + 2z = 18
14x + 28y − 7z = 49 −x + y − z = 8 −x + 2y + z = 11
−x + 6y + 12z = 13 14x − 3y + 12z = 108 3x + 3y − 4z = 44
5. Haces un DVD de tres tipos de espectáculos: comedia, drama y vida real. Un episodio de
una comedia dura 30 minutos, mientras que un episodio de drama y uno de la vida real duran
cada uno 60 minutos. En el DVD se puede grabar 360 minutos de programación.
a. Llenas el DVD por completo con siete episodios e incluyes el doble de episodios de drama
que de comedia. Crea un sistema de ecuaciones que represente la situación.
b. ¿Cuántos episodios de cada tipo de espectáculo hay en el DVD en la parte (a)?
c. Llenas el DVD por completo con sólo sies episodios. ¿Los dos DVDs tienen un número
diferente de comedias? dramas? vida real episodios? Explica.
6. La gráfi ca muestra la altura de un parapente con el paso del tiempo. Descenso del parapente
Alt
ura
(p
ies)
0
100
200
300
400
y
Tiempo (egundos)x2010 300
¿Qué ecuación representa la situación?
○A y + 450 = 10x
○B 10y = −x + 450
○C 1 —
10 y = −x + 450
○D 10x + y = 450
7. Sea f(x) = x y g(x) = −3x − 4. Selecciona las posibles transformaciones
(en orden) de la gráfi ca de f representada por la función g.
○A refl exión en el eje x ○B refl exión en el eje y
○C traslación vertical 4 unidades ○D traslación horizontal 4 unidades hacia
hacia abajo la derecha
○E encogimiento horizontal por un ○F alargamiento vertical por un factor de 3
factor de 1 — 3
8. Elige el símbolo de igualdad o desigualdad correcto que completa el
enunciado a continuación. Explica tu razonamiento.
x f(x)
−5 −23
−4 −20
−3 −17
−2 −14
x g(x)
−2 −18
−1 −14
0 −10
1 −6
f (22) g(22)
hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 43hsnb_span_alg2_pe_01ec.indd 43 6/17/15 1:55 PM6/17/15 1:55 PM