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Geometría 1º Secundaria

ELEMENTOS Y TÉRMINOS GEOMÉTRICOS

INTRODUCCIÓNA través de los rasgos dejados por el

hombre, se nota que él tenía ciertas nociones de geometría, esto se puede ver en la forma que tenían sus cuevas, sus herramientas de casa, sin saber que era geometría ya empleaban en sus construcciones formas de algunas figuras geométricas trazados por los elementos básicos de geometría.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍAA) ESPACIO

Es el conjunto universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etc.

Su símbolo es E.

B) PUNTO

El punto tiene posición en el espacio. Su representación mas cercana es el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor.

En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula y para reconocerlos usaremos lA

Por ejemplo: lA se lee punto A

C) LINEA

Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.

D) RECTA

La unión de infinitos puntos da origen a los otros dos principios básicos de la geometría: recta y plano.

La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un

lápiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.

La identificaremos con el dibujoUna recta puede tener dirección:

Horizontal:

Como la línea horizonte.

Vertical:

Como el hilo del plomo.

Oblicua:

Cuando es distinta a las dos anteriores.Las rectas se nombran con dos letras

mayúsculas y sobre ellas se anota un símbolo. Por ejemplo:

AB se lee recta ABVeamos: A B

L

También se usa una L o una R, especialmente en los casos en deben distinguirse varias rectas.

SEMI-RECTAEs una recta L, cualquier punto P de esta

recta lo divide en dos partes, cada una de la cuales se llama semi recta

RAYOParte de la recta, posee punto de origen “A”

y es ilimitado en “B”

SEGMENTO DE RECTAPorción de recta comprendida entre dos

puntos, los cuales son los extremos.

A) ESPACIO

Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo

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Geometría 1º Secundaria

diferencia con ésta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor.

El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.

El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado.

Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.

Cuando en una pequeña superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es una curva. Una representación de esto sería una bandera flameando.

Analizando.

Puntos y rectas:A) Vamos a determinar un punto del

espacio. ¿Cuántas rectas pueden pasar por él? o ¿cuántas rectas pertenece ese punto?

Conclusión:Es la misma: “Por un punto del plano pasan

infinitas rectas”

B) Ahora elegiremos dos puntos del espacio. ¿Cuántas rectas unen a esos dos puntos? Recordemos que ni puntos ni rectas tienen grosor.

Conclusión:“Dos puntos del espacio determinan una

sola recta”

TÉRMINOS MATEMÁTICOS

A) PROPOSICIÓNEs un enunciado de una conclusión y tiene

un solo valor de verdad puede ser verdadero o falso.

Ejemplo: 2 + 2 = 5 ( F )

B) AXIOMA Es una proposición evidente por si misma y

no necesita demostración.

Ejemplo: Si a=2 y a=b => b=2

C) TEOREMA Proposición que mediante un razonamiento

se hace evidente y consta de 2 partes: Hipótesis y tesis.

Ejemplo: Sea el triángulo rectángulo ABC cuyos tres lados son a, b y c, se cumple que:

TEOREMA DE PITÁGORAS c2 = a2 + b2 D) COROLARIO Es un proposición que se deduce de un

teorema ya demostrado. Ejemplo: Si (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2, en

ella se deduce

que (a - b) 2 = (b - a) 2

E) POSTULADO Proposición que sin ser evidente se admite

su demostración. Ejemplo: - La recta es indefinida en sus

dos sentidos - Por dos puntos pasa una recta y sólo una. - Pon un punto pasan infinitas rectas. - Toda porción de recta contiene infinitos puntos.

F) LEMAEs un teorema preliminar que sirve de base

para demostrar un teorema principal.

Ejemplo: Para demostrar el área de un cuadrado, debemos demostrar primero el LEMA que dice “un cuadrado es un rectángulo que tiene sus cuatro lados iguales

G) ESCOLIOEs una observación que se hace sobre un

teorema previamente demostrado.

Ejemplo: Todo número real “x” elevado al cuadrado excepto cero es mayor que cero.

X2 > 0 <=> X = 0

H) HIPÓTESISPunto de partida de una demostración

lógica a partir de la cual se propone alcanzar la solución. INTERSECCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

FUNDAMENTO TEÓRICO1. Intersección.- Es un conjunto de punto o

puntos donde dos o más figuras geométricas se cortan.

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Geometría 1º Secundaria

Una figura plana, tiene todos sus puntos sobre un mismo plano.

En la figura (a) las rectas M y N se intersectan en un punto. En (b), R intersecta a la figura F en dos puntos y para (c), la intersección de S y la figura L, es de tres puntos. En todos los casos anteriores diremos que las figuras son secantes, se cortan en 1, 2 ó 3 puntos respectivamente.

2. Líneas Convexas.- Son aquellas que se intersecan con alguna recta, en un máximo de dos puntos.

3. Líneas no Convexas.- Si alguna recta secante determina sobre ellas, más de dos puntos de corte.

Observaciones: A. Dos rectas contenidas en un mismo plano

y que no se intersecan, reciben el nombre de paralelas.

B. Una recta y una circunferencia, pueden ser:

Recta y circunferencia tangentes entre si(1 pto. de intersección)

Recta y circunferencia secantes entre si(2 ptos. de intersección)

No se intersecan(0 ptos. de intersección)

C. Veamos algunos gráficos de intersección entre un triángulo y una circunferencia.

Notamos que, el mínimo número de puntos de intersección (diferente de cero) entre estas figuras, es 1 y el máximo: 6

4. MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE

4.1 MNPC de “n” rectas secantes

MNPC= n(n-1)/2

4.2 MNPC para “n” circunferencias Secantes

MNPC= n(n-1)

4.3 MNPC para “n” triángulos

MNPC= 3n(n-1)

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Geometría 1º Secundaria

4.4 MNPC para “n” ángulos

MNPC= 2n(n-1)

4.5 MNPC para “n” cuadriláteros convexos

MNPC= 4n(n-1)

4.6 MNPC para “n” pentágonos convexos

MNPC= 5n(n-1)

EN GENERAL: n polígonos convexos de L lados cada uno, se cortan como máximo en:

MNPC= L . n(n-1)

Ejemplo 1. ¿En cuántos puntos se cortan, como máximo, 10 icoságonos convexos?

Solución. n = 10 número de polígonos L = 20 número de lados

MNPC = L.n(n-1)

MNPC = 20.10(10 -1) = 1800

Ejemplo 2. ¿En cuántos se intersecan, como máximo, 5 octógonos convexos?

Solución.

4.7 MNPC de dos polígonos de diferente número

Se intersecan, como máximo, en un número de puntos equivalentes al doble del número de lados del menor.

Asi por ejemplo:1 triángulo y 1 cuadrilátero.

1 cuadrilátero y 1 pentágono.

1 cuadrilátero y 1 circunferencia

La circunferencia se considera como un polígono de infinitos lados.

4.8 MNPC de n rectas secantes con p paralelas

MNPC = p . n

4.9 MNPC de n circunferencias y m rectas

4.10 MNPC de n triángulos y c circunferencias

4.11 MNPC de n triángulos y p rectas secantes

4.12 MNPC de n elipses secantes

4.13 MNPC de n parábolas secantes

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Geometría 1º Secundaria

Problema explicativoHallar el MNPC entre 11 rectas y 5

triángulos, al cortarse todas estas figuras todas estas figuras entre si.

Practica de clase

01. Hallar el MNPC de: A) 15 rectas secantes B) 20 circunferencias C) 18 triángulos D) 22cuadriláteros convexos E) 50 pentágonos convexos F) 35 ángulos G) 16 octógonos convexos H) 32 elipses secantes I) 10 parábolas secantes

02. Hallar el MNPC de: A) 8 rectas secantes y 6 circunferencias B) 12 rectas secantes con 8 triángulos C) 6 circunferencias con 5 triángulos

D) 5 triángulos con 8 cuadriláteros E) 10 cuadriláteros con 5 octógonos F) 5 decágonos con 15 dodecágonos.

03. Hallar el MNPC entre 10 rectas y 5 circunferencias, al cortarse todas estas figuras entre si.

a) 65 b) 120 c) 145 d) 165 e) n.a.

04. Hallar el MNPC entre 11 secantes y 5 triángulos al cortarse todas estas figuras entre si.

a) 225 b) 125 c) 115 d) 175 e) 205

05. Hallar el MNPC entre 11 circunferencias y 8 triángulos al intersectarse todas estas figuras entre si.

a) 726 b) 706 c) 806 d) 906 e) 278

06. Hallar el MNPC entre 21 rectas secantes, 15 circunferencias y 12 triángulos, al intersectarse todas estas figuras entre si.

a) 4110 b)4100 c)4001 d)4020 e)n.a.

07. Hallar el MNPC entre 21 triángulos y 10 cuadriláteros convexos, todos secantes entre si.

a) 2080 b) 2888 c) 1880 d) 2780 e)2880

08. Hallar el MNPC entre 6 cuadriláteros convexos, 11 pentágonos convexos y 21 octógonos convexos, al intersectarse todas estas figuras entre si.

A) 7414 B) 7604 C) 6704 D) 4706 E) N.A.

09. Hallar el MNPC entre 10 rectas paralelas, 5 rectas secantes y 6 triángulos, al intersectarse todas estas figuras entre si.

A) 360 B) 340 C) 350 D) 370 E) 330

10. Hallar el MNPC entre 5 octógonos y 10 icoságonos, todos convexos.

A)2670 B)2770 C) 2760 D)2870 E)N.A

11. Hallar el MNPC entre 10 rectas secantes, 6 triángulos y 11 cuadriláteros convexos.

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Geometría 1º Secundaria

A) 1311 B) 1312 C) 1213 D) 1321 E) N.A.

12. Calcular el máximo número de puntos de intersección de 10 rectas paralelas, 12 rectas secantes y 16 circunferencias secantes.

A) 1311 B) 1312 C) 1213 D) 1321 E) N.A.

13. Hallar el MNPC de 20 elipses secantes

A) 350 B) 360 C) 380 D) 200 E) N.A.

14. Hallar el MNPC de 20 circunferencias secantes y 50 rectas secantes

A) 150 B) 200 C) 350 D) 300 E) N.A.

15. Determinar el MNPC de 18 rectas secantes y 25 circunferencias.

A)1650 B)1652 C)1653 D) 1650 E)N.A.

16. Si se quitan 4 rectas de un grupo de rectas secantes, los puntos de intersección disminuyen en 26. Calcular los puntos de intersección del sistema.

A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) N.A.

17. Hallar el MNPC de 10 cuadriláteros y 5 circunferencias.

A) 750 B) 760 C) 780 D) 800 E) N.A.18. Encontrar el MNPC de 13 circunferencias

secantes, 7 rectas secantes y 21 rectas paralelas.

A) 1052 B) 1050 C) 1080 D) 1082 E) N.A.

19. Calcular el MNPC de 20 rectas secantes, 10 circunferencias, 8 triángulos y 5 cuadrados.

A) 2540 B) 2542 C) 2548 D) 2500 E) N.A.

20. ¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de 6 circunferencias y 8 pentágonos?

A) 100 B) 150 C) 200 D) 300 E) N.A.

PRACTICA DOMICILIARIA

01. Hallar el MNPC de:

A) 9 rectas secantes y 10 circunferencias B) 7 rectas secantes y 8 triángulos C) 10 rectas secantes y 12 cuadriláteros convexos D) 5 triángulos y 8 octógonos convexos E) 6 cuadriláteros y 8 circunferencias F) 12 hexágonos y 10 pentágonos G) 30 decágonos y 8 nonágonos secantes

02. Hallar el MNPC de: A) 20 rectas secantes

B) 16 circunferencias C) 45 triángulos D) 18 cuadriláteros E) 25 pentágonos convexos F) 36 octógonos convexos

03. Hallar el MNPC de 10 rectas secantes entre 5 circunferencias.

A) 165 B) 175 C) 200 D) 185 E) N.A.

04. Hallar el MNPC de 10 rectas secantes entre 5 circunferencias.

A) 4720 B) 6320 C) 3960 D) 8640 E) 7205

05. 7 rectas secantes, 8 circunferencias y 9 triángulos, se cortan como en:

A) 963 B) 693 C) 396 D) 973 E) N.A.

06. 5 ángulos y 8 circunferencias se cortan como máximo en:

A) 136 B) 160 C) 216 D) 296 E) 246

07. 7 rectas paralelas, 6 rectas secantes y 12 pentágonos, se cortan como máximo en:

A) 1029 B) 928 C) 1129 D) 1309 E) N.A.

08. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 5 octógonos y 6 decágonos convexos.

A) 460 B) 480 C) 940 D) 840 E) N.A.

09. Se tienen n triángulos secantes. Si se quitan 3 triángulos, el número máximo de puntos de corte, disminuye en 54. Hallar n

A) 10 B) 6 C) 7 D) 5 E) 8

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Geometría 1º Secundaria

08. Hallar el máximo número de puntos de corte entre n elipses y 2n rectas todas secantes.

A) 4n(3n-1) B) 3n(4n-1) C) 2n(n+2) D) 3n(4n+1) E) 4n(n+1)

OPERACIONES CON SEGMENTOS

El hombre de la pre historia con sus conceptos vagos de número y de la medida es probable que contara con los dedos u otros objetos y que midiera las longitudes con ciertas líneas.

FUNDAMENTO TEÓRICO

SEGMENTO.- Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.

El segmento AB de la figura.

Se denota:AB o BA, los puntos A y B son los extremos.Si la longitud AB es 10 unidades, podemos

escribir:AB = 10 o m AB = 10

SEGMENTO CONGRUENTES.- Son aquellos que tienen igual longitud.

El segmento AB de la figura.

Así AB y CD, son congruentes. Se escribe: AB – CD

O simplemente: AB - CD

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.- Es aquel que lo divide en dos congruentes. Se dice que dicho punto biseca al segmento.

M es punto medio de AB.

AM = MBAM = MB = AB/2

PUNTOS COLINEALES.- Son los que pertenecen a una misma recta. Por ejemplo los puntos A, B, C, D.

Además los puntos A, B, C y D son

consecutivos.

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Postulado: El total es igual a la suma de sus partes.

Tenemos:

AB + BC = AC

Postulado: “El total es igual a la suma de sus partes”.

PQ + QR + RS = PS

AB+BC+CD+DE+EF=AF

AB + BE = AE AC + CD + DE = AE BD + DF = BF

También podemos efectuar diferencias: MN = MT - NT NT = MT - MN

Observaciones

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Geometría 1º Secundaria

En algunos gráficos, se va a representar las longitudes de los segmentos con letras, usualmente minúsculas.

En aquellos casos de segmentos congruentes:

Problemas explicativos01. Se tiene los puntos colineales y

consecutivos A, B, C, D; tales que AD = 24, AC = 16 y

A) 3 B) 4 C) 6 D) 3,6 E) 5

02. Los puntos A, B, C y D son consecutivos cumpliendo la relación:

4AB - BD - 2 DC = 4 Hallar AD. Si AB = 3 y AC = 5

A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 7

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Geometría 1º Secundaria

PRACTICA EN CLASE

01. Calcular PR, si RQ - PR = 14

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 11

02. Calcular BC, si AB=14u y BD=18u, además “C” es punto medio de AD.

A) 1u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u

03. Si “M” es punto medio de PQ, “Q” es punto medio de PR y PM=5, Calcular “PR”.

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

04. En la figura se cumple: AC - AB = 12. Si “T” es punto medio de BC, Calcular TC.

A) 5 B) 6 C) 12 D) 8 E) 9

05. Calcular PM si PS=30, y QS=18 PR=22 y “M” es punto medio de QR.

A) 12 B) 13 C) 14 D) 17 E) 18

06. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D Hallar AD, si AC=60 ; AD+CD=140

A) 75 B) 100 C) 80 D) 95 E) 110

07. Sobre una recta se ubican los puntos colineales y consecutivos: A, B, C, D y E. Hallar BE, si:

A) 45 B) 42 C) 48 D) 36 E) 49

08. Sobre una recta se toman los puntos P, Q, R, T; tal que PQ=3, PR=5 y 4PQ-QT-2RT=4 Calcular PT

A) 5 B) 4 C) 8 D) 7 E) 9

09. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D. Se ubican P y Q punto medios de AB y CD respectivamente. Hallar PQ, si de AC + BD =24

A) 5 B) 4 C) 8 D) 7 E) 9

10. Sobre una recta se ubican los puntos A, B, y C. Donde AC =60 y 2AB = BC, hallar AB

A) 20 B) 28 C) 30 D) 40 E) 32

11. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos: A, B,

C, D y E. Si AD + BE = 20 ; . Calcular BD.

A) 4 B) 8 C) 7 D) 100 E) 28

12. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, D y E; con la siguiente condición:

AC + BD + CE = 324 m; Hallar AE

A) 198 B) 29 C) 124 D) 64 E) 128

13. Los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D son tales que AD =18, BD =13 y AC = 12. Hallar BC

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

14. P, Q y R son tres puntos consecutivos de una recta PQ = 2 QR + 1 y PR = 31.

Hallar QR.A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 8

15. A, C, D y E son tres puntos colineales y consecutivos tal que D sea un punto medio de CE y AC + AE = 50. Hallar AD

A) 25 B) 12.5 C) 50 D) 20 E) 25.5

16. Calcular BC, si AD = 10, AC = 7 y BD = 8

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

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Geometría 1º Secundaria

17. Calcular BC.

A) 4 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6

18. Calcular BC, si AC = BD = 3 y AD = 5

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0.5 E) 1,5

19. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, si M y N son puntos medios de AC y BD respectivamente y además AB + CD = 18m. Calcular la longitud de MN.

A) 8m B) 9m C) 6m D) 10m E) N.A.

20. Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C, D y E de manera que:

AE = 28cm. Calcular BC

A) 6 cm B) 8 cm C) 2 cm D) 4 cm E) N.A.

21. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C siendo

AC + AB = BC,

Hallar

A) 3 B) 1/6 C) 2 D) 1/3 E) 1/2

21. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C siendo

AC + AB = BC, Hallar

A) 3 B) 1/6 C) 2 D) 1/3 E) ½

22. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E de modo que AE=36, BD=9, AC=23 y AB-DE=5

A) 1 B) 1,2 C) 1,5 D) 2,5 E) 2

23. A, B, C, son puntos colineales y consecutivos tales que: 7AB = 8BC y AC = 45. Hallar BC.

A) 25 B) 19 C) 23 D) 21 E) 27

24. Una hormiga camina sobre una línea recta del punto A hacia el punto B, si al llegar al punto M (M es el punto medio de AB) decide retroceder hasta el punto P y se da cuenta que la distancia de P hasta M es la cuarta parte de la distancia de P hasta B. Calcular AB si la hormiga a recorrido 72 m.

A)108m B) 36m C)18m D)54m E) N.A.

25. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D tal que AD = 10 y AC = BD = 6. Calcular BC

A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) 6

26. Calcular MN si AC + BD =20, M y N son puntos medios.

A) 8 B) 10 C) 14 D) 5 E) 4

27. De la figura, calcular BC si

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

28.Hallar AE si AC = 8 , BE = 10 y BC = 2

A) 8 B) 14 C) 16 D) 12 E) 1329. Si CD = 2AB y BC = 5 Calcular la

distancia de los puntos medios de AB y CD

A) 15 B) 20 C) 30 D) 35 E) 40

30. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E de modo que B es punto medio de AE ; AE = 20 y AC = 3CD. Hallar BC

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Geometría 1º Secundaria

A) 5 B) 2 C) 3 D) 4 E) 10

PRACTICA DOMICILIARIA

01. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC = 12 cm, BD = 17 cm y AD = 21 cm. Calcular BC

A) 7cm B8cm C) 9cm D) 10cm E) 11cm

02. P, Q, y R son puntos consecutivos de una recta. Tales que PQ = RQ + 22. Si M es punto medio de PR. Calcular MQ.

A) 22 B) 11 C) 33 D) 5,5 E) 2,75

03. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. AB = 2 BC, CD = 3 AB y D es punto medio de BE. Calcular AE, sabiendo además que AD + BE = 115

A) 90 B) 70 C) 75 D) 80 E) 72

04. En la figura NR = MN - 2 = RS - 3 NS = ST y MT = 106. Calcular NR.

A) 19 B) 19,2 C) 20 D) 20,2 E) N.A.

05. Calcular PU, si ER = RU = 2PE PR + EU = 11208. A, B, C y D son puntos consecutivos de

una recta. AC = 12 , BD = 16 y AD = 31 Calcular

BC

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 10006. Calcular AC, si AB = BC, CD = DE BD = 4 y BE = 7

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

07. Calcular EC, si: BE = 10, AB = BC , AE = ED , BD = 32

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

08. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. AC = 12 , BD = 16 y AD = 31 Calcular BC

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

09. P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta. PR + QS = 20 y PS = 27 Calcular QR

A) 3 B) 7 C) 5 D) 9 E) 4

10. Dado los puntos colineales A, B y C. AC = 27 y 5 AB = 4 BC. Calcular AB.

A) 12 B) 15 C) 11 D) 10 E) 9

11. A, B, y C son puntos colineales y consecutivos, y M punto medio de AC. Si AB = 18 y BC = 10. Calcular MB

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

12. P, Q, R y S son puntos colineales y consecutivos. QR = RS = 2 PQ y PR + QS = 168. Calcular PS

A) 140 B) 160 C) 170 D) 150 E) 4

13. A, B, y C son puntos colineales y consecutivos; M punto medio de AB y N punto medio de BC. Calcular AC, si MN=28 y AB = 32.

A) 56 B) 54 C) 52 D) 58 E) 50

14. A, M, Q, B y C son puntos colineales y consecutivos; MQ = 5 AM = MB, AQ = QC y MC = 16. Calcular BC

A) 9 B) 10 C) 12 D) 11 E) 8

15. A, B, C, D y E son puntos colineales y consecutivos, AB = BC; CD = DE, CE = 36 y BD = 60. Calcular AE

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

16. F, A, y G son puntos colineales y consecutivos, FA - AG = 12; y M punto medio de FG. Calcular MA

A) 6 B) 8 C) 7 D) 5 E) 4

17. A, S, O, N y D son puntos colineales y consecutivos, ON=DN+3, AS=OS, OS=ON+1 y AD+SN = 48. Calcular AD

A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34

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2222

Geometría 1º Secundaria

18. P, Q, R, y S son puntos colineales y consecutivos PQ = 2X, QR = 3X, RS = 4X - 1, PS = 71. Calcular RS

A) 31 B) 33 C) 36 D) 35 E) 37

19. A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos AD = 60, CD = 15 y AB . CD = BC . AD Calcular BC

A) 8 B) 7 C) 9 D) 10 E) 6

20. A, B, C, D, E y F son puntos colineales y consecutivos: AC + BD + CE + DF = AF + 12. Calcular BE

A) 4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 18

21. A, B, C son puntos colineales y consecutivos; M punto medio de AB y N punto medio de BC. Calcular MN. Si BC = 36 y AN = 84

A) 51 B) 39 C) 36 D) 34 E) 38

22. M, N, R y T son puntos colineales y consecutivos; R punto medio de MT, MN = 2NR - 7 y 2MN + 3NR + 4RT = 53. Calcular NR.

A) 4 B) 3 C) 6 D) 5 E) 7

23. A, M, B, N y C son puntos colineales y consecutivos; M punto medio de AB, y N punto medio de BC. Si ¨AN = 12 y MN = 9. Calcular NC.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

24. A, B, C, y D son puntos colineales y consecutivos; que determinan tres segmentos congruentes. Calcular AD. Si 2AB = 3BD + 4AD = 60

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

25. Dado los puntos colineales y consecutivos: A, R, P, se sabe que AP = 20 y 2(AR) + 3(RP) + 4(AP) = 122 . Calcular AR

A) 18 B) 16 C) 14 D) 20 E) 19

26. E, F, M, A, J son puntos colineales y consecutivos; AJ = AM - 1, EM = 30, AF = EM - 10 y JM = AF + 5. Calcular EF

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 2427. A, B y C son puntos consecutivos de

una recta AB = 40 y BC = 20. Se ubican M, N y R puntos medios de AB, BC y MN

respectivamente. Calcular la longitud de RB

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

28. A, B y C son puntos colineales y consecutivos AC = 15 y 2AB + 3BC = 37. Calcular BC

A) 5 B) 7 C) 8 D) 6 E) 9

29. P, Q y R son puntos colineales y consecutivos PR = 12. Calcular la distancia entre los puntos medios de PQ y QR

A) 4 B) 8 C) 3 D) 6 E) 5

30. A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos AC + BD = AD + 12. Calcular BC

A) 6 B) 10 C) 18 D) 16 E) 12

31. Los puntos A, B, C, D se encuentran sobre una línea recta de modo que AB = 8, BC = 12, luego se toma el punto medio F de AC. Calcular BF.

A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 0,5 E) 3

32. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, tal que AB = a,

BC = 3a y AC= 24. Encontrar BC.

A) 12 B) 14 C) 8 D) 18 E) 6

33. Los puntos A, B, C, D se encuentran sobre una línea recta de modo que BC = 7, AC + BD = 33. Calcular AD.

A) 25 B) 20 C) 26 D) 16 E) 13

34. Se ubican los puntos A, B, C, D sobre una línea recta tal que B es punto medio de AD, además AD = 2CD + 28. Calcular BC.

A) 14 ) 16 C) 12 D) 8 E) 7

35. Los puntos A, B, C, D se encuentran sobre una línea recta de modo que AC + BD + AD = 54 y BC = 8. Encontrar AD

A) 18 B) 32 C) 25 D) 27 E) 23

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2222

Geometría 1º Secundaria

ANGULO

Es una figura geométrica formada por dos rayos que tiene el mismo origen.

A dichos rayos se les denomina lados y al origen común vértice del ángulo.

SISTEMA DE MEDIDAS SEXAGESIMALESEs el sistema de medidas más utilizado en el

mundo para las aplicaciones de ingeniería, topografía y navegación.

En este sistema definimos al ángulo como la enésima parte de 360, es decir: n/360.

La unidad de medida es el Grado Sexagesimal (°).

EQUIVALENCIAS:1° < > 60’1’ < > 60´’ 1° < > 3600’’

Ejemplo 01: Un ángulo mide 80°, expresar dicha medida en grados, minutos y segundos.

80° = 79° + 1°

80° = 79° + 60’80° = 79° + 59’ + 1’80° = 79° + 59’ + 60’’

Rpta. 80° = 79°59’60”.

Ejemplo 02: Un ángulo mide 56,125°, expresar dicha medida en grados, minutos y segundos.

56,25° = 56° + 0,125°56,25° = 56° + 0,125°1

56,25° = 56° + 0,125°56,25° = 56° + 7,5’56,25° = 56° + 7’ + 0,5’56,25° = 56° + 7’ + 0,5’1

56,25° = 56° + 7’ + 0,5’ 56,25° = 56° + 7’ + 30°

Rpta. 56° 7’ 30°

Ejemplo 03: Convertir 37º46’48’’ a grados sexagesimales.

37°46’48” = 37° 46’ 48”.1

37°46’48” = 37° 46’ 48”.

37°46’48” = 37° 46’ 0,8’37°46’48” = 37° 46,8’.1

37°46’48” = 37° 46,8’.37°46’48” = 37° 0,78°37°46’48” = 37,78°

CLASIFICACIÓN DE ANGULOS

a) Según sus medidas: Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya

medida es mayor que 0° y menor que 90°.

Angulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°

Angulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayo que 90° y menor que 180°.

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2222

Geometría 1º Secundaria

Ángulo Llano: Es aquel ángulo que mide 180°.

Angulo de una vuelta: Es aquel ángulo que mide 360°.

b) Según la posición de sus lados:

Ángulos Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además están situados a distinto lado de un lado común.

Ángulos Consecutivos: Se denominan así a dos o más ángulos que son adyacentes con su inmediato.

Ángulos Opuestos por el Vértice: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario.

c) Según la suma de sus medidas.Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90°.

Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180°.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Es aquel rayo ubicado en la región interior del ángulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con sus lados, ángulos de igual medida.

TEOREMAS IMPORTANTES

Si: C = complemento y S = suplemento, entonces, se cumple que:

1° Cuando “n” es impar”

2° Cuando “n” es par:

Ejemplos:

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2222

Geometría 1º Secundaria

1) Halla el complemento del complemento del complemento de 65°.

Resolución:Sea: Complemento = C, entonces:

CCC (65°) = CC (25°) = C (65°) = 25°

2) Halla el suplemento del suplemento del suplemento de 78°.

Resolución:Sea: Suplemento = S, entonces:

SSSS (78°) = SSS (102°) = SS (78°)

= S (102°) = 78°

3) Calcula:

Resolución:De acuerdo a las fórmulas aprendidas:

a) (175 veces S-impar) 180° - 150°= 30°

b) (278 veces C- par) 90° - 50° = 40°c) SSSCCSSC40° = SSSCCSS (50°)

= SSSCC (50°)= SSS (50°)= 130°.

d) Finalmente, se obtiene:30° + 40° + 130° = 200°.

4) Halla el valor de “x” en la siguiente gráfica:

Resolución:Por ser un ángulo de una vuelta, se tiene:x + 2x + x + 30° + 100° + 110° = 360°

4x = 360° - 240° = 120°x = 30°

PRACTICA EN CLASE

01. Transformar las siguientes medidas de ángulos a grados sexagesimales.

1. 54º57’36’’ 7. 9º31’16’’2. 95º42’59’’ 8. 39º29’18’’3. 5º36’ 9. 274º32’25’’4. 146º35’34’’ 10. 167º36’28’’5. 62º28’42’’ 11. 146º59’47’’6. 57º25’15’’ 12. 290º38’50’’

02. Transformar las siguientes medidas de ángulos a grados, minutos y segundo sexagesimales.

1. 26,345º 7. 45,600º2. 55,2º 8. (26,53/2)º

3. 189,25º 9. 158, 58º4. 54, 30º 10. 169,211º5. 175,325º 11. 585,18º6. 365,0185º 12. 12, 525º

03. Calcular:

1. La medida del complemento de 63º

2. La medida del suplemento de 147°

3. El complemento del suplemento de 158°

4. El suplemento del complemento de 26°

5. El C S 100° (el complemento de la

mitad del suplemento de 100º)

6. (La raíz cuadrada del doble del complemento)

7. S - C + 10°

8.

9. SC (4x)

04. Resolver:

a) ¿Qué Ángulo gira el minutero de un reloj en 36 minutos?

b) ¿Qué ángulo genera el minutero de un reloj en 18 minutos?

c) ¿Qué ángulo genera el minutero de un reloj en72 minutos?

d) La mitad de un ángulo es igual a cinco veces la medida de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?

e) Uno de los ángulos formados por dos rectas que se cortan mide 36º36’ ¿Cuánto mide el ángulo?

f) ¿Cuál es el suplemento de un ángulo cuyo complemento es el cuádruple del ángulo?

g) La diferencia de dos ángulos complementarios es de 64º26’, determina el valor del ángulo mayor.

h) Halla el complemento del suplemento de un ángulo de 125º24’.

i) ¿Cuánto mide el ángulo que mide igual que su complemento?

j) Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 10º para agregarle al otro, este último ángulo resulta ser 5 veces lo que queda del primero. ¿Cuánto mide cada ángulo?

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2222

Geometría 1º Secundaria

k) Dos ángulos complementarios son entre si como 8 y 12. ¿Cuánto mide los ángulos?

05. Calcular el valor de “” en: + C + CC CCC + CCCC= 215a) 20º b) 15º c) 40º d) 30º e) N.A.

06. La diferencia de las medidas de los complementos de dos ángulos es 40 y la suma de las medidas de sus suplementos es 260º. Hallar la medida del menor.

a) 20° b) 30° c) 35° d) 40° e) 70°

07. El doble de la medida del suplemento del doble de la medida del complemento de un ángulo es igual a 38 averiguar la medida del complemento de la mitad de la medida del suplemento de dicho ángulo.a) 6º b) 5º c) 4º d) 10º e) N.A.

08. Las medidas de dos ángulos son como 2:3 y las medidas de sus complementos son como 6:7. Calcular la relación que existe entre las medidas de sus suplementos.a) 2:3 b) 6:7 c) 3:4 d) 10:13 e) 15:16

09. La suma de las medidas de los complementos de tres ángulos es 140. Hallar el suplemento de la suma de sus medidas.a) 50º b) 40º c) 45ºd) 35º e) 30º

10. La diferencia de un ángulo y su suplemento es igual al triple de su complemento. Hallar el ángulo.a) 30º b) 70º c) 90ºd) 60º e) 30º

11. ¿Cuánto valdrá un ángulo si el doble de su complemento es igual al complemento de su mitad?a) 10º b) 20º c) 30ºd) 60º e) 80º

12. Si el complemento y el suplemento del suplemento del complemento de un ángulo mide 20º. Hallar el suplemento del complemento del complemento del suplemento de dicho ángulo.a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

13. Si a un ángulo s ele resta su complemento, el nuevo ángulo es igual a la cuarta parte del suplemento del original. Hallar el suplemento del ángulo original.

a) 75º b) 45ºc) 120ºd) 30º e) 60º

14. La suma del complemento de un ángulo más el suplemento de otro ángulo es 200º. Hallar el suplemento del ángulo de la suma de ambos.a) 40º b) 70º c) 60ºd) 140º e) 50º

15. La suma de las inversas de las medidas de dos ángulos complementarios es 1/20. Hallar el mayor de los ángulos.a) 60º b) 30º c) 75ºd) 75º e) 15º

16. Se tienen los ángulos consecutivos A B

y B C de manera que la suma de los

ángulos OB y AOC es 80º.

Calcular el ángulo , siendo bisectriz del ángulo BOC.a) 0º b) 20º c) 40ºd) 60º e) 80º

17. La suma de las medidas de dos ángulos es 80º y el complemento de la medida del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo.

Calcular la diferencia de las medidas de dicho ángulos.

a) 30º b) 60º c) 45ºd) 80º e) 85º

18. Si la relación del complemento de un ángulo “” entre el suplemento de un ángulo “” es igual a la relación del suplemento de “” entre el complemento de “”, Halla la suma de dichos ángulos.a) 60° b) 90° c) 180°d) 270° e) 360°

19. En las siguiente relación, hallar ““:

a) 17° b) 73° c) 163°d) 117° e) 180°

20. El complemento de un ángulo es igual a los 2/5 del suplemento del mismo ángulo. ¿Cuál es su valor?a) 15° b) 60° c) 30° d) 150° e) 90°

21. ¿Cuánto mide el ángulo que equivale a los 5/3 de su complemento?a) 56°15’ b) 25° c) 40°30’d) 33° e) 48°25’

22. La suma del complemento más el suplemento de la medida de cierto ángulo es igual a 130°. Calcular la medida de dicho ángulo.a) 50° b) 60° c) 70°

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2222

Geometría 1º Secundaria

d) 80° e) 90°

23. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10.a) 60° b) 50° c) 40°d) 80° e) 90°

24. Si C = complemento. Calcular “x” en:

Cx + CC2x + CCC3x = 160°

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) N.A.

25. Calcula la medida de un ángulo sabiendo que el doble del complemento de la mitad del suplemento del triple del complemento de la mitad de dicho ángulo es igual a 150°.a) 40° b) 60° c) 80°d) 100° e) 140°

PRACTICA DOMICILIARIA01. Encontrar la mitad de la tercera parte

del complemento del suplemento de un ángulo que mide 96°.

a) 1° b) 2° c) 3°

d) 4° e) N.A.

02. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento; calcular dicho ángulo.

a) 80° b) 45° c) 15°

d) 60° e) N.A.

03. La suma del complemento de un ángulo “” con el suplemento de un ángulo doble es igual a 3/2 del complemento de un ángulo “” y - = 24°. Calcular el complemento del ángulo “”.

a) 36° b) 18° c) 24°

d) 45° e) 38

04. Calcular la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10.

a) 80° b) 75° c) 70°

d) 95° e) 69°

05. El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la media de su complemento. Hallar la medida del ángulo.

a) 54° b) 36° c) 44°d) 27° e) 58°

06. Si a la medida de un ángulo se le resta dos grados más que a la tercera parte de su complemento, resulta un cuarto del suplemento del ángulo, disminuido en un grado. ¿Cuánto mide dicho ángulo?

a) 48° b) 49° c) 50°

d) 47° e) N.A.

07. La tercera parte de la mitad del suplemento de la medida de un ángulo excede de 2 a los 3/5 del complemento de la medida del mismo ángulo.

a) 60° b) 30° c) 10°

d) 120° e) 45°

08. La diferencia entre el suplemento y el complemento del ángulo “”, es igual a 6 veces el ángulo “”. Hallar dicho ángulo.a) 30° b) 90° c) 60°

d) 15° e) N.A.

09. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar dicho ángulo.

a) 80° b) 45° c) 15°

d) 60° e) 75°

10. De que ángulo se debe restar su complemento para obtener 10°.

a) 30° b) 40° c) 50°

d) 60° e) 70°

11. Si el suplemento del suplemento del suplemento de la medida de un ángulo se la añade el complemento del complemento del complemento del doble de la medida de dicho ángulo, se obtiene el triple de la medida del ángulo mencionado. Calcular dicho ángulo.

a) 60° b) 45° c) 30°

d) 55° e) 50°

12. Calcular la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10.

Page 19: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

a) 80° b) 75° c) 70°

d) 95° e) 69°

13. Encontrar la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide 96°.

a) 1° b) 2° c) 3°

d) 4° e) N.A.

14. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento; calcular dicho ángulo.

a) 80° b) 45° c) 15°

d) 60° e) N.A.

15. El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la media de su complemento. La medida del ángulo es:

a) 54° b) 36° c) 44°

d) 27° e) 58°

18. La diferencia entre el suplemento y el complemento de es igual al séxtuplo de . Calcula el suplemento del complemento de .a) 106 b) 105 c) 110d) 130 e) 140

19. La diferencia entre el suplemento de un ángulo y el cuádruplo de su complemento es el doble de su complemento. Halla el ángulo.a) 72° b) 42° c) 32°

d) 52° e) 62°

20. La diferencia de los ángulos consecutivos AOB y BOC es 30°. Halla la medida del ángulo que forma la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.a) 5° b) 15° c) 18°d) 20° e) 25°

21. Calcula el mayor de tres ángulos que están en la relación de 3; 5 y 7, sabiendo que el complemento de la suma de dichos ángulos es 15°.

a) 5° b) 15° c) 25°d) 35° e) 40°

22. Si a uno de los ángulos adyacentes suplementarios se le disminuye 20° para agregárselo al otro, éste resulta ser 8 veces lo que queda del primero. Halla el suplemento del menor.

a) 40° b) 140° c) 50°d) 130° e) N.A.

23. Halla el menor de dos ángulos conociendo que uno de ellos excede en 10° al complemento del segundo y además el segundo ángulo es igual a la mitad del suplemento del primer ángulo.

a) 10° b) 15° c) 20°d) 30° e) N.A.

24. Un ángulo mide los 2/5 de un ángulo llano y otro ángulo mide los 5/9 de un ángulo recto. Calcula el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos.

a) 29° b) 32° c) 58°d) 72° e) 96°

25. Cuatro rayos forman en torno a un punto y en un mismo plano, cuatro ángulos cuyas medidas son proporcionales a los números 1; 2; 3 y 4. Determina el ángulo formado por las bisectrices de los dos ángulos menores.

a) 27° b) 36° c) 48°d) 54° e) 72°

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2222

Geometría 1º Secundaria

ÁNGULOS ENTRE RECTASRectas Paralelas Rectas Secantes Rectas PerpendicularesDos o más rectas

son paralelas si no tienen ningún punto común.

Dos o más rectas son secantes si tienen un punto en común entre ellas, pueden ser oblicuas o perpendiculares

Dos rectas son secantes y perpendiculares cuando su intersección forma un ángulo recto (90°).

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS Y UNA SECANTEDados dos rectas: L1 y L2, intersecadas por una recta L3:

Se generan los siguientes ángulos:Correspondientes Alternos ConjugadosLa medida de estos

ángulos son iguales.

1 = 5 2 = 6 4 = 83 = 7

Los ángulos que se encuentran dentro de las paralelas se denominan alternos internos y los que están fuera alternos externos. Se caracterizan porque tienen igual medida

- alternos internos: 3 = 54 = 6

- alternos externos:1 = 72 = 8

La suma de dos ángulos conjugados miden 180°. Los que están dentro de las paralelas son conjugados internos y los que están fuera de ella conjugados externos

- Conjugados internos: 3 + 6 = 4 + 5 = 180°

- Conjugados externos:1 + 8 = 2 + 7 = 180°

ÁNGULOS PARALELOS Y PERPENDICULARES1° Ángulos de lados paralelos

Caso 01 Caso 02 Caso 03

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2222

Geometría 1º Secundaria

ÁNGULOS PARALELOS Y PERPENDICULARES2° Ángulos de lados perpendiculares

Caso 01 Caso 02 Caso 03

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

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Geometría 1º Secundaria

PRACTICA EN CLASE

01. Calcula el valor de: “”, si: L1 // L2.

02. Si: L1 // L2, calcula el valor de “x”.

03. En la gráfica, L1 // L2, calcula “x”.

04. Calcula el valor de “x”, si: L1 // L2.

05. Halla: “”, si: L1 // L2.

06. Calcula “x”, si: L1 // L2.

07. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC que se diferencian en 38°. Calcula la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB.

08. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Siendo: 2(AOB) = 3(COD); AOD = 92° y BOD = 76°. Halla la medida del ángulo BOC.

09. Halla BOZ, si: AOB – BOC = 30°

10. Si: L1 // L2, calcula: x/y.

11. Calcula el valor de “x”, si: L1 // L2.

12. Calcula “”, si: L1 // L2.

13. En la gráfica L1 // L2, halla “x”.

14. Halla: x + y + z, si: L1 // L2.

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4949

Geometría 1º Secundaria

15. Halla “x”, si: - = 20° y L1 // L2.

16. Halla “x”, si: L1 // L2.

17. Halla el valor de “”, si: L1 // L2.

18. Si: L1 // L2, calcula el complemento de “”.

19. Si: L1 // L2, halla el valor de “x”.

20. Halla el menor ángulo que forman L3

y L4, si: L1 // L2.

PRACTICA DOMICILIARIA

01. Según el gráfico, calcula “x”, si: L1 // L2.

a) 100° b) 120° c) 80°

d) 90° e) 100°

02. Según el gráfico, calcula el valor de ”x”, si: L1 // L2.

a) 110° b) 120 ° c) 130°

d) 140° e) 150°

03. En la figura, L1 // L2, calcula “x”.

a) 36° b) 40° c) 52°

Page 24: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

d) 56° e) 38°

04. En la figura, L1 // L2, calcula “x”.

a) 118° b) 105°c) 120°

d) 124° e) 127°

05. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula “x”.

a) 45° b) 50° c) 48°

d) 24° e) 40°

06. Calcula “x”, si: L1 // L2.

a) 60° b) 70° c) 80° d) 50° e) 65°

07. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula: “x - y”.

a) 20° b) 30° c) 40°

d) 50° e) 60°

08. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula: “x”.

a) 25° b) 30° c) 35°

d) 40° e) 20°

09. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula: “x”.

a) 60° b) 50° c) 30°

d) 40° e) 80°

10. Según el gráfico: L1 // L2, calcula “x”.

a) 80° b) 90° c) 70°d) 120° e) 150°

11. Según el gráfico: L1 // L2, calcula “x”.

a) 10° b) 15° c) 20°

d) 25° e) 30°

Page 25: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

12. En el gráfico mostrado, L1 // L2, calcula “x”.

a) 110° b) 100° c) 105°

d) 108° e) 96°

13. Si: L1 // L2, calcula “x”.

a) 10° b) 22° c) 32°

d) 34° e) 28

14. Del gráfico, calcular el valor de “x”. Si L1 // L2:

a) 10° b) 50° c) 70°d) 80° e) N.A.

15. Si L1 // L2. Hallar:

a) 5 b) 6 c) 7d) 10 e) N.A.

16. En la figura mostrada, L1//L2. Calcular “x”

a) 100° b) 135°c) 140°d) 180° e) 200°

17. En la figura, calcular “x”. Si L1 // L2

a) 36° b) 40° c) 50°d) 20° e) N. A.

18. Según el gráfico, L1 // L2. Calcular el valor de “x”:

a) 10° b) 15° c) 20°d) 30° e) N. A.

19. Si L1 // L2. Hallar “x”

a) 15° b) 18° c) 12°d) 20° e) 30°

20. Si L1 // L2. Hallar “x”. Si a° + b° + c° + d° = 140°.

a) 30° b) 40° c) 50°d) 60° e) 70°

Page 26: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

21. Hallar el ángulo en la figura, si L1 // L2.

a) 144° b) 154 c) 134°d) 136° e) 146°

22. Si .Hallar - .

a) 72° b) 32° c) 10°d) -32° e) -10°

23. En la figura, es perpendicular a y y son entre sí como 2 es a 7. Hallar - .

a) 100° b) 80° c) 0d) 60° e) 40°

24. En la figura . Hallar .

a) 30° b) 60° c) 90° d) 120° e) 150°

25. En la figura mostrada . Determinar: + .

a) 175° b) 185°c) 65° d) 155° e) 95

Page 27: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

TRIÁNGULO

Definición: Es una figura geométrica o polígono que posee tres lados.

Elementos: Los elementos del triángulo son los siguientes:a) Vértices : A, B y Cb) Lados : AB, BC y AC.c) Ángulos : BAC, ABC y BCA.d) Perímetro : AB + BC + AC.

Clasificación: Se clasifican de acuerdo:

1) A las medidas de sus lados: Son los siguientes:

a) Equilátero: Es un triángulo cuyos tres lados son congruentes y sus tres ángulos también. Se le conoce

como triángulo equiángulo.

b) Isósceles: Es un triángulo en la que dos de sus lados son congruentes, el lado desigual se llama base. Los ángulos en la base son también congruentes.

c) Escaleno: Es un triángulo cuyos lados y ángulos son de diferente medida, es decir, no son congruentes.

2) A las medidas de sus ángulos: Son los siguientes:

a) Rectángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

b) Acutángulo: Es el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos, es decir que, cada ángulo mide más de cero grados y menos de 90 grados sexagesimales.

c) Obtusángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo obtuso. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo.

PRÁCTICA EN CLASE

Page 28: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

01) Observa cada uno de los siguientes triángulos y completa la tabla:

a) Vértices: ................

b) Lados: ...............

c) Ángulos: ...............

a) Vértices: ..............

b) Lados: ...............

c) Ángulos: ...............

a) Vértices: ............... b) Lados: ..............

c) Ángulos: ..............

02) Clasifica cada triángulo, según las medidas de sus lados.

16

12

20

13 13

13

3 5

4

122 720 ̧0,2

53

x+78

x+87x+123

1827 ̧63

84133+ 2

Page 29: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

03) Observa los triángulos rectángulos, y completa como se te indica:

04) En un triángulo isósceles, según la gráfica, halla el valor del lado desigual.

05) Halla el valor del perímetro del siguiente triángulo escaleno, si “x” es igual a 17 cm.

06) Si la base de un triángulo isósceles mide 39 cm, halla su perímetro.

07) En un triángulo equilátero, su perímetro mide 210 m, halla la medida de cada lado.

08) Determina el perímetro del triángulo equilátero, de acuerdo a la gráfica siguiente:

09) Determina el lado mayor del siguiente triángulo escaleno, cuyo perímetro es de 96 cm:

10) Halla la medida del lado menor, si el valor del lado mayor es de 53 cm.

11) En el siguiente triángulo rectángulo isósceles, determina la medida de la hipotenusa.

Page 30: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

12) En el siguiente triángulo rectángulo, la medida de uno de sus catetos es la mitad de la hipotenusa. Halla la medida del otro cateto.

13) En el siguiente triángulo rectángulo determina el valor de la hipotenusa, si uno de los catetos es el triple del otro.

14) El lado opuesto del ángulo obtuso de un triángulo obtusángulo isósceles es el quíntuplo del otro. Halla la medida de su perímetro.

15) Los lados de un triángulo rectángulo están en relación de 3; 4. Halla el valor de la hipotenusa.

DESAFÍO EN CLASE

01) En un triángulo isósceles, según la gráfica, halla el valor de la base.

02) De acuerdo a la gráfica, halla la longitud del lado desigual.

03) Halla el valor del perímetro del triángulo escaleno, si: x = 19 m.

04) Determina el valor del perímetro del siguiente triángulo, si: x = 3/8.

Page 31: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

05) Si la base de un triángulo isósceles mide 72 cm, halla su perímetro.

06) La base de un triángulo isósceles mide 150 cm. Halla su perímetro.

07) En un triángulo equilátero, su perímetro mide 180 m. Halla la medida de cada lado.

08) En el triángulo equilátero de la gráfica, el perímetro mide 243 m. Determina la medida de cada lado.

09) Halla el perímetro del triángulo equilátero de la gráfica:

10) Determina el lado del menor del siguiente triángulo escaleno, cuyo perímetro es de 135 cm.

11) Halla el lado mayor del siguiente triángulo, cuyo perímetro mide 112 cm.

12) Halla la medida del lado menor, si el valor del lado mayor del siguiente triángulo mide 64 cm.

13) Halla la medida del lado mayor, si el valor del lado menor es de 59 cm.

14) En un triángulo rectángulo isósceles, determina la medida de la hipotenusa.

15) Halla la medida de la hipotenusa, en el siguiente triángulo rectángulo isósceles:

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Geometría 1º Secundaria

16) En el siguiente triángulo rectángulo, la medida de uno de sus catetos es la mitad de la hipotenusa. Halla la medida del otro cateto.

17) Los lados de un triángulo rectángulo están en relación de 4 a 5. Halla el valor de la hipotenusa.

18) Los lados de un triángulo rectángulo están en relación de 2 a 5. Determina el valor de la hipotenusa.

TRIÁNGULOS II

Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, es decir, que no pertenecen a una misma recta, se llama triángulo ABC a la figura formada por la reunión de los segmento AB, BC y AC.

PROPIEDADES

01. Suma de ángulos interiores: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

02) Ángulo exterior: En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes al ángulo exterior.

Page 33: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

03) Ángulo formado por dos bisectrices interiores: En todo triángulo, el ángulo obtuso formado por as bisectrices interiores de dos de sus ángulos mide 90° más la mitad de la medida del tercer ángulo.

04) Ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior: En todo triángulo, el ángulo agudo formado por una bisectriz interior de un ángulo y una bisectriz exterior de otro ángulo mide la mitad de la medida del tercer ángulo.

05) Ángulo formado por dos bisectrices interiores: En todo triángulo, el ángulo agudo formado por las bisectrices exteriores de dos ángulos mide 90° menos la mitad de la medida del tercer ángulo.

PRÁCTICA EN CLASE

01) En el triángulo ABC, ¿cuánto mide el ángulo B?

02) Calcula el valor de “”.

03) De acuerdo a la siguiente gráfica, calcula el valor de ““.

04) Calcula el valor de “”, en la siguiente gráfica, si: AB = BC:

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4949

Geometría 1º Secundaria

05) Calcula el valor de “”, si PQ = QR.

06) Calcula el valor de “x”, en la siguiente figura:

07) Calcula el valor de “”, si:

08) Calcula la medida de uno de los ángulos exteriores de un triángulo equilátero.

09) Calcula la medida de uno de los ángulos exteriores de un triángulo rectángulo isósceles, diferente al ángulo recto.

10) Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 2; 3 y 4. Calcula la medida del menor.

11) En un triángulo ABC, mA = 20° y mC = 32°. Si se traza la bisectriz interior BD, calcula la mBDC.

12) En un triángulo ABC, mA = 70° y mB = 60°. Si se traza la altura BH, calcula la mHBC.

13) En un triángulo PQR, mP = 40° y mR = 80°. Si se traza la bisectriz exterior QF, calcula la mQFR.

14) En la figura: AB = BC y CE = CD. Calcula el valor de “x”.

15) Si: AB = BC y CD = CE, calcula el valor de “”.

16) Si: AB = BC = CD, calcula el valor de “x”, en la siguiente figura:

17) En un triángulo ABC, equilátero, F es un punto de AC, tal que el ángulo ABF mida el triple del ángulo FBC. Calcula la mFBC.

Page 35: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

18) En un triángulo ABC, mA = 26° y mB = 84°. Si se traza la bisectriz interior CD, calcula la mBDC.

19) Si: AB = BC = CD, calcula el valor de “”.

20) Calcula “x”, en la figura siguiente:

21) Calcula el valor de “”, en:

22) Calcula el valor de “”, en la siguiente gráfica:

23) Si: AB = BC = CD = DE = EF, calcula el valor de “x”.

24) Si: AC = BC = CD, calcula el valor de “x”.

25) Calcula el valor de “”, si ABC es equilátero. Además: CD = AB.

DESAFÍO EN CLASE

01) Calcula el valor de “x”, en:

a) 56° b) 55° c) 65° d) 35° e) N. A.

02) Calcula el valor de “x”, si: AB = AD y AC = AE.

Page 36: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

a) 80° b) 124° c) 40° d)100° e) N. A.

03) Calcula el valor de “”, en:

a) 72° b) 78° c) 140°d) 68° e) N. A.

04) Calcula EF:

a) 10° b) 11° c) 12° d) 13° e) 14°

05) Calcula: PQ.

a) 10 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

06) Calcula el valor de “x”.

a) 24° b) 23° c) 20° d) 42° e) 18°

07) Calcula el valor de “m”:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

08) Calcula el valor de “n”:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 7 e) 20

09) Calcula el valor de “x”, si L1 es bisectriz del ángulo P. Además: PA = 12 – 2x, y PB = 3 + x.

Page 37: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

10) Las medidas de los ángulos de un triángulo son tres números consecutivos. Calcula la medida del menor.

a) 30 b)60 c) 45 d) 59 e) 61

11) ABC es un triángulo y R un punto de AC; tal que: AB = BR = RC y mABR = 32°. Calcula: mC.

a) 56° b) 57° c) 58° d) 59° e) 60°

12) En un triángulo, mA = 74° y mB = 60°. Si se traza la altura BH, calcula la mHBC.

a) 30° b) 33° c) 44°d) 20° e) N. A.

13) En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD. Calcula mC, si: mBDC = 120° y mA = 81°.

a) 20° b) 21° c) 22° d) 23° e) 19°

14) En un triángulo ABC, mA = 30° y mC = 112°. Si se traza la bisectriz exterior BF, calcula mBFC.

a) 16° b) 52° c) 71° d) 38° e) N. A.

15) En un triángulo ABC, la mA = 57° y mC = 39°. Si se traza la altura BH y la bisectriz interior BD, halla la mHBD.

a) 6 b) 5 c)4 d) 3 e) 2

16) En la figura, calcula el valor de “x”, si: AB = BC = BD.

a) 30° b) 60° c) 90° d) 20° e) N. A.

17) En un triángulo ABC, calcula la medida del ángulo B si las bisectrices de los ángulos interiores A y C forman un ángulo que mide 120°.

a) 20° b) 40° c) 60° d) 30° e) 50°

18) R es un punto interior a un cuadrado ABCD y el triángulo ARD es equilátero. Calcula mRBC.

a) 15° b) 20° c) 30° d) 60° e) N. A.

19) Dado el triángulo ABC, si A = 5x; B = 3x y C = 4x, halla la medida de cada uno de dichos ángulos.

a) 45°;60°;75° b) 30°;60°;90° c) 15°;75°;90° d) 50°;60;70°

20) Calcula la medida de cada uno de los ángulos internos del siguiente triángulo:

a) 37°;60°;83°b) 53°;65°;63°c) 45°;76°;59°

d) 48°;75°;57°

21) Si: = 118°30’ y = 123°15’; calcula la medida del ángulo mayor de

Page 38: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

los ángulos internos A, B y C, del triángulo ABC.

a) 61°45’ b) 61°30’ c) 62° d) 56°45’ e) 63°

22) Calcula: a + b + c + d + e. en:

a) 60 b) 90 c) 120 d) 180

e) 270

23) Halla el valor de “”, en:

a) 10° b) 20° c) 25° d) 30°

e) 40°

24) Halla el valor de “”, si:

a) 50° b) 60° c) 30° d) 45°

e) 55°

25) En la figura, halla: “x”, si: mBAD = 35°.

a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

26) Halla el valor de “x”, en:

a) 10° b) 20° c) 15° d) 35° e) 40°

Page 39: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO I

MEDIANA

Definición: Es el segmento de recta

que tiene por extremos a un vértice y

al punto medio del lado opuesto a

dicho vértice.

BISECTRIZ

En el triángulo, existen dos bisectrices,

a saber:

BISECTRIZ INTERIOR: Es el segmento

que divide a un ángulo interno en

medidas iguales.

BISECTRIZ EXTERIOR: Es el

segmento que divide a un ángulo

externo en medidas iguales.

Page 40: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

PRÁCTICA EN CLASE

01) Si: es mediana y = 9 cm, halla

“x”.

02) Si: es mediana y QR = 24 cm.

Halla “x”.

03) Si: es bisectriz, halla “x”.

04) Halla “”, si: es bisectriz.

05) En el gráfico es bisectriz exterior

del triángulo ARQ. Halla: “ “.

06) es bisectriz exterior del triángulo

ATM, halla: “”.

07) es mediana. Halla: “”, si: NP =

18 cm.

08) Si: es mediana y AM + AC 0 42

cm; halla MC.

09) En un triángulo ABC: mB = 50º y

mC = 40º. Luego trazar la

bisectriz interior Halla: mAEB.

10) En un triángulo PQR: mP = 20º y

m 40º. Luego trazar la bisectriz

interior . Halla: mQFR.

DESAFIO EN CLASE

Page 41: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

01) Grafica el triángulo ABC: mR = 40º.

Luego traza la bisectriz interior .

Halla: mAEC.

02) Grafica el triángulo PQR y traza la

mediana . Halla QM, si: = 24

cm.

03) Si: es bisectriz, halla “x”.

04) Halla “x”, si: bisectriz.

05) Si: es mediana, halla “x”.

06)Si: es mediana y QR=30 cm, halla:

“x”.

07) Si: es bisectriz, halla “”.

08) Halla “x”, si: es bisectriz exterior.

09) Halla: “”, si es bisectriz exterior.

10) Halla: “x”, si es bisectriz exterior.

11) Halla “x”, si: QE es bisectriz.

Page 42: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

12) Halla “x”, si AE es bisectriz.

13) Halla “x”, si: EN es bisectriz exterior

del triángulo ALE.

14) Si: BD es bisectriz del triángulo ABC,

halla “x”.

15) Si: BF es bisectriz, halla “x”.

16) Si: CF es bisectriz, halla: “x”.

LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

II. ALTURA

Definición: Es el segmento trazado

desde un vértice en forma

perpendicular al lado opuesto de un

triángulo.

es la altura del triángulo ABC

relativa a .

es la altura del triángulo ENF relativa

a .

es la altura del triángulo AEL relativa

a .

Page 43: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

es la altura del triángulo PQR

relativa al lado .

MEDIATRIZ

Definición: Es la recta perpendicular

que pasa por el punto medio de un

segmento de recta.

es mediatriz de .

es mediatriz del lado BC.

es mediatriz relativa a del

triángulo PQR.

es mediatriz relativa al lado AC del

triángulo ABC.

PRÁCTICA EN CLASE

01) Si EQ es altura, halla “x”.

02) Si LH es altura, halla: “ - ”.

03) L es mediatriz de PF, halla “x”.

04) L es mediatriz de AB y AB = 28 cm,

halla “x”.

Page 44: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

05) En el gráfico NH es altura del

triángulo RMN, halla “x”.

06) Grafica el triángulo ABC, tal que:

mA = 48º y mB = 74º. Halla la

medida del menor ángulo formado

por el lado BC y la mediatriz de AC.

07) Graficar el triángulo PQM y la altura

PH. Si: mQ = 64º y mM = 46º;

halla el ángulo formado por PH y PQ.

08) Grafica el triángulo AEF tal que: mA

= 36º y mE = 108º; luego traza la

altura EH. Halla el ángulo formado

por EH y EF.

09) Grafica el triángulo ABC, tal que:

mC = 30º; luego traza la altura CH.

Halla el ángulo formado por BC y CH.

10) Grafica el triángulo PQR tal que: mP

= 54º y mQ = 78º; luego traza la

mediatriz de QR. Halla el menor

ángulo formado por la mediatriz y el

lado PR.

DESAFÍO EN CLASE

01) Si BN es altura, Halla “”.

02) Halla “x”, si: FM es altura:

03) Halla “x”, si: L es mediatriz de AC.

04) Halla “x”, si: n es mediatriz de AB.

05) Si: AH es altura, halla “x - y”.

06) Halla “x”, si: L es mediatriz de BE.

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4949

Geometría 1º Secundaria

07) Si: CN es altura, halla “x - y”.

08) L es mediatriz de BE, halla “”.

09) AF es altura del triángulo AMN, halla

el suplemento de “x”.

10) Halla “x”, si L es mediatriz de AB.

11) Halla el complemento de “”.

11) Halla el complemento de “”.

12) Halla: “”.

13) Halla “x”, si BH es altura.

14) En el gráfico, L es mediatriz de AC,

halla: “x”.

15) Halla “x”, si AM es mediana y BC =

22 cm.

16) Halla “x”, si CN es altura del

triángulo ABC.

Page 46: 1 Geometria Ok

4949

Geometría 1º Secundaria

17) Halla “”, si L es mediatriz de BC.

18) Grafica el triángulo ABC, tal que:

mA = 35º; mB = 110º y AB = 10

cm, luego halla BC.

19) Grafica el triángulo ABC, tal que: AB = 6

cm = BC, y mB = 60º, luego halla AC.

20) Si “a” es paralela a AC, halla “x”.

21) Halla “x”, de acuerdo a la gráfica.

22) Halla: “x - y”, Si BH es altura del

triángulo ABC.

23) ¿Cómo se llama la línea “n” para el

triángulo ABC?

24) Halla “x”, si AM es mediana del

triángulo ABC.

MISCELÁNEA

01) A, B y C son tres puntos colineales y

consecutivos. Además: AC = 52 y

4AB = 9BC, calcula BC.

02) A, B, C y D son puntos colineales y

consecutivos. Además: BC = CD =

2AB y AC + BD = 56, calcula AD.

03) Calcula el suplemento del

complemento de 53º. 04) Calcula

el complemento de la mitad del

suplemento de 70º.

05) Calcula el complemento del doble del

suplemento de 150º.

06) Calcula la diferencia entre las

medidas de un ángulo de 70º y su

complemento.

07) En la figura, calcula el valor de “x”, si

el complemento de “” mide 38º.

Page 47: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

08) Calcula el valor de “x”, si: m // n.

09) A, B, C y D son puntos colineales y

consecutivos. Calcula BC, si: AD =

17 cm y AC + BD = 21.

10) M, N, R y T son puntos colineales y

consecutivos. Si: MR = RT, MN =

2NR - 7, y 2MN + 3NR + 4RT = 53,

calcula NR.

11) ¿A cuánto segundos sexagesimales

equivales: 2º32’45”?

12) Expresa en minutos sexagesimales:

3º44’28” + 10832”.

13) Sabiendo que: a + b = = 70, calcula:

a’b” + b’a”.

14) Calcula:

15) Calcula el suplemento del triple de la

mitad del complemento del doble de

40º.

16) La diferencia entre las medidas de

dos ángulos complementarios es

24º, ¿cuánto mide el mayor?

17) Las medidas de dos ángulos

suplementarios se diferencian en

32º. ¿Cuánto mide el menor?

18) El mayor de dos ángulos

complementarios mide el doble del

menor, ¿cuánto mide el menor?

19) Uno de dos ángulos suplementarios

mide cuatro veces el otro. ¿Cuánto

mide el menor?

20) “” y “” son un par lineal. El

complemento de “” mide 72º.

¿Cuánto mide el complemento de

/2?

21) “” y “” son un par lineal, cuyas

medidas se diferencian en 26º.

¿Cuánto mide “”, sabiendo que es

mayor que “”.

22) El doble de un ángulo, más el triple

de su complemento, resulta 200º.

¿Cuánto mide dicho ángulo?

23) Calcula la medida de un ángulo, si su

complemento y suplemento suman

218º.

24) El doble del complemento de un

ángulo, más el triple del suplemento

del mismo ángulo, resulta 320º.

¿Cuánto mide dicho ángulo?

25) A, B, C, D, E y F son puntos

colineales y consecutivos. Si: AC +

BD + CE + DF = BE + 24, calcula AF.

26) A, B y C son puntos colineales y

consecutivos. Si AB = 40 cm y BC =

Page 48: 1 Geometria Ok

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Geometría 1º Secundaria

20 cm, calcula RB. Además: M, N y R

son puntos medios de AB, BC y AC,

respectivamente.

27) Si: A, M, Q, N y B son puntos

colineales y consecutivos, calcula

AQ. Además: AM = MQ, QN = NB,

MN = 8 m y MB = 14.

28) Si: I, D, U, A, L y B son puntos

colineales y consecutivos, calcula

UL. Además: UA = DU - 1, LC * ID =

9, ID = DU, AL = LC.

29) Calcula el valor de “x”, si p //q.

30) Calcula el valor de “”, si m //n.

31) Dos rectas paralelas son

intersecadas por una secante; si las

medidas de dos ángulos conjugados

internos son entre sí como 5 es a 4,

halla el menor de ellos.

32) Dos ángulos conjugados externos,

entre paralelas, miden: (4x + 8º) y

(3x + 39º), respectivamente. Halla el

valor de “x”.

33) En el cuadrilátero ABCD: AC es

bisectriz del BAD. Si “x” está en

centímetros, halla el perímetro del

cuadrilátero.

34) En la figura: L1 // L2, AF es bisectriz

del xAy, y, mBxA = 128º,

entonces halla el valor de la mxFA.

35) En la figura: mAED = 125º. Halla:

mA + mB + mC + mD.