1. Introducción: la atmósfera como un fluídometeo.fisica.edu.uy/Materias/Introduccion_a_la_dinamica_de_la... · Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 3 Figura 1.1

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 1

1. Introducción: la atmósfera como un fluído

La atmósfera está compuesta por moléculas de varios componentes químicos, entre ellos el nitrógeno, el oxígeno y gases traza como el Argon. En este curso, en lugar de estudiar el movimiento de las moléculas individualmente realizaremos la hipótesis del contínuo. Es decir estudiaremos los movimientos de la atmosfera considerandola como un fluído; por ejemplo, el viento es una manifestación del movimiento del fluído. Las parcelas serán pequeños elementos de volumen que tendrán un número muy grande de moléculas de tal forma que siga valiendo esta hipótesis.

Esta hipótesis significa que las variables de estado como la temperatura, la velocidad, el geopotencial y la presión pueden ser descritas como funciones contínuas con valores en cada punto de la atmósfera y en cada momento de tiempo. Por lo tanto, su evolución puede ser descrita mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales donde las variables de estados dependen del espacio y del tiempo.

1.1 Cambios temporales

Dado que la atmósfera está en contínua evolución las variables de estado cambian en el tiempo de un momento a otro. Pero, que significa decir: “la temperatura cambio en la última hora”? Puede significar dos cosas:

1) Que la temperatura de una parcela de aire que pasa por al lado del termómetro está cambiando a medida que se mueve en el espacio. O sea que es un cambio en la temperatura “siguiendo el movimiento de una parcela de aire” (cambio lagrangiano).

2) Que la temperatura de las parcelas de aire que están en contacto con el termómetro en este momento es menor que la temperatura de las parcelas de aire que estaban antes en contacto con el termómetro. En este caso es un cambio en la temperatura “en un punto fijo en el espacio” (cambio euleriano).

Estos cambios no representan el mismo proceso y se puede mostrar que el cambio total es una combinación de ambos.

Imaginemos un día de verano en Montevideo (haciendo un asadito) y el acercamiento de un frente frío desde el sur. Desde el punto de vista de mi parrilla la temperatura disminuirá con el tiempo. Por otro lado, si pudiera viajar con el frente frío (imaginemos a un baron de Muchhausen quien se subió a una bala de cañon para observar al enemigo) notaría que el aire a mi alrededor no cambia de temperatura. Por lo tanto el descenso de temperatura que observo junto a mi parrilla se debe a que contínuamente vienen parcelas de aire frío desde el sur.

Notas: Prof. Marcelo Barreiro


Así, podría escribir

Cambio en el tiempo siguiendo a una parcela = Cambio en el tiempo en una ubicación fija – Razón de importación de temperatura por el movimiento del aire.

Para formalizar este argumento consideremos una variable escalar Q(x,y,z,t). La diferencial total de Q es

dividiendo entre un infinitésimo de tiempo dt

y reemplazando por las velocidades (u,v,w)

ó

Consideremos la situación de la Figura 1.1



Figura 1.1 – Campo de velocidades perpendicular a campo de temperatura.

El signo de V.∇ T es negativo, por lo que la advección de temperatura hacia A se define como −V. ∇T . La situación física de la figura se dice que está caracterizada por la advección de aire cálido hacia A.

Volviendo al ejemplo de mas arriba, si asumimos que la temperatura del aire siguiendo a las parcelas no cambia obtenemos que

Cambio en el tiempo en mi parrilla = Razón de importación de temperatura por el movimiento del aire

O sea: ∂T∂ t

=−V.∇ T

Si sopla viento del sur vale que −V. ∇T 0 y por lo tanto la advección de aire frío hace que la temperatura disminuya mientras como el asado.

1.2 Cinemática básica

La cinemática es la descripción del movimiento de un campo en particular sin importar el por qué evoluciona, es decir sin considerar las fuerzas que actúan.

La atmósfera tiene dimensiones horizontales mucho mayores que la dirección vertical, lo cual impone que los movimientos atmosféricos de gran escala sea mayormente cuasi-bidimensionales. En este curso nos concentraremos en escalas grandes sinópticas de varios cientos de kms, por lo que es posible aprender mucho de los mismos considerando en una primera aproximación únicamente los movimientos horizontales.



1.2.1 Descripción del campo de presión

Líneas de presión constante se llaman isóbaras; líneas de altura constante a presión fija se denominan contornos de altura. En lo que sigue nos ocuparemos solamente del campo de presión recordando que también es válido para contornos de altura.

Supongamos que se tiene una isóbara curva; se puede definir un vector radio de curvatura R que se mide desde el centro hacia afuera. Si la presión aumenta radialmente ( R.∇ p0 ) se dice que la isóbara está curvada positivamente; si R.∇ p0 la isóbara está curvada negativamente (figura 1.2).

Figura 1.2 – Ejemplos de isóbaras (a) con curvatura positiva, y (b) con curvatura negativa. La porción curva de la isóbara se asume que representa un segmento de una

isóbara circular.

El eje de cuña (o dorsal) se define como la línea de máxima curvatura negativa de un conjunto de isóbaras adyacentes. El eje de vaguada se define como la línea de máxima



curvatura positiva. Los ejes de cuña y vaguada pueden tener cualquier orientación (figura 1.3). Si los ejes no son meridionales se dice que las vaguadas está inclinadas.

Figura 1.3 – Representaciones idealizadas de cuñas y vaguadas orientadas zonalmente y meridionalmente. Ejes de cuñas se marcan con una línea curva; ejes de vaguadas con

una línea quebrada. Los ejes x mostrados estan orientados perpendicularmente a los ejes de vaguadas y cuñas.

Si el eje x se orienta en dirección perpendicular a un eje de cuña, entonces a lo largo del eje de cuña vale



∂ p∂ x

=0

∂2 p∂ x2 0

o sea que hay un máximo relativo en p según el eje x. La intensidad de la cuña está dada por

−∂2 p

∂ x2

lo cual implica que cuñas intensas tienen isóbaras mas cercanas entre sí.

Si el eje x se orienta normal a un eje de vaguada, entonces∂ p∂ x

=0

∂2 p

∂ x2 0

o sea que es un mínimo relativo de p. La intensidad de la vaguada está dada por∂

2 p∂ x2 .

Un centro de alta presión o “alta” es un máximo local en el campo de presiones (figura 1.4). En el centro de la alta

∇ z p=0 ∇ z2 p0

y la intensidad está dada por el módulo del laplaciano de p (no por el valor máximo de la presión). No obstante, altas intensas tienen en general valores centrales de presion muy grandes.

Un centro de baja presión o “baja” es un mínimo local en el campo de presiones. En este caso

∇ z p=0 ∇ z2 p0

y la intensidad está dada por el laplaciano de p. Al igual que para las altas intensas, bajas intensas tienen valores muy bajos de presión en su centro. Bajas son generalmente mas intensas que altas. Esto es pues cuando el gradiente horizontal de presión en una



alta excede un cierto límite ya no es posible mantener un flujo circular y ocurre un proceso de inestabilidad inercial que tiende a debilitar el gradiente.

Figura 1.4 – Ejemplos idealizados de (a) alta y (b) baja.

Una secuencia de vaguadas y cuñas a lo largo del flujo se denomina tren de ondas y cada ciclo de vaguadas y cuñas alternadas se considera como una onda. Una expresión simple para un tren de ondas uni-dimensional es la siguiente

p x ,t =Asen 2∗

Lx−ct p

donde A es la amplitud de la onda, L es la longitud de onda en la dirección x, c es la velocidad de fase, p es la presión media, w=2πc/L es la frecuencia angular y k=2π/L es el número de onda. Los trenes de onda de cuñas y vaguadas se pueden idealizar como compuestos por la suma de altas y bajas circulares e isóbaras rectas espaciadas uniformemente entre sí. En la atmósfera se observa que las altas y bajas son frecuentes en superficie mientras que en altura dominan las cuñas y vaguadas. La razón se verá mas adelante en el curso.



1.2.2 Cinemática del campo de presión

Observando el campo de presiones parecería que las altas, bajas, cuñas y vaguadas se movieran y tenemos la tendencia a atribuir movimiento a estos fenómenos como si fueran cuerpos sólidos insertos en el flujo de la atmósfera. No obstante, en general el movimiento es solamente aparente. Altas y bajas parecen propagarse cuando se disipan en un lugar y se forman nuevamente en otros. El aire circula contínuamente entrando y saliendo de estos sistemas de presión. Por lo tanto altas, bajas, cuñas y vaguadas no pueden considerarse en forma aislada de su entorno. El comportamiento de estos sistemas depende hasta cierto punto de las trayectorias de las parcelas de aire entrando al sistema. La inyeccción de aire cálido o frío o húmedo o seco puede ser dinámicamente importante.

Los sistemas que se mueven de oeste a este se dice que se mueven zonalmente, mientras que si lo hacen en la dirección norte-sur se mueven meridionalmente. Aparte del movimiento los sistemas de presión se intensifican y debilitan constantemente. Cuando la presión en una baja o en una vaguada disminuye se dice que la baja se está profundizando.

A veces es difícil determinar la razón de cambio de la presión en un lugar. Por ejemplo la intensificación en un lugar determinado puede deberse a que esta entrando una alta, yendose una baja, intensificándose una alta o debilitándose una baja (figura 1.5). Para separar los efectos de desplazamiento versus los de intensidad de un sistema de presión consideremos el caso unidimensional y la siguiente ecuación

∂ p'∂ t '

=c∂ p∂ x

∂ p∂ t

que relaciona la tendencia en la presión local (∂ p'∂ t '

) en un sistema de coordenadas

moviéndose a velocidad c con la tendencia en la presión local en un sistema fijo. El sistema de coordenadas móvil se relaciona con el sistema de coordenadas fijo de la forma

x= x 'ct y= y ' z=z ' t=t ' p= p '

pues a tiempo=0 ambos sitemas coinciden y se desprecian los efectos dinámicos en la presión. Notar que si bien p=p' y t=t' las derivadas en cada sistema de referencia son diferentes. Para ver eso consideremos un observador moviéndose con un sistema de baja

presión. En este caso ∂ p'∂ t '

=0 mientras que para un observador quieto si la baja se



acerca vale ∂ p∂ t

0 .

En otras palabras, si un observador se mueve junto con una baja de intensidad constante

(y que no se deforma) entonces ∂ p'∂ t '

=0 y un observador en el sistema de referencia

fijo observará que∂ p∂ t

=−c∂ p∂ x

0 a medida que se aproxima la baja, y lo contrario

cuando la baja se aleja.

Figura 1.5 – Casos posibles para el aumento local en la presión de la estación marcada. (a) alta entrante, (b) baja alejándose, (c) alta intensificándose, y (d) baja debilitándose.

Las flechas indican el movimiento de las isóbaras.

Formalizando, si se tiene un sistema de coordenadas móvil que se mueve con una

isóbara entonces ∂ p'∂ t '

=0 y

c=−∂ p∂ t

/∂ p∂ x



que es la fórmula de Sverre Petterssen para calcular la velocidad de una isóbara dada la tendencia local de la presión y el gradiente de presión horizontal (figura 1.6).

Figura 1.6 – Si un observador situado en la isóbara p nota que la presión disminuye localmente, entonces la isóbara debe estar moviéndose hacia la derecha puesto que el

gradiente de presión está dirigido hacia la derecha.

Si ahora el sistema de coordenadas se traslada con el eje de una cuña o vaguada

entonces en el eje de la cuña ∂ p'∂ x '

=0 donde x' es el eje normal al eje de cuña.

Diferenciando ∂ p'∂ t '

=c∂ p∂ x

∂ p∂ t

con respecto a x encontramos que

∂

∂ x∂ p '∂ t '

=c∂

2 p∂ x2

∂

∂ x∂ p∂ t

Pero

∂

∂ x∂ p '∂ t '

=∂

∂ t '∂ p '∂ x

Además como x=x'+ct se tiene

0=∂ p '∂ x '

=∂ p '∂ x

∂ x∂ x '

=∂ p '∂ x



Entonces

c=−

∂

∂ x∂ p∂ t

∂2 p

∂ x2

que es la fórmula de Petterssen para la velocidad de desplazamiento de una cuña (o

vaguada) dado el gradiente isalobárico (∂

∂ x∂ p∂ t

) y la intensidad ∣∂

2 p∂ x2 ∣ de la

cuña (o vaguada), respectivamente. Por lo tanto las vaguadas se mueven de una región donde la presión sube a una región donde la presión baja; las cuñas se mueven de una región donde la presión baja a otra donde la presión sube (figura 1.7).

p+dp p p-dp

c

dp/dp<0 dp/dt>0 x

Figura 1.7 – Ilustración de la relación entre el movimiento de una cuña y la evolución temporal y espacial de las variaciones en el campo de presión. Si un observador a la

derecha de la cuña nota que la presión local aumenta y un observador a la izquierda de la cuña nota que la presión baja entonces la cuña debe estar moviéndose hacia la

derecha.

El movimiento de altas y bajas también puede calcularse usando ecuaciones similares. Como altas y bajas circulares no están alineadas a lo largo de ningun eje cualquier sistema ortogonal de ejes puede ser considerado de tal forma que los componentes de la velocidad serán



cx=

−∂

∂ x∂ p∂ t

∂2 p∂ x2

c y=

−∂

∂ y∂ p∂ t

∂2 p

∂ y2

La dirección exacta de movimiento dependerá de la intensidad y la simetría del campo de presión.

Las fórmulas desarrolladas fueron usadas, en forma cualitativa, para pronosticar el movimiento de los sistemas de presión antes de la existencia de modelos numéricos. En ese entonces se utilizaba la tendencia en la presión local que había ocurrido 3 o 6 hs antes, en lugar de la instantánea pues ésta no estaba disponible. Esto era obviamente muy peligroso pues en 3 o 6 horas la tendencia de la presión puede cambiar de signo.



1.2.2 Campo de vientos horizontal

A través de imágenes satelitales es posible observar claramente que los vientos y la nubosidad varían enormemente en la dirección horizontal. Por lo tanto u y v está variando en las direcciones x e y. Consideremos las variaciones de u y v en la horizontal usando un desarrollo de Taylor alrededor de cierto punto (x,y)=0 y velocidad u0 y v0. Entonces

Despreciando los términos de mayor órden obtenemos

Si definimos

Divergencia D=∂u∂ x

∂ v∂ y



Deformación por estiramiento F 1=∂ u∂ x

−∂ v∂ y

Deformación por esfuerzode corte F 2=∂ v∂ x

∂ u∂ y

y

Vorticidad =∂ v∂ x

−∂ u∂ y

Usando estas definiciones podemos escribir la expansión de Taylor de la forma

Asumiendo u0=v0=0 (traslación nula) podemos usar estas expresiones para estudiar el significado de cada uno de las 4 cantidades definidas mas arriba, es decir determinar cómo es el flujo correspondiente.

1.2.1 Vorticidad pura

El flujo con vorticidad pura se puede visualizar considerando D=F1=F2=0 y ς=1. Entonces

u=−12

y

v=12

x

lo cual resulta en un flujo circular con sentido antihorario como muestra la figura 1.8. Como regla general si la parcela rota en sentido antihorario ς>0; en sentido horario es ς<0. Como la razón de rotación es uniforme el área y la forma del elemento de fluido son preservados.



Figura 1.8 – Flujo con vorticidad pura.

El términio “ciclónico” se refiere a una rotación en el mismo sentido de rotación de la Tierra alrededor de su eje, mientras que “anticiclónico” significa en la dirección opuesta a la rotación de la Tierra. Por lo tanto “vorticidad ciclónica” esta caracterizada por una componente de rotación en la vertical local que está en la misma dirección que el eje de rotación terrestre (figura 1.9).

Figura 1.9 – Relación entre la componente vertical local de la rotación terrestre y la vorticidad asociada en el campo de vientos horizontal. En PN1 la vorticidad es negativa, en PN2 la vorticidad es positiva. En el H.N. La componente de la rotación terrestre con

respecto a la vertical local es positiva. Por lo tanto vorticidad positiva (negativa) es ciclónica (anticiclónica). En el H.S. (puntos PS1 y PS2) vorticidad positiva (negativa) es



anticiclónica (ciclónica).

Puesto que el campo de vientos con vorticidad pura es no-divergente es posible definir una función corriente ψ tal que

v=k∧∇

Si ahora consideramos que ς es diferente de 1, vale

v=∂

∂ x=

12 x

u=−∂

∂ y=−12

y

por lo tanto

=x2 y2

4

y se muestra en la figura 1.10. De las ecuaciones anteriores vale que =∇ 2 . En general las funciones corrientes son usadas para mostrar la parte del flujo que es no divergente.

Figura 1.10 – Función corriente de un campo con vorticidad pura (ς>0). La dirección del flujo es paralelo a las líneas de función corriente y se indica con flechas.



1.2.2 Divergencia pura

En este caso imponemos F1=F2=ς=0 y D=1. Entonces

u=12

x

v=12

y

lo cual muestra un flujo alejándose del origen en todas las direcciones y cuya velocidad es proporcional a la distancia del origen (figura 1.11). Si elegimos D=-1 se obtiene un flujo moviéndose hacia el origen, o sea existe convergencia.

Como la razón de expansión o contraccción es independiente de la dirección la forma de las parcelas de aire es preservada. Un campo de vientos de divergencia pura se denomina irrotacional. Para estos campos existe un potencial de velocidad χ tal que (D=δ diferente de 1)

v=−∇

u=−∂

∂ x=

12

x

v=−∂

∂ y=

12

y

Por lo tanto

=−x2 y2

4

y se muestra en la figura 1.12. El potencial de velocidad puede usarse para representar la parte irrotacional del campo de vientos.



Figura 1.11 – Flujo con divergencia pura.

Figura 1.12 – Potencial de velocidad para un campo de divergencia pura (δ>0). El campo de vientos es radial indicado por las flechas en el cuadrante de arriba a la

izquierda.



1.2.3 Deformación pura por estiramiento

En este caso D=ς=F2=0 y F1=1, y

u=12

x

v=−12

y

Como u=dx/dt, v=dy/dt, entonces dy/dx=-y/x lo cual integrando se obtiene x*y=c. La figura 1.13 muestra que el flujo es estirado a lo largo de la dirección x (eje de dilatación) y comprimido a lo largo de la dirección y (eje de contracción).

Notar que deformación y convergencia son conceptos diferentes. Mientras que en la convergencia el área de un elemento de fluído se contrae, en el caso de la deformación el área total del elemento se mantiene mientras es deformado (figura 1.14).

Figura 1.13 – Flujo con deformación por estiramiento pura.



Figura 1.14 – Comparación de la evolución de un elemento de volumen en un flujo con convergencia pura (a) y otro con deformación por estiramiento puro (b).

1.2.4 Deformación pura por esfuerzo de corte

En este caso consideramos F1=D=ς=0 y F2=1, y obtenemos

u=12

y

v=12

x

En este caso la ecuación resultante para las líneas de flujo es x2-y2=± c2 (hipérbolas), lo cual se muestra en la Figura 1.15 y consiste en una situación similar a la de un fluído con deformación por estiramiento pura, pero rotado 45° en sentido antihorario.



Figura 1.15 – Flujo con deformación de corte pura.

En general estamos interesados en la deformación total del fluído, que se obtiene como F=(F12+F22)1/2. Por lo tanto es posible pasar de una situación F1=1, F2=0 a otra F'1=0, F'2=1 mediante una rotación de 45° y el flujo cambia aunque la deformación total no lo hace. Así, se dice que la deformación es rotacionalmente variante. Si se rota los ejes de coordenadas un angulo

el campo de deformación resultante tendrá el eje de dilatación rotado un ángulo θ en sentido antihorario respecto al eje original.

Por otro lado, una rotación no cambia un flujo con divergencia pura o con vorticidad pura, por lo que estas propiedades del flujo se denominan rotacionalmente invariantes y son muy útiles para la descripción del movimiento de los fluídos.

En la atmósfera los movimientos son combinación de flujos traslacionales, divergentes y con vorticidad no nula. Por ejemplo, el flujo asociado a bajas en superficie es ciclónico y convergente; el flujo asociado a altas es anticiclónico y divergente. Mas



adelante veremos la razón dinámica de la correlación entre divergencia y vorticidad.

Referencias– An Introduction to Dynamical Meteorology, Holton, 2004.– Mid-Latitude Atmospheric Dynamics, Martin, 2006.– Synoptic-dynamic meteorology in midlatitudes, Bluestein, 1992.


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