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Medidas Eléctricas
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1. Introducción
La necesidad de un procedimiento aceptado mundialmente para la expresión de la
incertidumbre en las mediciones llevó, en 1981, a la autoridad internacional en
metrología, el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM o BIPM), a aprobar una breve
recomendación sobre el tema y someterla a la revisión de un grupo de trabajo, formado
por representantes de los laboratorios y organizaciones internacionales más importantes en
materia de metrología.
A raíz de esto, en el año 1993, apareció la "Guía para la Expresión de la Incertidumbre
en las Mediciones" (GUM), avalada por los siguientes organismos: BIPM, IEC, IFFC, ISO,
IUPAC, IUPAP y OIML. Así, a partir y en concordancia con la Guía mencionada, han
surgido en diferentes organismos nacionales e internacionales, documentos que pretenden
homogeneizar universalmente el tratamiento del tema. Uno de esos documentos es la norma
IRAM 35050.
Es bueno señalar desde el inicio que, según la norma IRAM 35050, todas las magnitudes
que no se conocen exactamente serán tratadas como variables aleatorias, siguiendo por lo
tanto la teoría estadística.
Los fenómenos que contribuyen a la incertidumbre y, por tanto, al hecho de que el resultado de
una medición no pueda ser caracterizado con un único valor, se denominan fuentes de
incertidumbre.
En la práctica, hay muchas fuentes posibles de incertidumbre de medida, que incluyen:
a. Definición incompleta de la magnitud medida.
b. Realización imperfecta de la definición del mensurando.
c. Muestreo no representativo.
d. Inadecuado conocimiento de los efectos de las condiciones ambientales sobre la
medición o medición imperfecta de las condiciones ambientales.
e. Desvíos personales en la lectura de instrumentos analógicos.
f. Resolución finita del instrumental.
g. Valores inexactos de los patrones.
h. Valores inexactos de constantes.
i. Aproximaciones y suposiciones incorporadas en el método de medición.
j. Variaciones en las observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones
aparentemente idénticas.
Estas fuentes no son necesariamente independientes, y algunas de ellas, de a) a i), pueden
contribuir en j).
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2. Tratamiento de la Incertidumbre según IRAM 35050:
Sea un mensurando Y que se puede determinar a partir de otras N magnitudes de entrada X1,
X2…..XN a través de una relación funcional f :
𝑌 = 𝑓(𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑁)
Cuando medimos, no podemos conocer el valor de las magnitudes X1, X2…..XN con exactitud
puesto que siempre existirá un error en sus determinaciones, a lo sumo podemos tener una
estimación de ellas (que llamaremosx1, x2….. xN), y por ende, aplicándoles la función f a estas
estimaciones no tendremos Y sino una estimación de Y (que llamaremos y). Entonces:
𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2,……𝑥𝑁)
Cada valor estimado xi, de la magnitud de entrada Xi tendrá asociada una incertidumbre. Para la
norma IRAM 35050 la incertidumbre asociada a 𝑥𝑖se denomina incertidumbre típica o
incertidumbre estándar y se simboliza con “𝑢(𝑥𝑖)”, y siempre lleva asociada una probabilidad.
Entonces:
𝑋𝑖 = 𝑥𝑖 ± 𝑢(𝑥𝑖)
Tanto el valor de 𝑥𝑖 como de 𝑢(𝑥𝑖), se obtienen a partir de una distribución de valores posibles.
Esta distribución de probabilidad puede estar basada en frecuencias, es decir, “basadas en una
serie de observaciones de Xi”o puede ser una distribución que se supone “a priori” con base en
la experiencia. Esto da origen a dos métodos de evaluación de la incertidumbre𝑢(𝑥𝑖): Evaluación Tipo A y evaluación Tipo B.
Evaluación de la incertidumbre de medida 𝑢(𝑥𝑖), de las estimaciones de entrada 𝑥𝑖:
Las incertidumbres de medida asociadas a las estimaciones de entrada se evalúan utilizando
uno de los siguientes métodos, a saber:
Tipo A: la incertidumbre se determina mediante el análisis estadístico de una serie
de observaciones. En este caso, la incertidumbre típica es la desviación estándar
experimental de las medidas, que se deriva de un procedimiento promediado o de un
análisis de regresión.
Tipo B: la incertidumbre típica se determina mediante un procedimiento distinto al
análisis estadístico de una serie de observaciones. En este caso, la estimación de la
incertidumbre típica se basa en otros conocimientos científicos, como son:
Datos de mediciones previas.
Experiencia o conocimiento general del comportamiento y las propiedades
de los materiales e instrumentos relevantes.
Especificaciones de los fabricantes.
Datos obtenidos de certificados de calibración de la cadena de trazabilidad.
Incertidumbres asignadas a datos de referencia obtenidos de manuales.
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Evaluación Tipo A de la incertidumbre típica 𝑢(𝑥𝑖):
Se utiliza cuando se han realizado “n” observaciones independientes de una de las magnitudes
de entrada Xi.
Llamando Q a la magnitud de entrada Xi, de la que se han efectuado “n” observaciones
estadísticamente independientes bajo las mismas condiciones de medición (n> 1), se tiene:
El mejor estimador de 𝑋𝑖 es el promedio de los “q” valores medidos:
𝑥𝑖 = 𝑞 =1
𝑛 𝑞𝑗
𝑛
𝑗=1
El mejor estimador de la incertidumbre típica u(xi) se obtiene mediante el cálculo de la
desviación estándar experimental de la muestra𝑆(𝑞) y del tamaño de la muestra “n”,
según las siguientes ecuaciones:
𝑆(𝑞) = 1
𝑛 − 1 (𝑞𝑗 − 𝑞 )2
𝑛
𝑗=1
𝑢(𝑥𝑖) = σ(𝑥 𝑖) ≅ 𝑆(𝑞 ) =𝑆(𝑞)
𝑛
El número de observaciones “n” debe ser lo suficientemente grande para que se
pueda asegurar que 𝑞 es un buen estimador de Xi y que, 𝑆 𝑞
𝑛es un buen estimador
deσ(𝑥 𝑖).
De no ser así (si “n” es menor que 10 por ejemplo) la ecuación 𝑢(𝑥𝑖) =𝑆(𝑞)
𝑛
puede no ser fiable. Si resulta imposible aumentar el número de observaciones y
si la distribución de probabilidades de “q” es una distribución normal, puede
recurrirse a la distribución “t de Student” para estimar mejor 𝑆(𝑞 ) . Entonces:
𝑢(𝑥𝑖) ≅ 𝑡𝑆(𝑞)
𝑛
Siendo:
t: Factor extraído de la tabla de valores de “t de Student” para una probabilidad
de 68,27% y grado de libertad “n-1”, que estima la dispersión entre la media de
una muestra y la media de un universo.
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Evaluación Tipo B de la incertidumbre estándar 𝑢(𝑥𝑖),
La incertidumbre típica u(xi)se evalúa aplicando un juicio científico basado en toda la
información disponible sobre la posible variabilidad de xi
Aquí se pueden presentar varios casos:
Si la estimación xi se obtiene a partir de una especificación, un certificado de
calibración, de manual, o de otra fuente, y su incertidumbre evaluada se indica como un
múltiplo “k” de una desviación estándar “σ”, la incertidumbre estándar u(xi) es
simplemente ese valor dividido por el factor de multiplicación:
𝑢(𝑥𝑖) = 𝜎 =𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑘
Si la estimación xi se obtiene a partir de una especificación, un certificado de
calibración, de manual, o de otra fuente, y su incertidumbre evaluada define un
intervalo que posee una probabilidad de cobertura del 90%, 95% o 99%, a menos que se
indique otra cosa, se puede suponer que ha sido asumida una distribución normal y
calcular con esa probabilidad el valor de “σ(xi )”:
𝑢(𝑥𝑖) = 𝜎𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑 𝑜 (𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙)
Si sólo pueden estimarse los límites superior e inferior, “+a” y “-a” para la magnitud xi.
(p.e. especificaciones del fabricante de un instrumento de medición, intervalo de
temperaturas, error de redondeo o de truncamiento, etc.), se asume una distribución
rectangular. En ese caso:
𝑢(𝑥𝑖) = 𝜎 =𝑎
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Si además del conocimiento de los límites superior e inferior hay evidencia de que la
probabilidad es más alta para valores en el centro del intervalo y se reduce hacia los
límites, puede ser más adecuado basar la estimación de la incertidumbre típica en una
distribución triangular. En ese caso:
𝑢(𝑥𝑖) = 𝜎 =𝑎
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Cálculo de la incertidumbre típica de la estimación de salida, uc(y):
Una vez calculada la incertidumbre de cada estimación de entrada xi, se debe calcular la
incertidumbre del mensurando “y” denominada “incertidumbre combinada” y simbolizada
como “uc(y)”.
La contribución de cada fuente de incertidumbre de entrada a la incertidumbre combinada
depende de la incertidumbre estándar u(xi) de la propia fuente y del impacto de esa fuente sobre
la estimación “y”.
Se pueden presentar en general dos casos posibles: que las magnitudes de entrada xi no estén
correlacionadas o en el peor de los casos que estén correlacionadas.
NOTA: Si dos magnitudes de entrada Xi y Xj están correlacionadas en cierto grado; es
decir, si son mutuamente dependientes de una forma u otra, su covarianza tiene que
considerarse también como una contribución a la incertidumbre (en el Anexo D de la Norma
IRAM 35050) se puede encontrar un detalle de cómo proceder en estos casos)
Puede existir correlación significativa entre dos magnitudes de entrada si se utiliza para su
determinación el mismo instrumento de medida, el mismo patrón o el mismo dato de referencia.
La correlación entre dos variables aleatorias Xi y Xjse puede cuantificar con el coeficiente de
correlación lineal. El coeficiente de correlación lineal “r” es un número que varía entre los
límites +1 y -1 que indica el grado de correlación o asociación entre dos variables (Xi e Xj en este
caso).
Por ejemplo; el valor r = 0 indica que no existe relación entre las variables; el valor +1 indica una
correlación perfecta positiva (al crecer Xi, crece Xj); el valor -1 indica una correlación perfecta
negativa (al decrecer Xi decrece Xj):
El coeficiente de correlación lineal de una serie de datos puede calcularse como:
𝑟 𝑋𝑖 ,𝑋𝑗 =𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 (𝑋𝑖 ,𝑋𝑗 )
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑋𝑖 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎(𝑋𝑗 )
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El numerador de la ecuación anterior se calcula de la siguiente manera: en cada par de valores
(Xik , Xjk) se multiplica la "Xik" menos su media, por la "Xjk" menos su media. Se suma el
resultado obtenido de todos los pares de valores y este resultado se divide por el tamaño de la
muestra menos uno.
En el denominador de la ecuación anterior se calcula el producto de las varianzas de "Xi" y de
"Xj" y se le saca la raíz cuadrada.
Así se tiene, de manera aproximada, para “n” par de valores de Xi y de Xj:
𝑟 𝑋𝑖 ,𝑋𝑗 =
1
𝑛−1 𝑋𝑖𝑘 − 𝑋𝑖
𝑋𝑗𝑘 − 𝑋𝑗 𝑛𝑘=1
1
𝑛−1 𝑋𝑖𝑘 − 𝑋𝑖
2𝑛𝑘=1
1
𝑛−1 𝑋𝑗𝑘 − 𝑋𝑗
2𝑛𝑘=1
La covarianza asociada a los estimados de dos magnitudes de entrada, Xi y Xj puede considerarse
igual a cero o insignificante (y por ende no hay correlación) en cualquiera de los siguientes
casos:
(a) las magnitudes de entrada Xi y Xj son independientes; por ejemplo, cuando se han observado
reiterada, pero no simultáneamente, en diferentes experimentos independientes, o cuando
representan magnitudes resultantes de diferentes evaluaciones que se han realizado de forma
independiente.
(b) cualquiera de las magnitudes de entrada Xi y Xj puede tratarse como constante.
(c) no existe información suficiente para valorar la existencia de una correlación entre
las magnitudes de entrada Xi y Xk.
Incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada xi no están correlacionadas:
En este caso, la incertidumbre combinada se calcula como:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋1
2
𝑢(𝑥1)2 + 𝜕𝑓
𝜕𝑋2
2
𝑢(𝑥2)2 + ⋯+ 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑁
2
𝑢(𝑥𝑁)2
Obsérvese que cuando las variables no están correlacionadas la incertidumbre combinada no
es otra cosa que la ley de propagación de la incertidumbre.
A la derivada parcial de la función “f” respecto de la magnitud de entrada “Xi” se la denomina
“coeficiente de sensibilidad” y se lo simboliza con la letra “c”:
𝑐𝑖 = 𝜕𝑓(𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑁)
𝜕𝑋𝑖 𝑋1=𝑥1 ,……𝑋𝑁=𝑥𝑁
Entonces:
u𝑐(𝑦)2 = 𝑐12𝑢(𝑥1)2 + 𝑐2
2 𝑢(𝑥2)2 + ⋯+ 𝑐𝑁2 𝑢(𝑥𝑁)2
u𝑐(𝑦) = 𝑐𝑖2 𝑢(𝑥𝑖)2
𝑁
𝑖=1
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Incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada xi están correlacionadas:
En este caso, la incertidumbre combinada es más compleja, sumándose un término a la
incertidumbre combinada de magnitudes no correlacionadas que depende de la covarianza de
las variables correlacionadas. Así, la incertidumbre combinada toma la forma de:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
2
𝑢(𝑥𝑖)2 +
𝑁
𝑖=1
2 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑗𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎(𝑥𝑖 ,
𝑁
𝑗=𝑖+1
𝑥𝑗 )
𝑁−1
𝑖=1
(vale cero si no hay correlación)
Si reescribimos la covarianza en función del coeficiente de correlación se tiene:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
2
𝑢(𝑥𝑖)2 +
𝑁
𝑖=1
2 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑗𝑢 𝑥𝑖 𝑢 𝑥𝑗 𝑟(𝑥𝑖 ,
𝑁
𝑗=𝑖+1
𝑥𝑗 )
𝑁−1
𝑖=1
Luego:
u𝑐 𝑦 = 𝑐𝑖 𝑢 𝑥𝑖 2
𝑁
𝑖=1
+ 2 𝑐𝑖 𝑐𝑗 𝑢 𝑥𝑖 𝑢 𝑥𝑗 𝑟(𝑥𝑖 ,
𝑁
𝑗=𝑖+1
𝑥𝑗 )
𝑁−1
𝑖=1
Siendo:
𝑟(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ) : Coeficiente de correlación lineal entre las variables “xi” y “xj”.
𝑐𝑖 : Coeficiente de sensibilidad para la variable “xi”.
NOTA: Si se diera el caso particular que todas las variables de entrada están correlacionadas con
coeficiente de correlación “r = 1”, la incertidumbre combinada se simplifica. Veamos el caso
para dos variables x1 y x2:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋1
2
𝑢(𝑥1)2 + 𝜕𝑓
𝜕𝑋2
2
𝑢(𝑥2)2 + 2𝜕𝑓
𝜕𝑋1
𝜕𝑓
𝜕𝑋2
𝑢 𝑥1 𝑢 𝑥2 1
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋1
𝑢(𝑥1) + 𝜕𝑓
𝜕𝑋2
𝑢(𝑥2) 2
u𝑐(𝑦) = 𝜕𝑓
𝜕𝑋1
𝑢(𝑥1) + 𝜕𝑓
𝜕𝑋2
𝑢(𝑥2)
Generalizando a “N” variables se tiene:
u𝑐(𝑦) = 𝜕𝑓
𝜕𝑋1
𝑢(𝑥1)
𝑁
𝑖=1
Obsérvese que esta ecuación es similar a la “ley de propagación del error” pero no debe
confundirse con ella porque conceptualmente son distintas. Aquí se propagan incertidumbres no
errores.
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Determinación de la incertidumbre expandida, U(y):
La forma de expresar la incertidumbre final de la estimación “Y” depende de la conveniencia
del usuario. A veces se comunica simplemente como la incertidumbre combinada, en otras
ocasiones como un cierto número de veces tal incertidumbre.
Si se desea una mayor probabilidad que la que implica u𝑐 𝑦 , lo que se hace es expandir el
intervalo de incertidumbre por un factor “k” llamado factor de cobertura. El resultado se llama
incertidumbre expandida “U”:
𝑈 = 𝑘 u𝑐 𝑦
Con lo que finalmente, la medición queda:
Y = 𝑦 ± 𝑈
Típicamente, k toma valores entre 2 y 3, y se basa en la probabilidad o nivel de confianza que
se le quiere dar al intervalo:
𝑦 − 𝑈 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝑈.
Consideraciones respecto del valor del parámetro “k” o factor de cobertura:
Si los posibles valores del mensurando “Y” siguen una distribución normal, la incertidumbre
combinada u𝑐 𝑦 representa un intervalo centrado en el mejor estimador del mensurando, que
contiene el valor verdadero con una probabilidad de 68% aproximadamente.
Por ejemplo, si la distribución de “Y” es normal, un k=1 corresponde a un intervalo de 68,27%,
un k=2 corresponde a un intervalo de 95,45%, un k = 3 del 99,73%.
Si la distribución resultante de “Y” fuese rectangular, un k=1 corresponde a un intervalo de
57,7%, un k=1,65 corresponde a un intervalo de 95%, un k=1,71 corresponde a un intervalo de
99%.
El problema que surge es que generalmente no se conoce la forma de la distribución de “Y”, y
entonces suponer siempre un k=2 puede llevar a que se brinde un intervalo que no tenga
realmente una probabilidad del 95,45%.
La teoría estadística indica que la distribución de los posibles valores del mensurando “Y” es el
resultado de un proceso matemático complejo llamado “convolución” de las distribuciones de
las variables de entrada u(xi). Como es complejo y poco práctico llevar adelante este proceso
matemático se estima la forma de la distribución mediante otros métodos más sencillos basados
en los siguientes criterios.
Criterio cuando la incertidumbre combinada está dominada por una contribución Tipo A con
pocos grados de libertad:
En este caso, es recomendado que k sea igual al valor de “t” de la distribución de “t de
Student”, para el número de grados de libertad de la contribución dominante y para el nivel de
confianza requerido (normalmente el 95%).
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Criterio cuando la incertidumbre combinada está dominada por una contribución Tipo B:
En este caso, se puede asumir que la distribución resultante de “Y” es rectangular, por lo que
un k=1 corresponde a un intervalo de 57,7%, un k=1,65 corresponde a un intervalo de 95%, un
k=1,71 corresponde a un intervalo de 99%.
Criterio cuando hay 3 o más fuentes de incertidumbres comparables:
Se ha demostrado que cuando varios componentes de la incertidumbre (por ejemplo, N>3),
derivados de distribuciones de probabilidad bien definidas de magnitudes independientes
(por ejemplo, distribuciones normales o rectangulares), realizan contribuciones comparables
a la incertidumbre típica asociada a la estimación de salida, se cumplen las condiciones del
“Teorema del Límite Central” y puede suponerse, con un elevado grado de aproximación, que
la distribución de la estimación de salida es normal.
La distribución rectangular es un caso extremo de distribución no normal, sin embargo, la
convolución de solo tres distribuciones rectangulares de igual rango ya es aproximadamente
normal, según se indica en Anexo G de la norma IRAM 35050.
Criterio cuando no se cumplen los anteriores:
En este caso también se utiliza la distribución “t de Student” pero se calcula el llamado “grado
de libertad efectivo” a través de la ecuación de Welch-Satterhwaite:
𝑣𝑒𝑓 =𝑢𝑐(𝑦)4
𝑐𝑖 𝑢(𝑥𝑖)
4
𝑣𝑖
𝑁𝑖=1
Donde:
𝑣𝑒𝑓 : es el grado de libertad efectivo
𝑢𝑐(𝑦): es la incertidumbre combinada de y
𝑢(𝑥𝑖): es la incertidumbre de la estimación de entrada xi
𝑣𝑖 : es el grado de libertad usado para el cálculo de la incertidumbre de xi
En la ecuación de Welch-Satterhwaite, cuando alguna 𝑢(𝑥𝑖) surge de una estimación Tipo B el
grado de libertad 𝑣𝑖se considera infinito para esa distribución.
Una vez determinado 𝑣𝑒𝑓 se lo redondea al entero inferior más próximo, y con este valor se
ingresa a una tabla de “t de Student” como la que sigue, para encontrar un k con la probabilidad
deseada (normalmente el 95%).
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3. Resumen de pasos para el cálculo de la incertidumbre de medida:
A continuación a modo de resumen se sugieren una serie de pasos para el cálculo de la
incertidumbre de una medida:
1) Expresar, en términos matemáticos, la dependencia de la magnitud de salida “Y” respecto de las
magnitudes de entrada “Xi” según alguna relación funcional "𝑓".
2) Identificar y aplicar todas las correcciones significativas debidas a errores sistemáticos.
3) Determinar el valor estimado de cada magnitud de entrada ya sea mediante el análisis estadístico o por
otros medios.
o Para magnitudes medidas reiteradamente hacer una evaluación Tipo A, determinando el valor
estimado de la magnitud con su valor medio, y su incertidumbre con la desviación estándar de la
muestra y el tamaño de la misma. Utilizar la tabla de “t de Student” de ser necesario (n<10).
o Para valores únicos, por ejemplo, valores tomados una sola vez, valores resultantes de
mediciones previas, valores de corrección, valores tomados de la literatura técnica, etc,
hacer una evaluación Tipo B. Adoptar la incertidumbre típica cuando se conozca la misma
o pueda calcularse usando alguna distribución basada en la experiencia.
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4) Calcular, para cada variable de entrada “Xi” la contribución a la incertidumbre combinada, teniendo en
cuenta el coeficiente de sensibilidad correspondiente (la derivada primera de la relación funcional
respecto de la variable de entrada “Xi”)
5) Relacionar todas las fuentes de incertidumbre al calcular la incertidumbre típica combinada, observando
si existe una posible correlación entre las variables aleatorias.
6) Elegir el factor de cobertura “k” en función de la probabilidad buscada para la estimación del resultado y
del tipo de distribución que tendría ese resultado. Usar alguno de los tres criterios expuestos.
7) Determinar la incertidumbre expandida “U”, multiplicando la incertidumbre típica combinada
“uc(y)”asociada a la estimación de salida, por un factor de cobertura “k” elegido.
8) Expresar el resultado de la medición, indicando la estimación de salida “y”, la incertidumbre
expandida asociada “U”, y el factor de cobertura “k”, y el tipo de distribución asumida para “Yy”.
4. Ejemplos:
Ejemplo 1:
Se está calibrando la función amperímetro de alterna de un multímetro digital de 3 ½ dígitos.
Se controlará en este ejercicio solo el punto de fondo de escala de 10A, con 50 Hz. El método
que se empleará es el de comparación con un calibrador (aparato que provee la corriente
necesaria y la indicación de su valor, 10A en este caso, con alta exactitud).
Se toman 5 mediciones sucesivas en el instrumento a contrastar que arrojan los siguientes
valores:
i Ii [A] 1 10,01
2 10,00
3 10,02
4 10,01
5 10,00
El fabricante del calibrador específica en su catálogo que la incertidumbre expandida de este
dispositivo es ± 0,05% 𝐿𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 + 2000 𝜇𝐴 con una probabilidad de 99% y distribución
gaussiana.
Interesa estimar el error y la incertidumbre expandida en el error de la medida de 10 A, con un
factor de cobertura del 95 %.
Solución:
a) La función 𝑌 = 𝑓(𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑁) sería para este caso:
E = 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝐼𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎
Como ni 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ni 𝐼𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 se conocen con exactitud vamos a estimarlas como:
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 =1
5 𝐼𝑖 = 10,008𝐴5
𝑖=1 (es el promedio de las mediciones del amperímetro)
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𝐼𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝐼𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 =10A(es el valor de corriente que inyecta el calibrador).
Entonces:
𝐸 = 10,008𝐴 − 10𝐴 = 0,008 𝐴
b) Determinamos las fuentes de incertidumbre significativas de las magnitudes de
entrada:
Para este caso podríamos tener:
1. Imprecisión del propio instrumento que se está calibrando que origina cambios en
su indicación cuando se hacen mediciones sucesivas.
2. Incertidumbre por resolución finita del instrumento que se está calibrando (no
podemos medir variaciones de la Imedida menores a 0,01A).
3. Incertidumbre del instrumento calibrador que no genera 10A exactos.
c) Calculamos la incertidumbre de cada fuente:
Incertidumbre por la imprecisión del multímetro que se está calibrando:
La evaluamos como una incertidumbre Tipo A. Por lo tanto calculamos la
desviación estándar experimental de la muestra:
𝑆(𝐼) = 1
5 − 1 (𝐼𝑖 − 10,008)2
5
𝑖=1
= 0,0083666 𝐴
Como la muestra es pequeña (n<10), 𝑆(𝐼) difiere de 𝜎(𝐼 ), entonces
𝑢(𝑥𝑖) =𝑆(𝐼)
𝑛 podría tener poca confiabilidad. Por esta razón
aumentaremos su valor usando la distribución de “t” y haciendo
𝑢(𝑥𝑖) = 𝑡𝑆(𝐼)
𝑛.
De tabla, el valor de “t” para n-1 grados de libertad que da una
probabilidad 68,27% es:
Incertidumbre de E
Imprecisión del multímetro
Resolución finita del multimetro digital
Incertidumbre del calibrador
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Luego:
𝑢 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑐𝑖 ó𝑛 ≅ 𝑡𝑆 𝐼
𝑛= 1,14
0,0083666 𝐴
5= 0,00426549 𝐴
Incertidumbre por la resolución finita del instrumento que se está
calibrando:
La evaluamos como una fuente Tipo B.
En este caso, la resolución está íntimamente ligada a la cantidad de
dígitos.
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Siendo un instrumento de 3½ dígitos, y para el punto de calibración en
cuestión, el indicador mostraría 10,00A, por lo que su sensibilidad será
0,01A.
Como cualquier valor entre 10,01A y 10,02A por ejemplo, se mostraría
como 10,01A (tienen la misma probabilidad) resulta que la distribución
rectangular es la que mejor refleja esta situación, donde el ancho del
intervalo es 0,01 (o el semiancho 0,005). Entonces:
Y por lo visto:
𝑢(𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙 ) =𝑎
3=
0,005𝐴
3= 0,002886751 A
Incertidumbre del instrumento calibrador:
La evaluamos como una fuente Tipo B.
El fabricante expresó la incertidumbre del calibrador como una
incertidumbre expandida. Así se tiene:
𝑈𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 = 0,05% 𝐿𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 + 2000 𝜇𝐴
𝑈𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 = 0,05 10 𝐴
100+ 2000 𝜇𝐴
𝑈𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 = 0,007 𝐴
Calcularemos su incertidumbre desafectando el factor de cobertura “k”
utilizado por el fabricante. Para hallar el factor de cobertura recurrimos
a una tabla de Gauss sabiendo que el fabricante especificó una
probabilidad de 99%.
De esta tabla se obtiene k=2,58.
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Por lo tanto:
u(𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 ) =𝑈𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑘=
0,00700 𝐴
2,58= 0,002713178 𝐴
d) Calculamos la incertidumbre combinada:
Como no tenemos información para evaluar una posible correlación entre las variables
asumimos que las fuentes de incertidumbre no estarían correlacionadas. Entonces, la
incertidumbre combinada será:
u𝑐(𝐸) = 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
2
𝑢(𝑥𝑖)2
𝑁
𝑖=1
Con lo cual:
u𝑐(𝐸) = 𝜕𝐸
𝜕𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
2
𝑢(𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )2 + 𝜕𝐸
𝜕𝐼𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
2
𝑢(𝐼𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 )2
u𝑐(𝐸) = 1 2 𝑢(𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑐𝑖 ó𝑛)2 + 1 2 𝑢(𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙 )
2 + −1 2 𝑢(𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 )2
u𝑐(𝐸) = (0,00426549 𝐴)2 + (0,002886751 A)2 + (0,002713178𝐴)2
u𝑐 𝐸 = 0,005821432 𝐴
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Podemos presentar una tabla de resultados:
Magnitud Xi
Tipo de Incertidumbre
Incertidumbre típica u(xi)
Coeficiente de sensibilidad
ci
Contribución a la
incertidumbre ciu(xi)
Imprecisión A 0,00426549 A 1 0,00426549 A
Resolución B 0,002886751 A 1 0,002886751 A
Calibrador B 0,002713178 A -1 - 0,002713178 A
e) Calculamos la incertidumbre expandida:
Calculamos la incertidumbre expandida U(E), multiplicando la incertidumbre típica
combinada uc(E), por un factor de cobertura k.
Según lo solicitado en el enunciado del problema se debe hallar la incertidumbre de
medición para una probabilidad de cobertura del 95 %. Puesto que hay tres fuentes de
incertidumbre y ninguna es dominante asumimos que la distribución de E será normal,
con lo cual k ≈2.
𝑈𝐸 = 𝑘 𝑢𝑐 𝐸 = 2 0,005821432 𝐴 = 0,011642864 𝐴
f) Expresamos el resultado y acotamos el valor:
𝐸 = (0,008 ± 0,012)𝐴
Conclusión: Se observa que el multímetro tiene una tendencia a medir en exceso de 0,008 A en la medida de 10A, con una incertidumbre en esa tendencia de 0,012 A calculada con un k=2 asumiendo una distribución normal.
Ejemplo 2:
Un laboratorio posee un voltímetro y un amperímetro calibrados. Con estos instrumentos se
quiere estimar el valor de una resistencia midiendo la tensión entre sus bornes y la corriente
eléctrica que circula a través de ésta, con el siguiente circuito:
Además se sabe que el voltímetro es un instrumento digital de 5 ½ dígitos - rango 200 V -
exactitud declarada por el fabricante ±(0,05 % lectura + 2 dígitos)- resistencia interna (RV)
10MΩ (supongamos que se conoce con exactitud).
Medidas Eléctricas
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El amperímetro es un instrumento analógico de clase 0,2- Alcance 150mA – αMAX 150
divisiones y su resistencia interna (Ra) 100 mΩ (supongamos que se conoce con exactitud).
Se toman 10 mediciones que se muestran en la siguiente tabla:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vmedido[V] 22,323 22,325 22,320 22,331 22,332 22,330 22,327 22,323 22,329 22,325
Imedido[mA] 145,1 145,2 144,9 145,7 145,2 146,3 145,3 145,1 145,9 145,4
Estimar el valor de R con una probabilidad de 95%.
Solución:
a) En una primera aproximación se tiene que:
𝑅𝑚 =𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
Sin embargo, teniendo en cuenta el consumo del voltímetro para la conexión usada, se
debería efectuar, al menos inicialmente, una corrección como la que sigue:
𝑅𝑚 =𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 −𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑅𝑉
Por lo anterior, la función 𝑌 = 𝑓 𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑁 sería:
𝑌 = 𝑓 𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑁 = 𝑓 𝑉 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 , 𝐼 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ,𝑅𝑉 =𝑉 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
𝐼 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 −𝑉 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑅𝑉
Calculando:
𝑉 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 22,3265 V
𝐼 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 145,41 mA
𝑅𝑚 =
𝑉 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
𝐼 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 −𝑉 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑅𝑉
=22,3265 V
145,41 mA −22,3265 V
10 𝑀𝛺
𝑅𝑚 = 153,5440672 𝛺
b) Determinamos las fuentes de incertidumbre significativas de las magnitudes de
entrada:
Para este caso podríamos tener:
1. Incertidumbre por variaciones aleatorias en la tensión medida.
2. Incertidumbre por variaciones aleatorias en la corriente medida.
Medidas Eléctricas
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3. Incertidumbre por defectos de funcionamiento del voltímetro.
4. Incertidumbre por defectos de funcionamiento del amperímetro.
5. Incertidumbre por mala lectura en el amperímetro.
c) Calculamos la incertidumbre de cada fuente:
Incertidumbre por variaciones aleatorias de la tensión medida:
La evaluamos como una incertidumbre TIPO A. Por lo tanto calculamos la
desviación estándar experimental de la muestra y de su media:
𝑆(𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ) = 1
10 − 1 (𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖) − 𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
)2
10
𝑖=1
= 0,003951089 𝑉
𝑢(𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )=
𝑆(𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )
10= 0,001249444 𝑉
(Estamos despreciando el factor t que se podría aplicar a la u(Vmedida) por ser
una muestra mayor a 10 y menor a 30)
Incertidumbre por la variaciones aleatorias de la corriente medida:
La evaluamos como una incertidumbre TIPO A. Por lo tanto calculamos la
desviación estándar experimental de la muestra y de su media:
𝑆(𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ) = 1
10 − 1 (𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖) − 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
)2
10
𝑖=1
= 0,43063261 𝑚𝐴
𝑢(𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )=
𝑆(𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )
10= 0,136177988 𝑚𝐴
(Estamos despreciando el factor t que se podría aplicar a la u(Imedida) por ser
una muestra mayor a 10 y menor a 30)
Incertidumbre por el funcionamiento del voltímetro:
La evaluamos como una fuente TIPO B, usando la tensión medida
promedio.
Elím voltímetro = ±(0,05 % lectura + 2 dígitos)
Incertidumbre de Rm
Variaciones aleatorias
de la tensión medida
Por lectura del amperímetro
Variaciones aleatorias
de la corriente medida Por funcionamiento
del voltímetro
Por funcionamiento
del amperímetro
Medidas Eléctricas
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Elím voltímetro = 0,05
10022,3265 V + 2 0,001V = 0,01316325𝑉
Como cualquier valor comprendido entre ± 0,01316325V del valor
medido tiene en principio la misma probabilidad resulta que la
distribución rectangular es la que mejor refleja esta situación, donde el
ancho del intervalo es 2 x 0,01316325V (o el semiancho 0,01316325V).
Entonces:
𝑢(𝑓𝑢𝑛𝑐 𝑣𝑜𝑙 ) =𝑎
3=
0,01316325𝑉
3= 0,007599806 V
Incertidumbre por el funcionamiento del amperímetro:
La evaluamos como una fuente TIPO B.
𝐸𝑙í𝑚𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟 í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = ±𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒
100=
𝐸𝑙í𝑚𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟 í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 0,2 150 𝑚𝐴
100= 0,3 𝑚𝐴
Como cualquier valor comprendido entre ± 0,3 mA del valor medido
tiene en principio la misma probabilidad resulta que la distribución
rectangular es la que mejor refleja esta situación, donde el ancho del
intervalo es 2 x 0,3 mA (o el semiancho 0,3 mA). Entonces:
𝑢(𝑓𝑢𝑛𝑐 𝑎𝑚𝑝 ) =𝑎
3=
0,3 𝑚𝐴
3= 0,173205081 𝑚𝐴
Incertidumbre por la lectura del amperímetro:
La evaluamos como una fuente TIPO B.
Siendo un instrumento de clase 0,2 su incertidumbre debido a la lectura
será 1/10 de división, esto es:
∆𝐼𝑀𝐼𝑁 𝐴𝑃𝑅𝐸𝐶𝐼𝐴𝐵𝐿𝐸 =1
10𝑑𝑖𝑣
𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒
𝛼𝑀𝐴𝑋=
1
10𝑑𝑖𝑣
150 𝑚𝐴
150 𝑑𝑖𝑣 = 0,1 𝑚𝐴
Como cualquier valor inferior a ±0,1 mA respecto del valor medido no será detectado
con igual probabilidad, resulta que la distribución rectangular es la que mejor refleja
esta situación, donde el ancho del intervalo es 2 x 0,1 mA (o el semiancho 0,1 mA).
Entonces:
𝑢(𝑙𝑒𝑐𝑡 𝑎𝑚𝑝 ) =𝑎
3=
0,1 𝑚𝐴
3= 0,057735027 𝑚𝐴
Medidas Eléctricas
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d) Calculamos la incertidumbre combinada:
En este caso tenemos información para evaluar si hay correlación entre V e I por lo
que calcularemos su coeficiente de correlación:
𝑟 𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 , 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 =
1
10−1 𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖) − 𝑉 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖) − 𝐼 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 10
𝑖=1
𝑆(𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎)𝑆(𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎)
Resolviendo: 𝑟 𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 , 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 0,669356577 → ℎ𝑎𝑦 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Calculamos los coeficientes de sensibilidad:
𝑐𝑉 =𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑉𝑚=
𝐼𝑚
𝐼𝑚 −𝑉𝑚
𝑅𝑉
2 ≅1
𝐼𝑚
𝑐𝐼 =𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚=
−𝑉𝑚
𝐼𝑚 −𝑉𝑚
𝑅𝑉
2 ≅ −𝑉𝑚𝐼2
Luego, la incertidumbre combinada considerando correlación entre Vmedida e Imedida
será:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
2
𝑢(𝑥𝑖)2 +
𝑁
𝑖=1
2 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑗 𝑖 𝑢 𝑥𝑖 𝑢 𝑥𝑗 𝑟(𝑥𝑖 ,
𝑁
𝑗=𝑖+1
𝑥𝑗 )
𝑁−1
𝑖=1
u𝑐(𝑅)2 = 𝐼𝑚
𝐼𝑚 − 𝑉𝑚𝑅𝑉
2
2
(𝑢(𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )
2 + 𝑢(𝑓𝑢𝑛𝑐 𝑣𝑜𝑙)2)
+ −𝑉𝑚
𝐼𝑚 − 𝑉𝑚𝑅𝑉
2
2
(𝑢(𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )
2+ 𝑢(𝑓𝑢𝑛𝑐 𝑎𝑚𝑝 )2+ 𝑢(𝑙𝑒𝑐𝑡 𝑎𝑚𝑝 )
2)
+ 2𝐼𝑚
𝐼𝑚 − 𝑉𝑚𝑅𝑉
2 −
𝑉𝑚
𝐼𝑚 − 𝑉𝑚𝑅𝑉
2 𝑢(𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )
𝑢(𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 )𝑟 𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 , 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
u𝑐 𝑅 = 0,242672 𝛺
Medidas Eléctricas
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Podemos presentar una tabla de resultados:
Magnitud Xi
Tipo de Incertidumbre
Incertidumbre típica u(xi)
Coeficiente de sensibilidad
ci
Contribución a la incertidumbre
combinada ciu(xi)
Vmedida A 0,001249444 V 6,877317303 A-1 0,00859282 Ω
Imedida A 0,136177988mA -1055,955057 V/A2 - 0,143797835 Ω
Func. Voltímetro B 0,007599806 V 6,877317303 A-1 0,052266277 Ω
Func. Amperímetro B 0,17320508 mA -1055,955057 V/A2 - 0,18289678 Ω
Lect. Amperímetro B 𝟎,𝟎𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓𝟎𝟐𝟕 mA -1055,955057 V/A2 - 0,060965594 Ω
e) Calculamos la incertidumbre expandida:
Calculamos la incertidumbre expandida U(R), multiplicando la incertidumbre
combinada uc(R), por un factor de cobertura k.
Según lo solicitado en el enunciado del problema se debe hallar la incertidumbre de
medición para una probabilidad de cobertura del 95 %. Puesto que hay dos fuentes
dominantes podríamos calcular los grados de libertad efectivos:
𝑣𝑒𝑓 =𝑢𝑐(𝑦)4
𝑐𝑖 𝑢(𝑥𝑖)
4
𝑣𝑖
𝑁𝑖=1
𝑣𝑒𝑓 =(0,242672 Ω)4
0,009194 𝛺 4
10−1+
0,14378 𝛺 4
10−1+
0,05226 𝛺 4
∞+
0,18289 𝛺 4
∞+
0,06096 𝛺 4
∞
𝑣𝑒𝑓 = 73
Según la tabla de Student para 90 grados de libertad y probabilidad del 95%, k debería
ser aproximadamente 2.
𝑈𝑅 = 𝑘 𝑢𝑐 𝑅 = 2 0,242672 𝛺 = 0,4853 𝛺
f) Expresamos el resultado y acotamos el valor:
R=(153,5 ±0,5)Ω La incertidumbre expandida se ha calculado con un k = 2 que corresponde a un factor de
cobertura del 95% aproximadamente para una distribución normal
Medidas Eléctricas
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También podríamos haber pensado resolver el ejercicio calculando para cada par de valores
una Rmedida y luego promediarlas. En este caso la función 𝑌 = 𝑓 𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑁 sería:
𝑌 = 𝑓 𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑁 =1
10
𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖)
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖) −𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖)
𝑅𝑉
10
𝑖=1
Calculando:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vmedido[V] 22,323 22,325 22,320 22,331 22,332 22,330 22,327 22,323 22,329 22,325
Imedido[mA] 145,1 145,2 144,9 145,7 145,2 146,3 145,3 145,1 145,9 145,4
Rmedido[Ω] 153,848 153,756 154,040 153,269 153,804 152,634 153,664 153,848 153,046 153,544
𝑅 = 𝑅 =1
10 𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖)
10
𝑖=1
= 153,5452276 𝛺
Para esta alternativa podríamos tener:
1. Incertidumbre en la resistencia promedio.
2. Incertidumbre por defecto de funcionamiento del voltímetro.
3. Incertidumbre por defecto de funcionamiento del amperímetro.
4. Incertidumbre por mala lectura en el amperímetro.
Calculemos la incertidumbre en la R promedio:
𝑆(𝑅 ) = 1
10 − 1 (𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 (𝑖) − 𝑅 )2
10
𝑖=1
= 0,137818854 𝛺
𝑢(𝑅 ) =𝑆(𝑅 )
10= 0,136177988 𝛺
Estimemos la incertidumbre combinada (ahora no hay ninguna correlación que
calcular):
u𝑐(𝑅)2 = 𝑢(𝑅 )2 +
𝜕𝑅
𝜕𝑉
2
𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐 𝑣𝑜𝑙 2 +
𝜕𝑅
𝜕𝐼
2
( 𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐 𝑎𝑚𝑝 2 + 𝑢(𝑙𝑒𝑐𝑡 𝑎𝑚𝑝 )
2)
u𝑐(𝑅)2 = 𝑢(𝑅 )2 +
𝐼𝑚
𝐼𝑚 −𝑉𝑚
𝑅𝑉
2
2
𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐 𝑣𝑜𝑙 2 +
−𝑉𝑚
𝐼𝑚 −𝑉𝑚
𝑅𝑉
2
2
( 𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐 𝑎𝑚𝑝 2 + 𝑢
(𝑙𝑒𝑐𝑡 𝑎𝑚𝑝)
2)
Incertidumbre de R
Incertidumbre en R promedio Por funcionamiento
del voltímetro
Por lectura del
amperímetro
Por funcionamiento
del amperímetro
Medidas Eléctricas
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u𝑐 𝑅 = 0,241752 𝛺
Calculamos la incertidumbre expandida:
𝑈𝑅 = 𝑘 𝑢𝑐 𝑅 = 2 0,24175𝛺 = 0,483504 𝛺
Expresamos el resultado y acotamos el valor:
R=(153,5±0,5)Ω
La incertidumbre expandida se ha calculado con un k = 2 que corresponde a un
factor de cobertura del 95% aproximadamente para una distribución normal
Obsérvese la coincidencia de los resultados entre las dos formas de resolver el problema:
Alternativa 1 Alternativa 2
R 153,5440 𝛺 153,5452 𝛺
𝑢𝑐 𝑅 0,2426 𝛺 0,2417 𝛺
Esta coincidencia se da siempre que 𝑌 = 𝑓 𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑁 sea una función lineal.
Bibliografía.
Norma IRAM 35050. Estadística – Procedimientos para la Evaluación de la Incertidumbre de la
Medición. Primera Edición: 2001-06-15.
Apunte de Cátedra “Medidas Eléctricas - Introducción a la Incertidumbre en las Mediciones
según la Guía del Comité Internacional de Pesas y Medidas”. Ing. Ricardo Dias. Cátedra de
Medidas Eléctricas UNLP.
Medidas Eléctricas. Segunda Edición. Juan Antonio Suárez. Marzo 2006. Número ISBN 950-
43-9807-3.
Vocabulario Internacional de Metrología – Conceptos Fundamentales y Generales, y Términos
Asociados (VIM). JCGM 200:2008. Primera versión en español, 2008.
