1 ley de Kepler

7/18/2019 1 ley de Kepler

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1 ley de Kepler

Leyes de Kepler

Representación gráfca de las leyes de Kepler. El Sol está situado en uno de losocos. En tiempos iguales, las áreas barridas por el planeta son iguales. Por lo

tanto, el planeta se moverá más rápidamente cerca del Sol.

Sello alemán de !!" conmemorando a las leyes de Kepler.

Las leyes de Kepler ueron enunciadas por #o$annes Kepler para describir

matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del

Sol. %un&ue 'l no las describió as(, en la actualidad se enuncian como sigue)

Primera ley *+!"-) odos los planetas se despla/an alrededor del Sol

describiendo órbitas el(pticas. El Sol se encuentra en uno de los ocos de la

elipse.

Segunda ley *+!"-) el radio vector &ue une un planeta y el Sol barre áreas

iguales en tiempos iguales.

La ley de las áreas es e&uivalente a la constancia del momento angular, es

decir, cuando el planeta está más ale0ado del Sol *aelio- su velocidad es menor

&ue cuando está más cercano al Sol *peri$elio-. En el aelio y en el peri$elio, elmomento angular L es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su

distancia al centro del Sol.

L 1 m 2cdot r3+ 2cdot v3+ 1 m 2cdot r3 2cdot v3 2,

ercera ley *++4-) para cual&uier planeta, el cuadrado de su per(odo orbital es

directamente proporcional al cubo de la longitud del semie0e mayor de su

órbita el(ptica.

2rac5675r6871912te:t5constante7

;onde, es el periodo orbital *tiempo &ue tarda en dar una vuelta alrededor

del Sol-, R la distancia media del planeta con el Sol y 9 la constante de

proporcionalidad.



Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos &ue se encuentran en

mutua in<uencia gravitatoria, como el sistema ormado por la ierra y la Luna.

=ormulación de >e?ton de la tercera ley de Kepler@editarA

%ntes de &ue se redactaran las leyes de Kepler $ubo otros cient(fcos como

9laudio Ptolomeo, >icolás 9op'rnico y yc$o Bra$e cuyas principales

contribuciones al avance de la ciencia estuvieron en $aber conseguido medidas

muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas. Kepler, &ue

ue disc(pulo de yc$o Bra$e, aprovec$ó todas estas mediciones para poder

ormular su tercera ley.

Kepler permitió descubrir el movimiento de los planetas. Ctili/ó grandes

conocimientos matemáticos para encontrar relaciones entre los datos de las

observaciones astronómicas obtenidas por yc$o Bra$e y con ellos logró

componer un modelo $elioc'ntrico del universo. 9omen/ó traba0ando al modo

tradicional, planteando trayectorias e:c'ntricas y movimientos en epiciclos,

pero encontró &ue esos datos los situaban uera del es&uema &ue $ab(a

establecido 9op'rnico, lo &ue le llevó a pensar &ue no describ(an una órbita

circular. Ensayó otras ormas para las órbitas y encontró &ue los planetas

describ(an órbitas el(pticas &ue ten(an al Sol en uno de sus ocos. %nali/ando

los datos de Bra$e, Kepler descubrió tambi'n &ue la velocidad de los planetas

no es constante, sino &ue el radio vector &ue los une con el Sol describe áreasiguales en tiempos iguales. En consecuencia, la velocidad de los planetas es

mayor cuando están pró:imos al Sol *peri$elio- &ue cuando se mueven por las

/onas más ale0adas *aelio-. Esto da origen a las tres Leyes de Kepler sobre el

movimiento planetario.

Las leyes de Kepler representan una descripción cinemática del sistema solar.

Primera Ley de Kepler) odos los planetas se mueven alrededor del Sol

siguiendo órbitas el(pticas. El Sol está en uno de los ocos de la elipse. *a y b

con seme0antes a la elipse-

Segunda Ley de Kepler) Los planetas se mueven con velocidad areolar

constante. Es decir, el vector posición r de cada planeta con respecto al Sol

barre áreas iguales en tiempos iguales.



Se puede demostrar &ue el momento angular es constante lo &ue nos lleva a

las siguientes conclusiones)

Las órbitas son planas y estables.

Se recorren siempre en el mismo sentido.

La uer/a &ue mueve los planetas es central.

ercera Ley de Kepler) se cumple &ue para todos los planetas, la ra/ón entre el

periodo de revolución al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene

constante. Esto es)

2rac5675r68719

El estudio de >e?ton de las leyes de Kepler condu0o a su ormulación de la ley

de la gravitación universal.

La ormulación matemática de >e?ton de la tercera ley de Kepler para órbitas

circulares es)

La uer/a gravitacional crea la aceleración centr(peta necesaria para el

movimiento circular)

2rac5Dm75r67 1 m2rac5v675r7

%l reempla/ar la velocidad v por 2let*2rac52pi r7572rig$t- *el tiempo de una

órbita completa- obtenemos

6 1 2rac5F2pi675D7r68

;onde, es el periodo orbital, r el semie0e mayor de la órbita, es la masa

del cuerpo central y D una constante denominada 9onstante de gravitaciónuniversal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el

sistema de unidades a utili/ar para las otras variables de esta e:presión.

La elipse tra/ada por un planeta alrededor del Sol tiene una orma sim'trica,

pero el movimiento no es sim'trico.



Piense en una piedra lan/ada $acia arriba) cuando sube pierde velocidad,

durante un instante, en la cima de su trayectoria, se mueve muy despacio y

fnalmente cae, aumentando su velocidad de nuevo. El movimiento de un

planeta alrededor del Sol o el de un sat'lite cient(fco alrededor de la ierra,

siguen ecuaciones dierentes *aun&ue e:iste alguna unión-, pero en muc$os

aspectos se parecen al de la piedra.

Esto es muc$o más evidente si su órbita es alargada, o sea, si su e:centricidad

es casi +. 9uando el planeta o el sat'lite se eleva en su órbita, su velocidad

disminuye y cuando retorna, se acelera de nuevo, movi'ndose a su mayor

velocidad cuando está más cercano. Este punto de la órbita se llama peri$elio

para un planeta *G$eliosG es el Sol- y perigeo para un sat'lite terrestre * GgeoG,

es relacionado con la ierra-.

;espu's de estudiar observaciones reales, principalmente de arte, Kepler

propuso la siguiente regla para predecir la aceleración y la deceleración. ;ibu0e

una l(nea *Gradio vectorG- desde el centro del Sol $asta el planeta *o desde el

centro de la ierra $asta el sat'lite-. La ley de Kepler afrma &ue)

GEl radio vector barre iguales áreas en iguales tiemposGG

Hlustrando la da. ley de Kepler)

a los segmentos %B y 9; les toma

el mismo tiempo para recorrer .

9omo e0emplo considere &ue el dibu0o de la derec$a representa la órbita de un

sat'lite de la ierra y $aga &ue %B y 9; sean porciones de la órbita cubiertas

en 8 $oras cerca del apogeo y del perigeo, respectivamente. Si I es el centro

de la ierra, las áreas sombreadas I%B y I9; son iguales. Lo &ue signifca,obviamente, es &ue 9; es más larga &ue %B, debido a &ue cerca del perigeo el

sat'lite se mueve muc$o más rápido y cubre en las 8 $oras una distancia

mayor.

Energ(a



La energ(a se puede defnir libremente como algo &ue puede $acer mover a

una má&uina. Las ormas de energ(a &ue mueven nuestras má&uinas son,

normalmente, la electricidad o el calorJ la lu/ es otra orma de energ(a,

convertida en electricidad mediante c'lulas solares, &ue generan la potencia

de la mayor(a de los sat'lites.

La gravedad tambi'n puede proveer energ(a. Las ruedas de los relo0es de

nuestros abuelos giraban por medio de pesos &ue descend(an gradualmente

$acia el ondo del relo0, en cuyo punto ten(an &ue ser subidos de nuevo o el

relo0 se paraba. $omas #eerson, ten(a en su casa cerca de 9$arlottesville,

irginia, un relo0 cuyos pesos *colgados a un lado de la $abitación- eran balas

de caMón amarradas a una cuerda y para &ue el relo0 tuviera cuerda para N

d(as, $ab(a $ec$o un agu0ero en el suelo &ue permit(a a las balas descender

$asta el sótano.

9uando una bala o un peso se elevan contra la uer/a de la gravedad,

ad&uieren energ(a potencial, energ(a en virtud de su posición, proporcional a la

altura a &ue $an sido elevados. Si se suelta el peso, pierde altura y energ(a

potencial, pero gana velocidad y energ(a cin'tica, la energ(a debida a la

velocidad del movimiento. La energ(a cin'tica se puede volver a convertir en

potencial, como ocurre en la montaMa rusa cuando pasa por el ondo de una

depresión y sube de nuevo.

Cn cambio similar ocurre cuando se tira una piedra $acia arriba con una

velocidad v. Si su masa es m *el concepto de masa se defnirá más adelante,

de momento v'alo como algo relacionado con el peso-, su energ(a cin'tica

será)

+O mv

9uando sube, v y la energ(a cin'tica disminuyen, pero eso se compensa con el

aumento de la energ(a potencial)

$ m g



donde $ es la altura en metros y g es una constante &ue mide la intensidad de

la uer/a de la gravedad) si m está en ilogramos, $ en metros y v en metros

por segundo *escrito mOs J la velocidad de una persona caminando es de +Q

mOs-, g es apro:imadamente ".4+.

La suma de las dos es la energ(a total E y permanece constante)

E 1 +O mv $ m g 1 constante

9uando la piedra sube, la parte cin'tica de su energ(a se $ace cada ve/ menor,

siendo cero cuando alcan/a el punto más alto, donde, durante un breveinstante v 1 !. ;urante el via0e de descenso, tiene lugar lo contrario. En una

sección posterior volveremos a ver esta órmula y el concepto de energ(a.

Para un sat'lite de masa m &ue órbita la ierra *o para un planeta alrededor del

Sol- e:iste una órmula similar)

E 1 +O mv mOr 1 constante

%&u( es otra constante, de $ec$o relacionada con g, por&ue ambas

constantes re<e0an la intensidad de la gravedad de la ierra *el valor e:acto es)

1 gR, donde R es el radio de la ierra, en metros-.

*Si r es medida en radios de la ierra, la distancia en metros es de rR y eso es

lo &ue deberá ir en el denominador. Sin embargo, la órmula de arriba sigue

siendo verdadera si cancelamos un actor, R y de esa manera redefnimos como gR.-

>o de0e &ue le conunda el signo menos) cuando el sat'lite se eleva, r

aumenta, mOr se $ace menor, pero Q mOr se $ace grande, es menos negativo

&ue cerca de la ierra. Esta ecuación indica por&u' la velocidad del sat'lite

disminuye cuando se ale0a y aumenta cuando regresa.



Suponga &ue el sat'lite tiene la velocidad sufciente para escapar

completamente de la gravedad de la ierra *la Gvelocidad de escapeG -.

9uando est' le0os de la ierra, donde mOr es cercano a cero, su energ(a

cin'tica tambien estará agotada, o sea, v 1 !. 9omo la suma E es la misma en

todas partes, esto da a entender &ue par una sonda espacial &ue 0usto por

poco escapó de la gravedad de la ierra, E 1 !. Por esto

1 OR 1 g R

9on g 1 ".4+ y R 1 8N+ !!! metros será unos ++!! mOs.

En el applet anterior puedes observar el movimiento de tres planetas *a/ul,

negro y ro0o- con tres órbitas de distinta e:centricidad y &ue tienen el mismo

e0e mayor * unidades-, por lo &ue tardan el mismo tiempo en recorrer la

órbita.

La distancia media del Sol al planeta coincide con el semie0e mayor de la

elipse.

Los enunciados de las tres leyes puedes repasarlas con este v(deo)

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