1

M. en C. Gal Vargas Neri

Problemas de Probabilidad

Tema III

Probabilidad

5.- La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

a.- De que ambos vivan 20 años.

b.- De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

c.- De que ambos mueran antes de los 20 años.

Probabilidad

6.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

Ejercicios de distribución binomial

Ejercicios de distribución binomial

7.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

a.Las cinco personas.b.Al menos tres personas.c.Exactamente dos personas.

Solución:a) B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

Ejercicios de distribución binomial

La función P(x=k) Distribución de Poisson

Donde:

P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k.

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828

K es el número de éxitos por unidad

A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.

Ejemplo 1

La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.

Ejemplo 2

La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos?

En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

El resultado es P (x = 5) = 0.04602

Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.

Tablas de probabilidad de Poisson Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden

resolver los ejemplos anteriores.

Para esto, usted debe saber los valores X y λ.

X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.

λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.

Del ejemplo 1: λ = 0.02 * 300 = 6

Del ejemplo 2: λ = 0.012 * 800 = 9.6

Tabla de probabilidad de Poisson

Obtenga más información de cómo asignar probabilidades utilizando las tablas.

Cuando llegue al enlance lea las páginas 4 a la 6. Estudie los ejemplos y luego practique con los ejercicios 2.1 y 2.2

Ejemplo 3 uso de tablas

Busque en los tres enlaces las tablas de probabilidad de Poisson

Resuelva el ejercicio 1 y el 2 por medio de las tablas.

Para el Ejemplo 1: λ = 6 y k = 3 accidentes

Para el Ejemplo 2: λ = 9.6 y k=5 defectos

Ejemplo 4 uso de calculadora virtual

Compruebe el cómputo utilizando una calculadora de probabilidad de Poisson

Repase los ejemplos adicionales

Cuando llegue al enlace, entre los valores respectivos de cada ejercicio:

K en “poisson random variable”

λ en “average rate of success”

Ejercicio de tarea #1

Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que,

a) las 4 estén descompuestas.

b) de 1 a 3 estén descompuestas

Para resolver la pregunta “b” repase el módulo de las reglas de probabilidad.En este caso se resuelve sumando las

probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)= 0.1494 + 0.2240 + 0.2240

Ejercicio de tarea #2

En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que,

a) 4 salgan defectuosos,

b) más de 5 tengan fuga de aceite.

c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.

d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos.

La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante.

En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).

Ejercicio de tarea #3

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,

a) ninguno esté defectuoso,

b) uno salga defectuoso,

c) al menos dos salgan defectuosos

d) más de tres estén con defectos Para la pregunta “d” puede realizar

la siguiente operación:

1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

Ejercicio de tarea #4

La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15,

a) 12 duren menos de un año,

b) a lo más 5 duren menos de un año,

c) al menos 2 duren menos de un año.

Ejercicio de tarea #5

Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:

a) ninguna de las casas viola el código de construcción

b) una viola el código de construcción

c) dos violan el código de construcción

d) al menos tres violan el código de construcción