1 Matemáticas Financieras. Concepto de Matemáticas Financieras Las Matemáticas Financieras estudian el conjunto de conceptos y técnicas cuantitativas

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Matemáticas Financieras Matemáticas Financieras

Concepto de Matemáticas Concepto de Matemáticas Financieras Financieras

Las Matemáticas Financieras estudian el conjunto de conceptos y técnicas cuantitativas de análisis útiles para la evaluación y comparación económica de alternativas relativas a inversión, financiación y operación, para lograr decisiones que relacionen las mejores posibilidades entre las que se tienen en consideración.

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Como Herramienta Financiera es útil para:Determinar el costo de una alternativa de

financiación.Determinar la rentabilidad de una inversión.Establecer planes de financiación cuando se

vende a crédito a los clientes.Seleccionar el mejor plan para amortizar

deudas.Calcular el Costo de Capital.

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Concepto de Matemáticas Financieras

Concepto de EquivalenciaConcepto de Equivalencia El concepto de equivalencia es la base para

poder comparar, en términos monetarios, dos o más propuestas de inversión.

Dos valores diferentes ubicados en diferentes momentos del tiempo, pueden ser, para un inversionista particular, indiferentes.

Cuando usted acepta recibir $130,000 dentro de un año a cambio de no recibir $100,000 hoy, está aceptando que esos dos valores son equivalentes, es decir indiferentes, en el sentido de que cualquiera de las dos opciones lo dejaría a usted satisfecho.

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Concepto de InterésConcepto de Interés Cuando la riqueza obtenida en un periodo se

relaciona con el capital inicialmente comprometido para producirla, obtenemos lo que universalmente se denomina el interés.

Por lo tanto, podemos definir el interés como la utilidad o ganancia que genera el capital.

El interés se devenga sobre la base de un tanto por ciento del capital y en relación con el número de periodos de tiempo en que se disponga del capital.

El interés depende de tres factores fundamentales: el capital, la tasa de interés y el tiempo.

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Interés Simple y Interés Simple y

CompuestoCompuesto Existen dos clases de interés: simple y

compuesto. Interés simple. Cuando los intereses no

devengan más interés, es decir no son capitalizables.

Interés compuesto. Cuando los intereses devengan más intereses, es decir, los intereses son capitalizables, se van acumulando al final de cada periodo, incrementando el valor del capital poseído.

La diferencia en la forma de operar con interés simple e interés compuesto se puede apreciar a través del siguiente ejemplo

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Interés Simple y Interés Simple y CompuestoCompuesto

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TASA DE INTERES MENSUAL 2%A INTERES SIMPLE A INTERES COMPUESTOMES SALDO INTERES SALDO MES SALDO INTERES SALDO

INICIAL FINAL INICIAL FINAL0 100,000$ 100,000$ 0 100,000$ 100,000$ 1 100,000 2,000$ 102,000 1 100,000 2,000$ 102,000 2 102,000 2,000 104,000 2 102,000 2,040 104,040 3 104,000 2,000 106,000 3 104,040 2,081 106,121 4 106,000 2,000 108,000 4 106,121 2,122 108,243 5 108,000 2,000 110,000 5 108,243 2,165 110,408 6 110,000 2,000 112,000 6 110,408 2,208 112,616 7 112,000 2,000 114,000 7 112,616 2,252 114,869 8 114,000 2,000 116,000 8 114,869 2,297 117,166 9 116,000 2,000 118,000 9 117,166 2,343 119,509

10 118,000 2,000 120,000 10 119,509 2,390 121,899 11 120,000 2,000 122,000 11 121,899 2,438 124,337 12 122,000 2,000 124,000 12 124,337 2,487 126,824

Ejercicio de Interés SimpleEjercicio de Interés Simple

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Final del Interés Total Dinero Recibidos Año 24% Al Final Año Al Final

0 100,000$ 01 24,000$ 124,000 02 24,000 148,000 148,000$

0

1 2

$100,000

$148,000

Ejercicio de Interés Ejercicio de Interés CompuestoCompuesto

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Final del Interés Total Dinero Recibidos Año 24% Al Final Año Al Final

0 100,000$ 01 24,000$ 124,000 02 29,760$ 153,760 153,760$

0

1 2

$100,000

$153,760

Tasas de Interés Tasas de Interés CompuestoCompuesto

Interés Periódico

Interés Nominal Anual

Interés Anticipado

Tasas efectivas anuales

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Tasa Periódica ( iTasa Periódica ( ipp ) )

Es la tasa que se devenga en un período de conversión o de pago de intereses. La tasa periódica es la que siempre se considera en la solución de problemas financieros. Se indica directamente el interés (%) y el período en el cual se aplica, sin relacionarlo con un período diferente. Puede ser expresada como: 2% mensual, 32% anual, 9% Ta, (trimestre anticipado).

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Tasa Nominal ( iTasa Nominal ( inn ) )

Hace mención a un período que se toma como referencia y a un período de pago de intereses. No es una tasa efectiva, por lo tanto, se debe ser muy cuidadoso cuando la información recibida es una tasa nominal.

La relación entre una tasa nominal y una tasa periódica está dada por la siguiente expresión: ip = in/m ; ip = tasa periódica; m = número de períodos de conversión en el período de referencia; in

= interés nominal; in = m x ip

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Tasa Nominal ( iTasa Nominal ( inn ) )

Ejemplo1: in = 32% anual convertible semestralmente. Anual es el período de referencia. Semestralmente es el período de conversión o de pago de intereses o de capitalización.ip = in/m = 32%/ 2 = 16% semestral.

Ejemplo 2: in = 24% anual convertible mensualmente. La tasa periódica mensual es:

ip = in/m = 24%/ 12 = 2% mensual.

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Tasa Nominal ( iTasa Nominal ( inn ) ) Ejemplo 3: in = 42% en un año y medio

convertible trimestralmente. ip = 42% / 6 = 7% trimestral. Ejemplo 4: in = 32% anual convertible

diariamente. ip = in/m = 32% / 365 = 0.087% diario. Ejemplo 5: A qué tasa semestral convertible

mensualmente es equivalente el 2% mensual?. En este caso se conoce la tasa periódica y se

desea conocer una tasa nominal. in = ip x m = 2% x 6 = 12% semestral

convertible mensualmente.

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Tasa Efectiva ( iTasa Efectiva ( iee ) ) Algunas veces se desea conocer la tasa de

interés que realmente se devenga en un período de referencia dado. Esta tasa se denomina tasa efectiva ie. Así, por ejemplo, se tiene la tasa nominal in = 32% anual capitalizable semestralmente.

De esta información se sabe inmediatamente la tasa periódica: ip = 32% / 2 = 16% semestral

En forma efectiva cada semestre se paga el

16%.

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Tasa Efectiva ( iTasa Efectiva ( iee ) )

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Los diagramas de flujo, correspondientes a cada una de las dossituaciones anteriores son:

0 1 2 3

m

F

P

. . . . . . . .

ip

mF = P(1+ip)

0

F

1

Períodos de conversión

ie

Períodos de referencia

1

F = P(1+ ie)


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m

Al comparar ( 1 ) y ( 2 ): P (1 + ip) = P (1 + ie) m tenemos : (1 + ip) = (1 + ie)

ip corresponde al período más pequeñoie corresponde al período más grande Tanto ip como ie son tasas efectivas vencidas, m

o sea que la expresión (1 + ip ) = (1 + ie ) relaciona tasas efectivas vencidas.


Ejemplo 6: a qué tasa efectiva anual es equivalente el 32% anual capitalizable semestralmente?

Solución: la información suministrada es una tasa nominal, a partir de la cual se puede conocer la tasa periódica semestral.

ip = 32% / 2 = 16% semestral. Para hallar la tasa efectiva anual se debe utilizar la

fórmula: :ie = [(1 + ip )^m -1]ie = (1 + 0.16)² -

ie = 1.3456 - 1 ie = 0.3456 = 34.56%

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Tasa Efectiva ( iTasa Efectiva ( iee ) ) Ejemplo 7: a qué tasa efectiva anual es equivalente el

2% mensual? Solución: En este caso, se debe utilizar la fórmula

ie= [(1 + ip )^m -1], en la cual se conoce la tasa

efectiva del período de mayor duración:

ip = 2% mensual

ie = [(1 + 0.02)^12 -1]

ie = 1.2682 - 1

ie = 0.2682

ie = 26.82% anual

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Ejemplo 8: a qué tasa mensual es equivalente el 32% ea?

Solución: ( 1 + ie ) = ( 1 + ip ) ^m En este caso se conoce la tasa efectiva

correspondiente al período de mayor duración: ie = 32% anual (1 + 0.32 ) = (1 + ip)^12 1.32 = (1 + ip )^12 (1.32)^1/12 = 1 + ip 1.0234057 = 1 + ip ip = 1.0234057 - 1 ip = 0.023457 ip = 2.3457% mensual

ip = [(1+ie)^(1/m)-1]

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Tasa Efectiva ( iTasa Efectiva ( iee ) ) Ejemplo 9: a qué tasa anual capitalizable semestralmente es

equivalente el 36% anual convertible mensualmente? Solución: la solución se planifica como sigue: A partir de la tasa nominal anual capitalizable mensualmente

se obtiene la tasa periódica mensual aplicando ip = in/m Con la tasa periódica mensual se obtiene la tasa efectiva anual,

mediante (1+ie )= (1 + ip )^m para 12 capitalizaciones al año. Después de conocer la tasa efectiva anual, se obtiene la tasa

periódica semestral para dos capitalizaciones por año. Con la tasa periódica semestral se obtiene la tasa nominal

anual convertible semestralmente aplicando in= ip x m 1 ) ip = 36% / 12 = 3% mensual 2 ) (1 + ie ) = (1 + 0.03 )^12 ; ie = 1.4258 -1 ; ie = 42.58% EA 3) (1+ 0.4258) = (1+ ip)^2 ;ip = (1.4258)^1/2 -1 = 19.4%

Semestral 4) in = ip x m ; in = 19.405% x 2 = 38.81% Anual CS

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Términos del Mercado Términos del Mercado Financiero ColombianoFinanciero Colombiano

Tasa de captación: O tasa pasiva, tasa que pagan las entidades a los ahorradores.

Tasa de Colocación: O tasa activa, tasa que cobran las entidades financieras por sus prestamos.

DTF: Promedio ponderado semanal de las tasas de captación de los certificados de depósito a término CDT a 90 días con intereses anticipados de las entidades financieras.

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TCC: Promedio de las tasas de captación de los depósitos a 90 días CDT hechos en las Corporaciones Financieras únicamente.

CDAT: Depósitos a término fijo colocados a menos de un mes. Pagan una tasa menor que los CDT.

TBS: Tasa Básica del Sector, se calcula diariamente sobre el promedio de las tasas de los CDAT y de los CDT de cada sector.

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Margen de Intermediación: Es la diferencia entre las tasas activas y pasivas o tasas de colocación menos tasas de captación.

Inflación: Proceso económico que representa un aumento general de precios dentro de un país.

IPC: Índice de Precios al Consumidor. IPP: Índice de Precios al Productor. Retención en la Fuente Rendimientos

Financieros: 7% deducido del valor de los intereses devengados.

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VALOR FUTUROVALOR FUTURO

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1 2 3

P = $10,000

F = ?0 4 5

Ejemplo 1: Hallar el valor futuro de $10,000 invertidos al 2% mensual de interés compuesto durante 18 meses:

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i = 2% mensual

VALOR FUTUROVALOR FUTURO

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1 2 3

P = $10,000

F = ?0 4 5

Ejemplo 1: Hallar el valor futuro de $10,000 invertidos al 2% mensual de interés compuesto durante 18 meses:

Solución: F = P ( 1 + i ) ^n F = 10,000 (1 + 0.02 ) ^18 F = 10,000 ( 1.4282462)

F = $14,282.462

18

i = 2% mensual

VALOR PRESENTEVALOR PRESENTE

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1 2 3

P = ?

F =$20,0000 4 5

Ejemplo 2: Que suma se debe invertir hoy al 2.5% de interés mensual compuesto para acumular $20,000 dentro de 19 meses ?:

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i = 2.5% mensual

VALOR PRESENTEVALOR PRESENTE

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1 2 3

P = ?

F =$20,0000 4 5

Ejemplo 2: Que suma se debe invertir hoy al 2.5% de interés mensual compuesto para acumular $20,000 dentro de 19 meses ?:

Solución: P = F [ 1 / ( 1 + i ) ^n ] P = 20,000 [ 1 / ( 1+ 0.025 ) ^19 ] P = 20,000 [ 1 / ( 1.599) ]

P = 20,000 ( 0.626 ) P = $12,510.554

19

i = 2.5% mensual

TASA DE INTERES TASA DE INTERES

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1 2 3

P = $10,000

F =$15,0000 4 5

Ejemplo 3: A que tasa de interés se deben invertir $10,000 para que en 18 meses se conviertan en $15,000 ?

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i = ?

TASA DE INTERES TASA DE INTERES

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1 2 3

P = $10,000

F =$15,0000 4 5

Ejemplo 3: A que tasa de interés se deben invertir $10,000 para que en 18 meses se conviertan en $15,000 ? n

Solución: i = ( F / P ) - 1 18

i = (15,000/10,000) - 1 i = (1.5 )^1/18 - 1

i = 0.02278 = 2.278%

18

i = ?

NUMERO DE PERIODOSNUMERO DE PERIODOS

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1 2 3

P = $100,000

F =$150,0000 4 5

Ejemplo 4: Cuantos años deben permanecer $100,000 en un fondo de inversión que paga el 8% anual para que se conviertan en $150,000 ?

N = ?i = 8% anual

NUMERO DE PERIODOSNUMERO DE PERIODOS

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1 2 3

P = $100,000

F =$150,0000 4 5

Ejemplo 4: Cuantos años deben permanecer $100,000 en un fondo de inversión que paga el 8% anual para que se conviertan en $150,000 ?

Solución: n = Ln ( F / P ) / Ln ( 1 + i ) n = Ln (150,000 / 100,000) / Ln 1.08 n = Ln1.5 / Ln 1.08

n = 0.40547 / 0.07696 n = 5.27 años

N = ?i = 8% anual

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