178
Solucionario ACTIVIDADES INICIALES 1.I. Realiza las siguientes operaciones. a) 2 3 ( 4) 5 (2 3 5) 1 b) 3 5(2 3 3) 25 82 2 4 10 a) 2 3 (4) 5 (2 3 5) 1 2 12 5 (6 5) 1 2 12 5 1 18 b) 3 5 (2 3 3) 25 8 2 2 4 10 3 5 1 8 3 (5 8) (4 2) 10 3 5 2 8 3 6 10 3 11 8 5 6 10 1 8 1 1.II. Simplifica las expresiones siguientes. a) b) a) 3 6 6 3 5 1 3 1 7 21 1 8 1 7 b) 2 2 2 3 2 1 3 2 2 4 3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. Resuelve estas operaciones. a) b) a) 4 3 1,333... 1,3 v b) 1 7 2 1,714285 w 1.2. Halla la fracción irreducible que corresponde a los siguientes números racionales. a) 25,25 b) 25,25 v c) 25,25 v a) 25,25 2 1 5 0 2 0 5 10 4 1 b) N 25,25 w 25,252525... 99N 2500 N 25 9 0 9 0 c) N 25,25 v 25,2555... 90N 2273 N 22 9 7 0 3 1.3. Calcula la fracción irreducible que representa el resultado de: 25,25 25,25 v 25,25 v. 25,25 25,25 v 25,25 v 10 4 1 25 9 0 9 0 22 9 7 0 3 15 1 0 98 0 0 01 100N 2525,555... 10N 252,555... 100N 2525,252525... N 25,2525225... 2 7 6 2 1 1 6 2 3 2 2 1 1 2 2 1 1 6 2 1 1 2 1 2 2 (3 4 2 ) 1 6 2 2 3 2 2 (4 3 4 2 ) 1 6 2 3 3 9 2 2 5 2 (3) 5 2 3 2 2 (4 3 4 2 ) 1 ——— 6 2 3 3 9 2 2 5 —— 2 (3) 5 1 Núm

1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

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Solucionario

ACTIVIDADES INICIALES

1.I. Realiza las siguientes operaciones.

a) 2 � 3 � (� 4) � 5 � (2 � 3 � 5) � 1

b) �3 � �5(2�3 � 3) � ��25� � 8��22 � �4��� � 10

a) 2 � 3 � (�4) � 5 � (2 � 3 � 5) � 1 � 2 � 12 � 5 � (6 � 5) � 1 � 2 � 12 � 5 � 1 � 18

b) �3 � �5 � (2�3 � 3) � ��25� � 8� � �22 � �4� �� � 10 � �3 � �5 � ��18

� � 3� � (5 � 8) � (4 � 2)� � 10 �

� �3 � �5 � ���283�� � 6� � 10 � �3 � �

1185

� � 6 � 10 � ��181�

1.II. Simplifica las expresiones siguientes.

a) b)

a) � ��36

6 ��

35

� � ��131

7

� � ��211817

b) � � �22

2�

32

1

3�

22

�4

� � 3

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.1. Resuelve estas operaciones.

a) b)

a) � � �43

� � 1,333... � 1,3v

b) � � �172� � 1,714285w

1.2. Halla la fracción irreducible que corresponde a los siguientes números racionales.

a) 25,25 b) 25,25v c) 25,25v

a) 25,25 � �2150205

� � �1041

b) N � 25,25w � 25,252525... ⇒ � ⇒ 99N � 2500 ⇒ N � �259090

c) N � 25,25v � 25,2555... ⇒ � ⇒ 90N � 2273 ⇒ N � �229703

1.3. Calcula la fracción irreducible que representa el resultado de: 25,25 � 25,25v � 25,25v.

25,25 � 25,25v � 25,25v � �1041

� � �259090

� � �229703

� � �15

1098

0001

100N � 2525,555...10N � 252,555...

100N � 2525,252525...N � 25,2525225...

2��76

2�1 � �

16

2��32

2�1 � �

12

2—1 � —

1

6—

2—1 � —

1

2—

��12

���2

� (3 � 42)�1

��6�2

�2 � �32

���2

� (43 � 42)�1

���6�2

33 � �9� � �22 ��5���

2 � (�3) � 5

�2 � —3

2—�

�2

� (43 � 42)�1

———6�2

33 � �9� � �22 ��5�——

2 � (�3) � 5

1 Números reales

Page 2: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

1.4. Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.

1.5. ¿Cuál de estas expresiones no equivale a a � b � c?

a) (a � b) � c b) a � (b � c) c) a � (c � b)

La expresión del apartado b, que equivale a a � b – c.

1.6. Razona con ejemplos si son ciertas las siguientes afirmaciones.

a) La suma de dos irracionales es siempre irracional.

b) El producto de dos irracionales es siempre un número irracional.

Es falso. Por ejemplo, �2� y ��2� son dos números irracionales, y su suma es 0, número racional.

Es falso. Por ejemplo, �2� y ��2� son dos números irracionales, y su producto es �2, número racional.

1.7. Se quiere vallar un campo rectangular. Se sabe que uno de sus lados mide tres quintas partes de la medida

del otro. Además, la diagonal mide 30 m. Calcula el precio que se deberá pagar por hacer el vallado si cada

metro de valla cuesta 25 euros y se desperdicia un 10% del material empleado.

Los lados miden a y �35a�. Entonces: D � a 2 ���

35a��

2

� a 2 ��92a5

2

� � �3245a 2

� � 30 ⇒ a � 25,725 m

El perímetro mide 2 � �a � �35a�� � 82,32 m.

La valla costaría 82,32 � 25 � 2058 euros; pero como se desperdicia el 10% del material, esta cantidad repre-senta el 90% del precio total. Habría que comprar por un valor de 2058 � 0,90 � 2286,67 euros.

1.8. Ordena de menor a mayor en cada caso.

a) —1

4

1—, —

6

2

8

5—, —

1

5

4— y —

2

1

7

0— c) �

4

4�, �3

3� y �2�

b) 1,23, 1,23v y 1,23v d) 2,9v, 3 y 3,01v

a) �141� � �

217050

�; �6285� � �

217020

�; �154� � —

218000

— y �2170� � �

217000

� ⇒ �2170� � �

6285� � �

141� � �

154�

b) 1,23 � 1,232323… � 1,2333… ⇒ 1,23 < 1,23v < 1,23v

c) �4

4� � �4

22� � �2� � 1,4142..., �3

3� � 1,4422... ⇒ �4

4� � �2� � �3

3�

d) 2,99... � 3 � 3,011... ⇒ 2,9v � 3 � 3,01v

1.9. Sean a y b dos números reales negativos. Si a � b, demuestra que el inverso de a es mayor o igual que el

inverso de b.

a � b ⇒ a � �1a

� � b � �1a

� ⇒ 1 � �ba

� ⇒ 1 � �1b

� � �ba

� � �1b

� ⇒ �1b

� � �1a

a) b)

a) � � � � �3 �

515� � 9

b) � � � � �4 �

714� � 8

14�

�74

14�1 � �

34

15�

�53

15�1 � �

23

—1 �

1

1

5

� 2—

1 �1

—1 � —

1

2—

�1 �

115

� 2�

1 �1

�1 � �

12

�1

1�5

3�

1 �1��32

�1

1�4

3�

1 �1��43

�1 �

114

� 2�

1 �1

�1 � �

13

—1 �

1

1

4

� 2—

1 �1

—1 � —

1

3—

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Solucionario

1.10. A partir del desarrollo de (x � y)2, siendo x e y no nulos, demuestra que —y

x— � —

y

x— 2.

(x � y)2 � x 2 � y 2 � 2xy 0 ⇒ x 2 � y 2 2xy ⇒ �x 2

x�

yy 2

� � �xxy

2

� � �yxy

2

� � �yx

� � �yx

� 2

1.11. Representa en la recta real los siguientes números.

a) 5 b) —4

7— c) �2 d) �—

1

5

2—

1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados y representa �17� y �29� en la recta real.

17 � 42 � 12 29 � 52 � 22

1.13. Representa en la recta real: �11�.

�11� � �2 � 9� � ���2� �2�� 32� � ���12 ���12��

2�� 32�

1.14. Desarrolla el valor de la expresión 2x � 3 � |2x � 3| y calcúlala para los casos x � �1, x � 0 y x � 2.

2x � 3 � |2x � 3| � � � �Para x � �1, el valor de la expresión es 0.

Para x � 0, el valor de la expresión es 0.

Para x � 2, el valor de la expresión es 4 � 2 � 6 � 2.

1.15. Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.

a) |x � 2| � |x � 3| b) x � |x � 2| � |x � 3|

a) |x � 2| � |x � 3|. Los valores absolutos que intervienen se anulan para x � �2 y x � �3.

|x � 2| � |x � 3| � � � �b) x � |x � 2| � |x � 3|. Los valores absolutos que intervienen se anulan para x � �2 y x � �3.

x � |x � 2| � |x � 3| � � � �si x � �3si �3 � x � �2si x �2

�x � 5x � 13x � 5

si x � �3si �3 � x � �2si x �2

x � (x � 2) � (x � 3)x � (x � 2) � x � 3x � x � 2 � x � 3

si x � �3si �3 � x � �2si x �2

�2x � 51

2x � 5

si x � �3si �3 � x � �2si x �2

�(x � 2) � (x � 3)�(x � 2) � x � 3

x � 2 � x � 3

4x � 6 si x �32

0 si x � �32

si 2x � 3 0si 2x � 3 � 0

2x � 3 � 2x � 32x � 3 � (2x � 3)

0

229

290

117

17

–2 50– 125

47

0

311

2

2 11

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1.16. Dados A � (2, 4), B � (�2, 6] y C � [�3, ��), calcula:

a) A � B � C b) A � B � C c) A � B � C

a) A � B � C � C � [�3, �) b) A � B � C � (2, 4) c) A � B � C � C � [�3, �)

1.17. Expresa mediante intervalos y gráficamente los siguientes conjuntos de números reales.

a) |x � 2| � 2 b) |x � 3| 1 c) |x � 1| � 2

1.18. Halla los errores absoluto y relativo que se cometen al utilizar 1,7 como aproximación de —1

7

2—.

Error absoluto: Ea � ��172� � 1,7 � � �

710� Error relativo: Er � � �

1120�

1.19. Calcula las mejores aproximaciones por defecto y por exceso y el redondeo de �2� a la unidad, la centési-

ma y la diezmilésima.

1.20. (TIC) Calcula las siguientes operaciones y da el resultado en notación científica.

a) 0,00048 � 0,000059 d) 0,0000015 � 0,000003 g)

b) 35000000 � 720000000 e)

c) 250000 � 5,5 � 105 f)

a) 5,39 � 10�4 d) 5 � 10�1 g) 1,425 � 10�11

b) �6,85 � 108 e) 1,158 � 10�2

c) 1,375 � 1011 f) 1,728 � 103

0,00016 � (25 � 103 � 2000)————

0,0025

2,2 � 109 � 7,8 � 10�14

———1,9 � 1011

1023 � 5,6 � 10�12

———3,5 � 1022 � 4,3 � 1021

�710�

�172�

Unidad Centésima Diezmilésima

Defecto 1 1,41 1,4142

Exceso 2 1,42 1,4143

Redondeo 1 1,41 1,4142

a) (0, 4)

b) (��, �4] � [�2, ��)

c) [�3, 1]

0 4

0–2–4

0 1–3

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Solucionario

1.21. Un átomo de hidrógeno (H) pesa 1,66 � 10�24 gramos.

a) ¿Cuántos átomos de H se necesitan para obtener 20 kg de ese gas?

b) ¿Cuál es la masa de 2,524 � 1026 átomos de H?

c) Si 2 gramos de hidrógeno molecular ocupan un volumen de 22,4 L a 0 C y a la presión atmosférica nor-

mal, ¿cuántas moléculas de hidrógeno contendría un recipiente de 5 L en estas condiciones?

a) �1,6

260

00100�24

� � 1,205 � 1028 átomos serán necesarios para juntar una masa de 20 kg.

b) 2,524 � 1026 � 1,66 � 10�24 � 419 g � 0,419 kg

c) El recipiente de 5 litros contiene �222

�,45

� gramos de hidrógeno, es decir, �222

�,45

� � (1,66 � 10�24) � 2,689 � 1023 áto-

mos de hidrógeno. Cada molécula está compuesta por dos átomos, por lo que habrá 1,345 � 1023 moléculasen total.

1.22. La masa de la Tierra es de 5,97 � 1024 kg, y la de Plutón, de 1,29 � 1022.

a) ¿Cuántas veces es más masiva la Tierra que Plutón?

b) Suponiendo que ambos planetas fueran esferas perfectas con radios de 6371 y 1160 km, respectivamente,

calcula la densidad aproximada de cada uno de ellos.

a) �51,,9279

1100

2

2

4

2� � 463 veces mayor es la masa de la Tierra respecto de la de Plutón.

b) Densidad de la Tierra � �Vo

Mluamsa

en� � � 5,5 � 1012 kg/km3 � �

5,5 � 1100

12

15

� 1000� � 5,5 g/cm3

Densidad de Plutón � �Vo

Mluamsa

en� � � 1,97 � 1012 kg/km3 � 1,97 g/cm3

1.23. Simplifica las siguientes expresiones.

a) —3

2— � �6� b) �2� � —

3

2— �8� � —

1

4— �18� c) d) —

��

22�0�

��

��8�

5�—

a) �32

� � �6� � ���

3�2�� � �6� � �

��

3�2�

��

2�2�

� � �6� � ��26�� � �6� � �

32

� �6�

b) �2� � �32

� �8� � �14

� �18� � �2� � �3

2� 2��2� � �

34

� �2� � �2� � 3�2� � �34

� �2� � �143� �2�

c) � � � 25 � �622� � 25 � �3

2�

d) ���

22�0�

��

��8�

5�� � �

�2�

2�5���

2��2�

5�� � �

3

3

��2�

5�� � 4 �

25

� � 8 �25

� � ���

8

8

2�5�

��

8

8

5

5

7�7�

� � ��8

25� 57��

1.24. Opera y simplifica las siguientes expresiones.

a) 128—12

—� 162

—32

—b) �2�2��2���

a) 128 �12�

� 162 �32�

� �128� � �1623� � �27� � �23 � 3�12� � 23�2� � 2 � 36�2� � 8�2� � 1458�2� � 1466�2�

b) �2�2��2��� � ��23��2��� � ���27��� � �8

27�

25 � �624� � �6

23���

�625�

24 � �322� � 2�2�

���6

25�16 � �

34� � ��2� �

3

��

��332��

16 � �3

4� � ��2��3

——��

3

32��

1,29 � 1022 kg���43

� � � 11603 km3

5,97 � 1024 kg���43

� � � 63713 km3

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1.25. Racionaliza los siguientes denominadores.

a) —2�

5

5�— b) —

2�54

5�— c) —

2�5�5

� 1—

a) �2�

5

5�� � �

2�5�

5��5�

5�� � �

51�05�

� � ��25��

b) �2�

54

5�� � �

2�54

5��

�4

�54

3�53�

� � �5

2�

�4

553�

� � ��4

253��

c) �2�5�

5

� 1� � � � �

140�

� 55�

��

15

� � �10�

15�9

� 5�

1.26. Simplifica la expresión .

� � � � 1044

1.27. (TIC) Desarrolla las siguientes potencias.

a) �3 � 2�3��5

b) �2x � —3

4

x—�

4

a) �3 � 2�3� �5

� � � � 35 � � � � 34 � �2�3� � � � � � 33 � �2�3� �2

� � � � 32 � �2�3� �3

� � � � 3 � �2�3� �4

� � � � �2�3� �5

� 243 � 5 � 81 � 2�3� � 10 � 27 � 12 � 10 � 9 � 24�3� � 5 � 3 � 144 � 32 � 9�3� � 5643 � 3258�3�

b) �2x � �34x��

4

� � � � (2x)4 � � � � (2x)3 � �34x� � � � � (2x)2 � ��

34x��

2

� � � � 2x � ��34x��

3

� � � � ��34x��

4

� 16x 4 � 4 � 8x 3 � �34x� � 6 � 4x 2 � �

91x6

2� � 4 � 2x � �

2674x 3� � �

8215x6

4� � 16x 4 � �

1238

�x 2 � �1238

� � �2571x2

2� � �

8215x6

4�

1.28. Halla el sexto término de los desarrollos de:

a) ��2� � 2�8��9

b) (3a2 � 2ab)8

a) T6 � � � � ��2� �4

� �2�8� �5

� 126 � 4 � 4096�2� � 2064384�2�

b) T6 � � � � (3a 2)3� (2ab)5 � 56 � 27a 6 � 32a 5b 5 � 48384a 11b 5

1.29. Calcula el término independiente del desarrollo de la potencia �—x

32— � 5x�

12

.

Tk � � � � ��x3

2��

13 � k

� (5x)k � 1 � � � � � � �313 � k � 5k � 1 � x 3k � 27

3k � 27 � 0 ⇒ k � 9 ⇒ T9 � � �313 � 9 � 59 � 1 � 495 � 34 � 58128

12k � 1

313 � k � 5k � 1 � x k � 1

���x 26 � 2k

12k � 1

12k � 1

85

95

44

43

42

41

40

55

54

53

52

51

50

30 � 29 � 28 � 27���

630

��340�� � 4!

��630

���239�� � ��

249��� � 4!

���630

���239�� � ��

2295��� � 4!

���630

��—2

3

9—� � �—

2

2

9

5—�� � 4!

———630

10�5� � 5���2�5� �

2� 12

5�2�5� � 1�����2�5� � 1��2�5� � 1�

Page 7: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

1.30. Calcula: log216, log3 �27� y log5 �3

25�.

log216 � log224 � 4

log3 �27� � log3 �33� � log33�32�

� �32

log5 �3

25� � log5 �3

52� � log55�23�

� �23

1.31. Sabiendo que log2 � 0,301 y que log3 � 0,477, halla:

a) log38 b) log�0,012�

a) log38 � �lloogg

83

� � �lloogg23

3

� � �3lologg32

� � 1,893

b) log�0,012� � log�110200� � log��11

0200�� �

12�

� �12

� log�110200� � �

12

� (log12 � log1000) � �12

� (log(22 � 3) � 3) �

� �12

� (2log2 � log3 � 3) � �0,9605

1.32. Toma logaritmos en la expresión A � (x x)x.

logA � log �(x x)x� � x log(x x) � x � x logx � x 2logx

1.33. Pasa a forma algebraica la siguiente expresión logarítmica.

logA � 2 � 2logx � logy

logA � log100 � logx 2 � logy ⇒ logA � log�10

y0x 2

� ⇒ A � �10

y0x 2

1.34. (TIC) Halla el valor de los siguientes logaritmos con la calculadora.

a) log321 b) log0,0112 c) log�3� 19

a)log321 � �lnln231

� � 2,771 b) log0,0112 � �lnln01,021

� � �0,540 c) log�3� 19 � �l

l

n

n

�19

3�� � 5,360

1.35. En un cultivo de bacterias, el número se duplica cada dos días. Un día se contabilizan 3000 bacterias.

a) Calcula el número de bacterias que habrá 15 días después.

b) ¿Cuántos días han de pasar para que haya el triple de bacterias?

c) Si el número inicial fuera de 6000, ¿cuántos días tendrían que transcurrir para que hubiera el triple?

d) Se supone que la población se estabiliza al alcanzar las 20000 bacterias. ¿Cuánto tiempo ha de pasar

para ello?

El número de bacterias cuando han pasado t días es N � 3000 � 2 �2t�.

a) Para t � 15 ⇒ N � 3000 � 27,5 � 543058

b) 3N � N � 2 �2t� ⇒ 2 �2

t�

� 3 ⇒ log2 �2t�

� log3 ⇒ �2t� log2 � log3 ⇒ t � 2 � �

lloogg

32

� � 3,17 días

c) El resultado anterior es independiente del número inicial de bacterias.

d) 20000 � 3000 � 2 �2t� ⇒ 2 �2

t�

� �230000000

� ⇒ log2 �2t�

� log�230� ⇒ �

2t� log2 � log�

230� ⇒ t � 2 � � 5,47 días

log�230�

�log2

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1.36. Cierta sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegración de 1600 años. Calcula la cantidad de

masa a la que se habrá reducido 1 kilogramo de esta sustancia al cabo de 10000 años.

La masa al cabo de 10000 años será: 1 � 0,5�110600000

�� 0,01314 kg � 13,14 g

1.37. Se depositan en un banco 5000 euros durante 2 años. El banco informa de que el interés es del 3,5% anual.

a) Calcula el capital acumulado suponiendo que la capitalización es anual.

b) ¿A cuánto asciende si es mensual?

c) ¿Y si es diaria?

d) Interpreta los resultados obtenidos.

a) C � 5000 � 1,0352 � 5356 €

b) C � 5000 � �1 � �132,050

��2 � 12

� 5362 €

c) C � 5000 � �1 � �36

35,500��

2 � 365

� 5362,5 €

d) No se aprecian grandes diferencias al cambiar la acumulación anual por la mensual, y son casi insignificantesal cambiarla por acumulación diaria.

EJERCICIOS

Números reales

1.38. Escribe dos números comprendidos entre:

a) —1

2

9

3— y —

2

2

0

3— b) —

2

7

2— y

a) �1293� � �

5679� y �

2203� � �

6609�. Entre estos dos números están �

5689� y �

5699�.

b) �272� � 3,1428..., � � 3,1415... Entre ambos están 3,1416 y 3,1417.

1.39. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. En el caso de los racionales, indica su expre-

sión mediante una fracción irreducible.

a) 12,12131415… d) 1,010010001…

b) 12,121212… e) 1,123123123…

c) 12,0121212… f) 0,001002003004…

a) 12,12131415… Irracional

b) 12,121212… � 12,12v Racional � ⇒ 99N � 1200 ⇒ N � �129090

� � �43030

c) 12,0121212… � 12,012v Racional � ⇒ 990N � 11892 ⇒ N � �11

998092� � �

1196852

d) 1,010010001 Irracional

e) 1,123123123… � 1,123v Racional � ⇒ 999N � 1122 ⇒ N � �1919292

� � �337343

f) 0,001002003004 Irracional

1000N � 1123,123123...N � 1,123123...

1000N � 12012,1212...10N � 120,121212...

100N � 1212,1212...N � 12,121212...

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Solucionario

1.40. Clasifica estos números indicando a qué conjuntos numéricos pertenecen.

a) 25,0123456… c) �4 e) 2 g) ��0,0625�

b) 25,4252525… d) —3

7— f) �2,3� h) �—

6

1

5

3—

a) 25,0123456… es irracional y real.

b) 25,4252525… es racional y real.

c) �4 es entero, racional y real.

d) �37

� es racional y real.

e) 2 es natural, entero, racional y real.

f) �2,3� es irracional y real.

g) ��0,0625� � �0,25 es racional y real.

h) ��6153� � �5 es entero, racional y real.

1.41. Ordena de menor a mayor estos números.

25,0111… —12

5

6— 25,01 —

22

9

6—

�1256

� � 25,2; �2296

� � 25,1111...

El orden es: 25,01 � 25,0111… � �2296

� � �1256

1.42. Representa los siguientes números reales.

a) —1

5

2— b) �—

3

7— c) �5� d) �6� e) �7� f) �8�

1.43. Indica qué números reales representan los puntos A y B de la figura.

A � �12 ��22� � �5�B � �22 ����5� �

2� � �4 � 5� � 3

210_3___7

___125

R

A0 1 B R

2

2105

67

8

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Valor absoluto e intervalos

1.44. Desarrolla las siguientes expresiones.

a) |2x � 4| � x b) |x | � |2x | c) |x � 1|� |x � 1| d) x � |x | � |x � 2|

a) |2x � 4| � x � � ⇒ �b) |x | � |2x | � � ⇒ �

Se podía haber hecho |x | � |2x | � |x | � 2|x | � 3|x |

c) |x � 1| � |x � 1| � � � �d) x � |x | � |x � 2| � � � �

1.45. Dados los conjuntos A � (�2, ��), B � (�2, 0] y C � [0, 4), calcula A � B � C y A � B � C.

A � B � C � A � (�2, �) A � B � C � {0}

1.46. Expresa mediante un intervalo los siguientes conjuntos de números reales y represéntalos en la recta real.

a) �x � —1

2—� � —

1

4— b) |2x � 6| � 1 c) |x | � —

1

3—

a) ��14

�, �34

�� c) ���31�, �

13

��

b) |x � 3| � �12

� ⇒ ���27�, �

�25��

Aproximaciones y errores

1.47. Da la expresión aproximada que se pide en cada caso.

a) —2

7

3— por exceso con tres cifras decimales

b) �5� � �125� por defecto con dos cifras decimales

c) 2 � 1 redondeado a tres cifras decimales

a) �273� � 3,286 b) �5� � �125� � 13,41 c) 2� � 1 � 5,283

1.48. Acota el error relativo que se comete al tomar como aproximación del número áureo � � —1 �

2

�5�— el nú-

mero racional 1,618.

Error relativo: Er � � �0,10,0601084

� � 0,000022��1 �

2�5�� � 1,618�

���1,618

si x � 0si 0 � x � 2si x 2

�x � 2x � 23x � 2

si x � 0si 0 � x � 2si x 2

x � x � x � 2x � x � x � 2x � x � x � 2

si x � �1si �1 � x � 1si x 1

�2x22x

si x � �1si �1 � x � 1si x 1

�(x � 1) � (x � 1)�(x � 1) � x � 1x � 1 � x � 1

si x � 0si x 0

�3x3x

si x � 0si x 0

�x � 2xx � 2x

si x � 2si x 2

4 � x3x � 4

si x � 2si x 2

�2x � 4 � x2x � 4 � x

0( )

_3 _2 _1_4

0 1( )

0( )

_1 1

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Solucionario

Notación científica

1.49. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica.

a) 108 � 4 � 106 d) 150000000 � 450000

b) 0,00025 � 0,0015 e) 0,00006 � 45000000

c) 235000 � 0,00025 f) 0,0025 � 10�13 � 10�23

a) 108 � 4 � 106 � 9,6 � 107 d) 150000000 � 450000 � 3,333… � 102

b) 0,00025 � 0,0015 � 3,75 � 10�7 e) 0,00006 � 45000000 � 1,333… � 10�12

c) 235000 � 0,00025 � 5,875 � 10 f) 0,0025 � 10�13 � 10�23 � 2,5 � 107

Radicales

1.50. Simplifica el valor de cada expresión.

a) d) �4

39062�5 � a 5�b 16� g) �—1

2— � 2 � —

1

2—�2

j) �3

81a 3� � 2a�3

24�

b) —2

4

7

5

3

1

5

5

(

(

1

7

5

5

)

)6

4

0

0

— e) �x� � �3

x� � �4

x 3� h) k) �3

�2� ���3

4��

c) �3� � 2�27� � �12� f) �3�3��3��� i) 16—12

—� 9

—32

—l) —

2

3— � —

3

2—

a) � � �22 � 3

3

3

2

22

4

6

� 33

� � 34 � 81

b) �2

4

7

5

35

15

(�

(�

1

7

5

5

)�

)4

6

0

0� � �

(3

(2

33

)�

5

1

)

5

3

(5

3

(3

5

5

2)

)

4

0

60� � � 3�15 � 5105

c) �3� � 2�27� � �12� � �3� � 2 � 3�3� � 2�3� � 5�3�

d) �4

39062�5 � a 5�b 16� � �4

58a 5b 1�6� � 52ab4�4

a� � 25a 2b4�4

a�

e) �x� � �3

x� � �4

x 3� � �12

x 6x 4x 9� � �12

x 19� � x�12

x 7�

f) �3�3��3��� � �8

34323� � �8

37�

g) ��12

� � 2 � �12��

2

� �14

� � 2 � �12

� � 2 � �12

��32

� � �74

� � ���

3�2�� � �

74

� � ��26��

h) � ���

4

3

x

x�

3�� � 12

�(xx

3

4

)3

� � �12

x 5�

i) 16 �12�

� 9 �32�

� �16� � �36� � 4 � 27 � 31

j) �3

81a 3� � 2a�3

24� � 3a�3

3� � 4a�3

3� � 7a�3

3�

k) �3

�2� ���3

4�� � �3

�6

2342�� � �18

27�

l) �23

� � �32

� � ���

2�3�� � �

��

3�2�� � � �

2

��

6�3

� � ��5

6�� � �

5�6

6��

1.51. Opera y simplifica.

a) (�2)0 � (�2)1 � (�2)2 � ... � (�2)8 b) —1

3— �

4

80� � —1

2— �

4

405�� �4

5� c) 2 � �2�3�2��2

� �2�3�2�� � �2�3�2��

a) (�2)0 � (�2)1 � (�2)2 � ... � (�2)8 � 1 � 2 � 4 � 8 � 16 � 32 � 64 � 128 � 256 � 171

b) �13

� �4

80� � �12

� �4

405� � �4

5� � �13

� � 2�4

5� � �12

� � 3�4

5� � �4

5� � ��161� �

45�

c) 2 � �2 � 3�2� �2

� �2 � 3�2� � � �2 � 3�2� � � 2�4 � 8 � 12�2� � � 4 � 18 � 30 � 24�2�

�2� � �2� � �3� � �3����

�6�

�x�x���

�3

x�

3�45 � 340 � 580

���370 � 535 � 3�60 � 5�60

�23

2

2� � �

32

3

6�

�24

1� 33�

��32

���2

� ��43

���3

��2�4 � 3�3

�x�x���

�3

x�

�—3

2—�

�2

� �—4

3—�

�3

——2�4 � 3�3

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1.52. Racionaliza los denominadores.

a) —a�

6

a

a 8�— b) —

2�35

y

y 2�— c) —

2�x

x

2

2�— d) —

1 �

�2��2�— e) —

�3�2�

6��2�

— f) —2�3�

6��

6�3�2�—

a) �a�

6

a

a 8�� � �

a�6

1

a 2�� � �

a�13

a�� � �

a�3

�3

a�a

�3

2�a 2�

� � ��3

aa2

2��

b) �2�

35

y

y 2�� � �

2�5

3

y

y2��5

y

3�5

y 3�� � �

3y2�5

yy 3�

� � �3�5

2y 3��

c) �2�

x

x

2

2�� � � � �

�x2� 2��

d) �1 �

�2��2�� � � �

�12�

��

22

� � 2 � �2�

e) ��3�

2��

6��2�

� � � �2�18�

3��

22

�12�� � 6�2� � 4�3�

f) �2�3�

6��

6�3�2�

� � � � 3�12� � 2�18� � 6�3� � 6�2�

Números combinatorios. Binomio de Newton

1.53. Calcula las siguientes operaciones.

a) � � b) � � � � � c) � � � � � � � � � � � d) � � � � �a) � �� � �� 31626

b) � �� � �� � �� 14950

c) � �� � �� � �� � �� 1 � 4 � 6 � 4 � 15

d) � �� � �� � �� � �� � �� �

1.54. Simplifica las siguientes expresiones.

a) —6

5

!

!— � —

8

6

!

!— b) —

(n �

n!

1)!— � —

(n �

n!

2)!— c) d)

a) �65!!

� � �86!!

� � 6 � 8 � 7 � 6 � 56 � 62

b) �(n �

n!1)!

� � �(n �

n!2)!

� � n � (n � 2)(n � 1) � n � n 2 � 3n � 2 � n 2 � 4n � 2

c) � � �

� � � (n � 1)(n � 2) � n 2 � 3n � 2

d) � � 2�2 � 2 � n! � �n2!

n 3 � 9n 2 � 20n � 12���

n � 6n 3 � 6n 2 � 11n � 6 � 3n 2 � 9n � 6�����

n � 6

��n �3

3�� � ��n �

22

�����

�n �

66

��n �n

3�� � ��n �

n2

�����

�n �

66

2 n � 3 � (n � 2)!——

2 n � 1 � �—n �

2

2—�

�—n �

n

3—� � �—n �

n

2—�

————n �

6

6—

n 3 � 6n 2 � 11n � 6���

6(n � 3)(n � 2)(n � 1)���

6n � 3

3n � 2

3n � 2

2n�2n � 1

n�22

43

42

41

40

264

254

253

2522

252250

n � 2

n � 1

n � 2

2

4

3

4

2

4

1

4

0

25

4

25

3

252

250

12�18� � 18�12����

12 � 186�6� � �2�3� � 3�2� �

�����2�3� � 3�2 � � �2�3� � 3�2� �

2�6� ��3� � �2� ������3� � �2� � � ��3� � �2� �

�2� � �1 � �2� �����1 � �2� � � �1 � �2� �

(x � 2) � �x � 2����

2(x � 2)(x � 2) � �x � 2����2�x � 2��x � 2�

� �n 2 � 3

2n � 2�

n 3 � 6n 2 � 11n � 6���

6

�n �

66

2n � 3 � (n � 2)!

2n � 1 � ��n �2

2��

2n � 3 � n � 1(n � 2)!

�(n2!

� n2!)!

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Solucionario

1.55. (TIC) Realiza los desarrollos de los siguientes binomios.

a) (2 � x)4 e) �1 � 2�2��2

b) �2 � —3

x—�

3

f) �2 � 3�3��3

c) �—2

x— � —

x

22—�

5

g) �—�2

2�— � �2��

4

d) �2x 2 � —3

x—�

6

h) �5�2� � 2�3��3

a) (2 � x)4 � � � � 24 � � � � 23 � x � � � � 22 � x 2 � � � � 2 � x 3 � � � � x 4 � 16 � 32x � 24x 2 � 8x 3 � x 4

b) �2 � �3x

��3

� � � � 23 � � � � 22 � �3x

� � � � � 2 � ��3x

��2

� � � � ��3x

��3

� 8 � 4x � �23

� x 2 � �217�x 3

c) ��2x

� � �x2

2��5

� � � � ��2x

��5

� � � � ��2x

��4

� �x2

2� � � � � ��2x

��3

� ��x2

2��2

� � � � ��2x

��2

� ��x2

2��3

� � � � �2x

� � ��x2

2��4

� � � � ��x2

2��5

� �3x2

5

� � 5 � �1x6

4

� � �x2

2� � 10 � �x8

3

� � �x4

4� � 10 � �x4

2

� � �x8

6� � 5 � �2x

� � �1x68� � �

x3

1

20� � �

3x2

5

� � �58x 2

� � �5x

� � �2x04� � �

4x07� � �

x3

1

20�

d) �2x2��3x��

6

�� ��(2x2)6�� ��(2x2)5

��3x��� ��(2x2)4

���3x��

2

�� ��(2x2)3���

3x��

3

�� ��(2x2)2���

3x��

4

�� ��2x2���3x��

5

�� ����3x��

6

� 64x12 � 576x9 � 2160x6 � 4320x3 � 4860 � �29

x13

6� � �

7x2

6

9�

e) �1 � 2�2� �2

� 1 � 8 � 4�2� � 9 � 4�2�

f) �2 � 3�3� �3

� 8 � 3 � 4 � 3�3� � 3 � 2 � 27 � 81�3� � 170 � 117�3�

g) ���2

2�� � �2��

4

� ��2 � ��

2�2�

� �2���

4

� ���4

2���

4

� �2546

� � 64

h) �5�2� � 2�3� �3

� 125 � 2�2� � 3 � 50 � 2�3� � 3 � 5�2� � 12 � 24�3� � 430�2� � 324�3�

1.56. Calcula el término que se indica en cada uno de los siguientes desarrollos.

a) El quinto término de (2 � x)8

b) El tercer término de �—2

3— � —

3

x—�

6

c) El último término de (2a 2b � 3a 3)7

a) T5 � � � 24 � x4 � 70 � 16 � x 4 � 1120x 4

b) T3 � � � � ��23

��4

� ��3x

��2

� 15 � �1861� � �

x9

2� � �

38x0

2�

c) T8 � �� � � (3a 3)7� �2187a 217

7

62

84

66

65

64

63

62

61

60

55

54

53

52

51

50

33

32

31

30

44

43

42

41

40

Page 14: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

1

�2�——

1——

Logaritmos

1.57. Aplicando la definición, calcula el valor de los siguientes logaritmos.

a) log2 —1

8— c) log —

10

1

00— e) log�8� �2�2�� g) log�2� �2�2��

3

b) log —19

——1

3— d) log —1

3— �27� f) log �3� �—

1

9—� h) log —1

2— �

3

64�

a) log2 �18

� � x ⇒ 2x � �18

� � 2�3 ⇒ x � �3

b) log�19�

�13

� � x ⇒ ��19

��x

� �13

� ⇒ 9�x � 3�1 ⇒ 3�2x � 3�1 ⇒ 2x � 1 ⇒ x � �12

c) log �10

100� � x ⇒ 10x � 10�3 ⇒ x � �3

d) log�13� �27� � x ⇒ ��

13

��x

� 27 �12� ⇒ 3�x � 3 �

32� ⇒ x � ��

32

e) log �8� �2�2� � � x ⇒ ��8��x � 2�2� ⇒ 2 �32x�

� 2 �32� ⇒ �

32x� � �

32

� ⇒ x � 1

f) log �3� ��19

�� � x ⇒ ��3��x � 3�2 ⇒ 3 �2x

�� 3�2 ⇒ x � �4

g) log �2� �2�2� �3

� x ⇒ ��2��x � �2�2� �3

⇒ 2 �2x

�� 2 �

92� ⇒ x � 9

h) log�12� �

364� � x ⇒ ��

12

��x

� 2 �63� ⇒ 2�x � 22 ⇒ x � �2

1.58. Calcula, si es posible, el valor de x en cada una de las siguientes expresiones.

a) logx 8 � �3 c) log3 (�81) � x e) logx �2� � 0 g) log3 x � �1

b) log� 3 x � 9 d) log x � �2 f) log1 2 � x h) log —1a

— a2 � x

a) log x 8 � �3 ⇒ x�3 � ��12

���3

⇒ x � �12

� e) log x �2� � 0. No existe x.

b) log�3 x � 9. No está definido. f) log1 2 � x. No está definido.

c) log3 (�81) � x. No está definido. g) log3 x � �1 ⇒ x � �13

d) log x � �2 ⇒ x � ���1

2���

�2

� 2 h) log�1a�a 2 � x ⇒ ��

1a

��x

� a 2 ⇒ a�x � a 2 ⇒ x � �2

1.59. Sabiendo que log2 � 0,301 y que log3 � 0,477, calcula los logaritmos decimales de los siguientes números.

a) 250 b) 0,72 c) 5,4 d) �18� e) �4

6� f) 2,4

a) log250 � log�10

400� � log1000 � log4 � 3 � log22 � 3 � 2log2 � 2,398

b) log0,72 � log�17020

� � log(23 � 32) � log100 � 3log2 � 2log3 � 2 � �0,143

c) log5,4 � log�5140� � log54 � log10 � log(33 � 2) � 1 � 3log3 � log2 � 1 � 0,7302

d) log�18� � �log

218� � �

log(22

� 32)� � �

log2 �

22log3� � 0,628

e) log�4

6� � �14

� log6 � �14

� (log2 � log3) � 0,1945

f) log2,4 � log�2140� � log23 � log3 � log10 � 3log2 � log3 � 1 � 0,38

�2�

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Solucionario

1.60. Sabiendo que log3 2 � 0,631 y que log3 5 � 1,465, calcula el valor del logaritmo en base 3 de 150.

log3 150 � log3 (2 � 3 � 52) � log3 2 � log3 3 � 2log3 5 � 0,631 � 1 � 2 � 1,465 � 4,561

1.61. Toma logaritmos decimales en las siguientes igualdades y desarrolla las expresiones.

a) P � 10x 3yz 3 c) R � 3—2x

3

2

z

�3y 5

— e) y � —a

�3

x 2�x

b) Q � —x

10

0x

y

2

— d) x � a 4 � b 3 � c—32

—f) x � y � —

(m

m

2n

2

)

n

� n 2

a) P � 10x 3yz 3 ⇒ logP � 1 � 3logx � logy � 3logz

b) Q � �x10

�0x

y

2

� ⇒ logQ � 2 � 2logx � log(x � y)

c) R � 3 �2x

3

2

z

�3y 5

� ⇒ logR �

d) logx � 4loga � 3logb � �32

� logc

e) logy � �23

� logx � loga � logx � �loga � �13

� logx

f) logx � logy � log(m � 2n) � 2logn � log(m � 2n)

1.62. Expresa el valor de E en cada caso sin que aparezcan logaritmos.

a) logE � 2 � 3logx � logy � 5logz c) logE � log(x � 2y) � log(x � 2y)

b) logE � 3log2 � 4logx � 3logy � 2logz d) logE � 3log(x � 10) � log—(2x �

3

20)— � log —

3

2—

a) logE � log100 � logx 3 � logy � logz 5 � log�x

13

0

0

z

y5

� ⇒ E � �x

13

0

0

z

y5

b) logE � 3log2 � 4logx � 3logy � 2logz ⇒ E � �x

84

y

z

3

2�

c) logE � log(x � 2y) � log(x � 2y) ⇒ E � (x � 2y) � (x � 2y) � x 2 � 4y 2

d) logE � 3log(x � 10) � log�(2x �

320)

� � log �32

� ⇒ E � �2

9

(

(

2

x

x

1

2

0

0

)3

)� � �

94

� (x � 10)2

1.63. (TIC) Con la ayuda de la calculadora, obtén aproximaciones decimales hasta las milésimas de los siguientes

logaritmos.

a) log3 20 c) log0,5 60 e) log �2� �3�

b) log —14

——7

5— d) log �2� 3 f) log —2

5— �

3

2�

a) log320 � �lologg230

� � 2,727 d) log �2� 3 � �lo

lo

g

g

�3

2�� � 3,17

b) log�14�

�75

� � � �0,243 e) log �2� �3� � �l

l

o

o

g

g

��

3�2�

� � 1,585

c) log0,560 � �lloogg06,05

� � �5,907 f) log�25� �

32� � � �0,252

log�3

2��

log �25

log2 � 2logx � 5logy � log3 � 3logz�����

3

log �75

log �14

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1.64. Calcula el valor de x en cada caso.

a) 2500 � 2000 � 1,05 x d) 0,025 � 0,5 � e x

b) 20 � log x 5 � 15 e) 3 � 10�5 � 2�50x

c) 2 � 106 � x12 f) log x 5 � 1 � log x 2

a) 1,05x � �22500000

� � �54

� ⇒ log1,05 x � log1,25 ⇒ x log1,05 � log1,25 ⇒ x � �l

l

o

o

g

g

1

1

,

,

2

0

5

5� � 4,574

b) 5 � log x 5 ⇒ x 5 � 5 ⇒ x � �5

5� � 1,38

c) x � �12

2 � 10�6� � 3,35

d) e x � �0,00,255

� � 0,05 ⇒ x � ln0,05 � �2,996

e) log(3 � 10�5) � �50x � log2 ⇒ x � �log

(530�

lo1g02

�5)� � 0,3

f) logx 5 � logx x � logx 2 ⇒ logx 5x � logx 2 ⇒ 5x � 2 ⇒ x � �25

PROBLEMAS

1.65. Al realizar una encuesta sobre el interés de los habitantes de una localidad en relación con los equipos in-

formáticos, se observó que exactamente el número de encuestados que contestaron que en su casa había

más de un ordenador era el 40,454545…% del total.

¿Cuántas personas formaban parte de la muestra si se sabe que eran menos de 300?

N � �40,

1405045...� � 0,40454545... ⇒ � ⇒ N � �

49090050

� � �28290

Para calcular el número de encuestados que contestaron que tenían más de un ordenador, se debe multiplicar el

total por la fracción irreducible �28290

�. Por tanto, el número total de encuestados debe ser múltiplo de 220 y, al ser

menor que 300, es exactamente 220.

1.66. En una clase se realiza una encuesta sobre las aficiones deportivas. El 92,592592592...% del total de la cla-

se contesta que practica algún deporte, y la mitad, que le gusta el fútbol.

Si la clase tiene como máximo 35 alumnos, razona si son posibles los datos anteriores.

N � �92,5

19020592...� � 0,92592592... ⇒ � ⇒ N � �

992959

� � �28290

� � �2257�

Para calcular el número de alumnos que contestaron que practican un deporte, se debe multiplicar el total por la

fracción irreducible �2257�. Por tanto, el número total de encuestados debe ser múltiplo de 27.

Pero también debe ser par, ya que la mitad afirma que le gusta el fútbol.

En consecuencia, el mínimo número de alumnos en la clase es de 54. Por tanto, los datos no son correctos.

1000N � 925,925925...N � 0,925925...

10000N � 4045,454545...100N � 40,454545...

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Solucionario

1.67. Calcula de forma exacta el número irracional que representa la relación entre la diagonal de un pentágono

regular y su lado. Comprueba que se trata del número áureo.

Para ello, sigue los siguientes pasos:

• Demuestra que los triángulos DFC y DBC son semejantes calculando

sus ángulos.

• Demuestra que el triángulo BFC es isósceles.

• Aplicando el teorema de Tales, calcula la relación entre los lados que

corresponden a la diagonal y el lado del pentágono.

El ángulo interior de un pentágono regular es � 108�.

El triángulo DBC es isósceles, y sus ángulos miden 108�, 36� y 36�.

El triángulo DFC es también isósceles, y sus ángulos miden 36�, 36� y 108�. Por tanto, DFC y DBC son seme-jantes.

El ángulo BCF mide 108� � 36� � 72�. El ángulo BFC mide 180� � 108� � 72�. Por tanto, BFC es isósceles.

Suponiendo un pentágono regular de lado 1:

Aplicando el teorema de Tales a los triángulos semejantes:

�DD

CB� � �

DD

CF� ⇒ �

1x

� � �x �

11

� ⇒ x 2 � x � 1 ⇒ x 2 � x � 1 � 0 ⇒

⇒ x � �1 � �

21 � 4�� � �

1 �2

�5��

(En la ecuación de segundo grado, la otra solución es negativa y no tiene sentido.)

x � �DD

CB� � �

1 �2

�5�� �

1.68. Demuestra que el número áureo verifica las siguientes propiedades.

a) �2 � � � 1 b) � � 1 � —�

1— c) �3 � —

1

1—

a) �2 � ��1 �2

�5���

2

� �1 � 5

4� 2�5�� � �

6 �42�5�� � �

3 �2

�5�� � 1 � �

1 �2

�5�� � 1 � �

b) �2 � 1 � � ⇒ ���

2

� � �1 �

��

� ⇒ � � ��1

� � 1 ⇒ � � 1 � ��1

c) �3 � �2 � � � (1 � �) � � � � ���

��

11

1.69. El área de un cuadrado es de 10,5 cm2. Calcula las áreas de sus círculos inscrito y circunscrito, redonde-

ando los resultados con dos cifras decimales.

El lado del cuadrado mide x � �10,5� � 3,24 cm.

La diagonal del cuadrado mide �2 � 10�,5� � 4,58 cm.

Área del círculo inscrito: S � � � r 2 � � � ��3,

2

24��

2

� 8,2 cm2

Área del círculo circunscrito: S � � � r 2 � � � ��4,

2

58��

2

� 16,5 cm2

(2 � 5 � 4) � 90����

5

E B

A

D C

Fx _ 1

x

F

D C

E B

A

1 � ��

��1

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1.70. Calcula la medida de la diagonal de un paralelepípedo cuyos lados miden �10�, �8� y �5� cm, respectiva-

mente. ¿Qué tipo de número es el resultado?

Aproxima el resultado redondeando a dos decimales y calcula los errores absoluto y relativo cometidos.

d � ���10���2� ���8� �

2����5� �

2� � �23� cm. La medida de la diagonal es un número irracional.

Redondeando, �23� � 4,80 cm.

Error absoluto: Ea � |�23� � 4,80| � 0,004

Error relativo: Er � �0

4

,0

,8

0

0

4� � 0,0008

1.71. La diagonal de un cubo mide exactamente 1,252 cm. Halla la superficie del cubo aproximando su diagonal

por 1,25 cm. Calcula el error relativo cometido.

Usando el valor aproximado: d � �a 2 ��a 2 ��a 2� ⇒ 1,25 � �3a 2� � a�3� ⇒ a � �1

�,2

3�5

� ⇒

⇒ S � 6a 2 � �6 �

31,252

� � 3,125 cm2

Usando el valor real: a � �1

�,25

3�2

� ⇒ S � 6a 2 � �6 � 1

3,2522

� � 3,135008 cm2

Error relativo: Er � � 0,003

1.72. En la tabla siguiente aparecen las medidas de una niña y de una torre.

Indica cuál de las dos medidas ha sido más precisa y justifica tu respuesta.

En el primer caso, el error relativo es �922� � �

416�. En el segundo, el error relativo es �

318�.

La medida de la niña es más precisa, ya que el error relativo es menor.

1.73. Javier pretende colocar césped artificial en un jardín cuadrado del que sabe que su lado está comprendido

entre 15 y 16 metros.

El coste de cada metro cuadrado de dicho césped asciende a 30 euros y 10 céntimos, y el presupuesto

con el que cuenta es de 7000 euros.

Calcula los costes máximo y mínimo, y decide si la obra podrá ser emprendida.

15 � lado � 16 ⇒ 225 � área � 256 ⇒ 6772,5 � coste � 7705,6

Por tanto, el presupuesto podría ser insuficiente.

1.74. El radio de la rueda de una bicicleta tiene una longitud comprendida entre 19 y 20 cm.

Calcula los números máximo y mínimo de vueltas completas que dará al recorrer una distancia de 20 km.

19 � r � 20 ⇒ 119,38 � longitud rueda � 125,67 ⇒ �2102050,60700

� � n.º de vueltas � �2101090,30800

� ⇒ ⇒ 15914 � vueltas � 16754

3,135008 � 3,125���

3,135008

Altura

Real Obtenida con instrumento de medida

92 cm 90 cm

38 m 37 m

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Solucionario

1.75. Si un automóvil que costó 14425 euros se deprecia un 15% anual, ¿cuánto valdrá a los 6 años?

¿Cuántos años deben pasar para que su valor sea inferior a 3600 euros?

A los 6 años, el coche valdrá V6 � 14425 � 0,856 � 5440,38 euros.

Para calcular dentro de cuántos años su valor será inferior a 3600 euros, se resuelve la siguiente inecuación:

14425 � 0,85 t � 3600 ⇒ 0,85 t � �134640205

� ⇒ t � log0,85 � log�134640205

� ⇒ t � 8,54

Deberán pasar, al menos, 9 años.

1.76. Se llama unidad astronómica (UA) a la distancia media que separa la Tierra del Sol y que equivale a

1,49598 � 108 km.

a) Sabiendo que el 1 de enero la distancia entre la Tierra y el Sol es de 1,471 � 108 km, exprésala en uni-

dades astronómicas.

b) Sabiendo que la distancia media entre Júpiter y el Sol es de 5,2 UA, exprésala en kilómetros.

a) �11,4,4975198

101

8

08� � 0,9833 UA b) 5,2 � 1,49598 � 108 � 7,779 � 108 km

1.77. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50%. Si en el momento inicial había 100 conejos:

a) ¿Cuántos habrá al cabo de 10 años?

b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30000?

c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al 10%, ¿cuánto tiempo tardaría la población

inicial en triplicarse?

a) t � 10 ⇒ P (10) � 100 � 1,510 � 5766,5 ⇒ Habrá 5766 conejos

b) 100 � 1,5 t � 30000 ⇒ 1,5 t � 300 ⇒ t � �lloogg310,50

� � 14,06 años

c) 100 � 1,1 t � 300 ⇒ 1,1 t � 3 ⇒ t � �lologg13,1

� � 11,53 años

1.78. El valor de una vivienda, cuando han pasado t años desde su adquisición, es V � k � e� � t.

La vivienda se compró por 250000 euros, y a los 10 años valía 450000.

a) Calcula el valor de k y �.

b) Calcula el valor de la vivienda a los 20 años.

c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir desde la compra, para que el valor de la vivienda se triplique?

d) Un trabajador que gana el salario medio puede comprar una vivienda de 90 metros cuadrados. Si el sa-

lario medio aumenta un 3% cada año, al cabo de 10 años, ¿cuál será la superficie de la vivienda que po-

dría comprar el mismo trabajador? (supón que el resto de sus condiciones de vida no han variado.)

a) � ⇒ k � 250000 ⇒ e 10� � �425500

000000

� � 1,8 ⇒ � � �110� ln1,8 � 0,0588 ⇒

⇒ V � 250000 � e 0,0588t

b) V � 250000 � e 0,0588 � 20 � 810000

c) 3V � V � e0,0588t ⇒ t � �0,0

ln5388� � 18,68 años

d) Si el salario medio inicial es S0 , dentro de 10 años dispondrá de un salario S � S0 � 1,0310 � 1,34 � S0.

Inicialmente podía pagar con su salario 90 m2, por lo que el precio del m2 salía por V0 � �9S00�.

Después de 10 años, el m2 sale por V � �9S00� � e 0,0588 � 10 � 0,02 S0 .

Con su salario podrá comprar un piso de �10,,3042

SS

0

0� � 67 m2.

t � 0 ⇒ k � e � � 0 � k � 250000t � 10 ⇒ k � e 10� � 450000

Page 20: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

1.79. Según la escala de Richter, las magnitudes de los terremotos se obtienen mediante la fórmula:

M � —l

1

o

,

g

44

E— � 3,64

siendo E la energía liberada por el seísmo en julios.

La energía liberada por un terremoto de magnitud 6,4 fue 200 veces la energía liberada por una de sus ré-

plicas. Calcula la magnitud de esta réplica.

Energía del terremoto: 6,4 � �l1o,g44

E� � 3,64 ⇒ logE � 14,4577 ⇒ E � 2,87 � 1014 julios

Energía de la réplica: Er � �2,87

20�01014

� � 1,43 � 1012 julios

Magnitud de la réplica: Mr � �log(1,

14,344

� 1012)� � 3,64 � 4,8

PROFUNDIZACIÓN

1.80. Sea a un número positivo y diferente de la unidad. Demuestra que la suma de a y su inverso es siempre su-

perior a 2.

a � 0 y a � 1

��a� � ��1

a���

2

� 0 ⇒ a � �1a

� � 2���

a�a�� � a � �

1a

� � 2 � 0 ⇒ a � �1a

� � 2

1.81. Demuestra que si a, b y c son números positivos y diferentes, entonces se verifica la siguiente desigualdad.

(a � b � c) � �—1

a— � —

b

1— � —

1

c—� � 9

Utilizando el ejercicio anterior:

(a � b � c) � ��1a

� � �1b

� � �1c

�� � �aa

� � �ba

� � �ca

� � �ba

� � �bb

� � �bc

� � �ca

� � �bc

� � �cc

� �

� 1 � 1 � 1 � �ba

� � �ba

� � �ca

� � �ca

� � �bc

� � �ca

� � 3 � 2 � 2 � 2 � 9

1.82. Demuestra que �3� es un número irracional.

Supongamos que es racional y que, por tanto, lo podemos escribir mediante una fracción irreducible:

�3� � �ba

� ⇒ a � b�3� ⇒ a 2 � 3b 2 ⇒ a 2 es múltiplo de 3 ⇒ a es múltiplo de 3

a � 3� ⇒ a 2 � 9�2 ⇒ 3b 2 � 9�2 ⇒ b 2 � 3�2 ⇒ b 2 es múltiplo de 3 ⇒ b es múltiplo de 3.

Como a y b son ambos múltiplos de 3, la fracción �ba

� no es irreducible.

Se ha llegado a una contradicción con lo supuesto, lo cual quiere decir que es falso; por tanto, �3� no se puedeescribir como una fracción; es decir, es irracional.

1.83. Representa en la recta real el número irracional —3

5— � �5�.

Se dibujan �35

� y �5� y se suman con ayuda del compás.

10 2__35

5

1

__35

5+

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Solucionario

1.84. Desarrolla la expresión |1 � |x || omitiendo los valores absolutos.

Como 1 � |x | � 0 ⇒ |1 � |x || � 1 � |x | � �

1.85. Representa en la recta real el conjunto de valores reales x tales que �2x � —1

3— � � 1 y determínala median-

te un intervalo.

�2x � �13

� � � 1 ⇒ � � � �12

� ⇒ �x � �16

� � � �12

� ⇒ ���31�, �

23

��

1.86. En la siguiente tabla se representan de distinta forma varios conjuntos de números reales. Completa la ta-

bla, representando, cuando sea posible, los diferentes conjuntos de cuatro formas diferentes.

1.87. Sabiendo que log2 3 es un número real comprendido entre 1,58 y 1,59, calcula dos números reales, lo más

próximos posible, entre los que se encuentre el valor de log2 27.

1,58 � log2 3 � 1,59 ⇒ 3 � 1,58 � 3log2 3 � 3 � 1,59 ⇒ 4,74 � log2 27 � 4,77

1.88. Racionaliza el denominador de estas expresiones.

a) —2 � �2�

1

� �3�— b)

a) �2 � �2�

1

� �3�� � � � �

2 �

3��

2�4�

2��3�

� �

� � �

b) �2 �

1

�3

2�� � � �

� �4 � 2

8�3

2�2� �3

4�� � ��

4 � 2�3

62� � �3

4��

[Aplicando que a 3 – b 3 = (a – b) � (a 2 + ab + b 2).]

4 � 2�3

2� � �3

4������8 � 4�

32� � 2�

34� � 4�

32� � 2�

34� � �

38�

4 � 2�3

2� � �3

4������2 � �

32� � � �4 � 2�

32� � �

34� �

�2 �5�2� � 3�3� � 4�6�����

�236 � 8�2� � 3�2� � 8 � 3�3� � 4�6������

9 � 32�2 � �2� � �3� ��3 � 4�2� �����

�3 � 4�2� ��3 � 4�2� �

2 � �2� � �3����4 � 2 � 4�2� � 3

2 � �2� � �3������2 � �2� � �3� ��2 � �2� � �3� �

1—2 � �

3

2�

2x � �13

��

2

1 � x si x 01 � x si x � 0

Intervalos Desigualdad Valor absoluto Gráficamente

{�3 � x � 1}

(��, 1) � (2, ��)

|x | � 3

0( )

_1 __23

1_1___3

50

Intervalos Desigualdad Valor absoluto Gráficamente

[�3, 1] �3 � x � 1 |x � 1| � 2

(��, 1) � (2, ��) {x � 1} � {x � 2} | x � 1,5| � 0,5

(�, �3) � (3, �) {x � �3} � {x � 3} |x | � 3

[0, 5] 0 � x � 5 |x � 2,5| � 2,550

Falta 354336

Falta 354337

Falta 354338

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1.89. Calcula dos números enteros y positivos m y n tales que �8 � ��60�� � �m� � �n�.

��8 � ��60���2

� ��m� � �n� �2

⇒ 8 � 2�15� � m � n � 2�m � n� ⇒ � ⇒ m � 3, n � 5

1.90. a) Calcula los desarrollos de (1 � x)n y (x � 1)n.

b) Escribe el coeficiente de xn en el producto de los polinomios (1 � x)n � (x � 1)n.

c) Con ayuda de la igualdad:

(1 � x)n � (x � 1)n � (1 � x)2n

y del coeficiente hallado en el apartado anterior, demuestra que:

� �2

� � �2

� � �2

� ... � � �2

� � �2

� � �

a) (1 � x)n � � � � � �x � � �x 2 � ... � � �x n

(x � 1)n � � �x n � � �x n � 1 � � �x n � 2 � ... � � �b) El coeficiente de x n en (1 � x)n (x � 1)n es � � � � � � � � � � � � ... � � � � � � � � �

2

� � �2

� ... � � �2

.

c) El término de x n en el desarrollo (1 � x)2n es Tk � � �x k � 1 ⇒ k � 1 � n ⇒ k � n � 1

El coeficiente de x n en el desarrollo (1 � x)2n es � � � � �.

De los apartados b y c se deduce que � �2

� � �2

� ... � � �2

� � �.2nn

nn

n1

n0

2nn

2nn � 1 � 1

2nk � 1

nn

n1

n0

nn

nn

n1

n1

n0

n0

nn

n2

n1

n0

nn

n2

n1

n0

2n

n

n

n

n

n � 1

n

2

n

1

n

0

m � n � 8m � n � 15

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Solucionario

ACTIVIDADES INICIALES

I. Determina si los siguientes números reales son raíces del polinomio P(x) � x 3 � 6x 2 � 3x � 10.

x � 1 x � �1 x � 2 x � �2 x � 5

Los números dados se sustituyen directamente en el polinomio:

P (1) � 13 � 6 � 12 � 3 � 1 � 10 � 8 � 0 ⇒ 1 no es raíz de P (x);

P (�1) � (�1)3 � 6 � (�1)2 � 3 � (�1) � 10 � 0 ⇒ �1 es raíz de P (x)

P (2) � 23 � 6 � 22 � 3 � 2 � 10 � 0 ⇒ 2 es raíz de P (x);

P (�2) � (�2)3 � 6 � (�2)2 � 3 � (�2) � 10 � �28 � 0 ⇒ �2 no es raíz de P (x)

P (5) � 53 � 6 � 52 � 3 � 5 � 10 � 0 ⇒ 5 es raíz de P (x).

II. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) � b) �a) � ⇒ � ⇒ � b) � ⇒

(�1) �

EJERCICIOS PROPUESTOS

2.1. Realiza las siguientes operaciones con polinomios.

a) (3x 2 � 2x � 5) � (2x 2 � x � 3)

b) (2x � 3) � (�2x 2 � 2) � x(�2x 2 � x � 1)

c) 4(x 3 � x � 3) � 2(x 2 � 3x) � (�2x � 5)

a) (3x 2 � 2x � 5) � (2x 2 � x � 3) � 6x 4 � 3x 3 � 9x 2 � 4x 3 � 2x 2 � 6x � 10x 2 � 5x � 15 � 6x 4 � 7x 3 � 17x 2 � 11x � 15

b) (2x � 3) � (�2x2 � 2) � x(�2x2 � x � 1) � �4x3 � 4x � 6x2 � 6 � 2x3 � x2 � x � �6x3 � 7x2 � 5x � 6

c) 4(x 3 � x � 3) � 2(x 2 � 3x) � (�2x � 5) � 4x 3 � 4x � 12 � 4x 3 � 10x 2 � 12x 2 � 30x � 8x 3 � 2x 2 � 34x � 12

2.2. Efectúa las siguientes divisiones.

a) (3x 3 � 2x 2 � x � 5) � (3x 2 � 2) b) (3x 4 � 2x 2 � x � 4) � (x � 2) c) (x 3 � 3x 2 � x � 6) � (2x � 3)

a) b)

c) Como el divisor no es de la forma x � a, antes de aplicar Ruffini se dividen el dividendo y el divisor por 2.

� � �12

� x 2 � �94

� x � �283� �

Para obtener el resto se multiplica por 2 el último término

R � 2 � ���2116�� � ��

281�

�281�

x � �32

�12

� x 3 � �32

� x 2 � �12

� x � 3���

x � �32

x 3 � 3x 2 � x � 6���

2x � 3

2x�y�24��x�y��15

x�9 ⇒ y��6

2x�y�24x�y�15

y��1x�3

5(12�9y)�4y�19x�12�9y

5x�4y�19x�9y�12

2(x � 1) � (y � 2) � 24

3�—3

x— � y� � 2y � 15

3x � 2(x � 2y) � 19

—3

x— � 3y � 4

2 Ecuaciones, sistemas e inecuaciones

�3x 3 � 2x 2 � x � 5 3x 2 � 2

�3x 3 � 2x 2 �2x 3x � �23

� (cociente)

�3x 3 � 2x 2 � x � 5

�3x 3 �2x 2 � �43

�3x 3 � 2x 2 x�2x 2 � x � �139� (resto)

Como el divisor es de la forma x � a, se aplica la re-gla de Ruffini.

�2 3 �0 �2 �10 24

�2 3 �6 12 �20 42

�2 3 �6 10 �21 46

Cociente: 3x 3 � 6x 2 � 10x � 21. Resto: 46

��32

� �12

� ��32

� ��12

� 3

��32

� �12

� ��34

� �287� ��

6196�

��32

� �12

� ��94

� �283� ��

2116�

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2.3. Halla, sin hacer la división, el valor de m para que el polinomio 2x 4 � 9x 3 � 2x 2 � 6x � 3m tenga por resto

12 al dividirlo por x � 2.

Por el teorema del resto se tiene:

12 � 2 � (�2)4 � 9 � (�2)3 � 2 � (�2)2 � 6 � (�2) � 3m ⇒ 12 � � 20 � 3m ⇒ m � �332�

2.4. Calcula el valor de k para que el polinomio:

a) P(x) � x 3 � x 2 � 2x � k sea divisible por x � 2.

b) P(x) � x 3 � 2x 2 � kx � 4 sea divisible por x � 2.

a) Por el teorema del factor se tiene: 23 � 22 � 2 � 2 � k � 0 ⇒ 8 � 4 � 4 � k � 0 ⇒ k � �8

b) Por el teorema del factor se tiene: (�2)3 � 2 � (�2)2 � k � (�2) � 4 � 0 ⇒ �8 � 8 � 2k � 4 � 0 ⇒ k � �6

2.5. En cada caso, factoriza el polinomio dado y halla sus raíces enteras.

a) *x 4 � 4x 3 � 2x 2 � 4x � 3 e) 6x 3 � 11x 2 � 6x � 1

b) 9x 2 � 12x � 4 f) x 4 � 4x 3 � 3x 2 � 11x � 6

c) x 4 � 16 g) x 4 � 3x 3 � 3x 2 � 3x � 2

d) 2x 3 � 5x 2 � x � 6 h) x 6 � 9x 4

a) Aplicando la regla de Ruffini dos veces:

1 1 �4 �2 �4 �31 1 �1 �3 �1 �31 1 �3 �1 �3 �01 1 �1 �2 �31 1 �2 �3 �0

Así: x 4 � 4x 3 � 2x 2 � 4x � 3 � (x � 1)2(x 2 � 2x � 3)

Se calculan las dos últimas raíces:

x � �2 � �

2

4 � 1�2�� � �

2 �2

4� ⇒ � ⇒

⇒ x 4 � 4x 3 � 2x 2 � 4x � 3 � (x � 1)2(x � 1)(x � 3)

Raíces enteras: �1, 1 (doble) y 3.

b) x � � ��12

18� 0� � ��

23

Así, 9x 2 � 12x � 4 � 9�x � �23

��2

� (3x � 2)2

No tiene raíces enteras.

c) Se utilizan las igualdades notables:

x 4 � 16 � (x 2)2� 42 � (x 2 � 4) � (x 2 � 4) �

� (x 2 � 22)(x 2 � 4) � (x � 2)(x � 2)(x 2 � 4)

Raíces enteras �2 y 2.

d) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

1 2 5 �1 �61 2 2 �7 �61 2 7 �6 �0

Por lo tanto:

2x 3 � 5x 2 � x � 6 � (x � 1)(2x 2 � 7x � 6)

Se calculan las raíces del cociente obtenido:

x � � ��7

4� 1� ⇒ �

⇒ 2x 3 � 5x 2 � x � 6 � 2(x �1)(x � 2)�x � �32

��Las raíces enteras son �2 y 1.

e) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

�1 6 11 �6 �1�1 6 �6 �5 �1�1 6 �5 �1 �0

De esta forma:

6x 3 � 11x 2 � 6x � 1 � (x � 1)(6x 2 � 5x � 1)

Ahora se calculan las otras dos raíces:

x � � ��5

1�2

1� ⇒ �

⇒ 6x3 � 11x2 � 6x � 1 � 6(x � 1)�x � �12

���x � �12

��Luego la única raíz entera es �1

f) Es un ejemplo de polinomio sin raíces enteras y queno se puede factorizar de forma sencilla.

g) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

1 1 �3 �3 �3 �21 1 �1 �2 �1 �21 1 �2 �1 �2 �0

Así se llega a:

x 4 �3x 3 � 3x 2 � 3x � 2 � (x � 1)(x 3 � 2x 2 � x � 2)

Usando de nuevo la regla de Ruffini:

2 1 �2 1 �22 1 �2 0 �22 1 �0 1 �0

Con lo que:

x 4 � 3x 3 � 3x 2 � 3x � 2 � (x � 1)(x � 2)(x 2 � 1)

que ya no puede factorizarse más en R.

Las raíces enteras son �1 y 2.

h) Se extrae factor común y se utilizan las identidades no-tables: x 6 � 9x 4 � x 4(x 2 � 9) � x 4 (x � 3)(x � 3)

Las raíces enteras son �3, 0 (doble) y 3.

x � ��12

x � ��13

�5 � �25 ��24����

12

x � �2

x � ��32

�7 � �49 ��48����

4

�12 � �144 �� 144����

18

x � 3x � �1

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Solucionario

2.6. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios.

a) P(x) � x 3 � 3x 2 � 4 y Q(x) � x 2 � 2x � 1

b) P(x) � x 5 � 3x 4 � 2x 3 � 6x 2 � x � 3 y Q(x) � x 3 � 3x 2 � x � 3

c) P(x) � x, Q(x) � x 2 � x y R(x) � x 3 � 2x2 � x

d) P(x) � 12x 3 � 4x 2 � 3x � 1 y Q(x) � 12x 3 � 16x 2 � 7x � 1

e) P(x) � x 2 � 6x � 8, Q(x) � x 2 � 4 y R(x) � 2x 2 � 4x

a) P (x) � (x � 1)(x � 2)2 ⇒ Q (x) � (x � 1)2

m.c.d. {P (x), Q (x)} � x � 1 m.c.m.{P (x), Q (x)} � (x � 1)2(x � 2)2 � x 4 � 2x 3 � 3x 2 � 4x � 4

b) P (x) � (x � 1)2(x � 1)2(x � 3) Q (x) � (x � 1)(x � 1)(x � 3)

m.c.d. {P (x), Q (x)} � (x � 1)(x � 1)(x � 3) � Q (x) m.c.m.{P (x), Q (x)} � (x � 1)2(x � 1)2(x � 3) � P (x)

c) P (x) � x Q (x) � x (x � 1) R (x) � x (x � 1)2

m.c.d. {P (x), Q (x), R (x)} � x � P (x) m.c.m.{P (x), Q (x), R (x)} � x (x � 1)2 � R (x)

d) P (x) � (2x � 1)(2x � 1)(3x � 1) Q (x) � (2x � 1)2(3x � 1)

m.c.d. {P (x), Q (x)} � (2x � 1)(3x � 1) � 6x 2 � 5x � 1

m.c.m.{P (x), Q (x)} � (2x � 1)(2x � 1)2(3x � 1) � 24x 4 � 20x 3 � 2x 2 � 5x � 1

e) P (x) � (x � 4)(x � 2) Q (x) � (x � 2)(x � 2) R (x) � 2x (x � 2)

m.c.d. {P (x), Q (x), R (x)} � 1 m.c.m.{P (x), Q (x), R (x)} � (x � 2)(x � 2)2x (x � 4) � 2x 4 � 8x 3 � 8x 2 � 32x

2.7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) b)

a) � x � 1 b) � �xx

��

32

2.8. Resuelve las siguientes operaciones con fracciones algebraicas y simplifica el resultado.

a) —a

a

2

b— � —

a

b

�4

b2

— � a d) —x

a2 �

a

x2

— � —x

x

a

a—

b) —2 �

6

x— � —

2 �

4

x— � —

x 2

1

6

4— e)

c) (x 2 � y 2) � �—1

x— � —

1

y—�

a) �a

a�

2

b� � �

ab�

4

b2

� � a � � � �ab �

ba

2

� ab2

b) �2 �

6x

� � �2 �

4x

� � �x 2

1�

64

� � � �10

xx2 �

412

c) (x 2 � y 2) � ��1x

� � �1y

�� � � �xy (x �

x �

y)(yx � y)� � x 2y � xy 2

d) �xa2 �

ax

2� � �

xx

��

aa

� � � �x �

1a

e) � � 1 � � 1 � � 1 � �2xx

��

11

� � �32xx

��

21

�1

�2xx

��

11

1��1 � �

x �x

1�

(a � x)(x � a)��(x � a)(x � a)2

(x � y)(x � y)��

�x

x�

yy

6x � 12 � 4x � 8 � 16���

(x � 2)(x � 2)

a 2b 2(b � 1 � b 2)���

ab 4

a 2b 3 � a 2b 2 � a 2b 4

���ab 4

(x � 2)(x � 3)(x � 3)���

(x � 3)(x � 2)2

(x � 3)(x � 1)2(2x � 1)���(x � 1)(x � 3)(2x � 1)

x 3 � 2x 2 � 9x � 18———x 3 � 7x 2 � 16x � 12

2x 4 � x 3 � 11x 2 � 11x � 3————

2x 3 � 3x 2 � 8x � 3

1 � —1 �

1

1—

1 �1

—1 � —

1

x—

————–

1 � �1 �

1

1�

1 �1

�1 � �

1x

1 � �1

1

1�

1 �1

��x �

x1

Page 26: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

2.9. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas.

a) —2x

4

� 3— � —

2

x— � —

3x

5

� 1— � 2x � 1 d) —

x 2

2

� 1— � —

2x

4

� 3— � —

x

6

2

— � —5

1

9

2—

b) 2(3x � 2) � x (x � 1) � �4 e) 6x 4 � 13x 3 � 8x 2 � 17x � 6 � 0

c) (x � 1)3 � (x � 1)3 � 7 f) 2x 4 � x 3 � 3x � 18 � 0

a) �2x

4� 3� � �

2x

� � �3x

5� 1� � 2x � 1 ⇒ 10x � 15 � 10x � 12x � 4 � 40x � 20 ⇒ �32x � �9 ⇒ x � �

392�

b) 2(3x � 2) � x (x � 1) � �4 ⇒ 6x � 4 � x 2 � x � 4 � 0 ⇒ x 2 � 5x � 0 ⇒ x (x � 5) � 0 ⇒ x � 0; x � �5

c) (x � 1)3 � (x � 1)3 � 7 ⇒ x 3 � 3x 2 � 3x � 1 � (x 3 � 3x 2 � 3x � 1) � 7 ⇒ 6x 2 � 5 ⇒ x � ��56

��; x � ���56

��d) �

x 2

2� 1� � �

2x4� 3� � �

x6

2

� � �5192� ⇒ 6x 2 � 6 � 6x � 9 � 2x 2 � 59 ⇒ 8x 2 � 6x � 44 � 0 ⇒

⇒ 4x 2 � 3x � 22 � 0 ⇒ x � �3 � �9

8� 3�52�� � �

3 �8

19� ⇒ x � �

141�; x � �2

e) 6x 4 � 13x 3 � 8x 2 � 17x � 6 � 0 ⇒ (x � 1)(x � 2)(2x � 3)(3x � 1) � 0 ⇒ x � 1; x � �2; x � ��32

�; x � �13

f) 2x 4 � x 3 � 3x � 18 � 0 ⇒ (x � 2)(x 2 � 3)(2x � 3) � 0 ⇒ x � 2; x � ��32

2.10. Escribe una ecuación polinómica de tercer grado tal que una solución sea 2 y la suma y el producto de las

otras dos valgan �4 y 5, respectivamente.

(x � 2)(x 2 � 4x � 5) � 0 ⇒ x 3 � 2x 2 � 3x � 10 � 0 Aunque no todas las soluciones son reales.

2.11. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x 4 � 17x 2 � 16 � 0 c) x 3 � 2x 2 � 15x � 0

b) 2(x � 1)4 � 8x 3 � 8(x � 3) � 8 � 0 d) —2

x

42— � 3x 2 � 6

a) x 4 � 17x 2 � 16 � 0

z 2 � 17z � 16 � 0 ⇒

⇒ z � � �17

2� 5� �

� �

b) 2(x � 1)4 � 8x 3 � 8(x � 3) � 8 � 0 ⇒⇒ 2x 4 �8x 3 �12x 2 �8x�2�8x 3 �8x�24�8�0 ⇒⇒ 2x 4 � 12x 2 � 14 � 0 ⇒ x 4 � 6x 2 � 7 � 0

⇒ z 2 � 6z � 7 � 0 ⇒

⇒ z � � ��6

2� 8� �

� �

c) x 3 � 2x 2 � 15x � 0 ⇒ x (x 2 � 2x � 15) � 0 ⇒

⇒ � �

d) �2x42� � 3x 2 � 6 ⇒ 24 � 3x 4 � 6x 2 ⇒

3x 4 � 6x 2 � 24 � 0 ⇒ x 4 � 2x 2 � 8 � 0

z 2 � 2z � 8 � 0 ⇒

⇒ z � �2 � �

24 � 3�2�� � �

2 �2

6� �

� �z � 4 � x 2 ⇒ x � 2; x � �2z � �2 � x 2 ⇒ ��2� no es real

z � x 2

z 2 � x 4

x � �3x � 5

x � 0

x � �2 �

2�64�� � 1 � 4 ⇒

z � 1 � x 2 ⇒ x � 1; x � �1z � �7 � x 2 ⇒ �7 no es real

�6 � �36 ��28����

2

z � x 2

z 2 � x 4

z � 16 � x 2 ⇒ x � 4; x � �4z � 1 � x 2 ⇒ x � 1; x � �1

17 � �289 �� 64����

2

z � x 2

z 2 � x 4

Page 27: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

2.12. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

a) x � 2 � —2

x— � �1 b) 2x � —

2

1

2

x— � 7 � —

11x

9

� 11— c) —

4

x— � —

x �

4

2— � 3

a) x�2� �2x

� ��1 ⇒ x 2 �2x�2��x ⇒ x 2 �3x�2�0 ⇒ x� ⇒ x���3

2� 1� ⇒ �

b) 2x � �2

1�2

x� � 7 � �

11x9� 11� ⇒ 9(2 � x)2x � 9 � 12 � 9 � 7(2 � x) � (2 � x)(11x � 11) ⇒

⇒ 36x � 18x 2 � 108 � 126 � 63x � 22x � 22 � 11x 2 � 11x ⇒ 7x 2 � 88x � 256 � 0 ⇒

⇒ x � � �88 �

14�576�� ⇒ x � �

881�4

24� � �

c) �4x

� � �x �

42

� � 3 ⇒ 4(x � 2) � 4x � 3x (x � 2) ⇒ 4x � 8 � 4x � 3x 2 � 6x ⇒ 3x 2 � 2x � 8 � 0 ⇒

⇒ x � � �2 �

6�100�� � �

2 �6

10� � �

2.13. Encuentra la solución de estas ecuaciones racionales.

a) —1

x— � —

x

12— � —

x

13— � —

7

8— b) —

2

3

x— � —

2

x

x

1

3— � —

3x

1

1

3— c) —

x

2

x

2— � —

x

3

x

2— � —

x 2

6

x 2

4—

a) �1x

� � �x1

2� � �x1

3� � �78

� ⇒ 8x 2 � 8x � 8 � 7x 3 ⇒ 7x 3 � 8x 2 � 8x � 8 � 0 ⇒ (x � 2)(7x 2 � 6x � 4) � 0 ⇒

⇒ �b) �

23x� � �

2xx

��

13

� � �3x

1�1

3� ⇒ 2x (x � 1) � 3(2x � 3) � 11 ⇒ x 2 � 2x � 1 � 0 ⇒

⇒ x � ��2 � �

24 � 4�� � �1 � �2� ⇒ �

c) �x

2�x

2� � �

x3�x

2� � �

x 2

6�

x 2

4� ⇒ 2x (x � 2) � 3x (x � 2) � 6x 2 ⇒ �x 2 � 2x � 0 ⇒

⇒ x (�x � 2) � 0 ⇒ �

2.14. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

a) —x

��

x�1

— � x � —5

2— b) �x � 4� � �x � 1� � 5 c) �x � 7� � �2x� � �x � 1�

a) �x

��

x�1

� � x � �52

� ⇒ �x

��

x�1

� � �2x

2� 5� ⇒ 2x � 2 � (2x � 5)�x� ⇒ (2x � 2)2 � �(2x � 5)�x� �

2⇒

⇒ 4x 2 � 4 � 8x � (4x 2 � 25 � 20x)x ⇒ 4x 3 � 24x 2 � 33x � 4 � 0 ⇒ (x � 4)(4x 2 � 8x � 1) � 0 ⇒

⇒ � �b) �x � 4� � �x � 1� � 5 ⇒ �x � 4� � 5 � �x � 1� ⇒ ��x � 4��

2� �5 � �x � 1��

2⇒

⇒ x � 4 � 25 � x � 1 � 10�x � 1� ⇒ 10�x � 1� � 20 ⇒ �x � 1� � 2 ⇒ x � 1 � 4 ⇒ x � 5

c) �x � 7� � �2x� � �x � 1� ⇒ ��x � 7� � �2x��2

� ��x � 1��2

⇒ x � 7 � 2x � 2�2x 2 �� 14x� � x � 1 ⇒

⇒ 2�2x 2 �� 14x� � 8 � 2x ⇒ �2x 2 �� 14x� � 4 � x ⇒ ��2x 2 �� 14x��2

� (4 � x)2 ⇒

⇒ 2x 2 � 14x � 16 � x 2 � 8x ⇒ x 2 � 6x � 16 � 0 ⇒ x � �6 � �3

26 ��64�� � �

6 �2

10� ⇒

⇒ � La ecuación no tiene solución.x � 8 solución falsax � �2 solución falsa

x � 1 � ��23�� , solución falsa

x � 1 � ��23��

x � 4

x � �8 �

8�48�� �

x � 0x � �2 solución falsa

x � �1 � �2�x � �1 � �2�

x � 27x 2 � 6x � 4 � 0No tiene soluciones reales

x � 2

x � ��86

� � ��43

2 � �22 ��4 � 3�� 8����

6

x � 8

x � �6144� � �

372�

88 � �882 �� 4 � 7� � 256�����

14

x��2x��1

�3 � �32 ��4 � 2����

2

Page 28: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

2.15. Resuelve la ecuación �3

x 2 ��1� � 1 � x.

�3

x 2 � 1�� 1 � x ⇒ �3

x 2 � 1�� x � 1 ⇒ x 2 � 1 � (x � 1)3 ⇒ (x � 1)3 � 1 � x 2 � 0 ⇒ (x � 1)3 � (1 � x)(x � 1) � 0 ⇒

⇒ (x � 1) � [(x � 1)2 � (1 � x)] � 0 ⇒ (x � 1) � (x 2 � 3x) � 0 ⇒ x � (x � 1) � (x � 3) � 0 ⇒ �2.16. Calcula el valor de un número tal que si se le suma una unidad y después se extrae la raíz cuadrada se ob-

tiene el doble que al restarle 11 unidades y extraer la raíz cuadrada.

Número desconocido: x

�x � 1� � 2�x � 1�1� ⇒ ��x � 1��2

� �2�x � 1�1� �2

⇒ x � 1 � 4(x � 11) ⇒ 3x � 45 ⇒ x � 15

2.17. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a) log3x � log6 � 2 logx c) log—2x

x

� 2— � 2 log(x � 1) � logx

b) log(2x � 3) � log(x � 2) � 2 log2 � 2 log3 d) log(4 � 5x) � log(2x � 2) � log(2x � x 2) � 1

a) log3x � log6 � 2logx ⇒ log3x � log(6 � x 2) ⇒ 3x � 6x 2 ⇒ 3x (1 � 2x) � 0 ⇒ �b) log(2x � 3) � log(x � 2) � 2 log2 � 2 log3 ⇒ log�

2xx

��

23

� � log(22 � 32) ⇒ �2xx

��

23

� � 36 ⇒

⇒ 2x � 3 � 36x � 72 ⇒ x � �7354�

c) log�2x

x� 2� � 2 log(x � 1) � log x ⇒ log[2(x � 1)] � logx � 2 log(x � 1) � logx ⇒

log2 � log(x � 1) � 2 log(x � 1) ⇒ log(x � 1) � log2 ⇒ x � 1 � 2 ⇒ x � 3 Solución verdadera

d) log(4 � 5x) � log(2x � 2) � log(2x � x 2) � 1 ⇒ log[(4 � 5x) � (2x � 2)] � log[10 � (2x � x 2)] ⇒⇒ 8x � 8 � 10x 2 � 10x � 20x � 10x 2 ⇒ �2x � 8 ⇒ x � �4 Solución falsa. La ecuación no tiene solución.

2.18. Calcula el valor de un número sabiendo que si se añade a su logaritmo decimal el valor del logaritmo deci-

mal de 2, el resultado es la unidad.

Sea x el número desconocido. logx � log2 � 1 ⇒ log2x � log10 ⇒ 2x � 10 ⇒ x � 5

2.19. Calcula el valor de un número sabiendo que el doble de su logaritmo decimal es igual a la suma de los lo-

garitmos decimales de 4 y de 9.

Sea x el número desconocido. 2 logx � log4 � log9 ⇒ logx2 � log36 ⇒ x2 � 36 ⇒ �

2.20. Resuelve las ecuaciones exponenciales:

a) —2

1x

— � 16—x (x

2

� 1)—

c) 13x2 � 2x � —1

1

3— � 0

b) 3 � 2x � 2 � 3x d) 22x2 � 3x � 5 � 16

a) �21

x� � 16�

x (x2� 1)� ⇒ 2�x � 2

4 � �x (x

2� 1)� ⇒ �x � 2x (x � 1) ⇒ 2x 2 � x � 0 ⇒ x (2x � 1) � 0 ⇒ �

b) 3 � 2x � 2 � 3x ⇒ ��23

��x

� �23

� ⇒ x � 1

c) 13x 2 � 2x � �113� � 0 ⇒ 13x 2 � 2x � 13�1 ⇒ x 2 � 2x � �1 ⇒ x 2 � 2x � 1 � 0 ⇒ (x � 1)2 � 0 ⇒ x � �1

d) 22x 2 � 3x � 5 �16 ⇒ 22x 2 � 3x � 5 �24 ⇒ 2x 2 �3x�5�4 ⇒ 2x 2 �3x�9�0 ⇒ 2(x�3)�x� �32

���0 ⇒ �x�3

x���32

x � 0

x � �12

x � 6 Solución verdaderax � �6 Solución falsa

x � 0 solución falsa

x � �12

� solución verdadera

x � 0x � 1x � 3

Page 29: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

2.21. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2x � 1 � 2x � 2x � 1 � 7 d) 5x � 3 � 5x � 1 � 3120 � 0

b) 2x � 4 � 8x � 0 e) 52x � 30 � 5x � 1 � 125 � 0

c) 32x � 3x � 1 � 3x � 1 � 1 f) 2 � 102x � 4 � 3 � 10x � 2 � 5 � 0

a) 2x � 1 � 2x � 2x � 1 � 7 ⇒ 2x��12

� � 1 � 2� � 7 ⇒ 2x � �72

� � 7 ⇒ 2x � 2 ⇒ x � 1

b) 2x � 4 � 8x � 0 ⇒ 2x � 4 � (23)x� 23x ⇒ x � 4 � 3x ⇒ 2x � 4 ⇒ x � 2

c) 32x � 3x � 1 � 3x � 1 � 1 ⇒ (3x)2� �

13

� 3x � 3 � 3x � 1 � 0, tomando z � 3x ⇒ 3z 2 � 10z � 3 � 0 ⇒

⇒ z � � �10

6� 8� � � ⇒ (deshaciendo el cambio) �

d) 5x � 3 �5x � 1 �3120�0 ⇒ 5x �53 � �55

x

� �3120�0 ⇒ �53 � �15

��5x �3120 ⇒ 5x ��351

4

20�

15

��25 ⇒ x�2

e) 52x � 30 � 5x � 125 � 0 ⇒ (5x)2� 30 � 5x � 125 � 0 ⇒ z 2 � 30z � 125 � 0 ⇒

⇒ z � � �30 �

220

� � � ⇒ (deshaciendo el cambio) �

f) 2 � 102x � 4 � 3 � 10x � 2 � 5 � 0 ⇒ 20000 � (10x)2� 300 � 10x � 5 � 0 ⇒ 20000z 2 � 300z � 5 � 0 ⇒

⇒ 4000z2�60z�1�0 ⇒ z���6

800�00

140� ⇒ � ⇒ (deshaciendo el cambio) �

2.22. Resuelve los siguientes sistemas lineales.

a) � c) �b) � d) �

a) � ⇒ � 9E3 �11E2 ⇒ �Solución única (x � �2, y � 3, z � 1)

b) � ⇒ �Solución única �x � �

2356�, y � �

316�, z � �

32

��

c) � ⇒ �Solución única (x � 4, y � 1, z � �2)

d) � ⇒ � 3E3 �E2 ⇒ �Solución única (x � 2, y � �3, z � 0)

4x�y�5z�5�9y�21z�27 ⇒ z�0, y��3, x�2�15z�0

4x�y�5z�5�9y�21z�27�3y�2z�9

4E2 �5E1

E3 �E1

4x�y�5z�55x�y�z�134x�2y�3z�14

2x � y � z � 11�3y � �3 ⇒ y � 1, z � �2, x � 4y � z � 3

E2 � E1

2E3 � E1

2x � y � z � 112x � 2y � z � 8x � y � z � 7

2x � 4y � z � 0�18y � z � �2 ⇒ z � �

32

�, y � �316�, x � �

2356�

4z � 6

2E2 � 3E1

E3 � E2

2x � 4y � z � 03x � 3y � 2z � �13x � 3y � 2z � 5

x�2y�2z�2�9y�7z��20 ⇒ z�1, y�3, x��2�5z��5

x�2y�2z�2�9y�7z��20�11y�8z��25

E2 �3E1

E3 �5E1

x�2y�2z�23x�3y�z��145x�y�2z��15

4x � y � 5z � 5

5x � y � z � 13

4x � 2y � 3z � 14

2x � 4y � z � 0

3x � 3y � 2z � �1

3x � 3y � 2z � 5

2x � y � z � 11

2x � 2y � z � 8

x � y � z � 7

x � 2y � 2z � 2

3x � 3y � z � �14

5x � y � 2z � �15

x��210x��0,025, sin solución real

z�10�2

z��0,025

x � 2x � 1

z � 25z � 5

30 � �900 �� 500����

2

x � 1x � �1

z � 3

z � �13

10 � �100 �� 36����

6

Page 30: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

2.23. Estudia el número de soluciones de los siguientes sistemas lineales, y en caso de que existan, hállalas.

a) � b) � c) � d) �

a) � ⇒ � �E2

3� � E2 ⇒ � ⇒ �

Infinitas soluciones: � ⇒ �b) � ⇒ � ⇒ � E3 � E2 ⇒ �

El sistema es incompatible. No tiene solución.

c) � ⇒ � ⇒ �

Infinitas soluciones: � ⇒ �d) � ⇒ � E2 � 5E1 ⇒ � 2E3 � E2 ⇒ �

Sistema compatible determinado. Solución: �2.24. Resuelve los siguientes sistemas.

a) � b) � c) � d) �

a) � ⇒ 2x � 192 � 12x 2 � 96x � 22 ⇒ 6x 2 � 47x � 85 � 0 ⇒ x ��47

1�2

13� ⇒ �

b) � ⇒�8x�2x 2�15x��25⇒2x 2�23x�25�0⇒x���23

4�27�⇒�

c) � ⇒ � ⇒ y 2 � �1 ⇒ No tiene soluciones reales.

d) � ⇒ 3x 2 � 12x � 12 � 0 ⇒ x 2 � 4x � 4 � 0 ⇒ x � ⇒ �x � 2y � 1

4 � �(�4)2�� 16����

2y � 2x � 3x 2 � (2x � 3)2 � 3

x � �y�y 2 � 1

x � y � 0xy � 1

x�1, y��2

x���225�, y��

157�

y���8

5�2x�

x ���85�2x���3x��5

x � 5, y � �2

x � �167�, y � �

73

y � 8 � 2x2x � 3(8 � 2x)2 � 22

2x � y � 3

x 2 � y 2 � 3

x � y � 0

xy � 1

2x � 5y � �8

xy � 3x � �5

2x � y � 8

2x � 3y 2 � 22

x � �2 � �2252� � �

2181� � ��

1232�

y � 3 � �14842

� � ��2252�

z � ��1141�

x � y � 2z � �24y � 13z � 1211z � �14

x � y � 2z � �24y � 13z � 122y � z � �1

x � y � 2z � �25x � y � 3z � 22y � z � �1

2y � z � �15x � y � 3z � 2x � y � 2z � �2

x � ��75t

y � t

z � �45t

y � t5z � 4y � 4t ⇒ z � �

45t

x � �3y � 2z � �3t � �85t

� � ��75t

x � 3y � 2z � 0�4y � 5z � 0

x � 3y � 2z � 0�4y � 5z � 0�4y � 5z � 0

E2 � E1

E3 � 2E1

x � 3y � 2z � 0x � y � 3z � 02x � 2y � z � 0

y � z � 8x � �14z � 11y � �10 � 1

y � z � 8x � �14z � 11x � �1�4z � 11x � 2

E2 � E1

E3 � 2E1

y � z � 8x � �1�y � 3z � 3x � 02y � 2z � 5x � 0

5x� 2y � 2z � 03x � y � 3z � 08x � y � z � �1

x � �3t �

54

y � �7t �

54

z � t

z � t5y � 7z � 4 � 7t � 4 ⇒ y � �

7t �5

4�

x � 2z � y � 2t � �7t �

54

� � �3t �

54

x � y � 2z � 0�5y � 7z � 4

x � y � 2z � 0�5y �7z � 40 � 0

x � y � 2z � 0�5y � 7z � 4�10y � 14z � 8

E2 � 2E1

E3 � 5E1

x � y � 2z � 02x � 3y � 3z � 45x � 5y � 4z � 8

2y � z � �1

5x � y � 3z � 2

x � y � 2z � �2

x � 3y � 2z � 0

x � y � 3z � 0

2x � 2y � z � 0

5x � 2y � 2z � 0

3x � y � 3z � 0

8x � y � z � �1

x � y � 2z � 0

2x � 3y � 3z � 4

5x � 5y � 4z � 8

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Solucionario

2.25. Halla la solución de los siguientes sistemas.

a) � b) �

a) � ⇒ � ⇒ 17y 2 � 0 ⇒ y � 0 ⇒ �

b) � ⇒ � ⇒ 2y 4 � 19y 2 � 9 � 0 ⇒ y 2 � �19 �

417

� ⇒

{ y 2 � �12

� ⇒ �{ y 2 � 9 ⇒ �

2.26. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales.

a) � b) �

a) � ⇒ �5E1 � E2 ⇒ 2 x � 2 � 5 � 2 x � 4 � 45 ⇒ 2 x(22 � 5) � �41 ⇒ 2 x � 41 ⇒ x � log241 ⇒

⇒ � ⇒ � ⇒ � ⇒ La ecuación no tiene soluciones reales.

b) � ⇒ E1 � 3E2 ⇒ 7 y � 3 � 7 y � 2 � 16 � 3 � 340 ⇒ 7 y(1 � 3 � 72) � 1036 ⇒

⇒ 148 � 7 y � 1036 ⇒ 7 y � �1104386

� � 7 ⇒ y � 1 ⇒ � ⇒ � ⇒ �

2.27. Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas.

a) � b) �

a) � ⇒ log��yx

�� � 3 ⇒ x � 103y ⇒ � ⇒ log(103y 4) � 5 ⇒

⇒ 103y 4 � 105 ⇒ y 4 � 102 ⇒ y � 10 ⇒ �b) � ⇒ log��

yx

�� � 1 ⇒ x � 10y ⇒ � ⇒ � ⇒ �

2.28. Comprueba si los números reales indicados pertenecen a la solución de las inecuaciones correspondientes.

a) x � �2 de la inecuación x 3 � x 2 � x 6

b) x � —1

e— de la inecuación x � lnx 0

c) x � �0,5 de la inecuación 2 x � x � 2 � 3 x

a) Sí forma parte de la solución de la inecuación, ya que (�2)3 � (�2)2 � 2 � �8 � 4 � 2 � �6 6.

b) No forma parte de la solución de la inecuación, ya que �1e

� � ln��1e

�� � �1e

� � 1 � �1 �

ee

� � 0.

c) Sí forma parte de la solución de la inecuación, ya que 2�0,5 � 0,5 � 2 � 3�0,5 � ��12�� � 2,5 � �

�13�� � 0.

y � 2x � 20

32y � 64x � 10y

30y � 2y � 64x � 10y

3x � 2y � 64logx � logy � 1

y � �10�x � 103�10�

log(103y) � log(y 3) � 5x � 103y

logx � 3 logy � 5logx � logy � 3

3x � 2y � 64

logx � logy � 1

logx � 3 logy � 5

logx � logy � 3

x � 2y � 1

3 x � 9y � 1

3 x � 7 � 16y � 1

3 x � 7 y � 163 x � 1 � 7 y � 2 � �340

x � log2415 y � �32

x � log2415 y � 9 � 41

x � log24141 � 5 y � 9

2 x �5 y �92 x � 2 �5 y � 1 �4

3 x � 7 y � 16

3 x � 1 � 7 y � 2 � �340

2 x � 5 y � 9

2 x � 2 � 5 y � 1 � 4

x � �1; y � 3x � 1; y � �3

x � �3�2�; y � ��22��

x � 3�2�; y � ���22��

x � ��3y

�y9

2� � 2y 2 � 19

xy � �3x 2 � 2y 2 � 19

x �4; y � 0x � �4; y � 0

6x 2 � 9y 2 � 96�6x 2 � 8y 2 � �96

3E1

2E2

2x 2 � 3y 2 � 32�3x 2 � 4y 2 � �48

xy � �3

x 2 � 2y 2 � 19

2x 2 � 3y 2 � 32

�3x 2 � 4y 2 � �48

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2.29. Resuelve las inecuaciones de primer grado:

a) —x �

2

3— � —

x �

8

2— —

2

x— b) 2x � 3 � —

2

x— � x � —

3x

6

� 1— c) x � 2(x � 1) � 3(x � 2) � —

x �

2

38—

a) �x �

23

� � �x �

82

� �2x

� ⇒ 4x � 12 � x � 2 4x ⇒ �x 10 ⇒ x �10 ⇒ Solución: [�10, � )

b) 2x � 3 � �2x

� � x � �3x

6� 1� ⇒ 12x � 18 � 3x � 6x � 3x � 1 ⇒ 0 � 19 ⇒ La inecuación no tiene solución.

c) x � 2(x � 1) � 3(x � 2) � �x �

238

� ⇒ 2x � 4x � 4 � 6x � 12 � x � 38 ⇒ 11x � 22 ⇒ x � 2 ⇒⇒ Solución: (� , 2)

2.30. Halla la solución de las siguientes inecuaciones polinómicas.

a) �2x 2 � 3x � 0 e) 3x � (2x � 1) � x 2 5x � 1

b) 3x 2 � x � 24 0 f) �x 3 � 2x 2 � x 0

c) x 3 � 4x � 0 g) x 4 � 1 0

d) x 3 � x 2 � x � 1 0 h) (x � 1)(x � 4) � �6

En la mayoría de los casos se obtiene la solución a partir de la tabla de signos de los factores de los polinomios:

a) �2x 2 � 3x � 0 ⇒ x(�2x � 3) 0

Solución: x � �0, �32

��b) 3x 2 � x � 24 0 ⇒ (x � 3)(3x � 8) 0

Solución: x � (� , �3] � �83

�, � �c) x 3 � 4x � 0 ⇒ x (x � 2)(x � 2) � 0

Solución: x � (�2, 0) � (2, � )

d) x 3 �x 2 �x�10 ⇒ (x�1)(x�1)2 0 ⇒ (x�1)0ya que el factor (x � 1)2 es siempre positivo exceptopara x � �1, por tanto la solución es x 1 ⇒⇒ x � (� , 1].

(En esta solución está incluido el punto x � �1, parael que el polinomio también se anula.)

e) 3x � (2x � 1) � x 2 5x � 1 ⇒ 7x 2 � 8x � 1 0 ⇒⇒ (x � 1)(7x � 1) 0

Solución: x � �� , �17

�� � [1, � )

f) �x 3 � 2x 2 � x 0 ⇒ �x (x � 1)2 0 ⇒⇒ {x � �1} � {x 0}ya que el factor (x � 1)2 es siempre positivo exceptopara x��1, por tanto la solución es x�{�1}�[0, � ).

g) x 4 � 1 0 ⇒ (x � 1)(x � 1)(x 2 � 1) 0

Como x 2 �1 es siempre positivo, basta considerar losotros dos factores:

Solución: x � (� , �1] � [1, � )

h) (x � 1)(x � 4) � �6 ⇒ (x � 1)(x � 2) � 0

Solución: x � (�2, �1)

x � � �

�2x � 3 � � �

polinomio � � �

�� 0—3

2—

��

x � 1 � � �

7x � 1 � � �

polinomio � � �

��—1

7—

1 ��

x � 1 � � �

x � 1 � � �

polinomio � � �

�� �1 1 ��

x � 2 � � �

x � 1 � � �

polinomio � � �

�� �2 �1 ��

x � 2 � � � �

x � � � �

x � 2 � � � �

polinomio � � � �

�� �2 0 2 ��

x + 3 � � �

3x � 2 � � �

polinomio � � �

�� �3—8

3—

��

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Solucionario

2.31. Resuelve las inecuaciones racionales siguientes.

a) —5

2

x

x

2

1— 0 c) —

4x 2

4x

x

5

� 5— � 0 e) —

x 2 �

x 3

4

x

x

� 5— 0

b) —x

x

2

2

x

x

2

2— 0 d) —

x 2

x

3

9— 0 f) —

2

x

x3 �

1

3— 0

De nuevo las soluciones se obtienen utilizando la tabla de signos de los factores. Hay que recordar que las raí-ces de los denominadores nunca pueden pertenecer a la solución mientras que las de los numeradores perte-necen si la desigualdad incluye el signo igual.

EJERCICIOS

Polinomios

2.32. Calcula el valor numérico de cada polinomio en los puntos x � 2 y x � �0,15.

a) P(x) � x 4 � 2x 2 � 3 b) P(x) � —1

3— x 3 � —

2

5— x 2 � —

3

4— x � 2

a) P (2) � 24 � 2 � 22 � 3 � 16 � 8 � 3 � 21

P (�0,15) � (�0,15)4 � 2 � (�0,15)2 � 3 � �2,95

b) P (2) � �13

� 23 � �25

� 22 � �34

� 2 � 2 � �83

� � �85

� � �32

� � 2 � �2330�

P (�0,15) � �13

� (�0,15)3 � �25

� (�0,15)2 � �34

� (�0,15) � 2 � �1,88

a) �52xx

��

21

� 0

Solución: x � �� , ��12

�� � �25

�, � �

b) �xx

2

2

xx

22

� 0 ⇒ �(

(

x

x

1

1

)

)

(

(

x

x

2

2

)

)� 0

Solución: x � (� , �2) � [�1, 1) � [2, � )

c) �4x 2

4x�

x5� 5

� � 0 ⇒ �(4x �

4x5�

)(x5� 1)

� � 0 ⇒

⇒ �x �

11

� � 0, si x � �54

� ⇒ x � 1 � 0 ⇒ x � �1

Por tanto la solución es x � (� , �1)

d) �x 2

x�

3

9� 0 ⇒ �

(x � 3x)(

3

x � 3)� 0

Solución: x � (�3, 0] � (3, � )

e) �x 2 �

x 3

4�

xx� 5

� 0 ⇒ �x

(

(

x

x

5

1

)

)

(

(

x

x

1

1

)

)� 0 ⇒

⇒ �x (

xx

51)

� 0, si x � 1. Se halla ahora la solución:

Solución: x � [�5, �1) � (0, � ) � {1}

Hay que excluir el valor 1 de la solución porque la ex-presión no está definida para él.

f) �2xx3 �

13

�0 ⇒ 0 ⇒ �2xx��

13

�0,

ya que el factor x 2 � x � 1 es siempre positivo.

Solución: x � (� , ��32

�� � (�1, � )

2x�3��(x�1)(x 2 �x�1)

2x + 1 � � �

5x � 2 � � �

fracción � � �

���—

1

2— —

2

5—

��

2x + 3 � � �

x � 1 � � �

fracción � � �

���—

3

2—

�1 ��

x + 2 � � � � �

x � 1 � � � � �

x � 1 � � � � �

x � 2 � � � � �

fracción � � � � �

�� �2 �1 1 2 ��

x � 3 � � � �

x 3 � � � �

x � 3 � � � �

fracción � � � �

�� �3 0 3 ��

x � 5 � � � �

x � 1 � � � �

x � � � �

fracción � � � �

�� �5 �1 0 ��

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2.33. Simplifica las siguientes expresiones polinómicas.

a) 2 (3x � 2)2 � 3 (3x � 2)2 � 2 (3x � 2) (3x � 2) e) �—2

3— x � —

3

5—� �—

3

2— x 2 � —

2

5—� � —

2

6

5—

b) (3x � 2)2 � 2 (2x � 3)2 � (2x � 5) (x � 5) f) (x 2 � 4)(x 2 � 4) (x � 2) � 2x (x 3 � 8)

c) (2x 2 � 2x � 1) (3x 2 � 2x) � 3x g) (x 3 � 2x 2 � 3x � 4)(5x � 2)

d) (2x 2 � 3x � 2) (�3x 2 � x � 1) � (6x � 10) x 3

a) 2 (3x � 2)2 � 3 (3x � 2)2 � 2 (3x � 2) (3x � 2) � 2 (9x 2 � 4 � 12x) � 3 (9x 2 � 4 � 12x) � 2 (9x 2 � 4) �

� 18x 2 � 8 � 24x � 27x 2 � 12 � 36x � 18x 2 � 8 � �27x 2 � 60x � 4

b) (3x � 2)2 � 2 (2x � 3)2 � (2x � 5) (x � 5) � 9x 2 � 4 � 12x � 2 (4x 2 � 9 �12x) � (2x 2 � 10x � 5x � 25) �

� 9x 2 � 4 � 12x � 8x 2 � 18 � 24x � 2x 2 � 10x � 5x � 25 � 15x 2 � 3x � 3

c) (2x 2 � 2x � 1) (3x 2 � 2x) � 3x � 6x 4 � 4x 3 � 6x 3 � 4x 2 � 3x 2 � 2x � 3x � 6x 4 � 10x 3 � x 2 � x

d) (2x 2 � 3x � 2) (�3x 2 � x � 1) � (6x � 10) x 3 � �6x 4 � 2x 3 � 2x 2 � 9x 3 � 3x 2 � 3x � 6x 2 � 2x � 2 � 6x 4 � 10x 3 �

� x 3 � 7x 2 � x � 2

e) ��23

� x � �35

�� ��32

� x 2 � �25

�� � �265� � x 3 � �

190�x 2 � �

145�x � �

265� � �

265� � x 3 � �

190�x 2 � �

145�x

f) (x 2 � 4) (x 2 � 4) (x � 2) � 2x (x 3 � 8) � (x 4 � 16) (x � 2) � 2x 4 � 16x � x 3 � 16x � 2x 4 � 32 � 2x 4 � 16x � x 3 � 32

g) (x 3 � 2x 2 � 3x � 4) (5x � 2) � 5x 4 � 10x 3 � 15x 2 � 20x � 2x 3 � 4x 2 � 6x � 8 � 5x 4 � 8x 3 � 11x 2 � 14x � 8

2.34. Demuestra esta igualdad algebraica. (x � y � z)2 � x 2 � y 2 � z 2 � 2(xy � xz � yz)

(x � y � x)2 � (x � y � z)(x � y � z) � x 2 � xy � xz � yx � y 2 � yz � zx � zy � z 2 � x 2 � y 2 � z 2 � 2(xy � xz � yz)

2.35 Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios.

a) (6x 4 � 7x 3 � 5x 2 � 6x � 6) � (3x 2 � 2x � 1)

b) (6x 5 � 7x 3 � x 2 � 11x � 8) � (3x 2 � x � 2)

c) (6x 5 � 10x 4 � 15x 3 � 7x 2 � 3) � (4x 2 � 4x � 4)

a) Cociente: 2x 2 � x � 3. Resto: �x � 3

b) Cociente: 2x 3 � �23

� x 2 � �191�x � �

287�. Resto: �

32771

�x � �22372

c) Cociente: �32

� x 3 � x 2 � �143�x � 6. Resto: �37x � 21

2.36 Aplica la regla de Ruffini para resolver las siguientes divisiones.

a) (�3x 3 � 2x 2 � x � 3) � �x � —1

2—� d) (x 5 � 3x 4 � 3x 3 � x 2 � 4x � 2) � (2x � 4)

b) (2x 4 � 2x 3 � 2x 2 � 2) � (�x � 3) e) (�2x 4 � x 3 � 2x 2 � x � 1) � (2x � 3)

c) (x 5 � 2x 3 � 2x � 1) � (2x � 4)

a) Cociente: �3x 2 � �72

� x � �34

�. Resto: ��281�. d) Cociente: �

12

� x 4 � �12

� x 3 � �52

� x 2 � �92

� x � 11. Resto: 46

b) Cociente: �2x 3 � 8x 2 � 26x � 78. Resto: 232. e) Cociente: �x 3 � 2x 2 � 4x � �121�. Resto: ��

321�

c) Cociente: �12

� x 4 � x 3 � 3x 2 � 6x � 11. Resto: �45

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Solucionario

2.37. Considera la expresión algebraica: T � (9x 2 � 4)2� (3x � 2)2

a) Desarrolla y ordena la expresión T según las potencias decrecientes de x.

b) Escribe la expresión obtenida como un producto de factores de primer grado.

c) Calcula el valor numérico de T para: x � 0 x � —1

3— x � 1

a) y b) (9x 2 � 4 � 3x � 2)(9x 2 � 4 � 3x � 2) � (9x 2 � 3x � 2)(9x 2 � 3x � 6) � 9�x � �13

���x � �23

��9(x � 1)�x � �23

�� �

a) y b) � 3(x � 1)(3x � 1)(3x � 2)2 � 81x 4 � 81x 2 � 12x � 12

c) Para x � 0, T � 12; para x � �13

�, T � 0; para x � 1, T � 0

2.38. Determina, si existen, las raíces enteras de cada uno de los siguientes polinomios y factorízalos.

a) P(x) � x 3 � 2x 2 � 5x � 6 e) P(x) � x 4 � 4x 2

b) P(x) � x 3 � x 2 � 5x � 3 f) P(x) � 6x 5 � 11x 4 � 3x 3 � 3x 2 � x

c) P(x) � 2x 4 � x 3 � 5x 2 � x � 3 g) P(x) � x 6 � 4x 4 � x 2 � 4

d) P(x) � 4x 3 � 4x 2 � 11x � 6 h) P(x) � —x

4

4

— � —3

4— x 2 � —

1

9

6—

a) P (x) � x 3 � 2x 2 � 5x � 6 � (x � 1)(x � 2)(x � 3). Las raíces enteras son x = 1, x = 2 y x � 3.

b) P (x) � x 3 � x 2 � 5x � 3 � (x � 3)(x � 1)2. Las raíces enteras son x = 1 y x � �3.

c) P (x) � 2x 4 � x 3 � 5x 2 � x � 3 � (x � 1)(x � 1)2(2x � 3). Las raíces enteras son x = 1 y x � �1.

d) P (x) � 4x 3 � 4x 2 � 11x � 6 � (x � 2)(4x 2 � 4x � 3)

4x 2 � 4x � 3 � 0 ⇒ x � ��4 � �

8

16 ��48�� � �

�48� 8� ⇒ x � �

12

� x � ��32

� ⇒

⇒ 4x 2 � 4x � 3 � 4�x � �12

���x � �32

�� � (2x � 1)(2x � 3)

Por tanto: P (x) � 4x 3 � 4x 2 � 11x � 6 � (x � 2)(2x � 1)(2x � 3). La única raíz entera es x = 2.

e) P (x) � x 4 � 4x 2 � x 2(x 2 � 4) � x 2(x � 2)(x � 2). Las raíces enteras son x � 0, x � 2 y x � �2.

f) P (x) � 6x 5 � 11x 4 � 3x 3 � 3x 2 � x ⇒ P (x) � x (6x 4 � 11x 3 � 3x 2 � 3x � 1). La única raíz entera es x = 0.

g) P (x) � x 6 � 4x 4 � x 2 � 4 � (x � 1)(x � 1)(x � 2)(x � 2)(x 2 � 1). Las raíces enteras son x � �1 y x � �2.

h) P (x) � �x4

4

� � �34

�x 2 � �196� � ��

x2

2

��2

� 2 . �x2

2

� . �34

� � ��34

��2

� ��x2

2

� � �34

��2

. El polinomio no tiene raíces enteras.

2.39. En cada caso, calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios dados.

a) P(x) � x 2 � x � 2 y Q(x) � x 2 � 2x � 3 c) P(x) � x � 1 Q(x) � 2x � 2 R(x) � 3x 2 � 3

b) P(x) � 2x 2 � 2 y Q(x) � 4x � 4 d) P(x) � x 2(x � 2) Q(x) � x � (x 2 � 4) R(x) � x 3 � 2x 2

a) ⇒ �

b) ⇒ �

c) ⇒ �

d) ⇒ �m.c.d. {P (x) Q (x)} � x (x � 2) � x 2 � 2xm.c.m.{P (x) Q (x)} � x 2(x � 2)(x � 2) � x 4 � 4x 2

P (x) � x 2(x � 2)Q (x) � x(x � 2)(x � 2)R (x) � x 2(x � 2)

m.c.d. {P (x) Q (x)} � 1m.c.m.{P (x) Q (x)} � 6(x � 1)(x � 1) � 6x 2 � 6

P (x) � (x � 1)Q (x) � 2(x � 1)R (x) � 3(x � 1)(x � 1)

m.c.d. {P (x) Q (x)} � 2(x � 1) � 2x � 2m.c.m.{P (x) Q (x)} � 4(x � 1)(x � 1) � 4x 2 � 4

P (x) � 2(x � 1)(x � 1)Q (x) � 4(x � 1)

m.c.d. {P (x) Q (x)} � x � 1m.c.m.{P (x) Q (x)} � (x � 1)(x � 2)(x � 3) � x 3 � 4x 2 � x � 6

P (x) � (x � 1)(x � 2)Q (x) � (x � 1)(x � 3)

Page 36: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Fracciones algebraicas

2.40. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) c) e)

b) d)

a) � � �xx

��

13

b) � �

� � �

c) � � �xx

��

11

d) � � �x �

1y

e) � � � �y �

y1

2.41. Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas y simplifica los resultados al máximo.

a) —x 2

x

2

2

x

1

�1—�—

x�

x 2

1— b) —

x�

x

5—�—

2

x

x

5

1—�—

x 2

5

0

25— c) —

2

x

x

2 �

3

x—�—

x

2

x

3—�—

9

1

2x

x 2— d) —

x �

1

3—�—

x 2

3

x�

6x

1

0

8—�—

2

x

x

4

7—

a) �x 2 �

x 2

2�

x1� 1

� � �x �

x 2

1� � �

(xx

2

11)2

� � �x �

x 2

1� � � �

x 3 �

(x �

2x 2

1)�2

1�

b) �x �

x5

� � �2xx

��

51

� � �x 2

5�

025

� � �

� � ��

(xx

2

51)(6xx

55)5

� � � �1x1

��

5x

c) �2xx 2

��

3x

� � �x

2�x

3� � �

91�

2xx 2

� � �

� � � � �2xx 2

��

3x

d) �x �

13

� � �x 2

3�

x �

6x1�

08

� � �2xx

��

47

� � �

2.42. Realiza los siguientes productos y cocientes de fracciones algebraicas y simplifica todo lo que puedas los

resultados.

a) —x

x

2

3

1— � —

x

x

2

1

4— � —

x

x

2

2

9— b) —

x

3

x 2y

y— � —

6x

x

y

2

2(

x �

y 2

y)— c) —

2

x

x

3 �

x

4— � —

4

3

x

x

4

6— d) —

x �

1

y— � —

x 2 � y

12 � 2xy—

a) �xx

2

��

31

�� �xx

2

��

14

���xx

2

��

29

�� � (x�1)(x�2)(x�3)�x 3 �4x 2 �x�6

b) �x3�

x 2yy

� � �6x

x

y

2

2(

x �

y 2

y)� � � �

2xy�

c) �2xx

3

��

4x

� � �43xx

��

46

� � � �3x (x

8� 1)� � �

3x 2

8� 3x�

d) �x �

1y

� � �x 2 � y

12 � 2xy� � �

(xx

yy)2

� � x � y

x (x � 1)(x � 1) 3(x � 2)����

2(x � 2) 4(x � 1)

3x 2y(x � y)(x � y)���(x � y)6xy 2(x � y)

(x � 1)(x � 1)(x � 2)(x � 2)(x � 3)(x � 3)�����

(x � 3)(x � 1)(x � 2)

2x3 � 21x2 � 72x � 80���(x � 3)(x � 4)(x � 2)

(x � 4)(x � 2) � (x � 3)(3x � 10) � (2x � 7)(x � 3)(x � 2)��������

(x � 3)(x � 4)(x � 2)

x (x � 3)(2x � 1)��

(x � 3)(x � 3)

2x 3 � 5x 2 � 3x��(x � 3)(x � 3)

2x 3 � 6x 2 � x 2 � 3x � 2x 2 � 6x � 12x�����

(x � 3)(x � 3)

(2x 2 � x)(x � 3) � 2x (x � 3) � 12x�����

(x � 3)(x � 3)

�(x � 11)(x � 5)���

(x � 5)(x � 5)

x 2 � 5x � 2x 2 � 10x � x � 5 � 50�����

(x � 5)(x � 5)

x 2 � 5x � (2x � 1)(x � 5) � 50����

(x � 5)(x � 5)

x 2 � 1 � x 3 � x 2

���(x � 1)2

(y � 1)(x � 3)��

y (x � 3)

x (y � 1) � 3(y � 1)���

y (x � 3)

xy � 3y � x � 3���

xy � 3y

(x � y)(x 2 � xy � y 2)����(x � y)(x � y)(x 2 � xy � y 2)

x 3 � y 3

���(x 2 � y 2)(x 2 � xy � y 2)

(x � 1)(x � 1)(x 2 � 1)���

(x � 1)2(x 2 � 1)

x 4 � 1����x 4 � 2x 3 � 2x 2 � 2x � 1

�2x 3 � 3x 2 � 3x � 2���2x 3 � 9x 2 � 12x � 4

(x � 1)(x � 2)(2x � 1)���

(x � 2)2(2x � 1)

�(x � 1)(x � 1)(x � 2)(2x � 1)����

(x � 1)(x � 2)2(2x � 1)

�2x 4 � 5x 3 � 5x � 2����2x 4 � 7x 3 � 3x 2 � 8x � 4

(x � 1)(x � 2)2

��(x � 3)(x � 2)2

x 3 � 5x 2 � 8x � 4���x 3 � x 2 � 8x � 12

x 3 � y 3

———(x 2 � y 2)(x 2 � xy � y 2)

�2x 4 � 5x 3 � 5x � 2————2x 4 � 7x 3 � 3x 2 � 8x � 4

xy � 3y � x � 3———

xy � 3y

x 4 � 1————x 4 � 2x 3 � 2x 2 � 2x � 1

x 3 � 5x 2 � 8x � 4———x 3 � x 2 � 8x � 12

Page 37: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

2.43. Opera y simplifica.

a) —x

1

y— � —

x

a

z— � —

a

yz

2

— c) e) —a

a

b

b— � —

a

a

b

b— � —

a 2

a

2

b 2— g) � —

x

x

1

2—

b) �x � —(x

2

1

x

)2

—� � —2 �

2

x— d) f) (a 2 � b 2) � �—

1

a— � —

b

1—� h)

a) �x1y� � �

xaz� � �

ayz

2

� � �z � a

xyyz

� a 2x�

b) �x � �(x2

1x)2

�� . �2 �

2x

� � � �2 �

2x

� � �2 �

1x

� � �2 �

2x

� � �12

c) � � � �x �

x1

d) � � ��

y

x

x

y

(x

(x

y

y

)

)� � �

yy

xx

e) �aa

��

bb

� � �aa

��

bb

� � �a 2

a�

2

b 2� � � �

(a �

4abb)

(aa�

2

b)� � �

4aa

2

b�

ba2

2

f) (a 2 � b 2) � ��1a

� � �1b

�� � � a 2b � ab 2

g) � �xx

��

12

� � � � �x �

x1

h) � � �2

4

x

(

(

x

x

2

2

)

)� � �

x2

2

x��

24x

Ecuaciones polinómicas

2.44. Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 2x � 2(3x � 1) � 4(2x � 5) � 10 � 8x d) —x �

2

10— � —

2(x

5

� 2)— � —

5x �

3

15—

b) 2x � —3x

3

� 1— � x � —

1

3— e) —

2

3

x— � —

x

1

2

2— � —

x �

2

3— � 2x � —

1

6—

c) —3x

4

� 1— � 2x � � (3x � 1)

a) 2x � 2(3x � 1) � 4(2x � 5) � 10 � 8x ⇒ 2x � 6x � 2 � 8x � 20 � 10 � 8x ⇒ �4x � 28 ⇒ x � �7

b) 2x � �3x

3� 1� � x � �

13

� ⇒ 6x � 3x � 1 � 3x � 1 ⇒ 0 � x � 0 ⇒ Todos los números reales son solución.

c) �3x

4� 1� � 2x � � (3x � 1) ⇒ 3x � 1 � 8x � 4x � �

72

� � 12x � 4 ⇒ 3x � �32

� ⇒ x � �12

d) �x �

210

� � �2(x

5� 2)� � �

5x �3

15� ⇒ 15x � 150 � 12x � 24 � 50x � 150 ⇒ �23x � �276 ⇒ x � 12

e) �23x� � �

x1�2

2� � �

x �2

3� � 2x � �

16

� ⇒ 8x � x � 2 � 6x � 18 � 24x � 2 ⇒ 11x � 22 ⇒ x � 2

2x � �74

�2

2x � —7

4—

—2

�x � 2

x ��

2x � 2�

��

�x � 2

x ��

2x � 2�

1 � �xx

��

22

��

�xx

��

22

� � 1

�(x � 1)

x(x � 2)�

��

�(x �

x1�

)(x1� 2)

�1 � �1x

��(x � 2)���

�1 � �x �

11

��(x � 1)

1 � �1x

��

1 � �x �

11

(a � b)(a � b) � ab���

a � b

a 2 � b 2 � 2ab � a 2 � b 2 � 2ab � a 2

�����(a � b)(a � b)

�x 2 �

xx�

yy� x 2

��

�yx �

xy�

2

y� y 2

x � �x �

x 2

y�

��

y � �x

y�

2

y�

(x � 1) � x 2

���x � (x � 1)(x � 1)

�x �

x1

�x 2

x�

2

1�

1 � �1x

1 � �x1

2�

2x � x 2 � x 2 � 1 � 2x���

2 � x

1 � —x

x

2

2—

———x

x

2

2— � 1

x � —x

x

2

y—

——y � —

x

y

2

y—

1 � —1

x—

——1 � —

x �

1

1—

1 � —1

x—

—1 � —

x

12—

Page 38: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

2.45. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas

a) 4x 2 � 7x � 2 � 0 e) x 4 � x 3 � 5x 2 � x � 6 � 0

b) �7x 2 � 12x � 5 � 0 f) 6x 3 � 7x 2 � 14x � 15 � 0

c) x (2x � 1) � 3x (x � 1) � 0 g) x 4 � 125x 2 � 484 � 0

d) —x (x

1

5

1)— � —

(x �

5

6)2

— � —(x �

3

2)2

— �

a) 4x 2 � 7x � 2 � 0 ⇒ x � �7 � �4

89 ��32�� � �

7 �8

9� ⇒ x � 2, x ���

14

b) �7x 2 � 12x � 5 � 0 ⇒ x � � ��1

�21�4

2� ⇒ x � �

57

�, x � 1

c) x (2x � 1) � 3x (x � 1) � 0 ⇒ 2x 2 � x � 3x 2 � 3x � 0 ⇒ �x 2 � 4x �0 ⇒ �x (x � 4) � 0 ⇒ x � 0, x � �4

d) x 2 � x � 3(x 2 � 36 � 12x) � 5(x 2 � 4 � 4x) � 9x 2 � 18x � 8 ⇒ 9x 2 � 17x � 128 � 9x 2 � 18x � 8 ⇒ x � �120

e) x 4 � x 3 � 5x 2 � x � 6 � 0 ⇒ (x � 2)(x � 3)(x 2 � 1) � 0 ⇒ x � �2, x � 3

f) 6x 3 � 7x 2 � 14x � 15 � 0 ⇒ (x � 1)(6x 2 � x � 15) � 0 ⇒�g x 4 � 125x 2 � 484 � 0 ⇒ x 2 � �

125 �2

117� ⇒ �

Ecuaciones racionales y con radicales

2.46. Resuelve las ecuaciones racionales siguientes.

a) x � 2 � —2

x— � �1 d) —

x �

x

9— � —

5

x �

2

x— � —

1

x

22

x

2

1

x

2— g) —

x

x

2

1— � —

x

x

1

2— � —

2

9

0—

b) 2x � —2

1

2

x— � 7 � —

11x

9

� 11— e) —

x �

1

a— � —

x �

1

a— � —

x 2 �

1

a 2— h) —

x 2 �

x

1— � —

x 2 �

x

1— � x � —

7

6—

c) —4

x— � —

x �

4

2— � 3 f) —

x

x

1

1— � —

4

3

x

x

1

3

2—

a) x � 2 � �2x

� � �1 ⇒ x 2 � 2x � 2 � �x ⇒ x 2 � 3x � 2 � 0 ⇒ x � ��3

2� 1� ⇒ x � �1, x � �2

b) 2x � �2

1�2

x� � 7 � �

11x9� 11� ⇒ 9(2 � x) � 2x � 12 � 9 � 7 � 9(2 � x) � (2 � x) � (11x � 11) ⇒

⇒ 36x � 18x 2 � 108 � 126 � 63x � 22x � 22 � 11x 2 � 11x ⇒ 7x 2 � 88x � 256 � 0 ⇒

⇒ x � �88

1�4

24� ⇒ �

c) �4x

� � �x �

42

� � 3 ⇒ 4x � 8 � 4x � 3x 2 � 6x ⇒ 3x 2 � 2x � 8 � 0 ⇒ x � �2 �

610

� ⇒ x � 2, x � ��43

d) �x �

x9

� � �5x �

�2x

� ��1x2

2

x�

21x2

�⇒ (x � 9)(x � 2) � x (5 � x) � 12x � 12 ⇒ x 2 � 11x � 18 � 5x � x 2 � 12x � 12 ⇒ x � 1

e) �x �

1a

� � �x �

1a

� � �x 2 �

1a 2

� ⇒ x � a � x � a � 1 ⇒ 2x � 1 ⇒ x � �12

f) �xx

��

11

� � �43xx��

132

� ⇒ 3x 2 � 3x � 3x � 3 � 4x 2 � 12x � 4x � 12 ⇒ x 2 � 2x � 15 � 0 ⇒ x � ��2

2� 8� ⇒ x � 3, x � �5

g) �xx

��

21

� � �xx

��

12

� � �290� ⇒ 20(x � 2)2 � 20(x � 1)2 � 9(x � 1)(x � 2) ⇒ 9x 2 � 13x � 42 � 0 ⇒

⇒ x � �13

1�8

41� ⇒ x � 3, x � ��

194�

h) �x 2 �

x1

� � �x 2 �

x1

� � x � �76

� ⇒ 6(x 2 � 1)(x 2 � 1) � 6x 2 � 6x 2(x 2 � 1) � 7x (x 2 � 1) ⇒

⇒ 6x 4 � 6 � 6x 2 � 6x 4 � 6x 2 � 7x 3 � 7x ⇒ 7x 3 � 12x 2 � 7x � 6 � 0 ⇒

⇒ (x � 2)(7x 2 � 2x � 3) � 0 ⇒ �x � 2

x � ��2 �

14�88�� � �

�1 �

7�22��

x � 8

x � �372�

x 2 � 121 ⇒ x � 11, x � �11x 2 � 4 ⇒ x � 2, x � �2

x � 16x 2 � x � 15 � 0 ⇒ x � ��

32

�, x � �53

�12 � �144 �� 140����

�14

(3x � 2)(3x � 4)———

15

Page 39: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

2.47. Resuelve estas ecuaciones con radicales:

a) 2 � 3�x� � �x c) �x � 1� � �2x ��3� � 5 e) �x � 5� � �x� � �7x ��3�

b) 3x � �2x ��2� � 2�2x ��2� � 23 d) 3�3x ��1� � 2�3 (2x�� 1)� f) —4 �

2

��

x

x�� 5�

— � —4 �

�x

��

x �

5�5�

a) 2 � 3�x� � �x ⇒ 3�x� � 2 � x ⇒ �3�x� �2

� (2 � x)2 ⇒ x 2 � 5x � 4 � 0 ⇒ x � �5 �

23

� ⇒ �b) 3x � �2x ��2� � 2�2x ��2� � 23 ⇒ 3x � 23 � �2x ��2� ⇒ (3x � 23)2 � ��2x ��2� �

2⇒

⇒ 9x 2 � 529 � 138x � 2x � 2 ⇒ 9x 2 � 140x � 531 � 0 ⇒ x � �140

1�8

22� ⇒ �

c) �x � 1� � �2x ��3� � 5 ⇒ �x � 1� � 5 � �2x ��3� ⇒ ��x � 1��2

� �5 � �2x ��3� �2

⇒⇒ x � 1 � 25 � 2x � 3 � 10�2x ��3� ⇒ 10�2x ��3� � x � 27 ⇒ �10�2x ��3� �

2� (x � 27)2 ⇒

⇒ x 2 � 146x � 429 � 0 ⇒ x � �146 �

2140

� ⇒ �d) 3�3x ��1� � 2�3 (2x �� 1)� ⇒ �3�3x ��1� �

2� �2�3 (2x �� 1)��

2⇒ 9(3x � 1) � 4 � 3(2x � 1) ⇒

⇒ 3x � �3 ⇒ x � �1, solución falsa.

e) �x � 5� � �x� � �7x ��3� ⇒ ��x � 5� � �x� �2

� ��7x ��3� �2

⇒ x � 5 � x � 2�x 2 � 5�x� � 7x � 3 ⇒⇒ 2�x 2� � 5x � 5x � 8 ⇒ �2�x 2 � 5�x �

2� (5x � 8)2 ⇒ 21x 2 � 100x � 64 � 0 ⇒

⇒ x � �100

4�2

68� ⇒ �

f) �4 �

2

��

x

x�� 5�

� � �4 �

�x

��

x �

5�5�

� ⇒ 2�x 2 � 5�x� � 16 � (x � 5) ⇒ 2�x 2 � 5�x� � 21 � x ⇒

⇒ �2�x 2 � 5�x� �2

� (21 � x)2 ⇒ 4x 2 � 20x � 441 � x 2 � 42x ⇒ 3x 2 � 22x � 441 � 0 ⇒

⇒ x � ��22

6� 76� ⇒ �

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

2.48. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a) 2log(2x � 2) � log(x � 1) � 1 c) logx � log6 � 2log —3

x— e) 3log x 2 � log x 4 � �5

b) log(65 � x 3) � 3log(5 � x) d) log10 � 20x � 320� � 10�x� f) log�7x ��51� � 1 � log9 � log�2x � 6�7�

a) 2log(2x � 2) � log(x � 1) � 1 ⇒ log�(2

xx

12)2

� � log10 ⇒ �(2

xx

12)2

� � 10 ⇒ �4 (

xx

��

11)2

� � 10 ⇒

⇒ 4 (x � 1) � 10 ⇒ x � �72

b) log(65 � x 3) � 3log(5 � x) ⇒ log(65 � x 3) � log(5 � x)3 ⇒ 65 � x 3 � (5 � x)3 ⇒⇒ 65 � x 3 � 125 � 75x � 15x 2 � x 3 ⇒ 15x 2 � 75x � 60 � 0 ⇒ x 2 � 5x � 4 � 0 ⇒ �

c) logx � log6 � 2log �3x

� ⇒ logx � log�6 � ��3x

��2� ⇒ x � �

69x 2

� ⇒ 6x 2 � 9x ⇒

⇒ 3x (2x � 3) � 0 ⇒ �d) log10�20x � 320��10�x� ⇒1010�x� �10�20x � 320�⇒10�x� ��20x �� 320�⇒100x�20x�320⇒x��

38200

��4

e) 3log x 2 � log x 4 � �5 ⇒ log x (8 � 4) � �5 ⇒ x �5 � 32 � 25 � ��12

���5

⇒ x � �12

f) log�7x ��51� � 1 � log9 � log�2x ��67� ⇒ log��7x

1�

0�51�

� � log��2x

9

��67�� ⇒ �

�7x1�

0�51�

� � ��2x

9

��67�� ⇒

⇒ 14x 2 � 571x � 3419 � 8100 ⇒ 14x 2 � 571x � 4683 � 0 ⇒ x � ��571

2�8

767� ⇒ �x � 7

x � ��61649

� solución falsa

x � 0 solución falsa

x � �32

x � 4x � 1

x � 9

x � ��439� solución falsa

x � 4

x � �1261� solución falsa

x � 143 solución falsax � 3

x � 9

x � �599� solución falsa

x � 4x � 1

Page 40: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

2.49. Resuelve estas ecuaciones exponenciales.

a) 4 x2 � 1 � 25x � 5 e) 32x � 32x � 1 � 3 x � 1 � 111

b) 4(x � 2)2

� 262144 f) 22x � 4 � 5 � 2 x � 3 � 1 � 0

c) 9 x � 5 � 3 x � 24 � 0 g) 9 x � 2 � 3 x � 3 � 810 � 0

d) 3 x � 2 � 9 x � 1 � 90 h) �x

27� � 3 x � 2

a) 4x2 � 1 � 25x � 5 ⇒ 22(x2 � 1) � 25x � 5 ⇒ 2x 2 � 2 � 5x � 5 ⇒ 2x 2 � 5x � 3 � 0 ⇒ x � �5 �

47

� ⇒ x � 3, x � ��12

b) 4(x � 2)2

� 262144 ⇒ 4(x � 2)2

� 49 ⇒ (x � 2)2 � 9 ⇒ �c) 9 x � 5 . 3 x � 24 � 0 ⇒ (32)x

� 5 . 3 x � 24 � 0 ⇒ (3 x)2� 5 � 3 x � 24 � 0

3 x � z ⇒ z 2 � 5z � 24 � 0 ⇒ z � ��5 �

211

� ⇒ �d) 3 x � 2 � 9 x � 1 � 90 ⇒ 32 � 3 x � �

99

x

� � 90 ⇒ 32 � 3 x � �(3

9

x)2

� � 90

3 x � z ⇒ 9z � �z9

2

� � 90 ⇒ z 2 � 81z � 810 � 0 ⇒ z � ��81

2� 99� ⇒ �

e) 32x � 32x � 1 � 3 x � 1 � 111 ⇒ (3 x)2� �

(33

x)2

� � �33

x

� � 111

3 x � z ⇒ z 2 � �z3

2

� � �3z

� � 111 ⇒ 4z 2 � z � 333 � 0 ⇒ z � ��1 �

873

� ⇒ �f) 22x � 4 � 5 � 2 x � 3 � 1 � 0 ⇒ �

(216

x)2

� � 5 . �28

x

� � 1 � 0

2 x � z ⇒ �1z6

2

� � �58z� � 1 � 0 ⇒ z 2 � 10z � 16 � 0 ⇒ z � �

102� 6� ⇒ �

g) 9 x � 2 � 3 x � 3 � 810 � 0 ⇒ 81 � (3 x)2� 27 � 3 x � 810 � 0

3 x � z ⇒ 3z 2 � z � 30 � 0 ⇒ z � ��1 �

619

� ⇒ �h) �

x27� � 3 x � 2 ⇒ (33) �

1x�

� 3 �3x�

� 3 x � 2 ⇒ �3x

� �x � 2 ⇒ 3 � x 2 � 2x ⇒ x 2 � 2x � 3 � 0 ⇒ x � ��2

2� 4� ⇒ �

Sistemas de ecuaciones

2.50. Resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales.

a) � b) �a) � ⇒ �

x �2

1� � 3 � 2x � 10 ⇒ x � 1 � 6 � 4x � 20 ⇒ 3x � �13 ⇒

⇒ x � ��133�, y � �

43

�. Solución: �x � ��133�, y � �

43

��

b) � ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ � ⇒ 7x � 14 ⇒ x � 2, y � �3

Solución: (x � 2, y � �3)

�5x � 8y � �3412x � 8y � 48

�5x � 8y � �343x � 2y � 12

4x � 2y � 9x � 6y � �343x � 2y � 12

2(2x � y) � 3(3x � 2y) � �34

�2x

� � �3y

� � 2

y � �x �

21

� � 3

y � 2x � 10

2(2x � y) � 3(3x � 2y) � �34

—2

x— � —

3

y— � 2

y � —x �

2

1— � 3

y � 2x � 10

x � 1x � �3

z � 3 ⇒ 3 x � 3 ⇒ x � 1

z � ��130� ⇒ 3 x � ��

130�, sin solución real

z � 8 ⇒ 2 x � 23 ⇒ x � 3z � 2 ⇒ 2 x � 2 ⇒ x � 1

z � 9 ⇒ 3 x � 32 ⇒ x � 2

z � ��347� ⇒ 3 x � ��

347�, sin solución real

z � 9 ⇒ 3 x � 32 ⇒ x � 2z � �90 ⇒ 3 x � �90, sin solución real

z � 3 ⇒ 3 x � 3 ⇒ x � 1z � �8 ⇒ 3 x � �8 sin solución real

x � 2 � 3 ⇒ x � 5x � 2 � �3 ⇒ x � �1

Page 41: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

2.51. Indica si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles, y calcula, según el caso, todas sus solu-

ciones.

a) � c) �b) � d) �

a) � ⇒ � E3 � E2 ⇒ � ⇒ y � 2, z � 1, x � 2

Sistema compatible determinado. Solución única: (x � 2, y � 2, z � 1)

b) � ⇒ � E3 � E2 ⇒ �Sistema incompatible. No hay solución.

c) � ⇒ � ��

E2

5� ⇒ � E3 � 3E2 � ⇒

⇒ z � �2, y � 0, x � 2

Sistema compatible determinado. Solución: (x � 2, y � 0, z � �2)

d) � ⇒ � E3 � 2E2 ⇒ � ⇒ z � t, y � t � 2, x � �t

Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones: (x � �t, y � t � 2, z � t )

2.52. Estudia la compatibilidad de estos sistemas y halla, en su caso, sus soluciones.

a) � c) �b) � d) �

a) � ⇒ � E3 � E2 ⇒ � ⇒ z � t, y � 2 � 2t, x � 6t

Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones: (x � 6t, y � 2 � 2t, z � t )

b) � ⇒ � E3 � E2 ⇒ �Sistema incompatible. No hay solución.

c) � ⇒ � E3 � E2 ⇒ � ⇒ �Sistema compatible determinado. Solución única.

d) � E3 � E2 ⇒ � E3 � E2 ⇒ � E1 � 2E2 ⇒ � ⇒ �Sistema compatible determinado. Solución única.

z � �1y � 0x � 2

3y � 2z � 27y � 0x � 2

3y � 2z � 22y � z � �1x � 2

x � 3y � 2z � 42x � 2y � z � 3x � 2

x � 3y � 2z � 42x � 2y � z � 33x � 2y � z � 5

x � 1y � 2z � �4

2x � y � z � 0y � 7z � 304z � �16

2x � y � z � 0y � 7z � 30y � 3z � 14

2E2 � 3E1

2E3 � E1

2x � y � z � 03x � 2y � 2z � 15x � y � z � 7

x � 2y � z � �5�11y � 7z � 360 � �1

x � 2y � z � �5�11y � 7z � 36�11y � 7z � 35

E2 � 5E1

E3 � 6E1

x � 2y � z � �55x � y � 2z � 116x � y � z � 5

x � 2y � 2z � 4y � 2 � 2z

x � 2y � 2z � 4y � 2z � 2y � 2z � 2

E2 � 2E1

E3 � 4E1

x � 2y � 2z � 42x � 5y � 2z � 104x � 9y � 6z � 18

x � 3y � 2z � 4

2x � 2y � z � 3

3x � 2y � z � 5

x � 2y � z � �5

5x � y � 2z � 11

6x � y � z � 5

2x � y � z � 0

3x � 2y � 2z � 15

x � y � z � 7

x � 2y � 2z � 4

2x � 5y � 2z � 10

4x � 9y � 6z � 18

x � 3y � 2z � �6�y � z � 2

x � 3y � 2z � �6�9y � 9z � 18�18y � 18z � 36

E2 � 2E1

E3 � 5E1

x � 3y � 2z � �62x � 3y � 5z � 65x � 3y � 8z � 6

2x � y � 2z � 8y � z � 27z � �14

2x � y � 2z � 8y � z � 2�3y � 10z � �20

2x � y � 2z � 8�5y � 5z � �10�3y � 10z � �20

E2 � E1

E3 � 2E1

2x � y � 2z � 82x � 4y � 3z � �24x � y � 6z � �4

x � 2y � 2z � 3�8y � 10z � �20 � �12

x � 2y � 3z � 3�8y � 10z � �2�8y � 10z � �14

E2 � 3E1

E3 � 5E1

x � 2y � 3z � 33x � 2y � z � 75x � 2y � 5z � 1

x � 3y � 2z � 6�3y � 2z � �4�7y � �14

x � 3y � 2z � 6�3y � 2z � �4�10y � 2z � �18

E2 � 2E1

E3 � 4E1

x � 3y � 2z � 62x � 3y � 2z � 84x � 2y � 6z � 6

x � 3y � 2z � �6

2x � 3y � 5z � 6

5x � 3y � 8z � 6

x � 2y � 3z � 3

3x � 2y � z � 7

5x � 2y � 5z � 1

2x � y � 2z � 8

2x � 4y � 3z � �2

4x � y � 6z � �4

x � 3y � 2z � 6

2x � 3y � 2z � 8

4x � 2y � 6z � 6

Page 42: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

2.53. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de segundo grado.

a) � c) � e) �

b) � d) � f) �

a) � ⇒ � ⇒ 73y 2 � 144y � 4 � 0 ⇒ y ��144

1�46

148� ⇒ �

b) � ⇒ � ⇒ �22x 2�21x�130�0 ⇒ x��21

��41409

� ⇒ �

c) � ⇒ � ⇒ � ⇒ 2x2�13x�20�0 ⇒ x��13

4�3� ⇒ �

d) � ⇒ � ⇒ x2�3x��5�2

x����8 ⇒ x2�15x�16�0 ⇒ x��

15�2

17� ⇒ �

e) � ⇒ � ⇒ 23x 2 � 0 ⇒ x � 0 ⇒ �

f) � ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ �x 2 � 2�15 � �32

� x�2

� 4x�15 � �32

� x� � 36 ⇒ �x 2 � 450 � �92

� x 2 � 90x � 60x � 6x 2 � 36 ⇒

⇒ ��223�x 2 � 150x � 486 � 0 ⇒ 23x 2 � 300x � 972 � 0 ⇒ x � �

3004�6

24� ⇒ �

2.54. Resuelve los siguientes sistemas.

a) � b) � c) � d) �

a) � ⇒ 2 x � A, 3 y � B ⇒ � ⇒ �b) � Si A � 5 x, B � 6 y ⇒ � ⇒ A � 25, B � 6 ⇒ x � 2, y � 1

c) � Si 2 x � A, 3 y � B ⇒ � ⇒ �

d) � ⇒ 33y � 1 � 3 y � 1 � 18 ⇒ Si z � 3 y ⇒ �13

� z 3 � 3z � 18 ⇒ (z � 3)(z 2 � 3z � 18) � 0 ⇒

⇒ � ⇒ 3 � 3 y ⇒ �y � 1x � 1

z � 3z 2 � 3z � 18 � 0. Sin solución real

3 x � 3 y � 1 � 18x � �3y � �1

A � 2, B � 1 ⇒ x � 1, y � 0A � �76, B � 14. Sin solución real

A � 6B � 8

�52

� A � B 2 � 62 x � 2 � 3 y � 1 � 85 � 2 x � 1 � 9 y � 6

15A � 6B � 33915A � 72B � 807

15 � 5 x � 6 y � 1 � 3393 � 5 x � 1 � 2 � 6 y � 2 � 807

A � 2, B � 9 ⇒ x � 1, y � 2

A � 9, B � 2 ⇒ x � �lloogg

92

�, y � �lloogg23

A � B � 11A2 � B 2 � 85

2 x � 3 y � 114 x � 9 y � 85

3 x � 3 y � 1 � 18

x � 3y � �1

2 x � 2 � 3 y � 1 � 8

5 � 2 x � 1 � 9 y � 6

15 � 5 x � 6 y � 1 � 339

3 � 5 x � 1 � 2 � 6 y � 2 � 807

2 x � 3 y � 11

4 x � 9y � 85

x � �12632

�, y � �12032

x � 6, y � 6

�x 2 � 2y 2 � 4xy � 36

y � 15 � �32

� xx 2 � 2x 2 � 2y 2 � 4xy � 363x � 2y � 30

x 2 � 2(x � y)2 � 36

�2x

� � �3y

� � 5

x � 0, y � 2x � 0, y � �2

3x 2 � 5y 2 � 2020x 2 � 5y 2 � �20

3x 2 � 5y 2 � 204x 2 � y 2 � �4

x�16, y���

211�

x��1, y�3

y��5 �

2x

x 2 �3xy��8

2x�4y�10x 2 �3xy��8

x�4, y�6

x� �52

�, y�15y�30�6x60�12x�3x�30x�6x 2

6x�y�302y�3x�xy

3x� �2y

� �15

�2x

� � �3y

� �1

x���6252�, y� �

5535�

x � 2, y � �3

�3x � �7�

54x��2x 2 ��26

y � ��7 �

54x

3xy�2x 2 ��264x�5y��7

x � 6, y � 2

x � ��47530

�, y � ��723�

x � 6y � 62(6y � 6)2 � y 2 � 76

x � 6y � �62x 2 � y 2 � 76

x 2 � 2(x � y)2 � 36

—2

x— � —

3

y— � 5

2x � 4y � 10

x 2 � 3xy � �8

3xy � 2x 2 � �26

4x � 5y � �7

3x 2 � 5y 2 � 20

4x 2 � y 2 � �4

3x � —2

y— � 15

—2

x— � —

3

y— � 1

x � 6y � �6

2x 2 � y 2 � 76

Page 43: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

2.55. Halla la solución de los siguientes sistemas logarítmicos.

a) � c) � e) �b) � d) �

a) � ⇒ � ⇒ 11y � 33 ⇒ x � 30, y � 3

b) � ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ 100y 2 � y 2 � 29 ⇒ y � ���12091

�� ⇒ . Hay cuatro soluciones

c) � ⇒� ⇒ �

d) � ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ �(

(

y

y

2

2

)

)

6

5� � �

1100

4

1� � 105 ⇒ �

e) � ⇒ � ⇒ � ⇒ �

Inecuaciones

2.56. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado.

a) 3x � 3(2x � 5) � 4(x � 2) � 2 � x c) —x �

3

1— � —

x �

4

2— � —

x

1

8

3— �—

8

9—

b) —2

x— � —

x �

6

1— 1 � —

2x

2

� 5— d) —

2x

4

� 3— � —

2

x— � 2(x � 1) � —

3

4

5—

a) 3x � 3(2x � 5) � 4(x � 2) � 2 � x ⇒ 3x � 6x � 15 � 4x � 8 � 2 � x ⇒ 6x � 9 ⇒ x � �32

� ⇒

⇒ Solución ��� �32

�b) �

2x

� � �x �

61

� 1 � �2x

2� 5� ⇒ 3x � x � 1 6 � 6x � 15 ⇒ 8x 20 ⇒ x �

52

� ⇒ Solución ��52

� ���c) �

x �3

1� � �

x �4

2� � �

x1�8

3� ��

89

� ⇒ 12x � 12 � 9x � 18 � 2x � 6 �32 ⇒ 5x �20 ⇒ x �4 ⇒

⇒ Solución [�4 ��)

d) �2x

4� 3� � �

2x

� � 2(x � 1) � �345� ⇒ 2x � 3 � 2x � 8x � 8 � 35 ⇒ 40 � 8x ⇒ x 5 ⇒ Solución [5 ��)

x � 30y � 3

x � 10yx � 2y � 24

�yx

� � 10

2 x � 24 � 22y

logx � logy � 12 x � 24 � 4 y

⇒ x � 10��123�

� 2

y � 2 � 105 ⇒ y � 105 � 2

(x � 2)2(105)3� 102 ⇒ (x � 2)2 � 10�13

(x � 2)4(y � 2)6 � 104

(x � 2)4(y � 2)5 � 10�1

(x � 2)2(y � 2)3 � 100

(x � 2)4(y � 2)5 � �110�

2log(x � 2) � 3log(y � 2) � 24log(x � 2) � 5log(y � 2) � �1

x � 25000y � 2500

�yx

� � 10

�yx

2

� � 250

logx � logy � 12 � logy � logx � log250

x 2 � 100y 2

x 2 � y 2 � 29�yx 2

2� � 100

x 2 � y 2 � 29

logx 2 � logy 2 � 2x 2 � y 2 � 29

x � y � 33

�yx

� � 10x � y � 33logx � logy � 1

2 log(x � 2) � 3 log(y � 2) � 2

4 log(x � 2) � 5 log(y � 2) � �1

logx 2 � logy 2 � 2

x 2 � y 2 � 29

logx � logy � 1

2 x � 24 � 4y

logx � logy � 1

2 � logy � logx � log250

x � y � 33

logx � logy � 1

x � �100��12091

��y � ���

12091

���

Page 44: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

2.57. Calcula las soluciones de las inecuaciones polinómicas siguientes.

a) x 2 � x � 12 0 e)* x 3 � 4x � 0

b) �2x 2 � 3x 0 f) x 3 � 3x � 2 � 0

c) 4x 2 � 1 � 0 g) x 4 � 1 0

d) 6x 2 � x � 1 � 0 h) x 3 � 7x � 6 � 0

a) x 2 � x � 12 0 ⇒ (x � 4)(x � 3) 0

Solución: x � (��, �4] � [3, ��)

b) �2x 2 � 3x 0 ⇒ x (�2x � 3) 0

Solución: x � �0, �32

��

c) 4x 2 � 1 � 0 ⇒ (2x � 1)(2x � 1) � 0

Solución: x � ��12

�, �12

d) 6x 2 � x � 1 � 0 ⇒ (3x � 1)(2x � 1) � 0

Solución: x � ���12

�, �13

��

e) x 3 � 4x � 0 ⇒ x(x � 2)(x � 2) � 0

Solución: x � (��, �2] � [0, 2]

f) x 3 � 3x � 2 � 0 ⇒ (x � 2)(x � 1)2 � 0 ⇒ x � 2,

ya que el factor (x � 1)2 es positivo excepto parax � �1.

Por tanto, la solución es x � (��, 2) � {�1}

g) x 4 � 1 0 ⇒ (x � 1)(x � 1)(x 2 � 1) 0 ⇒⇒ (x � 1)(x � 1) 0, al ser x 2 � 1 siempre po-sitivo.

Solución: x � (��, �1] � [1, ��)

h) x 3 � 7x � 6 � 0 ⇒ (x � 1)(x � 2)(x � 3) � 0

Solución: x � (��, �3] � [1, 2)

x + 4 � � �

x � 3 � � �

polinomio � � �

�� �4 3 ��

x + 1 � � �

x � 1 � � �

polinomio � � �

�� �1 1 ��

x � � �

�2x � 3 � � �

polinomio � � �

�� 0—3

2—

��

2x � 1 � � �

2x � 1 � � �

polinomio � � �

���—

1

2— —

1

2—

��

2x � 1 � � �

3x � 1 � � �

polinomio � � �

���—

1

2— —

1

3—

��

x � 2 � � � �

x � � � �

x � 2 � � � �

polinomio � � � �

�� �2 0 2 ��

x � 3 � � � �

x � 1 � � � �

x � 2 � � � �

polinomio � � � �

�� �3 1 2 ��

Page 45: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

2.58. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales.

a)* —5

2

x

x

2

1— � 0 c) —

x

x

2

2

1— � 0 e) � 0

b) —5

3x

10

1

x— 0 d) —

x

x

2

2

5

5

x

x

4

6— 0

PROBLEMAS

2.59. El área del rectángulo mide 48 cm2:

a) Calcula el valor de las expresiones algebraicas A � x 2 � y 2

y B � x y e interpreta su significado.

b) Calcula el valor de la expresión radical L � �A � 2�B� e in-

terpreta su significado.

c) Calcula el valor del perímetro del rectángulo.

d) Calcula las dimensiones del rectángulo.

a) A representa el cuadrado de la diagonal y, por tanto, A � 100 cm2.

B representa el área del rectángulo y, por tanto, B � 48 cm2.

b) L � �100 �� 2 � 4�8� � 14 � �x 2 � y� 2 � 2�xy� � �(x � y�)2� � x � y

L representa la mitad del perímetro del rectángulo.

c) El perímetro es 2 (x � y) � 28 cm.

d) y � 14 � x ⇒ x (14 � x) � 48 ⇒ Las dimensiones del rectángulo son 8 y 6 cm, respectivamente.

x 3 � x 2 � 5x � 3———x 3 � 5x 2 � 3x � 9

a) —52xx

21

— � 0

Solución: x � ���12

�, �25

b) �53x

��10

1x

� 0

Solución: x � ��13

�, �12

��

c) �xx

2

��

21

� � 0 ⇒ �(x �

x1�

)(x2� 1)

� � 0

Solución: x � (��, �2) � [�1, 1]

d) �xx

2

2

55xx

46

� 0 ⇒ �(

(

x

x

1

2

)

)

(

(

x

x

4

3

)

)� 0

Solución: x � (��, 1) � (2, 3) � (4, ��)

e) � 0 ⇒ �(

(

x

x

3

3

)

)

(2(

x

x

1

1

)

)

2

� � 0 ⇒

⇒ si x �3 y x 1, �xx

��

13

� � 0

Solución: x � (�3, 1)

x 3 � x 2 � 5x � 3���x 3 � 5x 2 � 3x � 9

5x � 2 � � �

2x � 1 � � �

fracción � � �

���—

1

2— —

2

5—

��

5 � 10x � � �

3x � 1 � � �

fracción � � �

��—1

3— —

1

2—

��

x � 2 � � � �

x � 1 � � � �

x � 1 � � � �

polinomio � � � �

�� �2 �1 1 ��

x � 1 � � � � �

x � 3 � � � � �

x � 3 � � � � �

x � 4 � � � � �

fracción � � � � �

�� 1 2 3 4 ��

x + 3 � � �

x � 1 � � �

fracción � � �

�� �3 1 ��

10 cmy

x

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2.60. Calcula el valor de k para que el polinomio P(x) � �3x 3 � x 2 � 2x � k sea divisible por x � 2.

Por el teorema del resto, si P (x) es divisible por x � 2, entonces P (�2) � 0. Por tanto:

P (�2) � 0 ⇒ �3 � (�8) � (�2)2 � 2 � (�2) � k � 0 ⇒ 32 � k � 0 ⇒ k � �32

2.61. Calcula el valor de a y b para que el polinomio P(x) � 2x4 � 2x3 � 11x2 � ax � b sea divisible por x2 � x � 6.

Puesto que x 2 � x � 6 � (x � 2)(x � 3), para que P (x) sea divisible por x 2 � x � 6, debe serlo por x – 2 y x � 3 a la vez. Por tanto:

� ⇒ � ⇒ � ⇒ a � 1, b � �6

2.62. Calcula el valor de a y b para que el polinomio P(x) � 2x 5 � 2x 4 � 3x 3 � 3x 2 � ax � b sea divisible por

x � 1 y para que su valor numérico en x � �1 valga �12.

Al ser P(x) divisible por x � 1, el teorema del resto garantiza que P(1) � 0. Por otro lado, P(�1) � �12. Por tanto:

� ⇒ � ⇒ � ⇒ a � 1, b � �1

2.63. Calcula la expresión de P(x) sabiendo que P(2x � 1) � 8x 2 � 14x.

P (x) es un polinomio de segundo grado. Podemos escribir: Px) � ax 2 � bx � c. Se tiene que:

P (2x �1) � a(2x � 1)2 � b(2x � 1) � c � a(4x 2 � 1 � 4x) � 2bx � b � c � 4ax 2 � (4a � 2b)x � a � b � c � 8x 2 � 14x

Por tanto: � ⇒ a � 2, b � 3, c � �5 ⇒ P(x) � 2x 2 � 3x � 5

2.64. En un concurso de matemáticas se propone una prueba de 25 preguntas. Cada una de ellas tiene 5 posi-

bles respuestas de las que solo una es verdadera. Por cada respuesta acertada se obtienen 5 puntos; si se

responde de forma errónea se obtienen 0 puntos, y si se deja una pregunta sin respuesta se obtienen 2.

a) Escribe la expresión algebraica que determina la puntuación de un concursante utilizando las indetermi-

nadas, x, número de respuestas acertadas, e y, número de respuestas incorrectas.

b) Si de un concursante se sabe que ha obtenido 80 puntos, ¿cómo puede deducirse el número de res-

puestas acertadas, erróneas y no contestadas? Da dos ejemplos posibles.

c) En dos de las preguntas no contestadas, ese mismo concursante dudaba entre dos de las cinco opciones.

¿Qué puntuación habría obtenido en el caso de haberlas contestado y acertado?

a) La expresión algebraica que da la puntuación es:

P (x, y) � 5x � 2(25 � x � y) � 5x � 50 � 2x � 2y � 3x � 2y � 50

b) Si el concursante ha obtenido 80 puntos, se tiene que:

3x � 2y � 50 � 80 ⇒ 3x � 2y � 30 ⇒ y � �3x �

230

� ⇒ y � �32x� � 15

Dos posibles ejemplos pueden ser:

x � 10, y � 0 Acierta 10 preguntas y no contesta ninguna de las otras 15.

x � 12, y � 3 Acierta 12 preguntas, falla 3 y no contesta 10.

c) Habría obtenido 6 puntos más. Es decir, 86.

2.65. Si se divide un número por 5 y por 13 y se suman los cocientes, el resultado es 72. Halla dicho número.

Sea x el número desconocido: �5x

� � �1x3� � 72 ⇒ 13x � 5x � 4680 ⇒ x � �

461880

� � 260

2.66. Si sumamos cuatro números impares consecutivos obtenemos como resultado 72. ¿Cuáles son estos nú-

meros?

Sean x, x � 2, x � 4, x � 6 los números buscados. Se tiene que:

x � x � 2 � x � 4 � x � 6 � 72 ⇒ 4x � 12 � 72 ⇒ x � �640� � 15

Por tanto, los números buscados son: 15, 17, 19 y 21.

4a � 84a � 2b � 14a � b � c � 0

a � b � 0�a � b � �2

2 � 2 � 3 � 3 � a � b � 0�2 � 2 � 3 � 3 � a � b � �12

P (1) � 0P (�1) � �12

2a � b � �4�3a � b � �9

32 � 16 � 44 � 2a � b � 0162 � 54 � 99 � 3a � b � 0

P (2) � 0P (�3) � 0

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Solucionario

2.67. Un padre tiene 48 años, y su hijo, 15. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea justo el

doble de la del hijo?

Sean x los años que han de pasar. Se tiene que 48 � x � 2(15 � x) ⇒ 48 � x � 30 � 2x ⇒ x � 18.

Dentro de 18 años, la edad del padre será el doble de la del hijo.

2.68. Hace cinco años, la edad de una madre era triple de la de su hijo, y dentro de diez sólo será el doble. Ha-

lla las edades actuales de ambos.

Sean 3x y x las edades de hace cinco años. Las edades actuales han de ser 3x � 5 y x � 5, y las edades den-tro de 10 años, 3x � 15 y x � 15. Por tanto, se tiene que 3x � 15 � 2(x � 15) ⇒ x � 15.

La edad actual de la madre es 50 años, y la del hijo, 20.

2.69. Las bases de un trapecio miden 10 y 20 cm, respectivamente, y la altura, 8 cm. Calcula la altura del trián-

gulo que resulta al prolongar los dos lados no paralelos del trapecio.

La superficie del trapecio es: ST � �(20 �

210) � 8� � 120 cm2

La superficie del triángulo CED es: SCED � �120x� � 5x

La superficie del triángulo ABC es: SABC � �20(x

2� 8)� � 10x � 80

Por tanto, se tiene que:

10x � 80 � 5x � 120 ⇒ 5x � 120 � 80 � 40 ⇒ x � �450� � 8

La altura del triángulo ABC es 8 � 8 � 16 cm

2.70. En una clase de primero de Bachillerato hay tantos alumnos que estudian Tecnología de la Información como

alumnos que estudian Comunicación audiovisual. Sin embargo, el número de alumnos que estudian Francés

es inferior en una unidad al de los que estudian Tecnología de la Información.

Calcula el número de alumnos que cursan cada una de las materias mencionadas sabiendo que en la cla-

se hay 35 alumnos y que cada uno de ellos sólo está matriculado en una de las asignaturas

Sea x el número de alumnos que cursan Tecnología de la Información. Entonces, también estudian Comunicaciónaudiovisual x alumnos, y Francés, x � 1.

Se tiene que x � x � x � 1 � 35 ⇒ x � 13.

Por tanto, 13 alumnos estudian Tecnología de la Información; otros 13, Comunicación audiovisual, y 12, Francés.

2.71. Para participar en las próximas competiciones locales de atletismo se deben pasar dos pruebas. En la pri-

mera se elimina al 60% de los participantes, y en la segunda, a las dos terceras partes de los que quedan.

¿Cuántos participantes se apuntaron en un principio si después de las dos pruebas quedan 10 atletas para

competir en la final?

Sea x el número de participantes iniciales. Después de la primera prueba quedan 0,4x.

Después de la segunda prueba quedan �0,

34x�. Por tanto, �

0,34x� � 10 ⇒ x � 75.

Se apuntaron 75 participantes.

10 cm

8 cm

20 cm

A B

E D

C

20 cm

10 cmx

8 cm

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2.72. El segmento AB mide 27 cm. En sus extremos se levantan

segmentos perpendiculares de 6 y 12 cm, respectivamente.

Determina un punto del segmento AB tal que si se une con

los extremos más alejados de los perpendiculares se forma

un ángulo recto.

Para que el ángulo EDC sea recto, los ángulos EDA y CDB de-ben sumar 90º. Por tanto, EDA deberá ser igual a DCB y, enconsecuencia, los triángulos rectángulos EAD y CBD deben sersemejantes.

Aplicando el teorema de Tales:

�6x

� � �27

1�2

x� ⇒ 27x � x 2 � 72 ⇒ x 2 � 27x � 72 � 0 ⇒ �

2.73. a) Calcula la suma y el producto de las soluciones de la ecuación x 2 � 3x � c � 0.

b) Calcula el valor de c para que el producto de las soluciones de la ecuación anterior valga �18.

a) x1 � x2 � ��ba

� � �3 x1 � x2 � c

b) x1 � x2 � c � �18

2.74. Se ha comprado un determinado número de DVD vírgenes por una cantidad total de 17,25 euros. Si se com-

prasen discos de una calidad superior, cuyo precio es 0,40 euros más caro por unidad, se deberían adqui-

rir 8 menos para que el precio total no variase. ¿Cuántos discos se han comprado?

Sea x el número de DVD adquiridos. El precio de cada uno es de �17

x,25� euros.

Si se comprasen discos de una calidad superior, el precio de cada disco sería ��17x,25� � 0,4�.

Para que el precio final no variase, se deberían adquirir x � 8. Por tanto, se tiene que

��17x,25� � 0,4�(x � 8) � 17,25 ⇒ 17,25 � 0,4x � �

13x8

� � 3,2 � 17,25 ⇒ 0,4x 2 � 3,2x � 138 � 0 ⇒

⇒ x � �3,2 �

0,815,2� � �

Se han comprado 23 discos.

2.75. Un técnico informático espera obtener 360 euros por la reparación de varios equipos. El técnico se da cuen-

ta de que cuatro ordenadores no tienen posible reparación y, para obtener el mismo beneficio, aumenta en

4,50 euros el precio que va a cobrar por un equipo reparado. ¿Cuántos ordenadores tenía al principio? ¿A

qué precio cobrará finalmente cada reparación?

Sea x el número de ordenadores que se tienen inicialmente. Por cada uno, el técnico piensa cobrar �36

x0

� euros.

Sin embargo, finalmente solo reparará x � 4. Se verifica:

��36

x0

� � 4,5�(x � 4) � 360 ⇒ 360 � �14

x40� � 4,5x � 18 � 360 ⇒ 4,5x 2 � 18x � 1440 � 0 ⇒

⇒ x � �18 �

9162� ⇒ �

Por tanto, el número inicial de ordenadores era 20.

2.76. La suma de un número positivo más el valor de su raíz cuadrada coincide con el triple de dicho número.

¿De qué número de trata?

Sea x el número desconocido. Se tiene que: x � �x� � 3x ⇒ �x� � 2x ⇒ x � 4x 2 ⇒ x(4x � 1) � 0 ⇒ �x � 0

x � �14

x � 20x � �16 solución sin sentido

x � 23x � �15 solución sin sentido

x � 24 cmx � 3 cm

6 cm

12 cm

27 cm

6 cm

12 cm

27 cm

C

B

E

A x D

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Solucionario

2.77. Se sabe que una cierta población de insectos se incrementa en un 9% cada semana. Calcula el tiempo que

ha de pasar para que la población se multiplique por cinco.

Sea P el número inicial de insectos. Al cabo de una semana se tendrán P � 1,09. Al cabo de t semanas se ten-drán P � 1,09 t insectos. Por tanto:

5P � P � 1,09 t ⇒ 1,09 t � 5 ⇒ t � �lo

lgog1,

509

� � 18,676 semanas � 131 días

2.78. La suma de un número de dos cifras más el que resulta al invertirlas es 99. ¿Cuánto vale la suma de las

dos cifras de ese número?

Sea [xy]10) � 10x � y el número desconocido. El número invertido será [yx]10) � 10y � x.

Se tiene que 10x � y � 10y � x � 99 ⇒ 11x � 11y � 99 ⇒ x � y � 9. Las dos cifras suman 9.

2.79. Halla un número de tres cifras sabiendo que su suma es 12, que la cifra de las unidades es igual a la se-

misuma de las cifras de las centenas y de las decenas, y que, por último, el número que resulta al invertir

las cifras del buscado es 198 unidades más pequeño que éste.

Suponiendo que el número buscado es el [xyz]10) � 100x � 10y � z y que, por tanto, el número que resulta al

invertir sus cifras es [zyx]10) � 100z � 10y � x, podemos escribir:

� ⇒ � ⇒ � ⇒ y � 12 � 4 � 6 � 2 ⇒ El número buscado es el 624.

2.80. Se consideran tres barras de metal compuestas de la siguiente forma:

• Primera barra: 30 g de oro, 45 g de plata y 75 g de cobre

• Segunda barra: 60 g de oro, 30 g de plata y 135 g de cobre

• Tercera barra: 45 g de oro, 60 g de plata y 75 g de cobre.

¿Qué cantidad deberá tomarse de cada una de las barras para obtener otra que contenga 64,5 g de oro,

69 g de plata y 136,5 g de cobre?

En la primera barra se verifica que �13500

� � �120� es oro, �

14550

� � �130� es plata y �

17550

� � �150� es cobre.

En la segunda se verifica que �26205

� � �145� es oro, �

23205

� � �125� es plata y �

123255

� � �195� es cobre.

En la tercera se verifica que �14850

� � �132� es oro, �

16800

� � �142� es plata y �

17850

� � �152� es cobre.

Supongamos que tomamos x gramos de la barra primera, y de la segunda y z de la tercera. En estas condicio-nes, se puede escribir el sistema de ecuaciones lineales:

� ⇒ � ⇒ x � 90, y � 90, z � 90

Por tanto, se deberán tomar 90 gramos de cada una de las barras.

12x � 16y � 15z � 387018x � 8y � 20z � 414030x � 36y � 25z � 8190

�120�x � �

145�y � �

132�z � 64,5

�130�x � �

125�y � �

142�z � 69

�150�x � �

195�y � �

152�z � 136,5

x � y � z � 12z � 4x � 2 � z � 6

x � y � z � 12�3z � �12x � z � 2

x � y � z � 12x � y � 2z � 099x � 99z � 198

Page 50: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

2.81. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 27 y 36 cm, respectiva-

mente. Con centro en los vértices del triángulo, se trazan tres circunfe-

rencias de forma que son tangentes exteriores dos a dos.

Calcula los radios de las tres circunferencias.

Mediante el teorema de Pitágoras, se calcula el valor de la hipotenusa: �362 �� 272� � 45 cm.

Así se tiene que: � ⇒ � ⇒ � ⇒ r3 � 9

Los radios de las circunferencias son de 9, 18 y 27 cm, respectivamente.

2.82. Se dispone de un recipiente de 24 litros de capacidad y de tres medidas A, B y C. Se sabe que el volumen

de A es el doble que el de B, que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan has-

ta la mitad. ¿Qué capacidad tiene cada medida?

Sea x la capacidad de B y 2x la capacidad de A.

Como las tres medidas llenan el depósito, se tiene que la medida de C ha de ser 24 � 2x � x.

Por otro lado, ha de ser 2x � x � 12 ⇒ 3x � 12 ⇒ x � 4.

La medida de A es 8 litros; la de B, 4, y la de C, 12 litros.

2.83. Un almacenista trabaja con tres tipos de televisores. Cada televisor del primer tipo le cuesta 180 euros; el

del segundo tipo, 90 euros, y el del tercer tipo, 30 euros. Un pedido de 105 unidades tiene un importe to-

tal de 9600 euros.

Determina el número de televisores pedidos de cada clase sabiendo que el número de televisores del se-

gundo tipo es el doble que los del primero y tercer tipo juntos.

Sean x el número de televisores del primer tipo e y el número de televisores del tercer tipo. El número de televi-sores del segundo tipo es 2(x � y).

Se tiene que:

� ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ � ⇒ � ⇒ � ⇒ �Se pidieron 15 televisores de tipo 1, 70 televisores de tipo 2 y 20 televisores de tipo 3.

2.84. Halla tres números sabiendo que el primero es igual a dos veces el segundo más la mitad del tercero, que

la suma del segundo y el tercero es igual al primero más 1, y que, si se resta el segundo de la suma del

primero con el tercero, el resultado es 5.

Sea x el segundo número e y el tercero. El primer número es 2x � �2y

�. Se tiene:

� ⇒ � ⇒ E2 � E1 ⇒ 4y � 12 ⇒ �Los números buscados son �

52

�, �12

� y 3.

x � �12

y � 3

2x � y � �22x � 3y � 10

x � y � 2x � �2y

� � 1

2x � �2y

� � y � x � 5

x � 15y � 20

x � 35 � y

y � �3105000

� � 20x � 35 � y12600 � 9600 � 150y

x � 35 � y360(35 � y) � 210y � 9600

x � y � 35360x � 210y � 9600

3x � 3y � 105360x � 210y � 9600

x � 2(x � y) � y � 105180x � 90 � 2(x � y) � 30y � 9600

r1 � 18r2 � 27

r1 � r2 � �9r1 � r2 � 45

r1 � r3 � 27r2 � r3 � 36r1 � r2 � 45

A

C

Br3

r2

r1

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Solucionario

2.85. Las dos cuerdas paralelas dibujadas en la circunferencia miden 12

y 16 cm de longitud, respectivamente. La distancia entre las cuer-

das es de 2 cm. Halla el radio de la circunferencia.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

� ⇒ 64 � x 2 � 36 � 4 � x 2 � 4x

⇒ 4x � 24 ⇒ x � 6 cm

r 2 � 64 � 36 � 100 ⇒ r � 10 cm

2.86. Si se disminuye en 10 cm el lado de un cuadrado, su área disminuye en 400 cm2.

¿Cuál es el tamaño original del cuadrado?

Sea x el lado del cuadrado. Su área es x 2. Se tiene que (x � 10)2 � x 2 � 400. Por tanto,

x 2 � 20x � 100 � x 2 � 400 ⇒ 20x � 500 ⇒ x � 25

El lado del cuadrado inicial mide 25 cm.

2.87. De una cartulina que mide 20 10 centímetros se recortan cuatro cuadrados iguales en las esquinas. Se

dobla y se pega para hacer un pequeño recipiente sin tapa, que tiene una capacidad de 191 cm3. ¿De qué

tamaño eran los cuadrados que se han recortado?

En el dibujo se aprecia que la caja formada tendrá por base un rectángulo de di-mensiones (20 � 2x) y (10 � 2x) centímetros, respectivamente. Por tanto su ca-pacidad será:

C � (20 � 2x)(10 � 2x)x � 191 ⇒ 4x 3 � 50x 2 � 200x � 191 � 0.

Las soluciones aproximadas de esta ecuación son x1 � 1,91 cm, x 2 � 2,32 cm yx 3 � 10,77 cm. De las tres solo son válidas las dos primeras ya que la terceraimplicaría que un lado tuviera longitud negativa.

2.88. En una tienda de productos de imagen y sonido se adquiere un reproductor de música y un televisor. La

suma de los precios que marcan los dos productos es de 525 euros, pero el dependiente informa al clien-

te de que a los aparatos de música se les aplica una rebaja del 6% y a los televisores una rebaja del 12%,

por lo que en realidad debe pagar 471 euros. ¿Qué precio se ha pagado finalmente por cada uno de estos

dos productos?, ¿cuánto costaban antes de las rebajas?

Sea x el precio inicial del reproductor de música e y el precio inicial del televisor.

� ⇒ x � 150 y � 375 euros. El reproductor de música costaba 150 euros, y el televisor, 375.

2.89. Un comerciante adquiere dos tipos de café para tostar, moler y, posteriormente, mezclar. El de mayor cali-

dad tiene un precio de 9 euros el kg, y el de menor vale 7,5 euros el kg. El comerciante quiere obtener una

mezcla que salga a 8 euros y 40 céntimos el kg.

¿Cuál deberá ser la proporción de los dos tipos de café?

Sean x los kg de café de la primera calidad e y los kg de la segunda. Se tiene que:

9x � 7,5y � 8,4(x � y). Por tanto, 9x � 7,5y � 8,4x � 8,4y ⇒ 0,6x � 0,9y ⇒ 2x � 3y ⇒ �yx

� � �32

Deberá mezclar tres partes de la primera calidad con dos de la segunda.

x � y � 5250,94x � 0,88y � 471

82 � x 2 � r 2

62 � (2 � x)2 � r 2

2 cm12 cm

16 cm

x rr

6

82

20 cm

10 cm

xx

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2.90. El área de un rectángulo mide 12 cm2. Si se forma un nuevo rectángulo cuyas dimensiones miden, respec-

tivamente, 4 cm y 2 cm más que las del inicial, la nueva área resulta ser de 40 cm2.

Calcula las dimensiones de los dos rectángulos, así como sus perímetros.

Sean x e y las dimensiones del rectángulo inicial. Las dimensiones del nuevo rectángulo serán x � 4 e y � 2.

� ⇒ � ⇒ � ⇒ (10 � 2y)y � 12 ⇒

⇒ �2y 2 � 10y � 12 � 0 ⇒ y 2 � 5y � 6 � 0 ⇒ �Se obtienen dos soluciones.

Primera solución: las dimensiones del rectángulo son 6 y 2 cm, y su perímetro, 16 cm.

Segunda solución: las dimensiones del rectángulo son 4 y 3 cm, y su perímetro, 14 cm.

2.91. Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los dos primeros sea igual

al cuadrado del tercero.

Sean x � 1, x y x � 1 los tres números.

(x � 1)2 � x 2 � (x � 1)2 ⇒ (x � 1)2 � x 2 � (x � 1)2 ⇒ x 2 � 4x � 0 ⇒ �Los números pedidos son �1, 0 y 1, ó bien 3, 4 y 5.

2.92. De un número impar se sabe que está comprendido entre 200 y 600, que la suma de sus cifras es 16 y que

la segunda cifra es la suma de la primera y la tercera.

¿Se puede determinar x, o hay más de una posibilidad? En este caso, ¿cuántas hay?

Sea 100a � 10b � c el número buscado. Como está comprendido entre 200 y 600, se tiene que 2 � a � 5.

Además, � ⇒ 2b � 16 ⇒ � . Se tienen las siguientes posibilidades:

a � 2, b � 8, c � 6 ⇒ El número buscado es 286.

a � 3, b � 8, c � 5 ⇒ El número buscado es 385.

a � 4, b � 8, c � 4 ⇒ El número buscado es 484.

a � 5, b � 8, c � 3 ⇒ El número buscado es 583.

2.93. Halla la expresión de un polinomio de tercer grado que verifique que:

P(0) � 0 P(1) � 0 P(�1) � 2 P(�2) � �6

Sea P (x) � ax 3 � bx 2 � cx � d el polinomio buscado. Se tiene que:

� E2 � E3 ⇒ � ⇒ � E4 � 2E3 ⇒ �El polinomio buscado es P (x) � 2x 3 � x 2 � 3x.

2.94. Un ciclista está realizando un trayecto a favor del viento. En un primer tramo, el viento le ayuda a razón de

1 km/h, y en un segundo tramo le ayuda a razón de 2 km/h.

El ciclista lleva una velocidad propia constante en todo el recorrido y tarda 2 horas y 36 minutos en hacer

los 40 km. Posteriormente, en un mapa topográfico, el ciclista observa que los tramos están en la misma

proporción que 3 a 2. Calcula la velocidad propia del ciclista.

Sea x la velocidad del ciclista. Sean y, 40 � y las longitudes de los tramos. El tiempo que el ciclista tarda en realizar

el total del trayecto es: �x�

y1

���4x0�

2y

��2,6. La relación de los tramos es: �40

y�y�� �

32

� ⇒ 2y � 120 � 3y ⇒ y � 24.

Por tanto, �x

2�4

1� � �

x1�6

2� � 2,6 ⇒ 24x � 48 � 16x � 16 � 2,6(x 2 � 3x � 2) ⇒ 2,6x 2 � 32,2x � 58,8 � 0 ⇒

x � �32,2

5�,2

40,6� ⇒ �

La velocidad propia del ciclista es de 14 km/h.

x � 14

x � ��2113� solución sin sentido

d�0b�1a�2c��3

d�0b�1a�c��18a�2c�10

d�02b�2�a�b�c�d�2�8a�4b�2c�d��6

P (0)�d�0P (1)�a�b�c�d�0P (�1)��a�b�c�d�2P (x)��8a�4b�2c�d��6

b � 8b � a � c

a � b � c � 16b � a � c

x � 0x � 4

y � 2, x � 6y � 3, x � 4

xy � 12x � 2y � 10

xy � 1212 � 2x � 4y � 8 � 40

xy � 12(x � 4)(y � 2) � 40

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Solucionario

PROFUNDIZACIÓN

2.95. a) Compara las soluciones de la ecuación de segundo grado 3x 2 � 4x � 4 � 0 con las de la ecuación

�4x 2 � 4x � 3 � 0.

b) Demuestra que las soluciones de la ecuación x 2 � bx � 2 � 0 son inversas de la de la ecuación

2x 2 � bx � 1 � 0.

c) Demuestra que las soluciones de la ecuación ax 2 � bx � c � 0 son inversas de las de la ecuación

cx 2 � bx � a � 0.

a) 3x 2 � 4x � 4 � 0 ⇒ x � �4 �

68

� ⇒ x � 2, x � ��23

�; �4x 2 � 4x � 3 � 0 ⇒ x � �4

��8

8� ⇒ x � ��

32

�, x � �12

Las soluciones de una ecuación son inversas de las de la otra.

b) x 2 � bx � 2 � 0 ⇒ x � ��b � �

2b 2 ��8�� ; 2x 2 � bx � 1 � 0 ⇒ x � �

�b � �4

b 2 ��8��

��b � �

2b 2 ��8�� � �

�b � �4

b 2 ��8�� � � �

b 2 � b8

2 � 8� � �

88

� � 1

Las soluciones son inversas una de la otra.

De la misma forma:

��b � �

2b 2 ��8�� � �

�b � �4

b 2 ��8�� � � �

b 2 � b8

2 � 8� � �

88

� � 1

c) � � � �44aacc

� � 1

Y de la misma forma con la otra pareja de soluciones.

2.96. Estudia si este sistema es compatible. �Para resolverlo se puede utilizar la siguiente identidad: (x � y � z)2 � x 2 � y 2 � z 2 � 2(xy � xz � yz).

Utilizando ahora las ecuaciones se sabe que x 2 � y 2 � z 2 � 4; y que (xy � xz � yz � �5; por tanto, sustitu-yendo en la identidad anterior se obtiene: z 2 � 4 � z 2 � 2(�5) � 22 ⇒ z 2 � 9 ⇒ z � �3. De aquí se obtie-nen los sistemas:

z � 3: � sin solución real z � �3: � ⇒ � ó �Al existir soluciones reales, el sistema es compatible.

2.97. Para equipar un polideportivo se quieren adquirir balones por valor de 500 euros. En el mercado existen ba-

lones de 40, 25 y 5 euros. Deben comprar por lo menos uno de cada y un total de 24 unidades. ¿Qué po-

sibilidades tenemos?

Sean x, y, z el número de balones de 40, 25 y 5 euros, respectivamente, que se adquieren. Se tiene que:

� ⇒ {35x � 20y � 380 ⇒ 7x � 4y � 76 ⇒ y � �76 �

47x

� � 19 � �74x�

Dando valores múltiplos de 4 a x se obtienen las soluciones.

Las únicas posibilidades para obtener tres números naturales son:

� Es decir, 4 de 40, 12 de 25 y 8 de 5Es decir, 8 de 40, 5 de 25 y 11 de 5

x � 4 y � 12 z � 8x � 8 y � 5 z � 11

40x � 25y � 5z � 500x � y � z � 24

x � 1y � �2

x � 1y � �2

x 2 � y 2 � 5x � y � �1

x 2 � y 2 � 5x � y � �1

x 2 � y 2 � z 2 � �4

xy � xz � yz � �5

x � y � z � 2

(�b)2 � (b 2 � 4ac)���

4ac�b � �b 2 ��4ac����

2c�b � �b 2 ��4ac����

2a

(�b)2 � (b 2 � 8)���

8

(�b)2 � (b 2 � 8)���

8

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2.98. a) Calcula el valor de k para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones.

�b) Para el valor de k anterior, escribe todas las soluciones.

a) � ⇒ � ⇒ �Para k � 18 se obtiene la ecuación 0 � z � 0, que se verifica para cualquier valor de z.

b) Las infinitas soluciones del sistema vienen dadas por las fórmulas �

2.99. Calcula los valores de k para que el siguiente sistema sea incompatbile. �

� ⇒ � ⇒ �Si k 13, la última ecuación no tiene sentido y, por tanto, el sistema no tiene solución.

2.100. Aplicando el método de Gauss, estudia y resuelve el siguiente sistema de cuatro ecuaciones lineales con

cuatro incógnitas.

� ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ � ⇒ w � 0 z � �1 y � 2 x � 4

2.101. Un sistema de inecuaciones con una incógnita es un conjunto de inecuaciones que deben satisfacerse al

mismo tiempo, de forma que la solución del sistema es la intersección de las soluciones de las ecuacio-

nes individuales. Teniendo esto presente, resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con una

incógnita.

a) � b) �a) � ⇒ � ⇒ �14 � x � 0 ⇒ [�14, 0)

b) � ⇒ � ⇒ � ⇒ ��13

� � x � �131� ⇒ ���

13

�, �131��

x � 6

x � �131�

x ��13

x � 63x � 116x �2

x � 63 � x 2(x � 4)5x � 3 �(x � 1)

2x � 0x �14

3x � 1 � 2x � (1 � x)3(x � 2) 2(x � 4)

x � 6

3 � x 2(x � 4)

5x � 3 �(x � 1)

3x � 1 � 2x � (1 � x)

3(x � 2) 2(x � 4)

x � 3y � 2z � 2w � 12�8y � 3z � 3w � �19z � 7w � �1�66w � 0

x � 3y � 2z � 2w � 12�8y � 3z � 3w � �19z � 7w � �1�3z � 45w � 3

x � 3y � 2z � 2w � 12�8y � 3z � 3w � �19�8y � 4z � 10w � �20�9y � 3z � 9w � �21

x � 3y � 2z � 2w � 122x � 2y � z � w � 53x � y � 2z � 4w � 163x � 3z � 3w � 15

x � 3y � 2z � 2w � 12

2x � 2y � z � w � 5

3x � y � 2z � 4w � 16

3x � 3z � 3w � 15

x � 2y � 3z � 3�8y � 10z � �20z � k � 13

x � 2y � 3z � 3�8y � 10z � �2�8y � 10z � k � 15

x � 2y � 3z � 33x � 2y � z � 75x � 2y � 5z � k

x � 2y � 3z � 3

3x � 2y � z � 7

5x � 2y � 5z � k

x � 4 � 2� � 2 � (2 � 2�) � 6�y � 2 � 2�z � �

x � 2y � 2z � 4y � 2z � 20z � k � 18

x � 2y � 2z � 4y � 2z � 2y � 2z � k � 16

x � 2y � 2z � 42x � 5y � 2z � 104x � 9y � 6z � k

x � 2y � 2z � 4

2x � 5y � 2z � 10

4x � 9y � 6z � k

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Solucionario

ACTIVIDADES INICIALES

3.I. En una recta r hay tres puntos: A, B y C, que distan, sucesivamente, 2 y 5 cm. Por esos puntos se trazan rec-

tas paralelas que cortan otra, s, en M, N y P.

Si el segmento MN mide 8 cm, ¿cuál es la distancia entre los puntos N y P?

Por el teorema de Tales, los segmentos correspondientes en ambas rectas son proporcionales.

�MAB

N� � �

BN

CP� ⇒ �

28

� � �N5P� ⇒ NP � 20 cm

3.II. Calcula las medidas de los elementos que faltan en el triángulo rectángulo de

la derecha.

Los ángulos del triángulo miden 90�, 60� y 30�.

El cateto que falta mide �22 ��12� � �3� cm.

EJERCICIOS PROPUESTOS

3.1. Expresa las siguientes medidas de ángulos en radianes.

a) 30� b) 60� c) 330� d) 200�

a) 30� � 30 � �1

�80� � �

13800

� � � �16

� � � ��6

� rad c) 330� � 330 � �1

�80� � �

313800

� � � �161� � � �

116

�� rad

b) 60� � 60 � �1

�80� � �

16800

� � � �13

� � � ��3

� rad d) 200� � 200 � �1

�80� � �

210800

� � � �190� � � �

109

�� rad

3.2. ¿Cuánto mide en grados sexagesimales un ángulo de 1 rad? Aproxima el resultado con grados, minutos y

segundos.

1 rad � 1 � �18

�0�� � 57� 17� 45

3.3. Halla la medida en grados de los siguientes ángulos expresados en radianes.

a) —73

�— rad b) —32

�— rad c) 4 rad d) 4� rad

a) �73�� rad � �

73�� � �

18�0�� � �

7 �3180�� � 420� c) 4 rad � 4 � �

18�0�� � 229� 11�

b) �32�� rad � �

32�� � �

18�0�� � �

3 �2180� � 270� d) 4� rad � 4� � �

18�0�� � 720�

3.4. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos.

a) Ap � 90�, b � 10 cm, c � 12 cm b) Bp � 90�, b � 15 cm, c � 12 cm

a) a � �102 � 122� � �244� � 2�61�

sen Bp � �ba

� � � �5�

6161�� cos Bp � �

ca

� � �2�

12

61�� � �

6�61

61�� tg Bp � �

bc

� � �1102� � �

56

sen Cp � �ca

� � �6�

6161�� cos Cp � �

ba

� � �5�

6161�� tg Cp � �

bc

� � �1120� � �

65

b) a � �152 �� 122� � 9

sen Ap � �ba

� � �195� � �

35

� cos Ap � �bc

� � �1125� � �

45

� tg Ap � �ca

� � �192� � �

34

sen Cp � �bc

� � �45

� cos Cp � �ba

� � �35

� tg Cp � �ca

� � �192� � �

43

10�2�61�

3 Trigonometría

BC

A

2 cm

1 cm

60°

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3.5. Calcula la cosecante, la secante y la cotangente del ángulo de menor amplitud del triángulo rectángulo cu-

yos catetos miden 5 y 10 centímetros, respectivamente.

Hipotenusa: a � �52 �102� � 5�5� cm. El ángulo de menor amplitud es el opuesto al cateto menor, por tanto:

cosec α � �5�

55�

� � �5� sec α � �51�05�

� � ��25�� cotg α � �

150� � 2

3.6. Calcula las razones trigonométricas de 30� y de 60�. Para ello, toma un triángulo equilátero de lado a y diví-

delo en dos por una de sus alturas.

Al ser un triángulo equilátero, sus tres ángulos deben medir 60� cada uno. Por tanto: α � �620�� � 30� ; � � 60�

Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede calcular el valor de la altura: altura � �x 2 � ���2x

��2� � ��

34x 2

�� � �x�

23�

sen 30� � � �12

� sen 60� � � ��23��

cos 30� � � ��23�� cos 60� � � �

12

tg 30� � � ��1

3�� � �

�33�� tg 60� � � �3�

3.7. Indica el signo de todas las razones trigonométricas de los siguientes ángulos.

a) 120� c) 256� e) 315� g) 55�

b) �70� d) 800� f) 1200� h) �460�

3.8. Para los siguientes ángulos, indica el signo de todas sus razones trigonométricas.

a) —34

�— b) —11

3

�— c) —43

�— d) �—76

�— e) �—94

�—

�x�

23�

��

�2x

�2x

��

�x�

23�

�2x

��x

�x�

23�

��

x

�x�

23�

��

x

�2x

�x

x

x_2

� 120� �70� 256� 800� 315� 1200� 55� –480�

Cuadrante II IV III I IV II I III

sen � y cosec � � — — � — � � —

cos � y sec � — � — � � — � —

tg � y cotg � — — � � — — � �

� —34�— —11

3�— —4

3�— �—7

6�— �—9

4�—

Cuadrante II IV III I IV

sen � y cosec � � — — � —

cos � y sec � — � — � �

tg � y cotg � — — � � —

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Solucionario

3.9. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante.

a) sen 150� c) tg 330� e) sec 240�

b) cos 225� d) cosec 135� f) cotg 300�

a) sen 150� � sen 30� � �12

� d) cosec 135� � �sen

1135�� � �

sen145�� � �

�2

2�� � �2�

b) cos 225� � �cos 45� � ��22�� e) sec 240� � �sec 60� � ��

cos160�� � �2

c) tg 330� � �tg 30� � ��33�� f) cotg 300� � �ctg 60� � ��

tg160�� � ��

�33��

3.10. Calcula el valor exacto de las siguientes razones trigonométricas.

a) sen —34

�— b) cosec —11

6

�— c) tg —43

�— d) cos —56

�—

a) sen �34�� � sen �

�4

� � ��22�� c) tg �

43�� � tg �

�3

� � �3�

b) cosec �11

6�� � �cosec �

�6

� � � � �2 d) cos �56�� � �cos �

�6

� � ���23��

3.11. Sabiendo que la cotangente de un ángulo del primer cuadrante vale —�3

3�—, calcula el resto de las razones de

dicho ángulo.

Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α � ��3

3�� � �3�

1 tg2 α � sec2 α ⇒ sec α � �1 tg�2 α� � �1 (��3�)2� � 2 ⇒ cos α � �12

sen α � cos α � tg α � ��23�� ⇒ cosec α � �

�2

3�� � �

2�3

3��

3.12. Calcula las restantes razones de α sabiendo que: sec α � �5 y que 90� < α < 180�.

Al ser un ángulo del segundo cuadrante, el seno y la cosecante son positivos y el resto de razones son negativas.

sec α � �5 ⇒ cos α � ��15

sen2 α cos2 α � 1 ⇒ sen2 α ���15

��2

� 1 ⇒ sen2 α � 1 � �215� � �

2245� ⇒ sen α � ��

2245�� � �

�524�� ⇒

⇒ cosec α � ��

5

24�� � �

5�24

24��

tg α �sceons α

α� � � �24 ⇒ cotg α � ��

�1

24�� � ��

�2244�

3.13. Halla todas las razones trigonométricas de α si se sabe que cotg α � 2 y que � < α < —32

�—.

Al ser un ángulo del tercer cuadrante, la tangente y la cotangente son positivas, y el resto de razones, negativas.

tgα � �12

�; 1 tg2 α � sec2 α ⇒ sec α � ��1 tg�2 α� � ��1 ���12

��2� � ��

�25�� ⇒ cos α � � �

�2

5�� � ��

2�5

5��

sen α � cos α � tg α � ���2�

55�

�� � �12

� � ���55�� ⇒ cosec α � ��

�5

5�� � ��

5�5

5�� � ��5�

��

524��

��15

�1�

�12

1�

�sen ��6

Page 58: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

3.14. Calcula la razón pedida en cada caso:

a) sen α, si tg α � �3 y α ∈ II b) tg α, si cos α � —45

— y α ∈ IV

a) 1 cotg2 α � �sen

12 α� ⇒ sen2 α � �

1 c1otg2 α� � � �

190�. Como α ∈ II, sen α � ��

190�� � �

3�10

10��

b) 1 tg2 α � �co

1s2 α� ⇒ tg2 α � �

2156� � 1 � �

196� ⇒ tg α � ��

34

�, ya que α ∈ IV

3.15. Calcula las razones trigonométricas de 75� y —1

2— rad.

a) sen 75� � sen (30� 45�) � sen 30� cos 45� cos 30� sen 45� � �12

� � ��22�� �

�23�� � �

�22�� � �

�2� 4

�6��

cos 75� � cos (30� 45�) � cos 30� cos 45� � sen 30� sen 45� � ��23�� � �

�22�� � �

12

� � ��22�� � �

�6� �4

�2��

tg 75� � �sceons 7

755

��

� � � �6 2

42�12�

� � 2 �3�

b) sen �1�2� � sen ��

�3

� � ��4

�� � sen ��3

� cos ��4

� � cos ��3

� sen ��4

� � ��23�� � �

�22�� � �

12

� � ��22�� � �

�6� �4

�2��

cos �1�2� � cos ��

�3

� � ��4

�� � cos ��3

� cos ��4

� sen ��3

� sen ��4

� � �12

� � ��22�� �

�23�� � �

�22�� � �

�2� 4

�6��

tg ��1�2�� � � �

6 62

��

22�12�

� � 2 � �3�

3.16. Demuestra que sen �α � —32

�—� � �cos α.

sen �α �32��� � sen α � cos �

32�� cos α � sen �

32�� � cos α � (�1) � �cos α

3.17. Desarrolla las expresiones de cos 3α y de tg 3α en función de las razones trigonométricas del ángulo α.

cos 3α � cos (α 2α) � cos α cos 2α � sen α sen 2α � cos α (cos2 α � sen2 α) � sen α � 2sen α � cos α �� cos3 α � cos α � sen2 α � 2sen2 α � cos α � cos3 α � 3cos α � sen2 α � 4cos3 α � 3cos α

tg 3α � tg (α 2α) � �1

t�g α

tgα

t�gtg

2α2α� � � � �

31tg

�α

3�tgtg2 α

3 α� �

� �tg α

1 �(3

3�tg

t2

gα2 α)

3.18. Si α es un ángulo del segundo cuadrante y sen α � —35

—, calcula las razones de —α2

—.

Como α es del 2.� cuadrante, �α2

� es del primero y todas sus razones son positivas.

sen α � �35

� ⇒ cos α � ��1 � ���35

��2� � ��1 � �

2�95�� � ���

1265�� � ��

45

sen �α2

� � ��1 �

2c�os α

�� � �� � ��190�� � �

�3

10�� � �

3�10

10��

cos �α2

� � ��1

2c�os α

�� � �� � ��110�� � �

�1

10�� � �

�1100�

� y, por último, tg �α2

� � �3�

1010�� � �

�1100�

� � 31 � �

45

�2

1 �45

�2

�6� � �2����6� �2�

�2� �6����6� � �2�

1��

1 ���31��

2

�1 � t

1g2

�αtg�

2

2αtg2 α

tg α � tg3 α 2tg α���

1 � tg2 αtg α �1 �

2tgtg

α2 α�

1 � tg α ��1 �

2tgtg

α2 α�

Page 59: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

3.19. Transforma las siguientes sumas en productos.

a) sen 55� � sen 15� b) sen 75� � sen 35� c) cos 125� � cos 85� d) cos 220� � cos 20�

a) sen 55� sen 15� � 2sen �55�

215�

� cos �55� �

215�

� � 2sen 35� cos 20�

b) sen 75� � sen 35� � 2cos �75�

235�

� sen �75� �

235�

� � 2cos 55� sen 20�

c) cos� 125 cos 85� � 2cos �125�

2 85�� cos �

125�2� 85�� � 2cos 105� cos 20�

d) cos 220� � cos 20� � �2sen �220�

2 20�� sen �

220�2� 20�� � �2sen 120� sen 100�

3.20. Transforma los siguientes productos en sumas.

a) sen 80� � sen 40� b) cos 25� � cos 10�

a) �A

2B

� � 80�, �A �

2B

� � 40� ⇒ A � 120�, B � 40� sen 80� � sen 40� � ��12

� (cos 120� � cos 40�)

b) �A

2B

� � 25�, �A �

2B

� � 10� ⇒ A � 35�, B � 15� cos 25� � cos 10� � �12

� (cos 35� cos 15�)

3.21. Comprueba que cos 75� � cos 45� = cos 15�.

cos 75� cos 45� � 2cos �75�

245�

� � 2cos �75� �

245�

� � 2cos 60� cos 15� � 2 � �12

� cos 15� � cos 15�

3.22. Simplifica la siguiente expresión: —c

se

o

n

s 2

2

x

x

c

se

o

n

s x

x—

�sceons 2

2xx

cseons x

x� � � � cotg �

32x�

3.23. Resuelve las siguientes ecuaciones y da los resultados en grados y en radianes.

a) sen x � 1 c) 2 cos x � 1 � 0

b) tg x � 0 d) �3� tg x � 1 � 0

a) sen x � 1 El seno de un ángulo vale 1 únicamente en 90�, 450�, 810�, etc.

Por tanto: x � 90� 360� k con k ∈ Z o x � ��2

� 2�k con k ∈ Z

b) tg x � 0 La tangente vale 0 en los ángulos 0�, 180�, 360�, 540�, etc.

Por tanto: x � 180� k con k ∈ Z o x � �k con k ∈ Z

c) cos x � ��12

� El coseno es negativo para los ángulos de los cuadrantes 2.� y 3.�

Por tanto: x � 120� 360� k, x � 240� 360� k con k ∈ Z o x � �23�� 2�k, x � �

43�� 2�k con k ∈ Z

d) tg x � ��33�� La tangente es positiva para los ángulos de los cuadrantes 1.� y 3.�

Por tanto: x � 30� 360� k, x � 210� 360� k con k ∈ Z o x � ��6

� 2�k x � �76�� 2�k con k ∈ Z

3.24. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en el intervalo [0, 2�].

a) b) sen x � sen y � —�3�2

� 1—

sen x � sen y � —�3�2

� 1—

tg (x � y) � �3�x � 2y � —�

2—

cos �32x�

sen �32x�

2cos �2x

2 x� cos �

2x2� x�

���

2sen �2x

2 x� cos �

2x2� x�

Page 60: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

a) ⇒ ⇒ tg ���2

� � y� � �3� ⇒ cotg y � �3� ⇒ tg y � ��33�� ⇒ y � �

�6

�, y � �76��

Solución: x � ��6

�, y � ��6

b) ⇒ ⇒

⇒ �x � ��3

� ; y � ��6

�� �x � �23�� ; y � �

�6

��⇒

�x � ��3

� ; y � �56��� �x � �

23�� ; y � �

56���

3.25. Calcula la longitud del lado c de un triángulo ABC sabiendo que a � 10 cm, Ap � 45� y Bp � 100�.

Cp � 180� � 100� � 45� � 35� ⇒ �sen

a

Ap� � �

sen

c

Cp� ⇒ c � �

a

s

e

s

n

en

ApCp

� � �10

s�esnen45

3�5�

� � 8,11 cm

3.26. Calcula la longitud del lado c de un triángulo ABC sabiendo que a = 12 cm, b = 15 cm y Cp = 35�.

c2 � a2 b2 � 2ab cos Cp � 122 152 � 2 � 12 � 15 cos 35� � 74,105 ⇒ c � 8,61 cm

3.27. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos y calcula sus áreas.

a) Ap � 90�, b � 15 cm, a � 20 cm b) Bp � 90�, Cp � 25�, b � 10 m c) Cp � 90�, b � 10 mm, a � 18 mm

a) c � �202 �� 152� � 13,23; sen Bp � �ba

� � �1250� � 0,75 ⇒ Bp � 48� 35�, Cp � 41� 25'. Área: �

b2c� � 99,225 cm2

b) A � 90� � 25� � 65�; a � b cos Cp� 10 cos 25� � 9,06 m; c � b sen Cp� 10 sen 25� � 4,23 m. Área: �a2c� � 19,16 m2

c) c � �102 � 182� � 20,59 mm; tg Bp � �ba

� � �1108� � 0,556 ⇒ Bp � 29� 3�, Ap � 60� 57�. Área: �

b2a� � 90 mm2

3.28. Resuelve los siguientes triángulos y calcula sus áreas.

a) Ap � 80�, Bp � 40�, a � 8 dm c) a � 10 cm, b � 15 cm, c � 20 cm

b) *Ap � 80�, a � 10 m, b � 5 m d) *Ap � 75�, b � 8 mm, c � 12 mm

a) Ap Bp Cp � 180� ⇒ Cp � 180� � 40� � 80� � 60�

Aplicando el teorema del seno:

�sen

a

Ap� � �

sen

b

Bp� ⇒ b � �

a

s

e

s

n

en

ApBp

� � �8

s

e

s

n

en

80

4

0�� � 5,22 dm

�sen

a

Ap� � �

sen

c

Cp� ⇒ c � �

a

s

e

s

n

en

ApCp

� � �8

s

e

s

n

en

80

6

0�� � 7,04 dm

Área: S � �12

� a � b � sen Cp � 18,1 dm2

b) Aplicando el teorema del seno:

sen Bp � �b se

an Ap� � �

5 se1n0

80� � 0,492 ⇒ Bp � 29� 29�

Cp � 180� � 80� �29� 29� � 70� 31�

Por el teorema del coseno:

c2 � a2 b2 � 2ab cos Cp � 102 52 � 2 � 10 � 5 � cos 70� 31� � 91,65 ⇒ c � 9,57 m

Área: S � �12

� a � c � sen Bp � 23,56 m2

sen x � sen y � ��3�

2� 1�

sen x sen y � ��3�

2 1�

tg (x y) � �3�x y � �

�2

� � y

tg (x y) � �3�x 2y � �

�2

2sen x � � �3� ⇒ sen x � ��23��

2sen y � � 1 ⇒ sen y � �12

��3� 1 � �3� 1���

2

�3� � 1 �3� 1���

2

Page 61: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

c) Por el teorema del coseno:

cos Ap � �b2

2cb

2

c� a2

� � � 0,875 ⇒ Ap � 28� 57�

cos Bp � �a2

2ca

2

c� b2

� � � 0,6875 ⇒ Bp � 46� 34�

cos Cp � �a2

2ba

2

b� c2

� � � �0,25 ⇒ Cp � 104� 29�

Área: S � �12

� a � c � sen Bp � 72,6 cm2

d) Por el teorema del coseno:

a2 � b2 c2 � 2bc cos Ap � 82 122 �2 � 8 � 12 � cos 75� � 158,31 ⇒ a � 12,58 mm

Aplicando el teorema del seno:

sen Bp � �b se

an Ap� � �

8 s1e2n,5

785�

� � 0,614 ⇒ Bp � 37,88� � 37� 52� 45

Cp � 180� � 75� � 37,88� � 67,12� � 67� 7� 12

Área: S � �12

� b � c � sen Ap � 46,36 mm2

EJERCICIOSMedida de ángulos

3.29. Copia y completa las siguientes tablas.

3.30. Pasa de grados a radianes.

a) 585� b) 450� c) 76� 52 30 d) 382� 30

a) 585� � 585 � �1

�80� � �

134

�� rad c) 76� 52� 30 � 76,875 � �

1�80� � �

4916�� rad

b) 450� � 450 � �1

�80� � �

52�� rad d) 382� 30� � 382,5 � �

1�80� � �

178

�� rad

3.31. Pasa de radianes a grados.

a) —41

3

�— rad b) 13� rad c) —11

1

2

�— rad d) 5 rad

a) �41

3�� rad � �

413

�� � �

18�0�� � 2460� c) 13� rad � 13� � �

18�0�� � 2340�

b) �1112�� rad � �

1112�� � �

18�0�� � 165� d) 5 rad � 5 � �

18�0�� � 286� 28� 44

3.32. Indica los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas completas más el ángulo restante.

a) 2345� b) �1500� c) —46

3

�— rad d) �—52

7

�— rad

a) 2345� � 6 � 360� 185� � 6 vueltas 185� c) �46

3�� � 7 � 2� �

43�� � 7 vueltas �

43�� rad

b) �1500� � �4 � 360� � 60� � �4 vueltas � 60� d) ��52

7�� � �3 � 2� � �

107

�� � �3 vueltas � �

107

�� rad

100 225 � 400���

300

100 400 � 225���

400

225 400 � 100���

600

Grados 30� 60�

Radianes —�4

— —�2

Grados 135� 180�

Radianes —23

�— —5

6

�—

Grados 120� 135� 150� 180�

Radianes —23�— �

34�� —5

6�— �

Grados 30� 45� 60� 90�

Radianes ��6

� —�4

— ��3

� —�2

Grados 210� 240�

Radianes —54

�— —3

2

�—

Grados 210� 225� 240� 270�

Radianes �76�� —5

4�— �

43�� —3

2�—

Grados 315� 360�

Radianes —53

�— —11

6

�—

Grados 300� 315� 330� 360�

Radianes —53�— �

74�� —11

6�— 2�

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Razones trigonométricas

3.33. Halla los valores exactos de las razones trigonométricas de los ángulos agudos

del triángulo de la figura.

Bp � Cp � 45�

a � �2b2� � b�2�

sen 45� � �b�

b

2�� � �

�22�� � cos 45�, y tg 45� � �

bb

� � 1

3.34. En un triángulo isósceles, el lado mayor es el triple del lado menor. Calcula las razones trigonométricas.

Llamando al lado menor 2x, el lado mayor será 6x.

Altura: h � �(6x)2 �� x 2� � x�35�

Si el ángulo mayor es α, sen α � �x�

6x35�� � �

�635��, cos α � �

6xx� � �

16

� y tg α � ��3

x5�x� � �35�.

Para hallar las razones del ángulo menor, �, teniendo en cuenta que � � � � 2α, podemos aplicar las fórmulascorrespondientes.

sen � = sen (��2α) � sen 2α � 2sen α cos α � ��1385�

�, cos� � cos (� � 2α) � �cos 2α � sen2 α � cos2 α � �1178�

tg � = �sceons �

�� = �

�1375�

3.35. (TIC) Utiliza la calculadora para hallar el valor de las siguientes razones trigonométricas. Aproxima los resul-

tados a las milésimas.

a) sen 36� e) cotg 111� i) sec 126� 33

b) cos 124� f) sec 25� j) tg 23� 23 23

c) tg 331� g) sen 25� 40 k) tg 33� 42

d) cosec 27� h) cos 13� 15 l) cotg 121� 22 45

a) sen 36� � 0,588 e) cotg 111� � �0,384 i) sen 126� 33� � �1,679

b) cos 124� � �0,559 f) sec 25� � 1,103 j) tg 23� 23� 23 � 0,433

c) tg 331� � �0,554 g) sen 25� 40� � 0,433 k) tg 33� 42� � 0,667

d) cosec 27� � 2,203 h) cos 13� 15� � 0,973 l) cotg 121� 22� 45 � �0,61

3.36. (TIC) Utiliza la calculadora para hallar el valor de las siguientes razones trigonométricas. Aproxima los resul-

tados a las milésimas y ten en cuenta que todos los ángulos están dados en radianes.

a) sen —1

2— b) cosec 2 c) cos —3

7

�— d) sec 3 e) tg —21

5

�— f) cotg 2,75

a) sen �1�2� � 0,259 c) cos �

37�� � 0,223 e) tg �

215

�� � 0,727

b) cosec 2 � 1,1 d) sec 3 � �1,01 f) cotg 2,75 � �2,422

3.37. (TIC) Con ayuda de la calculadora, halla la medida en grados del ángulo α del primer cuadrante tal que:

a) sen α � 0,345 c) tg α � 0,25 e) sec α � 0,442

b) cosec α � 0,3 d) cos α � 0,553 f) cotg α � 0,01

a) sen α � 0,345 ⇒ α � 20� 11� d) sec α � 0,442 ⇒ No existe ningún ángulo.

b) cosec α � 0,3 ⇒ No existe ningún ángulo. e) cos α � 0,553 ⇒ α � 56� 26�

c) tg α � 0,25 ⇒ α � 14� 2� f) cotg α � 0,01 ⇒ α � 89� 26�

c = b a

B

CbA

Page 63: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

3.38. Calcula, de forma exacta, el valor de las siguientes razones trigonométricas.

a) sen 240� d) cosec 330� g) sec 120�

b) cos 135� e) tg 300� h) cotg 225�

c) sen —74

�— f) tg —73

�— i) sec —53

�—

a) sen 240� � �sen 60� � ���23�� d) cosec 330� � �cosec 30� � �2 g) sec 120� � �sec 60� � �2

b) cos 135� � �cos 45� � ���22�� e) tg 300� � �tg 60� � ��3� h) cotg 225� � cotg 45� � 1

c) sen �74�� � �sen �

�4

� � ���22�� f) tg �

73�� � tg 60� � �3� i) sec �

53�� � sec �

�3

� � 2

3.39. Halla el valor exacto de las siguientes razones trigonométricas.

a) sen 1215� b) cos (�600�) c) cosec ��—�2

—� d) cotg 1830� e) tg (�15�) f) sec ��—13

3

�—�a) sen 1215� � sen 135� � sen 45� � �

�2

2�� d) cotg 1830� � cotg 30� � �3�

b) cos (�600�) � cos 600� � cos 240� � �cos 60� � ��12

� e) tg (�15�) � �tg 15� � �tg � � 0

c) cosec ����2

�� � �cosec ��2

� � �� � �1 f) sec ���133��� � sec �

133

�� � sec �

�3

� � 2

3.40. Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo α sabiendo que:

a) Es un ángulo del primer cuadrante y cos α � —23

—. d) —32

�— < α < 2� y sec α � �2�

b) Pertenece al segundo cuadrante y sen α � 0,25. e) 90� < α < 180� y cotg α � –3

c) 180� < α < 270� y tg α � �2� f) � < α < —32

�— y cosec α � – —5

2—

a) Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones trigonométricas son positivas.

sen2 α cos2 α � 1 ⇒ sen2 α ��23

��2

� 1 ⇒ sen2 α � 1 � �49

� � �59

� ⇒ sen α � ��59

�� � ��35��

sec α� �co

1s α� � �

32

�, cosecα � �sen

12 � �

�3

5�� � �

3�5

5��, tg α� �

sceons α

� ��

�25��, cotg �

tg1��

�2

5����

2�5

5��

b) Al ser un ángulo del segundo cuadrante, el seno y la cosecante son positivos y el resto de razones son negativas.

sen2 α cos2 α � 1 ⇒ ��14

��2

cos2 α � 1 ⇒ cos2 α � 1 � �116� � �

1156� ⇒ cos α � ��

�415��

tg α � �sceons α

α� � � ��

�1

15�� � ��

�1155�

�, cotg α � �tg1α� � ��15�, cosec α � �

se1n α� � 4,

sec α � �co

1s α� � ��

�4

15�� � ��

4�15

15��

c) Al ser un ángulo del tercer cuadrante, la tangente y la cotangente son positivas y el resto de razones son negativas.

tg α � �2� ⇒ cotg α � ��22��, 1 tg2 α � sec2 α ⇒ sec α � ��1 1t�g2 α� � ��1 ��22�� � ��3� ⇒

⇒ cos α � ���1

3�� � ��

�33��

sen α � cos α � tg α � ����33��� � �2� � ��

�36�� ⇒ cosec α � ��

�3

6�� � ��

3�6

6�� � ��

�26��

�14

���

415��

��35��

�23

1�

sen ��2

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d) Al ser un ángulo del cuarto cuadrante, el coseno y la cosecante son positivos y el resto de razones son negativas.

sec α � �2� ⇒ cos α � ��22��, sen2 α cos2 α � 1 ⇒ sen2 α ��

�22���

2

� 1 ⇒ sen2 α � 1 � �12

� � �12

� ⇒ sen α � ���22��

tg α � �sceons α

α� � � �1 cotg α � �

tg1α� � �1 cosec α � �

se1n α� � � ��2�

e) Al ser un ángulo del segundo cuadrante, el seno y la cosecante son positivos y el resto de razones son negativas.

cotg α � �3 ⇒ tg α � ��13

1 tg2 α � sec2 α ⇒ sec α � ��1 tg�2 α� � ��1 ����13

��2� � ��

�310�� ⇒ cos α � ��

�3

10�� � ��

3�10

10��

sen α � cos α � tg α � ���3�

1010��� � ���

13

�� � ��1100�

� ⇒ cosec α � ��1

1

0

0�� � �10�

f) Al ser un ángulo del tercer cuadrante, la tangente y la cotangente son positivas y el resto de razones sonnegativas.

cosec α � ��52

� ⇒ sen α � ��25

sen2 α cos2 α � 1 ⇒ ���25

��2

cos2 α � 1 ⇒ cos2 α � 1 � �245� � �

2215� ⇒ cos α � ��

�521��

tg α � �sceons α

α� � � �

�2

21�� � �

2�21

21�� cotg α � �

tg1α� � �

�221��, sec α � �

co1s α� � �

�5

21�� � ��

5�21

21��

3.41. Calcula en función de h el valor de cada una de las siguientes razones trigonométricas.

a) sen 123�, siendo sen 57� � h. f) cosec 701�, siendo cotg 199� � h.

b) cos 220�, siendo tg 40� � h. g) tg 290�, siendo sen 110� � h.

c) tg 260�, siendo sen 80� � h. h) sen 83�, siendo cos 7� � h.

d) cos 250�, siendo sen 110� � h. i) sec 203�, siendo cotg 67� � h.

e) cos 247�, siendo sen 113� � h. j) sec —1

1

1

2

�—, siendo sen —1

2— � h.

a) sen 123� � sen 57� � h

b) cos 220� � ���1 t�g1

2 220���� � ��

1 t1�g2 40��� � ���

1 1

h�2��c) tg 260� � ��

cos2

12�60�� �� 1� � ��1 � s�1

en2 60��� � 1� � ��1 � (��s

1en�80�)2��� 1� � ��

1 �1

h�2� � 1� �

tg 260� � ��1 �

h2

h�2�� � ��1

h

� h�2��

d) cos 250� � cos 110� � ��1 � s�en2 11�0�� � ��1 � h�2�

e) cos 247� � ��1 � s�en2 24�7�� � ��1 � s�en2 67��� � ��1 � h�2�

f) cosec 701� � cosec 341� � � cosec 19� � ��1 c�otg2 1�9�� � ��1 h�2�g) tg 290� � tg 110� � h

h) sen 83� � cos 7� � h

i) sec 203� � sec 23� � �cos

123�� � �

sen167�� � cosec 67� � �1 c�otg2 6�7�� � �1 h�2�

j) sec �1112�� � �sec �

1�2� � � � � � ��

�1

1

� h�2��

1��

�1 � s�en2 �1�2��

1�

cos �1�2�

��25

���

521��

1�

���22��

���22��

��22��

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Solucionario

Relaciones entre las razones trigonométricas

3.42. Calcula, en función de h, la razón trigonométrica que se indica en cada caso.

a) cosec —23

5

�—, sabiendo que cotg —35

�— � �h2.

b) sec 305�, sabiendo que cotg 55� � —1h

—.

c) tg 348�, sabiendo que cos 192� � �h2.

a) cosec �23

5�� � cosec �

35�� � �1 c�otg2 �

3�5��� � �1 h�4�

b) sec 305� � �cos

1305�� � �

cos155�� � �

���

��� �

� �1 h�2�

c) tg 348� � ���cos2

13�48�� �� 1� � ���

cos2

11�2�� ��1� � ���(�cos�1

192��)2� � 1� � ���h1

4� ��1� � ���1

h�2

h�4��

3.43. Sabiendo que sen α � h y que α es un ángulo del primer cuadrante, calcula en función de h:

a) sen (90� � α) b) tg (1080� � α)

a) 90� � α es también un ángulo del primer cuadrante; sen (90� � α) � cos α � �1 � h�2�.

b) 1080� � 3 � 360�; tg (1080� � α) � tg (�α) � � tg α � ��1

h

h�2��

3.44. Si tg α � h y α es un ángulo del primer cuadrante, calcula en función de h:

a) sen (90� – α) b) cotg (1080� – α)

1 tg2 α � sec2 α ⇒ cos α � ��1

1tg�2 � � ��

1 1

h�2��; sen α � cos α · tg α � h��1

1h�2��

a) 90� � α es también un ángulo del primer cuadrante; sen (90� � α) � cos α � ��1

1h�2��

b) 1080� � 3 · 360�; cotg (1080� � α) � cotg (�α) � �cotg α � ��h1�

3.45. Sabiendo que cosec x � �—74

—, calcula:

a) sen (810� � α) b) sec �—17

2

�— � x�x está en el tercer cuadrante o en el cuarto. Por tanto, 810� � x y �

172

�� � x están en el 2.� o 3.er cuadrantes. No se

puede saber el signo de cos x, por lo que no se puede saber el signo de sen (810� � x).

a) sen (810� � x) � sen (90� � x) � cos x � �1 � s�en2 x� � �1 � �c�ose

1c2�x�� � �1 ��� � �

�733��

b) sec ��17

2�� � x� � sec ��

�2

� � x� � � �se

1nx� � cosec x � ��

74

3.46. Demuestra que tg (270 � x) � cotg x.

tg(270� � x) � �sceons

((227700�

��

xx))

� � � ���c

soesn

xx

� � cotg xsen 270� cos x � cos 270� sen x����cos 270� cos x sen 270� sen x

1��

cos ���2

� � x�

1�

�4196�

1��

��1

1h�2��1

��

1 �1/

1h2�

1��

1 �cotg

12 55��

1��

��1 t

1�g2 55���

1��

1��

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3.47. Desarrolla en función de sen α y cos α la expresión de sen 3α.

sen 3α � sen (α 2α) � sen α � cos 2α cos α � sen 2α �

� sen α (cos2 α � sen2 α) cos α (2sen α cos α) �

� sen α cos2 α � sen3 α 2sen α cos2 α � 3sen α cos2 α � sen3 α

3.48. Sabiendo que sen α � 0,25 y cos � � 0,5, y que α y � son ángulos del primer cuadrante, calcula:

a) sen (α � �) b) cos (α � �) c) sec (α � �) d) cotg (α � �)

sen α � 0,25; cos α � 0,968; sen � � 0,866; cos � � 0,5

a) sen (α �) � 0,25 � 0,5 0,968 � 0,866 � 0,96

b) cos (α � �) � 0,968 � 0,5 0,25 � 0,866 � 0,7

c) sec (α �) � �cos (α

1 �)� � � 3,74

d) cotg (α � �) � �tg (α

1� �)� � �

1tg

αtg

�α

tg� t

�g �

� � � �0,98

3.49. Si sen α � 0,4 y cos � � �0,5, siendo —�2

— < α < � y � < � < —32

�—, calcula:

a) sen (α � �) b) cos (α � �) c) tg (α � �)

sen α � 0,4 ; cos α � �0,917 ; sen � � �0,866 ; cos � � �0,5

a) sen (α � �) � �0,4 � 0,5 � 0,917 � 0,866 � �0,99

b) cos (α �) � 0,917 � 0,5 0,4 � 0,866 � 0,80

c) tg (α �) � �1

t�g α

tgαt�g

tg�

�� � � 0,74

3.50. Sabiendo que tg α � 3, calcula las razones trigonométricas del ángulo 2α en cada caso.

a) Si α es un ángulo del primer cuadrante. b) Si α es un ángulo del tercer cuadrante.

a) El ángulo 2α pertenece al segundo cuadrante. Al ser tg α � 1, 45� � α � 90�.

tg α � 3 ⇒ cos α � ��1

1tg�2 � � ��

1 1

9�� � �

�1

10�� � �

�1100�

� ; sen α � �3�

1010��

sen 2α � 2sen α cos α � 2 �3�

1010�� � �

�1100�

� � �61�0010� � 0,6

cos 2α � cos2 α � sen2 α � �11000

� � �91�0010� � 0,1 � 0,9 � �0,8

tg 2α � ��00,6,8

� � �0,75

b) Los mismos valores del apartado anterior, ya que el ángulo 2α también pertenece en este caso al segundocuadrante.

3.51. Calcula el valor de la tangente de α sabiendo que es un ángulo del primer cuadrante y que sen —α2

— � —13

—.

cos �α2

� � �1� �s�en �α2

���2

� � �1 � ���13

��2

� � ��38��; tg α � tg (2 � �

α2

�) � �

cos �α2

� � � � �2�

78�

�2 � �

13

� � ��38��

��

�89

� � �19

2sen �α2

� cos �α2

���

cos2 �α2

� � sen2 �α2

sen �2 � �α2

����

cos �2 � �α2

��

��00,9,417� �

0,08,656

���

1 �00,9,417� � �

0,08,656

1 �00,9,2658

� � �0,08,656

���

�00,9,2658

� � �0,08,656

1����0,968 � 0,5 � 0,25 � 0,866

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Solucionario

3.52. Calcula, de forma exacta, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos.

a) 15� b) 7� 30

a) sen 15� � sen ��320��� � ��1 � c�2

os 30���� � �� � ��

2 �4

��3��� � �

�2 �2

��3���

cos 15� � cos ��320��� � ��1 c�2

os 30���� � �� � ��

2 4

��3��� � �

�2 2

��3���

tg 15� � ��11 �

cc�ooss

3300��

��� � �� � ��

2

2

���3�

3��� � ��� � 2 � �3�

b) sen 7� 30� � sen ��125��� � ��1 � c�2

os 15���� � �� � ��

2 � ��42 ���3����

cos 7� 30� � cos ��125��� � ��1 c�2

os 15���� � �� � ��

2 ��42 ���3����

tg 7� 30� � �csoesn

77��

1155'

� � ��3.53. Si cos α � �—2

3— y 90� < α < 180�, calcula las razones trigonométricas de —α

2—.

Si el ángulo α pertenece al segundo cuadrante, el ángulo �α2

� pertenece al primero.

sen �α2

� ���1 � c

2o�s ���� ���

56

��; cos �α2

� ���1 c

2o�s � ��� � �

�1

6��; tg �

α2

� � ���

5�6�� � �

�1

6�� � �5�

3.54. Transforma en producto de razones trigonométricas las siguientes sumas.

a) sen 48� � sen 32� d) sen 105� � sen 25�

b) cos 200� � cos 40� e) cos 23� � cos 57�

c) sen —�3

— � sen —�5

— f) cos —�3

— � cos —�9

a) sen 48� sen 32� � 2 sen �48�

232�

� cos �48� �

232�

� � 2 sen 40� cos 8�

b) cos 200� cos 40� � 2 cos �200�

2 40�� cos �

200�2� 40�� � 2 cos 120� cos 80�

c) sen ��3

� sen ��5

� � 2 sen cos � 2 sen �41

�5� cos �

1�5�

d) sen 105� � sen 25� � 2 cos �105�

2 25�� sen �

105�2� 25�� � 2 cos 65� sen 40�

e) cos 23� � cos 57 � �2 sen �23�

257�

� sen �23� �

257�

� � �2 sen 40� sen (�17�) � 2 sen 40� sen 17�

f) cos ��3

� � cos ��9

� � �2 sen sen � �2 sen �29�� sen �

�9

���3

� � ��9

��

2

��3

� ��9

��

2

��3

� � ��5

��

2

��3

� ��5

��

2

1 � �23

��

2

1 �23

��

2

2 � �2 ��3����2 �2 ��3��

1 ��2

2��3��

��2

1 � ��2

2��3��

��2

(2 � �3�)2

���(2 �3�) (2 � �3�)

1 � ��23��

��

1 ��23��

1 ��23��

��2

1 � ��23��

��2

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3.55. Transforma en suma de razones trigonométricas los siguientes productos.

a) 2 sen 33� � cos 11� c) sen 50� � cos 75�

b) cos 95� � cos 38� d) sen 119� � sen 25�

a) 2 � sen 33� cos 11� � sen 44� � sen 22�

b) cos 95� � cos 38� � �12

� (cos 133� � cos 57�)

c) sen 50� � cos 75� � �12

� (sen 125� � sen (�25�)) � �12

� (sen 125� � sen 25�)

d) sen 119� � sen 25� � ��12

� (cos 144� � cos 94�)

3.56. Transforma en productos las siguientes sumas.

a) sen 4x � sen 2x c) cos 6x � cos 4x

b) sen 3x � sen x d) cos 8x � cos 2x

a) sen 4 x � sen 2 x � 2 sen�4x �

22x

� cos �4x �

22x

� � 2 sen 3 x cos x

b) sen 3 x � sen x � 2 cos �3x

2� x� sen �

3x2� x� � 2 cos 2 x sen x

c) cos 6 x � cos 4 x � 2 cos�6x �

24x

� cos �6x �

24x

� � 2 cos 5 x cos x

d) cos 8 x � cos 2 x � �2 sen�8x �

22x

� sen �8x �

22x

� � �2 sen 5 x sen 3 x

3.57. Simplifica la expresión sen �x � —23

π—� � sen x.

sen �x � �23� sen x � 2 sen cos � 2 sen �x � �

�� cos �3π

� �

� 2 �sen x � cos �3π

� � cos x � sen �3π

�� cos �3π

� � 2 �sen x � �12

� � cos x � ��23��� �

�23�� � �

�23�� �sen x � �3� cos x�

3.58. Desarrolla las siguientes expresiones.

a) sen (α � β � γ) c) sen (2α � β)

b) cos (α � β � γ) d) cos (α � 2β)

a) sen (α � β � γ) � sen (α � (β � γ)) � sen α � cos (β � γ) � cosα � sen (β � γ) �

� sen α � cos β � cos γ � sen α � sen β � sen γ � cos α � sen β � cos γ � cos α � cos β � sen γ �

� sen α � cos β � cos γ � cos α � sen β � cos γ � cos α � cos β � sen γ � sen α � sen β � sen γ

b) cos (α � β � γ) � cos (α � (β � γ)) � cos α � cos (β � γ) � sen α � sen (β � γ) �

� cos α � cos β � cos γ � cos α � sen β � sen γ � sen α � sen β � cos γ � sen α � cos β � sen γ �

� cos α � cos β � cos γ � cos α � sen β � sen γ � sen α � cos β � sen γ � sen α � sen β � cos γ

c) sen (2α � β) � sen 2α � cos β � cos 2α � sen β � 2 sen � � cos α � cos β � cos2 α � sen β � sen2 α � sen β

d) cos (α � 2β) � cos α � cos 2β � sen α � sen 2β � cos � � (cos2 β � sen2 β) � sen α � 2sen β � cos β �

� cos α � cos2 β � cos α � sen2 β � 2sen α � sen β � cos β

x � �23π� � x

��2

x � �23π� � x

��2

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3.59. Demuestra las siguientes identidades trigonométricas.

a) —sen

tg

αα�

co

1

s α— � cos α g) —1 �

se

c

n

os

2α2α

— � tg α

b) —se

1

n

α �

co

c

t

o

αs α

— � cosec α h) tg �—4

π— � α�� tg �—4

π— � α� � 2 tg 2α

c) tg2 α � sen2 α � tg2 α �sen2 α i) sen2 α � sen2 β � sen (α � β) � sen (α � β)

d) —co

tg

s

α2α— � tg 2α � tg α j) (cos α � cos β)2 � (sen α � sen β)2 � —4 sen

2

2 α � β—

e) tg α � cotg α � sec α � cosec α k) � tg 2α

f) —1 �

2s

c

e

o

n

s

α2 α— � —

1 �

se

c

n

o

2

s

α2α

— � sen α � tg α

a) �sen

tgα

α�

�co1s α

� � � � � cos α

b) �se

1n�α

c�otcgoαs α� � � � �

se1n α� � cosecα

c) tg2 α � sen2 α � �sceons2

2

αα

� � sen2 α � ��sen2 α

c(1os

�2 α

cos2 α)�� �

sceons2

2

αα

� � sen2 α � tg2 α � sen2 α

d) tg2 2α � tg α � �1

2�

tgtg

α2 α� � tg α � tg α ��1 �

2tg2 α� � 1� � tg α �

11

��

ttgg

2

2

αα� � tg α �

� tg� �

e) tg α � cotg α � �sceons α

α� � �

sceons α

α� � �se

sne

2

nαα�

ccoossα2 α

� � sec α � cosec α

f) �12�

sceonsα2 α

���1 �

secno2sα2 α�� � ��

22

sseenn

2

αα

���2se

2nco

αsc2αos α

�� sen α � tg α

g) �1 �

secno

2

2 α� � � �2 s

2en

cαos2

cαos α

� � �sceons α

α� � tg α

h) tg ��4

� � �tg ��4

� � � � � � �

� � � 2 tg2 2α

i) sen (α � β) � sen (α � β) � (sen α � cos β � cos α � sen β) � (sen α � cos β � cos α sen β) �

� sen2 α cos2 β � cos2 α sen2 β � sen2 α cos2 β � (1 � sen2 α) sen2 β � sen2 α cos2 β � sen2 α sen2 β � sen2 β �

� sen2 α (cos2 β � sen2 β) � sen2 β � sen2 α � sen2 βj) (cos α � cos β)2 � (sen α � sen β)2 � cos2 α � cos2 β � 2cos � cos β � sen2α � sen2 β � 2 sen α sen β �

� 1 � 1 � 2 � �12

� (cos (α � β) � cos (α � β)) � 2 � �12

� (cos (α � β) � cos (α � β)) �

� 2 � cos (α � β) � cos (α � β) � cos (α � β) � cos (α � β) � 2 � 2cos (α � β) � 2 � 2 �cos2 �α �

� sen2 �α �

�� �

� 2 � 2 �1 � 2 sen2 �α �

�� � 4 sen2 �α �

k) Equivale a la identidad del apartado h.

4 tg α�1 � tg2 α

1 � tg2 α � 2 tg α � 1 � tg2 α � 2 tg α�����

1 � tg2 α

1 � tg α�1 � g α

1 � tg α�1 � tg α

tg �

4� � tg α

��1 � tg �

4� tg α

tg �4

� � tg �1 � tg �

4� tg α

2sen α cos α���1 � cos2 α � sen2 α

2 sen α cos α���1 � cos2 α � sen2 α

1 � cos2 α � sen2 α���

2sen α

tg α �cos2 α �

1sen2 α� � �

ctogs2

αα�

�cos2

cαo�s2

sαen2 α

�cos2

cαo�s2

sαen2 α

1 � �sceons2

2

αα

1 � �sceons2

2

αα

sen2 α sen2 α cos2 α���

cos2 α

�sen α

se�n α

cos α�

sen α � cos α

1 � �cseonsαα

sen α � cos α

(sen α � cos α) � cos α���

sen α � cos αsen α � cos α

�sen α

co�s α

cos α�

sen α � cos α

�sceons α

α� � 1

tg �—4

π— � a� � tg �—4

π— � α�2

Solucionario

Page 70: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

3.60. Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas.

a) (sen α � cos α)2 � (sen α � cos α)2 e) sen 2α (tg α � cotg α)

b) tg α � tg β (cotg α � cotg β) f) —1 �

co

c

s

o

2αs α

— � —1 �

se

s

n

e

2αn α

c) —1

1

t

t

g

g

2

2

αα

— g) —c

s

o

e

s

n2 αα

� c

s

o

en

s2

αα

— � —1 �

tg

tg

α

2 α—

d) —1

c

o

s

s

e

2

n

αα

a) (sen α � cos α)2 � (sen α � cos α)2 � sen2 α � cos2 α � 2sen α cos α � sen2 α � cos2 α � 2sen α cos α � 2

b) tg α � tg β (cotg α � cot β) � tg α � tg β ��tg1α� � �

tg1

β��� tg α � tg β �ttggβα�� t

tgg

βα

�� tg α � tg β

c) �11

��

ttgg

2

2

αα� � 1 � � � cos2 α � sen2 α � cos 2α

d) �1 �

cosse

2 αn α� � �

11

��

sseenn

2

αα

� � � 1 � sen α

e) sen 2α � (tg α � cotg α) � 2 sen α cos α ��sceons α

α� � �

sceons α

α�� � 2 sen α cos α ��cos α1sen α�� � 2

f) �1c�ocso

2

��1s�esne

2

���11��sceons

2

αα

�����11��csoesn

2

αα

��� �(1�sen α)(1�cos α)

g) ��1 �

tgtgα

2 ��

secnoαs

c2oαs α

�� � �tg

22α� � �

tg22α� � �

tg22α� � 1

3.61. Simplifica las siguientes expresiones utilizando las fórmulas de transformación de sumas en productos.

a) b) —co

se

s

n

α(α

co

βs

)

β— c) d)

a) � � sen 5α c) � �2 co

2ss4eαnsαen α�� �

cos14 α�

b) �cossen

α(α�

�co

βs)β

�� � d) � � cotg �32α�

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

3.62. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas indicando todas sus soluciones en grados.

a) sen x � —12

— c) tg x � 1 e) cos x � —12

— g) sen x � 0

b) cos x � —�2

3�— d) sen x � �—�2

2�— f) tg x � �—�3

3�— h) 1 � cos x � 0

a) sen x � �12

� ⇒ � d) sen x � ���22�� ⇒ � f) sen x � 0 ⇒ x � 180� k

b) cos x � ��23�� ⇒ � e) cos x � ��

12

� ⇒ � g) 1 � cos x � 0 ⇒ x � 360� k

c) tg x � 1 ⇒ � f) tg x � ���23�� ⇒ �x � 150� � 360� k

x � 330� � 360� kx � 45� � 360� kx � 225� � 360� k

x � 120� � 360� kx � 240� � 360� k

x � 30� � 360� kx � 330� � 360� k

x � 225� � 360� kx � 315� � 360� k

x � 30� � 360� kx � 150� � 360� k

2 cos �32α� cos �

α2

���

2 sen �32α� cos �

α2

cos 2α � cos α��sen 2α � sen α

cos �α �

���

sen �α �

2 cos �α �

� cos �α �

����

2 sen �α �

� cos �α �

2 sen α��sen 5α � sen 3α

2 sen 5α cos 3α��

2 cos 2αsen 8α 1 sen 2α��

2 cos 3α

cos 2α � cos α——sen 2α � sen α

2 sen α———sen 5α � sen 3α

sen 8α � sen 2α———2 cos 3α

�sen

22α�

cos 2α2

���1 �

2tgtg

α2 α�

sen α � cos α��cos2 α � sen2 α

(1�sen α) � (1�sen α)(1�cos α)(1�cos α)�����

(1 � cos α) � (1 � sen α)

(1 � sen α)(1 � sen α)1 � sen α

cos2 α � sen2 α��cos2 α � sen2 α

�cseons

2

2

αα�

1 � �cseons

2

2

αα�

Page 71: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

3.63. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas indicando todas sus soluciones en radianes.

a) sen 4x � �—�2

3�— c) tg 3x � �1 e) cos —3

x— � �—12

b) cos 2x � —�2

2�— d) sen —2

x— � 0 f) tg —34

x— � �—�3

3�—

a) sen 4x � ���23�� ⇒� ⇒� d) sen �

2x

� � 0 ⇒ �2x

� � k ⇒ x � 2k

b) cos 2x � ��22�� ⇒� ⇒� e) cos �

3x

� � ��12

� ⇒� ⇒ �

c) tg 3x � �1 ⇒� ⇒� f) tg �34x� � � �

�33�� ⇒� ⇒�

3.64. (TIC) Halla todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas.

a) sen x � cos x b) sen 2x � sen x � 0 c) sen x � �3� cos x � 0 d) sen x � cos x � �2�

a) sen x � cos x ⇒ tg x � 1 ⇒ �

b) sen 2x � sen x � 0 ⇒ 2 sen x cos x � sen x � 0 ⇒ sen x (2 cos x � 1) � 0 ⇒ �c) sen x � �3�cos x � 0 ⇒ tg x � �3� ⇒ �d) sen x � cos x � �2� ⇒ sen x � �1�sen�2 x� � �2� ⇒ 1 � sen2 x � 2 � sen2 x � 2�2�sen x ⇒

⇒ 2 sen2 x � 2�2� sen x � 1 � 0 ⇒ sen x � �2�

42�

� � ��22�� ⇒ x � 45� � 360� k

3.65. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0�, 360�].

a) tg x � 4 cotg x � 5 b) 8 cos 2 x � 8 cos x � 9 c) tg 2 x � cotg x d) 2 sen2 x � cos 2 x � 4 cos2 x

a) tg x � 4 cot g x � 5 ⇒ tg x � �tg4x

� � 5 ⇒ tg2 x � 4 � 5 tg x ⇒ tg2 x � 5 tg x � 4 � 0 ⇒

tg x � �5 �2

25 ��16�� ⇒ �

b) 8 cos 2 x � 8 cos x � 9 ⇒ 8 cos2 x � 8 sen2 x � 8 cos x � 9 � 0 ⇒⇒ 8 cos2 x � 8 � 8 cos2 x � 8 cos x � 9 � 0 ⇒ 16 cos2 x � 8 cos x � 1 � 0 ⇒

⇒ cos x � �8�

3624�6�4�� � �

14

� ⇒ x � 75� 31� ; x � 284� 29�

c) tg 2 x � cot g x ⇒ �12�

ttgg2

xx

� � �tg1x

� ⇒ �12�tgtg

2

2

xx

� � 1 ⇒ 2 tg2 x � 1 � tg2 x ⇒ tg2 x � �13

� ⇒ tg x � ��33�� ⇒ �

d) 2 sen2 x � cos 2x � 4 cos2 x ⇒ 2 sen2 x � cos2 x � sen2 x � 4 cos2 x ⇒ sen2 x � cos2 x � 4 cos2 x ⇒ 1 � 4 cos2 x ⇒

⇒ cos2 x � �14

� ⇒ cos x � �12

� ⇒ �x � 60�, x � 300�x � 120�, x � 240�

x � 30�, x � 210�x � 150�, x � 330�

tg x � 4 ⇒ x � 75� 58� x � 255� 58�tg x � 1 ⇒ x � 45� x � 225�

x � 60� � 360� kx � 240� � 360� k

x � 60� � 360� kx � 300� � 360� k

sen x � 0 ⇒ x � 180� k

cos x � �12

� ⇒ �

x � 45� � 360� kx � 225� � 360� k

x � �10

9� � �

83

k�

x � �22

9� � �

83

k�

�34x� � �

56� � 2k

�34x� � �

116

� � 2k

x � �4

� � �23

k�

x � �71

2� � �

23

k�

3 x � �34� � 2k

3 x � �74� � 2k

x � 2 � 6kx � 4 � 6k

�3x

� � �23� � 2k

�3x

� � �43� � 2k

x � �8

� � k

x � �78� � k

2 x � �4

� � 2k

2 x � �74π� � 2k

x � �3

���2k�

x � �51

2���

2k�

4 x � �43��2k

4 x � �53��2k

Solucionario

Page 72: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

3.66. (TIC) Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas comprendidas en el intervalo [0, 2π].

a) sen2 x � tg2 x � 0

b) 2 sen x � �3� tg x � 0

c) cos 2 x � sen x � sen 2 x � cos x

a) sen2 x � tg2 x � 0 ⇒ sen2 x �1 � �co

1s2 x�� � 0 ⇒ �

b) 2 sen x � �3� � tg x � 0 ⇒ 2sen x � �3� � �sceons x

x� � 0 ⇒ sen x �2 � �

c�os

3�x

�� � 0 ⇒ �c) cos 2x � sen x � sen 2x � cos x ⇒ cos 2x � cos x � sen 2x � sen x ⇒ 2 cos �

32x� cos �

2x

� � 2 sen �32x� cos �

2x

� ⇒

⇒ cos �2x

� �cos�32x� � sen �

32x��� 0 ⇒ �

3.67. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [��, �].

a) sen 3 x � sen 6 x � 0

b) cos 5 x � cos 3 x � cos x

c) �3� cos x � sen x � 2

a) sen 3x � sen 6x � 0 ⇒ 2 sen �92x� cos �

32x� � 0 ⇒ �

b) cos 5x � cos 3x � cos x ⇒ 2 cos 4x cos x � cos x ⇒ cos x (2 cos 4x � 1) � 0 ⇒

⇒ �c) �3� cos x � sen x � 2 ⇒ �

�23�� cos x � �

12

� sen x � 1 ⇒ sen �x � �3

�� � 1 ⇒ x � �6

cos x � 0 ⇒ x � �2

�, x � ��2

cos 4 x � �12

� ⇒ x � �51

2�, x � �

12�, x � �

12�

sen �92x� � 0 ⇒ x � 0, x � ��

29�, x � �

29�

cos �32x� � 0 ⇒ x � , x � ��

3

�, x � �3

cos �2x

� � 0 ⇒ �2x

� � �2

� ; �2x

� � �32� ⇒ x � , x � 3

tg �32x� � 1 ⇒ �

32x� � �

4

� : �32x� � �

54� ⇒ x � �

6

�, x � �56�

sen x � 0 ⇒ x � 0, x � , x � 2

cos x � ���23�� ⇒ x � �

56� , x � �

76�

sen2 x � 0 ⇒ sen x � 0 ⇒ x � 0, x � , x � 2

1 � �co

1s2 x� � 0 no aporta soluciones

Page 73: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

3.68. (TIC) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 360�].

a) � b) � c) � d) �

a) � ⇒ 2sen2 x � 2 ⇒ sen2 x � 1 ⇒

b) � ⇒ � ⇒� ⇒ 2 sen (x � y) � 1 ⇒

⇒ sen (x � y) � �12

� ⇒ x � y � 30�, x � y � 150�

� ⇒ 2 sen (x � y) � 0 ⇒ x � y � 0�, x � y � 180�

Soluciones:

(x � 15�, y � 15�) (x � 75�, y � 75�) (x � 285�, y � 105�) (x � 105�, y � 285�) (x � 165�, y � 345�) (x � 345�, y � 165�)

c) � ⇒2cos�x�

2y

�cos�x�

2y

��1⇒2��22�� cos�

x�2

y��1⇒cos�

x�2

y�� �

�22�� ⇒�

� ⇒ x � 90�, y � 0�

d) � ⇒ tg x � tg(x � ) � 2 ⇒ tg x � tg x � 2 ⇒ tg x � 1 ⇒ x � 45�, x � 225�

Solución: x � 225�, y � 45�

Resolución de triángulos

3.69. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

a) Ap � 90�, a � 25 mm, c � 14 mm c) Cp � 90�, Ap � 20�, a � 12 dm

b) Bp � 90�, a � 28 cm, c � 45 cm d) Bp � 90�, Ap � 15�, b � 15 m

a) b � �252 �� 142� � 20,71 mm, sen Cp � �1245� ⇒ Cp � 34� 3� ⇒ Bp � 55� 57�

b) b � �452 �� 282� � 53 cm; tg Cp � �4258� ⇒ Cp � 58� 7� ⇒ Ap � 31� 53�

c) Bp � 70�; c � �sen

aAp

� � �se

1n220� � 35,09 dm; b � �

tgaAp� � �

tg12

20� � 32,97 dm

d) Cp � 75�; a � b sen Ap � 15 � sen 15 � 3,88 m; c � b � cos Ap � 15 cos 15 � 14,49 m

tg x � tg y � 2x � y �

x � y � 90�x � y � 90�

�x �

2y

� � 45� ⇒ x � y � 90�

�x �

2y

� � 315� ⇒ x � y � 630�

cos x � cos y � 1x � y � 90�

sen (x � y) � sen (x � y) � �12

sen (x � y) � sen (x � y) � �12

sen (x � y) � sen (x � y) � �12

sen (x � y) � sen (x � y) � �12

�12

� (sen (x � y) � sen (x � y)) � �14

�12

� (sen (x � y) � sen (x � y)) � �14

sen x � cos y � �14

cos x � sen y � �14

x � 90�, y � 60�x � 90�, y � 120�x � 90�, y � 240�x � 90�, y � 300�

x � 270�, y � 60�x � 270�, y � 120�x � 270�, y � 240�x � 270�, y � 300�

��

x � 90� ⇒ cos2 y � �14

� ⇒

x � 270� ⇒ cos2 y � �14

� ⇒�sen2 x � cos2 y � �54

sen2 x � cos2 y � �34

tg x � tg y � 2

x � y � �

sen x � cos y � —14

cos x � sen y � —14

cos x � cos y � 1

x � y � 90�

sen2 x � cos2 y � —54

sen2 x � cos2 y � —34

Solucionario

Page 74: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

3.70. Calcula el área de cada uno de estos triángulos rectángulos.

a) Ap � 90�, a � 73 mm, c � 55 mm b) c)

a) b � �732 �� 552� � 48 ⇒ S � �55

2� 48� � 1320 mm2

b) a � 10 sen 45 � 5�2� m; c � 5�2� m; S � �5�2�

2� 5�2�� � 25 m2

c) b � � �tg

1640� � 19,07 dm; S � �

16 �219,07� � 152,6 dm2

3.71. Resuelve los siguientes triángulos.

a) b � 20 cm, c � 28 cm, Cp � 40� c) a � 3 cm, Bp � 30�, c � 5 cm e) a � 30 cm, Bp � 30�, Cp � 50�

b) a � 41 cm, b � 9 cm, c � 40 cm d) a � 12 cm, b � 15 cm, Cp � 35� f) b � 25 cm, Bp � 55�, C � 65�

a) � ⇒ sen Bp � �b � s

cen Cp� � �

20 � s2e8n 40�� � 0,459 ⇒ Bp � 27� 20�, Ap � 112� 40�

� ⇒ a � � �28 � s

seenn

14102�� 40�

� � 40,2 cm

b) cos Ap � �b2 �

2cb

2

c� a2

� � � 0 ⇒ Ap � 90�

cos Bp � �a2 �

2ca

2

c� b2

� � � 0,9756 ⇒ Bp � 12� 41�

� � 0,2195 ⇒ Ap � 77� 19�

c) b2 � a2 � c2 � 2ac cos Bp � 9 � 25 � 30 cos 30 � 8,0192 ⇒ b � 2,8318 cm

� ⇒ sen Cp��c � s

ben Bp���

5 �2s,8e3n1380�

�� 8,8828 ⇒ Dos soluciones �d) c2 � a2 � b2 � 2ab cos Cp � 144 � 225 � 360 cos 35� � 74,1053 ⇒ c � 8,6084 cm

� ⇒ sen Bp� �b � s

cen Cp���

158�,s6e0n84

35��� 0,999 ⇒ Dos soluciones �

e) Ap � 180� � 30� � 50� � 100�

� ⇒ c � � �30

se�nse

1n00

5�0�

� � 23,34 cm

� ⇒ b � � �30

se�nse

1n00

3�0�

� � 15,23 cm

f) Ap � 180� � 55� � 65� � 60�

� ⇒ c � � �25

s�esnen55

6�5�

� � 27,66

� ⇒ a � � �25

s�esnen55

6�0�

� � 26,43 cmb � sen Ap��

sen Bpa

�sen Ap

b�sen Bp

a � sen Cp��

sen Bpa

�sen Cp

b�sen Bp

a � sen B��

sen Apb

�sen Bp

a�sen Ap

a � sen Cp��

sen Apc

�sen Cp

a�sen Ap

Cp � 88� 5�, Ap � 56� 55�Cp � 91� 54�, Ap � 53� 6�

c�sen Cp

b�sen Bp

Cp � 61� 59�, Ap � 88� 1�Cp � 118� 1�, Ap � 31� 59�

c�sen Cp

b�sen Bp

1681 � 81 � 1600���

738cos Cp � a2 � b2 � c2

���2ab

1681 � 1600 � 81���

3280

81 � 1600 � 1681���

720

c � sen Ap��

sen Cpc

�sen Cp

a�sen Ap

c�sen Cp

b�sen Bp

a�tg Ap

B

CA

16

dm

40° 90°BC

A

10 m 45°

90°

Page 75: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

3.72. Calcula el área de cada uno de estos triángulos.

a) Ap � 80�, b � 25 cm, c � 16 cm d) Ap � 66�, a � 15 cm, c � 20 cm

b) Ap � 70�, Bp � 40�, c � 20 cm e) a � 10 cm, b � 15 cm, Cp � 35�

c) a � 16 cm, b � 25 cm, c � 15 cm

a) S � �12

� bc senAp � 196,96 cm2

b) Cp � 70�, a � 20 ⇒ S � �12

� ac senBp � 128,56 cm2

c) cosAp � �b2 �

2cb

2

c� a2

� � 0,792 ⇒ senAp � 0,6105

d) � ⇒ sen Cp � � � 1. No hay triángulo.

e) S � �12

� ab sen Cp � 43,02 cm2

PROBLEMAS

3.73. Un globo está sujeto a una cuerda de 10 m de longitud. Por la acción del viento, el globo se encuentra a

una altura de 8 m.

Calcula la inclinación de la cuerda respecto de la línea de tierra.

Sea α la inclinación buscada. Entonces, sea � �180� ⇒ α 53� 7� 48 .

3.74. En cierta ciudad, en el mediodía del solsticio de verano, los rayos solares tienen una inclinación de 73� 3�.

Calcula la longitud de la sombra de un edificio de 52 m de altura.

tg 73� 3� � �5x2� ⇒ x 15,85 m

3.75. Una señal de tráfico indica que la inclinación de un tramo de carretera es del 8%, lo cual quiere decir que

en un desplazamiento horizontal de 100 m se realiza un ascenso de 8 m de altura.

a) ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?

b) ¿Cuántos metros hay que recorrer para ascender 125?

a) tg α � 0,08 ⇒ α 4� 34�

b) Sea x el recorrido pedido: sen α � �12

x5

� ⇒ x � � 1570 m

3.76. Desde un punto del suelo se ve la copa de un pino bajo un ángulo de 42�. Si nos alejamos 2,5 m hacia otro

punto del suelo, alineado con el anterior y con el pie del pino, vemos la copa bajo un ángulo de 24º.

Calcula la altura del pino.

Sea h la altura del pino y x la distancia del pie del pino al primer punto.

⇒ ⇒ 1,1125 � 0,445x � 0,9x ⇒ x � 2,44 ⇒ h � 2,2 m

3.77. Calcula la altura de los dos edificios de la figura.

Sea x la altura del primer edificio e y la del segundo.

tg 33� 42� � �2x4� ⇒ x � 24 � tg 33� 42� � 16 m

tg 26� 36� � �y

2�4

x� ⇒ y � x � 24 � tg 26� 36� � 12 m ⇒ y � 12 � 16 � 28 m

h � x tg 42 � 0,9x

0,445 � �2,

05,9�x

x�

tg 42� � �hx

tg 24� � �2,5

h� x�

125�sen α

125x

20 � sen 66���

15c sen Ap�

ac

�sen Cp

a�sen Ap

Solucionario

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3.78. Dos coches, con velocidades constantes respectivas de 90 y 80 km por hora, toman dos carreteras que se

bifurcan con un ángulo de 82�.

¿Qué distancia habrá entre ellos cuando lleven 15 minutos de viaje?

El ángulo que forman las dos carreteras es α � 82�. Sean e1 y e2 los espacios recorridos por los dos coches:

⇒ d � �22,52 �� 202 �� 2 � 22�,5 � 20� � cos�82�� 27,9 km

3.79. Dos coches parten a la vez de un cruce del que salen dos carreteras: una en dirección norte y otra en di-

rección nornordeste. Uno de los coches toma la primera de ellas con una velocidad uniforme de 70 km por

hora, y el otro la segunda con una velocidad constante de 90 km por hora.

¿A qué distancia se encontrarán al cabo de 30 minutos?

El ángulo que forman las dos carreteras es α � 22� 30�. Sean e1 y e2 los espacios recorridos por los dos coches:

⇒ d � �352 ��452 ��2 � 35�� 45 � c�os α� 18,4 km

3.80. Dos ciudades A y B están situadas sobre el mismo meridiano de

la esfera terrestre, mientras que la ciudad C se encuentra en el

mismo paralelo que A. La latitud de A es de α � 40� Norte.

a) Si la ciudad B está 150 km al norte de A, calcula su latitud sa-

biendo que el radio de la Tierra es de unos 6370 km.

b) Si la ciudad C está situada en un meridiano a 30� al oeste de

A, ¿qué distancia separa estas dos ciudades?

a) Recordando que la longitud de un arco de amplitud α grados y de

una circunferencia de radio r es L � �π1�8r0��α

�:

α � β � � 41� 21�

b) Se calcula en primer lugar el radio del paralelo correspondiente.

sen 50� � �63

r70� ⇒ r � 4879,7 km; L � � 2555 km

3.81. Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan entre sí 75 km. Las visuales desde A y B hasta el avión

forman con la horizontal ángulos de 36� y 12� de amplitud, respectivamente.

Calcula la altura a la que vuela el avión y las distancias a las que se encuentra de A y de B, suponiendo

que el avión y las ciudades están sobre el mismo plano vertical.

� ⇒ VB 59 km

� ⇒ VA 21 km h � VB sen 12 12,3 km

3.82. Calcula el ángulo de tiro del jugador que está situado en el punto B del campo.

tg CBAp � � �2470,5� � 0,6875 ⇒ CBAp � 34� 31�

tg DBAp � �3B2A,5� � �

3420,5� � 0,8125 ⇒ DBAp � 39� 6�

α � 39� 6� � 34� 31� � 4� 35�

�60

2� 5�

�BA

75��sen 132�

VA�sen 12�

A B36º

12ºV

75

75��sen 132�

VB�sen 36�

π � r � α�180�

180� � ��π � 401�8�06�370

� � 150�π � 6370

180� � L�π � r

e1 � 70 � 0,5 � 35 kme2 � 90 � 0,5 � 45 km

e1 � 90 � 0,25 � 22,5 kme2 � 80 � 0,25 � 20 km

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3.83. Calcula la distancia entre los puntos A y B.

� ⇒ AD � 5,77

� ⇒ BD � 7,27

AB2 � 5,772 � 7,272 � 2, � 5,77 � 7,27 cos(180� � 73� � 71�) � 18,27

AB � 4,27 m

3.84. Calcula el área de un pentágono regular si su perímetro coincide con el de un cuadrado que tiene 144 cm2

de área.

El lado del cuadrado mide �144� � 12 cm. El perímetro del pentágono 48 cm. Cada lado

del pentágono mide 9,6 cm.

tg 36� � �4A,p8� ⇒ Ap � �

tg43,86�� 6,6 cm ⇒ Apentágono � �

períme2tro � Ap� � �

482� 6,6� 158,56 cm2

3.85. Calcula los radios y las áreas de las circunferencias inscrita y circunscrita a un octógono regular de 5 cm

de lado.

tg � �5

R/ 2� ⇒ R � � 6,53 cm ⇒ Sc � πR2 � 134 cm2

tg � �5 /

r2

� ⇒ r � � 6,04 cm ⇒ Sc � πr 2 � 114 cm2

3.86. Calcula el área del paralelogramo cuyos lados miden 10 y 15 cm, respectivamente, si uno de sus ángulos

mide 35�.

El paralelogramo se puede dividir en dos triángulos iguales.

St � �12

� 10 � 15 � sen35� Sp � 10 � 15 � sen35� � 86,04 cm2

3.87. a) Halla una fórmula que permita calcular el área de un rombo conociendo las medidas de su lado y de uno

de sus ángulos.

b) ¿Cuál es el área de un rombo de 15 cm de lado si uno de sus ángulos mide 40�?

a) El rombo se puede dividir en dos triángulos isósceles iguales.

St � �12

� x 2 � sen α ⇒ SR � x 2 � sen α

b) SR � 152 sen 40� � 144,63 cm2

3.88. Dado el triángulo de la figura.

a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos.

b) Halla la medida de los segmentos BH y CH.

a) BC � 17 cm

sen Bp � �1157� cos Bp � �

187� tg Bp � �

185�

sen Cp � �187� cos Cp � �

1157� tg Cp � �

185�

b) CH � 15 cos Cp 13,24 cm BH � 8 cos Bp 3,76 cmBC

A

H

15 cm 8 cm

35º 10 cm15 cm

5 / 2��tg 22� 30�

360��16 22,5º

5 cm

R r

5 / 2��sen 22� 30�

360��16

36º

Ap

4,8 cm

9,25�sen 71�

BD�sen 48�

7,2�sen 73�

AD�sen 50�

D

B

A

CE

5,25 m7,2 m

50° 48°71°73°

Solucionario

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3.89. Calcula el ángulo α que forman la diagonal del cubo y la diagonal de una

cara del mismo.

Sea a la arista del cubo.

Diagonal del cubo: D � �a 2 � a� 2 � a 2� � �3a 2� � a�3�. Diagonal de una cara:

d � �a2 � a�2� � a�2�

cos α � �Dd

� � �a

a

��

2�3�

� ⇒ α � 35� 16�

3.90. Calcula la amplitud del ángulo α de la figura.

La figura se puede dividir en dos triángulos iguales, ya que tienen los tres lados iguales.

tg �α2

� � �2aa� � �

12

� ⇒ �α2

� � 26� 34� ⇒ α � 53� 8�

3.91. Calcula la altura, el perímetro y el área del trapecio de la figura.

Altura: h � 6 � tg 40� � 5,03 cm

Lado restante: b � 6 � cos 40� � 4,6 cm

Perímetro: 23,63 cm

Área: �10

2� 4� � 5,03 � 35,21 cm2

3.92. Las bases de un trapecio isósceles miden 10 y 5 cm, respectivamente. El ángulo que forma la base mayor

con cada uno de los lados no paralelos es de 35�.

Calcula la altura, el perímetro y el área del trapecio.

tg 35� � ⇒ h � 1,75 cm

cos 35� � �2x,5� ⇒ x � �

co2s,535�� � 3,05 cm

P � 21,1 cm ; A � �(10 �

25) � h� � 13,1 cm2

3.93. Se ha colocado un poste sujeto al suelo mediante dos anclajes como aparece en la

figura. Determina si las medidas son correctas.

CB � � 3,86 ⇒ AB � 3,86 � tg 42� � 3,48 m

BD � � 4,46 ⇒ AB � 4,46 � tg 30� � 2,57 m

Los datos no son correctos.

3.94. Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que

su ángulo de elevación es de 45�. Camina 50 m hacia el sur y observa que

el ángulo de elevación es ahora de 30�. Halla la altura de la antena.

La distancia inicial a la torre será igual a la altura de la antena (ángulo de 45�).

Desde el segundo punto, la distancia a la torre será �tg

h30�� � h�3�.

Al ser el triángulo del suelo rectángulo, h2 � 502 � (h�3�)2 ⇒ h 35,36 m.

6 � sen 48����sen(180� � 40� � 48�)

6 � sen 40����sen(180� � 40� � 48�)

h�

�10

2� 5�

x

35º10

x5

h

4 cm

10 cm

40°

α

a

a

2a

2a

π2

rad

D

d

α

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3.95. Dos personas que están separadas por 2 km de distancia, sobre su plano vertical y en el mismo momento,

una nube bajo ángulos respectivos de 73� 18� y 84� 17�.

Calcula la altura de la nube y la distancia de la misma a cada uno de los observadores.

Hay dos posibles interpretaciones del problema.

Si la nube está situada entre los dos observadores:

�sen 7

N3B� 18�� � �

sen 222� 25�� ⇒ NB 5,02 km

�sen 8

N4A� 17�� � �

sen 222� 25�� ⇒ NA 5,22 km

h � NB � sen 84� 17� 5 km

Si la nube está situada a un mismo lado de los dos observadores:

�sen 7

N3B� 18�� � �

sen 120� 59�� ⇒ NB 10,05 km

�sen 9

N5A� 43�� � �

sen 120� 59�� ⇒ NA 10,45 km

h � NB � sen 84� 17� 10 km

3.96 Determina, en función del número de lados, las áreas de los polígonos regulares de n lados inscritos y cir-

cunscritos, respectivamente, a una circunferencia de 10 cm de radio.

Polígono de n lados inscrito en una circunferencia de radio 10 cm:

S � n � St � n � �12

� � 102 sen �36

n0�� � 50n � sen �

36n0��

Siendo St la superficie de un triángulo cuyos lados son un lado del polígono y dos radios de la circunferencia circunscrita.

Polígono de n lados circunscrito en una circunferencia de radio 10 cm:

S � � n � �12

� � 102 � 2 tg �18

n0�� � 100n � tg �

18n0��

3.97. a) Demuestra que en cualquier triángulo ABC, rectángulo en A, se verifica que: sen 2Bp � sen 2Cp

b) Demuestra que cualquier triángulo ABC que verifique la igualdad anterior es isósceles o rectángulo.

a) Bp � Cp � 90 ⇒ 2Bp � 180 � 2Cp ⇒ sen 2Bp � sen (180 � 2Cp) � sen 2Cp

b) sen 2Bp � sen 2Cp ⇒ �

3.98. Si Ap, Bp y Cp son los tres ángulos de un triángulo cualquiera, calcula el valor de la expresión:

cotg Ap � cotg Bp� cotg Ap � cotg Cp� cotg Bp � cotg Cp

cotg(Ap� Bp) � � � � cotg (180� � Cp) � � cotg Cp

Por tanto: cotg Ap � cotg Bp � 1 � � cotg Ap cotg Cp � cotg Bp � cotg Cp ⇒ La expresión vale 1.

cotg Ap cotg Bp� 1���

cotg Ap� cotg Bp1 � tg Ap tg Bp��

tg Ap� tg Bp1

��tg (Ap� Bp)

2Bp� 2Cp⇒ Bp� Cp es isósceles2Bp� 180� � 2Cp⇒ 2Bp� 2Cp� 180� ⇒ Bp� Cp� 90� ⇒ Ap� 90� es restángulo

perímetro � apotema���

2

A B

N

73º 18’ 84� 17�

2 km

A B

N

73� 18’ 84� 17’

2 km

Solucionario

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PROFUNDIZACIÓN

3.99. Expresa sen 4α y cos 4α en función de sen α y de cos α.

sen 4α � sen(2(2α)) � 2 sen 2α cos 2α � 2 � 2 sen α cos α � (cos2 α � sen2 α) � 4 sen α cos3 α � 4 sen3 α cos αY de este resultado, junto con el obtenido en el ejercicio 47 se llega a:

tg 4α � �

3.100. Calcula tg(α � β � γ) en función de tg α, tg β y tg γ.

tg(α � β � γ) � tg(α � (β � γ)) ��1

t�g α

tg�α

t�gt(gβ(β�

�γ)

γ)�� �

� �

3.101. Demuestra la siguiente identidad trigonométrica.

cos x � cos4 �—2

x—� � sen4 �—2

x—�cos4 ��

2x

��� sen4 ��2x

��� ��1 �2cos x��

2

� ��1 �2cos x��

2

� � � cos x

3.102. a) Demuestra que 1 � cos α � 2cos2 —α2

—.

b) Con ayuda de la fórmula anterior y el teorema del coseno, demuestra que en un triángulo de lados a,

b y c se verifica:

cos —α2

— � �—p(p

b

c� a)—�siendo p el valor del semiperímetro del triángulo:

p � —a � b

2

� c—

a) 1 � cos α � 1 � cos2 �α2

� � sen2 �α2

� � 2cos2 �α2

b) 2 cos2 �α2

� � 1 � cos α � 1 ��b2 �

2cb

2

c� a2

�� ��(b �

2cb)c

2 � a2

�� �

��2p(p

bc� a)� ⇒ cos �

α2

� ���p(p

b�c� a)��

3.103. (TIC) Resuelve la ecuación trigonométrica sen4 x � cos4 x � —12

sen4 x � cos4 x � �12

� ⇒ (sen2 x � cos2 x) (sen2 x � cos2 x) � �12

� ⇒ sen2 x � cos2 x � �12

� ⇒ � cos 2x � �12

� ⇒ cos 2x � ��12

Soluciones: 2x � 120� � 360� k ⇒ x � 60� � 180� k

2x � 240� � 360� k ⇒ x � 120� � 180� k

(b � c � a) � (b � c � a)���

2bc2bc � b2 � c2 � a2

���2bc

1 � cos2 x � 2cos x���

41 � cos2 x � 2 cos x���

4

1 � tg β � tg γ � tg α � tg β � tg α � tg γ����

1 � tg β � tg γ

tg α � tg β � tg γ � tg α � tg β � tg γ����

1 � tg β � tg γ

4 sen α cos3 α � 4 sen3 α cos α����cos4 α � sen4 α � 6 sen2 α cos2 α

sen 4α�cos 4α

tg α � tg β � tg γ � tg α � tg β � tg γ����1 � tg α � tg β � tg α � tg γ � tg β � tg γ

tg α ��1t�g β

tg�

βtgtg

γγ�

1 � tg α ��1

t�g

tβg

�β

t�gtg

γγ�

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3.104. (TIC) Resuelve este sistema de ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 2π]. �Elevando al cuadrado las ecuaciones y sumando miembro a miembro los resultados:

� ⇒ sen2 x � cos2 x � sen2 y � cos2 y � 2(sen x sen y � cos x cos y) � 2 ⇒

⇒ 1 � 1 � 2 cos(x � y) � 2 ⇒ cos(x � y) � 0 ⇒ �Sustituyendo en la primera ecuación:

sen�y � �2π

��� sen y � 1 ⇒ cos y � sen y � 1 ⇒ �1 � se�n2 y� � 1 � sen y ⇒ 1 � sen2 y � 1 � sen2 y � 2 sen y ⇒

⇒ 2 sen2 y � 2 sen y � 0 ⇒ 2 sen y (sen y � 1) � 0 ⇒�De la misma forma, se obtiene también la solución x � 0 ; y � �

�.

3.105. Calcula, en función de t, el valor de las razones trigonométricas del ángulo α sabiendo que tg —α2

— � t.

sen α � sen �2 � �α2

��� 2 sen �α2

� cos �α2

� � � –––––––––––––––––� � �t2

2�t1

cos α � cos �2 � �α2

��� cos �α2

� sen2 �α2

� � � –––––––––––––––––� � �1t2

��

t1

2

3.106. Si la suma de dos ángulos α y β es igual a —3

π— radianes, calcula el valor de la expresión: —c

se

o

n

s αα

c

se

o

n

s

ββ—

� � � cotg �α �

� � cotg �6π

� � �3�

3.107. El radio de la circunferencia inscrita a un triángulo isósceles mide 18 cm. Resuelve el triángulo sabiendo

que su base mide 60 cm.

OB � �182 ��302� 35. El triángulo OBC tiene por lados 35, 35 y 60 cm. Por tanto:

602 � 352 � 352 � 35 � 35 � cos α

cos α � � �0,4706 ⇒ α 118� 4� ⇒ Ap � �α2

� � 59� 2�

Bp � Cp � 60� 29� , AB � AC � � 60,9 cmBC � sen 60� 29���

sen 59� 2�

1224 � 1224 � 3600���

2448

A

B C

O

�_2

cos �α �

sen �α �

2 cos �α �

� cos �α �

���2 sen �

α �2

β� cos �

α �2

β�

cos α � cos β��sen α � sen α

1�tg2 �α2

��tg2 �

α2

� � 1

cos2 �α2

� sen2 �α2

��sen2 �

α2

� � cos2 �α2

2 tg �α2

��tg2 �

α2

� � 1

2 sen �α2

� cos �α2

��sen2 �

α2

� � cos2 �α2

sen y � 0 ⇒ y � 0 ; x � �2π

sen y � 1 ⇒ y � �2π

� ; x � π solución falsa

x � y � �2π

� ⇒ x � y � �2π

y � x � �2π

� ⇒ y � x � �2π

sen2 x � sen2 y � 2 sen x sen y � 1cos2 x � cos2 y � 2 cos x cos y � 1

sen x � sen y � 1

cos x � cos y � 1

Solucionario

2 sen �α2

� cos �α2

��cos2 �

α2

cos2 �α2

�cos2 �

α2

sen2 �α2

�cos2 �

α2

cos2 �α2

�cos2 �

α2

sen2 �α2

�cos2 �

α2

�sen2 �

α2

�cos2 �

α2

cos2 �α2

�cos2 �

α2

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3.108. Demuestra que la suma de las tangentes de los tres ángulos de un triángulo cualquiera es igual al pro-

ducto de las mismas.

Ap� Bp� 180� � Cp⇒ tg(Ap� Bp) � tg(180� � Cp) ⇒�1

t�

g Aptg

Apt�

gtgBp

Bp�� �tg Cp⇒

⇒ tg Ap� tg Bp� �tg Cp� tg Ap � tg Bp � tg Cp⇒ tg Ap� tg Bp� tg Cp� tg Ap � tg Bp � tg Cp

3.109. Prueba que si los ángulos de un triángulo verifican que cos Ap � cos Bp � sen Cp, entonces el triángulo es

rectángulo. ¿Cuál es el ángulo recto?

cos Ap� cos Bp� sen Cp⇒ 2cos �Ap�

2Bp

� cos �Ap�

2Bp

� � sen Cp⇒ 2 cos�180�

2� Cp� cos �

Ap�2

Bp� � sen Cp⇒

⇒ 2 cos �90� ��Cp2

�� cos �Ap�

2Bp

� � sen Cp⇒ 2 sen �Cp2

� cos �Ap�

2Bp

� � 2 sen �Cp2

� cos �Cp2

� ⇒ cos �Ap�

2Bp

� � cos �Cp2

� ⇒

⇒�3.110. Demuestra que dado el triángulo de la figura y la circunferencia circunscrita a él:

a) Se cumple la relación: r � � �

(Ten en cuenta la relación entre los ángulos Bp y Bp�.)

b) El área del triángulo se puede calcular como A � —a �

4

b

r

� c—.

a) Bp � Bp�, ya que son ángulos inscritos a la misma circunferencia y determinan el mismo arco.

sen Bp � �b � s

aen Ap� ; sen Bp� � �

2br�. Por tanto, �

bsean Ap� � �

2br� ⇒ �

sean Ap� � �

21r� ⇒ � r ⇒

⇒ r � � �

b) Ap � �12

� a � b � sen Cp� �12

� a � b � �2cr� � �

a �4br� c

3.111. Observa la siguiente figura:

a) Si las diagonales de un cuadrilátero miden d y D unidades lineales, respecti-

vamente, y forman un ángulo α, demuestra que el área de dicho cuadriláte-

ro puede calcularse con la fórmula:

A � —12

— d � D sen α

b) Calcula el área de un cuadrilátero cuyas diagonales forman un ángulo de 80� si miden 4 y 5 cm, res-

pectivamente.

a) Dado el cuadrilátero, se considera el paralelogramo que se obtiene al trazar por cada vértice la paralela a ladiagonal que no pasa por él. El área del cuadrilátero es igual a la suma de las áreas de cuatro triángulos: T1,T2, T3 y T4.

Por tanto: Scuadrilátero � �12

� Sparalelogramo � �12

� D � d � sen α

b) S � �12

� D � d � sen α � �12

� � 4 � 5 � sen 80� � 9,85 cm2

3.112. Considera las dos circunferencias coplanarias de la figura.

Calcula la inclinación sobre la recta que une los dos centros de:

a) La tangente común exterior.

b) La tangente común interior.

a) sen α �6

1�2

4� ⇒ α � 9� 36� b) sen β � �

61�2

4� ⇒ β � 56� 27�

4 cm

6 cm

12 cm

D

d

α

c�2 sen Cp

b�2 sen Bp

a�2 sen Ap

a�2 sen Ap

c——2 sen Cp

a—2 sen Ap

b—2 sen Bp

A

B

b

C

a

B’2r

�Ap�

2Bp

� � �Cp2

� ⇒ Ap � Bp � Cp ⇒ Ap � Bp � Cp � 90�

�Ap �

2Bp

� � �Cp2

� ⇒ Ap � Bp � �Cp ⇒ Ap � Cp � Bp � 90�

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Solucionario

ACTIVIDADES INICIALES

4.I. Efectúa las siguientes operaciones:

a) (5, �3) � (2, �4) c) 5(3, �1) � (�1, 4) e) —12

—(7, 4) � (1, 2) g) �(3, 6) � —32

—(�2, �1)

b) (6, 4) � (7, �2) d) �3(0, 1) � —13

—(0, 3) f) �4(2, �1) � 6(4, �1) h) �(5, 3) � (�2, �2)

a) (7, �7) c) (15, �5) � (�1, 4) � (14, �1) e) ��72

�, 2�� (1, 2) � ��92

�, 4� g) (�3, �6) � ��3, ��32

��� ��6, � �125��

b) (�1, 6) d) (0, �3) � (0, 1) � (0, �2) f) (�8, 4) � (24, �6) � (16, �2) h) (�5, �3) � (2, 2) � (�3, �1)

4.II. Escribe los pares de números reales representados en la ilustración.

A(2, 1), B(�1, 3), C(�2, �3), D(�4, 0), E(4, �1)

EJERCICIOS PROPUESTOS

4.1. En el hexágono regular de la figura, indica qué vectores son equipolentes.

Son equipolentes AB�� � ED�� y FA�� � DC��.

En cambio, los vectores BC y EF son opuestos.

4.2. Contesta verdadero o falso y razona la contestación:

a) Si dos vectores fijos tienen el mismo módulo y dirección, determinan el mismo vector libre.

b) Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, sentido y sus rectas soportes son parale-

las.

a) Falso, tienen que tener también el mismo sentido.

b) Cierto, ya que las rectas paralelas indican la misma dirección.

4.3. Dados los vectores libres u��, v�� y w�� y el punto P, elige representantes de cada uno de los vectores u��, v��, w�� que

tengan su origen en P.

Teniendo cuidado de no alterar el módulo, la dirección y elsentido de los vectores u��, v�� y w��, se eligen otros represen-tantes de los mismos cuyo origen común sea P.

4.4. Contesta verdadero o falso y razona tu respuesta.

a) El vector libre nulo tiene módulo 0, y dirección, la del eje de abscisas.

b) Sean u�� y v�� dos vectores equipolentes, y O, un punto cualquiera del plano. Si llevamos representantes de

u�� y v�� al origen común, obtenemos dos vectores paralelos.

a) Falso, el vector libre nulo carece de dirección y sentido.

b) Falso, ya que si son equipolentes, al llevarlos al origen común coincidirán ambos vectores. Por tanto, son coin-cidentes y no paralelos.

XO 11

Y

P v

uw

O X

Y

1

1v

u w

P

A C

EF D

B

O X

A

B

DE

C

Y

1

1

4 Vectores

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4.5. A partir de los vectores u��, v�� y w�� representados en la figura, calcula:

a) u�� � v�� c) � u�� � 2 w��

b) 3 v�� d) 2 [u�� � v��] � 3 w��

De la figura: u�� � (1, 1), v�� � (2, �3) y w�� � (�2, 1); por tanto:

a) u�� � v�� � (1, 1) � (2, �3) � (3, �2)

b) 3 v�� � (6, �9)

c) �u�� � 2 w�� � (�1, �1) � (�4, 2) � (�5, 1)

d) 2 [u�� � v��] � 3 w�� � (6, �4) � (6, �3) � (12, �7)

4.6. Dados los vectores u��1 y u��2 , expresa los vectores v�� y w�� como combinación

lineal de los vectores u�� y u��2 .

De la figura es inmediato que v�� � 6 u��1 � 5 u��2 ; w�� � �5 u��1 � u��2

4.7. Representa los vectores siguientes.

a�� � �3i� � 5j� c�� � 3i� � 2j� e�� � 2i� � 2j� g�� � �4i� � 2j�

b�� � 7i� ��23

�j� d�� � �12

�j� � 2i� ƒ�� � �4j� h�� � �i� � (�2)i�

Los vectores están representados en la figura derecha.

4.8. Expresa los vectores de la figura como combinación lineal de los vectores

de la base canónica.

a�� � 3i� � 2j� c�� � �2i� � 2j�

b�� � �5i� � j� d�� � i� � 3j�

4.9. Dados los vectores: u�� � (�4, 2), v�� � (0, �3) y w�� � (�3, 3). Halla:

a) u�� � v�� c) 5u�� � 3v�� e) u�� � v�� � w�� g) �u���, �v���, �u�� � v���b) 4u�� d) �2v�� f) 3u�� � (5v�� � w��) h) u�� � (2v�� � 3w��)

a) u�� � v�� � (�4, 2) � (0, �3) � (�4, �1)

b) 4u�� � 4(�4, 2) � (�16, 8)

c) 5u�� � 3v�� � 5(�4, 2) � 3(0, �3) � (�20, 10) � (0, 9) � (�20, 19)

d) �2v�� � � 2 (0, �3) � (0, 6)

e) u�� � v�� � w�� � (�4, 2) � (0, �3) � (�3, 3) � (�7, 2)

f) 3u�� � (5v�� � w��) � 3(�4, 2) � [5(0, �3) � (�3, 3)] � (�12, 6) � (�3, �12) � (�9, 18)

g) �u��� � �42 � 2�2� � �20� � 2�5�; �v��� � �02 � (��3)2� � �9� � 3; �u�� � v��� � �u�� � v��� � �(�4, �1) � �(�4)2�� (�1�)2� � �17�h) u�� � (�v�� � 3w��) � (�4, 2) � [�(0, �3) � 3(�3, 3)] � (�4, 2) � (�9, 12) � (�13, 14)

4.10. Dados los vectores: u�� � (5, � 7), v�� � (0, 4), comprueba que:

a) 2(u�� � v��) � 2u�� � 2v�� b) (4 � 7)v�� � 4v�� � 7v��

a) 2(u�� � v��) � 2 [(5, �7) � (0, 4)] � 2(5, �3) � (10, �6); 2u�� � 2(5, �7) � 2(0, 4) � (10, �14) � (0, 8) � (10, �6)

b) (4 � 7)v�� � �3v�� � �3(0, 4) � (0, �12); 4v�� � 7v�� � 4(0, 4) � 7(0, 4) � (0,16) � (0, 28) � (0, �12)

d

ab

c

O X

Y

i

j

XO

Y

a

bc

d

ef

g

h

u 1

u 2

v

wO X

Y

O X

Y

1

1

v

uw

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Solucionario

4.11. Un vector libre tiene por coordenadas u�� � (�4, 1). Un representante suyo tiene el punto A(2, 5) como ori-

gen. Halla las coordenadas del extremo.

Si a�� � (2, 5) y b�� � (x, y) son los vectores que unen el origen de coordenadas con los extremos A y B del re-presentante del vector u��, se cumple que a�� � u�� � b��. Por tanto, (2, 5) � (�4, 1) � (�2, 6) � (x, y), es decir,las coordenadas del extremo B son B(�2, 6).

4.12. Un vector tiene por extremos los puntos A(�7, 5) y B(3, �2). Calcula las coordenadas del vector A��B.

Sea a�� � (�7, 5) y b�� � (3, �2). Se tiene que A��B � b�� � a�� � (3, �2) � (�7, 5) � (10, �7).

4.13. Un vector fijo tiene su origen en el punto A(6, �2), y sus coordenadas son (4, 5). Halla las coordenadas de

su extremo B.

Sea a�� � (6, �2) y b�� � (x, y). Como A��B � b�� � a�� ⇒ (x, y) � (6, �2) � (4, 5), se tiene que (x, y) � (4, 5) � (6, �2) � (10, 3).Por tanto, las coordenadas del extremo son B(10, 3).

4.14. Dados los vectores u�� � (�2, 1) y v�� � (3, 5) referidos a la base canónica, calcula:

a) u�� � v�� c) Ángulo de u�� y v��

b) Proyección de u�� sobre v�� d) Un vector ortogonal a v��

a) u�� � v�� � (�2, 1) � (3, 5) � �6 � 5 � �1

b) Proyección de u�� sobre v�� � �u��

�v����

v��� � � � � ��

�3344�

c) cos (uq ) � ��uu�������vv������ � � ⇒ (q ) � arc cos � � � 94� 23� 55,3

d) Por ejemplo, el vector w�� � (�5, 3) es ortogonal a v��, ya que u�� � w�� � (3, 5) � (�5, 3) � 3 (�5) � 5 � 3 � 0.

4.15. Determina el valor de m para que el producto escalar de v�� por w�� sea:

a) Igual a 4, siendo v�� � (m, 1) y w�� � (2, �3).

b) Igual a �2, siendo v�� � (m, 2) y w�� � (3, m).

c) Igual a �3, siendo v�� � (m, �3) y w�� � (m, 4).

d) Igual a 0, siendo v�� � (3, m) y w�� � (�m, m).

a) v�� � w�� � (m, 1) � (2, �3) � 2m � 3 � 4 ⇒ 2m � 7 ⇒ m � �72

b) v�� � w�� � (m, 2) � (3, m) � 3m � 2m � �2 ⇒ 5m � �2 ⇒ m � ��25

c) v�� � w�� � (m, –3) � (m, 4) � m2 � 12 � �3 ⇒ m2 � 9 ⇒ m � 3

d) v�� � w�� � (3, m) � (�m, m) � �3m � m2 � 0 ⇒ m (m � 3) � 0 ⇒ m � 0, m � 3

EJERCICIOS

Vectores fijos del plano

4.16. En cada caso, representa el vector fijo indicado:

a) Vector A��B, siendo A(1, 3) y B(5, 7).

b) Un vector de módulo 5 unidades en la dirección del eje OX y sentido positivo.

c) Un vector de módulo 3 unidades y que forma un ángulo de 120� con la semirrecta origen de ángulos.

XO 11

Y a)

b)

c)

�1��170�

u�� , v���1��170�

�1��5��34�

��, v��

1��34�

�1���32 ��52�

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4.17. Dibuja dos vectores fijos que tienen uno módulo doble que el otro, el origen común y forman un ángulo

de 90�.

Respuesta abierta, por ejemplo:

4.18. Traza dos vectores fijos del plano que tengan el origen común y además:

a) Módulo y dirección iguales, pero sentidos opuestos.

b) Dirección y sentido iguales, pero que el módulo de uno sea triple que el módulo del otro.

c) Que las direcciones sean perpendiculares y el módulo de uno sea la mitad que el módulo del otro.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) b) c)

Operaciones con vectores libres del plano

4.19. Dado el heptágono irregular de la figura.

Dibuja los siguientes vectores libres.

a) AB�� � BC��

b) AB�� � BC�� � CD��

c) AB�� � BC�� � CD�� � DE��

d) AB�� � BC�� � CD�� � DE�� � EF��

e) AB�� � BC�� � CD�� � DE�� � EF�� � FG��

Los vectores pedidos se dan en la figura:

4.20. Dado el rectángulo de vértices ABCD.

Completa las siguientes igualdades:

a) AB�� � BC�� � ; AD�� � � AC��

b) AC�� � CB�� � ; CB�� � � AB��

c) AD�� � DB�� � ; BC�� � � BA��

a) AB�� � BC�� � AC�� ; AD�� � x�� � AC�� ⇒ x�� � AC�� � AD � DC��

b) AC�� � CB�� � AB�� CB�� � y�� � AB�� ⇒ y�� � AB�� � CB�� � AC��

c) AD�� � DB�� � AB�� BC�� � z�� � BA�� ⇒ z�� � BA�� � BC�� � CA��

C

DA

B

A

B CD

E

FG

A

C

E

FG

D

B

XO

Y

uv

XO

Y

u

v

XO

Yu

v

XO

Y

u

v

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Solucionario

4.21. De acuerdo con el paralelepípedo de la figura, di cuáles de las

siguientes igualdades son ciertas.

a) a�� � g�� c) c�� � �g�� e) h�� � e�� g) i� � e��

b) a�� � �g�� d) b�� � �d�� f) h�� � �j� h) i� � d��

a) Cierta c) Falsa e) Cierta g) Falsa

b) Falsa d) Falsa f) Falsa h) Cierta

Coordenadas de un vector. Operaciones

4.22. Dados los vectores u�� � (�1, 3) y v�� (5, 4), calcula:

a) u�� � v�� b) u�� � v�� c) 5v�� d) 3u�� � 2v��

a) u�� � v�� � (�1, 3) � (5, 4) � (4, 7)

b) u�� � v�� � (�1, 3) � (5, 4) � (�6, �1)

c) 5v�� � 5(5, 4) � (25, 20)

d) 3u�� � 2v�� � 3(�1, 3) � 2(5, 4) � (�3, 9) � (�10, �8) � (�13, 1)

4.23. Dados los vectores libres a�� y b�� de la figura, calcula:

a) a�� � b�� b) a�� � b�� c) 3a�� d) 3a�� � 2b��

De la figura se deduce que: a�� � (6, 0); b�� � (3, 5).

a) a�� � b�� � (6, 0) � (3, 5) � (9, 5)

b) a�� � b�� � (6, 0) � (3, 5) � (3, �5)

c) 3a�� � 3(6, 0) � (18, 0)

d) 3a�� � 2b�� � 3(6, 0) � 2(3, 5) � (18,0) � (�6, �10) � (12, �10)

4.24. Se consideran los siguientes vectores: u�� � (3, 4), v�� � (�1, 7) y w�� � (8, 5). Comprueba que:

a) 5(u�� � v��) � 5u�� � 5v�� b) (u�� � v��) � w�� � u�� � (u�� � v��) c) u�� � v�� � v�� � u��

a) 5(u�� � v��) � 5[(3, 4) � (�1, 7)] � 5(2, 11) � (10, 55)

5 � 5v�� � 5(3, 4) � 5(�1, 7) � (15, 20) � (�5, 35) � (10, 55)

b) (u�� � v��) � w�� � [(3, 4) � (�1, 7)] � (8, 5) � (2, 11) � (8, 5) � (10,16)

u�� � (v�� � w��) � (3, 4) � [(�1, 7) � (8, 5)] � (3, 4) � (7, 12) � (10, 16)

c) u�� � v�� � (3, 4) � (�1, 7) � (2, 11)

v�� � u�� � (�1, 7) � (3, 4) � (2, 11)

Dependencia lineal

4.25. Halla los valores de x e y para que se verifiquen las siguientes igualdades.

a) (5, 3) � x(2, 4) � (�5, y) b) x(2, �4) � (7, �1) � (�3, y)

a) (5, 3) � x(2, 4) � (5 � 2x, 3 � 4x) � (�5, y) ⇒ � ⇒ �b) x(2, �4) � (7, �1) � (2x � 7, �4x � 1) � (�3, y) ⇒ � ⇒ �x � �5

y � 193x � 7 � �3�4x � 1 � y

x � �5y � �17

5 � 2x � �53 � 4x � y

a

b

ch

j

e

i g

d

a b

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4.26. ¿Para qué valores de x e y se verifica la siguiente igualdad?

(�4, 2) � (2, x) � (y, 7)

(�4, 2) � (2, x) � (�2, 2 � x) � (y, 7) ⇒ � ⇒ �

4.27. Expresa el vector u�� � (�5, 3) como combinación lineal de los vectores v�� � (�1, 0) y w�� � (3, 4).

Se trata de encontrar a y b tales que u�� � av�� � bw��.

Por tanto, ha de ser (�5, 3) � a(�1, 0) � b(3, 4) ⇒ (�5, 3) � (�a � 3b, 4b) ⇒ � ⇒ �Por tanto, u�� � �

249� v�� � �

34

� w��

4.28. Halla los valores de a y b para que u�� � (�3, 5) se pueda expresar como la siguiente combinación lineal de

los vectores v�� � (2, 0) y w�� � (�7, 3):

u�� � av�� � bw��

Se trata de encontrar a y b tales que u�� � av�� � bw�� ⇒ (�3, 5) � a(2, 0) � b(�7, 3) � (2a � 7b, 3b) ⇒

⇒ � ⇒ �4.29. Dados los vectores de la figura, exprésalos como combina-

nación lineal de los vectores de la base canónica y da sus

coordenadas.

a�� � (10, 1) � 10i� � j� d�� � (�4, 2) � �4i� � 2j�

b�� � (6, 5) � 6i� � 5j� e�� � (�2, �2) � �2i� �2j�

c�� � (2, 4) � 2i� � 4j� ƒ�� � (2, �3) � 2i� �3j�

4.30. Comprueba si el vector u�� � (3, �7) se puede expresar como combinación lineal de los vectores

v�� � (�3, 2) y w�� � (�6, 4).

Si se puede expresar u�� como combinación lineal de v�� y w��, existen a, b tales que u�� � av�� � bw��. Por tanto:

(3, �7) � a(�3, 2) � b(�6, 4) ⇒ � ⇔ �Por tanto, el sistema es incompatible, y u�� no se puede expresar como combinación lineal de v�� y w��.

(Hay que hacer notar que w�� � 2v��, por lo que son linealmente dependientes y no forman base).

4.31. Halla los valores de los escalares a y b, que permiten expresar el vector u�� � (�2, 11) como combinación

lineal de los vectores v�� � (3, 4) y w�� � (�1, 5) en la forma u�� � av�� � bw��.

u�� � av�� � bw�� ⇒ (�2,11) � a(3, 4) � b(�1, 5) ⇒ � ⇔ �a � �119�

b � �4119�

3a � b � �24a � 5b � 11

a � 2b � �1

a � 2b � ��72

�3a � 6b � 32a � 4b � �7

e

da

bc

f

O X

Y

i

j

a � �133�

b � �53

2a � 7b � �33b � 5

x � �34

y � �249�

�a � 3b � �54b � 3

x � 5y � �2

�2 � y2 � x � 7

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Solucionario

4.32. Sean u�� � (3, 5) y v�� � (�1, 2) dos vectores libres del plano. Halla u�� � v��y 3u��. Comprueba gráficamente que las coordenadas obtenidas para u�� � v�� y 3u��son las obtenidas anteriormente.

u�� � v�� � (3, 5) � (�1, 2) � (2, 7)

3u�� � 3 (3, 5) � (9, 15)

Módulo y argumento

4.33. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes vectores.

a) u��1 � (3, 5) c) u��3 � (�4, 5) e) u��5 � (8, 9)

b) u��2 � (3, �2) d) u��4 � (0, 3) f) u��6 � (�5, �1)

Para elegir correctamente el argumento, hay que tener en cuenta el cuadrante en que se encuentra el vector.

a) �u��1� � �32 ��52� � �9 � 2�5� � �34� ; arg(u��1) � arc tg ��53

�� � 59� 2� 10,5

b) �u��2� � �32 ��(�2)2� � �9 � 4� � �13� ; arg(u��2) � arc tg ���32�� � 326� 18� 35,8

c) �u��3� � �(�4)2�� 52� � �16 ��25� � �41� ; arg(u��3) � arc tg ���45�� � 128� 39� 35,3

d) �u��4� � �02 ��32� � �9� � 3 ; arg(u��4) � 90�

e) �u��5� � �82 ��92� � �64 ��81� � �145� ; arg(u��5) � arc tg ��98

�� � 48� 21� 59,3

f) �u��6� � �(�5)2�� (�1�)2� � �25 ��1� � �26� ; arg(u��6) � arc tg ��15

�� � 191� 18� 35,7

4.34. ¿Cómo varía el módulo de un vector si se multiplica por el número real k? Aplica el caso al vector

u�� � (�3, 5) y k � 7.

Si se multiplica un vector por el número real k, el módulo queda multiplicado por k. En efecto:

Sea u�� � (u1, u2) ⇒ ku�� � (ku1, ku2). Por tanto, �ku��� � �(ku1)2 �� (ku2)

2� � �k2 (u12�� u2

2)� � k�u12 � u�2

2� � k�u���

Si u�� � (�3, 5) y k � 7 ⇒ 7u�� � (�21, 35). Por tanto:

�7u��� � �(�21)�2 � 3�52� � �1666� � �72 � 3�4� � 7�34� � 7�(�3)2�� 52� � 7�u���

4.35. Calcula el valor de m para que el vector u�� � (m, �4) sea unitario.

u�� es unitario si �u��� � 1. �u��� � �m2 � (��4)2� � �m2 � 1�6� � 1 ⇒ m2 � 16 � 1 ⇒ m2 � �15 ⇒ no existe solu-ción real.

4.36. Halla el valor de n para que el argumento � del vector sea el indicado en cada caso.

a) u��1 � (�1, n), � � 180� c) u��3 � (n, �2), � � 225�

b) u��2 � (3, n), � � 60� d) u��4 � (�1, n), � � 150�

a) tg (180�) � 0 � ��n1� ⇒ n � 0 c) tg (225�) � 1 � �

�n2� ⇒ n � �2

b) tg (60�) � �3� � �3n

� ⇒ n � 3�3� d) tg (150�) � ���

33�

� � ��n1� ⇒ n � �

�33��

XO

Y

uv

3u

u v+

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4.37. Calcula un vector unitario en la misma dirección y sentido que los siguientes.

a) u��1 � (3, �5) b) u��2 � (�2, 4) c) u��3 � (1, �2)

Basta multiplicar cada vector por el inverso de su módulo:

a) �u��1� � �32 ��(�5)2� � �34� ⇒ El vector pedido es u��1 � � , � � ��3�34

34�� , �

�53�4

34���

b) �u��2� � �(�2)2�� 42� � �20� � 2�5� ⇒ El vector pedido es u��2 � � , �2�

45�

�� � ����5

5�� , �

2�5

5���

c) �u��3� � �12 ��(�2)2� � �5� ⇒ El vector pedido es u��3 � � , � � ���55�� , �

�25�5���

Puntos y vectores

4.38. Sean A, B, C, D, E y F los vértices del hexágono regular de la figura. Expresa los

vectores de los lados como combinación lineal de los vectores AB�� y AF��.

AB�� � 1AB�� � 0 AF�� CB�� � �FE�� � �1 AB�� � 1 AF��

DC�� � �AF�� � 0 AB�� � 1 AF�� ED�� � AB�� � 1 AB�� � 0 AF��

FE�� � 1 AB�� � 1 AF�� AB�� � 1 AB�� � 0 AF��

4.39. Escribe las coordenadas de los vectores con origen A y extremos

los puntos indicados.

AB�� � (4, 1) � (�2, 3) � (6, �2) AD�� � (�2, �3) � (�2, 3) � (0, �6)

AC�� � (�5, 1) � (�2, 3) � (�3, �2) AE�� � (1, �4) � (�2, 3) � (3, �7)

4.40. Sea un vector u�� un representante del vector libre [AB��]:

a) Halla las coordenadas de u��, sabiendo que A(5, �3) y B(3, 4).

b) Halla las coordenadas del punto B sabiendo que A(�3, 1) y u�� � (5, 4).

c) Halla las coordenadas del punto A sabiendo que B(�1, 7) y u�� � (3, 4).

Llamando a�� � (5, �3) y b�� � (3, 4), a los respectivos representantes de los vectores que unen el origen decoordenadas con los puntos A y B, se tiene:

a) AB�� � b�� � a�� � (3, 4) � (5, �3) � (�2, 7)

b) b�� � a�� � u�� � (�3, 1) � (5, 4) � (2, 5)

c) a�� � b�� � u�� � (�1, 7) � (3, 4) � (�4, 3)

4.41. Dados los puntos A(3, 3), B(0, 4), C(�2, 2) y D(1, 1), comprueba que el cuadrilátero ABCD es un paralelo-

gramo. (Nota: utiliza la idea de equipolencia.)

Se tiene que:

AB�� � (0, 4) � (3, 3) � (�3, 1) y DC�� � (�2, 2) � (1, 1) � (�3, 1). Por tanto, los lados AB y DC son paralelos.

BC�� � (�2, 2) � (0, 4) � (�2, �2) y AD�� � (1, 1) � (3, 3) � (�2, �2). Por tanto, los lados BC y AD son paralelos.

En consecuencia, ABCD es un paralelogramo.

A (–2, 3)

BC

D E

1

1

O X

Y

F D

B

A C

E

�2��5�

1��5�

1��5�

�2�2�5�

1�2�5�

�5��34�

3��34�

1��34�

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Solucionario

4.42. Sea M el punto medio del segmento AB. Expresa el vector OM�� como combinación lineal de los vectores

OA�� y OB��

Por ser M el punto medio de AB, se tiene que AM�� � �12

� AB.�� Además, AB�� � OB�� � OA��.

Por tanto, OM�� � OA�� � AM�� � OA�� � �12

� AB�� � OA�� � �12

� (OB�� � OA��) � �12

� OA�� � �12

� OB��.

4.43. Calcula los puntos medios del triángulo de vértices A(2, 0), B(–1, 4) y C(3, 2).

Sean M1, M2 y M3 los puntos medios de AB, BC y CA, respectivamente. Entonces:

AM��1 � �

12

� AB�� � �12

� [(�1, 4) � (2, 0)] � �12

� (�3, 4) ⇒ OM��1 � OA�� � AM��

1 � (2, 0) � ���32

�, 2� � ��12

�, 2�BM��

2 � �12

� BC�� � �12

� [(3,2) � (�1,4)] � �12

� (4, �2) ⇒ OM��2 � OB�� � BM��

2 � (�1, 4) � (2, �1) � (1, 3)

CM��3 � �

12

� CA�� � �12

� [(2,0) � (3,2)] � �12

� (�1, �2) ⇒ OM��3 � OC�� � CM��

3 � (3,2) � ���12

�, �1� � ��52

�, 1�Por tanto, los puntos medios son: M1��

12

�, 2�, M2(1, 3), M3��52

�, 1�.

4.44. Dado el romboide de vértices A(1, 1), B(7, 1), C(5, 3) y D(�1, 3), demuestra vectorialmente que el cuadrilá-

tero que se obtiene al unir los puntos medios de cada lado es un paralelogramo.

Sean M, N, P y Q los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA. Es fácil ver que las coordenadas de estospuntos medios son: M(4, 1), N(6, 2), P(2, 3) y Q(0, 2).

Se tiene que MN�� � QP�� y que MQ�� � NP��. En efecto:

MN�� � (6, 2) � (4, 1) � (2, 1) ; Q��P � (2, 3) � (0, 2) � (2, 1) ⇒ MN�� � QP��

MQ�� � (0, 2) � (4, 1) � (�4, 1); NP�� � (2, 3) � (6, 2) � (�4, 1) ⇒ MQ�� � NP��

Por tanto, el cuadrilátero que se obtiene al unir los puntos medios de cada lado es un paralelogramo.

4.45. Dados los puntos A(�3, 5), B(4, 6), C(�1, 9) y D(8, 6):

a) Halla el módulo, el argumento y las coordenadas de los vectores AB�� y CD��.

b) Calcula las coordenadas de dos vectores unitarios de la misma dirección y sentido que AB�� y CD��.

c) Calcula las coordenadas de un vector de módulo 2 en la dirección de BC y en sentido opuesto.

a) AB�� � (4, 6) � (�3, 5) � (7, 1); CD�� � (8, 6) � (�1, 9) � (9, �3)

�AB��� � �72 ��12� � �50� � 5�2� �CD��� � �92 ��32� � �90� � 3�10�arg (AB��) � arc tg ��

17

�� � 8� 7� 48,4 arg (CD��) = arc tg (��39

�) � 341� 33� 54,2

b) Basta multiplicar A��B y C��D por el inverso de su módulo:

��AA

B�

B��

��� � � , � � ��71

�02�

� , ��10

2��� �

�CC

D�

D��

��� � � , � � ��3�

1010�� , �

��10

10���

c) BC�� � (�1, 9) � (4, 6) � (�5, 3), y �BC��� � �(�5)2�� 32� � �25 � 9� � �34�. Multiplicando BC�� por se obtiene un vector de módulo 2 y sentido opuesto a BC:

BC�� � (�5, 3) � ��5�17

34�� , �

�31�7

34����2

��34�

�2��34�

�2��34�

�3�3�10�

9�3�10�

1�5�2�

7�5�2�

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Producto escalar. Ángulo entre vectores

4.46. a) Comprueba si el vector u�� � (�cos a, sen a) es unitario.

b) Elige un vector unitario y ortogonal al vector u��. ¿Es único?

a) �u��� � �(�cos� a)2 �� (sen�a)2� � �cos2 a� � se�n2 a� � 1. Por tanto, el vector u�� es unitario.

b) Un posible vector unitario y ortogonal a u�� es el vector v�� � (sen a, cos a), ya que u�� � v�� � 0 y además �v��� � 1.

No es el único vector que cumple las condiciones anteriores, también las cumple el vector

w�� � (�sen a, �cos a).

4.47. Da razonadamente dos ejemplos de vectores tales que:

a) Su producto escalar sea 1.

b) Su producto escalar sea �2.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) u��1 � (1, 1), y u��2 � (1, 0), ya que u��1 � u��2 � 1 � 1 � 1 � 0 � 1

b) u��1 � (1, 1), y u��2 � (�1, �1), ya que u��1 � u��2 � 1 � (�1) � 1 � (�1) � �2

4.48. Calcula las coordenadas del vector u��, sabiendo que se verifica: u�� � v�� � 0 y u�� � w�� � 2, siendo

v�� � (3, �4) y w�� � (2, �3).

Sea u�� � (x, y). Del enunciado se deduce:

4.49. Dados los vectores de la figura:

a) Determina las coordenadas de u�� y v�� respecto de la base canónica.

b) Halla �u���, �v���, �u��� � v���.

c) Halla u�� � v��.

d) Halla la proyección de u�� sobre v��.

e) Calcula el ángulo que forman los vectores u�� y v��.

f) Encuentra un vector unitario en la dirección y el sentido del vector u��.

g) Halla un vector ortogonal a u�� de módulo unitario.

a) u�� � (5, 2); v�� � (�3, 3) u�� � v�� � (2, 5)

b) �u��� � �52 � 2�2� � �29� ; �v��� � �(�3)2�� 32� � �18� � 3�2� ; �u�� � v��� � �22 � 5�2� � �29�c) u�� � v�� � (5, 2) � (�3, 3) � �15 � 6 � �9

d) Proyección de u�� sobre v�� � �u��

�v����

v��� � �

e) cos (q ) � ��uu�������vv������ � � ⇒ (q ) � arc cos � � � 113� 11� 54,93

f) Basta multiplicar el vector u�� por el inverso de su módulo: w�� � ��uu������ � � , �.

g) El vector p�� � (�2, 5) es ortogonal a u��, ya que p�� � u�� � 0. Por tanto, � , � es unitario y ortogonala u��.

5��29�

�2��29�

2��29�

5��29�

�3��58�

u�� , v���3��58�

�9���29� � 3�2�

u�� , v��

�3��2�

�9�3�2�

vu

O X

Y

1

1

⇒ x � �8, y � �6. Por tanto, el vector es u�� � (�8, �6).u�� � v�� � 0 ⇒ (x, y) � (3, �4) � 3x � 4y � 0u�� � w�� � 2 ⇒ (x, y) (2, �3) � 2x � 3y � 2

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Solucionario

4.50. Dados los vectores u�� � (3, 4) y v�� � (4, 3), halla:

a) u�� � v��

b) �u��� y �v���

c) El ángulo formado por u�� y v��.

d) La proyección de u�� sobre v��.

e) Un vector unitario en la dirección de v�� sentido opuesto.

a) u�� � v�� � (3, 4) � (4, 3) � 12 � 12 � 24

b) �u��� � �32 � 4�2� � �25� � 5 y �v��� � �42 ��32� � �25� � 5

c) cos (q ) � ��uu�������vv������ � �

2245� ⇒ (q ) � arc cos ��

2245�� � 16� 15� 36,74

d) Proyección de u�� sobre v�� � �u��

�v����v��

� � �254�

e) El vector � ��vv������ � ���

45

� , ��35

�� es unitario y tiene la dirección de v�� y el sentido opuesto.

4.51. Calcula el valor de k para que el ángulo que forman los vectores u�� � (3, k) y w�� � (2, �1) sea:

a) 90� b) 0� c) 45� d) 60�

u�� � w�� � (3, k) � (2, �1) � 6 � k; �u��� � �32 � k�2� � �9 � k2� ; �w��� � �22 � (��1)2� � �5�

a) Como ( q ) � 90�, se tiene que 0 � cos ( q ) � ��uu�������ww������ � �

�96�

k2�k

�5�� ⇒ 6 � k � 0 ⇒ k � 6

b) Como ( q ) � 0�, se tiene que 1 � cos ( q ) � ��9

6�

k2�k

�5�� ⇒ 4k2 � 2k � 9 � 0 ⇒ k � �

�323�2��

c) Como ( q ) � 45�, se tiene que ��22�� � cos ( q ) ��

�96�

k2�k

�5�� ⇒ 6k2 � 48 k � 54 � 0 ⇒ k � 1 o k � �9

d) Como ( q ) � 60�, se tiene que �12

� � cos ( q ) ���9

6�

k2�k

�5�� ⇒ k2 � 99 � 0 ⇒ k � 3�11�

4.52. a) Halla el valor de k para que el vector u�� � (3, k) sea ortogonal al vector v�� � (�1, 4).

b) Halla el módulo de u�� y v��.

c) Halla el ángulo formado por los vectores u�� y v��.

a) u�� ⊥ v�� ⇔ u�� � v�� � 0. Por tanto, se tiene que (3, k) � (�1, 4) � �3 � 4k � 0 ⇒ k � �34

�.

b) �u��� � 32 � ���34

��2

� � �3��

417�

� ; �v��� � �12 � 4�2� � �17�

c) Como son ortogonales, (u��, v��) � 90�.

4.53. Halla el valor de k para que el vector u�� � (k, 2) sea:

a) Unitario

b) Perpendicular al vector de coordenadas (2, 3)

a) El vector es unitario si su módulo es igual a 1. Luego:�u��� � �k2 � 4� � 1 ⇒ 4 � k2 � 1 ⇒ k2 � �3 ⇒ no existe k real que haga el vector unitario.

b) Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0. Luego:

(k, 2) � (2, 3) � 0 ⇒ 6 � 2k � 0 ⇒ k � �3

u�� , w��u�� , w��

u�� , w��u�� , w��

u�� , w��u�� , w��

u�� , w��u�� , w��

u�� , v��u�� , v��

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4.54. Se tiene la base canónica B � {i�, j�}, y respecto de ella, los

vectores u�� y dados por la siguiente figura:

a) Halla las coordenadas de u�� y v�� respecto de la base B.

b) Calcula u�� � v��.

c) Halla el ángulo formado por los vectores u�� y v��.

d) Halla un vector unitario ortogonal al vector u�� � v��.

a) u�� � 4i� � j� ⇒ u�� � (4, 1); v�� � �3i� � 3j� ⇒ v�� � (�3, 3)

b) u�� � v�� � (4, 1) � (�3, 3) � �12 � 3 � �9

c) cos (q ) � ��uu�������vv������ � � � � , (q ) � arc cos� �� 120� 57� 49,5

d) u�� � v�� � (4, 1) � (�3, 3) � (1, 4)

Un vector ortogonal al vector u�� � v�� � (1, 4) puede ser (�4, 1), y para que sea unitario basta con dividir por sumódulo:

w�� � �� , �

4.55. a) Calcula el valor de k para que los vectores u�� � (1, k) y v�� � (�4, k) sean ortogonales.

b) Calcula �u���, �v���, �u�� � v���.c) Halla el ángulo formado por los vectores �u��� y �v���.

a) u�� ⊥ v�� ⇔ u�� � v�� � 0. Por tanto, se tiene que (1, k) � (�4, k) � �4 � k2 � 0 ⇒ k � 2.

b) �u��� � �12 � 2�2� � �5� ; �v��� � �(�4)2�� 22� � �20� ; �u�� � v��� � �(�3)2�� 42� � �25� � 5

c) Como son ortogonales, (q ) � 90�.

4.56. Halla el ángulo que forman los vectores u�� y v��, sabiendo que se verifican las siguientes condiciones:

�u��� � 4, �v��� � 6 y �u�� � v��� � 7

Sea α el ángulo formado por los vectores u�� y v��. Por el teorema del coseno:�u�� � v���2 � �u���2 � �v���2 � 2 �u��� �v��� cos α ⇒ 72 � 42 � 62 � 2 � 4 � 6 cos α ⇒ 49 � 16 � 36 � 48 cos α ⇒

⇒ �3 � �48 cos α ⇒ cos α � �116� ⇒ α � 86� 25� 0,04

4.57. ¿Puede ser el módulo del vector suma de dos vectores de módulo 10 y 5, respectivamente, mayor que 15?

¿Y menor que 4?

Sean a�� y b�� dos vectores tales que �a��� � 10 y �b��� � 5.

Para hallar el módulo del vector suma, se aplica el teorema del coseno del siguiente modo:�a�� � b���2 � �a���2 � �b���2 �2�a��� �b��� cos α ⇒ �a�� � b���2 � 100 � 25 � 2 � 10 � 5 cos α ⇒⇒ �a�� � b���2 � 125 � 100 cos αComo �1 � cos α � 1, se tiene que 25 � �a�� � b���2 � 225, luego 5 � �a�� � b��� � 15.

Así pues, es imposible que el módulo del vector a�� � b�� sea mayor que 15 o menor que 4.

4.58. Sean u�� y v�� dos vectores tales que (u�� � v��)2 � 25 y (u�� � v��)2 � 9. Calcula el producto escalar u�� � v��.

Se tiene que:

25 � (u�� � v��)2 � u��2 � v��2 � 2u�� � v��

9 � (u�� � v��)2 � u��2 � v��2 � 2u�� � v��

Restando ambas expresiones se obtiene: 16 � 4u�� � v��. Luego u�� � v�� � 4.

4.59. Sean u�� y v�� dos vectores tales que u�� � 9 y (u�� � v��) � (u�� � v��) � 17. Calcula el módulo del vector v��.

Se tiene que (u�� � v��) (u�� � v��) � u�� 2 � v�� 2 � 17. Por tanto, �v���2 � �u���2 � 17 � 92 � 17 � 64.

En consecuencia, �v��� � �64� � 8

u�� , v��

1��17�

4��17�

�3��34�

u�� , v���3��34�

�9��306�

�9���17��18�

�9����42 � 1�2� �32 � 3�2�

u�� , v��

v

u

O X

Y

i

j

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Solucionario

4.60. Dos vectores a�� y b�� son tales que �a��� � 10, �b��� � 10�3�, y �a�� � b��� � 20. Halla el ángulo que forman los vec-

tores a�� y b��.

Aplicando el teorema del coseno, se tiene que �a�� � b���2 � �a���2 � �b���2 �2 �a��� �b��� ⇒202 � 102 � (10�3�)2 � 2 � 10 � 10�3� cos α ⇒ 400 � 100 � 300 � 200�3� cos α0 � 200 �3� cos a ⇒ cos α � 0 ⇒ α � 90�

Los vectores a�� y b�� son ortogonales.

4.61. Sean A, B, C y D cuatro puntos arbitrarios del plano. Demuestra que siempre se verifica:

[AB��] � [CD��] � [AC��] � [DB��] � [AD��] � [BC��] � 0

Llamando u�� � [AB��], v�� � [AC��] y w�� � [AD��], se tiene que [CD��] � w�� � v�� , [DB��] � u�� � w�� y [BC��] � v�� � u��

Sustituyendo estos valores en la expresión inicial:

[AB��] � [CD��] � [AC��] � [DB��] � [AD��] � [BC] � u�� (w�� � v��) � v�� (u�� � w��) � w�� (v�� � u��) �

� u�� � w�� � u�� � v�� � u�� � v�� � w�� � w�� � v�� � w�� � u�� � 0

4.62. Pon un contraejemplo para probar que de la igualdad u�� � v�� � u�� � w�� no se deduce que v�� � w��.

Respuesta abierta, por ejemplo:

Sean u�� � (4, �1), v�� � (1, �2) y w�� � (2, 2). Se cumple que u�� � v�� � u�� � w�� � 6, pero v�� w��.

4.63. Dados los vectores u�� � (2, 1) y v�� � (5, 3), expresa el vector v�� como suma de dos vectores, uno de la mis-

ma dirección que u�� y otro que sea ortogonal al vector u��.

Un vector en la misma dirección de u�� � (2, 1) es u�� � � (2k, k). Un vector ortogonal al vector u�� � (2, 1) esw�� � (�h, 2h). Como ha de ser v�� � u�� � � w��, se tiene que (5, 3) � (2k, k) � (�h, 2h). Luego:

� ⇒ �Por tanto, los vectores pedidos son u�� � � (2k, k) � ��

256� , �

153�� y w�� � (�h, 2h) � ���

15

� , �25

��.

PROBLEMAS

4.64. Dado el triángulo de vértices A(2, 3), B(5, 2) y C(7, 9):

a) Halla la medida de los lados.

b) Halla la medida de los ángulos.

a) Medida de los lados:

Lado AB � �AB��� � �(5, 2) � (2, 3)� � �(3, �1)� � �32 � 1�2� � �10�Lado BC � �BC��� � �(7, 9) � (5, 2)� � �(2, 7)� � �22 � 7�2� � �53�Lado CA � �CA��� � �(2, 3) � (7, 9)� � �(–5, –6)� � �52 � 6�2� � �61�

b) Medida de los ángulos:

BA�� � � AB�� � (�3, 1) ; BC�� � (7, 9) � (5, 2) � (2, 7)

cos α � cos (BA�� , BC��) � � � � ⇒ α � 87� 30� 37,61

AB�� � (3, �1); AC�� � (7, 9) � (2, 3) � (5, 6)

cos β � cos (AB�� , AC��) � � � ⇒ β � 68� 37� 45,76

γ � 180� � 87� 30� 37,61 � 68� 37� 45,76 � 23� 51� 36,63

9��610�

15 � 6���10��61�

AB�� � AC�����AB��� �AC���

1��530�

�6 � 7���10��53�

BA�� � BC�����BA��� �BC���

k � �153�

h � �15

5 � 2k � h3 � k � 2h

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4.65. Dibuja una circunferencia de centro O y radio 4 unidades. Inscribe en la circunferencia anterior un hexágo-

no regular de vértices A, B, C, D, E y F. Halla los siguientes productos.

a) OC�� � OE�� b) OB�� � OC�� c) AB�� � BC�� d) AB�� � DE��

a) OC�� � OE�� � �OC��� �OE��� cos 120� � 4 � 4 � ���12

�� � �8

b) OB�� � OC�� � �OB��� �OC��� � 4 � 4 cos 60� � 8

c) AB�� � BC�� � �AB��� �BC��� cos 120� � �8

d) AB�� � DE�� � �AB��� �DE��� cos 180� � 4 � 4 (�1) � �16

4.66. En el triángulo equilátero de la figura, de 6 m de lado, se consideran los siguientes

vectores:

u�� � AB�� , v�� � BC�� y w�� � AC��.

Halla u�� � v�� , v�� � w�� y w�� � u��

De la figura se deduce: (u�� , v��) � 120� ⇒ (v�� , w��) � (w�� , u��) � �60�.

u�� � v�� � �u��� �v��� cos (u�� , v��) � 6 � 6 (�0, 5) � �18

v�� � w�� � �v��� �w��� cos (v�� , w��) � 6 � 6 (0, 5) � 18

w�� � u�� � �w��� �u��� cos (w�� , u��) � 6 � 6 (�0, 5) � 18

4.67. Ana ha salido de la playa en una tabla de windsurfing arrastrada por un viento que tiene una velocidad de

15 km/h en sentido norte. A los 5 minutos se ha caído y ha estado descansando sobre la tabla 10 minutos.

Al levantar la vela observa que se ha levantado un fuerte viento de 30 km/h en sentido oeste. Después de

navegar 7 minutos, ¿a qué distancia se encuentra del punto de partida?

15 km/h � 15 000 m/h � �15

60000� m/min � 250 m/min

30 km/h � 500 m/min.

Ana se encuentra inicialmente en el punto O.

A los 5 minutos, Ana ha recorrido 250 � 5 � 1250 m, y llega al punto A.

Tras levantar la vela, navega durante 7 minutos en la dirección del viento;

por tanto, recorre: 500 � 7 � 3500 m, llegando al punto B.

Luego la distancia desde el punto de partida es: �OB��� ��OA���2 ���AB���2� � �12502� � 35�002� � 3716,5 m.

La distancia recorrida en total por Ana es: AO�� � AB�� � 1250 � 3500 � 4750 m.

4.68. Dos barquitas ayudan a salir de un puerto a un gran barco tirando de él con el mismo ángulo y simétrica-

mente, con una fuerza de 300 N. Haz una tabla variando el ángulo desde 10� hasta 80� de 10 en 10 y ob-

teniendo en cada caso la fuerza resultante sobre el barco remolcado. ¿Cuál es el mejor ángulo para llevar

a cabo el arrastre?

El ángulo, a, es el forman entre sí los dos cables que unen las barquitas con el barco.

En la tabla están los resultados. Observa que cuanto menor es el ángulo a, mayor es la resultante y, en conse-cuencia, mejor es el arrastre. Por tanto, el mejor ángulo es α � 10�.

A C

B

6 m

O

AB3500 m 1

250 m

a R � 600 � cos —α2

10� 600 cos 5� � 597,7 N

20� 600 cos 10� � 590,9 N

30� 600 cos 15� � 579,6 N

40� 600 cos 20� � 563,8 N

50� 600 cos 25� � 543,8 N

60� 600 cos 30� � 519,6 N

70� 600 cos 35� � 491,5 N

80� 600 cos 40� � 459,6 N

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Solucionario

4.69. José Luis se lanza al agua desde el punto A con intención de llegar al embarcadero que se encuentra si-

tuado al otro lado del río, a 200 m, en perpendicular a la corriente desde el punto A. Observa que por mu-

cho esfuerzo que hace, y nadando a una velocidad de 3 km/h, no puede llegar al embarcadero, sino a un

árbol que se encuentra a 100 m del embarcadero. ¿Qué velocidad tiene la corriente del río? ¿Cuántos me-

tros nadó en realidad? ¿Qué tendría que haber hecho para llegar con seguridad al embarcadero?

Sea v��1 el vector velocidad a la que nada José Luis, y v��2 , el

vector velocidad de la corriente del río.

Se tiene que �v��1� � 3000 m/h, arg (v��1) � 90�,

arg (v��2) � 0�. Se busca calcular �v��2�.

La dirección en la que se mueve José Luis es la del vector suma

v��1 � v��2 , y coincide con AF��.

Se verifica que tg α � ���vv����

1

2

��� � �

��210000

��� � 2 ⇒ �v��2� � �

�v�2�1�� � 1500 m/h.

Por tanto, la velocidad de la corriente del río es de 1,5 km/h.

En realidad nadó:

�AF��� � ��AE��2� �� �EF��2�� � �2002 �� 1002� � 223,6 m.Para llegar con seguridad al embarcadero debería haber nadado en dirección AD��.

4.70. Un globo se desplaza en sentido norte a 80 km/h, y en un determinado instante comienza a soplar un vien-

to de 60 km/h en una dirección que forma un ángulo de 45� con la dirección del globo. ¿Qué dirección lle-

vará a partir de ese instante? ¿Cuál será su velocidad?

Sea v��1 el vector velocidad inicial del globo.

Se tiene que �v��1� � 80, arg (v1) � 0�. Por tanto,

v��1 es el vector (0, 80).

Sea v��2 el vector velocidad del viento.

Se tiene que �v��2� � 60 y arg (v��2) � 45�. Por tanto,

v��2 es el vector (60, 60).

A partir de ese instante, el vector velocidad del globo es v�� � v��1 � v��2 � (0, 80) � (60, 60) � (60,140).

La velocidad es, por tanto, �v��� � �602 ��1402� � 152,32 km.

La dirección es la del vector v��. Como arg (v��1 � v��2) � arctg (�16400

�) � 66� 48� 5, ese es el ángulo que forma lanueva dirección con la dirección inicial.

4.71. ¿Qué lugar geométrico forman los extremos de los vectores de módulo 5 y origen el origen de coordena-

das, en el sistema de referencia euclídeo R � {O; i�, j�}?

Una circunferencia de centro O y radio 5 unidades

4.72. Un avión vuela a una velocidad de 900 km/h y lanza un paquete con ayuda humanitaria de 50 kg. El vector

velocidad del paquete tiene dos componentes: la horizontal, que es constante e igual a 900 km/h, y la ver-

tical, que viene dada por la gravedad según la ley vy � 9,8 t, siendo t el tiempo en segundos. ¿Es posible

describir la trayectoria del paquete lanzado? Razona tu respuesta.

El paquete lanzado sigue una trayectoria parabólica. En efecto, sea h la altura del avión.

El espacio recorrido en la dirección horizontal verifica la ecuación: e (t) � e0 � vt � 0 � 900t

El espacio recorrido en el eje vertical verifica la ecuación: e (t) � e0 � vt � h � 9,8t 2

Así, en el instante t, el paquete estará en la posición: r (t) � (x, y) � (900t, h � 9,8t 2). Despejando el tiempo:

La parábola es y � h � �990,802�x 2.

XO

Y

v

20

20

v1

v2

L

E100 m

200 m

F

A 100 m

v2

v1

D

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PROFUNDIZACIÓN

4.73. Sea A��B un segmento de longitud m, y M su punto medio. Si P es un punto cualquiera del plano y d es su

distancia a M, demuestra que se cumple:

PA�� � PB�� � d2 � ��m2

��2

A la vista de la figura adjunta se observa que: PA�� � PM�� � MA�� y PB�� � PM�� � MB��.

Así, PA�� � PB�� � PM�� � PM�� � PM�� � MB�� � PM�� � MA�� � MB�� � MA�� �

� �PM���2 � �PM��� � �MB��� � cos (180� � α) �PM��� � �MA��� � cos α � �MB��� � �MA��� � cos (180�) �

� d 2 � d � �m2

� � cos α � d � �m2

� � cos α � ��m2

��2

� d 2 � ��m2

��2

4.74. Si u�� y v�� son dos vectores libres no nulos, y w�� � —�u

u

�����— � —�

v

v

�����— :

a) Demuestra que los múltiplos no nulos de w�� forman el mismo ángulo con u�� y con v��. (Estos vectores re-

ciben el nombre de vectores bisectores de u�� y v��.)

b) Halla un vector bisector de los vectores u�� � (�3, 4) y v�� � (8, 6) que tenga módulo 5.

a) u�� � w�� � u�� � ���uu������ � ��

vv�������� �

u���u��u��

� � �u��

�v����v��

� � ���u�u�����2

� � � �u��� � �u��� � cos(q ) � �u��� (1 � cos(q ))

Por tanto,

cos(u�� , w��) � ��u�u������w��w����� � � ; cos(v�� , w) � ��u�

u������w��w����� �

� �

Por lo que w�� forma el mismo ángulo con u�� y v��.

Lo mismo ocurre con los múltiplos de w��, ya que tienen la misma dirección que w��.

b) Sustituyendo será w�� � ��uu������ � ��

vv������ � �

15

� (�3,4) � �110� (8,6) � ��

15

� , �75

��. Para que tenga módulo 5, dividimos por su

módulo y multiplicamos por 5, obteniéndose finalmente: x�� � 5 � ��ww������ � 5 � ��

15

� , �75

��� ���1500�

� , �7�

1050���

4.75. Un vector de módulo 10 se descompone en suma de otros dos módulos iguales y que forman un ángulo de

45�. Halla el módulo de cada uno de los vectores sumados.

Si se descompone el vector u��, de módulo 10, como suma de los vectores v�� y w�� de módulos iguales. Por ser �v��� � �w���, se deduce que los ángulos que forma u�� con v�� y u�� con w�� son iguales:

(v�� , u��) � (u�� , w��) � 22� 30� ⇒ (AB�� , BC��) � 135�

Aplicando el teorema del coseno, se obtiene:

�u���2 � �v���2 � �BC���2 �2�v��� �BC��� cos 135� � �v���2 � �v���2 �2�v��� �v���2 ����22��� � (2 � �2�) �v���2

100 � (2 � 2) �v���2 ⇒ �v��� � �u��� � 10���2� � �2�

5��50�

1 � cos(u�� , v��q )�w���

�u��� (1 � cos(u�� , v��q )�u��� � �w���

1 � cos(u�� , v��q )�w���

�u��� (1 � cos(u�� , v��q ))�u��� � �w���

u�� , v��u�� , v���u��� � �v��� � cos(u�� , v��q )

�v���

M

A

B

d

P

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Solucionario

4.76. Demuestra que si dos vectores tienen el mismo módulo, entonces los vectores suma y diferencia son orto-

gonales.

Sean u�� y v�� tales que �u��� � �v���. Veamos que los vectores u�� � v�� y u�� � v�� son ortogonales.

(u�� � v��) ⊥ (u�� � v��) ⇔ (u�� � v��) (u�� � v��) � 0

(u�� � v��) (u�� � v��) � �u���2 � �v���2 � �u���2 � �u���2 � 0

Luego, en efecto, u�� � v�� y u�� � v�� son ortogonales.

4.77. Demuestra que el vector a�� � (b�� � c��) d�� � (b�� � d��) c�� es ortogonal al vector b��.

Se tiene que a�� ⊥ b�� ⇔ a�� � b�� � 0. Por tanto, basta comprobar que [(b�� � c��) d�� � (b�� � d��) c��] b�� � 0.

(b�� � c��) d�� � b�� � (b�� � d��) c�� � b�� � (c�� � b��) (d�� � b��) � (d�� � b��) (c�� � b��) � 0

En efecto, ambos vectores son ortogonales.

4.78. Demuestra las siguientes igualdades entre vectores.

a) (u�� � v�� � w��) � (u�� � v�� � w��) � (u�� � v��)2 � w�� 2

b) (u�� � v�� � w��) � (u�� � v�� � w��) � u�� 2 � (v�� � w��)2

a) (u�� � v�� � w��) � (u�� � v�� � w��) � (u�� � v��)2 � (u�� � v��) w�� � w�� (u�� � v��) � w�� 2 � (u�� � v��)2 � w�� 2

b) (u�� � v�� � w��) � (u�� � v�� � w��) � u�� 2 � u�� (v�� � w��) � (�v�� �w��) u�� � (�v�� �w��) (v�� � w��) � u�� 2 � (v�� � w��)2

4.79. Prueba, con ayuda del producto escalar, el teorema del coseno que dice así:

a 2 � b 2 � c 2 � 2bc cos A.

En el triángulo ABC de la figura construimos los vectores

a�� � CB�� , b�� � AC�� y c�� � BA�� De esta forma: a�� � b�� � c��.

Multiplicando esta igualdad escalarmente por sí misma:

a�� � a�� � (b�� � c��) (b�� � c��) ⇒ �a���2 � �b���2 � �c���2 � 2 b�� � c��

Luego se puede escribir a 2 � b 2 � c 2 � 2bc cos (b�� , c��) ⇒ a 2 � b 2 � c 2 � 2bc cos α

4.80. Demuestra vectorialmente que las bisectrices de los ángulos (u�� , v��) y (�u�� , v��) se cortan perpendicularmente.

(Sugerencia: utiliza los vectores u�� y v�� con el mismo módulo.)

Sean u�� y v�� dos vectores cualesquiera que forman un ángulo α. Los vectores �u�� y v�� forman un ángulo de 180� � α. La bisectriz del ángulo α es la recta soporte del vector u�� � v��. La bisectriz del ángulo 180 � α es larecta soporte del vector �u�� � v��.

Basta ver que los vectores u�� � v�� y �u�� � v�� son ortogonales. Para ello, se comprueba que su producto escalares nulo.

(u�� � v��) (�u�� � v��) � u�� (�u��) � u�� � v�� � v�� � u�� � v�� � v�� � �u�� � u�� � v�� � v�� � 0,

ya que si �u��� � �v���, entonces u�� � u�� � v�� � v��.

Por tanto, los vectores u�� � v�� y �u�� � v�� son ortogonales y, en consecuencia, las bisectrices se cortan perpendi-cularmente.

α β

γa

c

C

B

b

A

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4.81. Demuestra que los vectores u�� y v�� son perpendiculares, si y solo si �u�� � v��� � �u�� � v���.

Si u�� ⊥ v�� ⇒ u�� � v�� � 0. Por tanto, cos(u�� , v��) � 0. En consecuencia, �u�� � v��� � �u��� � �v��� �2 �u��� � �v��� cos(u�� , v��) � �u��� � �v����u�� � v��� � �u�� � (�v��)� � �u��� � ��v��� �2�u��� � ��v��� cos(u�� , �v��) � �u��� � �v���

Luego �u�� � v��� � �u�� � v���

Elevando al cuadrado: (u�� � v��)2 � (u�� � v��)2

u�� 2 � v�� 2 � 2 u�� v�� � u�� 2 � v�� 2 � 2u�� v�� ⇒ 4 u�� v�� � 0 ⇒ u�� � v�� � 0.

Por tanto, u�� y v�� son ortogonales.

4.82. Demuestra vectorialmente que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Sean u�� � OB�� y v�� � AO�� � OC��, entonces

AB�� � v�� � u�� y BC�� � v�� 2 u��.

AB�� � BC�� � (v�� � u��) (v�� � u��) � �v���2 � �u���2 � r 2 � r 2 � 0

Luego los vectores AB�� y BC�� son ortogonales.

4.83. Demuestra vectorialmente que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.

Considerando el rombo de la figura adjunta, se tiene que �a��� � �b���, ya que un rombo tiene sus cuatro lados iguales.

Los vectores de las diagonales son m�� � a�� � b�� y n�� � b�� � a��.

Para ver que son ortogonales hagamos su producto escalar:

m�� � n�� � (a�� � b��) (b�� � a��) � �b���2 � �a���2 � 0

Luego las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.

4.84. Demuestra vectorialmente que las tres alturas de un triángulo concurren en un punto.

Sea H el punto de intersección de las alturas que parten de los vértices A y B.

Se tiene que HA�� � BC�� � 0 y HB�� � AC�� � 0. Se trata de probar que HC�� � AB�� � 0.

HC�� � AB�� � (HA�� � AC��) � (AC�� � CB��) � HA�� � AC�� � HA�� � CB�� � AC�� � AC�� � AC�� � CB�� �

� AC�� � (HA�� � AC�� � CB��) � AC�� � HB�� � 0

Por tanto, los vectores AB�� y HC�� son también ortogonales; es decir, la altura del vérticeC pasa también por el punto H (ortocentro del triángulo).

A

B

C

H

A

ba

B

C

D

ab

m

n

OCA

B

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Solucionario

ACTIVIDADES INICIALES

5.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(�2, 5) y B(8, 11).

El punto medio es M(3, 8).

5.II. Dibuja un triángulo isósceles y traza las medianas, alturas y mediatrices del mismo.

Localiza el baricentro, ortocentro y circuncentro del triángulo. ¿Con qué recta coincide

la recta de Euler en este caso?

G es el baricentro, T es el circuncentro y H es el ortocentro. La recta de Euler en estecaso coincide con la mediana, la altura y la mediatriz del lado desigual que, por tanto, sonla misma recta.

5.III. Dibuja un triángulo rectángulo y traza las medianas, alturas y mediatrices del mismo.

Localiza la recta de Euler de este triángulo.

La recta de Euler en este caso coincide con la mediana sobre la hipotenusa.

5.IV.Dibuja el triángulo de vértices A(4, 3), B(�3, 3) y C(0, �3).

a) Calcula las coordenadas del baricentro.

b) Dibuja sus medianas y el baricentro.

c) Dibuja sus alturas y el ortocentro.

d) Dibuja sus mediatrices y el circuncentro.

e) Dibuja la recta de Euler.

a) G(1\3, 1)

EJERCICIOS PROPUESTOS

5.1*. Comprueba si los puntos A(�2, 3), B(2, �3) y C(�2, 5) pertenecen o no a la recta que pasa por P(�2, 6) y

tiene como vector director v�� � (0, �3). Calcula dos puntos más de esta recta.

Las ecuaciones paramétricas de la recta son: r � �En este caso se trata de la recta vertical x � �2. Cualquier punto cuya abscisa sea �2 pertenece a la recta, puessiempre existe un valor real de � tal que y � 6 � 3�

A(�2, 3): � ⇒ A � r B(2, �3): � ⇒ B � r C(�2, 5): � ⇒ C � r

Cualquier punto de coordenadas (�2, y) pertenece a la recta, por ejemplo (�2, 6) y (�2, 0).

5.2. Considera la recta que pasa por el punto M(5, �2) y lleva la dirección del vector v�� � (�2, 2).

a) Calcula su ecuación vectorial.

b) Halla sus ecuaciones paramétricas.

a) La ecuación vectorial es: (x, y) � ( 5, �2) � � (�2, 2) para cualquier número real �

b) Las ecuaciones paramétricas son: r � �5 � 2��2 � 2�

�2 � �25 � 6 � 3� ⇒ � � �

13

�2 � �2�3 � 6 � 3�

�2 � �23 � 6 � 3� ⇒ � � 1

x � �2y � 6 � 3�

5 Geometría analítica plana

G

HT

G

H

T

AB

C

O

1

1

AlturaMediana

G T H

r

Mediatriz

Y

X

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5.3. En cada caso, calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:

a) A(2, �5) y B(1, �3) b) A(3, �3) y B(�3, �3) c) A(1, 4) y B(1, �3) d) A(�2, �4) y B(3, �2)

a) El vector director es AB�� � (�1, 2) y la recta pasa por A(2, �5).

Por tanto: �x

��

12

� � �y �

25

� ⇒ 2x � 4 � �y � 5 ⇒ AB � 2x � y � 1 � 0

b) El vector director es AB�� � (�6, 0) y la recta pasa por A(3, �3).

Por tanto: � ⇒ AB � y � �3

c) El vector director es AB�� � (0, �7) y la recta pasa por A(1, 4).

Por tanto: � ⇒ AB � x � 1

d) El vector director es AB�� � (5, 2) y la recta pasa por A(�2, �4).

Por tanto: �x �

52

� � �y �

24

� ⇒ 2x � 4 � 5y � 20 ⇒ AB � 2x � 5y � 16 � 0

5.4. Calcula las ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices: A(2, 3), B(�1, 0) y C(0, �3).

Las medianas son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

En primer lugar se calculan los puntos medios de los lados:

Lado AB: M��12

� , �32

��; lado BC: P���12

� , ��32

��; lado CA: N(1 0)

La mediana correspondiente al lado AB pasa por C y M, y su vector director es: CM�� � ��12

�, �92

�� || u�� � (1, 9).

Luego la ecuación de la recta es �1x

� � �y �

93

� ⇒ 9x � y � 3 ⇒ CM � 9x � y � 3 � 0.

La mediana correspondiente al lado BC pasa por A y P, y su vector director es: AP�� � ���52

� ��92

�� || (5, 9).

Luego la ecuación de la recta es �x �

52

� � �y �

93

� ⇒ 9x � 18 � 5y � 15 ⇒ AP � 9x � 5y � 3 � 0.

La mediana correspondiente al lado CA pasa por B y N, y su vector director es: NB�� � (2, 0).

Luego la ecuación de la recta es BN � y � 0.

5.5. Calcula las ecuaciones de las rectas paralelas a los ejes que pasan por el punto A(�3, 5).

La recta paralela al eje OX que pasa por A es y � 5, y la recta paralela al eje OY que pasa por A es x � �3.

5.6. Halla un vector director y otro normal de la recta que pasa por el punto A��2, —1

3—� y por el origen de coordenadas.

Vector director: OA�� � ��2, �13

�� || u�� � (�6, 1)

Vector normal: (1, 6)

5.7. Una recta tiene como vector normal n�� � (2, �3) y pasa por el punto A(�1, 2).

Escribe su ecuación normal, su ecuación normal canónica y su ecuación general.

Ecuación general:

La ecuación general es de la forma 2x � 3y � k � 0. Como la recta pasa por A, ha de ser �2 � 6 � k � 0 ⇒ k � 8.

Por tanto, la ecuación general de la recta es: 2x � 3y � 8 � 0.

Ecuación normal:

Si X(x, y) es un punto de la recta, se verifica que AX�� � n�� � 0 ⇒ (x � 1, y � 2) � (2, �3) � 0 ⇒ 2(x � 1) � 3(y � 2) � 0

Ecuación normal canónica:

| n�� | � �22 ��(�3)2� � �13� ⇒ ��

2

13�� x � �

�3

13�� y � �

�8

13�� � 0

5.8. Indica un vector director y otro normal de la recta de ecuación �3x � 2y � 4 � 0.

Un vector normal es n�� � (�3, 2). Un vector director es u�� � (2, 3).

x � 1 � 0y � 4 � �7�

x � 3 � �6�y � 3 � 0

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Solucionario

5.9. Escribe las ecuaciones general, normal y normal canónica de la recta que pasa por A(3, �3) y B(�1, 2).

El vector director es AB�� � (�4, 5). El vector normal es: (5, 4). Por tanto:

La ecuación normal es: 5 � (x � 3) � 4 � (y � 3) � 0

La ecuación general es: 5x � 15 � 4y � 12 � 0 ⇒ 5x � 4y � 3 � 0

La ecuación normal canónica es: ��52

5

��42�� x ��

�52

4

��42�� y ��

�52

3

��42��� 0 ⇒ �

�5

41�� x � �

�4

41�� y � �

�3

41�� � 0.

5.10. Halla la ecuación de la recta perpendicular al segmento de extremos A(0, �2) y B(1, 4) y que pasa por el

punto C(3, 0).

AB�� � (1, 6) es un vector normal a la recta. Por tanto, la ecuación de la recta es de la forma x � 6y � k � 0.Como pasa por el punto C, ha de ser 3 � k � 0 ⇒ k � �3. Por tanto, la ecuación pedida es x � 6y � 3 � 0.

5.11. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A(�2, 4) y tiene de pendiente m � —1

2—.

La ecuación de la recta es de la forma y � �12

� x � n. Como pasa por A, ha de ser 4 � �12

� (�2) � n ⇒ n � 5.

Por tanto, la ecuación pedida es y � �12

� x � 5, o bien en su forma general: x � 2y � 10 � 0.

5.12. Calcula la pendiente y la ordenada en el origen de la recta que pasa por los puntos A(�1, 5) y B(2, �2).

Sea y � mx � n la ecuación explícita de la recta. Los puntos dados han de verificar la ecuación, por lo que setiene el siguiente sistema:

� E2 � E1→ � 7 � 3m ⇒� ⇒ La pendiente es m � ��37�, y la ordenada en el origen, n � �

83

�.

5.13. Estudia la posición relativa de las rectas:

a) 2x � 5y � 5 � 0 y 3x � 5y � 5 � 0 b) 3x � 5y � 5 � 0 y 9x � 15y � 5 � 0

a) �23

� � ��55� ⇒ son rectas secantes. Se cortan en: � ⇒ 10y � 10 � 0 ⇒ y � 1, x � 0 ⇒ P(0 1).

b) �39

� � �155� � �

�55� ⇒ son rectas paralelas.

5.14*.Calcula la ecuación de la recta paralela a la recta r: 2x � y � 1 � 0 y que pasa por el punto de intersección

de las rectas s: x � y � 5 � 0 y t: x � y � 1 � 0.

Se calcula el punto de intersección de s y t: � ⇒ 2x � 6 � 0 ⇒ x � �3 ⇒ y � 2 ⇒ P(�3, 2)

Todas las paralelas a r son de la forma 2x � y � k � 0. Como tiene que pasar por (�3, 2), se tiene:�6 � 2 � k � 0 ⇒ k � 4

La ecuación de la recta buscada es 2x � y � 4 � 0

5.15. Comprueba si los siguientes triángulos son equiláteros, isósceles o escalenos:

a) A(�2, 1), B(0, 3) y C(3, 7) b) A�—1

2—, —

1

2—�, B�—

3

2—, —

1

2—� y C�1,—

1 �

2

�3�—�

a) Se trata de un triángulo escaleno. En efecto:

A�B� � �22 ��22� � �8� u, CB�� � �32 ��42� � �25� � 5 u, A�C� � �52 ��62� � �25 ��36� � �25 ��36� � �61� u

b) Se trata de un triángulo equilátero. En efecto:

A�B� ����32

� � �12

��2

���12

� � �12

��2

� �1 � 0�� 1 u, C�B� ����32

� � 1�2

� ��12

� � �1�

2�3���2 ���

14

� � �34

�� 1 u,

A�C� � ��1 � �12��

2

� ��1 �

2�3�� ��

12

��2 ���14

� � �34

�� 1 u

x � y � 5 � 0x � y � 1 � 0

3x � 5y � 5 � 03x � 5y � 5 � 0

m � ��37�

n � �2 � �134� � �

83

5 � �m � n�2 � 2m � n

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5.16. a) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(�2, 3) y B(2, 2).

b) Halla la distancia del punto C(10, 0) a la recta que pasa por A y B.

c) ¿Cuál es la posición relativa de A, B y C?

a) La recta tiene como vector director AB�� � (4, �1), y pasa por A(�2, 3). Por tanto, su ecuación es:

AB � �x �

42

� � �y

13

� ⇒ �x � 2 � 4y � 12 ⇒ x � 4y � 10 � 0

b) La distancia es d(C, AB) � �| 10 �

�1

42

0

4��

2�10 |

� � ��

0

17�� � 0, lo que significa que C pertenece a la recta AB.

c) A, B y C están alineados.

5.17. Calcula el ángulo que forman las rectas:

a) r: 3x � 4y � 0 y s: 2x � 2y � 3 � 0 b) r: y � x � 5 y s: y � 2x � 2

a) Los vectores normales son n��1 � (3, �4) y n��2 � (2, 2). Luego:

cos (r, sp) � �||n��n�

1

�1

|�

n|

��

n�2

�2

||

� � ��9 �

| 6

16��

�8 |

4 � 4�� � �

5 �

2

�8�� � �

�1

50�� � 0,141 ⇒ � 8152�

b) Las pendientes son m1 � 1 y m2 � 2.

Luego tg � �1m�

1 �

m1

mm

2

2� � �11 �

�22

� � �13

� ⇒ � 1826�

5.18. Calcula los ángulos del triángulo de vértices A(4, 0), B(�1, 6) y C(�6, 0), e indica qué tipo de triángulo es

en función de sus ángulos.

Los vectores directores de los lados son: AB�� � (�5, 6), AC�� � (�10, 0), BC�� � (�5, �6). A partir de estos calculamos los ángulos utilizando la expresión del ángulo entre dos vectores:

cos A � cos , � � 0,640 ⇒ A � 5012�

cos B � cos , � � 0,180 ⇒ B � 7936�

cos C � cos , � �10

5

�0

2

5

0

� 3�6�� � 0,640 ⇒ C � 5012�

Se trata de un triángulo acutángulo e isósceles.

5.19. Calcula el simétrico de P(�2, 3) respecto del punto M(1, �4).

Sea P�(a, b) el punto buscado. M es el punto medio del segmento PP�. Por tanto:

M � �P �

2P�

� ⇒ ��2

2� a� � 1 ⇒ a � 4 �

3 �2

b� � �4 ⇒ b � �11 ⇒ P�(4, �11)

5.20. Calcula el simétrico de P(5, �1) respecto de la recta r: x � y � 3 � 0.

En primer lugar se calcula la recta perpendicular a r que pasa por P. Dicha recta tiene como vector director elvector normal de r, n � (1, �1), luego:

s � �x �

15

� � �y

11

� ⇒ �x � 5 � y � 1 ⇒ s � x � y � 4 � 0

El punto de intersección de ambas rectas es:

� ⇒ 2x � 1 � 0 ⇒ x � �12

�, y � �72

� ⇒ M ��12

�, �72

��Sea P�(a, b) el punto buscado. M es el punto medio del segmento PP�. Por tanto:

�5 �

2a

� � �12

� ⇒ a � �4 ��1

2� b� � �

72

� ⇒ b � 8 ⇒ P�(�4, 8)

x � y � 3 � 0x � y � 4 � 0

��AB�� AC���

��BA�� BC���

�CA�� CB���

50 � 0����25 � 3�6� �100 �� 0�

�25 � 36����25 � 3�6� �25 � 3�6�

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Solucionario

5.21. Calcula la recta simétrica del eje de ordenadas respecto de y � x � 1.

Primero calculamos el punto Q de intersección de ambas rectas ya que es el único invariante por la simetría:r � y � x � 1

Q � r � OY � � ⇒ Q(0, 1)

Para calcular la recta simétrica indicada basta con determinar el simétrico P� de otro punto cualquiera, P, del ejede ordenadas, ya que la recta buscada será de determinada por los puntos Q y P�.

El punto P(0, 3) pertenece al eje Y. El vector director de r es (1, 1), luego el de la recta perpendicular es (1, �1).

La recta perpendicular a r por el punto P es y � �x � 3, que corta a r en M(1, 2). Para hallar el punto P�,simétrico de P respecto de r, se utiliza que M es el punto medio del segmento PP�, con lo que debe ser P�(2, 1).Por lo tanto, la recta simétrica del eje Y respecto de r es la que pasa por Q y P�, cuya ecuación es y � 1.

5.22. Halla el extremo B del segmento A�B� siendo A(2, 1), y la mediatriz del segmento es r: x � 2y � 9 � 0.

Sea B(a, b). Como la mediatriz es perpendicular al segmento: A�B� � (a � 2, b � 1) � k(1, 2)

El punto medio de AB pertenece a r, por lo que �2 � (

22 � k)� � 2 �

1 � (12

� 2k)� � 9 � 0 ⇒ k � 2

Por tanto, el extremo es B(4, 5).

5.23. Dadas las rectas r: x � 3y � 4 � 0 y s: x � y � 0, calcula sus bisectrices y comprueba que:

a) Se cortan en el punto de intersección de r y s. b) Son perpendiculares.

En primer lugar se calculan las ecuaciones de las bisectrices. Sea X(x, y) un punto genérico de la bisectriz.Se tiene que:

d(X, r) � d(X, s) ⇒ �x

��

1

3y

9�4

�� � ��x

1

y

1�� ⇒

a) El punto de corte de las rectas es � ⇒ 4y � 4 � 0 ⇒ y � 1, x � �1 ⇒ P (�1, 1)

P verifica la ecuación de cada una de las bisectrices, luego es su punto de corte:

�b) Los vectores perpendiculares a b1, n��1 � ��5� � 1, �5� � 3�, y a b2, n��2 � ��5� � 1, �5� � 3�, cumplen

n��1 � n��3 � 5 � � 5 � 9 � 0 ⇒ son perpendiculares y, por tanto, también lo son las dos bisectrices.

5.24. Dado el triángulo de vértices A(5, 1), B(3, 7) y C(�2, 3):

a) Calcula el circuncentro y el radio de la circunferencia circunscrita.

b) Calcula el incentro y el radio de la circunferencia inscrita.

a) El circuncentro, T(a, b), equidista de los tres vértices. Se tiene:

⇒ � ⇒ E2 � 3E1 ⇒ 38a � 71 ⇒ ⇒

⇒ El circuncentro es T ��7318�, �

13285

��.

El radio de la circunferencia circunscrita es R � d(T, A) � ��5 ��7318��2� �1� �

13285

��2 � �

�2318730�� � 3,88 u.

�14a � 4b � �13�4a � 12b � 32

��5� � 1�(�1) � ��5� � 3� � 1 � 4 � ��5� � 1 � �5� � 3 � 4 � 4 � 4 � 0

��5� � 1�(�1) � ��5� � 3� � 1 � 4 � ��5� � 1 � �5� � 3 � 4 � �4 � 4 � 0

x � 3y � 4 � 0x � y � 0

y � x � 1x � 0

�x �

�3

1

y

0�� 4

� � �x

��

2�y

� ⇒ b1 � ��5� � 1�x � ��5� � 3�y � 4 � 0

�x �

�3

1

y

0�� 4

� � �x

��

2�y

� ⇒ b2 � ��5� � 1�x � ��5� � 3�y � 4 � 0

a � �7318�

b � �32

1�2

4a� � � �

13285

32 � �11492

��12�

�(5 � a�)2 � (1�� b)2�� �(�2 �� a)2 ��(3 � b�)2��(5 � a�)2 � (1�� b)2�� �(3 � a�)2 � (7�� b)2�� (5 � a)2 � (1 � b)2 � (�2 � a)2 � (3 � b)2

(5 � a)2 � (1 � b)2 � (3 � a)2 � (7 � b)2⇒ �

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b) Para calcular el incentro hallamos las bisectrices de los ángulos App y Bp a partir de las igualdades d (P, AB) � � d(P, AC) y d (P, AB) � d(P, BC), siendo P (x, y) un punto genérico de las bisectrices buscadas.

Recta AB � 3x � y � 16 � 0 Recta BC � 4x � 5y � 23 � 0 Recta AC � 2x � 7y � 17 � 0

Bisectriz interior al triángulo por el vértice A: �3�53� � 2�10� �x � ��53� � 7�10� �y � 17�10� � 16�53�Bisectriz interior al triángulo por el vértice B: �3�41� � 4�10� �x � ��41� � 5�10� �y � 16�41� � 23�10�Al resolver el sistema formado por las dos ecuaciones se obtiene el incentro I (2,06; 3,82)

El radio de la circunferencia inscrita se puede calcular como la distancia del incentro a cualquiera de las tresrectas que incluyen a los lados, por ejemplo: R � d (I, AB) � 1,9.

EJERCICIOS

Ecuaciones de la recta

5.25. Para cada una de las siguientes rectas, indica si los puntos P(�2, 1) y Q(3, �1) pertenecen o no a ellas y

calcula un punto más de cada una:

a) r1 � (x, y) � (7, �2) � �(4, �1) b) r2 � � c) r3 � 2x � 5y � 1

a) Sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en la ecuación, se tiene:

(�2, 1) � (7, �2) � �(4, �1) ⇒ (�9, 3) � �(4, �1) ⇒ � ⇒ P � r1

(3, �1) � (7, �2) � �(4, �1) ⇒ (�4, 1) � �(4, �1) ⇒ � ⇒ Q � r1

Para calcular un punto más, basta dar valor a �. Por ejemplo, si � � 0, se obtiene el punto (7, �2).

b) Sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en las ecuaciones, se tiene:

� ⇒ P � r2 � ⇒ Q � r2

Para calcular un punto más, basta dar valor a �. Por ejemplo, si � � 0, se obtiene el punto (�2, 1).

c) Sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en la ecuación, se tiene:

2 (�2) � 5 � 1 � �4 � 5 � 1 ⇒ P � r3 2 � 3 � 5 (�1) � 6 � 5 � 1 ⇒ Q � r3

Un punto más de la recta es, por ejemplo, ��12

�, 0�.

5.26. Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:

a) La recta que pasa por el punto P(�3, 1) y lleva la dirección del vector u�� � (�1, �2).

b) La recta que pasa por los puntos A(2, �3) y B(1, 4).

c) La recta que tiene como uno de sus vectores de dirección el u�� � (�3, 3) y corta a la parte positiva del

eje de abscisas en un punto que dista 3 unidades del origen de coordenadas.

d) La recta que tiene como vector director el u�� � (2, �5) y corta a la parte negativa del eje de abscisas

en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.

e) La recta que tiene por dirección la del vector u�� � (3, 7) y corta al eje de ordenadas en un punto que

dista 2 unidades negativas del origen de coordenadas.

a) Ecuación vectorial: r � (x, y) � (�3, 1) � �(�1, �2). Ecuaciones paramétricas: r ��b) Vector de dirección: AB�� � (�1, 7)

Ecuación vectorial: r � (x, y) � (2, �3) � �(�1, 7). Ecuaciones paramétricas: r ��c) Ecuación vectorial: r � (x, y) � (3, 0) � �(�3, 3). Ecuaciones paramétricas: r ��d) Ecuación vectorial: r � (x, y) � (�2, 0) � �(2, �5). Ecuaciones paramétricas: r ��e) Ecuación vectorial: r � (x y) � (0 �2) � �(3 7). Ecuaciones paramétricas: r ��x � 3�

y � �2 � 7�

x � �2 � 2�y � �5�

x � 3 � 3�y � 3�

x � 2 � �y � �3 � 7�

x � �3 � �y � 1 � 2�

3 � �2 � � ⇒ � � 5�1 � 1 � 2� ⇒ � � �1

�2 � �2 � � ⇒ � � 01 � 1 � 2� ⇒ � � 0

4� � �4 ⇒ � � �1�� � 1 ⇒ � � �1

x � �2 � �y � 1 � 2�

4� � �9 ⇒ � � ��94

�� � 3 ⇒ � � �3

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Solucionario

5.27. Calcula la ecuación continua y la ecuación general de cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por el punto A (�3, �4) y tiene la dirección del vector u�� � (1, �2).

b) Pasa por los puntos P (2, �5) y Q (5, 1).

c) Pasa por el origen de coordenadas y por el punto B (�3, 4).

d) Pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extremos M (1, �3) y N (5, 2).

a) Ecuación continua: �x �

13

� � �y�

24

� Ecuación general: �2x � 6 � y � 4 ⇒ 2x � y � 10 � 0

b) Ecuación continua: �5x �

�22

� � �1y �

55

� Ecuación general: 6x � 12 � 3y � 15 ⇒ 2x � y � 9 � 0

c) Ecuación continua: ��x3� � �

4y

� Ecuación general: 4x � 3y � 0

d) Ecuación continua: �3x

� � Ecuación general: ��12

�x � 3y ⇒ x � 6y � 0

5.28. Calcula un vector de dirección y otro normal a cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por los puntos A (2, �5) y B (�5, �1).

b) Pasa por O (0, 0) y por el punto medio del segmento A�B� con A (2, 6) y B (�2, �4).

c) Mediatriz del segmento de extremos P (3, 5) y Q (5, 2).

a) Vector de dirección: AB�� � (�5 � 2, �1 � 5) � (�7, 4); vector normal: (4, 7)

b) El punto medio es M ��2 �2

2�, �

6 �2

4��� (0, 1). Por tanto, un vector de dirección es (0, 1), y uno normal, (�1, 0).

c) Un vector normal a la mediatriz es PQ�� � (5 � 3, 2 � 5) � (2, �3). Un vector director es (3, 2).

5.29. Calcula un vector director y otro normal a cada una de las siguientes rectas:

a) r � �2x � 3y � 5 b) s � x � —3

2— y � 1 � 0

a) Vector normal n�� � (�2, 3); vector director v�� � (3, 2) b) Vector normal n�� � �1, ��32

��; vector director v�� � ��32

�, 1�

5.30. Calcula las ecuaciones de los lados del triángulo de vértices P(1, 3), Q(�4, 0) y R(�2, �1). Para cada lado,

halla un vector de dirección y otro normal.

Lado PQ: Un vector de dirección es QP�� � (5, 3). Un vector normal es (3, �5).

La ecuación es: PQ � �x

��

51

� � �y

33

� ⇒ 3x � 3 � 5y � 15 ⇒ PQ � 3x � 5y � 12 � 0

Lado PR: Un vector de dirección es RP�� � (3, 4). Un vector normal es (4, �3).

La ecuación es: PR � �x �

31

� � �y �

43

� ⇒ 4x � 4 � 3y � 9 ⇒ PR � 4x � 3y � 5 � 0

Lado QR: Un vector de dirección es QR�� � (2, �1). Un vector normal es (1, 2).

La ecuación es: QR � �x �

31

� � �y �

43

� ⇒ �x � 4 � 2y ⇒ QR � x � 2y � 4 � 0

5.31. Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas:

a) r � y � �2x � 3 c) t � —1

2—x � —

3

4—y � 1 � 0

b) s � 4x � 3y � 6 � 0 d) La recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene de pendiente m � �2.

a) La recta pasa por el punto P(0, 3). Como un vector normal es n�� � (2, 1), un vector director es u�� � (1, �2).

Las ecuaciones paramétricas son: r � �b) La recta pasa por el punto P(0, 2). Como un vector normal es n�� � (4, 3), un vector director es u�� � (�3, 4).

Las ecuaciones paramétricas son: r � � x � �3�y � 2 � 4�

x � �y � 3 � 2�

y���21�

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c) La recta pasa por el punto P (2, 0). Como un vector normal es n�� � � , � | | (2, 3), un vector director es

u�� � (�3, 2). Las ecuaciones paramétricas son: r � �d) La recta es y � 1 � 2x. Pasa por el punto (0, 0). Como un vector normal es n�� � (2, 1), un vector director es

u�� � (1, �2). Las ecuaciones paramétricas son: r � �

5.32. Halla la ecuación normal y la ecuación general de la recta que tiene a n�� � (�1, 3) como vector normal y

pasa por el origen de coordenadas.

La ecuación normal es �1 (x � 0) � 3 (y � 0) � 0. La ecuación general es �x � 3y � 0.

5.33. Halla la ecuación normal canónica y la ecuación general de la recta que tiene a n�� � (2, 4) como vector

normal y pasa por el punto medio del segmento A�B� siendo A(0, �2) y B(�3, 0).

El punto medio del segmento A�B� es M ���32� 0�, �

�22� 0��. La ecuación normal es 2 �x � �

32

�� � 4 (y � 1) � 0.

La ecuación general es: 2x � 3 � 4y � 4 � 0 ⇒ 2x � 4y � 7 � 0

La ecuación normal canónica es: ��

2

20�� x � �

�4

20�� y � �

�7

20�� � 0 ⇒ �

�1

5�� x �

�2

5�� y � �

�7

20�� � 0

5.34. Calcula la pendiente de las siguientes rectas:

a) r: y � �2x � 3 e) Recta que pasa por los puntos P (1, a) y Q (1, 3a).

b) r: 2x � 3y � 5 � 0 f) Recta cuyo vector director es u�� � (�3, 5).

c) r: �—3

2— x � —

1

5— y � 5 � 0 g) Recta cuyo vector normal es n�� � (2, �7).

d) Recta que pasa por los puntos P(�1, 2) y Q(1, 3). h) r : �a) La recta está en forma explícita, luego m � �2.

b) 2x � 3y � 5 � 0 ⇒ y � �23

�x � �53

� ⇒ m � �23

c) ��32

�x � �15

�y � 5 � 0 ⇒ y � �125�x � 25 ⇒ m � �

125�

d) La dirección es la del vector PQ�� � (2, 1) ⇒ m � �12

e) m � �31a

��

1a

� � �20a�. Es una recta vertical (si a � 0 no es una recta, al ser P y Q el mismo punto).

f) m � ��53

g) Su dirección es la del vector u�� � (7, 2) ⇒ m � �27

h) Su dirección es la del vector u�� � (5, 2) ⇒ m � �25

5.35. Indica el valor de las pendientes y de las ordenadas

en el origen de las rectas de la figura y calcula, para

cada una de ellas, su ecuación general.

r: m � ��23

� n � 3 ⇒ y � ��23

�x � 3 ⇒ 2x � 3y � 9 � 0

s: m � �13

� n � �3 ⇒ y � �13

�x � 3 ⇒ x � 3y � 9 � 0

t: Recta vertical, no corta al eje OY ⇒ x � �5

u: m � 0, n � 4 ⇒ y � 4

x � �3 � 5�y � �1 � 2�

x � �y � �2�

x � 2 � 3�y � 2�

3�4

1�2

t

O X

Y

s

u

r

1

1

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Solucionario

5.36. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(�2, �5) y forma con la parte positiva del eje de

ordenadas un ángulo de 60�.

La recta forma un ángulo de 30 con el eje de abscisas, por lo que tiene pendiente m � tg (30) � ��33��.

Su ecuación explícita es y � ��3x

3�� � n. Como pasa por P, se tiene que �5 � �

�33�� (�2) � n ⇒ n � �

�15 �3

2�3��.

La ecuación de la recta es, por tanto, y � ��33��x � �

�15 �3

2�3��.

5.37. Calcula las ecuaciones explícitas de las rectas siguientes:

a) Pasa por A(�1, 2) y tiene pendiente m � 2.

b) Pasa por los puntos A(�1, 3) y B(2, 4).

c) Pasa por A(2, �3) y forma con la parte derecha del eje de abscisas un ángulo de 30�.

d) Pasa por A(�2, 5) y forma con la parte izquierda del eje de abscisas un ángulo de 120�.

a) La ecuación de la recta es y � 2x � n. Como pasa por A, ha de ser 2 � �2 � n ⇒ n � 4.

La ecuación es y � 2x � 4.

b) La pendiente es m � �42

��

31

� � �13

�. Por tanto, la ecuación es y � �13

� x � n. Como pasa por A, ha de

ser 3 � ��13

� � n ⇒ n � �130�. La ecuación de la recta es y � �

13

� x � �130�.

c) La pendiente es m � tg (30º) � ��33��. La ecuación explícita es y � �

�33�� x � n. Como pasa por A, se tiene que

�3 � �2�

33�

� � n ⇒ n � ��9 �

32�3��. La ecuación de la recta es, por tanto, y � �

�33�� x � �

�9 �3

2�3��.

d) La recta forma un ángulo de 60º con la parte derecha del eje de abscisas, por lo que tiene pendiente

m � tg (60º) � �3�. La ecuación explícita es y � �3�x � n. Como pasa por A, se tiene que 5 � �2�3� � n

⇒ n � 5 � 2 �3�. La ecuación es, por tanto, y � �3�x � 5 � 2 �3�.

5.38*.Calcula la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación general y la ecuación explícita de la

recta r en los siguientes casos:

a) Pasa por el punto P(�3, 6) y es paralela a la recta de ecuación �2x � 3y � 5 � 0.

b) Corta a los ejes coordenados en los puntos P(0, �3) y Q(�1, 0).

a) La dirección de la recta es la del vector u�� � (3, 2) y pasa por el punto P. Por tanto:

Ecuación vectorial: r � (x, y) � (�3, 6) � �(3, 2)

Ecuaciones paramétricas: �Ecuación general: �

x �3

3� � �

y �

26

� ⇒ 2x � 6 � 3y � 18 ⇒ 2x � 3y � 24 � 0

Ecuación explícita: y � �23

� x � 8

b) La dirección es la del vector PQ�� � (�1, 3).

Ecuación vectorial: r � (x, y) � (0, �3) � �(�1, 3)

Ecuaciones paramétricas: �Ecuación general: �

�x1� � �

y �

33

� ⇒ 3x � y � 3 � 0

Ecuación explícita: y � � 3x � 3

Posiciones relativas de rectas

5.39. Indica la pendiente de todas las rectas paralelas a la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(�1, �7).

La dirección de la recta es la del vector u�� � (�1 � 1, �7 � 2), luego m � ���

71

��

21

� � �92

�.

x � ��y � �3 � 3�

x � �3 � 3�y � 6 � 2�

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5.40. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 6) y es paralela a r: � , t � R

La ecuación tiene el mismo vector de dirección que la recta dada y pasa por P, luego:

r: � ⇒ �x �

22

� � �y

16

� ⇒ �x � 2 � 2y � 12 ⇒ x � 2y � 14 � 0

5.41. Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:

a) r: � s: � d) r: x � y � 7 s: �—1

2—x � —

1

2—y � —

7

2— � 0

b) r: 3x � 2y � 7; s: 2x � 3y � 8 e) � s: 4x � y � 8 � 0

c) r: 2x � y � 5 � 0 s: �—2

3—x � —

1

3—y � 5 � 0 f) r: y � �2x � 3 s: y � —

2

x—

a) Los vectores de dirección de las rectas son u��r � (1, �1) || u��s � ��12

�, ��12

��Como el punto P(3, 1) de s no pertenece a r, ya que � , las rectas son paralelas.

b) �32

� � ���

23� ⇒ Las rectas son secantes. Se cortan en � ⇒ � ⇒ y � �2 x � 1 ⇒ P(1, �2).

c) s, se puede escribir como: �2x � y � 15 � 0 y al ser ��22� � �

�11� � �

��155

� ⇒ Las rectas son paralelas.

d) s, se escribe como x � y � 7 � 0, que es la misma expresión de r, por lo que las rectas son coincidentes.

e) 4(1 � �) � 2 � 2� � 8 � 0 ⇒ 2� � 6 � 0 ⇒ � � 3. Las rectas son secantes en � ⇒ P(4, �8).

f) Las rectas son secantes. Se cortan en el punto �2x

� � �2x � 3 ⇒ x � �4x � 6 ⇒ x � �65

� y � �35

� ⇒ P ��65

�, �35

��.

5.42. Calcula el punto de intersección de los siguientes pares de rectas secantes:

a) r: � s: � c) r: —2

x— � —

3

y— � 1 s: �—

8

x— � —

2

3

y— � —

3

2— � 0

b) r: 2x � 5y � �—2

2

3— s: 3x � 4y � �12 d) s: � s: 2x � y � 6 � 0

Para calcular el punto de intersección basta resolver los sistemas de ecuaciones dados por las rectas.

a) r � � ⇒ s � � ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ � ⇒ �2 � 2 ⇒ � �1 ⇒ � � �1 ⇒ El punto de intersección es P(5, 0).

b) � ⇒ � ⇒ �7y � ��221� ⇒ y � �

32

�x � �2 ⇒ P ��2, �32

��

c) � ⇒ � ⇒ 6y � �10 ⇒ y � ��53

�x � �298� ⇒ P ��

298�, ��

53

��

d) r �� ⇒ s � 2x � y � 6 � 0 ⇒ 2(2 � 3�) � 2 � 2� � 6 � 0 ⇒ �8� � 0 ⇒ � � 0 ⇒ P(2, �2)x � 2 � 3�y � �2 � 2�

6x � 15y � ��629�

�6x � 8y � 24

r � 2x � 5y � ��223�

s � 3x � 4y � �12

�3� � 4 � �13� � 6 � 3

�3� � 4 � �13� � 6 � 3

2 � 3� � 1 � 4 1 � � � 2 � 2

x � 1 � 4 y � 2 � 2

x � 2 � 3�y � 3 � �

x � 2 � 3�y � �2 � 2�

x � 1 � 4 y � 2 � 2

x � 2 � 3�y � 1 � �

x � 1 � 3 � 4y � �2 � 6 � �8

6x � 4y � 14�6x � 9y � �24

3x � 2y � 72x � 3y � 8

3 � 1 � � ⇒ � � 21 � 1 � � ⇒ � � 0

x � 1 � �y � �2 �2�

x � 1 � �y � 1 � �

x � 2 � 2ty � 6 � t

x � 2 � 2t

y � �1 � t

x � 3 � —2

t—

y � 1 � —2

t—

r � �2x

� � �3y

� � 1

s � �8x

� � �23y� � �

32

� � 0

x � �23

�y � 2

�x � �136y� � �12

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Solucionario

Rectas paralelas y perpendiculares

5.43. Calcula la ecuación de las siguientes rectas:

a) Paralela a 2x � 5y � 5 � 0 y que pasa por el punto A(�2, 6).

b) Paralela al eje de abscisas y que pasa por el punto A(�1, 4).

c) Paralela al eje de ordenadas y que pasa por el punto A(�1, 4).

d) Paralela a r: 2x � y � 12 � 0 y que pasa por el origen de coordenadas.

e) Paralela a r: � y que pasa por el punto P(�2, 4).

f) Paralela a r: � y que pasa por el punto P(�2, �2).

g) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante y que tiene ordenada en el origen igual a 5.

a) La recta es de la forma 2x � 5y � k � 0. Como pasa por A, ha de ser �4 � 30 � k � 0 ⇒ k � �26.Por tanto, la ecuación buscada es 2x � 5y � 26 � 0.

b) La recta es y � 4.

c) La recta es x � �1.

d) La recta es de la forma 2x � y � k � 0. Como pasa por (0, 0), k � 0. Luego la ecuación es 2x � y � 0.

e) La recta tiene la misma dirección que la dada, luego:

� ⇒ t � �x

��

22

� � �y �

14

� ⇒ x � 2 � 2y � 8 ⇒ x �2y � 10 � 0

f) La recta tiene la misma dirección que la dada, luego � ⇒ y � �2

g) La pendiente de la recta es m � 1, y la ordenada en el origen, n � 5. Luego la recta es y � x � 5.

5.44. Calcula la ecuación de las siguientes rectas:

a) Perpendicular a x � 2y � 3 � 0 y que pasa por el punto A(2, �1).

b) Perpendicular al eje de abscisas y que pasa por el punto A(�4, 8).

c) Perpendicular al eje de ordenadas y que pasa por el punto A(�1, 3).

d) Perpendicular a r: 3x � 3y � 1 � 0 y que pasa por el origen de coordenadas.

e) Perpendicular a � y que pasa por el punto P(�1, 0).

f) Perpendicular al segmento A�B� con A(�1, �3) y B(2, �5) y que pasa por P(�3, 2).

a) El vector de dirección es u�� � (1, �2) y pasa por A, luego

� ⇒ t � �x �

12

� � �y

21

� ⇒ �2x � 4 � y � 1 ⇒ 2x � y � 3 � 0

b) El vector de dirección es u�� � (0, 1) y pasa por A, luego � ⇒ x � �4

c) El vector de dirección es u�� � (1, 0) y pasa por A, luego � ⇒ y � 3

d) El vector de dirección es u�� � (3, �3) y pasa por (0, 0), luego

� ⇒ t � �3x

� � ��

y3� ⇒ �3x � 3y � 0 ⇒ 3x � 3y � 0

e) El vector de dirección es u�� � (1, �2) y pasa por P, luego

� ⇒ t � �x �

11

� � ��

y2

� ⇒ 2x � y � 2 � 0

f) AB�� � (3, �2); por tanto, el vector de dirección de la recta es u�� � (2, 3) y pasa por P,

luego � ⇒ t � �x �

23

� � �y �

32

� ⇒ 3x � 9 � 2y � 4 ⇒ 3x � 2y � 13 � 0x � �3 � 2ty � 2 � 3t

x � �2 � 2ty � �2

x � 3ty � �3t

x � �1 � ty � 3

x � �4y � 8 � t

x � 2 � ty � �1 � 2t

x � �1 � 2t

y � 5 � t

x � �2 � 2ty � �2

x � �2 � 2ty � 4 � t

x � �2 � 2t

y � 1

x � �1 � 2t

y � 5 � t

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5.45. En cada caso, calcula el valor del parámetro k para que las rectas tengan la posición relativa indicada.

a) r: x � ky � 1 � 0; s: kx � 4y � 3 � 0, paralelas.

b) r: kx � 2y � 4k � 0; s: x � 3y � 4 � 0, coincidentes.

c) r: 2kx � 5y � 1 � 0; s: 3x � ky � 2 � 0, paralelas.

a) Ha de verificarse que �1k

� � ���

4k� � �

�31� ⇒ k 2 � 4 ⇒ k � �2

b) Ha de verificarse que �1k

� � ���

23� � �

��44k

� ⇒ k � �23

c) Ha de verificarse que �23k� � �

�k5� � �

�21� ⇒ 2k 2 � �15 ⇒ Imposible, luego no pueden ser paralelas.

5.46. Las diagonales de un rombo son perpendiculares

entre sí. Calcula las ecuaciones de las diagonales de

la figura, y comprueba si es o no un rombo.

No se trata de un rombo, ya que sus diagonales no sonperpendiculares. En efecto:

DE�� � (2, �5), AC�� � (�6, �3) y resulta:

DE�� � AC�� � �12 � 15 � 3 � 0, por lo que no son perpendiculares y la figura no es un rombo.

5.47. Halla para qué valor de b, la recta x � by � �4b � 1 es coincidente con la recta que pasa por los puntos

P(�1, 4) y Q(2, 3).

La recta dada habrá de pasar por P y Q. Luego � ⇒ 2 � 3b � �4b � 1 ⇒ b � �3

La recta es x � 3y � 11 � 0.

5.48. Halla el valor de k para que sean paralelas las rectas

r: (2k � 2) x � y � 2k � 0 s: (k � 1)x � (k � 1)y � 17 � 0

Para que sean paralelas tiene que suceder que: �2kk

��

12

� � �k

��1

1� ⇒ 2k 2 � k � 3 � 0 ⇒ k � 1 k � ��

32

5.49. Dadas las rectas r: (k � 1)x � 2y � 2k � 0 y s: (3k � 4)x � y � k 2 � 0, encuentra los valores de k para

que sean perpendiculares. Para los valores hallados, calcula el punto de intersección de las rectas.

Los vectores directores de las rectas son u��r � (2, k � 1) y u��s � (1, 4 � 3k), que han de ser perpendiculares.

Así: 2 � (k � 1)(4 � 3k) � 0 ⇒ 3k 2 � 7k � 2 � 0 ⇒ k � ��7

��6

5� ⇒ �

Para k � �13

�, ⇒ � ⇒ � ⇒ x � �125�, y � �

1435�

El punto de intersección es P ��125�, �

1435��

Para k � 2, � ⇒ � ⇒ x � ��

512�, y � �

45

� ⇒ P ���152�, �

45

��.

Haz de rectas

5.50. Calcula la ecuación del haz de rectas secantes de vértice el punto P(�2, 3). Calcula la recta de este haz

que tiene pendiente m � �—1

2—.

La ecuación del haz es y � 3 � m (x � 2).

Si m � ��12

� ⇒ y � 3 � ��12

� (x � 2) ⇒ 2y � 6 � �x � 2 ⇒ x � 2y � 4 � 0

x � 2y � �44x � 2y � �8

r: x � 2y � 4 � 0s: 2x � y � 4 � 0

x � 3y � 127x � 9y � 1

�1 � 4b � �4b � 12 � 3b � �4b � 1

O X

Y

1

1

C(2, 0)B(6, –1)

D(4, 4)

A(8, 3)

k � �13

k � 2r: �

�32�x � 2y � �

23

� � 0

s: �3x � y � �19

� � 0

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Solucionario

5.51. Calcula la ecuación del haz determinado por las rectas secantes r: y � 2x � 3 y s: y � 3x � 5 y halla la

recta de este haz que pasa por el punto P(�2, 2).

La ecuación del haz es: 2x � y � 3 � �(3x � y � 5) � 0

Si la recta pasa por P, se tiene que �4 � 2 � 3 � �(�6 � 2 � 5) � 0. Luego: � � ��193�. Por tanto, la recta

buscada es: 2x � y � 3 � �193� (3x � y � 5) � 0 ⇒ 26x � 13y � 39 � 27x � 9y � 45 � 0 ⇒ x � 4y � 6 � 0

5.52. Calcula la ecuación del haz determinado por las rectas secantes r: 2x � y � 0 y s: 3x � 2y � 0 y halla la

recta de este haz que tiene pendiente m � �—2

3—.

La ecuación del haz es: 2x � y � �(3x � 2y) � 0

En primer lugar se calcula la pendiente en función de �:

2x � y � �(3x � 2y) � 0 ⇒ (2 � 3�)x � (1 � 2�) y � 0 ⇒ m � �22�

��

31�

Si m � �22�

��

31�

� � ��23

� ⇒ 6 � 9� � �4� � 2 ⇒ 13� � �4 ⇒ � � ��143�

Por tanto, la recta buscada es:

2x � y ��143�(3x � 2y) � 0 ⇒ 26x � 13y � 12x � 8y � 0 ⇒ 14x � 21y � 0 ⇒ 2x � 3y � 0

5.53. Escribe, en una sola ecuación dependiente de un parámetro, todas las rectas paralelas a r: �2x � 3y � 5 � 0

y elige, de entre ellas, la que pasa por P(�1, 3).

Todas las rectas paralelas a la dada son de la forma �2x � 3y � k � 0.

La recta buscada pasa por P, luego 2 � 9 � k � 0 ⇒ k � �11.

La ecuación de la recta es �2x � 3y � 11 � 0.

5.54. Encuentra la expresión que representa a todas las rectas que tienen pendiente m � �2 y di cuál de ellas

pasa por el origen de coordenadas.

Las rectas con pendiente m � �2 son de la forma y � �2x � n.

Si pasa por el origen, su ordenada en el origen es n � 0; por tanto, la recta pedida es y � �2x.

5.55. Escribe, en una sola ecuación dependiente de un parámetro, todas las rectas perpendiculares a r:

3x � 2y � 12 � 0 y elige, de entre ellas, la que pasa por P(1, �1).

La ecuación explícita de la recta r es y � �32

�x � 6 y su pendiente es m � �32

�. Las rectas perpendiculares tienen

pendiente m � ��23

�. Por tanto, el haz pedido es y � ��23

�x � n.

La recta del haz que pasa por P (1, �1) cumple �1 � ��32� � n ⇒ n � �

�31�. Su ecuación es y � ��

23

�x � �13

�.

5.56. Halla la ecuación del haz determinado por las rectas secantes r: 2x � y � 10 y s: x � 3y � 0 e indica la

ecuación normal de la recta del haz que es perpendicular a la recta t: 5x � 2y � 3 � 0.

La ecuación del haz es 2x � y � 10 � �(x � 3y) � 0 ⇒ (2 � �)x � (1 � 3�)y � 10 � 0.

La ecuación de la recta perpendicular a 5x � 2y � 3 � 0 ha de ser de la forma 2x � 5y � k � 0.

Para que esta recta sea del haz se ha de cumplir: �2 �

2�

� � ��1

5� 3�� � �

�k10� ⇒ � � � �

1121�, k � �22

La ecuación normal pedida es, por tanto:

Normalizando: �2x

��

22

5y

�52�22

� � 0 ⇒ ��

2

29�� x � �

�5

29�� y � �

�2

2

2

9�� � 0

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Distancias y ángulos

5.57. Calcula la distancia entre los puntos A y B:

a) A(2, �3) y B(�2, 5) c) A�—1

2—, �—

5

3—� y B�—

3

5—, �3�

b) A�—1

2—, —

1

3—� y B�—

5

2—, �—

5

3—� d) A�—�

2

2�—, —�

2

3�—� y B�—�

2

2�—, �—�

2

3�—�

a) d(A, B) � �(�2 �� 2)2 �� (5 �� 3)2� � �16 ��64� � �80� � 4�5�

b) d(A, B) � ��—52

— �—12

—�2

� ��—53

—� —13

—�2 � �4 � 4� � �8� � 2�2�

c) d(A, B) � ��—35

— �—12

—�2

� ��3 � —53

—�2 � �—

1100— � —

196— � �—

1960009

— � —�1

36009�—

d) d(A, B) � ��—�22�—� —

�23�—�2

��—�22�—� —

�23�—�2 � �—

140— � —

�210�—

5.58. Halla la distancia del punto A(2, �3) al punto de intersección de las rectas � , s: 2x � y � 3 � 0

El punto de intersección es � ⇒ 2 � y � 3 � 0 ⇒ � ⇒ P(1, 1) ⇒ d(A, P) � �12 � 4�2� � �17� u

5.59. Calcula la distancia del punto P a la recta r en los siguientes casos:

a) P(�3, 4) r: 2x � 3y � 5 � 0

b) P(0, �2) r: y � �2x � 5

c) P �—1

2—, �3� r: 2x � 2y � �3

d) P(1, �2) r: �e) P(�1, 0) y r es la recta que pasa por los puntos A�—

1

2—, �3� y B��2, —

2

4—�.

f) P(3, �2) y r es la recta que forma un ángulo de 45º con el eje positivo de abscisas y que tiene ordenada

en el origen igual a �2.

a) d(P, r) � �| �6 �

�1

1

3�2 �5 |� � �

�1

13�� � ��

1133�� u

b) d(P, r) � � ��7

5�� � �

7�5

5�� u

c) d(P, r) � � �| 1 �

�6

8�� 3 |� � �

2

1

�0

2�� � �

5�2

2�� u

d) r � � ⇒ �x �

21

� � �y

22

� ⇒ x � 1 � y � 2 ⇒ x � y � 1 � 0; d(P, r) � �| 1

��

12

2

1�12�

|� � 0 u

e) En primer lugar se halla la ecuación de la recta:

� ⇒ 14x � 10y � 23 � 0 ⇒ d(P, r) � ��2

9

96�� � �9�

292696�� u

f) La pendiente de la recta es m � 1, y la ordenada en el origen es n � �2.

Por tanto, la ecuación es y � x � 2 ⇒ x � y � 2 � 0; d(P, r) � ��|3

1

�2 �

2

(

��1

2

)

|2�

� � ��3

2�� � �3�

22�� u

y � 3�

�12

� � 3

x � �12

�2 � �12

x � 1 � 2�y � �2 � 2�

x � 1 � 2�y � �2 � 2�

x � 1y � 1

x � 1y � �1 � �2x � y � 3 � 0

x � 1

y � �1 � �

| 2 � (�3) � 3 � 4 � 5 |���

�22 ��32�|2 � 0 � 2 � 5|��

�22 ��12�

2 � � 2 � (�3) � 3 ���

�22 ��(�2)2�

�12

Page 115: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

5.60. Comprueba que los siguientes pares de rectas son paralelas y calcula, en cada caso, la distancia que las

separa:

a) r: 2x � y � 7; s: 2x � y � 8

b) r: 2x � 3y �2 � 0; s: �—2

3—x � y � 2 � 0

c) � s: �a) �

22

� � ���

11� � �

��

78� ⇒ Son paralelas; d(r, s) � �

�|

2

�2

7

(��8

1

|

)2�� � �

�1

5�� � �

�55�� u

b) En primer lugar se reescribe la ecuación de s � ��23

�x � y � 2 � 0 ⇒ s � 2x � 3y � 6 � 0.

�22

� � ���

33� � �

�62� ⇒ Son paralelas; d(r, s) � �

�|

2

�2

2

(��6

3

|

)2�� � �

�8

13�� � �

8�13

13�� u

c) En primer lugar se reescriben las ecuaciones generales de ambas rectas:

r � � ⇒ �x �

22

� � �y

13

� ⇒ �x � 2 � 2y � 6 ⇒ x � 2y � 8 � 0

s � � ⇒ x � 3 � �2y

13

� ⇒ �x � 3 � 2y � 3 ⇒ x � 2y � 6 � 0

�12

� � �22

� � ���

86� ⇒ Son paralelas; d(r, s) � �

�| �

1

82 �

2�6

2�|

� � ��2

5�� � �

2�5

5�� u

5.61. Calculando las medidas de sus tres lados y clasifica los siguientes triángulos cuyos vértices son:

a) A(3, 2), B(5, �4) y C(1, �2) b) A(3, 5), B(�1, �1) y C(5, �3) c) A(0, 1), B(0, 2) y C�—�2

3�—, —

3

2—�

a) A�B� � �(5 � 3�)2 � (��4, � 2�)2� � �4 � 36�� �40� u;

C�B� � �(5 � 1�)2 � (��4 � 2)�2� � �16 � 4�� �20� u

A�C� � �(1 � 3�)2 � (��2 � 2)�2� � �4 � 16�� �20� u. Se trata de un triángulo isósceles.

b) A�B� � �(�1 �� 3)2 �� (�1 �� 5)2� � �16 � 3�6� � �52� u;

C�B� � �(�1 �� 5)2 �� (�1 �� 3)2� � �26 � 4�� �40� u.

A�C� � �(5 � 3�)2 � (��3 � 5)�2� � �4 � 64�� �68� u. Se trata de un triángulo escaleno.

c) A�B� � �(0 ��0)2 ��(2 ��1)2� � �1� � 1 u;

C�B� � ����33��� 0�2 � ��

32� � 2�

2 � ��34

� � �14

� � 1 u

A�C� � ����23��� 0�2 � ��

32� � 1�

2 � ��34

� � �14

� � 1 u. Se trata de un triángulo equilátero.

5.62. Calcula el perímetro y el área del triángulo de vértices: A(�2, 2), B(5, �1) y C(3, 4).

En primer lugar se calcula la longitud de los lados:

A�B� � �(5 ��2)2 ��(�1 �� 2)2� � �49 ��9� � �58�; C�B� � �(5 ��3)2 ��(�1 �� 4)2� � �4 � 2�5� � �29� y

A�C� � �(3 ��2)2 ��(4 ��2)2� � �25 ��4� � �29�. Por tanto, el perímetro es: P � 58 � 229 u.

La altura del triángulo es la distancia del vértice C a la recta determinada por el segmento A�B�.

A�B� � �x �

72

� � �y

32

� ⇒ �3(x � 2) � 7(y � 2) ⇒ �3x � 7y � 8 � 0.

d(C, r) � � ��2

5

9

8�� � �

�258��

Por tanto, el área es: A � �12

� A�B� � d(C, r) � �12

� �58� ��

258�� � �

548� � �

229� u 2

x � 3 � t

y � 3 � �2t�

x � 2 � 2�y � 3 � �

x � 2 � 2�y � 3 � �

x � 3 � t

y � —3 �

2

t—

| 3 � (�3) � 4 � (�7) � 8 |���

�32 � 7�2�

Page 116: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

5.63. Calcula las coordenadas de los vértices y el perímetro del triángulo determinado por las rectas:

r: x � 3y � 1 � 0

s: 3x � 2y � 4 � 0

t: 2x � y � 2 � 0

En primer lugar se calculan los vértices, que son los puntos de corte de las rectas.

� ⇒ � ⇒ 7y � 7 � 0 ⇒ y � 1 x � 2 ⇒ A(2 1)

� ⇒ � ⇒ 7y � 0 ⇒ y � 0 x � �1 ⇒ B(�1 0)

� ⇒ � ⇒ �7y � 14 � 0 ⇒ �7y � 14 � 0 ⇒ y � �2 x � 0 ⇒ C(0 �2)

A continuación se calculan las longitudes de los lados:

A�B� � �(�1 �� 2)2 �� (�1)2� � �9 � 1� � �10�

C�B� � �(�1)2�� 22� � �1 � 4� � �5�

A�C� � �(�2)2�� (�2� � 1)�2� � �4 � 9� � �13�

El perímetro es: P � �10� � �5� � �13� u.

5.64. Calcula el ángulo que forman las rectas:

a) r: 3x � y � 1; s: x � y � 3 c) r: y � �x � 2; s: y � �—1

2— � 3x

b) r: x � 2y � 2 � 0; s: �x � y � 2 � 0 d) r: � s: �

a) cos (r, sp) � cos � � ��4�

2

�2�� � �

�22�� ⇒ � 45

b) cos (r, sp) � cos � � 0 ⇒ � 90

c) cos (r, sp) � cos � � ��10�

4

�2�� � �

�2

5�� � �

2�5

5�� ⇒ � 4533�54�

d) cos (r, sp) � cos � � ��

6

40�� � 0,949 ⇒ � 1826�

5.65. Calcula el área y el perímetro del cuadrilátero que forman las rectas r: 3x � 4y � 12 y s: 5x � 6y � 30 con

los ejes coordenados.

Los vértices del cuadrilátero son A (4, 0), B (6, 0), C (0, 5) y D (0, 3)

Para calcular el perímetro, se halla el módulo de los vectores que forman loslados, AB�� � (2, 0), BC�� � (�6, 5), CD�� � (0, �2) y DA�� � (4, �3):

� AB�� � � � CD�� � �2, � BC�� � � �61�, � DA�� � � 5

Perímetro: 9 � �61� u

El área se calcula restando las áreas de los triángulos OBC y OAD.

Área: 15 � 6 � 9 u 2

x � 2 � 2t

y � 1 � t

x � 1 � 2�y � 3 � 2�

6x � 4y � 8 � 0�6x � 3y � 6 � 0

s � 3x � 2y � 4 � 0t � 2x � y � 2 � 0

�2x � 6y � 2 � 02x � y � 2 � 0

r � x � 3y � 1 � 0t � 2x � y � 2 � 0

�3x � 9y � 3 � 03x � 2y � 4 � 0

r � x � 3y � 1 � 0s � 3x � 2y � 4 � 0

|3 � 1|����32 � 1�2� �12 � (��1)2�

| 3 � 1|����32 � 1�2� �12 � 1�2�

|�4 � 2|����22 ��22� �12 ��22�

��23

� � �23

� ���

�12 � 2�2� ���23

��2

���13

��2

A B

Y

D

1

1 XO

C

Page 117: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

5.66. Calculando las medidas de sus tres ángulos, clasifica los siguientes triángulos cuyos vértices son:

a) A(5, 3), B(1, 2) y C (7, 0) b) A(1, 2), B(�4, �3) y C (2, �1) c) A(�2, 8), B(�6, 1) y C (0, 4)

a) � ⇒ cos Ap � � ��17�

�5

�13�� � �0,336 ⇒ Ap � 10940� ⇒ Es obtusángulo

� ⇒ cos Bp � � ��40�

22

�17�� � 0,844 ⇒ Bp � 3228�

� ⇒ cos Cp � � ��13�

18

�40�� � 0,789 ⇒ Cp � 3752�

b) � ⇒ cos Ap � � ��50�

10

�10�� � 0,447 ⇒ Ap � 6326�

� ⇒ cos Bp � � ��50�

40

�40�� � 0,894 ⇒ Bp � 2634�

� ⇒ cos Cp � ��12�

6

3

�2��

6

62�22�� � 0 ⇒ Cp � 90 ⇒ Es rectángulo

c) � ⇒ cos Ap � � ��65�

20

�20�� ⇒ Ap � 5619�

� ⇒ cos Bp � � ��65�

45

�45�� � 0,832 ⇒ Bp � 3341�

� ⇒ cos Cp � � 0 ⇒ Cp � 90 ⇒ Es rectángulo

5.67. Calcula las coordenadas de los vértices y la medida de los ángulos del triángulo determinado por las rectas:

r: 3x � 2y � 3 � 0, s: 2x � y � 2 � 0, t: x � 2y � 9 � 0.

Clasifícalo según sus lados y según sus ángulos.

En primer lugar se calculan los vértices, que son los puntos de corte de las rectas.

� ⇒ � ⇒ 7x � 7 � 0 ⇒ x � 1 y � 0 ⇒ A (1, 0)

� ⇒ 2x � 12 ⇒ x � 6 y � ��125� ⇒ B �6, � �

125��

� ⇒ � ⇒ �5y � 20 � 0 ⇒ y � �4 x � �1 ⇒ C (�1, �4)

A continuación se calculan los ángulos del triángulo.

� ⇒ cos Ap � � 0,496 ⇒ Ap � 6015�

� ⇒ cos Bp � � ��65�

45

�45�� � 0,868 ⇒ Bp � 2945�

� ⇒ cos Cp � � 0 ⇒ Cp � 90

Se trata de un triángulo rectángulo y escaleno.

s � 2x � y � 2 � 0t � �2x � 4y � 18 � 0

s � 2x � y � 2 � 0t � x � 2y � 9 � 0

r � 3x � 2y � 3 � 0t � x � 2y � 9 � 0

3x � 2y � 3 � 04x � 2y � 4 � 0

r � 3x � 2y � 3 � 0s � 2x � y � 2 � 0

CA�� � (�2, 4)CB�� � (�6, �3)

BA�� � (4, 7)BC�� � (6, 3)

AB�� � (�4, �7)AC�� � (2, �4)

CA�� � (�1, 3)CB�� � (�6, �2)

BA�� � (5, 5)BC�� � (6, 2)

AB�� � (�5, �5)AC�� � (1, �3)

CA�� � (�2, 3)CB�� � (�6, 2)

BC�� � (6, �2)BA�� � (4, 1)

AB�� � (�4, �1)AC�� � (2, �3)

�8 � 3����42 � 1�2� �22 � 3�2�

24 � 2����62 � 2�2� �42 � 1�2�

��22�

12

32��

�6

62�22�

��52

+

5

52�+

�1

1

52+32�

��52

3

0

5

+2��

1

6

02�22�

�8�28����42�72� �22�42�

24�21����42�72� �62�32�

12�12����22�42� �62�32�

AB�� � �5, ��125��

AC�� � (�2, �4)

AB�� � �5, ��125��

BC�� � ��7, �72

��

CA�� � (2, 4)

CB�� � �7, ��72

��

�10 � 30���

�52 � ��125��

2�22 � 4�2�

35 � 26,25���

�52 � ��125��

2�72 ���72

��2

14 � 14���

�22 � 2�2� �72� ��72

��2

Page 118: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Puntos y rectas simétricos

5.68. Calcula las coordenadas de los extremos del segmento simétrico del A�B� respecto de la simetría central de

centro P siendo: A (2, 3), B (4, 1) y P (3, 5).

Sea A���B��� el segmento simétrico de A�B�.

Por tratarse de una simetría central de centro P:

P ha de ser el punto medio de A y A�, luego:

� ⇒ � ⇒ A�(4, 7)

P ha de ser el punto medio de B y B�, luego:

� ⇒ � ⇒ B�(2, 9)

5.69. Calcula las coordenadas de los extremos del segmento simétrico del A�B� respecto de la simetría axial de eje

r siendo: A(1, 3), B�3, —5

2—� y r: x � y � 3.

Sea A���B��� el segmento simétrico de A�B�. Por tratarse de una simetría axial, larecta que pasa por A y A� es perpendicular a r. Su ecuación general es:AA� � x � y � k � 0 ⇒ 1 � 3 � k � 0 ⇒ k � 2 ⇒ x � y � 2 � 0

El punto de corte de dicha recta con r es:

M � AA� � r ⇒ � ⇒ x � �12

�, y � �52

� ⇒ M ��12

�, �52

��M es el punto medio de A y A�, luego:

A (1, 3), M ��12

�, �52

�� y A�(a, b) ⇒ �1 �2

a� � �

12

� ⇒ a � 0; �3 �

2b

� � �52

� ⇒ a � 2 ⇒ A�(0, 2)

Siguiendo un proceso análogo para el punto B se tiene:

BB' � x � y � k � 0 ⇒ 3 � �52

� � k � 0 ⇒ k � 0 ⇒ k � ��12

� ⇒ x � y � �12

� � 0;

N � BB' � r ⇒ � ⇒ x � �74

�, y � �54

� ⇒ N ��74

�, �54

��N es el punto medio de B y B�, luego:

B �3, �52

��, N ��74

�, �54

�� y B�(a, b) ⇒ �3 �

2a

� � �74

� ⇒ a � �12

�; � �54

� ⇒ b � 0 ⇒ B'��12

�, 0�

5.70. Dada las rectas r: x � 4y � 2 � 0 y s: 2x � 3y � �4:

a) Calcula su punto de corte.

b) Demuestra que el punto P(1, 2) pertenece a s y calcula su simétrico respecto de la recta r.

c) Calcula la ecuación de la recta simétrica de s respecto de la recta r.

a) El punto de corte es: � ⇒ Q (�2, 0)

b) P verifica la ecuación de s. En efecto: 2 � 1 � 3 � 2 � 4 � 2 � 6 � 4 � 0 ⇒ P � s

La recta perpendicular a r que pasa por P es: 4x � y � k � 0 ⇒ 4 � 2 � k � 0 ⇒ k � �6 ⇒ 4x � y � 6 � 0

Dicha recta corta a r en el punto: M � � ⇒ M � ��2127�, �

1147��

M es el punto medio de P y su simétrico, luego:

P(1, 2), M��2127�, �

1147�� y P�(a, b) ⇒ �

1 �2

a� � �

2127� ⇒ a � �

2177�; �

2 �2

b� � �

1147�; �

2 �2

b� � �

1147� ⇒ b � ��

167� ⇒ P���

2177�, ��

167��

c) s� � P�Q ⇒ �x

6�1

2� � �

y6� ⇒ �6x �12 � 61y ⇒ 6x � 61y � 12 � 0

4x � y � 6 � 0x � 4y � 2 � 0

2 � 4y � 2 � 02x � 3y � 4 � 0

�52

� � b�

2

x � y � �12

� � 0

x � y � 3

x � y � 2 � 0x � y � 3

�4 �

2a

� � 3 ⇒ a � 2

�1 �

2b

� � 5 ⇒ b � 9

B(4, 1)P(3, 5)B�(a, b)

�2 �

2a

� � 3 ⇒ a � 4

�3 �

2b

� � 5 ⇒ b � 7

A(2, 3)P(3, 5)A�(a, b)

A’

P

B’

A

B

O X

Y

A’

B’

AB

O X

Y

Page 119: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

Lugares geométricos

5.71. Dados los puntos A(1, 4), B(�3, 0) y C(3, �2):

a) Calcula las mediatrices de los segmentos A�B�, A�C� y B�D�.

b) Calcula las coordenadas del punto que equidista de A, B y C.

En primer lugar se calculan las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados del triángulo:

A�B� � �x

��

41

� � �y

44

� ⇒ x � y � 3 � 0

A�C� � �x �

21

� � �y

64

� ⇒ �3x � 3 � y � 4 ⇒ 3x � y � 7 � 0

B�C� � �x �

63

� � ��

y2� ⇒ �x � 3 � 3y ⇒ x � 3y � 3 � 0

a) La mediatriz es la perpendicular al lado que pasa por el punto medio, luego:

MAB� � x � y � k � 0 pasa por el punto (�1, 2) ⇒ �1 � 2 � k � 0 ⇒ k � �1 ⇒ x � y � 1 � 0

MAC� � x � 3y � k � 0 pasa por el punto (2, 1) ⇒ 2 � 3 � k � 0 ⇒ k � 1 ⇒ x � 3y � 1 � 0

MBC�� � 3x � y � k � 0 pasa por el punto (0, �1) ⇒ 1 � k � 0 ⇒ k � �1 ⇒ 3x � y � 1 � 0

b) Se trata de calcular el circuncentro (punto donde se cortan las tres mediatrices): T ��12

�, �12

��.

5.72. Halla las bisectrices de las rectas r: 3x � 2y � �2 y s: � y comprueba que son perpendiculares.

En primer lugar se obtiene la ecuación general de la recta s. s: � ⇒ �2x

� � y � 1 ⇒ x � 2y � 2 � 0

La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas. Por tanto:

�3x

��

9

2

y �

4�2

� � ��x

��

1

2y

4�2

� ⇒

Son perpendiculares, ya que:

�3�5���13� 2�13��2�5�� � �3�5���13��2�13��2�5����3�5��2� ��13��

2� �2�13��

2��2�5��

2��45�1 �52�20�0

PROBLEMAS

5.73. Dado el triángulo de vértices A(1, 3), B(�1, 2) y C(0, �3):

a) Calcula las coordenadas del baricentro.

b) Calcula las ecuaciones de dos alturas y las coordenadas del ortocentro.

c) Calcula las ecuaciones de dos mediatrices y las coordenadas del circuncentro.

d) Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

e) Calcula la ecuación de la recta de Euler y comprueba que el baricentro, el ortocentro y el circuncentro

están alineados.

a) Baricentro: G�0, �23

��b) Alturas: hBC � x � 5y � 14 � 0; hAC � x � 6y � 11 � 0; hAB � 2x � y � 3 � 0. Ortocentro: H ���1219�, �

2151��

c) Mediatrices: MAB � 4x � 2y � 5 � 0; MBC � x � 5y � 2 � 0; MAC � 2x � 12y � 1 � 0. Circuncentro: C ��2292�, ��

232��

d) El radio de la circunferencia es: d(C, A) ����2292� � 1�

2

����232�� 3�

2� ���2272��

2� ��6292��

2 ���5448940

�� 3,37 u

e) La recta de Euler es 53x � 87y � 58 � 0. Los tres puntos verifican la ecuación, luego están alineados.

x � 2�y � 1 � �

x � 2�

y � 1 � �

3x�5� � 2y�5� � 2�5� � x�13� � 2y�13� � 2�13� ⇒ b1 � �3�5� � �13� �x � �2�13� � 2�5� �y � 2�5� � 2�13� � 0

3x�5� � 2y�5� � 2�5� � �x�13� � 2y�13� � 2�13� ⇒ b2 � �3�5� � �13� �x � �2�13� � 2�5� �y � 2�5� � 2�13� � 0⇒�

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5.74. Halla las bisectrices interiores del triángulo de vértices A(2, 3), B(�1, 2) y C(3, 0). Calcula las coordenadas

del incentro y el radio de la circunferencia inscrita.

Bisectriz interior del ángulo Ap: 2x � y � 1 � 0

Bisectriz interior del ángulo Bp: ��2� � 1�x � �2�2� � 3�y � 3�2� � 7 � 0

Bisectriz interior del ángulo Cp: �3 � �2��x � �1 � 2�2��y � 9 � 3�2� � 0

Para calcular el incentro, basta calcular el punto de corte de dos bisectrices: Incentro: I ��2�, 2�2� � 1�

Para calcular el radio de la circunferencia inscrita, basta calcular la distancia del incentro a uno de los lados.

La ecuación de la recta sobre la que se encuentra el lado AB es x � 3y � 7 � 0.

R � d(I, AB) � � ���5�

�2�10�

�10 ���

�5��

2�10�

�10����5� � �10� u.

5.75. Dado el triángulo de vértices A(�3, 2), B(3, �4) y C(3, 5), y los puntos exteriores D(5, �3) y E(5, 3):

a) Demuestra que el segmento B�D� es paralelo al lado A�C� y mide la tercera parte de éste.

b) Demuestra que el segmento C�E� es paralelo al lado A�B� y mide la tercera parte de éste.

c) Si M es el punto medio de D�E� y G es el baricentro del triángulo, demuestra que A, G y M están alineados.

d) Comprueba que G es el punto medio de A y M.

a) BD�� � (2, 1), AC�� � (6, 3) ⇒ AC�� � 3BD��

b) CE�� � (2, �2), AB�� � (6, �6) ⇒ AB�� � 3CE��

c) d) M ��5 �2

5�, �

3 �2

3�� � (5,0), G ���3 �

33 � 3�, �

2 � 43

� 5�� � (1, 1)

AM�� � (8 �2) y AG�� � (4, �1), por tanto: AM�� � 2AG�� ⇒ A, M y G están alineados y G es el punto mediodel segmento de extremos A y M.

5.76. Dado el cuadrilátero de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(3, 3) y D�1, —5

2—�:

a) Demuestra que se trata de un trapecio.

b) Calcula el punto donde se cortan las diagonales.

c) Comprueba que la recta que une los puntos medios de los dos lados no paralelos es paralela a las ba-

ses del trapecio.

a) Los lados AB y DC son paralelos, ya que los vectores AB�� � (4, 1) y DC�� � �2, �12

�� son proporcionales.

b) � ⇒ punto de corte P ��73

�, �73

��

c) P �1, �74

�� y Q �4, �52

�� son los puntos medios de AD y BC, respectivamente.

La recta PQ es paralela a los lados AB y DC, ya que los vectores AB�� � (4, 1), DC�� � �2, �12

�� y QP�� � �3, �34

��son proporcionales.

DB � x � 8y � 21 � 0AC � x � y � 0

�2� �6�2� �3�7 ���

�10��2� �3�2�2� �1��7���

�10�

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Solucionario

5.77. Se considera el cuadrilátero de vértices: A(�5, 0), B(3, 2), C(5, �8) y D(�7, �6).

a) Calcula la medida de las dos diagonales.

b) Comprueba que los puntos medios de los lados forman un paralelogramo.

c) Calcula el perímetro del paralelogramo.

d) Comprueba que el perímetro hallado coincide con la suma de las dos diagonales del cuadrilátero inicial.

a) AC � �102 �� 82� � �164� � 2�41� uBD � �102 �� 82� � �164� � 2�41� u

b) Los puntos medios de los lados son:

Lado AB: L ��3 �2

5�, �

2 �2

0�� � (�1, 1)

Lado BC: M ��3 �2

5�, �

2 �2

8�� � (4, �3)

Lado CD: N ��5 �2

7�, �

�62� 8�� � (�1, �7)

Lado DA: P ���52� 7�, �

�62� 0�� � (�6, �3)

El punto medio de L y N es (�1, �3), y el punto medio de P y M es (�1, �3).

Al coincidir estos dos puntos medios, se deduce que LMNP es paralelogramo.

c) LM � �25 ��16� � �41� MN � �25 ��16� � �41� P � 2�41� � 2�41� � 4�41�

d) P � 4�41� � 2�41� � 2�41� � AC � BD

5.78. Halla el punto de la recta r: 2x � y � 1 � 0 y que equidista de los puntos A(2, 2) y B(�2, 4).

El punto buscado será la intersección de la recta r con la mediatriz del segmento A�B�.

La mediatriz del segmento A�B� es: �1x

� � �y �

23

� ⇒ 2x � y � 3 ⇒ y � 3 ⇒ 2x � y � 3 � 0.

El punto de intersección es: � ⇒ P (�1, 1)

5.79. Calcula los puntos de la recta r: x � y � 3 � 0 que están a distancia 1 del punto P (1, 1).

Los puntos de la recta son de la forma (x, 3 � x). Como están a distancia 1 de P, se tiene que:

�(x � 1�)2 � (�2 � x�)2� � 1 ⇒ (x � 1)2 � (2 � x)2 � 1 ⇒ 2x 2 � 1 ⇒ 2x 2 � 6x � 4 � 0 ⇒ �Los puntos buscados son A(2, 1) y B(1, 2).

5.80*. A partir de la información de la figura, calcula:

a) Las ecuaciones de las rectas r, s y t.

b) El punto P de intersección entre s y t.

c) El punto P simétrico de P respecto de la recta r.

d) El ángulo que forman s y t.

e) Las rectas que pasan por el punto C(�1, 3) y forman un

ángulo de 30º con la recta r.

a) r � AB � �2x

� � �y �

22

� ⇒ x � y � 2 � 0; s � y � �3�x � 2�3�;

t � �x �

46

� � ��

y4� ⇒ x � y � 6 � 0

b) � ⇒ x � �3�x � 2�3� � 6 � 0 ⇒ �1 � �3��x � 2�3� � 6 ⇒ �y � �3�x � 2�3�x � y � 6 � 0

x � 2x � 1

2x � y � 3 � 02x � y � 1 � 0

XO

Y

A

P

DN C

M

BL

O X

s

t

r

Y

1

1

A(0, 2) P

B(2, 4)

C(2, 0)

60°

x � � 2�3�

y � 2�3� �3� � 2�3� � 6 � 2�3�

�2�3� � 6���3 � 1�����

3 � 1

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c) PP� � 2 PB; PB � �2 � 2�3�, 4 � �6 � 2�3��� � �2 � 2�3�, �2 � 2�3� � ⇒⇒ PP� � 2 �2 � 2�3�, �2 � 2�3� � � �4 � 4�3�, �4 � 4�3� �.

Sea P�(a, b). Se tiene que a � 2�3� � 4 � 4�3� ⇒ a � 4 � 2�3� y b � 6 � 2�3� � �4 � 4�3� ⇒ b � 2 � 2�3� ⇒⇒ P� �4 � 2�3�, 2 � 2�3� �

d) cos � ��

��

3

3��

, �

1�1

�� �

1

(1

, 1

1�)

� � ��

2

3���

2�1

� � 0,26 ⇒ � 75

e) La recta r tiene pendiente 1, luego forma un ángulo de 45 con el eje de abscisas. Las rectas que forman unángulo de 30 con la recta r tienen que formar, por tanto, ángulos de 15 o de 75 con el eje de abscisas. Por

tanto, sus pendientes han de ser tg (30) � ��1

3�� o bien tg (75) � 3,732. Las rectas son:

y � ��1

3�� x � 1 � �

3

��

3�3�

�, y � 3,732x � 6,732

5.81. Calcula el área del triángulo de vértices los puntos de corte de las rectas:

r: x � 3y � 14

s: 3x � 5y � �14

t: 2x � y � �7

Los vértices del triángulo son:

� ⇒ A(2, 4) � ⇒ B(�1, 5) � ⇒ C(�3, 1)

La longitud de la base es: d(A, B) � �9 � 1� � �10� u

La longitud de la altura es: d(C, A�B�) � �|�3 �

�3

10�� 14|� � �

�1

1

4

0�� � �

7�510�� u

El área es: S � � 7 u 2

5.82*.Un rayo de luz r, que pasa por el punto A(1, 2), incide sobre el eje de abscisas y se refleja formando con

él un ángulo de 30º.

Halla las ecuaciones de los rayos incidente y reflejado.

Rayo incidente: recta que pasa por A(1, 2) y forma con el eje de abscisas un ángulo de 150:

tg (150) � ���33�� ⇒ y � ��

�33�� x � n ⇒ Como la recta pasa por A: 2 � ��

�33�� � n ⇒ n � 2 � �

�33�� � �

6 �3�3��.

Por tanto, la recta es y � ���33�� x � �

6 �3�3��.

Rayo reflejado: en primer lugar se calcula el punto de corte del rayo con el eje OX:

0 � ���33�� x � �

6 �3�3�� ⇒ x � 2�3� � 1. El punto de corte del rayo incidente con el eje de abscisas es B�2�3� � 1, 0�.

El rayo reflejado es la recta que pasa por B y forma un ángulo de 30º con el eje de abscisas. Por tanto:

y � ��33�� x � n y pasa por B: 0 � �

�33�� �2�3� � 1� � n ⇒ n � ��

�33�� �2�3� � 1� � �2 � �

�33�� ⇒ y � �

�33�� x � 2 � �

�33��

�10� � ��1

1

4

0��

��2

3x � 5y � �142x � y � �7

x � 3y � 142x � y � �7

x � 3y � 143x � 5y � �14

O X

sr

Y

1

A(1, 2)

1

B

120°

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Solucionario

5.83. Calcula el valor de k para que el triángulo de vértices A(4, 3), B(6, �3) y C(6, k) tenga por área 20 unidades

cuadradas.

En primer lugar se calcula la longitud de la base:

AB � (6 � 4, �3 � 3) � (2, �6) ⇒ � A�B� � � �22 ��(�6)2� � �4 � 3�6� � �40� u

A continuación se calcula la longitud de la altura:

La recta que pasa por A y por B tiene por ecuación: �x

��

14

� � �y �

33

� ⇒ 3x � 12 � �y � 3 ⇒ 3x � y � 15 � 0

La longitud de la altura es: h � d(C, AB) � �| 18 �

�k

1

0�15 |

� � �| 3

��

10�k |

� u

La superficie es: S � ��40� � �3

��

10�k

� � 20 ⇒ �

5.84. Los vértices opuestos de un cuadrado son los puntos A(0, 3) y C(4, 0). ¿Cuáles son las coordenadas de los

otros dos vértices? ¿Cuál es el área del cuadrado?

La diagonal del cuadrado está sobre la recta: 3x � 4y � 12 � 0.

La diagonal mide d(A, B) � �42 ��32� � �25� � 5 unidades y su punto medio es M ��42

�, �32

�� � �2, �32

��.Sea D(a, b) uno de los vértices. MD es perpendicular a 3x � 4y � 12 � 0, luego es de la forma �(3, 4).

Además, | MD | � �(3�)2 �� (4�)2� � ��25� � 5� � �52

� ⇒ � � �12

Por tanto, se tiene: �a � 2, b � �32

�� � �(3, 4) ⇒ �Por último, si B es el vértice que falta, MB � �MD � ���

32

�, �2� ⇒ �a� � �32

�, b � 2� � ���32

�, �2� ⇒ �Aplicando el teorema de Pitágoras se calcula la longitud del lado del cuadrado: 2l 2 �52 ⇒ l � ��

225� � �

5�2

2��

Por tanto, el área del cuadrado es A � l 2 � �225� u 2.

5.85. En el paralelogramo de vértices ABCD se conocen las coordenadas de los puntos A(0, 3), B(1, 0) y C(6, 1).

Calcula la medida de sus diagonales y el ángulo que forman.

El punto medio de AC es M ��62

�, �3 �

21

��. El cuarto vértice D será, por tanto:

� ⇒ � ⇒ D (5, 4)

Las medidas de las diagonales son:

AC � �(6 � 0�)2 � (1�� 3)2� � �36 � 4� � 2�10� u y BD � �(5 � 1�)2 � (4�� 0)2� � �16 � 1�6� � 4�2� u

El ángulo que forman verifica: cos � cos � AC��, BD�� � � �2�

2

1

4

0��

� 4

8

�2�� � 0,447 ⇒ � 6326�

5.86. Calcula el valor de k para que la recta x � y � k forme con los ejes coordenados un triángulo de 5 unidades

cuadradas de área.

La recta corta a los ejes coordenados en (k, 0) y (0, k). El área del triángulo será, por tanto, �k2

2

�.

�k2

2

� � 5 ⇒ k � �10�.

�1 �

2a

� � 3 ⇒ a � 5

�0 �

2b

� � 2 ⇒ b � 4

B(1, 0)M(3, 2)D(a, b)

a� � �3b� � �4

a � 3� � 2 � �32

� � 2 � �72

b � 4� � �32

� � 2 � �32

� � �72

3 � k � 10 ⇒ k � 7�3 � k � 10 ⇒ k � �13

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5.87. Calcula las rectas que pasan por el punto P(1, 2) y que determinan con los ejes coordenados un triángulo

de área 4,5 unidades cuadradas.

Las rectas son y � 2 � m(x � 1) ⇒ y � mx � 2 � m

Fijada una cualquiera de ellas, corta a los ejes en (0 2 � m) y ��mm� 2�, 0�.

El área del triángulo será

S � � �92

� ⇒ �m2 � 4m � 4 � 9m ⇒ m2 � 5m � 4 � 0 ⇒ m � �4, m � �1.

Por tanto, las rectas pedidas son: y � �4x � 6, y � �x � 3.

5.88. Construye el camino que debe seguir la bola B(1, 4) para que llegue al punto N(8, 1) después de chocar en

la banda r: x � y � 4 � 0.

El punto simétrico de B respecto de r es el B�(0, 3).

La recta B�N es �8x

� � �y

23

� ⇒ �x � 4y � 12 ⇒ x � 4y � 12 � 0.

El punto M de choque será:

M � � ⇒ y � �83

�, x � �43

� ⇒ M ��43

�, �83

��

5.89. Dados los puntos A(4, 0), M(6, 2) y N(2, 4), calcula los vértices B y C del triángulo ABC de forma que M sea

el punto medio del lado A�B� y N el punto medio del lado AC.

N es el punto medio de A y C. ⇒ � ⇒ � ⇒ C (0, 8)

M es el punto medio de A y B. ⇒ � ⇒ � ⇒ C (8, 4)

5.90. Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo ABC sabiendo que las coordenadas de los puntos

medios de sus lados son: M(�2, 2), N(5, 3) y P(2, �2).

El punto medio del segmento M�P� es O(0, 0).

O será el punto medio de AN� ⇒ � ⇒ � ⇒ A(�5, �3)

M será el punto medio de AB� ⇒ � ⇒ � ⇒ B(1, 7)

N será el punto medio de BC�� ⇒ � ⇒ � ⇒ C(9, �1)�1 �

2a

� � 5 ⇒ a � 9

�7 �

2b

� � 3 ⇒ b � �1

B(1, 7)N(5, 3)C(a, b)

��5

2� a� � �2 ⇒ a � 1

��3

2� b� � 2 ⇒ b � 7

A(�5, �3)M(�2, 2)B(a, b)

N(5, 3)O(0, 0)A(a, b)

�4 �

2a

� � 6 ⇒ a � 8

�0 �

2b

� � 2 ⇒ b � 4

A(4, 0)M(6, 2)B(a, b)

�4 +

2a

� � 2 ⇒ a � 0

�0 �

2b

� � 4 ⇒ b � 8

A(4, 0)N(2, 4)C(a, b)

x � 4y � 12 � 0x � y � 4

(2 � m) �m

m� 2�

��2

�5 �

2a

� � 0 ⇒ a � �5

�3 �

2b

� � 0 ⇒ b � �3

XO 11

Y

BB’

N

r

O Xr

Y

1

1

B

N

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Solucionario

5.91. El vértice B que determina el ángulo desigual de un triángulo isósceles, ABC, está situado en el punto

(1, 2). Sabiendo que el vértice A tiene por coordenadas (1, 7) y que el vértice C está en la recta

x � y � 1 � 0, calcula las coordenadas del vértice C.

Al ser un triángulo isósceles, las longitudes de los lados AB y BC cumplen AB � BC � d(A, B) � 0 � (7 � 2)2 � 5C es, por tanto, el punto de la recta dada que dista 5 unidades de B. Sea C(x, x � 1):

d(B, C) � �(x � 1�)2 � (x�� 1 �� 2)2� � �2(x ��1)2� � ��2�(x � 1) � 5 ⇒

Hay dos soluciones.

5.92. Determina las ecuaciones de los lados de un triángulo que cumple las siguientes condiciones:

i) Tiene un vértice en A(2, �7).

ii) La recta 3x � y � 11 � 0 es la altura relativa al vértice B.

iii) La recta x � 2y � 7 � 0 es la mediana correspondiente al vértice C.

La recta AC es perpendicular a 3x � y � 11 � 0, luego es de la forma x � 3y � k � 0. Como pasa por A,ha de ser k � �23. Por tanto, AC � x � 3y � 23 � 0.

Para conocer C basta calcular el punto de intersección de x � 3y � 23 � 0 y la altura x � 2y � 7 � 0:

� ⇒ � ⇒ � ⇒ � . Por tanto, el vértice C es (5, �6).

El vértice B(a, b) pertenece a la altura 3x � y � 11 � 0, por lo que se ha de cumplir 3a � b � 11 � 0. Por

otra parte el punto medio del lado AB será M ��a �

2

2�, �

b �

2

7�� que pertenece a la mediana x � 2y � 7 � 0, por

lo que se cumplirá la ecuación �a �

2

2� � 2 � �

b �

2

7� � 7 � 0 ⇒ a � 2b � 2 � 0. Resolviendo el sistema formado

por las dos ecuaciones obtenidas para a y b, encontramos las coordenadas del punto B:

� ⇒ � ⇒ B(�4, 1).

Las ecuaciones de los otros dos lados se calculan ahora de forma inmediata obteniéndose:

AB � 4x � 3y � 13 � 0, BC � 7x � 9y � 19 � 0

5.93. Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2, �1) y forman triángulos isósceles con las

rectas: r: 2x � y � 5 � 0 y s: 3x � 6y � 1 � 0

Las rectas que pasan por P(2, �1) son de la forma mx � y � 1 � 2m � 0.

Angulo entre r y s: cos � � 0 ⇒ � 90

Por tanto, la recta buscada forma un ángulo de 45º con cada una de las rectas dadas. Tomando por ejemplo s:

��22�� � ��

|

�2

5��

�m

m

�2

6

1�1

2�|

� ⇒ �140�(m2 � 1) � (2m � 6)2 ⇒ 3m2 � 48m � 67 � 0 ⇒

⇒ m ��48 � �

63108����

48 � 26�777��

Como la pendiente ha de ser m � �48 �

62�777�� , la recta es, por tanto:

��48 �62�777���x � y � 1 � 2 �

48 �62�777�� � 0.

5.94. El ortocentro de un triángulo es el punto H(5, 3). Los vértices A y C de dicho triángulo son los puntos

A(�1, 3) y C(7, �1). Calcula las coordenadas del tercer vértice B.

La ecuación de la recta perpendicular a AH y que pasa por C es:

�x �

07

� � �y �

11

� ⇒ x � 7 � 0

La ecuación de la recta perpendicular a CH y que pasa por A es:

�x �

21

� � �y �

13

� ⇒ x � 2y � 7 � 0

� ⇒ x � 7 y � 7 ⇒ B(7, 7)x � 7 � 0x � 2y � 7 � 0

| 2 � 3 � 6 � 1 |����22 � 1�2� �32� � 62

a � �4b � 1

3a � b � �11a � 2b � �2

x � 5y � �6

x � 3y � 235y � 30 � 0

x � 3y � 233y � 23 � 2y � 7 � 0

x � 3y � 23 � 0x � 2y � 7 � 0

x � 1 � ��5

2�� ⇒ C �1 � �

�5

2�� , 2 � �

�5

2���

x � 1 � ��5

2�� ⇒ C �1 � �

�5

2�� , 2 � �

�5

2����

| 2 � m � 6 � 1|����22 � 1�2� �m 2 ��12�

XO 11

Y

B

A H

C

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5.95. Calcula las rectas que pasan por el punto P(1, 2) y que forman con la bisectriz del primero y tercer

cuadrantes un ángulo de 45º.

La bisectriz de los cuadrantes primero y tercero es x � y � 0.

Las rectas no verticales buscadas son del tipo y � 2 � m(x � 1) ⇒ mx � y � 2 � m � 0.

cos 45 � ��22�� ��

�2�m

��

1 �

1

m�2��⇒ 1 � m2 � m � 1 ⇒ 1 � m2 � m2 � 1 � 2m ⇒ m � 0 ⇒ La recta buscada es y � 2.

Además, la recta vertical x � 1 también forma un ángulo de 45 con la bisectriz del primer cuadrante.

5.96. Encuentra el recorrido que tendrá que seguir la bola A para chocar

con la bola B después de haber tocado primero en la recta r y

después en la recta s.

Sea B� el simétrico de B respecto de s, y B� elsimétrico de B� respecto de r.

C es el punto de intersección de A�B��� con r, y D,el punto de intersección de C�B��� con s. El caminobuscado es el A → C → D → B.

5.97. Un trapecio rectángulo tiene dos vértices en los puntos A(2, 0) y B(�1, 2). Los dos vértices restantes están

sobre la recta x � 2y � 3 � 0. Halla sus coordenadas. ¿Cuántas soluciones hay?

AB�� � (�3, 2). Por tanto, el lado AB no es paralelo a la recta x � 2y � 3 sobre la que están los otros dos vértices. Esto significa que los ángulos rectos del trapecio corresponden a los vértices A y B.

Las rectas perpendiculares a AB son de la forma �3x � 2y � k � 0.

La que pasa por A es �3x � 2y � 6 � 0. Su intersección con la recta x � 2y � 3 � 0 es:

� ⇒ 4x � 3 � 0 ⇒ � ⇒ P ��34

� , ��

415��

La que pasa por B es �3x � 2y � 7 � 0. Su intersección con la recta x � 2y � 3 � 0 es:

� ⇒ 4x � 10 � 0 ⇒ � ⇒ Q ���52

� , 2�

Los otros dos vértices son P ��34

� , ��

415�� y Q ���

52

� , 2�

5.98. Halla las coordenadas de los puntos de la recta r: x � 2y � 2 � 0 y que distan 2 unidades de la recta

s: 4x � 3y � 13 � 0.

Sea X un punto genérico de r. Sus coordenadas son:

r � x � 2y � 2 � 0 ⇒ � ⇒ X(2 � 2t, t)

d(X, s) � � 2 ⇒ ��21 �

511t

� � 2 ⇒

⇒ �21 � 11t � 10 ⇒ t � 1 ⇒ P1(0, 1)

21 � 11t � �10 ⇒ t � �3111� ⇒ P2���

4101� , �

3111��

4 � (2 � 2t) � 3t � 13���

�42 ��32�

x � 2 � 2ty � t

x � ��52

y � 2�3x � 2y � 7 � 0x � 2y � 3 � 0

x � �34

y � ��

415�

�3x � 2y � 6 � 0x � 2y � 3 � 0

r s

AC

B’’ B’D

B

sr

B

A

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Solucionario

5.99.0 Los puntos A(�2, 2) y C(3, 1) son vértices opuestos de un rombo ABCD. Sabiendo que el vértice B pertenece al

eje de abscisas, calcula las coordenadas de los vértices B y D y el área del rombo.

M ��12

� , �32

�� es el punto medio de AC.

La diagonal AC está contenida en la recta AC � �x �

53

� � �y

11

� ⇒ x � 5y � 8 � 0.

La diagonal BD está contenida en la perpendicular a AC por su punto medio.

La perpendicular a AC es de la forma 5x � y � k � 0. Como pasa por M, se tiene que k � �1. Luego la recta es 5x � y � 1 � 0.

La intersección de dicha recta con el eje de abscisas es el punto ��15

� , 0�, que se corresponde con el vértice B.

El vértice D verifica BD�� � 2 BM�� ⇒ �a � �15

� , b � 0� � 2��12

� � �15

� , �12

� � 0� ⇒ � ⇒ D��45

� , 1�Diagonal mayor del rombo: d� � �52 ��12� � �26� u

Diagonal menor del rombo: d � ���35

��2

� 12 � ��3245� u

Por tanto, el área del rombo es: área � �26� ��3245� � �

2�135

� 1�7�� u2

5.100. Dadas las rectas r: x � 2y � 2 y s: 2x � y � 6 � 0, halla todas las rectas que pasen por el punto P(1, 1)

y que formen con r y s ángulos iguales.

Las rectas que pasan por (1 1) son de la forma: y � 1 � m(x � 1) ⇒ mx � y � 1 � m � 0.

Ángulo con r � x � 2y � 2: cos � ��5�

|

m

��

1

2

|

m�2��

Ángulo con s � 2x � y � 6 � 0: cos � ��5�

|2

m

�+

1 �

1|

m�2��

Por tanto: �

5.101. Dos vértices opuestos de un rombo ABOC son los puntos A(6, 6) y O(0, 0). Halla las coordenadas de B y

de C sabiendo que el área del rombo es de 24 unidades cuadradas.

M(3, 3) es el punto medio de AO.

Diagonal mayor del rombo: D � �62 ��62� � 6�2� u

La diagonal menor debe medir �D

2� d� � 24 ⇒ d � �

6

4

�8

2�� � 4�2� u

Los vértices B y C estarán en la mediatriz del segmento A�O� y a una distancia de M de 2�2� unidades de longitud.

A�O� � x � y � 0

B�C� � x � y � k � 0 ⇒ 3 � 3 � k � 0 ⇒ k � �6 ⇒ x � y � 6 � 0 ⇒ �d[(3, 3), (� 6 � �)] � �(� ��3)2 ��(3 ���)2� � 2�2� ⇒ �2 � 9 � 6� � 9 � �2 � 6� � 8 ⇒

⇒2�2 � 12� � 10 � 0 ⇒ �2 � 6� � 5 � 0

� � �6 �

2

4� ⇒ �� � 5 ⇒ B(5, 1)

� � 1 ⇒ C(1, 5)

x � �y � 6 � �

m � 2 � 2m � 1 ⇒ m � 1 ⇒ a1 � x � y � 0m � 2 � �2m � 1 ⇒ m � �1 ⇒ �x � y � 2 � 0 ⇒ a2 � x � y � 2 � 0

a � �45

b � 1

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5.102. El lado desigual de un triángulo isósceles es el segmento A��B���, con A(3, 1) y B(1, 2). Calcula las coordenadas

del vértice C del triángulo, sabiendo que su área es de 4 unidades cuadradas.

d(A, B) � �(3 � 1�)2 � (1�� 2)2�� �22 � 1�2� � �5�. Por tanto, la altura del triángulo verifica: 4 � �12

� �5�h ⇒ h � �8�

55�

Buscamos un punto que esté situado en la perpendicular a AB por su punto medio y que diste de AB �8�

55�

�:

AB � �x �

23

� � �y�

11

� ⇒ �x � 3 � 2y � 2 ⇒ x � 2y � 5 � 0, y el punto medio de AB es M ��3 �2

1� , �

1 �2

2��� �2, �

32

��.La recta perpendicular es 2x � y � �

52

� � 0. Sus puntos son de la forma �t, 2t � �52

��. Se impone ahora la con-

dición de que disten �8�

55�

� de la recta AB � x � 2y � 5 � 0.

�8�

55�

� � ⇒ | 5t � 10 | � 8 ⇒ � Por tanto, hay dos soluciones.

PROFUNDIZACIÓN

5.103. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: r: � y

s: � y que forma un ángulo de 45� con la recta que une los puntos A(0, 5) y B(5, 0).

El punto de intersección de las rectas es el P (7, 6) para � � 2 en la primera recta y � � 0 en la segunda.

La recta que une A y B es y � �x � 5, que forma 45 con los ejes de coordenadas.

Por tanto hay dos soluciones al problema planteado:

La horizontal que pasa por el punto P(7, 6) ⇒ y � 6; y la vertical que pasa por el punto P (7, 6) ⇒ x � 7.

5.104. Dadas las rectas r: x � y � 0 y s: x � y � 7 � 0 y el segmento de

extremos A(1, 9) y B(5, 8), calcula las coordenadas de los extremos

de un segmento C�D� de la misma longitud que A�B�, paralelo a él y tal

que el punto C pertenezca a la recta s y el punto D a la r.

Todos los puntos de r son de la forma D(d, d) y todos los puntos de sson de la forma C(c, 7 � c).

Los vectores AB�� y CD�� son iguales. Por tanto:

(4, �1) � (d � c, d � 7 � c) ⇒ � ⇒ �Los puntos pedidos son C (1, 6) y D (5, 5).

5.105. Dado el triángulo A(2, 1), B(1, �2) y C(�1, 3):

a) Calcula el punto P, intersección de la bisectriz del ángulo Cp con el lado opuesto A�B�.

b) Demuestra que —�P�P�B�A�— � —

C�C�

A�B�—

a) A�B� � �x��

12

� � �y�

31

� ⇒ 3x � 6 � y � 1 ⇒ 3x � y � 5 � 0

A�C� � �x��

32

� � �y �

21

� ⇒ 2x � 4 � �3y � 3 ⇒ 2x � 3y � 7 � 0

B�C� � �x��

31

� � �y�

53

� ⇒ �5x � 5 � 2y � 6 ⇒ 5x � 2y � 1 � 0

Bisectriz interior del ángulo Cp:

5x � 2y � ��

1

29�� ��

2x �

�3

1

y

3�� 7

� ⇒ �5�13� � 2�29� � x � �2�13� � 3�29� � y � �13� � 7�29� � 0

Al resolver el sistema formado por las dos rectas se obtiene el punto P ��45 �1�6

377�� , �

55 �136�377���

b) En efecto, al realizar el cálculo se obtiene �P�P�B�A�� � �

C�C�

B�A�� � ��

1239�.

c � 1d � 5

d � c � 4d � 7 � c � �1

x � 7 � 7�

y � 4� � 6

x � �3 � 5�

y � 3�

t � 2�2t � �52

��� 5 ���

�1 � 4� .

t � �158� ⇒ C ��

158�, �

4170��

t � �25

� ⇒ C��25

�, ��1170��

r

s

B

CD

AY

XO 1

1

PO X

Y

C

B

A

1

1

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Solucionario

5.106. La expresión kx � 2(k � 1)y � 2 � 0 representa una recta para cada valor real de k. Comprueba que

todas estas rectas forman un haz de rectas secantes y calcula su vértice. ¿Están todas las rectas del haz

incluidas en la expresión?

kx � 2(k � 1)y � 2 � 0 ⇒ kx � 2ky � 2y � 2 � 0 ⇒ 2y � 2 � k(x � 2y) � 0

Por tanto, se trata del haz de rectas determinado por � que se cortan en el punto P(2, �1).

La única recta del haz que no está incluida en la expresión inicial es x � 2y � 0.

5.107. Una gaviota se encuentra en el punto (�7, 2) y quiere volar hacia el punto (4, 3) pero pasando por el eje

de abscisas. Indica el recorrido que debe realizar para que la longitud total del trayecto sea mínima.

Sean P (�7, 2), Q (4, 3) y Q�(4, �3), simétrico de Q respecto del eje deabscisas.

El trayecto ha de ser PMQ.

Las coordenadas de M han de ser:

P�Q��� � �x1�17

� � �y�

52

� ⇒ 5x � 11y � 13 � 0

M � � ⇒ x � ��153� ⇒ M ���

153� , 0�

5.108. Calcula, de forma exacta, las coordenadas de los vértices del pentágono regular de la figura sabiendo que

su lado mide 2 unidades.

Comprueba que el cociente entre la distancia de D a B y la distancia de D a C es el número áureo

� � —1 �

2

�5�—

El ángulo interior de un pentágono regular vale �3 �

5180� � 108.

Por el teorema del coseno: DB � �22 ��22 ��2 � 2�� 2 � c�os 108� � �8 � 8� cos 7�2�

Coordenadas de B: x � ��8 � 8� cos 7�2� � cos 36� � 1, y � �8 � 8� cos 7�2� � sen 36

Coordenadas de A: Teniendo en cuenta que las longitudes de DA y DB son iguales:

x � 0, y � �DA2 �� 12� � �8 � 8� cos 7�2� � 1� � �7 � 8� cos 7�2�

Coordenadas de E: � ��8 � 8� cos 7�2� � cos 36� � 1, y � �8 � 8� cos 7�2� � sen 36

C(2, 0) y D(�2, 0)

�DD

CB� � �

�8 � 8�2

cos 7�2�� � � �2 � 2� cos 7�2� � 1,6180... � �

2�2 � 2� cos 7�2����2

y � 05x � 11y � 13 � 0

2y � 2 � 0x � 2y � 0

X11

Y

P

Q’

M

Q

O

O X

BE

CD

AY

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5.109. Dado el triángulo rectángulo de vértices O(0, 0), A(a, 0) y B(0, b):

a) Calcula las coordenadas del punto H, intersección de la hipotenusa con la altura sobre la hipotenusa.

b) Calcula las distancias O�H�, H�B� y H�A�.

c) Demuestra el teorema de la altura: O�H��2� � H�B� H�A�

d) Demuestra el teorema del cateto: �

a) La ecuación de la recta que contiene la hipotenusa del triángulo es: A�B� � �x

��a

a� � �

by

� ⇒ bx � ay � ab � 0

Sea OH la perpendicular a AB por el origen, que coincide con la altura sobre la hipotenusa. Su ecuación es:ax � by � 0

Las coordenadas de H son:

� ⇒ � ⇒ (a2 � b2)y � a2b ⇒ y � �a2

a�

2bb2�, x ��

a2

a�

b2

b2� ⇒ H ��a2

a�

b2

b2�, �a2

a�

2bb2��

b) OH � ��a

(

2

a

b2

4

ba2

4

)b2

2

� � ��a2

(

b

a

2

2

(

b2

b

�2)

a2

2)� � �

�a

a2

b

� b�2��

HA � ���a2

a�

b2b2� � a�2

� ��a2

a�

2bb2��

2 � ��(aa

6

2

ab

4b2)

2

2� � ��a2

a

2

b�2��

HB � ���a2

a�

b2b2��2

� ��a2

a�

2bb2� �b�

2 � ��(aa

2

2

b�

4 �

b2

b)

6

2� � ��a2

b

2

b�2��

c) O�H� 2 � �a2

a�

2b2

b2�

H�B� � H�A� � ��a2

a

2

b�2�� � �

�a2

b

2

b�2�� � �

a2

a�

2b2

b2� ⇒ O�H�2 � H�B� � H�A�

d) O�A�2 � a2

A�B� � H�A� � �a2 � b�2� � ��a2

a

2

b�2�� � a2 ⇒ O�A�2 � A�B� � H�A�

La otra parte del teorema se comprueba de la misma forma.

abx � a2y � a2b � 0abx � b2y � 0

bx � ay � ab � 0ax � by � 0

O�A�2� � A�B� H�A�O�B�2� � A�B� H�B�

O X

B

H

Y

A(a, 0)

��

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Solucionario

6.I. Calcula las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos e identifícalos.

a) Puntos que equidistan de A(�3, 3) y de B(�1, �5).

b) Puntos que equidistan de r: 2x � y � 0 y s: x � y � 0.

c) Puntos que equidistan de las rectas paralelas r: x � y � 5 y s: x � y � 9.

d) Puntos del plano cuya distancia a la recta x � 2y � 0 es de 2 unidades.

e) Puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es el doble que la distancia al punto (2, 0).

a) Mediatriz del segmento AB. Su ecuación es x � 4y � 2 = 0.

b) Bisectrices de los ángulos que forman las rectas r y s.

d(P, r) � d(P, s) ⇒ � ⇒ � � ⇒ (2�2� � �5�) x � (�2� � �5�) y � 0

� ⇒ (2�2� � �5�) x � (�2� � �5�) y � 0

c) Recta paralela a ambas por (0, 7).

d(P, r) � d(P, s) ⇒ � ⇒ �d) Rectas paralelas a la recta dada por (0,2�2�) y (0,�2�2�).

d(P, r) � 2 ⇒ � 2 ⇒ �e) Circunferencia de centro ��

83

�,0� y de radio �43

�.

d(P; O) � 2d(P;(2,0)) ⇒ �x 2 � y�2� � 2�(x � 2�)2 � y�2� ⇒ x 2 � y 2 � 4(x � 2)2 � 4y 2 ⇒ 3x 2 � 3y 2 � 16x � 16 � 0

EJERCICIOS PROPUESTOS

6.1. Escribe la ecuación de las circunferencias que verifican las siguientes condiciones.

a) El centro es el punto C(�3, 1) y el radio es r � 4.

b) Uno de sus diámetros es el segmento de extremos A(�2, 0) y B(4, �2).

a) (x � 3)2 � (y � 1)2 � 16 ⇒ x 2 � y 2 � 6x � 2y � 6 � 0

b) Centro: ���22� 4�, �

0 �2

2�� � (1 �1) Radio: �

d(A2,B)� � ��36

2��4�� � ��

240�� � �10�

(x � 1)2 � (y � 1)2 � 10 ⇒ x 2 � y 2 � 2x � 2y � 8 � 0

6.2. Identifica cuáles de las curvas representadas por las siguientes ecuaciones son circunferencias y halla, si es

posible, su centro y su radio.

a) 3x 2 � 3y 2 – 6x � 12y � 14 � 0 b) x 2 � y 2 – 6x � 0 c) x 2 � y 2 � 9

En todos los casos, la ecuación representa una circunferencia:

a) 3x 2 � 3y 2 � 6x � 12y � 14 � 0 ⇒ x 2 � y 2 �2x � 4y � �134� � 0 ⇒ C (1 �2) r � �1 � 4�� �

134�� � �

�13�� � ��

33��

Centro: C � (1 �2) Radio: r � ��33��

b) x 2 � y 2 � 6x � 0 ⇒ C ��62

�, 0� � (3, 0), r � �9� � 3 Centro: C � (3, 0), Radio: r � 3

c) x 2 � y 2 � 9 ⇒ Centro: C � (0, 0), Radio: r � 3

x � 2y � 2�5�x � 2y � �2�5�

|x � 2y|��12 ��22�

x � y � 5 � x � y � 9 ⇒ �5 � �9x � y � 5 � �x �y � 9 ⇒ x � y �7 � 0

|x � y � 9|��

�12 ��12�|x � y � 5|��

�12 ��12�

y � x�

�2�2x � y�

�5�

x � y�

�2�2x � y�

�5�|x � y|��12 ��12�

|2x � y|��22 ��12�

6 CÓNICAS

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6.3. Estudia, en cada caso, si el punto P es interior, exterior o perteneciente a la circunferencia: x 2 � y 2 � 10x � 0.

a) P(2, 4) b) P(2, 2) c) P(2, 5)

Centro: C � (5, 0) Radio: r � �25� � 5

a) P(2, 4) ⇒ d (P, C) � �9 � 1�6� � 5 ⇒ P ∈ circunferencia

b) P(2, 2) ⇒ d (P, C) � �9 � 4� � �13� � 5 ⇒ P es interior a la circunferencia.

c) P(2, 5) ⇒ d (P, C) � �9 � 2�5� � �34� � 5 ⇒ P es exterior a la circunferencia.

6.4. Dada la circunferencia x 2 � y 2 � 6y � 16 � 0 y la recta 4x � 3y � 34:

a) Halla las coordenadas del centro y la medida del radio de la circunferencia y calcula la distancia del cen-

tro a la recta.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones formado por la circunferencia y la recta y compara el resultado con el

del apartado anterior.

a) Centro: C = (0, 3) Radio: r = 9 + 16 = 5

d(C, recta) = = �255� = 5 = r

La recta es tangente a la circunferencia

b) ⇒ x � �34 �

43y

� ⇒ ��34 �4

3y��

2

� y 2 � 6y � 16 � 0 ⇒

⇒ � y 2 � 6y � 16 � 0

1156 � 9y 2 � 204y � 16y 2 � 96y � 256 � 0 ⇒ 25y 2 � 300y � 900 � 0 ⇒ y 2 � 12y � 36 � 0 ⇒

(y � 6)2 � 0 ⇒ y � 6, x � �34 �

418

� � 4

La recta es tangente a la circunferencia en el punto P(4 6)

6.5. Indica la posición relativa de la circunferencia y la recta en los siguientes casos.

a) x 2 � y 2 � 6x � 8y � 25 � 0; x � y � 5 � 0

b) x 2 � y 2 � 4; x � y � 0

c) x 2 � y 2 � 25; 3x � 4y � 25

a) x 2 � y 2 � 6x � 8y � 25 � 0; x � y � 5 � 0

Centro: C � (3, �4) Radio: r � �9 � 1�6 � 2�5� � 5�2�

d(C, recta) � � � 6�2� � 5�2� ⇒ La recta no corta a la circunferencia, es decir, es exterior a ella.

b) x 2 � y 2 � 4; x � y � 0

Centro: C � (0, 0) Radio: r � 2

d(C, recta) � 0 � 2 ⇒ La recta corta en dos puntos (es secante) a la circunferencia.

c) x 2 � y 2 � 25; 3x � 4y � 25

Centro: C � (0, 0) Radio: r � 5

d(C recta) � � 5 � r ⇒ La recta corta en un punto (es tangente) a la circunferencia.

6.6. Las trayectorias de dos partículas se describen mediante las circunferencias

x 2 � y 2 � 4 y x 2 � y 2 � 10x � 16 � 0.

Determina la posición relativa de las trayectorias. ¿Es posible que las partículas se encuentren?

� ⇒ 4 � 10x � 16 � 0 ⇒ x � 2, y � 0

Las trayectorias son tangentes en el punto P(2, 0). Por tanto, las partículas pueden encontrarse en ese punto.

x 2 � y 2 � 10x � 16 � 0x 2 � y 2 � 4

|�25|��25�

12��2�

|3 � 4 � 5|��

�2�

1156 � 9y 2 � 204y���

16

x 2 � y 2 � 6y � 16 � 04x � 3y � 34

|4 + 0 + 3 + 3 - 34|���

�16� + 9

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Solucionario

6.7. Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de circunferencias.

a) x 2 � y 2 � 6x � 8y � 25 � 0; x 2 � y 2 � 1 � 0

b) x 2 � y 2 � 4; x 2 � y 2 � 2x � 6y � 1 � 0

c) x 2 � y 2 � 25; 2x 2 � 2y 2 � 3y � 3 = 0

a)x 2 � y 2 � 6x � 8y � 25 � 0 centro C1(3, � 4) radio r1 � �9 � 1�6 � 2�5� � �50� � 5�2��x 2 � y 2 � 1 centro C2 (0, 0) radio r2 � 1

d(C1, C2) � �9 � 1�6� � 5 ⇒ r1 � r2 � 5�2� � 1 � d(C1, C2) ⇒ Las circunferencias son interiores. No tienen pun-tos en común.

b) �d(C1, C2) � �1 � 9� � �10� ⇒ � Las circunferencias son secantes. Tienen dos puntos en común.

c)2x 2 � 2y 2 � 3y � 3 � 0 ⇒ x 2 � y 2 � �

32

� y � �32

� � 0 centro C1 �0, ��34

�� radio r1 � ��196� �� �

32

�� � ��4

33���x 2 � y 2 � 25 centro C2 (0, 0) radio r2 � 5

d(C1, C2) � �34

� ⇒ r1 � r2 � d(C1, C2) ⇒ Las circunferencias son interiores. No tienen puntos en común.

6.8. Halla la posición relativa entre cada punto y la circunferencia. x 2 � y 2 � 2x � 2y � 1 � 0

a)P�1, —23

—� b) Q� , � c) R�2, —14

—�a) PotCf (P) � 12 � ��

32

��2

� 2 1 � 2 �32

� � 1 � ��34

� Punto interior a la circunferencia

b) PotCf (P) � � �2

� � �2

� 2 �2 �

2�2�� � 2 �2 �

2�2�� � 1 � 2 �4 � 2

4� 4�2�� �

� 4 � 2�2� � 1 � 2 � 1 � 2�2� �4 � 2�2� � 1 � 0

Punto perteneciente a la circunferencia

c) PotCf (P) � 22 � ��14

��2

� 2 2 � 2 �14

� � 1 � �196� Punto exterior a la circunferencia

6.9. Estudia para qué valores de m el punto P (5, m) es interior, para qué valores es exterior y para qué valores

pertenece a la circunferencia x 2 � y 2 � 4x � 4y � 17 � 0.

PotCf (P) � 25 + m2 � 20 � 4 + m � 17 = m2 � 4m �12

m 2 � 4m �12 � 0 si m � 6 ó m � �2 Puntos pertenecientes a la circunferencia

m 2 � 4m �12 � 0 si �2 � m � 6 Puntos interiores a la circunferencia

m 2 � 4m �12 � 0 si m � �2 ó m � 6 Puntos exteriores a la circunferencia

6.10. Calcula el eje radical de las circunferencias C1 x 2 � y 2 � 9 y C2 x 2 � y 2 � 4x � 2y � 1 � 0.

Eje radical: 4x � 2y � 9 � 1 � 0 ⇒ 4x � 2y � 10 � 0 ⇒ 2x � y � 5

6.11. Calcula el centro radical de estas circunferencias.

C1 (x � 1)2 � (y � 2)2 � 25 C2 3x 2 + 3y 2 + 6y = 0 C3 x 2 � y 2 � 6x � 6y � 9 � 0

Eje radical de C1 y C2: 2x � 4y � 20 � 2y � 0 ⇒ x � 3y � 10 � 0

Eje radical de C1 y C2: 2x � 4y � 20 � 6x � 6y � 9 � 0 ⇒ 8x � 2y � 29 � 0

Eje radical de C2 y C3: 2y � 6x � 6y – 9 � 0 ⇒ 6x � 8y – 9 � 0

Centro radical: � ⇒ x � �12067

�, y � ��5216�

x � 3y � 106x � 8y � 9

2 � �2��2

2 � �2��2

2 � �2�—2

2 � �2�—2

r1 � r2 � d(C1, C2)r1 � r2 � d(C1, C2)

x 2 � y 2 � 2x � 6y � 1 � 0 centro C1(1, � 3) radio r1 � �1 � 9� � 1� � 3x 2 � y 2 � 4 centro C2(0, 0) radio r2 � 2

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6.12. Dadas las siguientes circunferencias.

C1 x 2 � (y � 1)2 � 4 C2 x 2 � y 2 � 8x � 2y � 16 � 0 C3 x 2 � y 2 � 2x � 2y � 1 � 0

a) Halla los ejes radicales de todas las posibles parejas entre las circunferencias dadas.

b) Razona si existe centro radical y, en su caso, hállalo.

a) C1 x 2 � y 2 � 2y �3 � 0 C2 x 2 � y 2 � 8x � 2y � 16 � 0 C3 x 2 � y 2 � 2x � 2y � 1 � 0

Eje radical de C1 y C2: �2y � 3 � 8x � 2y � 16 � 0 ⇒ 8x � 19 � 0 ⇒ x � �189�

Eje radical de C1 y C3: �2y � 3 � 2x � 2y �1 � 0 ⇒ �2x �4 � 0 ⇒ x � �2

Eje radical de C2 y C3: �8x � 2y � 16 � 2x � 2y � 1 � 0 ⇒ � 10x � 15 � 0 ⇒ x � �32

b) Los ejes radicales son rectas paralelas y, por tanto, no se cortan. No hay centro radical.

6.13*.Encuentra la ecuación y dibuja la parábola que describe la trayectoria de un proyectil (tiro parabólico) sa-

biendo que tiene su vértice en el punto (2, 4), y que su directriz es la recta y = 2.

Vértice: (2, 4) Directriz: y � 2 ⇒ p = 4

(x � a)2 � 2p (y � b) ⇒ (x � 2)2 � 8 (y – 4) ⇒ y � �x8

2

� � �2x

� � �92

6.14. Para las siguientes parábolas, calcula las coordenadas del foco y del vértice, las ecuaciones del eje y de la

directriz y dibújalas.

a) x � y 2 � 6y � 10 c)* x 2 � 6y � 13 � � 5

b) y 2 � 4y � 2 � 3x d) x 2 � 4x � 6y � 28

a) x � (y � 3)2 � 9 � 10 ⇒ x � 1 � (y � 3)2 ⇒ Apertura hacia la derecha

Vértice (1, 3) Eje: y = 3 p � �12

� Directriz: x � 1 � �14

� � �34

� Foco: ��54

� ,3�

b) (y � 2)2 � 4 � 2 � 3x ⇒ (y � 2)2 � �3 (x � 2) ⇒ Apertura hacia la izquierda

Vértice (2, –2) Eje: y = �2 p � ��32

� Directriz: y � �141� Foco: ��

54

�,�2�

c) x 2 � 6y � 13 � �5 ⇒ x 2 � �6 (y � 3) ⇒ Apertura hacia abajo

Vértice (0, –3) Eje: x = 0 p � �3 Directriz: y � ��23� Foco: �0, �

�29��

d) (x � 2)2 � 4 � 6y � 28 ⇒ (x � 2)2 � 6(y � 4) ⇒ Apertura hacia arriba

Vértice (2, 4) Eje: x � 2 p � 3 Directriz: y � �52

� Foco: �2, �121��

6.15. La cubierta de un estadio olímpico tiene forma de elipse. Halla su ecuación reducida si se conocen los si-

guientes datos. Centro (0, 0) , a � 13, F(12, 0).

a � 13 c � 12 ⇒ b � �132 �� 122� � 5 ⇒ �1x6

2

9� � �

2y5

2

� � 1

O

Y

X2

2

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

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Solucionario

6.16. Dibuja e indica los elementos de cada una de las siguientes elipses.

a) —6

x

4

2

— � —3

y

6

2

— � 1 b) —1

x

4

2

4— � —

1

y

6

2

9— � 1 c) —

(x �

9

2)2

— � —(y �

4

3)2

— � 1 d) x2 � —(y �

4

1)2

— � 1

a) a � 8, b � 6, c � �28�. Centro: (0, 0). c) a � 13, b � 12, c � �9 � 4� � �5�. Centro: (2, –3)

Vértices: (8, 0), (�8, 0), (6, 0), (�6, 0) Vértices: (6, �3 ), (�1, �3), (2, �1), (2, �5)

Focos: (��28�, 0). (�28�, 0) Focos: (2 � �5�, � 3) (2 � �5�, � 3)

e � �ca

� � ��

828�� � �

�47�� e � �

ca

� � ��35��

b) a � 13 b � 12 c � �25� � 5. Centro: (0, 0) d) a � 2 b � 1 c � �3�. Centro: (0, 1)

Vértices: (0, 13), (0, �13), (12, 0), (�12, 0) Vértices: (0, �1), (0, 3), (1, 0), (�12, 0)

Focos: (0, 5), (0, �5). Focos: (0,1 � �3�), (0,1 � �3�)

e � �ca

� � �153� e � �

ca

� � ��23��

6.17. Calcula las ecuaciones de estas hipérbolas.

a) Vértice en A(5, 0) y foco en F(8, 0). c) Asíntota, y � 2x, y eje real 2a.

b) Foco en F�—14

5—, 0� y pasa por P(5, 3).

a) a � 5 c � 8 ⇒ b � �82 ��52� � �39� ⇒ �2x5

2

� � �3y9

2

� � 1

b) �ax 2

2� � �by 2

2� � 1 ⇒ � ⇒ �2a52� � � 1 ⇒ a � 3 b � �

94

� ⇒ �x9

2

� � � 1

c) �ba

� � 2 ⇒ b � 2a ⇒ c � �a2 � b�2� � �a2 � 4�a2� � a�5� ⇒ e � �ca

� � �a�

a5�

� � �5� ⇒ 4x 2 – y 2 � 4a2

6.18. Dibuja e indica los elementos de cada una de las siguientes hipérbolas.

a) —x9

2

— � —1

y

6

2

— � 1 b) x2 � y2 � 16 c) —(x �

4

2)2

— � —(y �

2

2)2

— � 1 d) �—x9

2

— � —1

y

6

2

— � 1

a) a � 3 b � 4 c � 9 � 16 � 5

Centro: (0, 0) Vértices: (3, 0) (�3, 0) Focos: (�5, 0) (5, 0)

Excentricidad: e � �ca

� � �53

� Asíntotas: y � �43

�x

b) a � 4 b � 4 c � �32� � 4�2�Centro: (0, 0) Vértices: (4, 0), (�4, 0) Focos: (��32�, 0) (�32�, 0)

Excentricidad: e � �ca

� � ��

432�� � �2� Asíntotas: y � x

c) a � 2 b � �2� c � �4 � 2� � 6

Centro: (�2, 2) Vértices: (�4, 2) (0, 2) Focos: (�2 ��6�, 2) (�2 ��6�, 2)

Excentricidad: e � ��26�� Asíntotas: y � 2 � �

�22�� (x � 2)

y2

�8116�

9��

�21265

� � a2

c � �145� ⇒ b2 � �

21265

� � a2

�2a52� � �

b9

2� � 1

O

Y

X2

2

O

Y

X2

2 O

Y

X1

1

O

Y

X

1

1

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

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d) a � 4 b � 3 c � 5

Centro: (0, 0) Vértices: (0, 4) (0, �4) Focos: (0, 5) (0, �5)

Excentricidad: e � �ca

� � �54

� Asíntotas: y � �43

�x

EJERCICIOS

Circunferencia

6.19. Calcula la ecuación de las siguientes circunferencias.

a) b)

c) De centro, C(2, �3), y pasa por el punto P(5, 1).

d) De centro, el punto C(5, �2), y tangente al eje de abscisas.

e) Pasa por los puntos A(3, 2) y B(1, �2), y tiene su centro en la recta r 3x � y � 6.

f) Pasa por el punto A(3, 4), su radio vale r � 5 y su centro se encuentra en el eje de abscisas.

g) El centro es C(3, 6), y es tangente a la bisectriz del primero y tercer cuadrantes.

h) Pasa por A(7, �3), B(5, 1) y C(2, �8).

a) Centro C(2, 1), pasa por P(5, 5). El radio es |CP��| � 5, y la ecuación, (x � 2)2 � (y � 1)2 � 25

b) Los puntos A(1, –2) y B(3, –4) son diametralmente opuestos. El centro será el punto medio, C(2, –3), y el radio,

la mitad de |AB��|, es decir, �2�. La ecuación es (x � 2)2 � (y � 3)2 � 2

c) r � d(C, P) � �9 � 1�6� � 5 ⇒ (x � 2)2 � (y � 3)2 � 25 ⇒ x2 � 4 � 4x � y2 � 9 � 6y � 25 ⇒ x2 � y2 �� 4x � 6y � 12 � 0

d) r � 2 ⇒ (x � 5)2 � (y � 2)2 � 4 ⇒ x 2 � y 2 � 10x � 4y � 25 � 4 � 4 � 0 ⇒ x 2 � y 2 � 10x � 4y � 25 � 0

e) Mediatriz del segmento AB:

El centro estará en la intersección de la mediatriz y la recta r:

� ⇒ � ⇒ C(2, 0) r � d(A, C) � �(3 ��2)2 ��(2 ��0)2� � �5�

La ecuación de la circunferencia será: (x � 2)2 � y2 � 5 ⇒ x2 � 4 � 4x � y2 � 5 � 0 ⇒ x2 � y2 � 4x � 1 � 0.

f) El centro será de la forma C(a, 0).

d(A, C) � 5 ⇒ (3 � a)2 � 42 � 25 ⇒ �g) r �d (C, x � y) � � �

3�2

2�� ⇒ (x � 3)2 � (y � 6)2 � �

92

� ⇒ 2x 2 � 2y 2 � 12x � 24y � 81 � 0

h) x2 � y2 � Ax � Bx � C � 0 �49 � 9 � 7A � 3B � C � 025 � 1 � 5A � B � C � 0 ⇒ A � �4, B � 6, C � �12 ⇒ x2 � y2 � 4x � 6y � 12 � 04 � 64 � 2A � 8B � C � 0

|3 � 6|�

�2�

3 � a � 3 ⇒ a � 0 ⇒ x 2 � y 2 � 253 � a � �3 ⇒ a � 6 ⇒ (x � 6)2 � y 2 � 25 ⇒ x 2 � y 2 � 12x � 11 � 0

x � 2y � 26x � 2y � 12

x � 2y � 23x � y � 6

AB� �x �2

3� � �

y �4

2� ⇒ 2x � 6 � y � 2 ⇒ 2x � y � 4

x � 2y � k � 0 ⇒ 2 � 2 0 � k � 0 ⇒ k � �2 ⇒ x � 2y � 2 � 0

O X

Y

P

C2

2

1

1O X

Y

A

B

O

Y

X1

1

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Solucionario

6.20. Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 0), B(0, 2) y C(2, 4).

⇒ (1) � (2) ⇒ Cx

2 � Cy2 � Cx

2 � 4 � Cy2 � 4Cy ⇒ 4Cy � 4 ⇒ Cy � 1

Sustituyendo, ⇒ Cx2 � 1 � Cx

2 � 4Cx � 13 ⇒ 4Cx � 12 ⇒ Cx � 3

Cx2 � 1 � R2 ⇒ R � �10�

Por tanto, C(3, 1) y r � �10�

6.21. Confirma si las siguientes ecuaciones representan una circunferencia. En caso afirmativo, dibújalas e indica

el centro y el valor del radio.

a) x2 � y2 � 4x � 6y � 9 � 0 c) 2x2 � 2y2 � 6x � 0

b) x2 � y2 � 2x � 2y � 3 � 0 d) x2 � y2 � 2x � 2y � 0

a) x 2 � y 2 � 4x � 6y � 9 � 0 ⇒ �

b) x 2 � y 2 � 2x � 2y � 3 � 0 ⇒ � No representa una circunferencia.

c) x 2 � y 2 � 3x � 0 ⇒ �d) x 2 � y 2 � 2x � 2y � 0 ⇒ �

6.22. Halla la posición relativa de cada punto y de la circunferencia x2 � y2 � 4x � 2y � 20 � 0.

a) A(5, 5) b) B(3, 3) c) C(�4, 3)

a) Pot Cf (A) � 52 � 52 � 4 5 � 2 5 � 20 � 0 ⇒ El punto pertenece a la circunferencia.

b) Pot Cf (B) � 32 � 32 � 4 3 � 2 3 � 20 � � 20 � 0 ⇒ El punto es interior a la circunferencia.

c) Pot Cf (C) � 42 � 32 � 4 (� 4) � 2 3 � 20 � 15 � 0 ⇒ El punto es exterior a la circunferencia.

6.23. Calcula la máxima y la mínima distancia del punto P(5, 2) a la circunferencia x 2 � y 2 � 6x � 8y � 0.

�Pot Cf (P) � 52 � 22 � 6 5 � 8 2 � 75

Si la recta que une P con el centro corta a la circunferencia primero a una distancia x y después a una distancia

x � 2r: x � (x � 2r) � 75 ⇒ x 2 � 10x � 75 � 0 ⇒ x � ��10

2 20� ⇒ �

Por tanto, la mínima distancia es 5, y la máxima, 5 � 2 5 � 15.

x � 5x � �15 no válida

C (�3, �4)r � �9 � 1�6� � 5

C (�1, �1)r � �1 � 1� � �2�

C��32

�, 0�r � ��

94

�� � �32

C(1, �1)

r � �1 � 1� � 3� no es real

C(2, �3)

r � �4 � 9� � 9� � 2

Cx2 � 1 � R2

Cx2 � 4Cx � 13 � R2

(1) Cx2 � Cy

2 � R2

(2) Cx2 � 4 � Cy

2 � 4Cy � R2

(3) Cx2 � 4 � 4Cx � Cy

2 � 16 � 8Cy � R2

(0 � Cx)2 � (0 � Cy)

2 � R2

(0 � Cx)2 � (2 � Cy)

2 � R2

(2 � Cx)2 � (4 � Cy)

2 � R2

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6.24. Para cada caso, estudia la posición relativa de la recta con la circunferencia que se indica.

a) 2x � y � 1 � 0 con x2 � y2 � 4x � 6y � 9 � 0 c) x � 7y � 30 con x2 � y2 � 10x � 0

b) x � 2 � 0 con x2 � y2 � 2x � 2y � 1 � 0

a) � d(C, r) � � � r ⇒ La recta es secante a la circunferencia.

b) � d(C, r) � � 1 � r ⇒ La recta es tangente a la circunferencia.

c) � d(C, r) � � � r ⇒ La recta es secante a la circunferencia.

6.25. Halla, en función del parámetro positivo a, la posición relativa de la circunferencia de ecuación

(x � 2)2 � y 2 � a y la recta de ecuación y � x.

Centro: C � (2, 0) Radio: r � �a� d(C, recta) � � ��2

2�� � �2�

Si a�2, la recta es tangente a la circunferencia. Si a�2, es secante, y si a�2 es exterior a la circunferencia.

6.26. Estudia la posición relativa de la circunferencia 2x 2 � 2y 2 � 6x � 6y � 7 � 0 con cada una de las siguientes

circunferencias.

a) x2 � y2 � —14

— b) 2x2 � 2y2 � 5 c) x2 � y2 � 2x � 3y � 3 � 0 d) x2 � y2 � 3y � 2 � 0

a) �d(C1, C2) � ��

94

� � ��94

�� � r1 � r2 � �32

� r2 � r1 � �12

d(C1, C2) � r1 � r2 ⇒ Las circunferencias son exteriores.

b)x 2 � y 2 � 2x 2 � 3y 2 � 3 � 0 ⇒ centro: C1 �1, �

32

�� radio r1 � �12

��2x 2 � 2y 2 � 6x � 6y � 7 � 0 ⇒ centro: C2 ��32

�, �32

�� radio r2 � 1

d(C1, C2) � ��14

�� � �12

� r1 � r2 � �32

� r2 � r1 � �12

d(C1, C2) � r1 � r2 ⇒ Las circunferencias son tangentes interiores.

c) �d(C1, C2) � ��

148�� � r1 � r2 � �

72

� r2 � r1 � �32

r1 � r2 � d(C1, C2) � r1 � r2 ⇒ Las circunferencias son secantes.

d) �d(C1, C2) � �

32

� r1 � r2 � �32

� r2 � r1 � �12

d(C1, C2) � r1 � r2 ⇒ Las circunferencias son tangentes exteriores.

x 2 � y 2 � 3y 2 � 2 � 0 ⇒ centro: C1 (0, �32

�) radio r1 � �12

2x 2 � 2y 2 � 6x � 6y � 7 � 0 ⇒ centro: C2 ��32

�, �32

�� radio r2 � 1

3��2�

2x 2 � 2y 2 � 5 ⇒ centro: C1 (0, 0) radio r1 � �52

2x 2 � 2y 2 � 6x � 6y � 7 � 0 ⇒ centro: C2 ��32

�, �32

�� radio r2 � 1

3��2�

x 2 � y 2 � �14

� ⇒ centro: C1 (0, 0) radio r1 � �12

2x 2 � 2y 2 � 6x � 6y � 7 � 0 ⇒ centro: C2 ��32

�, �32

�� radio r2 � 1

|2 � 0 � 0|��

�1 � 1�

25��74�

|5 � 30|���25 ��49�

C(5, 0)

r � �25� � 5

|1 � 2|�

�1�C(1, �1)

r � �1 � 1� � 1� � 1

2��5�

|4 � 3 � 1|��

�5�C(2, �3)

r � �4 � 9� � 9� � 2

O

Y

X

1

1

O

Y

X

1

1

O

Y

X

1

1

O

Y

X

1

1

Page 139: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

6.27. Calcula la potencia de cada punto respecto de la circunferencia indicada y señala su posición relativa.

a) P (1, 3) y 8x2 � 8y2 � 79x � 32y � 95 � 0

b) P (1, �1) y 2x2 � 2y2 � x � 0

c) P (5, 3) y x2 � y2 � 7x � 8y � 0

a) PotCf (P) � 8 12 � 8 32 � 79 1 �32 3 � 95 � 0 El punto pertenece a la circunferencia.

b) PotCf (P) � 2 12 � 2 (�1)2 �1 � 3 � 0 El punto es exterior a la circunferencia.

c) PotCf (P) � 52 � 32 �7 5 �8 3 � �25 � 0 El punto es interior a la circunferencia.

6.28. Calcula el eje radical de las siguientes parejas de circunferencias y representa gráficamente la situación en

cada caso.

a) x2 � y2 � 4x � 2y � 4 � 0; x2 � y2 � 6x � 0

b) x2 � y2 � 2y – 3 � 0; 2x2 � 2y2 � 4y � 0

a) � ⇒ � 4x � 2y � 4 � 6x � 0

⇒ 2x � 2y � 4 � 0 ⇒ x � y � 2 � 0 Eje radical: x � y � 2 � 0

b) � ⇒ �Las circunferencias son concéntricas. No existe el eje radical.

6.29. Halla el centro radical de las circunferencias C1 x2 � y2 � 16 , C2 x2 � y2 � 2x � 4y � 4 � 0,

C3 x2 � y2 � 6x � 6y � 14 � 0

C1 x 2 � y 2 � 16 C2 x 2 � y 2 � 2x � 4y � 4 � 0 C3 x 2 � y 2 � 6x � 6y � 14 �0

Eje radical de C1 y C2: 2x � 4y � 16 � 4 � 0 ⇒ x � 2y � 6 � 0

Eje radical de C1 y C3: �16 � 6x � 6y � 14 � 0 ⇒ x � y � 5 � 0

Eje radical de C2 y C3: �2x � 4y � 6x � 6y � 14 � 0 ⇒ 4x � 5y � 9 � 0

Centro radical: � ⇒ y � �11, x � �16 (�16, �11)

6.30. Calcula las tangentes a las circunferencias siguientes en el punto dado.

a) x2 � y2 � 26 en P(–1, 5)

b) 3x2 � 3y2 � 4x � 17y � 23 � 0 en P(1, �2)

a) La recta tangente debe ser perpendicular al radio correspondiente al punto:

C(0, 0) P (�1, 5) ⇒ CP� � ��x1� � �

5y

� ⇒ 5x � y � 0

La tangente será:

x � 5y � k � 0 ⇒ � 1 � 25 � k � 0 ⇒ k � 26 ⇒ x � 5y � 26 � 0

b) La recta tangente debe ser perpendicular al radio correspondiente al punto:

C��23

�, � �167�� P(1, �2) ⇒ CP� � �

x �2

1� � �

y �5

2� ⇒ 5x � 5 � 2y � 4 ⇒ 5x � 2y � 9 � 0

La tangente será: 2x � 5y � k � 0 ⇒ 2 � 10 � k � 0 ⇒ k � 8 ⇒ 2x � 5y � 8 � 0

x � 2y � 6x � y � �5

x 2 � y 2 � 2y � 3 � 0x 2 � y 2 � 2y � 0

x 2 � y 2 � 2y � 3 � 02x 2 � 2y 2 � 4y � 0

x 2 � y 2 � 4x � 2y � 4 � 0x 2 � y 2 � 6x � 0

O

Y

X1

1

O

Y

X

1

1

O

Y

X1

1

O

Y

X

1

1

Page 140: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

6.31. Dada la circunferencia (x � 3)2 � (y � 1)2 � 25, calcula las ecuaciones de sus tangentes paralelas a la rec-

ta 3x � 4y � 16 � 0.

Las posibles soluciones serán de la forma 3x � 4y � k � 0.

La distancia del centro a la recta debe coincidir con el radio:

� 5 ⇒ �

6.32. Calcula las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x2 � y2 � 4x � 4y � 17 � 0 que sean perpen-

diculares a la recta de ecuación 3x � 4y � 14.

Centro: (2, �2) Radio: r � �4 � 4� � 17� � 5

Las posibles soluciones serán de la forma 4x � 3y � k � 0.

La distancia del centro a la recta debe coincidir con el radio:

� 5 ⇒ �

6.33. Dada la circunferencia 4x2 � 4y2 � 24x � 4y � 33 � 0, calcula la ecuación de otra concéntrica con ella y

cuyo radio mida la mitad.

Centro: �3, ��12

�� Radio: r � �9 � �14�� � �

34�3�� � 1

(x � 3)2 � �y � �12

��2

� �14

� ⇒ x 2 � 9 � 6x � y 2 � �14

� � y � �14

� � 0 ⇒ x 2 � y 2 � 6x � y � 9 � 0

6.34. Halla la ecuación de la circunferencia que pasando por el punto P(2, 9) es tangente a los dos ejes de co-

ordenadas.

El centro debe ser el punto (r r), siendo r el radio:

(x � r)2 � (y � r)2 � r 2 ⇒ x 2 � y 2 � 2rx � 2ry � r 2 � 0

4 � 81 � 4r � 18r � r 2 � 0 ⇒ r 2 � 22r � 85 � 0 ⇒ r � �22

212

⇒ �x 2 � y 2 � 34x � 34y � 289 � 0

x 2 � y 2 � 10x � 10y � 25 � 0

6.35. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto C(1, 4) y es tangente a la recta

3x � 4y � 4 � 0.

La distancia del centro a la recta debe coincidir con el radio:

� r 2 ⇒ �155� � r 2 ⇒ 3 � r 2

La ecuación de la circunferencia es (x � 1)2 � (y � 4)2 � 3.

|3 1 � 4 4 � 4|���

�25�

r � 17r � 5

2 � k � 25 ⇒ k � 23 ⇒ 4x � 3y � 23 � 0�2 � k � 25 ⇒ k � �27 ⇒ 4x � 3y � 27 � 0

|4 2 � 3 (�2) � k |���

�25�

�5 � k � 25 ⇒ k � 30 ⇒ 3x � 4y � 30 � 05 � k � 25 ⇒ k � �20 ⇒ 3x � 4y � 20 � 0

|3 � (�3) � 4 1 � k |���

�9 � 1�6�

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Solucionario

Parábola

6.36*.Calcula la ecuación de las siguientes parábolas. (En c), d), e) y f), el vértice es el origen.)

a) Foco, F(2, 0), y directriz, x � 6.

b) Foco, F(0, 4), y directriz, y � 1.

c) Parámetro, p � 2 y abierta hacia la derecha.

d) Parámetro, p � 4 y abierta hacia la izquierda.

e) Parámetro, p � 6 y abierta hacia arriba.

f) Parámetro, p � 8 y abierta hacia abajo.

g) Vértice, V(2, 1), y foco, F(6, 1).

h) Vértice, V(–2, 1), y directriz, y � �2.

i) Vértice, V(–2, –2), y foco, F(�2, �6).

j) Vértice, V(0, 1), y directriz, x � 7.

a) Vértice en (4, 0), p � 4; y 2 � �2p (x � 4) ⇒ y 2 � �8x � 32

b) Vértice en �0, �52

��, p � 3, x 2 � 2p �y � �52

�� ⇒ x 2 � 6y – 15

c) p � 2, y 2 � 2px ⇒ y 2 � 4x

d) p � 4, y 2 � �2px ⇒ y 2 � �8x

e) p � 6, x 2 � 2py ⇒ x 2 � 12y

f) p � 8, x 2 � �2py ⇒ x 2 � �16y

g) Abierta hacia la derecha. p � 8, (y � 1)2 � 16(x � 2)

h) Abierta hacia arriba. p � 6, (x � 2)2 � 12(y � 1)

i) Abierta hacia abajo. p � 8, (x � 2)2 � �16(y � 2)

j) Abierta hacia la izquierda. p � 14, (y � 1)2 � �28x

6.37. Para las siguientes parábolas, halla el vértice, el foco y la ecuación de la directriz.

a) y 2 � 10x d) y 2 � �x

b) x 2 � 2y e) x 2 � �3y

c) y 2 � 2(x � 4) f) (y � 1)2 � 8(x � 1)

a) Vértice: (0, 0). Foco: ��52

�, 0�. Directriz: x � ��52

b) Vértice: (0, 0). Foco: �0, �12

��. Directriz: y � ��12

c) Vértice: (4, 0). Foco: ��92

�, 0�. Directriz: x � �72

d) Vértice: (0, 0). Foco: ���14

�, 0�. Directriz: x � �14

e) Vértice: (0, 0). Foco: �0, ��34

��. Directriz: x � �34

f) Vértice: (1, 1). Foco: (3, 1). Directriz: x � �1

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6.38. Para cada una de las siguientes parábolas, calcula su vértice, su foco y su directriz, el valor del parámetro

p y su ecuación reducida.

a) b) c) d)

a) Vértice: (0, 0). Foco: (3, 0). Directriz: x � �3; p � 6; y 2 � 12x

b) Vértice: (0, 0). Foco: (–4, 0). Directriz: x � 4; p � 8; y 2 � �16x

c) Vértice: (0, 0). Foco: (0, 1). Directriz: y � �1; p � 2; x 2 � 4y

d) Vértice: (0, 0). Foco: (0, –3). Directriz: y � �3; p � 6; x 2 � �12y

6.39. Halla el vértice, el foco y la ecuación de la directriz en cada una de las siguientes parábolas.

a) y 2 � 4y � 2x � 2 � 0 b) x 2 � 2x � y � 1 � 0

a) (y � 2)2 � 4 � 2x � 2 � 0 ⇒ (y � 2)2 � 2(x � 1) Vértice: (�1, 2) Foco: ���12

�, 2� Directriz: x � ��32

b) (x � 1)2 � y Vértice: (1, 0) Foco: �1, �14

�� Directriz: y � ��14

6.40. La parábola de ecuación y 2 � 4y � 6x � 5 � 0 tiene por foco el punto (0, 2). Halla su directriz.

Completando cuadrados: (y � 2)2 � 9 � 6x � 0 ⇒ (y � 2)2 � 9 � 6x ⇒ (y � 2)2 � 2 3 �x � �32

��.Por tanto, p � 3, el vértice es ��

32

�, 2�, y la directriz, x � 3.

Elipse

6.41. Para cada una de las elipses de la figura, indica las medidas de sus semiejes y de su semidistancia focal,

escribe las coordenadas de los vértices y de los focos, y calcula el valor de la excentricidad. Escribe su

ecuación.

a) b)

a) a � 4, b � 3, c � �16 ��9� � �7�. Vértices: (4, 0), (–4, 0), (0, 3) y (0, –3)

Focos: (�7�, 0), (��7�, 0). Excentricidad: e � �ca

� � . Ecuación: �1x6

2

� � �y9

2

� � 1

b) a � 3, b � 2, c � �9 � 4� � �5�. Vértices: (2, 0), (�2, 0), (0, 3), (0, �3)

Focos: (0, �5�), (0, ��5�). Excentricidad: e � �ca

� � ��35��. Ecuación: �

x4

2

� � �y9

2

� � 1

�7��4

O X

Y

F

d

O X

Y

F

d

O X

Y

F

d

O XY

F

d

O X

Y

O X

Y

Page 143: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

6.42. Para cada una de las siguientes elipses, indica las medidas de sus semiejes y de su semidistancia focal, es-

cribe las coordenadas de los vértices y de los focos, y calcula el valor de la excentricidad. Dibújalas.

a) —1

x

6

2

9— � —

1

y

4

2

4— � 1 b) 16x2 � 25y2 � 400 c) —

(x �

10

3)2

— � —(y �

6

2)2

— � 1 d) 2(x � 1)2 � y 2 � 2

a) a � 13 b � 12 c � �169 �� 144� � 5

Vértices: (�13, 0) (13, 0) (0, 12) (0, �12) Focos: (5, 0) (�5, 0)

Excentricidad: e � �ca

� � �153�

b) �2x5

2

� � �1y6

2

� � 1 ⇒ a � 5 b � 4 c � �25 ��16� � 3

Vértices: (5, 0) (�5, 0) (0, 4) (0, �4) Focos: (�3, 0) (3, 0)

Excentricidad: e � �ca

� � �35

c) a � �10� b � �6� c � �10 ��6� � 2

Vértices: (3 � �10�, �2) (3 � �10�, �2) (3, �2 � �6�) (3, �2 � �6�)

Focos: (1, �2) (5, �2) Excentricidad: e � �ca

� �

d) �(x �

11)2

� � �y2

2

� � 1

a � �2� b � 1 c � �2 � 1� � 1

Vértices: (2, 0) (0, 0) (1, �2�) (1, ��2�)Focos: (1, 1) (1, �1) Excentricidad: e � �

ca

� �

6.43. Calcula la ecuación de las siguientes elipses. (Salvo indicación, el centro es el origen.)

a) a � 5, c � 3. f) Pasa por los puntos P(1, 2) y Q(�2, 0).

b) Los radios vectores de un punto miden 7 y 3, y c � 4. g) Pasa por P(5, 0) y su excentricidad es —35

—.

c) Foco, F(3, 0), y vértice, A(4, 0). h) Foco, F’(0, 2), y semieje mayor, a � 3.

d) Vértices, A(6, 0) y B(0, 3). i) Centro, el punto C(�2, 1), a � 13 y b � 5.

e) Foco, F�(�2, 0), y excentricidad, e � 0,4.

a) b � �25 ��9� � 4 ⇒ �2x5

2

� � �1y6

2

� � 1

b) 2a � 7 � 3 ⇒ a � 5, c � 4, b � �25 ��16� � 3 ⇒ �2x5

2

� � �y9

2

� � 1

c) a � 4, c � 3, b � �16 ��9� � �7� ⇒ �1x6

2

� � �y7

2

� � 1

d) a � 6, b � 3 ⇒ �3x6

2

� � �y9

2

� � 1

e) c � 2, e � �ca

� ⇒ a � �02,4� � 5 ⇒ b � �25 ��4� � �21� ⇒ �

2x5

2

� � �2y1

2

� � 1

f) �ax 2

2� � �by 2

2� � 1 ⇒ � ⇒ a � 2, b � ⇒ �x4

2

� � � 1y 2

�136�

4��3�

�a1

2� � �b4

2� � 1

�a4

2� � 1

1��2�

2��10�

O

Y

X2

2

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

O

Y

X

1

1

Page 144: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

g) �ax 2

2� � �by 2

2� � 1 ⇒ � ⇒ a � 5, c � 3, b � 4 ⇒ �2x5

2

� � �1y6

2

� � 1

h) a � 3, c � 2, b � �9 � 4� � �13� ⇒ �x9

2

� � �1y3

2

� � 1

i) �(x

1�69

2)2

� � �(y �

251)2

� � 1

6.44. Dada la elipse x 2 � 4y 2 � 4x – 12 � 0, dibújala, y calcula las medidas de los semiejes y de la semidistan-

cia focal, el centro, los focos, los vértices y la excentricidad. ¿Cuál es la ecuación de la elipse que tiene los

mismos elementos pero cuyo centro es el origen de coordenadas?

(x � 2)2 � 4 � 4y 2 � 12 ⇒ �(x �

162)2

� � �y4

2

� � 1

a � 4, b � 2, c � �16 ��4� � �12�Centro (�2, 0) Focos (�2 � �12�, 0) (�2 � �12�, 0)Vértices (�6, 0) (2, 0) (�2, 2) (�2, �2)

Excentricidad: e � �ca

� � ��

412�� Ecuación reducida: �

1x6

2

� � �y4

2

� � 1

Hipérbola

6.45. Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas. (Salvo indicación, el centro es el origen.)

a) a � 3, c � 5. e) Foco, F�(�6, 0), y excentricidad, e � 1,25.

b) Distancia focal, 10, y los radios f) Pasa por los puntos P(3, 0) y Q(5, �3).

vectores de un punto miden 10 y 2. g) Pasa por P(2, 0) y su excentricidad es e � 1,5.

c) Foco, F(4, 0), y vértice, A(2, 0). h) Pasa por P(15, 4), y su distancia focal vale 2�90�.

d) Vértices, A(6, 0) y B(0, 3). i) Centro, C(2, �3), a � 8 y c � 10.

a) b � �25 ��9� � 4 ⇒ �x9

2

� � �1y6

2

� � 1

b) 2a � 10 � 2 ⇒ a � 4, c � 5, b � �25 ��16� � 3 ⇒ �1x6

2

� � �y9

2

� � 1

c) a � 2, c � 4, b � �16 ��4� � �12� ⇒ �x4

2

� � �1y2

2

� � 1

d) �3x6

2

� � �y9

2

� � 1

e) c � 6 e � �ca

� ⇒ a � �1,

625� � 4,8 ⇒ b � �36 ��23,04� � 3,6 ⇒ �

23x,0

2

4� � �

12y,9

2

6� � 1

f) �ax 2

2� � �by 2

2� � 1 ⇒ � ⇒ a � 3, b � �94

� ⇒ �x9

2

� � � 1

g) �ax 2

2� � �by 2

2� � 1 ⇒ � ⇒ a � 2, c � 3, b � �5� ⇒ �x4

2

� � �x5

2

� � 1

h) � ⇒ a � 9, b � 3 ⇒ �8x1

2

� � �y9

2

� � 1

i) �(x �

642)2

� � �(y �

363)2

� � 1

�2a2

2

5� � �

1b62� � 1

c � �90� � �a 2 ��b 2�

�ca

� � 1,5

�a4

2� � 1

y 2

�8116�

�2a52� � �

b9

2� � 1

�a9

2� � 1

�ca

� � �35

�2a52� � 1

O

Y

X1

1

Page 145: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

Solucionario

6.46. Encuentra la ecuación de la hipérbola que tiene por focos los puntos F(3, 0) y F�(�3, 0) y que pasa por el

punto P(8, 5�3�).

2c � d (F, F�) ⇒ c � 3

� ⇒ �(9 �

64b)2� � �

7b52� � 1 ⇒ b4 � 130b2 � 675 � 0 ⇒ b2 � ⇒

⇒ �La hipérbola es �

x4

2

� � �y5

2

� � 1.

6.47. Calcula la ecuación de una hipérbola si un foco es el punto F(0, 10) y una asíntota la recta y � x.

� ⇒ 2a2 � 100 ⇒ a2 � b2 � 50

La hipérbola es �5x0

2

� � �5y0

2

� � 1.

6.48. Para cada una de las siguientes hipérbolas, indica las medidas de sus semiejes y de su semidistancia focal,

escribe las coordenadas de los vértices y de los focos, y calcula las ecuaciones de las asíntotas y el valor

de la excentricidad. Dibújalas.

a) —1

x

4

2

4— � —

2

y

5

2

— � 1 d) � � � 1

b) 36x2 � 64y2 � 2304 e) 4y2 � x2 � 4

c) —(x �

8

1)2

— � —(y �

6

2)2

— � 1 f) �x2 � 2(y � 1)2 � 2

a) a � 12, b � 5, c � �144 �� 25� � 13

Vértices: (�12, 0) (12, 0) Focos: (�13, 0) (13, 0)

Asíntotas: y � �152� x

Excentricidad: e � �ca

� � �1132�

b) �6x4

2

� � �3y6

2

� � 1 a � 8, b � 6, c � 10

Vértices: (�8, 0) (8, 0) Focos: (�10, 0) (10, 0)

Asíntotas: y � �34

� x

Excentricidad: e � �ca

� � �54

c) a � �8�, b � �6�, c � �14�Vértices: (�1 � �8�, 2) (�1 � �8�, 2)Focos: (�1 � �14�, 2) (�1 � �14�, 2)

Asíntotas: y � 2 � (x � 1)

Excentricidad: e � �ca

� � � ��74

���14���8�

�6���8�

y2

—225

x 2

—64

a � bc � 10 ⇒ �a2 � b�2�

b2 � 5 ⇒ a2 � 4b2 � 135 ⇒ a2 � �126 imposible

�130 �16900�� 4 6�75����2

�6a42� � �

7b52� � 1

a 2 � b 2 � 9

O

Y

X4

4

O

Y

X2

2

O

Y

X1

1

Page 146: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

d) a � 15, b � 8, c � �225 �� 64� � 17

Vértices: (0, 15) (0, �15) Focos: (0, �17) (0, 17)

Asíntotas: y � �185� y

Excentricidad: e � �ca

� � �1175�

e) �y1

2

� � �x4

2

� � 1, a � 1, b � 2, c � �5�

Vértices: (0, 1) (0, �1) Focos: (0, ��5�) (0, �5�)

Asíntotas: y � 2 y

Excentricidad: e � �ca

� � �5�

f) �(y �

11)2

� � �x2

2

� � 1

a � 1, b � �2�, c � �3�

Vértices: (0, 0) (0, �2) Focos: (0, �1��3�) (0, �1��3�)

Asíntotas: x � �2� (y � 1)

Excentricidad: e � �ca

� � �3�

6.49. Dada la hipérbola x 2 � y 2 � 2y � 2 � 0, dibújala, y calcula el centro, los semiejes, la semidistancia focal,

los focos, los vértices y la excentricidad. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que tiene los mismos ele-

mentos pero cuyo centro es el origen?

x 2 � [(y � 1)2 � 1] � 2 � 0 ⇒ x 2 � (y � 1)2 � 1 ⇒ a � 1, b � 1, c � �2�Vértices: (1, �1) (�1, �1) Focos: (��2�, �1) (�2�, �1)

Asíntotas: y � 1 � x Excentricidad: e � �ca

� � �2�

Ecuación reducida: x 2 � y 2 � 1

6.50. Para cada una de las hipérbolas, indica las medidas de sus semiejes y de su semidistancia focal, escribe las

coordenadas de los vértices y de los focos, y el valor de la excentricidad. Halla su ecuación y las de sus

asíntotas.

a) a � 1, b � 3, c � �1 � 9� � �10� �x1

2

� � �y9

2

� � 1

Vértices: (�1, 0), (1, 0) Focos: (��10�, 0), (�10�, 0) Asíntotas: y � 3x Excentricidad: e � �ca

� � �10�

b) a � 1, b � 3 c � �4 � 1� � �5� �x1

2

� � �y9

2

� � 1

Vértices: (6, 4), (2, 4) Focos: (4 � �5�, 4), (4 � �5�, 4) Asíntotas: y � 4 � �12

�(x � 4) Excentricidad: e � �ca

� � �5��2

O

Y

X4

4

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

O X

Y

FF’

O X

Y

F’ F

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Solucionario

PROBLEMAS

6.51. El techo de una estación de metro tiene forma elíptica tal y como muestra el dibujo.

a) Suponiendo las distancias y el sistema de referencia indicado, halla la ecuación de la elipse del techo y

calcula las coordenadas de los focos.

b) Si dos personas se sitúan una en cada foco y una de ellas habla en cualquier dirección, el sonido rebo-

ta de manera que el ángulo � que forma esta dirección con la tangente es el mismo que el que forma

la dirección rebotada con esa misma tangente. ¿Hacia dónde se dirigirá el sonido rebotado con toda se-

guridad?

c) Comprueba la propiedad anterior suponiendo que la primera persona hable en dirección al punto �4, �9

5��

de la elipse. Para ello calcula la ecuación de la recta correspondiente al sonido rebotado y estudia si pasa

por el otro foco.

a) �2x5

2

� � �y9

2

� � 1 Focos F� (�4, 0) y F (4, 0)

b) Al ser la tangente la bisectriz de dos radios vectores y ser la dirección de salida un radio vector, la direcciónrebotada debe ser el otro radio vector del punto de choque y pasar, por tanto, por el otro foco.

c) Los radios vectores son �Las bisectrices de los radios vectores son ��9x � 4

401y � 36� � (x � 4)

Como la pendiente debe ser negativa, la bisectriz que interesa es 9x � 40y � 36 � 41 (x � 4) ⇒

⇒ 4x � 5y � 25 � 0

Al resolver el sistema � se comprueba que la solución es única �4, �95

�� y que, por tanto, la

bisectriz es tangente a la elipse.

6.52. Los tres tipos de cónicas se pueden definir todos a la vez de la siguiente manera: “Una cónica es el lugar

geométrico de los puntos del plano tales que el cociente de distancias a un punto fijo llamado foco y a una

recta fija llamada directriz es constante”.

Si la constante es menor que la unidad, la cónica es una elipse.

Si la constante es igual a la unidad, la cónica es una parábola.

Si la constante es mayor que la unidad, la cónica es una hipérbola.

Comprueba lo anterior hallando:

a) El lugar geométrico de los puntos del plano tales que el cociente de distancias al punto F(3, 0) y a la

recta x � —23

5— es 0,6.

b) El lugar geométrico de los puntos del plano tales que el cociente de distancias al punto F(5, 0) y a la

recta x � —15

6— es 1,25.

c) En los dos casos anteriores, ¿a qué es igual la constante de la definición?

�2x5

2

� � �y9

2

� � 1

4x � 5y � 25 � 0

PF' �x �

84

� � �9y/5� ⇒ 9x � 40y � 36 � 0

PF x � 4

O X

Y

3m

α

5mP2P1

α

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a) � �35

� ⇒ (5 �(x � 3�)2 � y� 2�)2� (3x � 25)2 ⇒ 25(x 2 � 9 � 6x � y 2) � 9x 2 � 625 � 150x ⇒

⇒ 16x 2 � 25y 2 � 400 ⇒ �2x5

2

� � �1y6

2

� � 1 Elipse

b) � �54

� ⇒ (4 �(x � 5�)2 � y� 2�)2� (5x � 16)2 ⇒ 16(x2 � 25 � 10x � y2) � 25x2 � 256 � 160x ⇒

⇒ 9x 2 � 16y 2 � 144 ⇒ �1x6

2

� � �y9

2

� � 1 Hipérbola

c) La constante coincide con la excentricidad de la cónica.

6.53. Cuando se chuta un balón, la trayectoria que describe el mismo es una parábola. El tipo de parábola de-

pende del ángulo con el que se golpea el balón y de la velocidad inicial con que se lanza el mismo.

Un jugador A ha golpeado un balón hacia su compañero B y ha conseguido las siguientes distancias.

– Altura máxima alcanzada por el balón: 2,75 m.

– Distancia hasta el punto donde el balón ha botado: 12,5 m.

Con estos datos:

a) Escribe la ecuación de la trayectoria tomando una referencia adecuada.

b) Indica las coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de la directriz.

c) Si el jugador B se encuentra a 5 m del A, ¿a qué altura pasa el balón por su vertical?

Tomando como origen el punto A:

(x � 6,25)2 � �p(y � 2,75)

Como debe pasar por el origen: 6,252 � �2p 2,75 ⇒ p � 7,1

a) (x � 6,25)2 � �14,2 (y � 2,75)

b) Vértice: (6,25; 2,75) Foco: (6,25; � 0,8) Directriz: d y � 6,3

c) x � 5 ⇒ (5 � 6,25)2 � �14,2(y � 2,75) ⇒ y � 2,64 metros

6.54. La Tierra gira alrededor del Sol describiendo una elipse en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. El pun-

to en el que la distancia entre la Tierra y el Sol es máxima se denomina afelio, y el punto donde es míni-

ma, perihelio.

Con los datos de la figura, calcula la excentricidad de la órbita de la Tierra e interprétala.

� ⇒ a � 149,5 c � 2,5 ⇒ e � �ca

� �0,0167

La órbita es una elipse muy poco achatada. Es casi una circunferencia.

a � c � 152a � c � 147

�(x � 5�)2 � y� 2���

x � �156�

�(x � 3�)2 � y� 2���

x � �235�

O

Y

X2

2

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Solucionario

6.55. La máxima distancia que separa a la Tierra de la Luna es de 63 veces el radio de la Tierra, y la excentrici-

dad de la órbita que describe la Luna en su movimiento de traslación alrededor de la Tierra es, aproxima-

damente, e � 0,0678.

Calcula la distancia mínima, en kilómetros, que puede separar a la Tierra de la Luna.

Radio de la Tierra: 6357 km.

Mínima distancia entre la Luna y la Tierra: a � c

Máxima distancia entre la Luna y la Tierra: a � c

� ⇒ a � 375 061, c � 25 429 ⇒ a � c � 349 632 km

6.56. En la figura aparece la sección de un faro de un coche con forma parabólica. La bombilla está situada en

el foco y emite rayos en todas las direcciones. Demuestra que la dirección de cualquier rayo rebotado es

paralela al eje de la parábola. ¿Te parece conveniente que las secciones de los faros de los coches tengan

forma parabólica?

Tracemos la recta tangente a la parábola en un punto P. Tracemos la recta que uneP con el foco F de la parábola y la recta PG que pasa por P y es paralela al eje desimetría x de la parábola. Los ángulos a y b que forma la recta tangente en P conlas rectas PF y PG son iguales. Así, la tangente es bisectriz del ángulo entre las rec-tas r y PG, y PG es la dirección del rayo rebotado.

6.57. ¿Para qué valores del parámetro k la ecuación � �1 representa una elipse? Comprueba que

todas esas elipses tienen los mismos focos.

Se tiene que � . Por la relación general de la elipse: c2 � a2 � b2 � 25 � k � (16 � k) � 9 ⇒ c � 3

Por tanto, los focos son (3 , 0) y (�3 , 0).

La ecuación representa una elipse si se cumple que k � 25 y k � 16, es decir si k � 16.

6.58. Un avión de la ONU está lanzando víveres sobre un punto del suelo situado en un campamento de refugia-

dos. Si el avión se mueve a una velocidad de 150 metros por segundo, y la ecuación que relaciona la altu-

ra, h, a la que se encuentra la carga sobre el suelo con el tiempo medido desde que cae del avión es

h � 400 � 4,9 t2

a) Calcula cuánto tiempo tardará la carga en alcanzar el suelo.

b) Determina a qué distancia del punto elegido debe soltar la carga el piloto para que ésta aterrice en el

punto marcado.

Suponemos que la acción del aire es despreciable.

a) Cuando la carga alcanza el suelo, h � 0. Por tanto, 400 � 4,9 t2 � 0 ⇒ t � ��440,90

�� � �2070

� � 28,57.

La carga tarda 28,57 segundos en alcanzar el suelo.

b) Cuando el avión libera la carga, la velocidad de la misma, en la dirección del eje OX, es de 150 m/s. Por tan-to, en 28,57 segundos habrá recorrido 28,57 150 � 12 856,5 metros. Debe soltar la carga a 12 856,5 me-tros del punto indicado.

a2 � 25 � kb2 � 16 � k

y 2

—16�k

x 2

—25 � k

a � c � 63 6357 � 400491

�ca

� � 0,0678a a

c

O

Y

X1

1

P

F

r

G

βα

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PROFUNDIZACIÓN

6.59. Dados los puntos A(2, 3) y B(6, 1), halla la ecuación y describe el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del

plano tales que los vectores AP�� y BP�� son perpendiculares entre sí.

Sea P (x, y) un punto genérico.

� ⇒ AP�� BP�� � (x � 2) (x � 6) � (y � 3) (y � 1) � x 2 � 8x � 12 � y 2 � 4y � 3 � 0 ⇒

⇒ (x � 4)2 � 16 � �y ��12

��2

� �14

� � 15 � 0 ⇒ (x � 4)2 � �y � �12

��2

� �54

� Es decir, se trata de una circunfe-

rencia de centro �4, �12

�� y radio ��25��

6.60. Identifica cada una de las siguientes cónicas y establece sus elementos más importantes.

a) x2 � 4x � 4y � 0 d) 3x2 � 4y2 � 18x � 16y � 31 � 0

b) x2 � y2 � 6x � 10y � 33 � 0 e) 25x2 � 144y2 � 288y � 3744 � 0

c) 9x2 � 4y2 � 24y � 72 � 0

a) (x � 2)2 � 4 � 4y ⇒ (x � 2)2 � 4(y � 1) Parábola abierta hacia arriba y con vértice en el punto (2, �1)

b) (x � 3)2 � 9 � (y � 5)2 �25 � 33 �0 ⇒ (x � 3)2 � (y � 5)2 �1 Circunferencia de centro (�3, 5) y radio 1

c) 9x 2 � 4(y 2 � 6y) � 72 � 0 ⇒ 9x 2 � 4(y � 3)2 � 36 � 72 � 0 ⇒ 9x 2 � 4(y � 3)2 � 36 ⇒ � � 1

Hipérbola centrada en (0, �3) y semiejes a � 2 y b � 3.

d) 3(x2 � 6x) � 4(y2 � 4y) � 31 � 0 ⇒ 3(x � 3)2 � 27 � 4 (y � 2)2 � 16 � 31 � 0 ⇒ 3(x � 3)2 � 4(y � 2)2 � 12

⇒ �(x �4

3)2

� � �(y �

32)2

� � 1. Es una elipse centrada en (3, �2) y semiejes a � 2 y b � �3�

e) 25x 2 � 144 (y � 1)2 � 144 � 3744 � 0 ⇒ � �(y �

251)2

� � 1. Hipérbola de centro (0, 1) y semiejes

a � 12 y b � 5.

6.61. Calcula los puntos de intersección de las siguientes parejas de cónicas y verifica los resultados observando

sus gráficas.

a) —1

x

6

2

— � —1

y

2

2

— � 1 con —1

x

0

2

— � —1

y

5

2

— � 1 c) 9x2 – 4y2 � 36 con x2 � y2 � 43

b) —1

x

6

2

— � —1

y

2

2

— con x2 � y2 – 6x – 1 � 0 d) —1

x

6

2

— � —6

y

4

2

— con y2 – 36x � 144 � 0

a) � ⇒ (2, 3) (�2, 3) (2, �3) (�2, �3)

b) � ⇒ (2, 3) (2, �3)

c) � ⇒ (4, 3�3�) (4, �3�3�) (�4, 3�3�) (�4, �3�3�)

d) � ⇒ (4, 0) (5, 6) (5, �6)�1x6

2

� � �6y4

2

� � 1

y 2 � 36x � 144 � 0

9x 2 � 4y 2 � 36x 2 � y 2 � 43

�1x6

2

� � �1y2

2

� � 1

x 2 � y 2 � 6x � 1 � 0

�1x6

2

� � �1y2

2

� � 1

�1x0

2

� � �1y5

2

� � 1

x 2

�144

(y � 3)2

�9

x 2

�4

AP�� � (x � 2, y � 3)BP�� � (x � 6, y � 1)

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

O

Y

X2

2

O

Y

X2

2

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Solucionario

6.62. Halla las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo de vértices A(0, 1), B(3, –3) y C(4, 4).

Se trata de un triángulo isósceles y rectángulo.

Circunferencia circunscrita:

El circuncentro estará situado en el punto medio de la hipotenusa: T ��72

�, �12

��.�x � �

72

��2

� �y � �12

��2

� �225�

Circunferencia inscrita:

Bisectriz del ángulo A:

AT �7x

� � �y

��

11

� ⇒ � x � 7y � 7 ⇒ x � 7y � 7

Bisectriz del ángulo C: �3x � 4

5y � 4� � � ⇒ (3�2� � 7) x � (4�2� � 1) y � 4�2� � 24 � 0

Incentro: � ⇒ I �7 � �7�

22�

�, ��22��� Radio: 5 � �

5�2

2��

�x � 7 � �7�

22�

��2

� �y � ��22���2

� �5 � �5�

22�

��2

6.63. Determina las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre las rectas:

r x � y � 2 � 0, s x � y � 12, t x � 4y � 18

Los vértices A(5, 7), B(2, 4) y C(10, 2), puntos de intersección entre las rectas, determinan un triángulo rectán-gulo.

Circunferencia circunscrita:

El circuncentro estará situado en el punto medio de la hipotenusa: T(6, 3) y el radio será la distancia de T a B,r = �17�, con lo que la circunferencia circunscrita es (x � 6)2 � (y � 3)2 � 17

Circunferencia inscrita:

Bisectriz del ángulo A: � � ⇒ x � 5

Bisectriz del ángulo B: � �

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las bisectrices:

� � ⇒ � ⇒ y � � �53 �

15�34�� ⇒

Incentro: �5, �53 �

15�34���.

Radio de la circunferencia inscrita: d(I, r) � � � �26�2�

1�5

�17�� � R.

Así la ecuación de la circunferencia es: (x � 5)2 � �y � �53 �

15�34���2

� �1369 �

22552 �34��

52 � �34���15�2�

�5 � �53 �

15�34�� � 2 �

�2�

13�2� � 3�17���4�2� � �17�

13 � 4y��

�17�3 � y�

�2�5 � 4y �18��

�17�5 � y � 2��

�2�

x � 4y � 18��

�17�x � y � 2��

�2�

x � y � 12��

�2�x � y � 2��

�2�

x � 7y � 7

(3�2� � 7) � (4�2� � 1) y � 4�2� � 24 � 0

7x � y � 24��

5�2�

O

Y

X1

1

O

Y

X1

1

A

B

C

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6.64. Halla las longitudes de las cuerdas comunes a la parábola y 2 � 2x � 4 y la elipse 2x 2 � y 2 � 8.

Primero se hallan los puntos comunes a las dos cónicas:

Puntos comunes: � ⇒ 2x 2 � 2x � 4 � 8 ⇒ x 2 � x � 2 � 0 ⇒ �Los puntos comunes son: A (1, �6�) B (1, ��6�), C (�2, 0).

Las longitudes pedidas serán las distancias entre las puntos anteriores:

|AB�� | � �12� � 2�3�; |AC�� | � �9 � 6� � �15�; |BC�� | � �9 � 6� � �15�

6.65. Calcula las rectas tangentes a la elipse de ecuación � � 1, cuya pendiente sea igual a 1. Halla los

puntos de tangencia correspondientes.

Deben ser rectas de la forma y � x � k � 0.

� ⇒ �1x6

2

� � �(x �

4k)2

� � 1 ⇒ x 2 � 4x 2 � 4k 2 � 8xk � 16 ⇒ 5x 2 � 8kx � 4k 2 � 16 � 0

Esta última ecuación de segundo grado debe tener una única solución. Su discriminante ha de ser nulo:

� 64k2 � 20(4k2 � 16) � 0 ⇒ �16k2 � 320 � 0 ⇒ k � �20� ⇒ �

6.66. Calcula las rectas tangentes a la hipérbola de ecuación x 2 � 4y 2 � 4, cuya pendiente sea igual a �1.

Calcula los puntos de tangencia.

Deben ser rectas de la forma y � x � k � 0.

� ⇒ �x4

2

� � (x � k)2 � 1 ⇒ x 2 � 4x 2 � 4k2 � 8xk � 4 ⇒ 5x 2 � 8kx � 4k2 � 4 � 0

Esta última ecuación de segundo grado debe tener una única solución. Su discriminante ha de ser nulo:

� 64k2 � 20 (4k2 � 4) � 0 ⇒ �16k2 � 80 � 0 ⇒ k � �5� ⇒ �Los puntos de tangencia se calculan a partir de las soluciones de la ecuación de segundo grado. Las solucionesson:

x � ��8

1�0

5�� � �

�45�5�� ⇒ y � �

4�5

5�� � �5� � �

��5

5�� ⇒ P ���4

5�5��, �

��5

5����

x � �81�05�

� � �4�

55�

� ⇒ y � ��4

5�5�� � �5� � �

�55�� ⇒ Q ��4�

55�

�, ��55���

y � x � �5� � 0y � x � �5� � 0

�x4

2

� � y 2 � 1

y � x � k � 0

y �x � �20� � 0y � x � �20� � 0

�1x6

2

� � �y4

2

� � 1

y � x � k � 0

y2

—4

x 2

—16

x � 1, y � �6�x � �2, y � 0

y 2 � 2x � 42x 2 �y 2 � 8

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Solucionario

6.67. Al girar una hipérbola equilátera, x2 � y 2 � a2, 45�, según lo mostrado en las siguientes figuras, las asínto-

tas de la hipérbola coinciden con los ejes de coordenadas. Demuestra, utilizando las nuevas coordenadas

de los focos y la definición de hipérbola como lugar geométrico, que respecto de estos nuevos ejes la ecua-

ción de la hipérbola se escribe en la forma xy � —a

2

2

—.

Las coordenadas de los nuevos focos serán F(a, a) y F�(�a, �a).

Por la definición de hipérbola:

�(x � a�)2 � (�y � a�)2� � �(x � a�)2 � (�y � a�)2� � 2a ⇒ �x2 � y�2 � 2�xa ��2ya �� 2a2� �

� 2a � �x2 � y�2 � 2�xa ��2ya �� 2a2�

Elevando al cuadrado:

x2 � y2 � 2xa � 2ya � 2a2 � 4a2 � x2 � y2 � 2xa � 2ya � 2a2 � 4a2 �x2 � y�2 � 2�xa ��2ya �� 2a2� ⇒

x � y � a � �x2 � y�2 � 2x�a � 2�ya � 2�a2� ⇒ x2 � y2 � a2 � 2xy � 2xa � 2ya � x2 � y2 � 2xa � 2ya �2a2 ⇒

2xy � a2 ⇒ xy � �a2

2

6.68. Dada la hipérbola equilátera xy � 2, calcula el área del triángulo formado por los dos ejes de coordenadas

y la tangente a la hipérbola en el punto P(1, 2). Comprueba si esta área es independiente del punto P ele-

gido.

La recta debe ser de la forma y � mx � n.

� ⇒ �2x

� � mx � n ⇒ mx 2 � nx � 2 � 0

Esta última ecuación de segundo grado debe tener una única solución. Su discriminante ha de ser nulo:

� n2 � 8m � 0

Como la recta pasa por (1, 2), se tiene � ⇒ n2 � 8(2 � n) � 0 ⇒ �La recta es y � –2x � 4. Dicha recta corta a los ejes en los puntos (0, 4) y (2, 0), por lo que el área del

triángulo es A � �b

2 h� � 4.

En el caso genérico se tiene � ⇒ y � ��n8

2

� x � n � 0. Dicha reta corta a los ejes en los puntos

(0, n) y ��8n

�, 0�, por lo que el área del triángulo queda: A � �b

2 h� � � 4. El área es independiente del pun-

to elegido.

n �8n

2

n2 � 8m � 0y � mx � n

n � 4m � �2

n2 � 8m � 02 � m � n

xy � 2y � mx � n � 0

FF’O X

Y

XO

Y

F

F’

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6.69. Un segmento AB de longitud 5 unidades se desliza de forma que el extremo A siempre está sobre el eje de

ordenadas, y el extremo B, sobre el de abscisas.

a) Determina el lugar geométrico que describe el centro del segmento a lo largo de

su deslizamiento.

b) Calcula el lugar geométrico que describe el punto del segmento que dista 2 uni-

dades de A y 3 de B.

a) Sean A(0, a) y B(b, 0), de forma que a2 � b2 � 5.

Sea X(x, y) un punto genérico del lugar geométrico pedido ⇒ (x, y) = ��b2

�, �2a

�� ⇒ �Como a2 � b2 � 5 ⇒ 4y 2 � 4x 2 � 25 Circunferencia de centro el origen y radio �

52

b) De nuevo sean A(0, a) y B(b, 0) a2 � b2 � 5.

El punto ��25b�, �

35a�� está situado a 2 unidades de A y 3 de B.

Sea X(x, y) un punto genérico del lugar pedido ⇒ (x, y) � ��25b�, �

35a�� ⇒ �

Como a2 � b2 � 5 ⇒ �25

9y 2

� � �25

4x 2

� � 25 ⇒ �x4

2

� � �y9

2

� Elipse con a � 3 b � 2 y eje mayor situado en el ejede ordenadas.

b � �52x�

a � �53y�

b � 2xa � 2y

O X

Y

P

A

B

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Solucionario

ACTIVIDADES INICIALES

7.I. Clasifica los siguientes números, diciendo a cuál de los conjuntos numéricos pertenece (entendiendo como

tal el menor conjunto).

a) —1

3

0— b) 6 c) �3 d) �2� e) —

2

10— f) �

a) Racional b) Natural c) Entero d) Irracional (real) e) Entero f) Irracional (real)

7.II. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes vectores dados en coordenadas.

a) u�� � (�1, 2) b) v�� � (�1, �1) c) w�� � (2, �1)

a) �u�� � � �(�1)2�� 22� � �5�; arg u�� � arc tg ��21� � 116�33�

b) �v�� � � �(�1)2�� (�1�)2� � �2�; arg v�� � arc tg ���

11� � 225�

c) w�� � �22 ��(�1)2� � �5�; arg w�� � arc tg ��21� � 333�26�

7.III. Calcula las coordenadas de un vector de módulo 5 y de argumento —2

3

�— radianes.

v�� � 5�cos �23��, sen �

23��� � ��

�25�, �

5�2

3���

EJERCICIOS PROPUESTOS

7.1. Halla el conjugado, el opuesto y el módulo de cada uno de los siguientes números complejos.

a) 3 � i b) �2 � �2�i c) �5 d) �3�i

7.2. Representa en el plano complejo el conjunto A = {z � C: �z � � 2}.

7 Números complejos

z� �z �z �

a) 3 � i 3 � i �3 � i �32 � (��1)2� � �10�b) �2 � �2�i �2 � �2�i 2 � �2�i �(�2)2�� (�2�)2� � �6�c) �5 �5 5 5

d) �3�i ��3�i ��3�i �3�

O X

Y

i

1

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7.3. Dados los números complejos z � (5 � 7i) y z� � (��3� � 2i), halla:

a) z � z� c) z � z� � z e) 2z � 5 z�b) z � z� d) z��1 f) z � z�

a) z � z� � (5 � 7i) � (��3� � 2i) � 5 � �3� � 9i

b) z � z� � (5 � 7i) � (��3� � 2i) � 5 � �3� � 5i

c) z z� z � [�5�3� � 14 � (10 � 7�3�)i] (5 � 7i) � 24�3� � 140 � (70�3� � 48)i

d) z��1 � �z1�� � �

��3�1

� 2i� � �

��3

3��

�4

2i� � �

��3�7

� 2i�

e) 2z � 5 z� � 2(5 � 7i) � 5(5 � 7i) � �15 � 49i

f) z z� � (5 � 7i) (��3� � 2i) � � 5�3� � 14 � (10 � 7�3�)i

7.4. Calcula m y n para que sea cierta la igualdad: (3m � 2i) � (5 � 2ni) � 2 � 6i

(3m � 2i) � (5 � 2ni) � 3m � 5 � (2 � 2n)i � 2 � 6i

� ⇒ � ⇒

7.5. Efectúa las siguientes operaciones con números complejos:

a) —�

4

2

5

i

i— c) i 1353 e) �—3�

2

3�— � —3

2

i—�

3

b) —i7 �

2i

i�7

— d) (1 � 2i)5 f) (3� � i�)�2

a) ���42

��

5ii

� � � �153� � �

65

� i

b) �i7 �

2ii�7

� � � � ��i 2

2i�2

1� � �

�22� � �1

c) i 1353 � i 4 338 � 1 � i

d) (1 � 2i)5 � 15 � 5 2i � 10 (2i)2 � 10 (2i)3 � 5 (2i)4 � (2i)5 � 1 � 10i � 40 � 80i � 80 � 32i �

� 41 � 38i

e) ��3�2

3�� � �

32i

��3

� ��3�2

3���

3

� 3��3�2

3���

2

�32i

� � 3�3�

23�

� ��32i

��2

� ��32i

��3

� �881��3� � �

2483

� i � �881��3� � �

287� i � �

2186

� i � 27i

f) (3� � i�)�2 � �(3 �

1i)2� � �

8 �1

6i� � �

684

��

63i6

� � �225� � �

530� i

�i � �1i�

�2i

i 3 � �i13�

�2i

(�4 � 5i)(�2 � i)���(�2 � i)(�2 � i)

m � �73

n � �43m � 7

2n � �83m � 5 � 2

2 � 2n � �6

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Solucionario

7.6. Escribe de todas las formas posibles los siguientes números complejos.

a) i b) 4315 c) 2 (cos 120 � i sen 120) d) �—�2

2�— � —�2

2�— i

a) i � 190� � 1(cos 90� � i sen 90�)

b) 4315� � 4 (cos 315° � i sen 315°) � 2�2� � 2�2�i

c) 2(cos 120� � i sen 120�) � �1 � �3�i � 2120�

d) z � ���22�� � �

�22�� i; �z � � ���

�22���

2

� ���2

2���

2

� 1; arg z � 225� z � 1225� � cos 225� � i sen 225�

7.7. Dados los números complejos z1 � �3�3� � 3i, z2 � �i y z3 � �1 � i

a) Pasa a forma trigonométrica y polar cada uno de los números complejos anteriores.

b) Calcula z � z1 � z2 � z3. Expresa en forma trigonométrica y polar el número complejo z.

Calculamos el módulo y el argumento de cada uno de los números dados.

�z1 � � �(3�3�)2� � 32� � 6 arg(z1) � arc tg ��3�

3

3�� � 150�

�z2 � � 1 arg(z2) � 270�

�z3 � � �12 � 1�2� � �2� arg(z3) � arc tg �11

� � 225�

a) z1 � �3�3� �3 i � 6150� � 6(cos 150� � i sen 150�)

z2 � i � 1270� � cos 270� � i sen 270�

z3 � �1 �i � �2�225� � �2�(cos 225� � i sen 225�)

b) z � z1 z2 z3 � (�3�3� � 3i) (�i) (�1 � i) � �3 � 3�3� � (3�3� � 3)i

En forma polar: z � z1 z2 z3 � 6150� 1270� �2�225� � 6�2�645� � 6�2�285� � 6�2�(cos 285� � i sen 285�)

Se comprueba que �z � � �(3 � 3��3�)2�� (3�3��� 3)2� � 6�2� y arg (z) � arc tg �

3

3

3

3

��

3�3�

� � 285�

7.8. Realiza las siguientes operaciones.

a) 630 � 2120 c) 630 : 2120 e) (�3�2� � 3�2�i)4

b) 4—�2

— � 5—�4

— d) 4—�2

— : 5—�4

— f) —260�

3

4

4

0�

5100�—

a) 630� 2120� � 12150�

b) 4��

2� 5

��

4�� 20

�34��

c) 630� : 2120� � 3�90� � 3270�

d) 4��

2�: 5

��

4�� ��

45

����

4�

e) (�3�2� � 3�2�i)4� (6135�)

4 � 1296540� � 1296180�

f) �260�

3

4

40�

5100�� � 30120�

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7.9. Halla el valor de para que el cociente 60 : 2—�4

— sea:

a) Un número real positivo. b) Un número real negativo. c) Un número real imaginario puro positivo.

a) � ��4

� � 0 ⇒ � ��4

� b) � ��4

� � � ⇒ � �54�� c) � �

�4

� � ��2

� ⇒ � �34��

7.10. Calcula y representa las raíces sextas de �64.

�64 � 64180� → �6

64180�� � �6

64��180� �

6360�k�

� 230��60�k, para k � 0, 1, 2, 3, 4, 5

Las raíces son 230�, 290�, 2150�, 2210�, 2270�, 2330�

7.11. Halla las raíces cúbicas del complejo �2�3� � 2i.

Sea z � �2�3� � 2i; �z � � �(2�3�)2� � 22� � 4; arg z � arc tg ��2

2

�3�� � 150�

Por tanto, z � 4120� �3�2�3�� � 2i� � �

34150�� � �

7.12. Calcula y representa las siguientes raíces.

a) �3

�2 �� 2i� b) �5 —1

1

i

i—

a) �3

�2 �� 2i� � �3 (�8�135�)� = �2��135�+3360�k�

� �

b) �5 �11

��

ii

� = �5 ���

2�2�

3

4

1

5

5

��� � �

51270�� � 1

�270��

5360�k�

� �7.13. Resuelve la ecuación: z3 � 2z2 � 4z � 8 � 0.

Si tiene raíces enteras, serán divisoras del término independiente. Por tanto, probaremos para ±1, ±2, ±4, ±8. z � 2 es una raíz, ya que 23 � 2 22 � 4 2 � 8 � 0.

Si dividimos la ecuación inicial por el binomio z � 2, obtenemos: z3 � 2z2 � 4z � 8 � (z � 2)(z2 � 4) � 0.

Luego las raíces son: z1 � 2, z2 � ���4� � 2i y z3 � ���4� � �2i.

7.14. Halla todas las raíces reales y complejas de la ecuación z4 � 16 � 0.

z4 � 16 ⇒ z � �4

16� � �4

160�� � 2�0��36

40� k� �

20� � 2 � z1

290� � 2i � z2

2180� � �2 � z3

2270� � �2i � z4

154�

1126�

1198�

1270�

1342�

�2�45�

�2�165�

�2�285�

�3

4� 50�

�3

4� 170�

�3

4� 290�

O X

Y

i

1

230°

290°2150°

2330°2270°

2210°

O X

Y

i1

245°2165°

2285°

O X

Yi

1

154°1126°

1198° 1342°1270°

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Solucionario

7.15. Dada la ecuación z6 � 1 � 0, ¿se puede resolver en el conjunto de los números reales? Halla todas las solu-

ciones reales y complejas.

No se puede resolver en el conjunto R.

z6 � �1; la unidad negativa es un complejo que tiene módulo 1 y argumento 180�. Por tanto:

z � �6

�1� � �6

1180�� � 1�180��

6360�k�

130� � 1(cos 30� � i sen 30�) � ��23�� � �

12

� i � z1 1210� � 1(cos 210� � i sen 210�) � ���23�� � �

12

� i � z4

190� � 1(cos 90� � i sen 90�) � i � z2 1270� � 1(cos 270� � i sen 270�) � �i � z5

1150� � 1(cos 150� � i sen 150�) � ���23�� � �

12

� i � z3 1330� � 1(cos 330� � i sen 330�) � ��23�� � �

12

� i � z6

EJERCICIOS

Números complejos en forma binómica

7.16. Representa los afijos de los siguientes números complejos:

a) 5 � 7i d) �2i

b) �3 � 4i e) �1 � �2�i

c) 3i f) 7 � 3i

7.17. Escribe en forma binómica los números complejos cuyos afijos

son los puntos A, B, C, D, E y F.

A � 3 � 3i D � �1 � iB � i E � �3iC � �3 � i F � 5 � i

7.18. Escribe los complejos opuestos de los siguientes números complejos.

a) 2 � 7i c) 3 � 11i e) �5i

b) � —5

2— � 4i d) 7 f) �2� � �3�i

a) �2 � 7i c) �3 � 11i e) 5i

b) ��52

� � 4i d) �7 f) ��2� � �3�i

7.19. Halla los conjugados de los siguientes complejos.

a) 3 � 2i c) � —1

3— � �2�i e) 21 � —

1

5— i

b) �7 � 5i d) �5i f) 3i

a) 3 � 2i c) � �13

� � �2�i e) 21 � �15

� i

b) �7 � 5i d) 5i f) �3i

(5 _ 7i)

(_ 3 + 4i)( 3i) (7 + 3i)

O

Y

i1 X(_ 1 _ i 2) (_ 2i)

i

O X

A

B

D

E

F

C

Y

1

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7.20. Dado el número complejo z � �1 � i:

a) Calcula el módulo de los siguientes complejos: z, �z, z�, �z�, iz, �iz, i z�, �i z�.

b) Representa sobre el plano los afijos de los complejos del apartado a.

a) En todos los casos, el módulo es el mismo que �z � � �2�. b)

7.21. Calcula las siguientes sumas.

a) (2 � 3i) � (�2 � 6i) c) �—3

2— � i� � ��2 � —

1

2— i� e) i � (2 � 5 i)

b) (6 � 4i) � (�3 � 2i) d) (�3� � 2i) � (1 � 5i) f) 7 � (�10 � 3i)

a) (2 � 3i) � (�2 � 6i) � 3i d) (�3� � 2i) � (1 � 5i) � (�3� � 1) � 3i

b) (6 � 4i) � (�3 � 2i) � 3 � 2i e) i � (2 � 5i) � 2 � 6i

c) ��32

� � i� � ��2 � �12

� i� � ��21� � �

32

� i f) 7 � (�10 � 3i) � �3 � 3i

7.22. Halla las siguientes diferencias.

a) (2 � 3i) � (�2 � 6i) c) ��3 � —1

2— i� � �—

1

3— � —

1

7— i� e) (2i � 3) � �7 � —

1

5— i�

b) (6 � 4i) � (�1 � 2i) d) (�3� � 2i) � (1 � 5i) f) �3i � (2i � 3)

a) (2 � 3i) � (�2 � 6i) � 4 � 9i d) (�3� � 2i) � (1 � 5i) � (�3� � 1) � 7i

b) (6 � 4i) � (�1 � 2i) � 7 � 6i e) (2i � 3) � �7 � �15

� i� � �10 � �151� i

c) ��3 � �12

� i� � ��13

� � �17

�i� � ��

310� � �

194� i f) �3i � (2i � 3) � �3 � 5i

7.23. Realiza los siguientes productos.

a) (2 � 3i) � (�2 � 6i) c) ��3 � —1

2— i� � �—

1

3— � —

1

7— i� e) (2i � 3) � �7 � —

1

5— i�

b) (6 � 4i) � (�1 � 2i) d) (�3� � 2i) � (1 � 5i) f) �3i � (2i � 3)

a) (2 � 3i) (�2 � 6i) � 14 � 18i d) (�3� � 2i) (1 � 5i) � �3� � 10 � (2 � 5�3�)i

b) (6 � 4i) (�1 � 2i) � 2 � 16i e) (2i � 3) �7 � �15

� i� � ��1057

� � �657� i

c) ��3 � �12

� i� ��13

� � �17

�i� � ��1134� � �

2452� i f) �3i (2i � 3) � 6 � 9i

_ z = iz

z = _ iz _ z = _ iz

z = iz

O

Y

i

1 X

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Solucionario

7.24. Calcula el inverso de los siguientes complejos.

a) 2 � 5i c) �4 � 2i e) —1

3— � —

1

2— i

b) �7 � 3i d) �7i f) �2� � �3� i

a) �2 �

15i

� � �(2 �

25i

�)(2

5i� 5i)

� � �229� � �

259� i

b) ��7

1� 3i� � � ��

578� � �

538� i

c) ��4

1� 2i� � � ��

15

� � �110� i

d) ��17i� � �

�7i

i i� � �

17

� i

e) � � �1123� � �

1183� i

f) ��2� �

1

�3� i� � � �

�52�� � �

�53�� i

7.25. Calcula los siguientes cocientes.

a) (2 � 3i) : (�2 � 6i) c) ��3 � —1

2— i� : �—

1

3— � —

1

7— i� e) (2i � 3) : �7 � —

1

5— i�

b) (6 � 4i) : (�1 � 2i) d) (�3� � 2i) : (1 � 5i) f) �3i : (2i � 3)

a) ��22��

36ii

� � � ��1210� � �

230� i

b) ��61��

42ii

� � � ��154� � �

85

� i

c) ��3 � �12

� i� : ��13

� � �17

� i� � ��914156

� � �213116

� i

d) ��13�

��

52ii

� � �(�

(13�

52i)(i)1(1

5i5)i)� � �

�26

3�� � �

153� + ��52

�63�

� � �113�� i

e) � � ��1521256

� � �1326256

� i

f) �2i

��3i

3� � �

(3��3i

2(3i)(

�3 �

2i)2i)

� � ��163� � �

193� i

7.26. Halla las siguientes potencias de i.

a) i 37 c) i 3259

b) i 214 d) i �23

a) i 37 � i 4 9�1 � i 1 � i c) i 3259 � i 4 814�3 � i 3 � �i

b) i 214 � i 53 4�2 � i 2 � �1 d) i�23 � �i123� � �

i 4

15�3� � �

i13� � �

�1

i� � �

�ii2� � i

(2i � 3)�7 � �15

� i����

�7 � �15

� i��7 � �15

� i�2i � 3�7 � �

15

� i

(6 � 4i)(�1 � 2i)���(�1 � 2i)(�1 � 2i)

(2 � 3i)(�2 � 6i)���(�2 � 6i)(�2 � 6i)

�2� � �3� i���(�2� � �3� i)(�2� � �3� i)

�13

� � �12

� i���

��13

� � �12

� i���13

� � �12

� i�1

�13

� � �12

� i

(�4 � 2i)���(�4 � 2i)(�4 � 2i)

�7 � 3i���(�7 � 3i)(�7 � 3i)

Page 162: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

7.27. Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes números complejos.

a) 1 � i b) 2 � 3i c) 1 � i d) �2 � i

a) (1 � i)2 � 1 � 2i � 2i � i2 � 2i

(1 � i)3 � (1 � i)2 (1 � i) � 2i (1 � i) � �2 � 2i

(1 � i)4 � (1 � i)2 (1 � i)2 � 2i 2i � �4

b) (2 � 3i)2 � 4 � 12i � 9 � �5 � 12i

(2 � 3i)3 � (2 � 3i)2 (2 � 3i) � (�5 � 12i) (2 � 3i) � �10 � 36 � 24i � 15i � �46 � 9i

(2 � 3i)4 � (2 � 3i)2 (2 � 3i)2 � (�5 � 12i)2 � 25 � 144 � 120i � �119 � 120i

c) (1 � i )2 � 1 � 2i � i 2 � �2i

(1 � i )3 � (1 � i)2 (1 � i) � �2i (1 � i) � �2 � 2i

(1 � i )4 � (1 � i)2 (1 � i)2 � (�2i) (�2i) � �4

d) (�2 � i)2 � 4 � 4i � i 2 � 3 � 4i

(�2 � i)3 � (�2 � i)2 (�2 � i) � (3 � 4i) (�2 � i) � �6 � 4 � 3i � 8i � �2 � 11i

(�2 � i)4 � (3 � 4i)2 � 9 � 24i � 16i2 � �7 � 24i

7.28. Realiza las siguientes operaciones con complejos.

a) (1 � i)2 : (4 � i) b) —i

19— � 5i 9 c) (i 5 � i�12)3 d) �—2i 5

1

3

i

i 17

—�2

a) �(14

��

ii)2

� � �1 �

42�i �

ii 2

� � �4

2�i

i� � �

(42�i (4

i)(�4 �

i)i)

� � �126

��

81i

� � �127� � �

187� i

b) �i19� � 5i 9 � �

1i� � 5i � �

i12� � 5i � �i � 5i � 4i

c) (i 5 � i�12)3 � �i � �i112��

3

� (i � 1)3 � i 3 � 3i 2 � 3i � 1 � �i � 3 � 3i � 1 � �2 � 2i

d) ��2i 5

1��

3ii 17

��2

� ��21i ��

3ii

��2

� ��1 5�i

i��

2

� �(1

2�5i 2

i)2� � ��

22i5

� � �225� i

7.29. Calcula:

a) (�i)361 b) i�346 c) (�i)�15 d) —i

133— e) (i 3 742 359 768)4 f) —

(�

i)

1�11—

a) (�i)361 � �i 361 � �i 4 90�1 � �i

b) i�346 � �i 3

146� � �

i 4

186�2� � �

i12� � �1

c) (�i)�15 � ��

1i 15� � �

�i 3

1 4�3� � �

�1i 3� � �i

d) �i133� � �

i 4

18�1� � �

1i� � �

�i1� � �i

e) (i 3 742 359 768)4 � 1

f) �(��

i1)11� � �

�i�4

12�3� � �

i13� � i

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Solucionario

7.30. Representa en el plano complejo los conjuntos de números que cumplen las siguientes condiciones.

a) �z � � 3 c) Parte real de z � �5 e) —z

z�— � �1

b) z� � z � 9 d) Parte imaginaria de z � 3 f) —z

z�— � i

a) �z � � 3 Sea z � x � yi ; �z � � �x 2 � y�2� � 3 ⇒ x 2 � y 2 � 9

Es una circunferencia de centro el origen y radio 3.

b) z� z � 9 (x � yi) (x � yi) � 9x 2 � y 2 � 9

Se trata del mismo lugar geométrico que el del apartado anterior.

c) x � �5 Es una recta paralela al eje y.

d) y � 3 Es una recta paralela al eje x.

e) �zz�

� � �xx

��

yyii

� � �1 ⇒ x � yi � �x � yi ⇒ 2x � 0; x � 0. Es el eje y.

f) �zz�

� � �xx

��

yyii

� � i ⇒ x � yi � xi � y ⇒ x� y. Es la bisectriz de los cuadrantes

primero y tercero.

Números complejos en forma polar

7.31. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes números complejos representándolos previamente.

a) 1 � i c) i e) �1 � i

b) 1 � i d) �i f) �1 � i

a) z � 1 � i; �z � � �2�; arg z � 315�

b) z � 1 � i; �z � � �2�; arg z � 45�

c) z � i; �z � � 1; arg z � 90�

d) z � �i; �z � � 1; arg z � 270�

e) z � �1 � i; �z � � �12 � 1�2� � �2�; arg z � 225�

f) z � �1 � i; �z � � �12 � 1�2� � �2�; arg z � 135�

O

i

1

Y

X

O

Y

11 X

c)d)

O

Y

11

X

e)f)

_ 1 + i 1 + i

_ 1 _ i 1 _ i_ i

O

Y

i

1 X

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7.32. Halla el módulo y el argumento de los siguientes números complejos.

a) �3 b) 5i c) �7i d) �3� � i e) 2 � �3�i f) 2 � 2i

a) z � �3; �z � � 3; arg z � 180�

b) z � 5i; �z � � 5; arg z � 90�

c) z � �7i ; �z � � 7; arg z � 270�

d) z � �3� � i ; �z � � �10�; arg z � arc tg ��1

3�� � 30�

e) z � 2 � �3�i; �z � � �7�; arg z � arc tg ���

23�

� � arc tg ���2�3��� � �40� 53� 36,22�

f) z � 2 � 2i; �z � � 2�2�; arg z � arc tg ��22� � 315�

7.33. Calcula las siguientes potencias.

a) (1 � i)5 b) (2 � 2�3�i)2 c) (1 � i)20 d) (2 � 2�3�i)6

a) (1 � i)5 � (�2�45�)5� (4�2�)5 45� � (4�2�)225� � 4�2�(cos 225� � i sen 225�) � 4�2�����

22�

� � i ��22��� � �4 � 4i

b) (2 � 2�3�i)2� 4 � 8�3�i � 4 i 2 3 � 4 � 12 � 8�3�i � �8 � 8�3�i

c) (1 � i)20 � (�2�45�)20 � (�2�)20

20 45� � 1024900� � 1024180º � �1024

d) (2 � 2�3�i)6� (460�)

6 � (46)6 60� � 40960� � 4096

7.34. Calcula las siguientes raíces.

a) �3

�1� c) ��36� e) �6

729i�

b) �4

1 � i� d) �3

�27� f) �4

16(co�s 180� � i s�en 18�0)�

a) �3

�1� � �3

1180�� � � �1 d) �3

�27� � �3

27180�� � � �3

b) �4

1 � i� � �4

�2�45�� � e) �6

729i� � �6

72990�� �c) ��36� � �36� ��1� � ±6i f) �

416(cos� 180��� i se�n 180��)� � �

416180�� �

245�

2135�

2225�

2315�

315�

375�

3135�

3195�

3255�

2315�

�8

2�45�/4

�8

2�405�/4

�8

2�765�/4

�8

2�1125�/4

360�

3180�

3300�

160�

1180�

1300�

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Solucionario

7.35. Halla la potencia (�1 � i)30.

(�1 � i)30 � (�2�135�)30� (�2�)30

30 135� � 215 (cos 4050� � i sen 4050�) � 215 (cos 90� � i sen 90�) �

� 215 (0 � i1) � 215 i � 32 768i

7.36. Sea z � 10 � 10�3�i. Calcula z5 y �4

z�.

�z � � �100 �� 100 � 3� � �400� � 20

� arc tg ��1

100�3�� � arc tg (��3�); � 300�

z5 � (20300�)5 � 205

300� 5 � 205 (cos 1500� � i sen 1500�) � 205��12

� + i ��23��� � 16 105 � 16 105�3� i

�4

z� = �4

20300�� �7.37. Halla la potencia décima del número complejo z � � —

1

2— � i —�

2

3�— , expresando previamente el complejo en forma

polar.

z � � �12

� � i ��23��; �z � � 1; arg z � arc tg � � 120�

z10 � �� �12

� + i ��23���

10

� (1120�)10 � 11200� � 1120� � z

7.38. a) Escribe en forma binómica el número complejo cuyo afijo es el punto A.

b) Multiplica el complejo obtenido por el complejo 190.

c) Multiplica el complejo obtenido en el apartado b por el número complejo 1270. ¿Qué obtienes?

a) zA � �1 � 3i

b) Como 190� � i, se tiene: za 190� � (�1 � 3i) i � �3 � i

c) (�3 � i) (�i) � �1 � 3i � zA

Se obtiene el número complejo inicial, ya que el primer producto equivale a un giro de centro el origen y ángulode 90�, y el segundo producto equivale a un giro de centro el origen y ángulo de 270�. Por tanto, al componerlos dos movimientos se obtiene un giro de centro el origen y amplitud de 360�, es decir, la identidad.

1

i

O X

YA

��23��

��12

�4

20�75�

�4

20�165�

�4

20�255�

�4

20�345�

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7.39. Sea z � �8�3� � 8i. Calcula �5

z� y z4.

�z � � �64 3� � 64� � 16; � arc tg ��

8�8

3�� � arc tg �

�1

3�� � 210�

�5

16�210� � �z4 � (16210�)

4 � 1644 210� � 164 (cos 840� � i sen 840�) � 164�� �

12

� + i ��23��� � �32 768 � 32 768 i

7.40. Halla las raíces cuartas de —i

1

5 �

i

i

3

—.

�i1

5 ��

ii

3

� � �i �1 �

(�ii)

� � �1

2�i

i� � �

(12�i(1

i)(�1 �

i)i)

� � 1 � i � �2�45� → �4

�2�45�� � �8

2��45��

4360�k�

� �7.41. Halla las raíces cúbicas de los siguientes números complejos.

a) —27

2

�3�— � —2

2

7— i b) 4 � 4�3� i c) �2� � �2� i d) 5 � 5i

a) �27

2�3�� � �

227�i � 2730� ⇒ �

32730��n� 360�� � 3

�30��3

360� n�

� {310�, 3130�, 3250�}

b) 4 � 4�3� i � 860� ⇒ �3

830��360�� n� � 2�60��3

360� n�

� {220�; 2140�; 2260�}

c) �2� � �2� i � 245� ⇒ �3

245��360�� n� � {�3

2�15�; �3

2�135�; �3

2�225�}

d) 5 � 5i � 5�2�45� ⇒ �35�2�45���360� n� � �

650��

45��3360� n�

� {�6

50�15�; �6

50�135�; �6

50�255�}

7.42. Un octógono regular inscrito en la circunferencia de radio 3 y centro el origen tiene uno de sus vértices en el

afijo del número complejo 345. ¿Cuáles son los números complejos cuyos afijos ocupan los siete vértices res-

tantes?

(345�)8 = 38

8 45� = 38360� = 38. Los números serán las raíces octavas de 38. Dado que conocemos una de ellas, 345�, para

obtener las demás solo hay que ir aplicando un giro centrado en el origen de ángulo �36

80�� � 45�.

Los números restantes son 390� � 3i, 3135�, 3180� � �3, 3225�, 3270� � �3i, 3315� y 3360� � 3.

�8

2�11�15�

�8

2�101�15�

�8

2�191�15�

�8

2�281�15�

�5

16�42�

�5

16�114�

�5

16�186�

�5

16�258�

�5

16�330�

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Solucionario

7.43. Escribe en forma polar los números complejos cuyos afijos

son los vértices del triángulo equilátero inscrito en la circun-

ferencia de centro el origen O y radio 1 de la figura.

El primer número es 115�. Los otros dos se obtienen mediante giros

de centro O y amplitud �36

30�� � 120�. Por tanto, serán 1135� y 1255�.

7.44. Los afijos de los números complejos z1, z2 y z3 son los vértices de

un triángulo equilátero cuyo incentro es el origen de coordena-

das. Sabiendo que z1 � 1 � i, calcula z2 y z3.

z2 � z1 1120� � (1 � i) 1(cos 120� � i sen 120�) � ��1 �

2�3�

� �

� ��3�

2� 1� i

z3 � z2 1120� � ���1 �2

�3�� � �

�3�2� 1� i�(cos 120� � i sen 120�)

� ��3�

2� 1� � �

��3�2

� 1� i

Cada raíz se obtiene a partir de la anterior sin más que multiplicar por el número complejo de módulo1 y argumento120�, que equivale a un giro de 120�. En forma polar, z1 � �2�45�, z2 � �2�165�, z3 � �2�285�.

7.45. Se considera el complejo 2 � 2�3� i; se gira 45º alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a

las agujas del reloj. Halla el complejo obtenido después del giro.

2 � 2�3� i � 460�; 460� 145� � 4105� � 4(cos 105� � i sen 105�) � (�2� � �6�) � (�6� � �2�)i

Resolución de ecuaciones

7.46. Encuentra las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son las siguientes.

a) i, �1 b) 1 � i, 1 � i c) 3 � 2i, 3 � 2i d) �2�45°, �2�315°

a) (x � i) (x � i) � 0; x2 � 1 � 0 c) (x � 3 � 2i) (x � 3 � 2i) � 0; x2 � 6x � 13 � 0

b) (x � 1 � i) (x � 1 � i) � 0; x2 � 2x � 2 � 0 d) �2�45� � 1 � i; �2�315� � 1 � i, como en b

7.47. Para cada uno de los siguientes números complejos, encuentra una ecuación cuadrática con coeficientes rea-

les de la que sea solución:

a) �5�i b) 2 � i c) �1 � 3i d) —1

2— � —

1

3— i

En todos los casos, la otra solución es el conjugado del número dado.

a) (x � �5�i)(x � �5�i) � 0 → x2 � 5 � 0

b) (x � 2 � i)(x � 2 � i) � 0 → x2 � 4x � 5 � 0

c) (x � 1 � 3i)(x � 1 � 3i) � 0 → x2 � 2x � 10 � 0

d) �x � �12

� � �13

� i��x � �12

� � �13

� i� � 0 → 36x2 � 36x � 13 � 0

i

O X

Y

115°

z2

z3

z1

i

O X

Y

z1 = 1 + i

1

z2

z3

Page 168: 1 Números reales · 1.11. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5 b) — 4 7 — c) 2d) — 1 5 2 — 1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados

7.48. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) x2 � 16 � 0 c) x2 � 6x � 25 � 0

b) x2 � 4x � 53 � 0 d) 16x2 � 16x � 13 � 0

a) x2 � 16 � 0 ⇒ � c) x2 � 6x � 25 � 0 ⇒ �

b) x2 � 4x � 53 � 0 ⇒ � d) 16x2 � 16x � 13 � 0 ⇒ �7.49. Resuelve las siguientes ecuaciones de tercer grado.

a) x3 � 8 c) x3 � 8x2 � 21x � 20 � 0

b) x3 � �i d) 2x3 � 14x2 � 32x � 20 � 0

Usando la regla de Ruffini se halla la raíz real, y se resuelve el polinomio de segundo grado restante.

a) x3 � 8 ⇒ �

b) x3 � �i ⇒ x � �3

�i� � �1270�� ⇒ �c) x3 � 8x2 � 21x � 20 � 0 ⇒ �d) 2x3 � 14x2 � 32x � 20 � 0 ⇒ �

7.50. Resuelve las siguientes ecuaciones de cuarto grado.

a) x4 � �3 c) x4 � 2x3 � 6x2 � 2x � 5 � 0

b) x4 � 16 d) x4 � 4x3 � 4x2 � 4x � 5 � 0

a) x4 � �3 ⇒ x � �4

�3� � �4

3180�� � �4

3��180��3460� k�

Raíces: �4

3����22�� � �

�22�� i�, �4

3����22�� � �

�22�� i�, �4

3�����22�� � �

�22�� i�, �4

3�����22�� � �

�22�� i�

b) x4 � 16; x � �4

16� � �4

160�� � 2�0��36

40� k�

x � 2; x � �2; x � 2i; x � �2i

c) x4 � 2x3 � 6x2 � 2x � 5 � 0

Dado que no tiene raíces reales, se puede dar la indicación de probar con x � i.

x � 1 � 2i x � 1 � 2i x � i x � �i

d) x4 � 4x3 � 4x2 � 4x � 5 � 0; x � 2 � i; x � 2 � i; x � �1; x � 1

7.51. La ecuación 12x3 � 49x2 � 88x � 7 � 0 tiene exactamente tres soluciones. ¿Pueden ser las tres imaginarias?

No, ya que si z es una solución, el conjugado de z también lo es. El número de raíces complejas debe ser par.

x � �3 � ix � �3 � ix � �1

x � 2ix � 2 � ix � 4

190� � cos 90� � i sen 90� � i

1210� � cos 210� � i sen 210� � ���23�� � �

12

� i

1330� � cos 330� � i sen 330� � ���23�� � �

12

� i

x � �1 � �3� i

x � �1 � �3� i

x � 2

x � � �12

� � �34

� i

x � � �12

� � �34

� i

x � 2 � 7ix � 2 � 7i

x � �3 � 4ix � �3 � 4i

x � 4ix � �4i

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Solucionario

7.52. Halla todas las soluciones reales e imaginarias de estas ecuaciones.

a) z8 � 1 � 0 c) z3 � 1 � 0 e) z6 � 2i � 0

b) z2 � 2z � 2 � 0 d) z6 � 28z3 � 27 � 0 f) z4 � 5 � 5i � 0

a) z8 � 1 � 0; z � �8

1� � �8

10��

�z1 � 10 � 1; z2 � 145� � ��22�� � i ��

22��; z3 � 190� � i; z4 � 1135� � ��

�22�� � i ��

22��; z5 � 1180� � �1;

z6 � 1225� � ���22�� � i ��

22��; z7 � 1270� � �i; z8 � 1315� � �

�22�� � i ��

22��

b) z2 � 2z � 2 � 0; z1 � 1 � i; z2 � 1 � i

c) z3 � 1 � 0; z � �3

�1� � �3

1180�� �z1 � 160� � �12

� � ��23�� i; z2 � 1180� � �1; z3 � 3300� � �

12

� � ��23�� i

d) z6 � 28z3 � 27 � 0; z3 � w; w2 � 28w � 27 � 0

w � z3 � 27; z � �3

27� �z1 � 30� � 3; z2 � 3120� � � �32

� � 3��23�� i; z3 � 3240� � � �

32

� � 3��23�� i

w � z3 � 1; z � �3

1� �z4 � 10� � 1; z5 � 1120� � � �12

� � ��23�� i; z6 � 1240� � � �

12

� � ��23�� i

e) z6 � 2i � 0; z6 � 2i; z � �6

2� iz � �

6290��; {z1 � �

62�15�; z2 � �

62�75�; z3 � �

62�135�; z4 � �

62�195�; z5 � �

62�255�; z6 � �

62�213�

f) z4 � 5 � 5i � 0; z4 � 5 � 5i; z � �4

5 � 5�i�z � �

450315�� {z1 � �

450�78�45�; z2 � �

450�168�45�; z3 � �

450�258�45�; z4 � �

450�348�45�

7.53. Comprueba que �2� i y 2 � i son soluciones de la ecuación x4 � 4x 3 � 7x2 � 8x � 10 � 0 y encuentra las

otras soluciones.

(�2� i)4� 4(�2� i)3

� 7(�2� i)2� 8�2� i � 10 � 4 � 8�2� i � 14 � 8�2� i � 10 � 0

(2 � i)4 � 4(2 � i)3 � 7(2 � i)2 � 8(2 � i) � 10 � (�7 �24i) � (8 � 44i) � (21 � 28i) � (16 � 8i) � 10 � 0

Las otras dos soluciones son los complejos conjugados de �2� i y 2 � i, es decir, ��2� i y 2 � i.

7.54. Resuelve la siguiente ecuación.

ix 2 � (2 � 2i)x � 2 � i � 0

ix 2 � (2 � 2i)x � 2 � i � 0 → x � � �2 � 2i

2�i

��4�� �

ix 2 � (2 � 2i)x � 2 � i � 0 → x � �2 � 2

2ii� 2i� � �

2i �22 � 2� � ��i

�2 � i

2 � 2i � �(2 � 2�i)2 � 4� i (�2 � i�)������2i

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PROBLEMAS

7.55. Halla x para que el cociente —2

x ��

i

i— sea un número complejo cuyo afijo se encuentra en la bisectriz del primero

y tercer cuadrante.

�2x �

�ii

� � �((x2

��

i)i)((xx �

�ii))

� � �2x2

x��

11

� � �xx2

��

21

� i. Los afijos que se encuentran en la bisectriz del primero y tercer cua-

drantes tienen sus coordenadas iguales; por tanto, �2x2

x��

11

� � �xx2

��

21

� ⇒ 2x � 1 � x � 2 ⇒ x � �3

7.56. Calcula x de manera que —1

x �

i

i— sea:

a) Igual a 1 � 2i.

b) Un número real.

c) Un número imaginario puro.

a) �1x �

�ii

� � 1 � 2i ⇒ x � i � (1 � i) (1 � 2i) � 3 � i ⇒ x � 3

b) �1x �

�ii

� � �((1x �

�ii))((11

��

ii))

� � �x �

21

� � �x �

21

� i. Si tiene que ser un número real, �x �

21

� � 0 ⇒ x � �1

c) Si tiene que ser un número imaginario puro, �x �

21

� � 0 ⇒ x � 1

7.57. Calcula el cociente —2

a �

i

i— y determina el valor de a para que el módulo del mismo sea �2�.

�2a �

�ii

� � �((2a �

�ii))((22

��

ii))

� � �2a

5� 1� � �

2 �5

a� i; ��2a

5� 1��

2

� ��2 �5

a��

2

� (�2�)2 ⇒ a � ±3

7.58. El producto de dos números complejos es 4i, y el cubo de uno de ellos, dividido por el otro, —1

4—. Halla los módu-

los y los argumentos de los complejos dados.

r s � 490� → �

�(rs

)3

� � �14

� → ��

� → 4 � 90� � 360� k → � � �0� �

4360�k� � 22� 30� � 90� k

� 67� 30� � 90� k

� � 90� � 360� n3 � � 0� � 360� m

rs � 4 → r(4r3) � 4 → r � 1 → s � 44r3 � s

�rs

3

� � �14

3 � � 0� � 360� m

rs � 4 � � 90� � 360� n

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Solucionario

7.59. Halla dos números cuyo cociente sea imaginario puro y cuya suma sea 5, sabiendo que el módulo del dividendo

es doble del módulo del divisor.

Sean los números complejos z � a � bi y z� � c � di; del enunciado se deduce:

Re��ca ��

bdii

�� � 0 → �c2

a�c

d2� � �c2

b�d

d2� � 0 → ac � bd � 0

(a � bi) � (c � di) � 5 → ��z � � 2�z� � → �a2 � b�2� � 2�c2 � d�2� → a2 � b2 � 4c2 � 4d2

Se opera para dejar una ecuación con una sola incógnita.

a � 5 � c

b � �d

ac � bd � 0 → c(5 � c) � b2 � 0 → b2 � c(5 � c)

a2 � b2 � 4c2 � 4d2 → (5 � c)2 � c(5 � c) � 4c2 � 4c(5 � c) → 25 � 25c → c � 1

a � 5 � 1 � 4

b � �4� � �2

d � �b � �2

Solución: (4 � 2i y 1 � 2i) o (4 � 2i y 1 � 2i)

7.60. Dados los números complejos 2 � mi y 3 � ni, halla los valores que deben tener m y n para que el producto

de los complejos dados sea igual a 8 � 4i.

(2 � mi)(3 � mi) � 8 � 4i → � →

→ � → �

7.61. El producto de dos números complejos es �8. Halla sus módulos y argumentos, sabiendo que uno de ellos es

el cuadrado del otro.

r r�� � � 8 � 8180� ⇒ r r� � 8 � � � 180� � 360� n ⇒

(r)2 � r�� r2 � r� 2 � �

⇒ � Se tienen las parejas de complejos: 260� y 4120�; 2180� y 40�; 2300� y 4240�

7.62. Un cuadrado tiene su centro en el origen de coordenadas y un vértice en el punto (4, 0). Determina los com-

plejos cuyos afijos sean los otros tres vértices.

Los otros afijos son (0, 4), (�4, 0) y (0, �4).

Por tanto, los complejos son 4i, �4, �4i y 4.

r � 2; r� � 4 � 60� � 120� k; � � 120� � 240� k, k � 0, 1, 2

m � �2, n � 1

m � �23

�, n � �3

n � ��3m

2� 4�

m ���3m2

� 4�� � �2 → 3m2 � 4m � 4 � 0

6 � mn � 8 → mn � �23m � 2n � �4

a � c � 5b � d � 0

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7.63. Con la información de la figura, calcula las coordenadas de todos

los vértices del hexágono regular con centro el origen que aparecen

en ella.

Si el vértice A corresponde al complejo zA � �3 � 4i, para obtener losdemás se realizan giros de centro el origen y ángulo

��3

660�� � �60�.

r � �zA � � 5; � arg z � arc tg ��34� � 126�52�

zB � 5�60�, zC � 5�120�, zD � 5�180�, zE � 5�240�, zF � 5�300�

También se puede operar en forma binómica. Por ejemplo,

zB � zA 1�60� � (�3 � 4i)��12

� � ��23�� i� � ��

�23� � 2�3�� � �2 � �

3�2

3���i

7.64. Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 1 � 6i y que el cociente de los mismos es un número

imaginario puro. Además, la parte real de uno de los sumandos es la unidad negativa.

Los complejos serán de la forma a � bi, c � di.

(a � bi) � (c � di) � 1 � 6i → �Re��ca �

�bdii

�� � 0 → ac � bd � 0

Re(a � bi) � �1 → a � �1 → c � 2 → � → � →

→ �Entonces las soluciones son:

z � �1 � (3 � �7�)i y z� � 2 � (3 � �7�)i o bien z � �1 � (3 � �7�)i y z� � 2 � (3 � �7�)i

7.65. Halla dos números complejos z1 y z2 tales que z1 � z2 es imaginario puro, z1 � z2 � �8 y —z

z

1

2

— � 8. (Hay dos solu-

ciones.)

Se resuelve el sistema formado por las dos últimas ecuaciones, y se comprueba qué soluciones cumplen la primeracondición.

� → 8z22 � �8 → z2 � �i → z1 � �8i

Hay dos soluciones: z1 � 8i, z2 � i y z1 � �8i, z2 � �i. En los dos casos aparecen números imaginarios puros, luegosu suma también lo es, por lo que verifican la primera condición.

z1 z2 � �8

�zz

1

2� � 8 → z1 � 8z2

d � 3 � �7� → b � 3 � �7�d � 3 � �7� → b � 3 � �7�

b � 6 � dd(6 � d) � 2 → d 2 � 6d � 2 � 0

b � d � 6�2 � bd � 0

a � c � 1 → c � 1 � ab � d � 6

i

O

AB

C

ED

F X

Y

1

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Solucionario

7.66. Demuestra que �1 � ���3�� � �1 � ���3�� � �2�i.

(�1 � i��3�� � �1 � i��3��)2� 1 � i�3� � 1 � i�3� � 2�(1 � i��3�)(1 �� i�3�)� � 2 � 2�4� � �2

Por tanto, �1 � i��3�� � �1 � i��3�� � ��2� � �2�i

7.67. Sea z � —�

2

1— � —�

2

3�— i.

a) Comprueba que �z � � 1 y que z2 � z�. b) Deduce z3 � 1. c) Calcula z3002.

a) �z � � ����21��

2

� ���2

3���

2

� ��14

� � �34� � �1� � 1, z2 � ��

�21� � �

�23�� i�

2

� �14

� � �34

� i 2 � 2 �12

� ��23�� i �

� ��42� � �

�23�� i � ��

12

� � ��23�� i � z�

b) z3 � z2 z � z� z � �z � � 1

c) z3002 = z3 1000+2 = (z3)1000 z2 � 11000 z� � z� � ��21� � �

�23�� i

7.68. Se multiplican los números complejos de los afijos de un triángulo equilátero de centro el origen por el número

115. Uno de los vértices del triángulo está en el afijo del número 3. ¿Cuáles son los números complejos que

resultan tras el producto?

Si uno de los vértices corresponde a 30�, su transformado será 30� 115� � 315� Los otros vértices transformados se

obtienen aplicando un giro de centro el origen y ángulo �36

30�� � 120�. Se obtienen los números 3135� y 3255�.

7.69*. Se dan los puntos A(1�), B(2��

2�) y C(3�2��

4�) afijos de tres números complejos que determinan un paralelogramo

ABCD. Calcula las coordenadas de D y las del centro del paralelogramo.

Pasamos a cartesianas las coordenadas polares:

A(�1, 0); B(0, 2); C(3, 3)

AB � DC: (1, 2) � (3 � x, 3 � y) ⇒ x � 2; y � 1 D(2, 1)

AC � 2AM: (4, 3) � 2(x � 1, y) ⇒ x � 1; y � �32

� M�1, �32

��

7.70. El origen de coordenadas O y el punto A(2, 1) son vértices consecutivos de un cuadrado. Halla los otros dos

vértices sabiendo que tienen su ordenada positiva.

Para obtener el vértice opuesto de A se aplica un giro de centro el origen y ángulo 90º.

C � (1 � 2i) i � �2 � i � (�2, 1)

El punto restante B puede obtenerse vectorialmente. OB�� � OA�� � OC�� → B � A � C � 2i � (0, 2).

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7.71. La distancia del afijo P de un número complejo al origen es 5. Si se aplica un giro de 90 con centro el origen,

se obtiene un punto P� de abscisa �3. Halla el número complejo cuyo afijo es el punto P.

Sea z � a � bi el número complejo cuyo afijo es el punto P. Del enunciado se deduce:

�z � � 5 → �a2 � b�2� � 5

(a � bi) 190� � (a � bi)i � �b � ai → �b � �3 → b � 3 → a � �4

Por tanto, el número complejo pedido es z � 4 � 3i o z � �4 � 3i.

(Conviene observar que realizar un giro de 90� equivale a multiplicar por el complejo 190�, que es precisamente i).

7.72. Halla el lugar geométrico de los afijos de los números complejos de la forma a � bi tales que —b

a— sea constante.

Si �ba

� � k, quiere decir que arc tg �ba

� � arc tg k, es decir, es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen

tangente constante. Por tanto, se trata de una recta que pasa por el origen.

7.73. Demuestra que se verifican las siguientes igualdades de complejos:

a) z�1�����z�2� � z�1 � z�2 d)* �—z

z

1

2

—�� � —z�z�

1

2

b) (zz��) � z e) z � z� � �z �2

c) zz�1�����z�2� � z�1 � z�2 f) z���1� � (z�)�1

a) z1 � a � bi; z2 � c � di ⇒ z1 � z2 � (a � c) � (b � d)i

z�1 � a � bi; z�2 � c � di ⇒ z�1 � z�2 � (a � c) � (b � d)i � z�1�����z�2�

b) z � r; z� � r� ⇒ (�z���)� � r�(�) � r � z.

c) z1 � r; z2 � r��; ⇒ z1 z2 � (r r�)��;

z�1 � r�; z�2 � r���; ⇒ z�1 z�2 � (r r�)��� � z�1����z�2�

d) �zz

1

2� � ��

rr���

��⇒ ��

zz

1

2��� = ��

rr���

�(��)= �

r�r�

� � �z�z�

1

2�

e) z z� � r r� � r20� � �z �2

f) z�1 � �1z

� � �r1

� � ��1r��

�⇒ z���1� � ��

1r��

� �

r1

� � r� � (z�)�1

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Solucionario

7.74. Los afijos de tres números complejos forman un triángulo de vértices A(3, 0), B(�1, 4) y C(0, �5). Si se mul-

tiplica cada uno de los números complejos por el número i, se obtienen otros tres números complejos cuyos

afijos son A�, B� y C�, vértices del triángulo A�B�C�. Calcula las coordenadas de estos vértices.

zA � 3; zA i � 3i

zB � �1 � 4i; zB i � (�1 � 4i)i � �4 � i

zC � �5i; zC i � (�5i)i � 5

El triángulo de vértices A�, B� y C� es el que se obtiene al girar el triángulo inicial ABC en un giro de centro el ori-gen y amplitud 90�.

PROFUNDIZACIÓN

7.75. Demuestra que para cualquier número natural n, la siguiente igualdad es cierta.

i 2n � i 2n � 1 � i 2n � 2 � i 2n � 3 � �i

12n� � �

i 2n

1� 1� � �

i 2n

1� 2� � �

i 2n

1� 3�

i 2n � i 2n�1 � i 2n�2 � i 2n�3 � i 2n (1 � i � i 2 � i 3) � i2n (1 � i � 1 � i) � i 2n 0 � 0

�i12n� � �

i 2

1n�1� � �

i 2

1n�2� � �

i 2

1n�3� � �

i12n� �

ii

3

3� � �i 2

1n�1� �

ii

2

2� � �i 2

1n�2� �

ii� � �

i 2

1n�3� �

� �i 2

in

3

�3� � �i 2

in

2

�3� � �i 2n

i�3� � �

i 2

1n�3� � �

i 3 � i 2

i 2

�n�3

i � 1� � �

�i � 1i 2n

��3

i � 1� � �

i 2

0n�3� � 0

7.76. Halla un número complejo cuyo cubo es un número real y la componente real del mismo es superior en una

unidad a la componente imaginaria.

z � (a � 1) � ai

z3 � (a � 1)3 � 3(a � 1)2 ai � 3(a � 1) a2i 2 � a3i 3 � (�2a3 � 3a � 1) � (2a3 � 6a2 � 3a)i

lm(z3) � 0 → 2a3 � 6a2 � 3a � 0 → �7.77. Demuestra que para el complejo z � cos a � i sen a se verifica:

a) �1

z� � cos a � i sen a

b) �1

z�� � cos a � i sen a

c) Si a � 45, halla las raíces cúbicas y de orden quinto del número complejo z.

a) z � cos a � i sen a � cos (�a) � i sen (�a) � 1�a ⇒ �1z

� � �11

a

� � 1a � cos a � i sen a

b) z� � cos a � i sen a � 1a ⇒ �1z�

� � �11

a

� � 1�a � cos (�a) � i sen (�a) � cos a � i sen a

c) z � 1�45� � 1315� �3

1315�+36�0� n� � {1105�;1225�;1345�}; �5

1315�+36�0� n� � {163�; 1135�; 1207�; 1279�; 1351�}

a � 0 → z � 1

a � ��23� � �

�23�� → z � ��

�21� � �

�23��� � ��

�23� � �

�23���i

a � ��23� � �

�23�� → z � ��

�21� � �

�23��� � ��

�23� � �

�23���i

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7.78. Se multiplican los números complejos de los afijos de un triángulo equilátero de centro el origen de coorde-

nadas por un número r, y los afijos del resultado están en los puntos medios de los lados del triángulo origi-

nal. Calcula r.

Dado que los afijos del resultado están en los puntos medios de los lados del triángulo original, r � �12

�.

Para que los afijos del resultado estén en los lados del triángulo original, hay tres posibilidades: � 0�, � 120� y � 240�.

7.79. Una traslación se puede representar en el plano complejo como la suma de un número complejo fijo, cuyo afijo

tiene por vector de posición el vector guía de la traslación. Sea t� � (2, 3) el vector guía de una traslación.

a) Escribe el número complejo equivalente a este vector guía.

b) Si los puntos A, B, C y D de la figura sufren una traslación

de vector t�, escribe los complejos asociados a los puntos

de partida y a los trasladados.

c) Si P(4, �3) es un vértice de un pentágono regular centrado

en el origen de coordenadas, encuentra las coordenadas de

los vértices del pentágono formado a partir del anterior

mediante una traslación de vector t�.

a) zt� � 2 � 3i

b) zA � 2 � i → zA� � 4 � 4i; zB � 1 � i → zB� � 3 � 2i; zC � �3 � 2i → zC� � �1 � i;zD � �2 � 2i → zD � � 5i

c) Los vértices del pentágono de partida se obtienen mediante giros de centro el origen de coordenadas y ángulo

�36

50�� � 72°.

Sumando a cada uno zt� � 2 � 3i se obtienen los vértices del pentágono trasladado.

Si zP � 4 � 3i, arg (zP) � art tg ��43� � �36�52�

Vértices trasladados:

zP � 4 � 3i → z�P � 6

z1 � zP 172� � 5�36�52��72� � 535�8� � 4 � 2,9i → z�1 � 6 � 5,9i

z2 � zP 1144� � 5�36�52��144� � 5107�8� � �1,5 � 4,8i → z�2 � 0,5 � 7,8i

z3 � zP 1216� � 5�36�52��216� � 5179�8� � �5 � 0,1i → z�3 � �3 � 3,1i

z4 � zP 1288� � 5�36�52��288� � 5251�8� � �1,6 � 4,7i → z�4 � 0,4 � 1,7i

7.80. El punto P� se ha obtenido girando el punto P un ángulo , con centro de giro en el punto C. Si z, z� y zc son

los números complejos cuyos afijos son los puntos P, P� y C, demuestra que se cumple:

z� � (z � zc) � 1 � zc

Aplica este resultado para hallar el triángulo que se forma al girar 90º respecto del punto C(2, 1) el triángulo

de vértices A(0, 2), B(�2, 1) y O(0, 0).

Los afijos de los números complejos z � zc y z� � zc son los puntos trasladados de P y P� según un vector �OC��.

El trasladado de C siguiendo este mismo vector es el origen de coordenadas.

Como la traslación conserva los ángulos, z� � zc � (z � zc) 1 → z� � (z � zc) 1 � zc

Los vértices correspondientes son:

zA� � (zA � zC) 190� � zC � (2i � (2 � i))i � 2 � i � �1 � 2i � 2 � i � 1 � i

zB� � (�2 � i � (2 � i))i � 2 � i � �4i � 2 � i � 2 � 3i

zO� � (0 � (2 � i))i � 2 � i � 1 � 2i � 2 � i � 3 � i

i

O X

A

B

D

C

Y

1

t

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Solucionario

7.81. Sea z � x � yi un número complejo, y z� � x� � y�i su transformado por un movimiento en el plano. Demues-

tra que las siguientes igualdades representan los movimientos que se describen a continuación.

a) z� � �z. Simetría respecto al origen.

b) z� � z�. Simetría respecto el eje de abscisas.

c) z� � z � a, siendo a � a1 � a2i. Traslación de vector guía v�� � (a1, a2).

d) z� � 1 z. Giro de centro el origen y amplitud .

e) z� � kz, siendo k un número real no nulo. Homotecia de centro el origen y razón k.

a) z� � �z x� � y�i � �(x � yi) � �x � yi ⇒ x� � �x, y� � �y

Por tanto, es una simetría respecto del origen.

b) z� � z� x� � y�i � x � yi ⇒ x� � x, y� � �y

Por tanto, es una simetría respecto del eje de abscisas.

c) z� � z � a, a � a1 � a2i x� � y�i � (x � yi) � (a1 � a2i) ⇒ x� � x � a1; y� � y � a2

Por tanto, es una traslación de vector guía v�� � (a1, a2).

d) z� � 1z arg z� � arg 1 � arg z � � arg (z); �z� � � 1; �z� � � z

Por tanto, es un giro de centro el origen y amplitud .

Sustituyendo en la igualdad dada, obtenemos sus ecuaciones:

x� � y�i � (cos � i sen ) (x � yi) � x cos � y sen � (x sen � y cos )i

⇒ x� � x cos � y sen

⇒ y� � x sen � y cos

e) z� � kz k � R � {0}

x� � y�i � k(x � yi) � kx � kyi ⇒ x� � kx; y� � ky

Por tanto, es una homotecia de centro el origen y razón k.

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7.82. Sea z � x � yi un número complejo, y z� � x� �y�i, su complejo transformado en un movimiento cuyas ecua-

ciones vienen dadas por las relaciones:

a) z� � 3z� c) z� � �5z

b) z� � —1

2— z � 2 � 3i d) z� � 130° 2z

Indica en cada caso de qué movimiento o movimientos sucesivos se trata y halla las coordenadas del trans-

formado del punto P(2, �3) en cada movimiento.

a) z� � 3z� � 3 (x � yi) � 3x � 3yi → x� � 3x y� � �3y

Movimientos: 1.º Simetría respecto del eje de abscisas.2.º Homotecia de centro el origen y k � 3

El transformado de P(2, �3) es P�(6, 0).

b) z� � �12

� (x � yi) � (2 � 3i) � �12

� [(x � 4) � (y � 6)i] � �x �

24

� � �y �

26

� i → x� � �x �

24

�, y� � �y �

26

Movimientos: 1.º Traslación vector guía v�� (4, 6)

Movimientos: 2.º Homotecia k � �12

El transformado de P(2, �3) es P��3, �32

��.c) z� � �5z � �5(x � yi) � �5x � 5yi → x� � �5x, y� � �5y

Movimientos: 1.º Homotecia k � 5

Movimientos: 2.º Simetría respecto del origen

El transformado de P(2, �3) es P�(�10, 15).

d) z� � 130� 2z � (2 �z �)30��arg z

Movimientos: 1.º Homotecia k � 2

Movimientos: 2.º Giro de centro el origen y amplitud 30�x� � 2(x cos 30� � y sen 30�)y� � 2(x sen 30� � y cos 30�)

x� � 2 2��23�� � (�3) 2 �

12

� x� � 2�3� � 3

y� � 2 2 �12

� � (�3) 2��23�� y� � 2 � 3�3�

El transformado de P(2, �3) es P�(2�3� � 3, 2 � 3�3�).