La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniera Divisin de Estudios para Graduados Programa: Computacin Aplicada

Asignatura: Optimizacin para Ingenieros

Prof. Luis Zerpa, M.Sc.Email: lzerpa@ica.luz.ve Curso de modalidad presencial Perodo: 1ro 2007 Lugar: Instituto de Clculo Aplicado Horario: Jueves de 6:00 pm a 9:00 pm Pgina web: http://www.ica.luz.ve/~lzerpa/OptimizacionParaIngenieros.html

Contenido Programtico1. Introduccin 2. Repaso de algebra matricial usando Matlab 3. Programacin Lineal Mtodo Simplex 4. Programacin No Lineal 5. Optimizacin sin restricciones 6. Optimizacin con restricciones 7. Optimizacin global

JUSTIFICACIN En el anlisis y diseo ptimo de sistemas complejos en ingeniera las tareas de optimizacin juegan un rol esencial Se presentan en la solucin de problemas de diseo ptimo per se, y muy especialmente en la solucin de problemas inversos Estos complejos problemas de optimizacin pueden ser con funcin objetivo simple o mltiple, con variables continuas o discretas, sujetos a restricciones de diseo o no, etc es por ello que es necesario conocer y aplicar un amplio espectro de mtodos de optimizacin a saber: optimizacin local y global, con o sin derivadas, optimizacin con restricciones

Objetivos del Curso Proveer los conceptos bsicos de la Optimizacin Matemtica Proveer de una introduccin a los conceptos de optimizacin local y global, con o sin derivadas, optimizacin con restricciones, con objetivos mltiples, etc. Aplicar los mtodos de optimizacin ya citados mediante su programacin en lenguajes computacionales idneos

EVALUACIN Dos exmenes 30 % Siete Tareas 70 %

Para el desarrollo de las Tareas se sugiere utilizar la herramienta computacional MATLAB de MathWorks (http://www.mathworks.com/) Las Tareas son de carcter estrictamente individual En caso de que se detecte copia parcial o total de una tarea, la nota final de la materia ser uno (01)

BIBLIOGRAFA Luenberger, Introduction to Linear and Nonlinear Programming. Addison Wesley, 1984. Bazaraa, Shetty and Sherali, Nonlinear Programming: Theory y Applications. Wiley, 1994. Bertsekas, Dimitri P., Nonlinear Programming, second edition. Athena Scientific, 1999. Fletcher, R., Practical Methods of Optimization. Wiley, 1987. Himmelblau, Applied Nonlinear Programming. McGraw-Hill, 1972. Nash, S. and Sofer, A., Linear and Nonlinear Programming. McGraw-Hill, 1996. Jones, D., Perttunen, C. and Stuckman, B. Journal Optimization Theory and Application. Vol. 79. No. 1. 157-181. 1993. Lipschitzian Optimization without the Lipschitz Constant.

Optimizacin La mayora de los problemas en el mundo real tienen varias soluciones y algunos tienen infinitas soluciones El propsito de la optimizacin es encontrar o identificar la mejor solucin posible, entre todas las soluciones potenciales para un problema dado A travs de la seleccin de valores para un nmero de variables interrelacionadas (Variables de diseo o de decisin) Poniendo atencin a un slo objetivo diseado para cuantificar el desempeo y medir la calidad de la decisin (Funcin objetivo) Este objetivo es maximizado o minimizado (dependiendo de la formulacin) sujeto a restricciones que pueden limitar la seleccin de valores de las variables de diseo

Optimizacin Asumiendo que un problema de optimizacin est definido de alguna manera, una clasificacin general de los mtodos de optimizacin es la siguiente: Mtodos Analticos: Uso del clculo diferencial (insuficiente para problemas no lineales) Mtodos Numricos: Algoritmos (Procedimientos iterativos) Objetivo del curso

Otros: Mtodos grficos, mtodos experimentales, estudio de casos

Optimizacin Casi siempre nuestro inters en la optimizacin se centra en la solucin de problemas reales, los cules deben ser representados matemticamente La optimizacin de la representacin matemtica de procesos reales presenta 2 tipos de dificultades: Formulacin del modelo matemtico (representatividad) (Funcin a ser optimizada funcin objetivo) Tcnica de Solucin: Existencia de varios extremos locales y globales Se suponen que los coeficientes y variables del modelo (funcin objetivo) no son variables aleatorias Errores de redondeo de la aritmtica punto flotante

1. 2.

Modelado y tipos de modelosQU ES EL MODELADO? Los procesos y sistemas en ingeniera son generalmente complicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver el problema planteado El proceso de simplificacin del problema, para que pueda ser representado en trminos de un sistema de ecuaciones (para el anlisis, diseo y optimizacin) o a travs de un arreglo fsico (para experimentacin), es lo que se conoce como modelado

Modelado y tipos de modelosQU ES UN MODELO? Un modelo es un arreglo fsico o un conjunto de ecuaciones que sirven para representar algn sistema o proceso

Clasificacin general de los modelos: Modelos descriptivos Modelos predictivos

Modelado y tipos de modelosMODELOS DESCRIPTIVOS Son los que se usan para explicar los mecanismos y principios que interactan en un sistema. Por ejemplo, una turbina seccionada, un intercambiador de calor, una bomba de agua, un motor de combustin interna, entre muchos otros

MODELOS PREDICTIVOS: Son los que se emplean en el diseo y optimizacin de sistemas en ingeniera. Son capaces de predecir el comportamiento de un sistema dado. Se pueden clasificar en cuatro tipos: Modelos anlogos Modelos Matemtico Modelos fsico Modelos numricos

Modelado y tipos de modelosModelos Anlogos Los modelos anlogos son basados en las analogas o similitudes entre los diferentes fenmenos fsicos existentes; estos permiten el uso de la solucin y resultados de un problema familiar, para obtener los correspondientes resultados de algunos problemas no resueltos Un ejemplo de modelos anlogos es el anlisis de la transferencia de calor a travs de una pared de varios espesores y diferentes materiales estudiada mediante la Ley de Ohms

Modelado y tipos de modelosModelos Matemticos Un modelo matemtico es uno que representa el desempeo y comportamiento de un sistema dado en trminos de ecuaciones matemticas, ofreciendo resultados cuantitativos Los modelos matemticos pueden estar basados en el entendimiento fsico de un sistema por construccin de modelos a partir de datos (e.g., ajuste de curvas a datos experimentales). Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden ser algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales, ecuaciones integrales combinacin de varias de ellas

Modelado y tipos de modelosModelos Fsicos Un modelo fsico es uno que representa un sistema, y generalmente es usado para obtener resultados experimentales sobre el comportamiento de un sistema Un ejemplo de ellos son los modelos a escala de vehculos los cuales son colocados dentro de tneles de viento para estudiar las fuerzas de arrastre y sustentacin generadas sobre la carrocera

Modelado y tipos de modelosModelos Numricos Los modelos numricos son basados en los modelo matemticos y permiten obtener el comportamiento del sistema para diferentes condiciones de operacin y diferentes parmetros de diseo Un aspecto importante es que muy pocos problemas pueden ser resueltos por procedimientos analticos, siendo necesario el empleo de mtodos numricos para resolver las ecuaciones que gobiernan los sistemas reales Los modelos numricos estn referidos a la reestructuracin y discretizacin de las ecuaciones que gobiernan el sistema, para luego ser resueltas empleando el computador

Problemas matemticos de optimizacin

Consisten en la maximizacin o minimizacin de funciones algebraicas de una o ms variables La seleccin de las variables pueden estar restringidas por ecuaciones o inecuaciones algebraicas llamadas restricciones, de forma tal que el objetivo no es encontrar el mejor valor posible sino el mejor valor permitido por las restricciones

Formulacin general de un problema de optimizacin Encontrar x tal que se maximice o minimice una funcin objetivo f(x) sujeto a restricciones: gi(x) = bi (i=1,, m) gj(x) e bj (j=m,, k)

Donde x es un vector de n variables independientes

Programacin matemtica La rama de la matemtica aplicada que resuelve este tipo de problemas se denomina Programacin Matemtica (Mathematical Programming) f(x) es referida como funcin objetivo, una solucin posible al problema antes formulado se denomina solucin ptima u ptimo La optimizacin computacional es una herramienta fundamental en los procesos de toma de decisiones

Programacin matemtica

Ejemplos de optimizacin en ingeniera1. 2. 3. 4. Diseo de un avin para un mnimo peso y mxima resistencia Trayectorias ptimas de vehculos espaciales Diseo de estructuras con mnimo costo Diseo de proyectos de abastecimiento de agua, como en presas, para mitigar el dao por inundacin mientras se obtiene mxima generacin de potencia Diseo de bombas y equipos de transferencia de calor para mxima eficiencia Anlisis estadstico y modelado con un mnimo error (e.g., redes neuronales) Redes de tuberas ptimas Solucin de problemas inversos

5. 6. 7. 8.