Metodología utilizada: Se realizó una búsqueda del material bibliográco(libros, artículos,artículos en Internet, tésis,revistas,resúmenes de congresos) contemas relacionados con el tema de la investigación relaizada.Se asignaron las tareas por realizar de cada uno de los participantes en la

investigación y se asignaron tareas a los becarios PIFISe realizó la adquisición del material y equipo de cómputo necesario para la

realización del proyecto.Se conguró el equipo de cómputo para que se ajustara a las necesidades del

proyectoaqui estuvieron involucrados los becarios PIFI en la conguración del equipo

de cómputo

Análisis:En el reporte se da el planteamiento del problema, un estado del arte del

método,de soluciones y problemas que se tienen, se mencionan los alcances ylimitantes del trabajo así como logros alcanzados. Al nal se dan posibles líneasde investigación a realizarse. El desarrollo del proyecto se fundamenta en lametodología de E. Cartan y S. Lie para el estudio de las ecuaciones diferenciales atraves de los invariantes generados por las ecuaciones de estructura de las formasdiferenciales que permiten encontrar la dimensión del grupo de transformacióno el espacio de los difeomorsmos generados por los invariantes.

1 Planteamiento del problema

El problema de ltrado basicamente es la solución de la ecuacion de densidadque es una ecuación diferencial no lineal estocástica. Con la solución se puedeencontrar una medida de desviación del error ya sea para realizar una prediccióno bien un ltrado de una señal, siempre y cuando los primeros momentos noqueden expresados en términos de momentos superiores es posible resolverla.En el trabajo se dan condiciones de existencia de un grupo de transformaciónpara encontrar los difeomorsmos de la ecuación . El estudio se centra a partirdel conocimiento de los invariantes generados por las formas diferenciales delsistema de ecuaciones dieferenciales. Dada una ecuación diferencial no linealse estudian los posibles difeomorsmos para llevarla al sistema de ecuacioneslineal o ecuaciones de Kalman-Bucy, y las dimensiones posibles para los gruposde transformación que realizan el difeomorsmo.

2 Estado del Arte

Los ltros son ampliamente utilizados en la industria para los sistemas de nave-gación , sistemas de guía, radar, sonar, determinación de órbitas de satélites,imágenes, señales, etc. Los primeros resultados sobre ltrado fueron publicadospor Kolmogorov y Wiener, estos enfoques se basan en el conocimiento de la

1

función de correlación o bien que el producto interno del sistema sea invarianteen el tiempo. El ltro de Wiener está limitado a sistemas lineales, monovariable,y estacionarios (las propiedades estadísticas de la señal y el ruido se mantienenconstantes, básicamente la función de correlación), y pueden ser discretizados.El ltro de Kalman hace posible la estimación de sistemas multivariables y noestacionarios. La importancia del ltro de Kalman, aparecido a principios dela década de los sesenta, es comparable a los trabajos realizados por Nyquisty Bode, en la década de los veinte, y a los de Wiener, Kolmogorov en los añostreinta. El ltro de Kalman fue desarrollado directamente para sistemas dis-cretos, lo que permite de forma natural su implementación en computadora.Posteriormente el ltro de Kalman se amplió a sistemas continuos esto últimopor Bucy.

La idea de Kalman es que a partir de la salida del sistema se estimen lasvariables de estado o bien son la de construir un observador con ruido. Losproblemas en el enfoque de Kalman o las restricciones, son las de ser un sistemalineal y con ruido gausiano o bien Kalman y Bucy establecieron ltros dimen-sionales nitos con distribución inicial gausiana;Brockett and Mitter propusierónde forma independiente la idea de usar álgebras de estimación para construirltros no lineales dimensionalmente nitos. La idea es imitar el enfoque deWei-Norman usando el método algebraico de Lie para resolver la ecuación dedensidad (DMZ) [?]. Uno de los méritos del enfoque de Lie, es su aspecto ge-ométrico, señala de facilidad de encontrar ltros para sistemas dinámicos linealesy la dicultad para encontrar ltros de sistemas dinamicos no lineales como elproblema del sensor cúbico. Mientras el álgebra de Lie sea nita es posibleencontrar ltros recursivos. El problema aquí es llegar a conocer si se tiene unálgebra de Lie que sea dimensionalmente nita y dar una clasicación para estasálgebras de estimación.

El desarrollo del presente trabajo es la solución de un método alterno parala solución de ltro no lineal. El objetivo sera encontrar los invariantes de unaecuación de la ecuaci{on diferencial no lineal y encontrar de ser posible unaforma canónica de esta. Asi como dar una posible solución en términos defunciones o por medio de un cambio de varibles aceptadas por el sistema deecuaciones. La metodología por E. Cartan nos proporciona soluciones para daruna clasicación de álgebras de Lie aún cuando la función de densidad genereun álgebra de Lie innita y se basa en el enfoque de la teoria de invariantes oecuaciones de estructura.En el trabajo se considera el problema de equivalencia de formas diferen-

ciales y se desarrollan los invariantes generados por el sistemas de ecuacionesdiferenciales así como la dimensión que puede el grupo de difeomorsmos gen-erados por esta para encontrar por medio de los invariantes una forma canónicade las ecuaciones.

3 Alcances

2

Se dan condiciones de existencia para el grupo de transformación de las ecua-ciones diferenciales no lineales a un sistema de ecuaciones diferenciales canónico.Asimismo se conocera la dimensión del grupo de transformación y sus invari-antes. La metodología se basa en el estudio de las ecuaciones diferenciales quehizo E. Cartan y S.Lie. La aplicación de la teoría es en general aplicable acualquier tipo de sistemas de ecuaciones ya sea ordinario o parcial. Aquí lametodologia trata hasta el grupo de transformación puntual, dejando el de con-tacto a estudios posteriores.

4 Metodología de solución

La metodología de solución propuesta para el problema de ltrado es el estudiode los invariantes de Elie Cartan y S. Lie generados por el conjunto de formasdiferenciales independientes dados por el sistema de ecuaciones diferenciales .Estos invariantes dan el espacio de solución del grupo de transformación y lasrestricciones de que exista un difeomorsmo.

5 Límites

Dado el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales estocástica se estudianlos posibles difeomorsmos para llevarla al sistema de ecuaciones lineales o ecua-ciones de Kalman-Bucy. Se dan los grupos de transformación que realizan eldifeomorsmo. Los invariantes diferenciales generados dan las condiciones deexistencia para el mapeo de un sistema no lineal a un sistema lineal tipo Kalman

generando el número de variables del grupo de transformación.

6 Filtro de Kalman

6.1 Introducción

El problema de ltrado envuelve la estimación de un proceso estocástico queno puede ser observado directamente (variables de estado), la información con-tenida en x es obtenida a partir de observaciones de un proceso relacionadoo bien la salida del sistema (proceso de observación). Aqui el objetivo seraencontrar un observador óptimo para el sistema.El problema se complica cuando las mediciones están afectadas por algún

tipo de incertidumbre, como el ruido u otra causa. En ese caso existe unageneralización del concepto de observación planteado por primera vez y en formasimultánea por Kalman en EEUU y por Bucy en Francia. Es decir, el ltrode Kalman-Bucy es un observador de estados de un sistema en presencia de

3

perturbaciones estocásticas o estadísticas. En una forma resumida se puededecir que el ltrado estadístico nos da una manera de calcular óptimamente elobservador y determinar las esperanzas condionales o mas aún determinar ladensidad condicional a partir del proceso de observación.La idea de Kalman es que a partir de la salida del sistema se estimen las

variables de estado o bien la de construir un observador con ruido. Los proble-mas en el enfoque de Kalman o las restricciones, son las de ser un sistema linealasí como ser resuelto para un sistema con ruido gausiano, o bien Kalman-Bucyestablecieron ltros dimensionales nitos con distribución iniciales gaussianas;

6.2 Caso discreto

Consideremos la ecuación de estado y de salida de un sistema no estacionario,con ruido de la forma:x(k + 1) = A(k)x(k) +B(k)uk) + v(k);y(k) = C(k)x(k) + w(k);donde las matrices A(k); B(k) y C(k) son determinísticas y en general serán

variables en los sistemas lineales variantes en el tiempo, y u(k) y w(k) son losprocesos estocásticos de los ruidos del sistema que se consideran ruidos blancosde media cero e independientes y que satisfacen:E[w(k)] = E[v(k)] = 0E[v(k)wT (k)] = E[w(k)vT (k)] = 0E[v(k)vT (k)] = Q(k);E[v(k)vT (j)]; k 6= jE[w(k)wT (k)] = R(k)E[w(k)wT (j)]; k 6= jLas matrices de covarianza, diagonales y por lo tanto simétricas, de los

ruidos del sistema Q(k) (positiva semidenida) y R(k) (positiva denida) sonconocidas. El ruido del sistema puede considerarse que se genera en su interioro bien que se introduce a la entrada del sistema, y el ruido de medida es el errorque se comete al medir la salida, es decir, será el error que cometen los sensoresal medir.El problema consiste en estimar el valor óptimo del vector de estado x(k),

basándose en las medidas ruidosas y(0); y(1); y(2); :::; y(k) que serán conocidas,además de tener en cuenta que el vector de estado estará contaminado con elruido del sistema. Esta problemática puede abordarse de tres formas diferentes,Predicción, Filtrado, Alisado. La matriz que minimiza P (n), está dada por lasecuaciones:P (n) = fEe(n)e(n)T gcon n = k+1, n = k o n = k�1 según sea con predicción, ltrado o alisado.

Es decir la matriz de covarianza del error e(k) ha de ser mínima, estando elerror denido como:e(k) = x(k)� bx(k)Si la matriz de covarianza P (k) ha de ser mínima, cualquier forma cuadrática

del tipo: aTP (k)a también es mínima, siendo a un vector arbitrario de orden

4

nx1. Se asume que del estado inicial x(0) se conoce su esperanza matemática ovalor medio:Efx(0)g = x(0)y será un valor determinístico, además se conoce la matriz de covarianza del

estado inicial (no del error):E�[x(0)� x(0)][x(0)� x(0)]T

;

El estado inicial y el ruido cumplen:E�[x(0)� x(0)vT (k)]

= E

�[x(0)� x(0)wT (k)]

= 0;

al ser independientes y ser la media de los ruidos blancos cero. La soluciónencontrada por Kalman, fue que el estimador óptimo del estado es un observadorque, tiene por ecuación:bx(k + 1) = A(k)bx(k) +B(k)u(k) +K(k)[y(k)� by(k)]= A(k)bx(k)+B(k)u(k)+K(k)[y(k)�C(k)bx(k)] conK = A(k)P (k)CT (k) [R(k) + C(k)P (k)Ct(k)]�1

y quedando la ecuación para la matriz de covarianza como una ecuación de Ric-cati: P (k + 1) = Q(k) + P [A(k)�K(k)C(k)]P (k)AT (k).

6.3 Para el caso continuo:

Sea el sistema:dx(t) = f(x(t); t)dt+G(x(t))d�(t) x(0) = xo; t � t0;dz(t) = h(x(t); t)dt+ d�(t) y(0) = 0;donde x; z; n; w son respectivamente

ecuaciones diferenciales, encontrar mapeos equivalentes para transformacionesde contacto y obtener invariantes diferenciales de grupos simétricos para estaclase de ecuaciones, y con ello la dimensión del grupo de tranformaciones.

Sea M una variedad m dimensional suave . un marco es un conjunto or-denado de 1 formas � = f�1; �2; : : : �ng la cual forma una base para el espaciocotangente T �M jx en cada uno de los puntos x�M: El problema de equivalenciade marcos es determinar cuando 2 de ellos pueden ser mapeados uno al otro porun difeomorsmo � : M ! M; Cartan observo que el operador de derivadaexterior era la solución del problema.La 2 forma d�i se puede reescribir en términos de productos exteriores de

�s;

d�i =mP

j

Para el caso que G = feg el problema de equivalencia feg evaluado es elmismo como el problema de equivalencia para marcos. En el otro extremo siG = GL(m) entonces cualquier difeomorsmo � satisface 17 para cualquierfunción invertible g(x). El objetivo del método de equivalencia sera reducir atraves de una serie de operaciones invariantes la estructura del grupo G a feg:o bien tratar el caso intermedio feg � G � GL(m).

7.2 Normalización:

para el problema de equivalencia G evaluado se deben encontrar combinacionesde los parámetros del grupo gij y de coordenadas x

k las cuales no cambien poruna transformación de coordenadas, si esto puede hacerse entonces los marcosde � = g(x)w y � = g(x)w seran invariantes y reducidos a un problema deequivalencia de marcos

��� = �:Las combinaciones de los parámetros del grupo gij nos permiten normalizar o

bien tomar un valor constante a traves de especicar uno de los parámetros comofunción de las coordenadas de los otros parámetros del grupo, y con ello reducirla dimención de la estructura del grupo en uno. Si se encontraran combinacionessucientes seria posible reducir el grupo G al grupo de estructura trivial feg. Elmétodo de Cartan da una forma algorítmica para encontrar tales combinaciones.

7.3 Ecuaciones de estructura

Sea el marco � = g(x)w; o21

�i =mXj=1

gijwj (2)

sacando la derivada exterior : d�i =mXj=1

(dgijwj + gijdw

j)

dado que los wj forman un marco en M , las 2 formas diferenciales dwj sepueden expresar en términos de sumas de productos exteriores de wj;s o bienpor 18 en términos de �j;s: :

d�i =mXj=1

(ij ^ �j +

mXj;k=1;j

d�i =rX

k=1

mXj=1

(Aijk�k ^ �j +

mXj;k=1;j

entonces la ecuación 21 implica que el cociente de torsión sera invariante:T ijk(x; g) = T

i

jk(x; g) para alguna especicación de parámetros del grupo g; g:Tales coecientes de torsión son referidos como esenciales para las ecuacionesde estructura 19. Si un coeciente de torsión no depende explicitamente de losparámetros del grupo sera un verdadero invariante para el problema, en casocontrario dara una combinación invariante por medio de la cual normalizamosal grupo.El proceso general de eliminar coecientes desconocidos z a partir de los

coecientes de torsión es conocido como absorción y es una de las 2 técnicasfundamentales en la implementación del método de equivalencia de Cartan. Latorsión no esencial es absorbida en las ecuaciones de estructura 19 sustituyendocada forma de Maurer Cartan por la 1 forma modicada:

�k=�k �pXj=1

zkj �j k = 1; :::; r

con los zkj siendo la solución de las ecuaciones de absorción; las ecuacionesde estructura seran de la forma:

d�i =rX

k=1

mXj=1

(Aijk�k ^ �j +

mXj;k=1;j

Admite variables integrales de dimensión m enM�G�M�G. Para probarla involución de (2.61), uno puede aplicar la prueba del teorema 9 (parte 1.5.3)que recordamos: sea si0 para 0 � i � m� 1 los caracteres reducidos de Cartany �0m el pseudo-caracter reducido denido por:

s00 + s01 + � � �+ s0m�1 + �0m = 2m+ 2r �m

= m+ 2r (7)

Sea r(m) el grado de indeterminación de elementos integrales de dimensiónm del sistema (2.61). Este sistema está en la involución si y solo si

s01 + 2s02 + � � �+ (m� 1)s0m�1 +m�0m = r(m) (8)

Olver en [50] da una variante optimizada de la prueba de involución (2.63)que usamos para nuestra implantación. el pseudo-caracter �0m aquí está denidodiferentemente (escribimos el ŝ0m) por:

s00 + s01 + � � �+ s0m�1 + bs0m = m+ r (9)

La prueba de la involución es entonces:

s01 + 2s02 + � � �+ (m� 1)s0m�1 +mbs0m = r0; (10)

Donde r0 es el grado de indeterminación de las formas � calculadas en laabsorción de la torsión.Lema 5: Las pruebas (2.63) y (2.65) son equivalentes.Prueba. La comparación de las ecuaciones (2.62) y (2.64) muestran que:

�0m = bs0m + rPara mostrar el lema, es necesario demostrar que

r(m) = mr + r0;

Revisemos el número r(m) de constantes arbitrarias que guran en la ecuaciónde un elemento integral (2.61) de dimensión m. Se ha visto que una vio variableintegral de dimensión m es el gráco de una función M en M � G � G de laforma:

x = '(x)g = g(x)g = g(x)

Donde g(x) es cualquier función de M en G.. Las diferenciales de variablesdependientes (dx; dg; dg) dependen linealmente de x: Esta dependencia linealdebe ser analizada como una dependencia lineal de (�; �; �), en relación a �:Esta dependencia lineal, que es justamente la ecuación de un elemento integralde dimensión m, es la forma

10

� = �� = ��� = � + ^(2)�

(11)

Dónde �(2) y � son dos matrices de dimensión m � r: Como la funcióng(x)es arbitraria, la matriz � es arbitraria y contiene entonces mr constantesarbitrarias.Por otra parte, la matriz �(2) dando la indeterminación de formas � al

momento de la absorción de la torsión contiene r0 constantes arbitrarias. Setiene nalmente r(m) = mr + r0

Si el sistema (2.61) está en involución, se verá que se puede construir a partirde las constantes T ijk un sistema completo de constantes que permiten decidirla equivalencia de las G- estructuras G y G: En el caso contrario, uno prolongael sistema (2.61).2.7.1 Ejemplo:Para el ejemplo de equivalencia de ecuaciones ordinarias de segunda orden,

el sistema exterior : 0@d�1 = �1 ^ �1 + T 12;3�2 ^ �3;d�2 = �1 ^ �2 � �1 ^ �3;d�3 = 0;

1A (12)No está en involución. En efecto, el cálculo de caracteres reducidos de Cartan

dan: s01 = 1; s02 = 0: El grado de indeterminación es r

0 = 0 (ver sección 2.6.2).Se tiene entoncess01 + 2s

02 6= r0:

2.8 ETAPA 5: Prolongación:La prolongación de un sistema diferencial exterior S o las variables inde-

pendientes son x = (x1; ::::; xp) y las variables dependientes u = (u1; ::::; un)consisten en(i) añadir a S las ecuaciones de elementos integrales de dimensión p:

dui = �ijdxj ; (1 � i � n; 1 � j � p): (13)

(ii) sustituir las ecuaciones (2.68) en S para calcular las restricciones sobre los�ij que son consecuencia de S y de la condición independencia dx

1^�� �^dxp 6= 0Añadir estas restricciones al sistema de partida S.En el caso del método de equivalencia de Cartan, las variables independientes

son x = (x1; ::::; xm) 2 M y las variables dependientes (x; g; g)2 M � G � G.Las ecuacionesde los planos integrales (de dimensión m) son exactamente las ecuaciones

del sistema 2.66. Se ha visto que no hay ninguna restricción sobre los elementosdel matriz �, las restricciones sobre los �ij en (2.68) son las restricciones deintegrabilidad.

11

Ti

j;k(x; g) = Tij;k(x; g) (14)

Obtenidas durante la absorción de la torsión.No se ha efectuado mas que un prolongamiento parcial [10] del sistema (2.61).

Al principio no se han añadido todas ecuaciones (2.68) (ver (2.66)) mas que:

� = � + ^(2)�: (15)No se reajustan las ecuaciones (2.69) consecuencia de (2.61). Al n, se

simetrizan las ecuaciones (2.70) poniendo

� + ^(2)� = � + ^(2)�: (16)El sistema (2.71) dene la equivalencia de dos nuevas G -estructuras. Asi que

G es prolongada en la G -estructura G0. denida sobre la variable M 0 =M �G.El nuevo grupo Gtiene por coordenadas los parámetros indeterminados � dela matriz �(2) salida de la absorción. La dimensión de Ges entonces r0 el gradode indeterminación de los elementos integrales de (2.61). El nuevo grupo Gestá formado por matrices de la forma:

S0 :=

�Id 0^(2) Id

�Es evidentemente conmutativo. el nuevo sistema es entonces

�0 := S0!0 ,!0 :=���

�Se supone que la G -estructura G es prolongada en G0 de la misma forma.

Proposición 7: las G-estructuras G y G equivalentes si y solo si las G -estructuras prolongadas G0 y G0 son equivalentes.Prueba. Esta prolongación parcial consistió en añadir una parte de las re-

stricciones de integrabilidad sin retirar ninguna ecuación.Después de la prolongación, se entra de nuevo en una curva de absorción de

la torsión y de normalización.

8 Introducción

En esta parte del trabajo se resuelve la búsqueda de los invariantes para elsistema de ecuaciones diferenciales no lineales, y se desarrolla el cálculo paraencontrar la dimensión del grupo de transformación, y la base para el conjuntode invariantes que satisface el sistema así como el cambio de coordenadas enforma explícita.

Filtro de Kalman

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8.1 Introducción

El problema de ltrado envuelve la estimación de un proceso estocástico queno puede ser observado directamente (variables de estado), la información con-tenida en x es obtenida a partir de observaciones de un proceso relacionadoo bien la salida del sistema (proceso de observación). Aqui el objetivo seraencontrar un observador óptimo para el sistema.El problema se complica cuando las mediciones están afectadas por algún

tipo de incertidumbre, como el ruido u otra causa. En ese caso existe unageneralización del concepto de observación planteado por primera vez y en formasimultánea por Kalman en EEUU y por Bucy en Francia. Es decir, el ltrode Kalman-Bucy es un observador de estados de un sistema en presencia deperturbaciones estocásticas o estadísticas. En una forma resumida se puededecir que el ltrado estadístico nos da una manera de calcular óptimamente elobservador y determinar las esperanzas condionales o mas aún determinar ladensidad condicional a partir del proceso de observación.La idea de Kalman es que a partir de la salida del sistema se estimen las

variables de estado o bien la de construir un observador con ruido. Los proble-mas en el enfoque de Kalman o las restricciones, son las de ser un sistema linealasí como ser resuelto para un sistema con ruido gausiano, o bien Kalman-Bucyestablecieron ltros dimensionales nitos con distribución iniciales gaussianas;

8.2 Caso discreto

Consideremos la ecuación de estado y de salida de un sistema no estacionario,con ruido de la forma:x(k + 1) = A(k)x(k) +B(k)uk) + v(k);y(k) = C(k)x(k) + w(k);donde las matrices A(k); B(k) y C(k) son determinísticas y en general serán

variables en los sistemas lineales variantes en el tiempo, y u(k) y w(k) son losprocesos estocásticos de los ruidos del sistema que se consideran ruidos blancosde media cero e independientes y que satisfacen:E[w(k)] = E[v(k)] = 0E[v(k)wT (k)] = E[w(k)vT (k)] = 0E[v(k)vT (k)] = Q(k);E[v(k)vT (j)]; k 6= jE[w(k)wT (k)] = R(k)E[w(k)wT (j)]; k 6= jLas matrices de covarianza, diagonales y por lo tanto simétricas, de los

ruidos del sistema Q(k) (positiva semidenida) y R(k) (positiva denida) sonconocidas. El ruido del sistema puede considerarse que se genera en su interioro bien que se introduce a la entrada del sistema, y el ruido de medida es el errorque se comete al medir la salida, es decir, será el error que cometen los sensoresal medir.El problema consiste en estimar el valor óptimo del vector de estado x(k),

basándose en las medidas ruidosas y(0); y(1); y(2); :::; y(k) que serán conocidas,

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además de tener en cuenta que el vector de estado estará contaminado con elruido del sistema. Esta problemática puede abordarse de tres formas diferentes,Predicción, Filtrado, Alisado. La matriz que minimiza P (n), está dada por lasecuaciones:P (n) = fEe(n)e(n)T gcon n = k+1, n = k o n = k�1 según sea con predicción, ltrado o alisado.

Es decir la matriz de covarianza del error e(k) ha de ser mínima, estando elerror denido como:e(k) = x(k)� bx(k)Si la matriz de covarianza P (k) ha de ser mínima, cualquier forma cuadrática

del tipo: aTP (k)a también es mínima, siendo a un vector arbitrario de ordennx1. Se asume que del estado inicial x(0) se conoce su esperanza matemática ovalor medio:Efx(0)g = x(0)y será un valor determinístico, además se conoce la matriz de covarianza del

estado inicial (no del error):E�[x(0)� x(0)][x(0)� x(0)]T

;

El estado inicial y el ruido cumplen:E�[x(0)� x(0)vT (k)]

= E

�[x(0)� x(0)wT (k)]

= 0;

al ser independientes y ser la media de los ruidos blancos cero. La soluciónencontrada por Kalman, fue que el estimador óptimo del estado es un observadorque, tiene por ecuación:bx(k + 1) = A(k)bx(k) +B(k)u(k) +K(k)[y(k)� by(k)]= A(k)bx(k)+B(k)u(k)+K(k)[y(k)�C(k)bx(k)] conK = A(k)P (k)CT (k) [R(k) + C(k)P (k)Ct(k)]�1

y quedando la ecuación para la matriz de covarianza como una ecuación de Ric-cati: P (k + 1) = Q(k) + P [A(k)�K(k)C(k)]P (k)AT (k).

8.3 Para el caso continuo:

Sea el sistema:dx(t) = f(x(t); t)dt+G(x(t))d�(t) x(0) = xo; t � t0;dz(t) = h(x(t); t)dt+ d�(t) y(0) = 0;donde x; z; n; w son respectivamente

L(t) = P (t)CTW�1

dx̂ = Ax̂(t) +Bu(t) + L(t)(y(t)� Cx̂(t))

9 Teoría de Cartan

9.1 Introducción

En esta parte del trabajo se considera la teoría de estructuras de E. Cartanpara grupos de simetría de ecuaciones diferenciales a traves de las formas diferen-ciales, este enfoque permite resolver problemas de equivalencia para una clase deecuaciones diferenciales, encontrar mapeos equivalentes para transformacionesde contacto y obtener invariantes diferenciales de grupos simétricos para estaclase de ecuaciones, y con ello la dimensión del grupo de tranformaciones.

Sea M una variedad m dimensional suave . un marco es un conjunto or-denado de 1 formas � = f�1; �2; : : : �ng la cual forma una base para el espaciocotangente T �M jx en cada uno de los puntos x�M: El problema de equivalenciade marcos es determinar cuando 2 de ellos pueden ser mapeados uno al otro porun difeomorsmo � : M ! M; Cartan observo que el operador de derivadaexterior era la solución del problema.La 2 forma d�i se puede reescribir en términos de productos exteriores de

�s;

d�i =mP

j

propio conjunto de 1 formas diferenciales.El hecho que una clase de trasforma-ción mapea el objeto original a uno nuevo sera lo mismo que escribir las 1 formasdiferenciales en el nuevo cambio de coordenadas.Sea w = fw1; w2; : : : wng y w=fw1; w2; : : : wng ; 2 marcos.Denición: Sea G � GL(M) un grupo de Lie. sea w y w 2 marcos denidos

sobre variedades m dimensionales el problema de equivalencia G evaluado esdeterminar si existe un difeomorsmo� :M !M y una función G evaluada g: M ! G con la propiedad:

��w = g(x)w: (17)

Para el caso que G = feg el problema de equivalencia feg evaluado es elmismo como el problema de equivalencia para marcos. En el otro extremo siG = GL(m) entonces cualquier difeomorsmo � satisface 17 para cualquierfunción invertible g(x). El objetivo del método de equivalencia sera reducir atraves de una serie de operaciones invariantes la estructura del grupo G a feg:o bien tratar el caso intermedio feg � G � GL(m).

9.2 Normalización:

para el problema de equivalencia G evaluado se deben encontrar combinacionesde los parámetros del grupo gij y de coordenadas x

k las cuales no cambien poruna transformación de coordenadas, si esto puede hacerse entonces los marcosde � = g(x)w y � = g(x)w seran invariantes y reducidos a un problema deequivalencia de marcos

��� = �:Las combinaciones de los parámetros del grupo gij nos permiten normalizar o

bien tomar un valor constante a traves de especicar uno de los parámetros comofunción de las coordenadas de los otros parámetros del grupo, y con ello reducirla dimención de la estructura del grupo en uno. Si se encontraran combinacionessucientes seria posible reducir el grupo G al grupo de estructura trivial feg. Elmétodo de Cartan da una forma algorítmica para encontrar tales combinaciones.

9.3 Ecuaciones de estructura

Sea el marco � = g(x)w; o21

�i =mXj=1

gijwj (18)

sacando la derivada exterior : d�i =mXj=1

(dgijwj + gijdw

j)

16

dado que los wj forman un marco en M , las 2 formas diferenciales dwj sepueden expresar en términos de sumas de productos exteriores de wj;s o bienpor 18 en términos de �j;s: :

d�i =mXj=1

(ij ^ �j +

mXj;k=1;j

�i=

mXj;k=1;j

2.7 ETAPA 4: Prueba de involuciónCuando ya ningún coeciente de estructura depende de los parámetros del

grupo G, la prueba de involución permite decir si se puede, en la etapa dondeuno está, decidir la equivalencia de dos G -estructuras G y G. Éstas si sonequivalentes si y solo si el sistema diferencial exterior:0@ � = �;d� = d�;

�1 ^ � � � ^ �m 6= 0

1A (22)Admite variables integrales de dimensión m enM�G�M�G. Para probar

la involución de (2.61), uno puede aplicar la prueba del teorema 9 (parte 1.5.3)que recordamos: sea si0 para 0 � i � m� 1 los caracteres reducidos de Cartany �0m el pseudo-caracter reducido denido por:

s00 + s01 + � � �+ s0m�1 + �0m = 2m+ 2r �m

= m+ 2r (23)

Sea r(m) el grado de indeterminación de elementos integrales de dimensiónm del sistema (2.61). Este sistema está en la involución si y solo si

s01 + 2s02 + � � �+ (m� 1)s0m�1 +m�0m = r(m) (24)

Olver en [50] da una variante optimizada de la prueba de involución (2.63)que usamos para nuestra implantación. el pseudo-caracter �0m aquí está denidodiferentemente (escribimos el ŝ0m) por:

s00 + s01 + � � �+ s0m�1 + bs0m = m+ r (25)

La prueba de la involución es entonces:

s01 + 2s02 + � � �+ (m� 1)s0m�1 +mbs0m = r0; (26)

Donde r0 es el grado de indeterminación de las formas � calculadas en laabsorción de la torsión.Lema 5: Las pruebas (2.63) y (2.65) son equivalentes.Prueba. La comparación de las ecuaciones (2.62) y (2.64) muestran que:

�0m = bs0m + rPara mostrar el lema, es necesario demostrar que

r(m) = mr + r0;

Revisemos el número r(m) de constantes arbitrarias que guran en la ecuaciónde un elemento integral (2.61) de dimensión m. Se ha visto que una vio variableintegral de dimensión m es el gráco de una función M en M � G � G de laforma:

19

x = '(x)g = g(x)g = g(x)

Donde g(x) es cualquier función de M en G.. Las diferenciales de variablesdependientes (dx; dg; dg) dependen linealmente de x: Esta dependencia linealdebe ser analizada como una dependencia lineal de (�; �; �), en relación a �:Esta dependencia lineal, que es justamente la ecuación de un elemento integralde dimensión m, es la forma

� = �� = ��� = � + ^(2)�

(27)

Dónde �(2) y � son dos matrices de dimensión m � r: Como la funcióng(x)es arbitraria, la matriz � es arbitraria y contiene entonces mr constantesarbitrarias.Por otra parte, la matriz �(2) dando la indeterminación de formas � al

momento de la absorción de la torsión contiene r0 constantes arbitrarias. Setiene nalmente r(m) = mr + r0

Si el sistema (2.61) está en involución, se verá que se puede construir a partirde las constantes T ijk un sistema completo de constantes que permiten decidirla equivalencia de las G- estructuras G y G: En el caso contrario, uno prolongael sistema (2.61).2.7.1 Ejemplo:Para el ejemplo de equivalencia de ecuaciones ordinarias de segunda orden,

el sistema exterior : 0@d�1 = �1 ^ �1 + T 12;3�2 ^ �3;d�2 = �1 ^ �2 � �1 ^ �3;d�3 = 0;

1A (28)No está en involución. En efecto, el cálculo de caracteres reducidos de Cartan

dan: s01 = 1; s02 = 0: El grado de indeterminación es r

0 = 0 (ver sección 2.6.2).Se tiene entoncess01 + 2s

02 6= r0:

2.8 ETAPA 5: Prolongación:La prolongación de un sistema diferencial exterior S o las variables inde-

pendientes son x = (x1; ::::; xp) y las variables dependientes u = (u1; ::::; un)consisten en(i) añadir a S las ecuaciones de elementos integrales de dimensión p:

dui = �ijdxj ; (1 � i � n; 1 � j � p): (29)

(ii) sustituir las ecuaciones (2.68) en S para calcular las restricciones sobre los�ij que son consecuencia de S y de la condición independencia dx

1^�� �^dxp 6= 0

20

Añadir estas restricciones al sistema de partida S.En el caso del método de equivalencia de Cartan, las variables independientes

son x = (x1; ::::; xm) 2 M y las variables dependientes (x; g; g)2 M � G � G.Las ecuacionesde los planos integrales (de dimensión m) son exactamente las ecuaciones

del sistema 2.66. Se ha visto que no hay ninguna restricción sobre los elementosdel matriz �, las restricciones sobre los �ij en (2.68) son las restricciones deintegrabilidad.

Ti

j;k(x; g) = Tij;k(x; g) (30)

Obtenidas durante la absorción de la torsión.No se ha efectuado mas que un prolongamiento parcial [10] del sistema (2.61).

Al principio no se han añadido todas ecuaciones (2.68) (ver (2.66)) mas que:

� = � + ^(2)�: (31)

No se reajustan las ecuaciones (2.69) consecuencia de (2.61). Al n, sesimetrizan las ecuaciones (2.70) poniendo

� + ^(2)� = � + ^(2)�: (32)

El sistema (2.71) dene la equivalencia de dos nuevas G -estructuras. Asi queG es prolongada en la G -estructura G0. denida sobre la variable M 0 =M �G.El nuevo grupo Gtiene por coordenadas los parámetros indeterminados � dela matriz �(2) salida de la absorción. La dimensión de Ges entonces r0 el gradode indeterminación de los elementos integrales de (2.61). El nuevo grupo Gestá formado por matrices de la forma:

S0 :=

�Id 0^(2) Id

�Es evidentemente conmutativo. el nuevo sistema es entonces

�0 := S0!0 ,!0 :=���

�Se supone que la G -estructura G es prolongada en G0 de la misma forma.

Proposición 7: las G-estructuras G y G equivalentes si y solo si las G -estructuras prolongadas G0 y G0 son equivalentes.Prueba. Esta prolongación parcial consistió en añadir una parte de las re-

stricciones de integrabilidad sin retirar ninguna ecuación.Después de la prolongación, se entra de nuevo en una curva de absorción de

la torsión y de normalización.

21

10 Introducción

En esta parte del trabajo se resuelve la búsqueda de los invariantes para elsistema de ecuaciones diferenciales no lineales, y se desarrolla el cálculo paraencontrar la dimensión del grupo de transformación, y la base para el conjuntode invariantes que satisface el sistema así como el cambio de coordenadas enforma explícita.

Conclusiones:El sistema de ecuaciones diferenciales a la que se aplica la teoría de E. Cartan

es el siguiente:dx(t) = X11(x; t)dt+X12(x; t)dw x(0) = xo; t � t0;dz(t) = X21(x; t)dt+X22(x; t)dn z(0) = 0donde x; z; n; w son respectivamente

�1 = a1dx� a1X11(x; t)dt� a1X12(x; t)dw;�2 = a7dz � a7X21(x; t)dt� a7X22(x; t)dn;�3 = a13dt; �4 = a19dw; �5 = a25dn:

derivando las formas diferenciales anteriores se tienen las ecuaciones de es-tructura:d�1 = T

113�1 ^ �3 + T 114�1 ^ �4 + T 134�3 ^ �4;

d�2 = T213�1 ^ �3 + T 234�3 ^ �4;

d�3 = 0;d�4 = 0;d�5 = da25;

T 113 = � (xX11;x�X11) = (a13x) ;T 114 = � (xX12;x�X12) = (a13x) ;T 134 = � (X11X12;x+X12;z �X12X11;x ) = (a13a19x) ;T 213 = �xa7X21;x =a13 ;T 234 = a7 (X12X21;x ) = (a13a19) ;todas las constantes de estructura son invariantes así tomando ;T 114 = 1; T

134 =

1; T 213 = 1

y despejando las variables a13; a19; a7 :

a13 = (X11X12;x+X12;z �X12X11;x ) = (xX12;x�X12) ;a19 = � (xX12;x�X12) =x;a7 = (X11X12;x+X12;z �X12X11;x ) = ((xX12;x�X12) (xX21;x )) ;

sustituyendo en las formas diferenciales:

d�1 = T113�1 ^ �3 + �1 ^ �4 + �3 ^ �4; (33)

d�2 = �1 ^ �3 + T 234�3 ^ �4;d�3 = 0;

d�4 = 0;

d�5 = da25;

T 113 = (xX12;x�X12) (xX11;x�X11) = ((X11X12;x+X12;z �X12X11;x )x) ;T 234 = X12= (xX12;x�X12) ;

de los invariantes anteriores cualquer difeomorsmo al sistema 33 debe sat-isfacer que X12;x;= 0 yX11 = nx; siendo el sistema 33 involutivo con una variable libre.Para el caso que

dx(t) = J1xdt+ J2dw x(0) = xo; t � t0; (34)dz(t) = J3xtdt+ J4dn z(0) = 0:

23

las ecuaciones de estructura tienen los siguientes invariantes:d�1 = �1 ^ �4 + �3 ^ �4;d�2 = �1 ^ �3 � �3 ^ �4;

d�3 = 0; d�4 = 0; d�5 = 0;con los invariantes dados pora13 = J1;a19 = J2=x;a7= �J1=(xJ3); siendo el pseudo-grupo de transformación :

x� = nX; z� = nz + c; t� = t+ a;w� = nw + b; n� = f(n);

toda ecuación que satisface a las ecuaciones de estructura del sistema tendraun difeomorsmo correspondiente. así el sistema de ecuaciones :

dy(t) = J1ydt+ J2dw y(0) = xo; t � t0 (35)dz(t) = J3ydt+ J4dn z(0) = 0:

tiene las mismas constantes de estructura con el grupo correspondiente:

y� = n=y; z� = nz + c; t� = t+ a;w� = nw + b; n� = f(n);

siendo el difeomorsmo entre los 2 sistemas de ecuaciones dado por la vari-able :

ln(x) = (y^2)=2: quedando las demas variables sin cambio.

Conclusiones y perspectivasEl problema de ltrado básicamente es la solución de la ecuación de densidad

que es una ecuación diferencial no lineal. Con la solución se puede encontraruna medida de desviación del error ya sea para realizar una predicción o bien unltrado de una señal, siempre y cuando los primeros momentos no queden expre-sados en términos de momentos superiores es posible resolverla. En el trabajo sedan condiciones de existencia para encontrar la dimensión de los difeomorsmosposibles de la ecuación o la dimensión del grupo de transformación que satis-face. El estudio se centra a partir del conocimiento de los invariantes generadospor las formas diferenciales del sistema de ecuaciones dieferenciales. Dada unaecuación diferencial no lineal estocástica se estudian los posibles difeomorsmospara llevarla al sistema de ecuaciones lineal o ecuaciones de Kalman-Bucy, y lasdimensiones posibles para los grupos de transformación que realizan el difeo-morsmo. Se da un enfoque diferente y nuevo para el estudio de las ecuacionesdiferenciales estocásticas que tengan una función de densidad con un álgebra deLie innita.

24

Se dan condiciones de existencia para el grupo de transformación de las ecua-ciones diferenciales no lineales estocásticas a un sistema de ecuaciones diferen-ciales lineales.. La metodología se basa en el estudio de las ecuaciones difer-enciales que hizo E. Cartan y S.Lie. La aplicación de la teoría es en generalaplicable a cualquier tipo de sistemas de ecuaciones ya sea ordinario o parcial.Aquí la metodologia trata hasta el grupo de transformación puntual, dejando elde contacto a estudios posteriores.

La solución propuesta para el problema de ltrado es el estudio de los invari-antes de Elie Cartan y S. Lie generados por el conjunto de formas diferencialesindependientes dados por el sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas noanticipativas. Estos invariantes dan el espacio de solución del grupo de trans-formación y las restricciones de que exista un difeomorsmo.Los invariantes diferenciales generados dan las condiciones de existencia para

el mapeo de un ltro no lineal a un ltro de Kalman y dando la dimensión del

grupo de transformación.Dentro del contexto general del proyecto la presente investigación tiene rel-

evancia ya que aporta elementos estadisticos asi como una nueva metodologiade investigación para los sistemas no lineales que son de utilidad para obtenerresultados del proyecto general

Anexo:

El ltro de Kalman es un conjunto de ecuaciones matemáticas que proveenuna solución recursiva eciente delmétodo de mínimos cuadrados. Esta solución permite calcular un estimador

lineal, insesgado y óptimo del estadode un proceso en cada momento del tiempo con base en la información

disponible en el momento anterior, y actualizar,con la información adicional disponible en el momento, dichas estimaciones.

Este ltro es el principal algoritmopara estimar sistemas dinámicos especicados en la forma de estado-espacio.

Como un ejemplo para el caso del Filtro de Kalman continuo podemos con-siderar el siguiente sistema dado por:

_x =

��4 2�2 �4

�+

�01

�u+

�1�1

�v

y =�1 0

�x+ w

donde el término de ruido v(t) tiene media cero y covarianza v = 0:09. Elruido de medición se asume demedia cero y covarianza w = 0:25. El objetivo es dise nar un ltro de

Kalman continuo para estimar las

25

variables de estado. Considermos el estado inicial de la planta x(0) =�0:5 �0:5

�, con covarianza

de este estado inicial P0 = I2�2.

Para describir completamente el ltro de Kalman, recurrimos a las ecua-ciones:

_P (t) = AP (t) + P (t)AT � P (t)CTW�1CP (t) +G � V �GTL(t) = P (t)CTW�1

dx̂ = Ax̂(t) +Bu(t) + L(t)(y(t)� Cx̂(t))A continuación observamos la programación en Matlab para resolver la

ecuación diferencial de _P :function dp =Ej_Kal(t,p)dp = zeros(3,1);A=[-4 2;-2 -4]; B=[0;1]; C=[1,0]; G=[1;-1]; V=0.09; W=0.25;P=[p(1),p(2);p(2),p(3)];DP=A*P + P*A- P*C*inv(W)*C*P + G*V*G;dp(1)=DP(1,1);dp(2)=DP(1,2);dp(3)=DP(2,2);

Con esto podemos encontrar el valor de la ganancia de Kalman que paraeste ejemplo nos da:L =[0.0270 ; -0.0359];y resolvemos la ecuación diferencial para dx̂ :function dx =Ej_Kalx(t,x)dx = zeros(4,1);A=[-4 2;-2 -4]; B=[0;1]; C=[1,0]; G=[1;-1]; V=0.09; W=0.25;L =[0.0270 ; -0.0359];X=[x(1);x(2)];XH=[x(3);x(4)];u = sin (t);DX= A*X+ B*u + G*sqrt(V)*randn;y=C*X+sqrt(W)*randn;XP=A*XH+B*u;XH=XP+ L*(y - C*XP);dx(1,1)=DX(1,1);dx(2,1)=DX(2,1);dx(3,1)=XH(1,1);dx(4,1)=XH(2,1);end

Para resolver numericamente ambas ecuaciones diferenciales usamos:A=[-4,2;-2,-4]; B=[0;1]; G=[1;-1]; C=[1,0];V=0.09;W=0.25;[t,p]=ode45(Ej_Kal,[0 10],[0.1 0 0.1]);

26

0 2 4 6 8 10-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

x

z=length(p);% plot(t,p)P=[p(z,1),p(z,2);p(z,2),p(z,3)];L=P*C*inv(W);[t,x]=ode45(Ej_Kalx,[0 10],[.5 -.5 0 0]);plot(t,x)

La graca que obtenemos es:FILTRO DE KALMAN DISCRETO:Ahora construyamos un ltro de Kalman discreto para estimar la evolución

del estado del sistema anterior cuando sele aplica la entrada u = senkT , con periodo de muestreo T = 0:05s; y sobre

el intervalo kT 2 [0; 10]s:Resumimos los pasos a seguir para programar el ltro de Kalman discreto.

Partimos del conocimiento delas propiedades estadiscas, valor esperado y varianza de los ruidos v, y w, y

la condición inicial x0.Para describir completamente el ltro de Kalman discreto, recurrimos a las

ecuaciones:ex = Ax̂+BukLk+1 = [ASkA

T +GV GT ]CTC[ASkAT +GV GT ]CT +W�1

x̂k+1 = (I � Lk+1C)(Ax̂+Buk) + Lk+1Sk+1 = [I � Lk+1C][ASkATGV GT ][I � Lk+1C]T + Lk+1WLTk+1El programa en Matlab para hacer un Filtro de Kalman discreto es:Ac=[-4,2;-2,-4]; Bc=[0;1]; Gc=[1;-1]; C=[1,0];

27

T=0.05;A=expm(Ac*T); B=inv(Ac)*(A-eye(2,2))*Bc;G=inv(Ac)*(A-eye(2,2))*Gc;V=0.09;W=0.25;t=0:T:10; u=sin(t); x0=[0;0]; x=x0; y=C*x0;xh=[0.5;-0.5]; % xh(0)xp=xh; % xp(0)S=eye(2,2);for k=1:length(t)-1% sistemax(:,k+1)=A*x(:,k)+B*u(k)+G*sqrt(V)*randn;y(k+1)=C*x(:,k+1)+sqrt(W)*randn;% ltro de Kalman inestacionarioxp(:,k+1)=A*xh(:,k)+B*u(k);L=(A*S*A+G*V*G)*C*inv(C*(A*S*A+G*V*G)*C+W);xh(:,k+1)=xp(:,k+1)+L*(y(k+1)-C*xp(:,k+1));S=(eye(2,2)-L*C)*(A*S*A+G*V*G)*(eye(2,2)-L*C)+L*W*L;endplot(t,x)hold onplot(t,xh,c)

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