1.- ¿Que son las Ecuaciones Diferenciales?2.- ¿Que es un orden?3.- ¿A que se le llama grado?4.- Clasificación y tipos de orden y grado.5.- Solución.6.- Solución parcial.7.- Solución general.8.- Interpretación geométrica.9.- Trayectorias ortogonales.10.- Existencia y unidad.11.-Campo diferencial.

• Las Ecuaciones Diferenciales proporcionan un medio eficaz tanto para resolver numerosas cuestiones practicas de ingeniería y ciencias en general, como problemas puramente matemáticos.

• Las áreas que mas necesitan las Ecuaciones Diferenciadles :

* Ingeniería

* Física

* Ciencias en general

1.- ¿Que son las Ecuaciones Diferenciales?

Es una ecuación que contiene diferenciales o derivadas, puede ser ordinaria o parcial.

Ordinaria: Si hay una sola variable independiente.

Ejemplo: dy

----- = x +5

dx

Parciales: Si hay dos o mas variables.

Ejemplo: dz dz

------ = z + ------

dx dy

2.- ¿Que es un orden?

Es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella.

Ejemplo: * Es de primer orden y´ - 2xy² + 5 = 0 * Es de segundo orden d²y dy --------- + 3 -------- + 2y = 0 dx² dx

* Es de tercer orden y´´´ + 2(y´´)² = cos x

3.- ¿A que se le llama grado?

Es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella.

Nota: Todos los ejemplos antes mencionados son de primer grado.

d²y dy El grado mas alto es:

------------ = ------- d²2y el grado es

dx² dx --------- 2º.

dx²

4.- Clasificación y tipos de orden y grado

1.- Se llama solución general de una ecuación diferencial del primer orden a la función (contiene todas o casi todas las soluciones).

y = φ ( x, C )

2.- Todas función y = φ (x , C0 ) deducida de la solución general y = φ ( x, C ), dando a la constante C un valor determinado C = C0, , se llama solución particular (solución menos amplia que la solución general)

Φ ( x, y, C0 ) = 0

5., 6., 7.-Solución dy x² + 5

----- = ---------- y (1) = 7 dx ySolución: ∫ y dy = ∫ ( x² + 2 ) dx (7)² (1)³ ----- = ------ +2 (1) + C y² x³ 2 3----- = ----- + 2x + C 66.5 2 3 C= ------- Solución general 5 y² x³ 66.5 Primero se soluciona la ecuación diferencial

----- = ----- +2x + -------- después se saca el valor de la constante

2 3 5 ( C ), y después se escribe todo completo.

Solución particular

8.- Interpretación geométrica

Cualquier ecuación diferencial de primer orden y de primer grado se pude escribir así:

dy

------- = F ( x, y )

dx

Expresión que ase corresponder a cada punto ( x0, y0 ) una línea de pendiente ( dy/dx )0 = F (x0, y0 ).

F ( x, y ) = m

9.- Trayectoria ortogonal

Una curva C situada en un plano al que pertenece un sistema S de curvas es una Trayectoria ortogonal de S si cada punto de C es un punto donde C encuentra una curva de S bajo Angulo recto, y si cada intersección de C con una curva de S se efectúa ortogonalmente.

imagen ortogonal

10.- Existencia y unidad

Teoremas I.- una Ecuación Diferencial tiene, en una región S ,una solución única y = φ (x) satisfecha por (x0,y0) con tal de que (x0,y0)sea un punto interior de S y que F (x,y) y .y sean reales, uniformes y continuas en Sی /F (x,y)ی

Teorema II.- El sistema de Ecuaciones Diferenciales solo tiene una solución única satisfecha por los valores y = y0, z = z0, cuando x = x0, siempre que solamente se consideren los valores de x, y, z que pertenecen a los respectivos intervalos.

11.- Campo diferencial

Distintos campos de realizar una ecuación diferencial:

• Ecuaciones Diferenciales de primer orden de primer grado

• Ecuaciones de primer orden de grado superior al primero

• Ecuaciones Diferenciales con coeficiente constante

• Transformación de Laplace

• Resoluciones mediante series

• Resolución numérica

• Ecuaciones entre derivadas parciales

1.- Ecuaciones Diferenciales Mc Graw Hill

L.M.Kells

2.- Calculo diferencial e integral Tomo II. Mir Moscú N.Piskunov

3.- Ecuaciones Diferenciales Mc Graw Hill Frank Ayres,Jr.

Esta presentación fue elaborada por:

Estudiante del Ceti colomos

Emmanuel Sánchez SolísReg.:9110241