1 RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN ......REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 Nombre: Curso: Fecha: EAS AYO 1 EAS AYO ACTIVIDADES 1 Dibuja las siguientes fracciones. a) 6 3 c) 3 2 e) 8

Nombre: Curso: Fecha:

1 1REPASO Y APOYO

ACTIVIDADES

1 Completa la siguiente tabla.

REPRESENTACIÓN ESCRITA

REPRESENTACIÓN NUMÉRICA

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Cuatro quintos54

0

0

Siete quintos57

0

0

2 Partiendo del dibujo, halla la fracción que representa y escribe cómo se lee.

a) F 8

F ............... octavos

b) F F ............... ...............

c) F 2

F ............... medios

d) F F ............... ...............

3 ¿Cuál es la respuesta correcta? Rodéala.

a) 52

82

b)52

32

21

d)64

52

31


FRACCIONES

Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador.

• Denominador " Partes en que se divide la unidad.• Numerador " Partes que tomamos de la unidad.

1 RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN QUE TIENE UNA FRACCIÓN

REPASO Y APOYO OBJETIVO 1


1REPASO Y APOYO REPASO Y APOYO

ACTIVIDADES

1 Dibuja las siguientes fracciones.

a) 63

c)32

e)84

b) 64

d)105

f ) 21

2 Observando el ejercicio anterior vemos que algunas fracciones, a pesar de ser diferentes, nos dan el mismo resultado. Coloca en dos grupos estas fracciones.

Grupo 1 & Fracciones que representan la mitad de la tarta.

Grupo 2 & Fracciones que representan dos tercios de la tarta.

3 Calcula tres fracciones equivalentes.

a) 129= = =

b) 2416= = =

c) 42= = =

d) 126= = =

4 Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes.

a) x

51

10= b)

x34 8= c)

x30 15

2=


FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones ba

dc

y son equivalentes cuando el producto cruzado de numeradores y denominadores es igual.

? ?ba

dc

a d b c= ="

Las fracciones 32

y 64

son equivalentes, ya que 2 ? 6 = 3 ? 4.

EJEMPLO

1RECONOCER Y OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA



1 1REPASO Y APOYO


AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

• Para obtener una fracción equivalente a otra fracción dada multiplicamos el numerador y el denominador de dichafracción por un número distinto de cero. Este método se llama amplificación.

• Observa que podemos obtener tantas fracciones amplificadas como queramos.

1AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR FRACCIONES


ACTIVIDADES

1 Calcula fracciones equivalentes por amplificación.

a) ?

?

21

44="

21=

F F

b) ?

?

32

55="

32=

F F

2 Halla dos fracciones equivalentes.

a) ?

?

32

3 42 4

="32=

?

?

3 52 5

=32=

b) ?

?

41

=" =?

?= =

c) ?

?

54

=" =?

?= =

d) ?

?

29

=" =?

?= =

Obtén una fracción equivalente y amplificada de 21

.

21

" ?

?

2 31 3

63

=21

63

= Las fracciones son equivalentes, es decir, 21

63

yrepresentan el mismo número.

EJEMPLO

F F




SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

• Simplificar una fracción es encontrar otra fracción equivalente a ella dividiendo numeradory denominador por un factor común.

• Observa que el proceso, al contrario que en la amplificación, no se puede realizar indefinidamente.Se termina al encontrar una fracción que no se puede simplificar. Esta fracción se llama fracción irreducible.

3 Amplifica y simplifica la siguiente fracción.

Amplificar: ?

?

42

42

= =

42

Simplificar: 42

4 22 2

::

= =

4 Haz lo mismo con estas fracciones.

Amplificar: ?

?

216= =

a) 216

216= =

Simplificar: 216

::

= =

Amplificar: ?

?

2012= =

b) 2012

2012= =

Simplificar: :

2012

:= =

Simplifica las siguientes fracciones.

: :

10 55 5

21

105= =

105

21

y son equivalentes

: :

30 1020 10

32

3020= =

3020

32

y son equivalentes

EJEMPLO

F F

F

F

F

F

F

F

F

F

42= =

1AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR FRACCIONES



1 1REPASO Y APOYO


COMPARAR FRACCIONES

• ¿Qué fracción es mayor, 21

o31

?

Representamos las fracciones con un dibujo y lo vemos fácilmente:

21

31

• El dibujo, sin embargo, no siempre es tan claro. Por tanto, vamos a aprender a hacerlocreando una fracción equivalente de cada fracción, con común denominador, es decir,tenemos que conseguir que el denominador de las dos fracciones sea el mismo.

?

?

21

2 31 3

63

= =

6 es el común denominador.

?

?

31

3 21 2

62

= =

• Ahora, en lugar de comparar21

con 31

, comparamos 63

con 62.

• Como el denominador es común, comparamos los numeradores de63

62

y para saber cuál de las fracciones es mayor:

63

62

21

31

; por tanto,2 2

• Recuerda que, dadas dos fracciones con igual denominador, es mayor la que tienemayor numerador.

FF

1REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR


ACTIVIDADES

1 Ordena estas fracciones.

a) ?

?

1010

3034= = COMÚN DENOMINADOR

?

1515

3023

$= =

30 30 30 302

?

?

68= =

?

?

54= = 2

b) , , ,53 3

2513

5021

10. Observa que todas las fracciones pueden expresarse con denominador 50.




BUSCAR EL DENOMINADOR COMÚN

Queremos comparar las siguientes fracciones: , 107

32

53

y

• ¿Cuáles son los denominadores? 10……, 3…… y 5……

• El común denominador será un número mayor que 10, 3 y 5, pero que tenga a 10, 3 y 5 como divisores,por ejemplo:

a) El número 12 es mayor que 10, 3 y 5, pero ¿tiene a todos ellos como divisores?

12 = 3 ? 4

12 = 10 ? ?

12 = 5 ? ?

No tiene a 10 ni a 5 como divisores, solo a 3. Por tanto, 12 no sirve.

b) El número 15 es también mayor que 10, 3 y 5. Pero veamos qué pasa cuando lo utilizamos:

15 = 10 ? ?

15 = 3 ? 5

15 = 5 ? 3

Tampoco sirve 15, ya que no tiene a 10 como divisor.

c) Probamos con el número 30.

30 = 10 ? 3

30 = 5 ? 6

30 = 3 ? 10

El número 30 sirve como común denominador, aunque no es el único. Si continuásemos buscando encontraríamos más: 60, 90, …

• Vamos a hallar fracciones equivalentes a las dadas, con denominador común 30:

¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos de 10? 10 ? ? = 30

?

?

107

10 37 3

3021

= =

¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos de 3? 3 ? ? = 30

?

?

32

3 102 10

3020

= =

¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos 5? 5 ? ? = 30

?

?

53

5 63 6

3018

= =

Por tanto: , ,107

32

53

F , ,3021

3020

3018

Ahora ordenamos las fracciones de mayor a menor:

3021

3020

3018

2 2 F 107

32

53

2 2




1REPASO Y APOYO


REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR

Reduce a común denominador estas fracciones: 157

98

y

Hallamos el m.c.m. 15 3 5 5 1

9 33 31

? ( , )15 9 3 5 45m.c.m. = =?15 3 59 32

2=

="4de los denominadores.

El m.c.m. de los denominadores es el nuevo denominador

7 ? 3 = 21

45 : 15 = 3F

F F

F

F

157

4521

8 ? 5 = 40

45 : 9 = 5F

F F

F

F

98

4540

de las fracciones.



2 Ordena las siguientes fracciones: , , , 127

65

32

25

43

y

• Nos fijamos en los denominadores: ........, ........, ........, ........, ........

• Queremos encontrar un número que contenga a todos los denominadores como divisores.

El número más adecuado es 12.

?

?

127

12= =

?

?

65

22

12= = ¿Cómo se calcula este número? 12 : 6 = 2

?

?

32

12= = ¿Cómo se calcula este número? 12 : 3 =

?

?

25

12= =

?

?

43= =

• Ahora ordenamos de mayor a menor:

FF

FF

3 Completa la tabla.

FRACCIONES REDUCIDAS A COMÚN DENOMINADOR ORDENADAS DE MENOR A MAYOR

, , 47

53

65

, , 1247

1523

247


REPASO Y APOYO


SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR

La suma (o resta) de fracciones con igual denominador es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma (o resta) de los numeradores.

SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, reducimos primero a denominador común y, después, sumamos (o restamos) sus numeradores.

ACTIVIDADES

1 Realiza las siguientes operaciones.

a) 43

41

45

- + =

b) ?

?

?

?

710

32

710

32

- = - = = = = =

31

+34

=35

FF

F

+ =

Un tercio más cuatro tercios son cinco tercios.

EJEMPLO

Haz esta suma de fracciones: 31

56

+

Para sumar las fracciones hay que obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador.

?

?

31

3 51 5

155

= =?

?

56

5 36 3

1518

= =

Nos interesa obtener el mínimo común denominador de 3 y 5, en este caso 15.

Ahora sumamos las fracciones con igual denominador:

31

56

155

1518

1523

+ = + =

EJEMPLOF

F

1REPASO Y APOYO

1SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR FRACCIONES



1REPASO Y APOYO




MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores:

??

?

ba

dc

b da c

=

DIVISIÓN DE FRACCIONES

La división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción, y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda:

:?

?

ba

dc

b ca d

=F FFF

3 Realiza las siguientes divisiones de fracciones.

a) :38

54= d) :

38

1816=

b) :59

75= e ) :

72

34=

c) :54

71= f) :

46

83=

2 Realiza las multiplicaciones de fracciones.

a) ?37

45= e) ?

51

154=

b) ?1110

913= f ) ?

87

911=

c) ?86

34= g) ?

21

31=

d) ?45

208= h) ?

512

34=

?

??

2 53 4

1012

23

54= =

EJEMPLO

:?

?

2 311 5

655

211

53= =

EJEMPLO


REPASO Y APOYO


OPERACIONES COMBINADAS

Cuando se realizan operaciones combinadas, es decir, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones a la vez:

• Se hacen primero las operaciones de los paréntesis.

• Luego se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

• Por último, se operan las sumas y restas, en el mismo orden.

4 Realiza estas operaciones: ?37

25

32

1- +f p

• Tenemos dos bloques con los que debemos operar por separado:

37

A

- ?25

32

1

B

+f p " ?

:

:

37

25

32

1

A

B

No hay operación a realizar.

Tenemos que operar por partes, volviendoa dividir en bloques la operación.

+f p*

• Como no hay sumas o restas fuera de los paréntesis, tiene prioridad el producto:

52

I

? 32

1

II

+f p "

?

?

:

:32

132

3 3

133

3

25

I No .

II Realizamos la suma:

hay operación a realizar

+ = + =

= =

? ="* 4

?37

25

32

137

- + = - = - =f p

F

Común denominador

F

F

F

:?23

25

43

51

45

+ -

?23

25+ :

43

51

- 45

En este caso, la operación queda dividida en tres bloques.

?23

25+ :

43

51-

45

Realizamos las operaciones de cada bloque antes de sumar o restar:

A B C A: Hacemos la multiplicación.

F F F

B: Hacemos la división.C: No hay operación a realizar.

415

+ 4

15-

45

Ahora realizamos las sumas y las restas. La solución es 425

.

EJEMPLO

1REPASO Y APOYO




1 1REPASO Y APOYO OBJETIVO 6

OBTENER LA FORMA DECIMAL DE UNA FRACCIÓN

FORMA DECIMAL DE UNA FRACCIÓN

Para obtener la forma decimal de una fracción o número racional se divide el numerador entre el denominador.

ACTIVIDADES

1 Expresa en forma decimal estas fracciones y ordénalas.

a) 53

c)59

e)3037

b) 67

d)2531

f ) 6

17

...... < ...... < ...... < ...... < ...... < ...... " ...... < ...... < ...... < ...... < ...... < ......

43

F 30 4

20 0,75 0

FORMA FRACCIONARIA: 43

F FORMA DECIMAL: 0,75

1114

F 14 11

30 1,2727… 80 30 80 3


F FORMA DECIMAL: 1,2727… = ,1 27#

613

F 13 6

10 2,166… 40 40 4


13F FORMA DECIMAL: 2,166… = ,2 16

!

EJEMPLO


1REPASO Y APOYO OBJETIVO 7

RECONOCER LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES

TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción para obtener su expresión decimal pueden darse estos casos.

• Si el resto es cero:

– Cuando el cociente no tiene parte decimal, tenemos un número entero.

– Cuando el cociente tiene parte decimal, decimos que es un decimal exacto.

• Si el resto no es cero: las cifras del cociente se repiten, la expresión decimal tiene infinitas cifras.Se obtiene un decimal periódico.

– Cuando la parte que se repite comienza desde la coma, se llama decimal periódico puro.

– Cuando la parte que se repite no comienza desde la coma, se llama decimal periódico mixto.

ACTIVIDADES

1 Completa la tabla, clasificando la expresión decimal de las fracciones en exactas, periódicas puras o periódicas mixtas.

FORMA FRACCIONARIA

FORMA DECIMAL

DECIMAL EXACTO

DECIMAL PERIÓDICO PURO

DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

35

,1 6!

No Sí No

67

59

2531

3037

617

2 Escribe en cada número las cifras necesarias para completar diez cifras decimales.

a) 1,347347… e) 3,2666…

b) 2,7474… f ) 0,25373737…

c) 4,357357… g) 1,222…

d) 0,1313… h) 43,5111…

43

= 0,75 " Decimal exacto

,1 271114=

# "

Decimalperiódico puro

,2 166

13=

! "

Decimal periódico mixto

EJEMPLO


1 1REPASO Y APOYO

OBTENER FRACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES

OBJETIVO 8

Todo número decimal exacto o periódico se puede expresar en forma de fracción.

Para ello hay que multiplicarlo por la potencia de 10 adecuada y realizar una serie de operaciones hasta obtener una fracción.

NÚMEROS DECIMALES EXACTOS EN FORMA DE FRACCIÓN

0,32

• Llamamos x a 0,32. x = 0,32

• Multiplicamos por la unidad seguida 100x = 100 ? 0,32 de tantos ceros como cifras decimalestiene el número. 100x = 32

x =10032

• Simplificamos, si es posible.x =

258

,0 32258

=

ACTIVIDADES

1 Completa la operación.

0,14

x = 0,14

100x = 100 ? 0,14

100x =

x =100

x = ,0 14=

2 Halla la forma fraccionaria de este número decimal.

0,3

x = 0,3

10x = 10 ? 0,3

x = ,0 3=

F

F

F

FF

F

¿Por qué hemos multiplicado por 10 y no por 100?

F

F

F

FF

F

F

F

F F

F


1REPASO Y APOYO


OBJETIVO 8

3 Expresa estos números decimales como fracción.

a) 0,101

x = 0,101

x = ,0 101=

b) 0,24

x = ,0 24=

c) 0,7

x = ,0 7=

d) 0,44

x = ,0 44=

4 Expresa mediante un número decimal la parte gris de la figura.

Escribimos de forma fraccionaria Pasamos a la parte gris de la figura. forma decimal.

F

F

F

F

F

F

F

F

F

¿Por qué valor multiplicamos?

F


1 1REPASO Y APOYO

NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS PUROS EN FORMA DE FRACCIÓN

Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal periódico puro 2,333… = ,2 3!.

• Si 2,333… no tuviera infinitas cifras decimales, podríamos obtener la forma fraccionaria comoen el caso de los números decimales exactos.

• Por tanto, no podemos actuar de esta manera.

2,333…

x = 2,333…

10x = 10 ? 2,333…

10x = 23,333…

, ...x

1023 333

= F , …, …

2 33310

23 333=

• Fíjate en los pasos que seguimos.

2,333…

Multiplicamos por la unidad x = 2,333… seguida de tantos ceros como cifras tiene el período.

10x = 10 ? 2,333…

10x = 23,333…

10x = 23,333… -x = -2,333…

9x = 21

Simplificamos. x921

=

x37

= F ,2 337

=!

• Siempre hay que simplificar, si se puede, la fracción resultante.


OBJETIVO 8

F

F

F

F

F

F

Realizando esta resta eliminamos la parte decimal.

FF

F


1REPASO Y APOYO OBJETIVO 8


5 Completa las siguientes operaciones.

a) , ,5 7 5 777…=!

x = 5,777…

10x =

10x =

10x =

-x = -5,777…

9x =

x= F ,5 7=!

b) , ,45 8 45 888…=!

x = 45,888…

= 10 ? 45,888…

= 458,888…

= 458,888…

-x = -45,888…

=

x= F ,45 8=!

c) ,7 3!

x =

-x =

=

x= F ,7 3=!

F

F

F

F

F

F

FF

F


1 1REPASO Y APOYO


OBJETIVO 8

6 Calcula la forma fraccionaria de los números decimales.

a) ,15 474747…

x = 15,474747…

100x = 100 ? 15,474747…

100x =

100x =

-x = -15,474747…

99x =

x= F ,15 47=#

b) ,24 35#

x = 24,353535…

x= F ,24 35=#

c) ,251251103

x =

-x =

=

x= F ,103 251=%

F

F

F

F

F

F

FF

F

Multiplicamos por 100.


1REPASO Y APOYO

NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS MIXTOS EN FORMA DE FRACCIÓN

Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal periódico mixto 2,1333… = ,2 13!.

• Si actuamos como en el caso de los decimales puros, tenemos que:

x = 2,1333…

10x = 10 ? 2,1333…

10x = 21,333…

10x = 21,333…

-x = -2,133…

9x = 19,2

x = ,

919 2

No obtenemos una fracción.

• Fíjate en los pasos que seguimos.

,2 1333…

Multiplicamos por la unidad x = 2,1333… seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica y no periódica.

100x = 100 ? 2,1333…

100x = 213,333…

10x = 21,333…

100x = 213,333…

-10x = -21,333…

90x = 192

x90

192=

x1532

= F ,2 131532

=!

OBJETIVO 8


F

F

F

F

F

F

F

F

F

Realizando esta resta eliminamos los decimales.

Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica.

Simplificamos.


1 1REPASO Y APOYO


OBJETIVO 8

7 Expresa estos números decimales en forma de fracción.

a) , ,75 3 5 3777…=!

x = 5,3777…

100x = 100 ? 5,3777… =

10x =

100x =

-10x = -53,777…

90x =

x= F ,5 73 =#

b) , , …45 28 45 2888=#

x = 45,2888…

x= F ,45 28=#

c) , 30 7!

x =

-x =

=

x= F ,70 3=!

F

F

F

F

F

F

FF

F


1REPASO Y APOYO REPASO Y APOYO OBJETIVO 8


8 Completa y expresa en forma de fracción.

,3 57474…

x = 3,57474…

1 000x = 1 000 ? 3,57474…

1 000x = 3 574,7474…

10x = 35,7474…

1 000x = 3 574,7474… -10x = 35,7474…

990x =

x= F ,5743 =#

9 Expresa como una fracción.

,5 24545…

x =

x= F ,5 245=#

FF

Multiplicamos por 100.

10 Clasifica los siguientes números.

a) 0,14 b) 4,37777… c) 3,4!

d) 2,44 e) 43,2727… f ) 2 = 1,4142…

DECIMAL EXACTO

DECIMAL PERIÓDICO PURO

DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

IRRACIONAL

F

F

F

F

F

F

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NÚMEROS IRRACIONALES

Hay números decimales que no se pueden expresar como una fracción.

2 = 1,4142… r = 3,1415… 5 = 2,2360…

Estos números reciben el nombre de números irracionales.

ACTIVIDADES

1 Sesenta pasos de Alicia equivalen a setenta de María. Si cada paso de María son tres quintos de metro, ¿qué fracción de metro mide un paso de Alicia?

2 Al contratar unas vacaciones, Javier paga una sexta parte del importe total. El resto lo pagará en cuatro plazos de 245 € cada uno. Calcula el precio total.

3 Toño ha dividido su huerto en 7 partes. Cinco de ellas las ha sembrado de tomates y dos tercios del resto los ha sembrado de pepinos. ¿Qué parte del huerto está sembrada de pepinos?

4 Los 32 de los libros de Ángel son novelas; del resto,

41 son biografías. ¿Qué fracción del total representan las biografías?

5 En una zapatería, dos quintas partes de los 670 pares de calzado son zapatos deportivos. Del resto, una novena parte son de fiesta y los que quedan son sandalias. Calcula el número de pares de zapatos de fiesta y de sandalias que hay en la zapatería.


11PROFUNDIZACIÓN

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6 De un tonel lleno de vino se extraen tres décimas partes de su capacidad. Después, se hace una segunda extracción de tres séptimas partes de lo que queda, y una tercera extracción de la mitad del contenido restante. En el tonel quedan 150 ℓ sin extraer. ¿Cuál es la capacidad del tonel?

7 Ana y Patricia salen de casa con la misma cantidad de dinero. Ana gasta dos séptimas partes de su dinero y luego dos quintos de lo que le queda. Patricia gasta cuatro novenos de su dinero y después un quinto del resto. ¿Cuál de las dos ha gastado más?

8 Un grupo de excursionistas decide realizar una ruta de 105,5 km con estas condiciones para cada etapa:

• Cada etapa no puede tener más de 15 km.

• Cuando se acerque el final de la travesía, recorrerán54

de la distancia que se haya recorrido en la etapa anterior.

• La última etapa, debido al cansancio acumulado, solo recorrerán 8 km.

a) ¿Cuántas etapas tiene la travesía?

b) ¿Cuántos kilómetros recorren en cada etapa?


PROFUNDIZACIÓN

1PROFUNDIZACIÓN

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1 RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN ......REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 Nombre: Curso: Fecha: EAS AYO 1 EAS AYO ACTIVIDADES 1 Dibuja las siguientes fracciones. a) 6 3 c) 3 2 e) 8