1 SISTEMES D’EQUACIONS. MÈTODE DE GAUSSdepmat.webcindario.com/2batsalutTema 1. Sistemes equacions. Meto… · Modifica el terme independent de la segona equació del sistema que

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Equacions i sistemes d’equacions amb dues incògnites

1. Podem dir que les dues equacions següents són dues “dades distintes”? No éscert que la segona diu el mateix que la primera?

� Representa-les gràficament iobserva que es tracta de la mateixarecta.

Se trata de la misma recta.

� Posa un altre sistema de duesequacions amb dues incògnites enquè la segona equació siga, enessència, igual que la primera.Interpreta’l gràficament.

Gráficamente son la misma recta.

x + y = 13x + 3y = 3

2x + y = 54x + 2y = 10

Unitat 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss 1

x + y = 1

3x + 3y = 3

1

1

4x + 2y = 10

2x + y = 5

1

1

SISTEMES D’EQUACIONS.MÈTODE DE GAUSS

1

2. Observa les equacions següents:

� Representa-les i observa que les duesprimeres rectes determinen un punt(amb aquestes dues dades es respo-nen les dues preguntes: x = 2, y = 1) i que la tercera recta tambépassa per aquest punt.

� Dóna una altra equació que tambésiga “conseqüència” de les duesprimeres. Per exemple: 2 · 1a + 3 · 2aRepresenta-la i observa que tambépassa per x = 2, y = 1.

2 · 1-ª + 3 · 2-ª → 7x – y = 13

3. Observa que el que diu la segona equació és contradictori amb el que diu la pri-mera:

� Representa-les i observa que estracta de dues rectes paral·leles, és adir, no tenen solució comuna,perquè les rectes no es tallen en cappunt.

2x + y = 52x + y = 7

2x + y = 5x – y = 1x + 2y = 4


x + 2y = 4x – y = 1

2x + y = 5

1 2

(2, 1)1

7x – y = 13

x + 2y = 4x – y = 1

2x + y = 5

1 2

(2, 1)1

2x + y = 7

2x + y = 5

1 2

1

� Modifica el terme independent de la segona equació del sistema que hasinventat en l’exercici 1 i representa de nou les dues rectes.

Observa que el que diuen ambduesequacions és ara contradictori i quees representen mitjançant rectes pa-ral·leles..

Rectas paralelas:

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1. Sense resoldre’ls, són equivalents aquests sistemes?

a) b) c) d)

a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que tenía-mos.

b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segundaecuación la primera.

c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. Elresto es igual que en b).

d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segundaecuación la primera.

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1. Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:

a) b) c) d) x + y + z = 6

y – z = 1z = 1

x + y + z = 6x + y + z = 0x – z = 0

x + y + z = 6y – z = 1

x + 2y = 7

2x + y = 13x + 2y = 4x + y = 3

x + y – z = 11y = –4

z = 2x + y = 7

z = 2x + y = 7

x + y = 53x = 12

x + y – z = 11x + 2y – z = 7

x + y – z = 5x + y = 7

2x + 2y – z = 12

x + y – z = 5x + y = 7

x + y = 52x – y = 7

x + y = 13x + 3y = 0


x + y = 1

3x + 3y = 0

1

1

a)1 – 2x = 3 – x → x = –2, y = 3 – (–2) = 5

Veamos si cumple la 2-ª ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4

Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).

b)

Solución: x = 5 – 2λ, y = 1 + λ, z = λ. Son tres planos que se cortan en una recta.

c)

d)

Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).

2. a) Resol el sistema:

b) Afig-hi una tercera equació de manera que continue sent compatible.

c) Afig-hi una tercera equació de manera que siga incompatible.

d) Interpreta geomètricament el que has fet en cada cas.

a)

Solución: x = , y =

b) Por ejemplo: 2x + y = 7 (suma de las dos anteriores).

c) Por ejemplo: 2x + y = 9

d) En a) → Son dos rectas que se cortan en ( , ).

En b) → La nueva recta también pasa por ( , ).En c) → La nueva recta no pasa por ( , ). No existe ningún punto común a

las tres rectas. Se cortan dos a dos.

–13

113

–13

113

–13

113

–13

113

–13 – 2y = 4 + y → –1 = 3y → y = —

31 11

x = 4 + y = 4 – — = —3 3

x = 3 – 2yx = 4 + y

x + 2y = 3x – y = 4

x + 2y = 3x – y = 4

z = 1y = 1 + z = 2x = 6 – y – z = 6 – 2 – 1 = 3

x + y + z = 6y – z = 1

z = 1

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.El sistema es incompatible.Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

x + y + z = 6x + y + z = 0x – z = 0

x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2zy = 1 + z

x + y = 6 – zy = 1 + z

La 3-ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras;podemos prescindir de ella.

x + y + z = 6y – z = 1

x + 2y = 7

→ y = 1 – 2x

→ y = 3 – x

2x + y = 13x + 2y = 4x + y = 3


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1. Reconeix com a escalonats els sistemes següents i resol-los:

a) b)

c) d)

a) Solución: x = , y =

b)

Solución: x = 3, y = –29, z = 11

c)

Soluciones: x = 3 + λ, y = –29 – 19λ, z = 11 + 6λ, t = λ

d)

Solución: x = 1, y = , z =

2. Són escalonats aquests sistemes? Resol-los:

a) b)

c) d) 2y + z = 12y = 1

x + 2y + 2z = 1

x + y + z + t = 3x – y = 2

x + y + z = 72x – z = 4

z + t = 3y + 3z – 2t = 4

2z = 2x – z + 2t = 5

–23

169

x = 1–2x –2

z = —— = —3 3

7 – x + z 16y = ———— = —

3 9

4x = 42x + 3z = 0

x + 3y – z = 7

2x + 3z = 0x +3y – z = 7

4x = 4

x = 3 + tz = 5x – 4 + t = 11 + 6ty = 7 – x – 3z = –29 – 19t

2x = 6 + 2t5x – z = 4 – tx + y + 3z = 7

2x – 2t = 6x + y + 3z = 7

5x – z + t = 4

x = 3z = 5x – 4 = 11y = 7 – x – 3z = 7 – 3 – 33 = –29

2x = 65x – z = 4x + y + 3z = 7

2x = 6x + y + 3z = 7

5x – z = 4

–43

73

7x = —

3x – 5 –4

y = ——— = —2 3

3x = 7x – 2y = 5

2x + 3z = 0x + 3y – z = 7

4x = 4

2x – 2t = 6x + y + 3z = 7

5x – z + t = 4

2x = 6x + y + 3z = 7

5x – z = 4

3x = 7x – 2y = 5


a)

Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2

b)

Soluciones: x = 2 + λ, y = 5 – 3λ, z = 2λ

c)

Soluciones: x = 2 + λ, y = λ, z = 1 – 2λ – µ, t = µ

d)

Solución: x = 0, y = , z = 0

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3. Transforma en escalonats i resol:

a) b)

a)

Solución: x = 1, y = 2, z = –1

b)

(Podemos prescindir de la 3-ª, pues es igual que la 2-ª).

x + y + z = 6y + z = 5

1-ª

2-ª : (–2)

x + y + z = 6–2y – 2z = –10–2y – 2z = –10

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 3 · 1--ª

x + y + z = 6x – y – z = –4

3x + y + z = 8

z = –1y = 3 + z = 2x = –4 + y – 3z = 1

x – y + 3z = –4y – z = 3

–z = 1

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 2--ª

x – y + 3z = –4y – z = 3

3y – 4z = 10

1-ª

2-ª : 2

3-ª

x – y + 3z = –42y – 2z = 63y – 4z = 10

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1--ª

x – y + 3z = –4x + y + z = 2x + 2y – z = 6

x + y + z = 6x – y – z = –4

3x + y + z = 8

x – y + 3z = –4x + y + z = 2x + 2y – z = 6

12

1y = —

2

z = 1 – 2y = 0

x = 1 – 2y – z = 0

2y = 12y + z = 1

x + 2y + z = 1

2y + z = 12y = 1

x + 2y + 2z = 1

x = 2 + yz = 3 – y – t – 2 – y = 1 – 2y – t

x = 2 + yx + z = 3 – y – t

x + y + z + t = 3x – y = 2

zx = 2 + —

23z

y = 7 – z – x = 5 – —2

2x = 4 + zx + y = 7 – z

x + y + z = 72x – z = 4

z = 1t = 3 – z = 2y = 4 – 3z + 2t = 5x = 5 + z – 2t = 2

2z = 2z + t = 3

y + 3z – 2t = 4x – z + 2t = 5

z + t = 3y + 3z – 2t = 4

2z = 2x – z + 2t = 5


Soluciones: x = 1, y = 5 – λ, z = λ

4. Transforma en escalonat i resol:

Solución: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0

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1. Resol aquests sistemes d’equacions mitjançant el mètode de Gauss:

a) b) c)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) →

Solución: x = 1, y = –2, z = 3

z = 32 – 4z

y = ——— = –25

x = 2 – y – z = 1

x + y + z = 25y + 4z = 2

2z = 24

1 1 1 20 5 4 20 0 8 24

1-ª

2-ª · (–1)

3-ª · 5 + 2-ª · 3

1 1 1 20 –5 –4 –20 3 4 6

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª + 2 · 1--ª

1 1 1 23 –2 –1 4–2 1 2 2

x + y + z = 23x – 2y – z = 4

–2x + y + 2z = 2

x – 2y = –3–2x + 3y + z = 42x + y – 5z = 4

3x – 4y + 2z = 1–2x – 3y + z = 25x – y + z = 5

x + y + z = 23x – 2y – z = 4

–2x + y + 2z = 2

w = 057 + 9w

z = ———— = 319

y = –32 + 14z – 7w = 10x = y – 3z = 1

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

19z – 9w = 5734w = 0

1-ª

2-ª

3-ª : 2

15 · 3-ª + 19 · 4-ª

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

38z – 18w = 114–30z + 16w = –90

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 2-ª

4-ª + 2 · 2-ª

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

3y – 4z + 3w = 18–2y – 2z + 2w = –26

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1-ª

x – y + 3z = 03x – 2y – 5z + 7w = –32x + 2y – z + 3w = 18x – 3y + z + 2w = –26

x – y + 3z = 03x – 2y – 5z + 7w = –32x + 2y – z + 3w = 18x – 3y + z + 2w = –26

x = 6 – z – y = 6 – z – 5 + z = 1y = 5 – z

x + y = 6 – zy = 5 – z


b) ( ) → ( )Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

c) ( ) → ( ) →

→ ( ) →

Soluciones: x = –3 + 2λ, y = λ, z = –2 + λ

2. Resol mitjançant el mètode de Gauss:

a) b) c)

a) ( ) → ( ) →

→

x = 2 – 2z + – = –

Soluciones: x = –7λ, y = – 3λ, z = 2λ

b) ( ) →

( ) → ( ) →

2 –1 0 1 01 –2 1 0 04 0 0 0 01 0 –1 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 4ª

4-ª

2 –1 0 1 01 –2 1 0 03 0 1 0 01 0 –1 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 2 · 1-ª

2 –1 0 1 01 –2 1 0 05 –1 1 1 05 –2 –1 2 0

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

5x – y + z + w = 05x – 2y – z + 2w = 0

52

92

7z2

92

3z2

52

x = 2 – 2z + y5 – 3z 5 3z

y = ——— = — – 1 = —2 2 2

x – y = 2 – 2z2y = 5 – 3z

x – y + 2z = 22y + 3z = 5

1 –1 2 20 2 3 50 2 3 5

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª – 1--ª

1 –1 2 2–1 3 1 31 1 5 7

x – y + 2z = 2–x + 3y + z = 3x + y + 5z = 7

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

5x – y + z + w = 245x – 2y – z + 2w = 0

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

5x – y + z + w = 05x – 2y – z + 2w = 0

x – y + 2z = 2–x + 3y + z = 3x + y + 5z = 7

x = –3 + 2yz = –2 + y

x – 2y = –3–y + z = –2

1 –2 0 –30 –1 1 –20 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 5 · 2-ª

1 –2 0 –30 –1 1 –20 5 –5 10

1-ª

2-ª + 2 · 1-ª

3-ª – 2 · 1--ª

1 –2 0 –3–2 3 1 42 1 –5 4

x – 2y = –3–2x + 3y + z = 42x + y – 5z = 4

–7 –2 0 –9–7 –2 0 –35 –1 1 5

1-ª – 2 · 3-ª

2-ª – 3-ª

3-ª

3 –4 2 1–2 –3 1 25 –1 1 5

3x – 4y + 2z = 1–2x – 3y + z = 25x – y + z = 5


→

Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0

c) ( ) →

( ) → ( ) →

→

x = z = x + 18 = y = = w = 9 – 2x + y =

Solución: x = , y = , z = , w =

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1. Discuteix, en funció del paràmetre k, aquests sistemes d’equacions:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

→ ( )4 2 0 k1 1 –1 2

k – 3 0 0 3 – k

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

4 2 0 k1 1 –1 2

k + 1 2 0 3

1-ª

2-ª

3-ª + 2--ª

4 2 0 k1 1 –1 2k 1 1 1

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 1

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 0

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 1

534

694

114

–34

534

114

x + z – 112

694

–34

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

4x = –3x – z = –18

2 –1 0 1 91 –2 1 0 114 0 0 0 –31 0 –1 0 –18

1-ª

2-ª

3-ª + 4ª

4-ª

2 –1 0 1 91 –2 1 0 113 0 1 0 151 0 –1 0 –18

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 2 · 1-ª

2 –1 0 1 91 –2 1 0 115 –1 1 1 245 –2 –1 2 0

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

5x – y + z + w = 245x – 2y – z + 2w = 0

x = 0z = 0y = 0w = 0

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

4x = 0x – z = 0


• Si k = 3, queda:

( ) → →

→ x = = –

z = x – 2 + y = – 2 + y = = +

Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = – λ, y = 2λ, z = + λ

• Si k ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x = = –1

y = = = 2 +

z = x + y – 2 = –1 + 2 + – 2 = –1 +

Solución: x = –1, y = 2 + , z = –1 +

b) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si k = 3, queda:

( ) El sistema es incompatible.

• Si k ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x + y – z = 24x + 2y = k

(k – 3)x = (2 – k)

4 2 0 31 1 –1 20 0 0 –1

4 2 0 k1 1 –1 2

k – 3 0 0 2 – k

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

4 2 0 k1 1 –1 2

k + 1 2 0 2

1-ª

2-ª

3-ª + 2--ª

4 2 0 k1 1 –1 2k 1 1 0

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 0

k2

k2

k2

k2

k2

k + 42

k – 4x2

3 – kk – 3

x + y – z = 24x + 2y = k

(k – 3)x = (3 – k)

–54

34

y

2–54

–5 + 2y4

3 – 2y4

y2

34

3 – 2y4

x – z = 2 – y4x = 3 – 2y

x + y – z = 24x + 2y = 3

4 2 0 k1 1 –1 20 0 0 0


x =

y = =

z = x + y – 2 = + – 2 =

Solución: x = , y = , z =

2. Discuteix aquests sistemes d’equacions en funció del paràmetre k:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si k = –3, queda:

( ) Sistema incompatible.

• Si k ≠ –3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x =

z = k – 2x =

y = –x – z =

Solución: x = , y = , z = k2 – k – 16k + 3

–k2 – k + 8(k + 3)

8 + 2kk + 3

–k2 – k + 8(k + 3)

k2 – k – 16k + 3

8 + 2kk + 3

(k + 3)x = 8 + 2kx + y + z = 0

2x + z = k

0 0 0 21 1 1 02 0 1 –3

k + 3 0 0 8 + 2k1 1 1 02 0 1 k

1-ª + 2 · 3-ª

2-ª

3-ª

k – 1 0 –2 81 1 1 02 0 1 k

1-ª – 2--ª

2-ª

3-ª

k 1 –1 81 1 1 02 0 1 k

kx + y – z = 8x + y + z = 0

2x + z = k

x + y + z = 1y + kz = 1

x + 2y = k

kx + y – z = 8x + y + z = 0

2x + z = k

k2 – 5k + 82k – 6

k2 + k – 82k – 6

2 – kk – 3

k2 – 5k + 82k – 6

k2 + k – 82(k – 3)

2 – kk – 3

k2 + k – 82k – 6

k – 4x2

2 – kk – 3


b) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si k = –1, queda:

( ) Sistema incompatible.

• Si k ≠ –1, es compatible determinado. Lo resolvemos:

z = =

y + k ( ) = 1 → y = 1 – = =

x = 1 – y – z = 1 – – = =

=

Solución: x = , y = , z =

Pàgina 44

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

PER PRACTICAR

1 Troba, si existeix, la solució dels sistemes següents i interpreta’ls gràfica-ment:

a) b) x + 2y = 1

2x – y = 35x + y = 8

3x + y = 2x – y = 1

5x – y = 42x + 2y = 1

2 – k1 + k

1 – k + k2

1 + k–2 + 3k – k2

1 + k

–2 + 3k – k2

1 + k

1 + k – 1 + k – k2 – 2 + k1 + k

2 – k1 + k

1 – k + k2

1 + k

1 – k + k2

1 + k1 + k – 2k + k2

1 + k2k – k2

1 + k2 – k1 + k

2 – k1 + k

k – 2–1 – k

x + y + z = 1y + kz = 1

(–1 – k)z = k – 2

1 1 1 10 1 –1 10 0 0 –3

1 1 1 10 1 k 10 0 –1 – k k – 2

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

1 1 1 10 1 k 10 1 –1 k – 1

1-ª

2-ª

3-ª – 1--ª

1 1 1 10 1 k 11 2 0 k

x + y + z = 1y + kz = 1

x + 2y = k


Los resolvemos por el método de Gauss:

a) ( ) → ( )Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera. Que-daría:

4y = –1 → y =

x – y = 1 → x = 1 + y = 1 – =

Solución: ( , )El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ( , ).

b) ( ) → ( )De la 2-ª ecuación, obtenemos y = ; de la 3-ª ecuación, obtenemos y = .

Luego, el sistema es incompatible.

El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningúnpunto común a las tres.

2 Comprova que aquest sistema és incompatible i raona quina és la posició re-lativa de les tres rectes que representa:

Si dividimos la 3-ª ecuación entre 2, obtenemos: x + 2y = 0. La 1-ª ecuación esx + 2y = 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.

La 1-ª y la 3-ª ecuación representan dos rectas paralelas; la 2-ª las corta.

3 Resol i interpreta geomètricament el sistema:

( ) → ( ) → ( )–1 2 00 5 –10 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 1-ª

–1 2 00 5 –11 –2 0

1-ª

2-ª + 2 · 1-ª

(2/3) · 3-ª

–1 2 02 1 –1

3/2 –3 0

–x + 2y = 02x + y = –1

(3/2)x – 3y = 0

x + 2y = 53x – y = 12x + 4y = 0

–13

–15

1 2 10 –5 10 –9 3

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 5 · 1--ª

1 2 12 –1 35 1 8

–14

34

–14

34

34

14

–14

0 4 –11 –1 10 4 –10 4 –1

1-ª – 3 · 2-ª

2-ª

3-ª – 5 · 2-ª

4-ª – 2 · 2-ª

3 1 21 –1 15 –1 42 2 1


Solución: ( , )Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto ( , ).

4 Resol els sistemes següents reconeixent prèviament que són escalonats:

a) b)

c) d)

a)

Solución: ( , )b)

z = y = z – 1 = x = =

Solución: ( , , )c)

Soluciones: (–5 + 3λ, 4 – λ, λ, –3 + 2λ)

d)y = x = = z = –2x + 3y =

Solución: ( , , )76

12

16

76

16

y

312

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2y = 1

z = λy = 4 – zt = 1 – y + z = 1 – (4 – z) + z = –3 + 2z

x = 2 – y + t = 2 – (4 – z) – 3 + 2z = –5 + 3z

x + y – t = 2y + z = 4y + t – z = 1

29

–79

23

23

3 + y – z3

–79

29

– y + z = 19z = 2

3x – y + z = 3

–6911

411

–69y = —

117 + y 4

x = — = —2 11

2x – y = 711y = –69

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2y = 1

x + y – t = 2y + z = 4y + t – z = 1

– y + z = 19z = 2

3x – y + z = 3

2x – y = 711y = –69

–15

–25

–15

–25

–2x = 2y = —

5–1

y = —5

–x + 2y = 05y = –1


5 Resol aquests sistemes d’equacions lineals:

a) b)

a) ( ) → ( ) →→ ( ) → ( ) →

→

Solución: (–2, 4, 6)

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →

→ z = y = = –2 x = –y – z =

Solución: ( , –2, )6 Transforma en escalonats i resol els sistemes següents:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

x = y = 2x – 7 =

Solución: ( , )–6911

411

–6911

411

2x – y = 711x = 4

2 –1 711 0 4

1-ª

2-ª + 3 · 1-ª

2 –1 75 3 –17

2x – y = 75x + 3y = –17

– y + z = 1x – 2y – z = 2

3x – y + z = 3

2x – y = 75x + 3y = –17

12

32

32

3 + 2z–2

12

x + y + z = 0–2y – 2z = 3

2z = 1

1 1 1 00 –2 –2 30 0 2 1

1-ª

2-ª

–2 · 3-ª + 2-ª

1 1 1 00 –2 –2 30 –1 –2 1

1-ª

2-ª – 5 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 1 1 05 3 3 33 2 1 1

3-ª

2-ª

1-ª

3 2 1 15 3 3 31 1 1 0

3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 3x + y + z = 0

x = –2y = 2 – x = 4z = 4 – x = 6

–3x = 6x + y = 2x + z = 4

–3 0 0 61 1 0 21 0 1 4

1-ª – 5 · 2-ª

2-ª

3-ª

2 5 0 161 1 0 21 0 1 4

1-ª

2-ª : 3

3-ª

2 5 0 163 3 0 61 0 1 4

1-ª

2-ª + 2 · 3-ª

3-ª

2 5 0 161 3 –2 –21 0 1 4

2x + 5y = 16x + 3y – 2z = –2x + z = 4

3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 3x + y + z = 0

2x + 5y = 16x + 3y – 2z = –2x + z = 4


S

S

b) ( ) → ( ) →→ ( ) → ( ) →

→ z = y = z – 1 = x = 2 + 2y + z =

Solución: ( , , )

7 Resol:

a) b)

a) ( ) → ( ) →→ ( ) →

Soluciones: (–1 – 3λ, 2 + 4λ, λ)

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →1 –1 2 –60 0 1 –20 1 –1 3

1-ª

2-ª : (–5)

3-ª : 7

1 –1 2 –60 0 –5 100 7 –7 21

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –1 2 –63 –3 1 –83 4 –1 3

3-ª

2-ª : 2

1-ª

3 4 –1 36 –6 2 –161 –1 2 –6

3x + 4y – z = 36x – 6y + 2z = –16x – y + 2z = –6

y = 4z + 2x = 1 – y + z = 1 – (4z + 2) + z = –1 – 3zz = λ

x + y – z = 1–y + 4z = –2

1 1 –1 10 –1 4 –20 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 2-ª

1 1 –1 10 –1 4 –20 –2 8 –4

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

1 1 –1 13 2 1 15 3 3 1

x + y – z = 13x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 1

3x + 4y – z = 36x – 6y + 2z = –16x – y + 2z = –6

x + y – z = 13x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 1

29

–79

23

23

–79

29

x – 2y – z = 2–y + z = 1

9z = 2

1 –2 –1 20 –1 1 10 0 9 2

1-ª

2-ª

3-ª + 5 · 2-ª

1 –2 –1 20 –1 1 10 5 4 –3

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –2 –1 20 –1 1 13 –1 1 3

2-ª

1-ª

3-ª

0 –1 1 11 –2 –1 23 –1 1 3

–y + z = 1x – 2y – z = 2

3x – y + z = 3


S

→

Solución: (–1, 1, –2)

8 Raona si aquests sistemes tenen solució i interpreta’ls geomètricament:

a) b)

a) Si dividimos la 2-ª ecuación entre 2, obtenemos :

x + 2y – z = , que contradice la 1-ª.

El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.

b) Si multiplicamos por – la 1-ª ecuación, obtenemos:

x – 2y – 4z = –2, que contradice la 2-ª ecuación.

El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.

9 Resol, si és possible, els sistemes següents:

a) b)

c) d)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) →

y = 1 z = = 8 x = 9 – 2y – z = –1


19 – 3y2

x + 2y + z = 93y + 2z = 19

–7y = –7

1 2 1 90 3 2 190 –7 0 –7

1-ª

2-ª

2-ª + 2 · 3-ª

1 2 1 90 3 2 190 –5 –1 –13

1-ª

–2-ª + 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 2 1 91 –1 –1 –102 –1 1 5

x + 2y + z = 9x – y – z = –10

2x – y + z = 5

2x – 3y + z = 03x – y = 04x + y – z = 0

–x + 2y – z = 12x – 4y + 2z = 3x + y + z = 2

x + 2y + z = 32x – y + z = –1

x+ 2y + z = 9x – y – z = –10

2x – y + z = 5

23

23

–x + 3y + 6z = 3(2/3)x – 2y – 4z = 2

12

x + 2y – z = 32x + 4y – 2z = 1

–x+ 3y + 6z = 3(2/3)x – 2y – 4z = 2

x + 2y – z = 32x + 4y – 2z = 1

y = 3 + z = 3 – 2 = 1x = –6 + y – 2z = –6 + 1 + 4 = –1

x – y + 2z = –6z = –2

y – z = 3


S

b) ( ) → ( ) →

→

Si hacemos z = 5λ, las soluciones son: ( – 3λ, – λ, 5λ)c) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )La segunda ecuación es imposible: 0x + 0y + 0z = 5

El sistema es incompatible.

d) ( ) → ( ) →

→ ( ) →

Soluciones: (λ, 3λ, 7λ)

10 Resol pel mètode de Gauss:

a) b)

x + y + z + t = 1x – y + z – t = 0x + y – z – t = –1x + y + z – t = 2

x + 2z = 11x + y = 3

y + z = 13x + y + z = 10

y = 3xz = –2x + 3y = –2x + 9x = 7xx = λ

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2 –3 1 03 –1 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 2-ª

2 –3 1 03 –1 0 06 –2 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 1-ª

2 –3 1 03 –1 0 04 1 –1 0

2x – 3y + z = 03x – y = 04x + y – z = 0

1 1 1 20 0 0 50 3 0 3

1-ª

2-ª + 2 · 3-ª

3-ª

1 1 1 20 –6 0 –10 3 0 3

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

1 1 1 22 –4 2 3–1 2 –1 1

3-ª

2-ª

1-ª

–1 2 –1 12 –4 2 31 1 1 2

–x + 2y – z = 12x – 4y + 2z = 3x + y + z = 2

75

15

7 zy = — – —

5 514 2z 1 3z

x = 3 – z – 2y = 3 – z – — + — = — – —5 5 5 5

x + 2y = 3 – z5y = 7 – z

1 2 1 30 5 1 7

1-ª

–2-ª + 2 · 1-ª

1 2 1 32 –1 1 –1

x + 2y + z = 32x – y + z = –1


c) d)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →

→


b) ( ) → ( ) →

t = – z = 1 – t = 1 + = y = = 1 x = 1 – y – z – t = –1

Solución: (–1, 1, , – )

c) ( ) → ( ) →

→ Soluciones: (λ, –2λ, 0)

z = 0y = –2xx = λ

2x + y + 3z = 0–7z = 0

2 1 3 00 0 –7 00 0 –7 0

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

2 1 3 04 2 –1 06 3 2 0

2x + y + 3z = 04x + 2y – z = 06x + 3y + 2z = 0

12

32

2t – 1–2

32

12

12

x + y + z + t = 1–2y – 2t = –1

z + t = 1–2t = 1

1 1 1 1 10 –2 0 –2 –10 0 –2 –2 –20 0 0 –2 1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1ª

1 1 1 1 11 –1 1 –1 01 1 –1 –1 –11 1 1 –1 2

x + y + z + t = 1x – y + z – t = 0x + y – z – t = –1x + y + z – t = 2

y = –8 + 2z = –8 + 14 = 6x = 11 – 2z = 11 – 14 = –3

x + 2z = 11y – 2z = –8

z = 7

1 0 2 110 1 –2 –80 0 0 00 0 1 7

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 4ª

4-ª

1 0 2 110 1 –2 –80 0 3 210 0 1 7

1-ª

2-ª

3-ª – 2ª

4-ª – 2ª

1 0 2 110 1 –2 –80 1 1 130 1 –1 –1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

4-ª – 1ª

1 0 2 111 1 0 30 1 1 131 1 1 10

x + 2z = 11x + y = 3

y + z = 13x + y + z = 10

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

2x + y + 3z = 04x + 2y – z = 06x + 3y + 2z = 0


S

d) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →

→

Soluciones: (λ, λ, 1 – 2 λ)

11 Classifica els sistemes següents en compatibles o incompatibles:

a) b)

a)Compatible indeterminado.

b) ( ) → ( ) →

→ Compatible determinado.

PER A RESOLDRE

12 Estudia els sistemes següents i resol-los pel mètode de Gauss:

a) b)

a) ( ) → ( ) →1 1 1 20 1 3 70 –6 5 27

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 22 3 5 111 –5 6 29

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

2x – 3y + z = 0x + 2y – z = 0

4x + y – z = 0

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

1 1 1 30 –3 –1 –40 –2 0 –2

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 32 –1 1 21 –1 1 1

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

x + y = 3x + y = 3

z = 0

x + y + z = 3x + y – z = 3

z = 0

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

x + y + z = 3x + y – z = 3

z = 0

z = 1 – 2yx = 1 – y – z = 1 – y – 1 + 2y = yy = λ

x + y + z = 12y + z = 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª : 2

3-ª + 2ª

4-ª – 2ª

1 1 1 10 4 2 20 –4 –2 –20 4 2 2

1-ª

2-ª – 1ª

3-ª – 1ª

4-ª – 3 · 1ª

1 1 1 11 5 3 31 –3 –1 –13 7 5 5

3-ª

2-ª

1-ª

4-ª

1 –3 –1 –11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5


S

→ ( ) →

El sistema es compatible determinado, con solución (1, –2, 3).

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → Sistema compatible indeterminado.

Lo resolvemos:

Soluciones: (λ, 3λ, 7λ)

Pàgina 45

13 Estudia i resol aquests sistemes pel mètode de Gauss:

a) b)

c) d)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) → Sistema compatible determinado.

Lo resolvemos: y = – x = y + 3z + 2 =

Solución: ( , – , 0)12

32

32

12

–x + y + 3z = –26y + 11z = –3

z = 0

–1 1 3 –20 6 11 –30 0 –12 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

–1 1 3 –20 6 11 –30 6 –1 –3

1-ª

2-ª + 4 · 1-ª

3-ª + 2 · 1-ª

–1 1 3 –24 2 –1 52 4 –7 1

–x + y + 3z = –24x + 2y – z = 52x + 4y – 7z = 1

x – y + 3z– 14t= 02x– 2y+ 3z+ t= 03x– 3y + 5z+ 6t= 0

5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x – 2y + 2z = –3

y + z = –1x – y = 1x + 2y + 3z = –2

–x + y + 3z = –24x + 2y – z = 52x + 4y – 7z = 1

y = 3xz = –2x + 3y = –2x + 9x = 7xx = λ

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2 –3 1 03 –1 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 2-ª

2 –3 1 03 –1 0 06 –2 0 0

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

2 –3 1 01 2 –1 04 1 –1 0

2x – 3y + z = 0x + 2y – z = 0

4x + y – z = 0

z = 3y = 7 – 3z = –2x = 2 – y – z = 1

x + y + z = 2y + 3z = 7

23z = 69

1 1 1 20 1 3 70 0 23 69

1-ª

2-ª

3-ª + 6 · 2-ª


b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Soluciones: (1 + λ, λ, –1 – λ)

c) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

Solución: (1, 1, –1)

d) ( ) → ( ) →

→ ( )Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Soluciones: (λ, λ, 0, 0)

t = 0z = 0x = yy = λ

x – y + 3z – 14t = 0–3z + 29t = 0

28t = 0

1 –1 3 –14 00 0 –3 29 00 0 0 28 0

1-ª

2-ª

–4 · 2-ª + 3 · 3-ª

1 –1 3 –14 00 0 –3 29 00 0 –4 48 0

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –1 3 –14 02 –2 3 1 03 –3 5 6 0

x – y + 3z – 14t = 02x – 2y + 3z + t = 03x – 3y + 5z + 6t = 0

z = –1y = 1x = –3 + 2y – 2z = 1

x – 2y + 2z = –32y – z = 3

–z = 1

1 –2 2 –30 2 –1 30 0 –1 1

1-ª

2-ª : 3

3-ª – 2 · 2-ª

1 –2 2 –30 6 –3 90 12 –7 19

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

1 –2 2 –32 2 1 35 2 3 4

3-ª

2-ª

1-ª

5 2 3 42 2 1 31 –2 2 –3

5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x – 2y + 2z = –3

x = 1 + yz = –1 – yy = λ

x – y = 1y + z = –1

1 –1 0 10 1 1 –10 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 2-ª

1 –1 0 10 1 1 –10 3 3 –3

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

1 –1 0 10 1 1 –11 2 3 –2

2-ª

1-ª

3-ª

0 1 1 –11 –1 0 11 2 3 –2

y + z = –1x – y = 1x + 2y + 3z = –2


S14 Discuteix els següents sistemes d’equacions:

a) b)

c) d)

a) ( ) → ( )Sistema compatible determinado para todo k.

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )• Si a = 10 → Sistema compatible indeterminado

• Si a ≠ 10 → Sistema compatible determinado

c) ( ) → ( ) →

→ ( )Compatible determinado para todo m.

d) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )2 – 2a = 0 → a = 1

• Si a = 1 → Sistema incompatible

• Si a ≠ 1 → Sistema compatible determinado

1 1 –1 10 –2 8 –30 0 2 – 2a 1

1-ª

2-ª

–2 · 3-ª + 2-ª

1 1 –1 10 –2 8 –30 –1 a + 3 –2

1-ª

2-ª – 5 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 1 –1 15 3 3 23 2 a 1

3ª

2-ª

1-ª

3 2 a 15 3 3 21 1 –1 1

3x + 2y + az = 15x + 3y + 3z = 2x + y – z = 1

1 –2 1 15 0 0 –1

m + 1 –1 0 2

1-ª

2-ª + 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

1 –2 1 13 4 –2 –3m 1 –1 1

1-ª

3-ª

2-ª

1 –2 1 1m 1 –1 13 4 –2 –3

x – 2y + z = 1mx + y – z = 13x + 4y – 2z = –3

1 1 –1 00 1 1 00 a – 10 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 7 · 2-ª

1 1 –1 00 1 1 00 a – 3 7 0

1-ª

2-ª : 2

3-ª

1 1 –1 00 2 2 00 a – 3 7 0

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 1 –1 01 3 1 03 a 4 0

x + y – z = 0x + 3y + z = 0

3x + ay + 4z = 0

1 –1 –1 k0 0 3 1 – k0 3 k + 2 –2k

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 –1 –1 k1 –1 2 12 1 k 0

x – y – z = kx – y + 2z = 1

2x + y + kz = 0

3x + 2y + az = 15x + 3y + 3z = 2

x + y – z = 1

x – 2y + z = 1mx + y – z = 13x + 4y – 2z = –3

x + y – z = 0x + 3y + z = 0

3x + ay +4z = 0

x – y – z = kx – y + 2z = 1

2x + y + kz = 0


S

15 Discuteix els sistemes següents i resol-los quan siga possible:

a) b)

a) ( ) → ( )• Si k = – → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

2x – y = 4 →

Soluciones: (λ, 2λ – 4)

• Si k ≠ – → Sistema compatible determinado.

Solución: (2, 0)

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )• Si m = 10 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Haciendo z = 5λ.

Soluciones: (1 + λ, –1 + 3λ, 5λ)

• Si m ≠ 10 → Incompatible

16 Resol pel mètode de Gauss el sistema següent i interpreta’l geomètricament:

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

–5 + 3z 3zy = ——— = –1 + —

5 56z z

x = 3 + 2y – z = 3 – 2 + — – z = 1 + —5 5

x – 2y + z = 35y – 3z = –5

1 –2 1 30 5 –3 –50 0 0 m – 10

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

1 –2 1 30 5 –3 –50 5 –3 m – 15

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

1 –2 1 32 1 –1 15 –5 2 m

2ª

1-ª

3-ª

2 1 –1 11 –2 1 35 –5 2 m

2x + y – z = 1x – 2y + z = 3

5x – 5y + 2z = m

y = 0x = 2

2x – y = 4(2k + 1)y = 0

12

y = 2x –4x = λ

12

2 –1 40 0 00 2k + 1 0

1ª

2 · 2-ª + 1-ª

2 · 3-ª – 1-ª

2 –1 4–1 1/2 –21 k 2

2x – y = 4–x + y/2 = –2x + ky = 2

2x + y – z = 1x – 2y + z = 3

5x – 5y + 2z = m

2x – y = 4–x + y/2 = –2x + ky = 2


S

S

( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →

→

Soluciones: (λ, λ, 1 – 2 λ). Son cuatro planos con una recta en común.

17 Resol cada un dels sistemes següents per als valors de m que el fan compa-tible:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si m = 7 → Sistema compatible determinado

x = 3 – 2y = 1

Solución: (1, 1)

• Si m ≠ 7 → Sistema incompatible

b) ( ) → ( ) →

→ ( )1 –1 –2 20 3 7 –30 0 0 00 0 0 m + 1

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

4-ª – 2-ª

1 –1 –2 20 3 7 –30 3 7 –30 3 7 m – 2

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

4--ª – 1-ª

1 –1 –2 22 1 3 13 0 1 31 2 5 m

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3x + 2y + 5z = m

x + 2y = 3y = 1

1 2 30 1 10 0 m – 7

1-ª

2-ª : (–5)

3-ª – 2-ª

1 2 30 –5 –50 –5 m – 12

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 4 · 1-ª

1 2 32 –1 14 3 m

x + 2y = 32x – y = 14x + 3y = m

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3x + 2y + 5z = m

x + 2y = 32x – y = 14x + 3y = m

z = 1 – 2yx = 1 – y – z = yy = λ

x + y + z = 12y + z = 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª : 2

3-ª + 2ª

4-ª – 2ª

1 1 1 10 4 2 20 –4 –2 –20 4 2 2

1-ª

2-ª – 1ª

3-ª – 1ª

4-ª – 3 · 1ª

1 1 1 11 5 3 31 –3 –1 –13 7 5 5

3-ª

2-ª

1-ª

4-ª

1 –3 –1 –11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5


• Si m = –1 → Sistema compatible indeterminado.

Haciendo z = 3λ:

Soluciones: (1 – λ, –1 – 7λ, 3λ)

• Si m ≠ –1 → Sistema incompatible

18 Discuteix i resol en funció del paràmetre:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )• Si m = 1 → Sistema compatible indeterminado

Soluciones: (2 – 3λ, 4 – 4λ, λ)

• Si m ≠ 1 → Sistema compatible determinado


b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )• Si a = 2 → Sistema incompatible

1 1 1 00 1 1 –30 0 a – 2 2

1-ª

–2-ª

3-ª – 2-ª

1 1 1 00 –1 –1 30 –1 a – 3 5

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 1 1 02 1 1 33 2 a 5

1ª

3-ª

2-ª

1 1 1 03 2 a 52 1 1 3

x + y + z = 03x + 2y + az = 52x + y + z = 3

y = 0z = 1x = 2 – 3z = –1

x + 3z = 2y + 4z = 4

(m – 1)y = 0

x = 2 – 3zy = 4 – 4zz = λ

x + 3z = 2y + 4z = 4

1 0 3 20 1 4 40 m – 1 0 0

1-ª

–2-ª

3-ª + 2-ª

1 0 3 20 –1 –4 –40 m 4 4

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

1 0 3 22 –1 2 0–1 m 1 2

–3-ª

2-ª

1-ª

–1 m 1 22 –1 2 0–1 0 –3 –2

–x + my + z = 22x – y + 2z = 0–x – 3z = –2

x + y + z = 03x + 2y + az = 52x + y + z = 3

–x + my + z = 22x – y + 2z = 0–x – 3z = –2

–3 – 7z 7zy = ——— = –1 – —

3 37z z

x = 2 + y + 2z = 2 – 1 – — + 2z = 1 – —3 3

x – y – 2z = 23y + 7z = –3


S

S

• Si a ≠ 2 → Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

z =

y = –3 – z = –3 – =

x = –y – z = – =

Solución: ( , , )19 Discuteix els sistemes següents segons els valors de α i interpreta’ls geomè-

tricament:

a) b)

a) ( ) → ( )α ≠ 0

• Si α ≠ 1, queda:

( ) Sistema compatible indeterminado. Son dos rectas coincidentes.

• Si α = –1, queda:

( ) Sistema incompatible. Son dos rectas paralelas.

• Si α ≠ 1 y α ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son dos rectas se-cantes.

b) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si α ≠ 0 → Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan

en un punto.

• Si α = 0 → Sistema incompatible. Los planos se cortan dos a dos, pero nohay ningún punto común a los tres.

1 –1 0 10 5 –5 –180 5α 0 13

1-ª

2-ª

5 · 3-ª – 2-ª

1 –1 0 10 5 –5 –180 α + 1 –1 –1

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 –1 0 12 3 –5 –161 α –1 0

x – y = 12x + 3y – 5z = –16x + αy – z = 0

–1 –1 10 0 2

1 –1 10 0 0

α –1 10 1 – α2 2α2 – α – 1

1-ª

2-ª · α – 1-ª

α –1 11 –α 2α – 1

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

x – y = 12x + 3y – 5z = –16x + αy – z = 0

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

2a – 2

4 – 3aa – 2

3a – 6a – 2

3a – 6a – 2

2a – 2

–4 + 3aa – 2

4 – 3aa – 2

2a – 2

2a – 2

x + y + z = 0y + z = –3

(a – 2)z = 2


20 Es considera el sistema d’equacions lineals:

a) Troba un valor de a per al qual el sistema siga incompatible.

b) Discuteix si hi ha algun valor del paràmetre a per al qual el sistema sigacompatible determinat.

c) Resol el sistema per a a = 0.

( ) → ( ) →

→ ( )a) a = 2

b) No existe ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado.

c) Si a = 0, queda:

Soluciones: (2 – 3λ, – , λ)

21 Considera el sistema d’equacions:

a) Hi ha cap solució en què y siga igual a 0?

b) Resol el sistema.

c) Interpreta’l geomètricament.

( ) → ( ) →

( ) → ( )

x – z = 12y – z = –2

1 0 –1 10 2 –1 –20 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 2-ª

1 0 –1 10 2 –1 –20 –2 1 2

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 0 –1 11 2 –2 –12 –2 –1 4

3-ª

2-ª

1-ª

2 –2 –1 41 2 –2 –11 0 –1 1

2x – 2y – z = 4x + 2y – 2z = –1x – z = 1

2x – 2y – z = 4x + 2y – 2z = –1x – z = 1

12

y = – 1/2x – 1 + 3z = 1 → x = 2 – 3zz = λ

x + 2y + 3z = 1–2y = 1

1 2 3 10 a – 2 0 10 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

1 2 3 10 a – 2 0 10 a – 2 0 1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 2 3 11 a 3 22 (2 + a) 6 3

x + 2y + 3z = 1x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3

x + 2y + 3z = 1x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3


S

S

a) y = 0 →

Solución: (3, 0, 2)

b)

Soluciones: (3 + 2λ, λ, 2λ + 2)

c) Son tres planos que se cortan en una recta.

22 Troba un nombre de tres xifres sabent que aquestes sumen 9; que, si del nom-bre donat se li resta el que resulta d’invertir l’ordre de les seues xifres, la di-ferència és 198, i que la xifra de les desenes és mitjana aritmètica de les altresdues.

Llamamos x a la cifra de las unidades, y a la de las decenas y z a la cifra de lascentenas.

z y x → n-º = x + 10y + 100z

Tenemos que:

( ) → ( ) →

( ) → ( ) → ( )

Solución: El n-º es el 432.

23 Dos amics inverteixen 20 000 € cada un. El primer col·loca una quantitat A al4% d’interés, una quantitat B al 5% i la resta al 6%. L’altre inverteix la matei-xa quantitat A al 5%, la B al 6% i la resta al 4%.

Determina les quantitats A, B i C sabent que el primer obté uns interessos de1 050 € i el segon de 950 €.

z = 4y = 11 – 2z = 11 – 8 = 3x = z – 2 = 2

–x + z = 2y + 2z = 11

3z = 12

–1 0 1 20 1 2 110 0 3 12

1-ª

2-ª

3-ª + 2-ª

–1 0 1 20 1 2 110 –1 1 1

1-ª

2-ª

3-ª : 2

–1 0 1 20 1 2 110 –2 2 2

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

–1 0 1 21 1 1 91 –2 1 0

2-ª

1-ª

3-ª

1 1 1 9–1 0 1 21 –2 1 0

x + y + z = 9–x + z = 2x – 2y + z = 0

x + y + z = 9–99x + 99z = 198

2y = x + z

x + y + z = 9

x + 10y + 100z – (z + 10y + 100x) = 198

x + zy = ——

2

x = 1 + z = 1 + 2y + 2 = 3 + 2yz = 2y + 2y = λ

z = 2x = 1 + z = 3

x – z = 1– z = –2


S

S

( ) → ( ) →

( ) →

Solución: A = 5 000 €; B = 5 000 €; C = 10 000 €

Pàgina 46

24 Una botiga ha venut 600 exemplars d’un videojoc per un total de 6 384 €. Elpreu original era de 12 €, però també ha venut còpies defectuoses amb des-comptes del 30% i del 40%. Sabent que el nombre de còpies defectuoses ve-nudes va ser la meitat del de còpies en bon estat, calcula a quantes còpies s’a-plicà el 30% de descompte.

Llamamos x al n-º de copias vendidas al precio original, 12 €; y al n-º de copiasvendidas con un 30% de descuento, 0,7 · 12 = 8,4 €; y z al n-º de copias vendidascon un 40% de descuento, 0,6 · 12 = 7,2 €.

Así:

( ) → ( ) →

( ) → ( )

Solución: El 30% de descuento se le aplicó a 120 copias.

z = 80y = 120x = 400

x + y + z = 600y + z = 200

1,2z = 96

1 1 1 6000 1 1 2000 0 1,2 96

1-ª

3-ª

2-ª – 3,6 · 3-ª

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 1 1 200

1-ª

2-ª

3-ª : 3

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 3 3 600

1-ª

–2-ª + 12 · 1-ª

–3-ª + 1-ª

1 1 1 60012 8,4 7,2 6 3841 –2 –2 0

x + y + z = 60012x + 8,4y + 7,2z = 6384x – 2y – 2z = 0

x + y + z = 600

12x + 8,4y + 7,2z = 6384

xy + z = —

2

C = 10 000B = 5 000A = 5 000

A + B + C = 20 000B + 2C = 25 000

3C = 30 000

1 1 1 20 0000 1 2 250000 0 3 30000

1-ª

2-ª

–3-ª + 2-ª

1 1 1 200000 1 2 250000 1 –1 –5000

1-ª

2-ª – 4 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

1 1 1 200004 5 6 1050005 6 4 95000

A + B + C = 20 0004A + 5B + 6C = 105 0005A + 6B + 4C = 95 000

A + B + C = 20 0000,04A + 0,05B + 0,06C = 1 0500,05A + 0,06B + 0,04C = 950


25 Un caixer automàtic conté 95 bitllets de 10, 20 i 50 € i un total de 2 000 €. Siel nombre de bitllets de 10 € és el doble que el nombre de bitllets de 20 €, es-brina quants bitllets hi ha de cada tipus.

Llamamos x al n-º de billetes de 10 €; y al n-º de billetes de 20 €; y z al n-º de bi-lletes de 50 €. Tenemos que:

z = 95 – 3y

4y + 5(95 – 3y) = 200 → 4y + 475 – 15y = 200 → 275 = 11 y

y = 25 → z = 20 → x = 50

Solución: Hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €.

26 Es disposa de tres caixes A, B i C amb monedes d’1 euro. Se sap que en totalhi ha 36 euros. El nombre de monedes de A excedeix en 2 la suma de les mo-nedes de les altres dues caixes. Si es trasllada 1 moneda de la caixa B a la cai-xa A, aquesta tindrà el doble de monedes que B. Esbrina quantes monedes hihavia en cada caixa.

Llamamos x al n-º de monedas que hay en la caja A, y al n-º de monedas que hayen la caja B, y z al n-º de monedas que hay en la caja C. Tenemos que:

Sumando las dos primeras ecuaciones: 2x = 38 → x = 19

De la 3-ª ecuación → y = = 11

z = 36 – y – x = 6

Solución: Había 19 monedas en la caja A, 11 en la B y 6 en la C.

27 Un especulador adquireix 3 objectes d’art per un preu total de 2 milions d’eu-ros. Venent-los, espera obtindre’n uns guanys del 20%, del 50% i del 25%, res-pectivament, amb la qual cosa el seu benefici total seria de 600 000 €. Peròn’aconsegueix més, perquè amb la venda obté guanys del 80%, del 90% i del85%, respectivament, la qual cosa li dóna un benefici total d’1,7 milions d’eu-ros. Quant li va costar cada objecte?

Llamamos x a lo que le costó el 1–er objeto (en millones de euros), y a lo que lecostó el 2-º objeto y z a lo que le costó el 3–er objeto. Tenemos que:

( ) →1 1 1 22 5 2,5 68 9 8,5 17

x + y + z = 22x + 5y + 2,5z = 68x + 9y + 8,5z = 17

x + y + z = 20,2x + 0,5y + 0,25z = 0,60,8x + 0,9y + 0,85z = 1,7

x + 32

x + y + z = 36x – y – z = 2x – 2y = –3

x + y + z = 36x – y – z = 2x + 1 = 2y – 2

x + y + z = 36x = y + z + 2x + 1 = 2(y – 1)

3x + z = 954y + 5z = 200

x = 2y

x + y + z = 95x + 2y + 5z = 200x = 2y

x + y + z = 9510x + 20y + 50z = 2 000

x = 2y


S

( ) → ( )y = 0,5 z = = 1 x = 2 – y – z = 0,5

Solución: El 1–er objeto le costó 0,5 millones de euros (500 000 €), el 2-º le costó 0,5millones de euros (500 000 €) y el 3-º le costó 1 millón de euros (1 000 000 €).

28 Una empresa disposa de 27 200 € per a activitats de formació dels seus centempleats. Després d’estudiar les necessitats dels empleats, s’ha deciditorganitzar tres cursos: A, B i C. La subvenció per persona per al curs A és de400 €, per al curs B és de 160 €, i de 200 € per al C. Si la quantitat que esdedica al curs A és cinc vegades més gran que la corresponent al B, quantsempleats segueixen cada curs?

Llamamos x al n-º de empleados que siguen el curso A; y al n-º de empleados quesiguen el curso B, y z al n-º de empleados que siguen el curso C. Tenemos que:

24y + 500 – 15y = 680 → 9y = 180 → y = 20 → z = 40; x = 40

Solución: 40 empleados siguen el curso A, 20 empleados siguen el curso B y 40 si-guen el curso C.

29 Un automòbil puja els pendents a 54 km/h, els baixa a 90 km/h i en pla mar-xa a 80 km/h. Per a anar de A a B tarda 2 hores i 30 minuts, i per a tornar deB a A, 2 hores i 45 minuts. Quina és la longitud de camí pla entre A i B si sa-bem que la distància entre A i B és de 192 km?

Llamamos x a la longitud de camino llano entre A y B, y a la longitud de cuestaarriba yendo de A a B y z a la longitud de cuesta abajo yendo de A a B. Tenemosque:

( ) → ( ) →1-ª

2-ª

3-ª · 3 + 2-ª · 13

1 1 1 1920 13 –3 2160 –3 13 756

1-ª

2-ª – 27 · 1-ª

3-ª – 27 · 1-ª

1 1 1 19227 40 24 540027 24 40 5940

x + y + z = 19227x + 40y + 24z = 5 40027x + 24y + 40z = 5 940

x + y + z = 192 km

x y z— + — + — = 2,5 horas80 54 90

x y z— + — + — = 2,75 horas80 90 54

z = 100 – 3y24y + 5(100 – 3y) = 680

3y + z = 10024y + 5z = 680

x + y + z = 10010x + 4y + 5z = 680

x = 2y

x + y + z = 10010x + 4y + 5z = 680

400x = 800y

x + y + z = 100400x + 160y + 200z = 27 200400x = 5 · 160y

1 – y0,5

x + y + z = 22y = 1y + 0,5z = 1

1 1 1 20 2 0 10 1 0,5 1

1-ª

2-ª – 3-ª

3-ª

1 1 1 20 3 0,5 20 1 0,5 1

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 8 · 1-ª


S

S

( )Solución: La longitud de camino llano entre A y B es de 94,8 Km.

30 Tres amics acorden jugar tres partides de daus de forma que, quan un perda,donarà a cada un dels altres dos una quantitat igual a la que cada un posseïs-ca en aquell moment. Cada un va perdre una partida, i al final cada un tenia24 €. Quant tenia cada jugador en començar?

Hacemos una tabla que resuma la situación:

( ) →

( ) → ( ) → ( )

Solución: El jugador que perdió primero tenía 39 euros, el que perdió en 2-º lugartenía 21 € y el que perdió en 3–er lugar tenía 12 €.

31 L’edat d’un pare és doble de la suma de les edats dels seus dos fills, mentreque fa uns anys (exactament la diferència de les edats actuals dels fills)l’edat del pare era triple que la suma de les edats en aquell temps dels seusfills. Quan passen tants anys com la suma de les edats actuals dels fills,entre els tres sumaran 150 anys. Quina edat tenia el pare quan van nàixerels fills?

Hacemos una tabla:

z = 12y = 9 + z = 21x = 6 + y + z = 39

x – y – z = 6y – z = 9

2z = 24

1 –1 –1 60 1 –1 90 0 2 24

1-ª

2-ª

3-ª + 2-ª

1 –1 –1 60 1 –1 90 –1 3 15

1-ª

2-ª : 2

3-ª : 2

1 –1 –1 60 2 –2 180 –2 6 30

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

1 –1 –1 6–1 3 –1 12–1 –1 7 24

x – y – z = 6–x + 3y – z = 12–x – y + 7z = 24

4x – 4y – 4z = 24–2x + 6y – 2z = 24–x – y + 7z = 24

y = 31,725 kmz = 65,475 kmx = 94,800 km

x + y + z = 19213y – 3z = 216

160y = 5 076

1 1 1 1920 13 –3 2160 160 0 5076


COMIENZO 1-ª PARTIDA 2-ª PARTIDA 3-ª PARTIDA

1-º QUE PIERDE x x – y – z 2x – 2y – 2z 4x – 4y – 4z

2-º QUE PIERDE y 2y –x + 3y – z –2x + 6y – 2z

3-º QUE PIERDE z 2z 4z –x – y + 7z

EDAD ACTUAL HACE y – z AÑOS DENTRO DE y + z AÑOS

PADRE x x – y + z x + y + z

1–er HIJO y y – y + z = z 2y + x

2-º HIJO z z – y + z = –y + 2z y + 2z

Tenemos que:

( ) →

( ) → ( ) → ( )Actualmente tienen estas edades.

Solución: Cuando nació el 1–er hijo, el padre tenía 35 años; cuando nació el 2-º hijo,tenía 40 años.

32 Un fabricant produeix 42 electrodomèstics. La fàbrica abasteix 3 botigues,que demanden tota la producció. En una certa setmana, la primera botiga vasol·licitar tantes unitats com la segona i tercera juntes, mentre que la segonava demanar un 20% més que la suma de la meitat d’allò que s’ha demanat perla primera més la tercera part d’allò que s’ha demanat per la tercera. Quinaquantitat va sol·licitar cada una?

Llamamos x a la cantidad que solicitó la 1-ª tienda, y a la que solicitó la 2-ª tienday z a la que solicitó la 3-ª tienda. Tenemos que:

x + y + z = 42 x + y + z = 42 x – y – z = 0 x – y – z = 0

x = y + z x – y – z = 0 x + y + z = 42 x + y + z = 42

y = 1,2 ( + ) 6y = 3,6x + 2,4z 60y = 36x + 24z 5y = 3x + 2z

( ) → ( ) →

( )Solución: La 1-ª tienda solicitó 21 electrodomésticos; la 2-ª, 15; y la 3-ª, 6.

z = 6y = 21 – z = 15x = y + z = 21

x – y – z = 0y + z = 21

7z = 42

1 –1 –1 00 1 1 210 0 7 42

1-ª

2-ª : 2

3-ª + 2-ª

1 –1 –1 00 2 2 420 –2 5 0

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –1 –1 01 1 1 423 –5 2 0

x – y – z = 0x + y + z = 42

3x – 5y + 2z = 0

z3

x2

z = 10y = 25 – z = 15x = 2y + 2z = 50

x – 2y – 2z = 0– 5z = –50

y + z = 25

1 –2 –2 00 0 –5 –500 1 1 25

1-ª

2-ª – 2 · 3-ª

3-ª

1 –2 –2 00 2 –3 00 1 1 25

1-ª

2-ª : 2

3-ª : 6

1 –2 –2 00 4 –6 00 6 6 150

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

1 –2 –2 01 2 –8 01 4 4 150

x – 2y – 2z = 0x + 2y – 8z = 0x + 4y + 4z = 150

x = 2y + 2zx – y + z = –3y + 9zx + 4y + 4z = 150

x = 2(y + z)x – y + z = 3(–y + 3z)x + y + z + 2y + z + y + 2z = 150


S

S

QÜESTIONS TEÒRIQUES

33 Per a quins valors de a i b serà compatible aquest sistema?

Serà determinat?

El sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a y b. (Luego, noes determinado para ningún valor de a y b).

34 Prova que, si en un sistema d’equacions S sumem a una equació una altramultiplicada per un nombre, el sistema resultant, S’, és equivalent al primer.

Cualquier solución del primero también lo es del segundo, y al revés.

35 Si tenim un sistema compatible indeterminat de 2 equacions lineals amb 2incògnites, es pot aconseguir un sistema incompatible afegint-hi una terceraequació?

Sí. Por ejemplo:

Incompatible

36 Si a un sistema de 2 equacions amb 2 incògnites incompatible agreguem unaaltra equació, podríem aconseguir que fóra compatible indeterminat? I de-terminat? Justifica les respostes.

No. Si el sistema es incompatible, las dos ecuaciones iniciales son contradictorias.Añadiendo otra ecuación, no podemos cambiar este hecho; el sistema seguirásiendo incompatible.

Pàgina 47

37 És possible convertir aquest sistema en compatible indeterminat canviant-hiun signe?

Sí. Si cambiamos la 2-ª ecuación por x + y + z = 1, o bien, si cambiamos la 3-ªecuación por x + y + z = 1, el sistema resultante será compatible indeterminado.

38 Donades les equacions:

a) Afig-hi una equació perquè el sistema siga incompatible.

b) Afig-hi una equació perquè el sistema siga compatible determinat.

Justifica en cada cas el procediment seguit.

3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4

x + y + z = 1x – y + z = 1x + y – z = 1

Compatible indeterminado

x + 2y = 32x + 4y = 6x + 2y = 1

x + y + z = ax – y – z = b


S

S

a) Para que sea incompatible, la ecuación que añadamos ha de ser de la forma:

a (3x – 2y + z) + b (2x – 3y + z) = k con k ≠ 5a – 4b.

Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 0, k = 1, queda:

3x – 2y + z = 1

Añadiendo esta ecuación, el sistema sería incompatible.

b) Por ejemplo, añadiendo y = 0, queda:

Compatible determinado

39 Defineix quan dos sistemes d’equacions lineals són equivalents. Justifica sisón equivalents o no els sistemes següents:

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando todas las solucionesdel 1–er sistema lo son también del 2-º, y al revés.

Los dos sistemas dados no son equivalentes, puesto que el 1-º es compatible inde-terminado (tiene infinitas soluciones) y el 2-º es determinado (solo tiene una solu-ción).

40 Troba raonadament dos valors del paràmetre a per als quals el sistema se-güent siga incompatible:

( ) → ( ) →

( ) Si a = 1 o a = 6, el sistema es incompatible.

41 Siguen S i S’ dos sistemes equivalents amb solució única que tenen igualsels termes independents. Podem assegurar que tenen iguals els coeficientsde les incògnites?

1 1 2 0a – 1 0 0 1

1 0 3 20 0 a – 6 –1

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª – 2 · 3-ª

1 1 2 0a – 1 0 0 1

1 0 3 22 0 a 3

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

4-ª

1 1 2 0a 1 2 11 0 3 22 0 a 3

x + y + 2z = 0ax + y + 2z = 1

x + 3z = 22x + az = 3

x + y + 2z = 0ax + y + 2z = 1x + 3z = 2

2x + az = 3

x = 2y = 1z = –1

x + y + z = 2x + y – z = 4

x = 9y = 0z = –22

3x + z = 52x + z = –4

y = 0

3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4

y = 0


S

S

No. Por ejemplo, los sistemas:

S: S':

son equivalentes, con solución única (2, 1), tienen iguales los términos indepen-dientes, pero no los coeficientes de las incógnitas.

PER A APROFUNDIR

42 Discuteix els sistemes següents en funció del paràmetre a i resol-los en elcas que siguen compatibles indeterminats:

a) b)

a) ( ) →

( )• Si a = 1, queda:

( ) → Sistema incompatible

• Si a = 2, queda:

( ) → ( ) →→ Sistema compatible indeterminado

Lo resolvemos en este caso:

Soluciones: (1 – λ, 0, λ)

• Si a ≠ 1 y a ≠ 2 → Sistema compatible determinado

x + z = 1 → x = 1 – zy = 0

z = λ

x + y + z = 1y = 0

1 1 1 10 0 0 00 1 0 0

1-ª

2-ª + 3-ª

3-ª

1 1 1 10 –1 0 00 1 0 0

1 1 1 00 –1 –1 10 0 0 1

1 1 1 a – 10 –1 a – 2 –a + 20 a – 1 0 2 – a

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 a – 12 1 a a1 a 1 1

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

ax + y – z = 02x + ay = 2–x + z = 1

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

2x – y = 32x – 3y = 1

x + y = 3x – y = 1


S

S

b) ( ) → ( ) →

( ) → ( )a ≠ 0

–a2 + a + 2 = 0 → a = =

• Si a = –1, queda:


• Si a = 2, queda:

( ) → ( )Sistema compatible indeterminado

Soluciones: (λ, 1 – λ, 1 + λ)

• Si a ≠ –1 y a ≠ 2 → Sistema compatible determinado

43 Discuteix el sistema següent segons els valors del paràmetre a. Interpreta’lgeomètricament:

( ) →

( ) → ( )• Si a = 1, queda:


Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

1 1 1 –10 0 0 50 –2 0 2

1 1 1 –1a – 1 0 0 5

0 –a – 1 0 2

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 –1a 1 1 41 –a 1 1

2-ª

1-ª

3-ª

a 1 1 41 1 1 –11 –a 1 1

ax + y + z = 4x + y + z = –1x – ay + z = 1

ax + y + z – 4 = 0x + y + z + 1 = 0x – ay + z – 1 = 0

ax + y + z – 4 = 0x + y + z + 1 = 0x – ay + z – 1 = 0

z = 1 + xy = 1 – xx = λ

–x + z = 1x + y = 1

–1 0 1 11 1 0 10 0 0 0

1-ª

2-ª : 2

3-ª

–1 0 1 12 2 0 20 0 0 0

–1 0 1 12 –1 0 20 0 0 3

a = –1a = 2

–1 ± 3–2

–1 ± √1 + 8–2

–1 0 1 12 a 0 2

–a2 + a + 2 0 0 2 – a

1-ª

2-ª

–a · 3-ª + 2-ª

–1 0 1 12 a 0 2

a – 1 1 0 1

1-ª

2-ª

3-ª + 1-ª

–1 0 1 12 a 0 2a 1 –1 0

3-ª

2-ª

1-ª

a 1 –1 02 a 0 2–1 0 1 1

ax + y – z = 02x + ay = 2–x + z = 1


• Si a = –1, queda:


Los dos últimos planos son paralelos y el primero los corta.

• Si a ≠ 1 y a ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son tres planos quese cortan en un punto.

PER A PENSAR UN POC MÉS

44 Resol el sistema següent:

☛ Si sumes les cinc igualtats, n’obtindràs una altra amb què se’t poden simplificarmolt els càlculs

Sumando las cinco igualdades, obtenemos:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 76, es decir:

4(x + y + z + t + w) = 76, o bien:

x + y + z + t + w = 19

Por tanto: (x + y + z + t) + w = 17 + w = 19 → w = 2

(x + y + z + w) + t = 16 + t = 19 → t = 3

(x + y + t + w) + z = 15 + z = 19 → z = 4

(x + z + t + w) + y = 14 + y = 19 → y = 5

(y + z + t + w) + x = 14 + x = 19 → x = 5

45 Ens diuen que x, y, z, t, w són nombres enters i que k val 36 o 38. Decideixraonadament quin dels dos és el seu valor i resol el sistema:

x + y + z + t = 35x + y + z + w = 36x + y + t + w = 38x + z + t + w = 39

y + z + t + w = k


y + z + t + w = 14


y + z + t + w = 14

1 1 1 –1–2 0 0 50 0 0 2


Sumando las cinco igualdades, obtenemos:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 148 + k, es decir:

4(x + y + z + t + w) = 148 + k, o bien:

x + y + z + t + w = 37 +

Si x, y, z, t, w son números enteros, su suma también lo será; luego, k debeser múltiplo de 4. Como nos dicen que vale 36 ó 38, tenemos que ha de ser k = 36(pues 38 no es múltiplo de 4).

Resolvemos el sistema, ahora que sabemos que k = 36:

La suma de las cinco igualdades dará lugar a:

x + y +z + t + w = 37 + = 37 + 9 = 46

Por tanto: (x + y + z + t) + w = 35 + w = 46 → w = 11

(x + y + z + w) + t = 36 + t = 46 → t = 10

(x + y + t + w) + z = 38 + z = 46 → z = 8

(x + z + t + w) + y = 39 + y = 46 → y = 7

(y + z + t + w) + x = 36 + x = 46 → x = 10

46 Una colla de 5 obrers es compromet a podar els 222 arbres d’una plantació.Treballen de dilluns a dissabte. Cada dia, quatre d’ells poden i el cinqué elsatén (reposa eines, els dóna aigua, arreplega els troncs que cauen…). Cadaobrer poda el mateix nombre d’arbres cada dia, és a dir, si Albert poda 8 ar-bres un dia, podarà 8 arbres cada dia que intervinga. Els resultats són:

Dilluns: 35 arbres podats.

Dimarts: 36 arbres podats.

Dimecres: 36 arbres podats.

Dijous: 38 arbres podats.

Divendres: 38 arbres podats.

Dissabte: 39 arbres podats.

Calcula quants arbres diaris poda cada un dels cinc obrers sabent que capd’ells poda els sis dies.

364

k4


y + z + t + w = k


Llamamos:

w = n-º de árboles diarios que poda el obrero que descansa el lunes.

t = n-º de árboles diarios que poda el obrero que descansa el martes.

(Es otro el que descansa, pues la suma es diferente).

z = n-º de árboles diarios que poda el que descansa el jueves.

(Es otro distinto, pues la suma es diferente).

y = n-º de árboles diarios que poda el que descansa el sábado.

(Es otro, pues la suma es distinta a las anteriores).

x = n-º de árboles diarios que poda el obrero que falta.

(Descansará el miércoles o el viernes; coincidirá con t o con z).

Así, el n-º de árboles que se podan cada día será:

x + y + z + t = 35

x + y + z + w = 36

x + y + t + w = 38 x, y, z, t, w son enteros

x + z + t + w = 39

y + z + t + w = k

k puede ser 36 ó 38

Se trata de resolver este sistema.

Por el ejercicio anterior, sabemos que k = 36; y que:

x = 10, y = 7, z = 8, t = 10, w = 11

Por tanto, el que poda 11 árboles descansa el lunes, uno de los que podan 10 ár-boles descansa el martes, el que poda 8 árboles descansa el jueves y el viernes, elque poda 7 árboles descansa el sábado y el otro que poda 10 árboles, descansa elmiércoles.


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1 SISTEMES D’EQUACIONS. MÈTODE DE GAUSSdepmat.webcindario.com/2batsalutTema 1. Sistemes equacions. Meto… · Modifica el terme independent de la segona equació del sistema que