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1 Trayectoria y ley horaria
1.1 Posición instantánea
Cuando una partícula se mueve por el espacio en cada instante ocupará una posición,
que irá cambiando de forma continua con el tiempo (ya que la partícula no puede
desmaterializarse o teleportarse a otra posición).
En principio podemos etiquetar cada posición por una letra A, B, C,... Sin embargo, es
más práctico identificar cada posición por su vector de posicióncuyas componentes
cartesianas son las distancias (con signo) a los planos coordenados
Aquí x(t), y(t) y z(t) son ciertas funciones continuas del tiempo.
Cuando se da la posición de la partícula como función del tiempo se dice que se
conocen las ecuaciones horarias del movimiento.
1.2 Desplazamiento
El desplazamiento de una partícula en un intervalo Δt es la diferencia (vectorial) entre
la posición al final del intervalo y la posición inicial
Es importante hacer la distinción entre el desplazamiento y la distancia recorrida. Una
partícula que recorra una curva cerrada tendrá un desplazamiento nulo, aunque la
distancia recorrida no sea nula.
1.3 Desplazamiento diferencial
Cuando tenemos un desplazamiento entre dos instantes muy próximos,separados un
intervalo dt, se dice que tenemos un desplazamiento diferencial
Desde el punto de vista matemático, la palabra diferencial implica el proceso de tomar
el límite , con lo que técnicamente un desplazamiento diferencial tiene
longitud nula. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, es más sencillo considerar
un desplazamiento diferencial como de longitud muy pequeña comparada con las
distancias típicas consideradas. Por ejemplo, si estamos hablando del desplazamiento
de un vehículo sobre distancias de kilómetros a lo largo de minutos, un intervalo de
milisegundos puede tratarse como un diferencial de tiempo, y un desplazamiento de
milímetros puede considerarse un desplazamiento diferencial.
1.4 Trayectoria
Una partícula, al evolucionar en el tiempo, salvo cuando se encuentre en reposo,
describe una curva en el espacio. Esta curva se conoce como la trayectoriade la
partícula. Las ecuaciones horarias sirven como ecuaciones paramétricas de la
trayectoria, siendo el tiempo el parámetro.
No obstante, a una misma trayectoria le pueden corresponder infinitas ecuaciones
horarias, dependiendo del ritmo con el que se recorre la curva. Por ejemplo, las
ecuaciones horarias
y
corresponden a la misma trayectoria, un arco de parábola horizontal.
En ocasiones, para indicar la trayectoria es preferible usar ecuaciones implícitas. En
estas, se dan dos funciones (una sola, si el movimiento es plano), tales que
Así, los dos ejemplos anteriores verifican
1.5 Parametrización de una trayectoria
La trayectoria que sigue una partícula es una propiedad puramente geométrica,
independiente de si se recorre con una cierta velocidad u otra diferente. Por ello, para
describir la trayectoria, considerada como curva en el espacio, no es preciso -ni
siquiera conveniente- que en esta descripción aparezca explícitamente el tiempo. Todo
lo que necesitamos es un método para identificar los puntos que componen la
trayectoria.
Esto se consigue mediante una parametrización, que no es más que la asignación de
etiquetas individuales para cada punto. Por conveniencia de cálculo, esta etiqueta
consiste usualmente en una variable , que varía de forma continua a lo largo de la
curva.
Por ejemplo, para parametrizar una trayectoria circular, la variable más cómoda es el
ángulo que forma el vector de posición con un eje fijo
y no es necesario interpretar en términos de un tiempo (aunque puede hacerse,
para visualizar la curva, al variar de forma uniforme, recorremos la circunferencia
con rapidez constante).
1.6 Distancia medida sobre la curva
Para evitar el problema que supone identificar si las trayectorias de diferentes
movimientos son coincidentes o no (debido a las diferencias en el ritmo con el que se
recorre, o las variables empleadas para describir la trayectoria) se introduce
la parametrización natural única para cada trayectoria (salvo un signo).
La idea es sencilla. En lugar de etiquetar cada punto de la trayectoria con el instante
en que se pasa por él o con una variable arbitraria, se etiqueta usando la
distancia s (sobre la curva) desde un punto de referencia:
Esto es exactamente lo que se hace en las carreteras, cuyos puntos se identifican
mediante los postes kilométricos (y no por la hora en que un viajero concreto pase por
cada punto).
La parametrización natural es única para cada trayectoria, salvo el signo
correspondiente al sentido en que se recorre la curva (en el caso de la carretera, si
desde Sevilla a Granada, o desde Granada a Sevilla). También el punto desde el que se
empieza a contar queda libre.
A la variable s, que mide la distancia sobre la curva, se la denomina parámetro
natural o parámetro arco. Para medir la distancia a lo largo de la curva lo que se hace
es rectificar esta. Rectificar consiste en descomponer la curva en una infinitud de
trozos de longitud diferencial, cada uno de los cuales se puede considerar
aproximadamente rectilíneo, de forma que
Sumando las longitudes de muchos trocitos diferenciales (esto es, integrando),
obtenemos el valor del parámetro arco en un punto de la curva
2 Ley horaria
Cuando se tiene la trayectoria parametrizada en términos de la distancia medida sobre
la curva la descripción se completa indicando cómo cambia esta variable con el tiempo.
Esta dependencia temporal se conoce como ley horaria:
En el ejemplo de un coche que va de Sevilla a Granada, la ley horaria sería la hora a la
que pasó por cada punto del camino sin prestar atención si en ese punto en concreto la
carretera va hacia el sur o hacia el este.
Según esto, las ecuaciones horarias del movimiento pueden descomponerse en la
trayectoria por un lado y la ley horaria por otro:
Si en lugar del parámetro arco, se describe la trayectoria con otra variable, como el
ángulo del ejemplo anterior, también se denomina ley horaria a la dependencia de esta
variable con el tiempo. Así, en general:
3 Velocidad
3.1 Velocidad media
Se define la velocidad media como el cociente entre el desplazamiento en un intervalo
de tiempo y la duración de dicho intervalo
De la definición se desprende que:
La velocidad es un vector: posee dirección y sentido, no solo un módulo (por
tanto, decir que la velocidad es de 120 km/h es una información incompleta).
Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema internacional
serán m/s.
La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por tanto
en un movimiento cíclico la velocidad media es nula, pues el punto final e inicial
coinciden, independientemente de la distancia que se haya recorrido.
La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a
un desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el valor
absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto ha cambiado la
posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar dicho desplazamiento.
3.2 Velocidad instantánea
De forma análoga al caso del movimiento rectilíneo definimos la velocidad instantánea
como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (se
reduce a un instante)
Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantánea es la derivada
respecto al tiempo del vector de posición. En mecánica, una derivada respecto al
tiempo suele representarse con un punto sobre la magnitud
De esta definición se deduce que:
La velocidad instantánea es un vector: posee módulo, dirección y sentido.
Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por un
tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente.
La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto.
Si lo que conocemos es la velocidad, como función del tiempo, hallamos la posición por
integración
3.3 Propiedades de la velocidad como vector
3.3.1 Componentes cartesianas
En un sistema de referencia considerado como fijo, las componentes cartesianas de la
velocidad vienen dadas por las derivadas respecto al tiempo de las componentes de la
posición
o, separando por componentes
Matemáticamente ello equivale a tratar el movimiento tridimensional como una
combinación de tres movimientos unidimensionales. Por ello, podemos hallar cada
componente de la posición integrando la componente de la velocidad correspondiente
3.3.2 Velocidad y ley horaria
Si tenemos el movimiento descrito en términos de la trayectoria y la ley horaria
podemos hallar la velocidad en cada punto empleando la regla de la cadena
Hay que resaltar que la velocidad es siempre la derivada de la posición respecto al
tiempo, no respecto al primer parámetro que aparezca. Por ejemplo, imaginemos que
se nos dice que una partícula describe la trayectoria circular
entonces su velocidad en cada punto será
y su valor dependerá de cómo cambie el ángulo con el tiempo, a través del factor . Si
no se incluye este factor, el cálculo será erróneo.
3.3.3 Módulo
Como todo vector, el vector velocidad instantánea posee un módulo, dirección y
sentido, pudiendo escribirse en la forma
siendo un vector unitario en la dirección y sentido de la velocidad, del que
hablaremos más adelante.
En numerosas ocasiones no estamos interesados en la dirección y sentido de la
velocidad, ya que sabiendo que es tangente a la trayectoria, podemos determinarlos
geométricamente. En ese caso, la información necesaria se reduce al módulo de la
velocidad, . A esta cantidad se la conoce como rapidez (o celeridad):
Lo que en el habla cotidiana se denomina velocidad (“iba a 180 km/h”) es realmente
una rapidez. Cuando la dirección y el sentido se dan por supuestos, la confusión entre
los dos términos no es especialmente grave, pero siempre hay que tener en mente que
la velocidad es realmente un vector, no un escalar.
3.3.3.1 Movimiento uniforme
La celeridad es la cantidad que nos informa del ritmo con el que se recorre la
trayectoria. En particular, cuando la trayectoria (cualquiera que ésta sea) se recorre
con rapidez constante, el movimiento se denominamovimiento uniforme.
Así, por ejemplo, un movimiento circular uniforme no es un movimiento a velocidad
constante, ya que aunque su módulo no varíe, su dirección y sentido cambian a lo
largo de la trayectoria.
3.3.3.2 Unidades
La rapidez posee unidades de una distancia dividida por un tiempo. La unidad SI es el
m/s, aunque otras unidades son de uso frecuente:
m/s km/h mph nudos
1 m/s = 1 3.6000 2.2369 1.9438
1 km/h = 0.2778 1 0.6214 0.5400
1 mph = 0.4470 1.6093 1 0.8690
1 nudo = 0.5144 1.8520 1.1508 1
Otra rapidez de uso frecuente en Física es la velocidad de la luz
de forma que la celeridad de una partícula elemental suele expresarse como, por
ejemplo, v = 0.01c, con lo que la velocidad de la luz funciona también como unidad de
medida de velocidades
3.3.3.3 Relación con la distancia
La rapidez equivale a la velocidad con la que se recorre la distancia medida a lo largo
de la curva
Esto quiere decir que, si conocemos la rapidez a lo largo de un movimiento, podemos
determinar la distancia recorrida hasta un instante dado
Ejemplo. Movimiento circular uniforme
Como ilustración supongamos el movimiento circular
La rapidez la calculamos como el módulo de la velocidad
La distancia recorrida sobre la curva es entonces, suponiendo que empezamos a medir
desde t = 0
Invirtiendo esta relación
podemos escribir la ecuación de la circunferencia en función de la distancia medida
sobre ella.
Este resultado debería ser evidente, ya que nos dice que cuando aumentamos el radio
de la circunferencia, debemos recorrer una mayor distancia para girar el mismo
ángulo.
3.3.3.4 Rapidez media
La rapidez (o celeridad) media de un movimiento en un intervalo es igual al cociente
entre la distancia recorrida en dicho intervalo y su duración
Esta es la cantidad que se usa en el habla coloquial al referirse a la “velocidad media”
(“hizo un promedio de 110 km/h”).
Hay que destacar que la rapidez media no es igual al módulo de la velocidad media.
Consideremos un piloto de Fórmula 1 que recorre los 300 km de una carrera en 1:30 h,
llegando finalmente a la meta. En ese caso su celeridad media es 200 km/h, pero su
velocidad media es nula (pues no hay desplazamiento; acaba donde empezó).
3.3.4 Dirección y sentido. Vector tangente
De la definición de velocidad se deduce que se trata de un vector siempre tangente a
la trayectoria, ya que un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria es un
vector en la dirección de esta. Esto nos permite definir un vector unitario tangente a la
trayectoria normalizando la velocidad
o, tal como dijimos antes,
Puede demostrarse que el vector unitario tangente es independiente de la rapidez,
esto es, que da igual que la trayectoria se recorra rápido o lento, el unitario tangente
resultante es el mismo. Depende exclusivamente de la geometría de la trayectoria.
La única ambigüedad posible es el sentido. Dado que una misma curva puede
recorrerse en un sentido o en el opuesto, existen dos posibles orientaciones para el
vector tangente. Para un movimiento dado el unitario tangente siempre apunta en el
sentido de avance de la partícula.
En un estado de reposo (instantáneo o permanente), y el vector tangente no
está definido.
3.3.4.1 Recta tangente
El origen de la expresión “irse por la tangente” corresponde al caso de una partícula
que abandona su movimiento curvo para seguir un movimiento rectilíneo con la
velocidad que llevaba en el momento de abandonar la trayectoria original.
Si en un instante dado t1 la partícula ocupa la posición y se mueve con velocidad
la recta tangente a la trayectoria se obtiene prolongando hacia adelante y hacia atrás
en la dirección de la velocidad,
Esta es la recta que seguiría una partícula que se moviera uniformemente y que pasara
por el mismo punto y a la misma velocidad que la partícula real. Es el movimiento
rectilíneo y uniforme que más se aproxima al real de la partícula en las proximidades
del instante t1.
En muchas ocasiones, si no vamos a considerar instantes muy alejados de uno dado,
puede ser más f´cil trabajar con la recta tangente que con el movimiento auténtico, el
cual puede ser muy complejo.
3.3.4.2 Movimiento rectilíneo
En tres dimensiones, un movimiento es rectilíneo se expresa diciendo que la dirección
de la velocidad es constante (con posibles cambios de sentido). Esto equivale a que el
vector tangente es constante (con posibles inversiones, como en el caso del
movimiento armónico simple, que el sentido de movimiento va y viene, pero el
movimiento es rectilíneo)
3.3.5 Movimiento rectilíneo y uniforme
Combinando los dos enunciados anteriores se tiene que, en tres dimensiones, un
movimiento es rectilíneo y uniforme cuando el módulo de la velocidad es constante y
cuando también lo es su dirección y sentido. Esto es, cuando la velocidad, como vector,
es constante
4 Aceleración
4.1 Definición
Se define la aceleración media como lo que varía la velocidad, dividido por el tiempo
empleado en realizar el cambio
Del mismo modo que se define la velocidad instantánea como la derivada de la
posición respecto al tiempo, se define la aceleración instantánea como la derivada de
la velocidad respecto al tiempo
Esto quiere decir que la aceleración es la segunda derivada del vector de posición
respecto al tiempo, lo que se indica con dos puntos sobre la magnitud
4.2 Unidades
La aceleración tiene unidades de velocidad dividida por tiempo, que en el SI será
(m/s)/s = m/s².
Una magnitud con dimensiones de aceleración que es especialmente importante es la
aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, cuyo valor estándar es, por
definición,
de manera que muchas aceleraciones se expresan como múltiplos de esta unidad,
aunque dichas aceleraciones no estén relacionadas con la gravedad.
4.3 Componentes cartesianas
Considerando que la base es fija, resulta que las componentes cartesianas de
la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y
segundas derivadas de las de la posición)
o, separando por componentes
Cuando se separa un movimiento en sus componentes, puede verse como la
superposición de tres movimientos rectilíneos. Así, por ejemplo, el movimiento
se descompone como
siendo las componentes cartesianas de su aceleración
y por tanto, puede verse como la superposición de dos movimientos armónicos
simples. Sin embargo, el resultado no es un un m.a.s. (que es un movimiento
rectilíneo), sino un movimiento circular, según hemos dicho.
4.4 Cálculo de la velocidad y la posición
Si conocemos la aceleración en todo instante
y las condiciones iniciales
podemos determinar la velocidad en cada instante integrando una vez
y la posición integrando una segunda vez
4.4.1 Caso de una aceleración constante
En el caso de que la aceleración sea constante en el tiempo, la integración de la
ecuación anterior es inmediata
4.4.2 Aproximación parabólica
Cuando conocemos la posición , la velocidad y la aceleración del movimiento,
podemos hallar cuál sería el movimiento de aceleración constante que más se
aproxima l movimiento real en ese instante
Esta es una aproximación muy buena para el movimiento real si no nos alejamos
mucho del instante de tangencia. Representa una mejora sobre la aproximación lineal
(la recta tangente) vista anteriormente.
De manera análoga pueden hallarse aproximaciones de tercer grado, de cuarto… Cada
una será más precisa que la anterior, pero requerirá más términos y por tanto más
cálculos.
4.5 Componentes intrínsecas
A diferencia de la velocidad, la aceleración puede formar un ángulo cualquiera con la
trayectoria.
Podemos escribir entonces el vector aceleración como suma de dos componentes, una
en la dirección de movimiento, tangente a la velocidad, y un resto perpendicular a ella.
Estas dos componentes se denominanaceleración tangencial y aceleración normal.
Estas son las denominadas componentes intrínsecas de la aceleración.
Hay que destacar que la aceleración tangencial y la normal son vectores, no
cantidades escalares. No obstante, también se denominan usualmente de la misma
manera a las componentes escalares, dado por supuesto la dirección y el sentido.
4.5.1 Expresiones algebraicas
A partir del doble producto vectorial, pueden hallarse expresiones para la componente
tangencial y la componente normal de la aceleración
Aceleración tangencial
o, usando el vector unitario tangente a la trayectoria
Si solo deseamos la componente escalar en la dirección del vector tangente
Aceleración normal
Puesto que la suma de la aceleración tangencial y la normal nos da el vector
aceleración, podemos despejar
Podemos calcularla directamente empleando el doble producto vectorial
Si solo deseamos el valor de la componente escalar
4.5.2 Interpretación física
Las componentes intrínsecas de la aceleración poseen interpretación física, además de
la puramente algebraica.
Sabemos que la velocidad, como vector, posee módulo (la rapidez) y dirección y
sentido (expresados por el vector unitario tangente)
En el movimiento rectilíneo la aceleración sólo indica una cosa: el cambio en la rapidez,
así que no hay ambigüedad en decir que un objeto se acelera, o se desacelera o frena.
En dos y tres dimensiones, en cambio decir que un cuerpo se acelera, puede referirse a
dos conceptos, no incompatibles:
Que cambia la rapidez con que se mueve el cuerpo
Que cambia la dirección de movimiento
Ambos fenómenos implican un cambio en la velocidad y por tanto una aceleración.
Para separar los dos conceptos derivamos respecto la tiempo la expresión de la
velocidad en función de la celeridad y el vector tangente
El primer término apunta en la dirección tangencial. Podemos demostrar que el
segundo es perpendicular a ella, por el ser el vector tangente de módulo constante
Puesto que el producto escalar es nulo, ambos vectores son perpendiculares. En
consecuencia
Por tanto:
Aceleración tangencial
Mide la variación en la rapidez, esto es, si la partícula pasa a moverse más
rápido o más lento a lo largo de la trayectoria. La condición para que un
movimiento sea uniforme es que la aceleración tangencial sea cero.
Un movimiento en el que la componente tangencial de la aceleración
permanece constante en el tiempo (esto es, su rapidez varía uniformemente) se
denomina uniformemente acelerado.
Aceleración normal
Mide el cambio en la dirección del movimiento (el giro del vector tangente). La
condición para que un movimiento sea rectilíneo es que la aceleración normal
sea nula en todo instante
4.5.3 Vector normal
A partir de la aceleración normal podemos definir un vector normal a la trayectoria
Como el vector unitario tangente, el unitario normal es una propiedad puramente
geométrica y no depende de la rapidez con que se recorra la trayectoria.
Este vector apunta siempre hacia el “interior” de la curva, esto es, nos indica hacia
donde cambia la dirección del movimiento.
Hay que remarcar que el vector normal, como el vector tangente, depende de la
posición.
4.5.4 Radio de curvatura
La aceleración normal puede escribirse en la forma
donde R(t) es el llamado radio de curvatura de la trayectoria en ese instante. Este radio
de curvatura es el radio de la llamada circunferencia osculatriz que es la que
describiría una partícula que se moviera circularmente y tal que en ese instante
ocupara la misma posición, tuviera la misma velocidad y la misma aceleración que la
partícula real. El centro de esta circunferencia (centro de curvatura) está en cada
instante en
La curva formada por los sucesivos centros de curvatura se denomina evoluta de la
trayectoria.
Un movimiento circular es entonces aquel que tiene radio y centro de curvatura
constantes.
A partir de la expresión vectorial de la aceleración normal podemos obtener el radio de
curvatura como
A pesar de que esta expresión se calcula empleando la velocidad y la aceleración, que
son específicas para cada movimiento concreto, el radio de curvatura y el centro de
curvatura son propiedades puramente geométricas, independientes de la rapidez.
La inversa del radio de curvatura es la curvatura de la trayectoria
La curvatura, como el radio de curvatura, mide cuánto se dobla la trayectoria. Una
curva muy cerrada posee un radio de curvatura pequeño y una curvatura grande. Una
curva suave posee radio de curvatura grande y curvatura reducida. En particular una
trayectoria rectilínea (que tiene aceleración normal nula) posee una curvatura igual a
cero (y un radio de curvatura infinito).
5 Cálculo de los diferentes elementos en un instante
De lo anterior se deduce que, conocida la posición como función del tiempo, ,
puede calcularse el resto de magnitudes.
No obstante, a menudo no se dispone de una función sino, por medidas experimentales
o por otras razones, de los valores de la posición , la velocidad y la aceleración ,
en un instante dado. En este caso no podemos calcular ninguna derivada (que requiere
conocer la dependencia temporal). ¿Quiere esto decir que no podemos hallar la
aceleración tangencial, por ejemplo? No. De hecho, empleando los resultados
anteriores, podemos calcular los valores de casi todas las magnitudes para ese
instante.
Datos RapidezVector
tangente
Aceleración tangencial
(vector)
Aceleración
tangencial
(escalar)
Aceleración normal
(vector)
Aceleración
normal
(escalar)
Vector
normalRadio de curvatura
Centro de
curvatura
Como vemos, ninguno de estos cálculos requiere hallar ninguna derivada.
6 Movimiento plano
Dentro de los movimientos generales, un subconjunto muy importante es el de los
movimientos planos, definidos por la condición de que la velocidad y la aceleración
estén siempre contenidas en el mismo plano.
6.1 Caracterización del movimiento plano
En un movimiento en un plano, éste no tiene por qué ser uno de los planos
coordenados, por lo que el criterio de que en el vector de posición aparezcan solo dos
coordenadas (x e y, por ejemplo) no es suficiente para establecer que el movimiento
sea plano.
Para caracteriza cuándo un movimiento es plano tenemos dos técnicas equivalentes:
El vector velocidad y el vector aceleración definen un plano. Se trata de que este
plano siempre sea el mismo. Para ello el vector unitario perpendicular al plano
debe ser independiente del tiempo. A partir de la velocidad y la aceleración se
halla . Si es evidente que es constante, o su derivada respecto al tiempo es
nula en todo momento, entonces el movimiento es plano.
Equivalentemente, en lugar de la velocidad y la aceleración pueden emplearse
los vectores tangente y normal.
La otra forma consiste en observar que, puesto que la velocidad y la aceleración
deben estar siempre en el mismo plano, la derivada respecto al tiempo de la
aceleración (que nos da cómo varía ésta) también debe encontrarse en el mismo
plano. Por tanto, debe ser ortogonal al vector definido anteriormente. Esto nos
lleva a la condición vectorial
En términos de las componentes cartesianas, esta condición se puede escribir
Por ejemplo, consideremos el movimiento en tres dimensiones
¿Se trata de un movimiento plano? No lo parece porque las tres componentes son no
nulas y además varían de diferente manera. Hallamos la velocidad, la aceleración y la
derivada de ésta respecto al tiempo
Construimos el determinante con los tres vectores
Puesto que la segunda y la tercera fila son proporcionales, el determinante es nulo. Por
tanto, el movimiento es plano, aunque no lo pareciera en principio.
6.2 Coordenadas cartesianas
En el caso del movimiento plano, puede elegirse un sistema de referencia en el que el
plano de movimiento sea el OXY. En este caso, la posición, la velocidad y la aceleración
pueden escribirse como vectores de solo dos componentes
6.3 Coordenadas polares
En el caso de movimiento en un plano, es útil considerar las coordenadas polares para
describir el movimiento de la partícula, . Estas coordenadas son la distancia al
origen del sistema de referencia (ρ) y el ángulo que forma el vector de posición con el
eje OX .
Se relacionan con las coordenadas cartesianas mediante las relaciones
y sus inversas
Las coordenadas polares llevan asociadas una base vectorial , que apuntan
respectivamente en la dirección radial (en la que varía ρ) y acimutal (en la que varía
). Esta base se relaciona con la canónica por el cambio de base
ó
y su inverso
ó
Los vectores unitarios en polares dependen de la posición. Aunque tengan el mismo
nombre, el vector en un punto es diferente del vector en otro. Por ello, hay que
tener un cuidado infinito a la hora de operar con vectores en coordenadas polares.
En particular, cuando consideramos el movimiento de una partícula, su posición, y por
tanto los vectores de la base en polares, son funciones del tiempo. Por ello, cuando
aparezca una derivada o una integral, habrá que tenerlos en cuenta. Sus derivadas
respecto del tiempo valen
6.3.1 Posición en polares
Puesto que el vector es el unitario en la dirección del vector de posición en el plano
tenemos que la expresión de este en polares es
6.3.2 Velocidad en polares
la velocidad la calculamos derivando esta expresión respecto al tiempo, donde
debemos recordar que también hay que derivar el vector unitario. Aplicamos la
derivada de un producto
Esta expresión nos dice que la velocidad se compone de dos partes, una radial, debida
a que la partícula se acerca o aleja del origen de coordenadas, y una acimutal,
asociada al giro en torno a éste.
Por ejemplo, si consideramos una partícula describiendo un movimiento circular
alrededor del origen,
y resulta la velocidad
En un movimiento circular alrededor del origen la velocidad es puramente acimutal, ya
que la partícula solo gira en torno al origen.
Sin embargo, el que la velocidad acimutal sea distinta de cero (que visto desde el
origen se vea girar), no implica que el movimiento sea circular, ni siquiera curvo.
Consideremos el caso de una partícula que sigue un movimiento rectilíneo y uniforme a
lo largo de una recta paralela al origen de forma que
La expresión de este movimiento en polares es
Las derivadas respecto al tiempo de estas dos magnitudes valen
y esto nos da la velocidad instantánea
vemos que aunque el movimiento sea rectilíneo y uniforme, resulta una velocidad
radial y una acimutal no nula. Para interpretarlo nos imaginamos a un observador
situado en el origen de coordenadas, que apunte en todo momento a la partícula. Este
observador ve a la partícula acercarse y alejarse (pasando por un mínimo justo cuando
está en la perpendicular a la recta), y también ve cambiar la dirección de observación,
lo que equivale a un giro.
6.3.3 Aceleración en polares
Operando igualmente obtenemos la expresión de la aceleración en polares, solo que
esta vez debemos derivar más términos y también el vector
En el caso del movimiento circular tenemos que, para la coordenada radial
y para la acimutal
lo que nos da la aceleración lineal
En general tendrá tanto componente radial (que en este caso coincide con la
aceleración normal) como componente acimutal 8que en este caso coincide con la
tangencial).
En el caso del movimiento rectilíneo y uniforme, tras una serie de cálculos bastante
laboriosos se llega a que
y por tanto
como corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme.
6.3.4 Resumen de expresiones
Los vectores de posición, velocidad y aceleración en este sistema quedan, por tanto,
En coordenadas polares, la rapidez es igual a
Como ejemplo de movimiento que es más fácil de expresar en coordenadas polares
que en cartesianas, consideremos una partícula que describe una espiral de
Arquímedes, en la cual la distancia al centro aumenta linealmente con el tiempo.
Empleando coordenadas cartesianas, la ecuación horaria es
lo cual, a la hora de derivar para hallar la velocidad y la aceleración puede ser bastante
engorroso. En coordenadas polares se expresa
y la velocidad y aceleración son inmediatas
6.4 Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas polares pueden extenderse a tres dimensiones añadiendo una tercera
coordenada cartesiana, que sería la altura z.
Estas tres coordenadas se denomina respectivamente radial, acimutal y vertical
Movimiento radial Movimiento acimutal Movimiento vertical
La base vectorial se amplía simplemente añadiendo el vector
Esta base es ortonormal y dextrógira.
En coordenadas cilíndricas la posición, velocidad y aceleración quedan
Un movimiento sencillo de representar en coordenadas cilíndricas sería el de
una hélice (no confundir con una espiral), recorrida con rapidez constante
7 Ejemplos de movimientos
7.1 Rectilíneo
Un movimiento rectilíneo, como su nombre indica, es aquel cuya trayectoria es una
recta. Cinemáticamente, esto se caracteriza porque su aceleración normal, responsable
del cambio de dirección en la velocidad, es siempre nula. La velocidad y la aceleración
son siempre paralelas en un movimiento rectilíneo
En el caso de un movimiento rectilíneo, el paramétro arco no es más que la distancia
medida sobre la recta en que se desplaza la partícula, de forma que la posición,
velocidad y aceleración en cualquier instante se pueden escribir como
Puesto que la elección de ejes de coordenadas es arbitraria, si estamos estudiando el
movimiento rectilíneo de una sola partícula, podemos tomar el eje X como la recta
soporte del movimiento y reducir la descripción a una escalar
7.1.1 Rectilíneo uniformemente acelerado
Un caso particular de movimiento rectilíneo es aquel en que la aceleración es una
constante
En este movimiento la celeridad aumenta linealmente con el tiempo
y la posición varía de forma cuadrática con el tiempo
7.1.2 Rectilíneo y uniforme
Otro caso particular de movimiento es el que tiene aceleración nula. En este caso
En el caso de una velocidad constante, el movimiento resultante es siempre rectilíneo
y uniforme.
7.2 Parabólico
El movimiento parabólico, característico del tiro de un proyectil, se caracteriza por
tener una aceleración constante debida a la gravedad
(tomando como eje Z el perpendicular al suelo y dirigido hacia arriba). Integrando esta
ecuación una vez obtenemos la velocidad instantánea
y una nueva integración nos da la posición instantánea:
Este movimiento es plano, ya que su aceleración es constante y por tanto
Si tomamos el eje X como el que pertenece al plano de movimiento podemos escribir la
posición instantánea como
Esta ecuación puede leerse como que el movimiento parabólico es una superposición
de un movimiento uniforme en la dirección horizontal y uno uniformemente acelerado
en la dirección vertical.
Eliminando el tiempo entre las dos coordenadas obtenemos una ecuación para la
trayectoria
Al tratarse de un polinomio de segundo grado, es claro que la trayectoria es una
parábola dirigida hacia abajo.
Aunque la aceleración sea constante, tanto la aceleración tangencial como la normal
son funciones del tiempo. La celeridad de la partícula disminuye al ascender y vuelve a
aumentar al descender, alcanzando su mínimo en el vértice de la parábola. En este
punto, la aceleración tangencial es nula y toda la aceleración es puramente normal.
7.3 Circular
Un movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Esto implica
que
El movimiento es plano: Existe un vector constante tal que
El radio de curvatura permanece constante:
Estas dos condiciones pueden reducirse a una sola:
El centro de curvatura permanece constante:
Por tanto, dadas la ecuación horaria del movimiento o, más en general, la trayectoria
en función de cualquier parámetro, si calculamos el centro de curvatura y resulta un
vector constante el movimiento es circular, aunque en la expresión no sea evidente.
7.3.1 Velocidad angular
En cualquier movimiento, se verifica en todo instante que
en el caso particular de un movimiento circular R y son constantes, por lo que si
elevamos al cuadrado esta expresión
y derivamos respecto al tiempo
esto es, la velocidad es siempre perpendicular al vector de posición relativa al centro
de la circunferencia. Esta ortogonalidad permite escribir la velocidad como
donde es la velocidad angular. Es un vector perpendicular al plano de la
trayectoria circular y con un sentido tal que se verifica la regla de la mano derecha
respecto al giro (si los dedos de la mano derecha apuntan en la dirección del giro, el
pulgar marca la dirección y sentido de la velocidad angular).
La velocidad angular posee dimensiones de 1/tiempo, con lo que en el sistema
internacional se mide en s-1 o rad/s.
7.3.2 Aceleración angular
Derivando en la expresión anterior para la velocidad
El vector
es la aceleración angular del movimiento. En el sistema internacional, sus unidades son
rad/s².
7.3.3 Movimiento circular uniforme
El movimiento circular uniforme es el que ocurre a celeridad constante
En este movimiento la velocidad no es constante, puesto que su dirección está
cambiado. La aceleración es puramente normal
lo que implica que la aceleración va en la dirección de la posición relativa al centro de
la circunferencia, y dirigida hacia adentro y puesto que estos dos vectores son de
módulo constante se cumple
En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante
siendo el vector normal al plano de la circunferencia. La aceleración angular es nula
La aceleración puede escribirse en términos de la velocidad angular como
Un movimiento circular uniforme es periódico, siendo el periodo de revolución el
tiempo necesario para dar una vuelta completa
Al número de vueltas que la partícula da por segundo se le denomina la frecuencia
natural
7.3.4 Movimiento en el plano XY
Puesto que los sistemas de referencia son arbitrarios, una vez que sabemos que un
movimiento es circular, podemos tomar el origen de coordenadas en el centro de la
circunferencia y los ejes de forma que la trayectoria esté contenida en el plano XY y
con el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia. En coordenadas
polares, una circunferencia centrada en el origen se escribe simplemente
La ecuación vectorial de la trayectoria se reduce a
siendo la ley horaria
La velocidad de un movimiento circular es puramente acimutal,
siendo la rapidez y el vector tangente
El signo variable depende del sentido de recorrido sobre la circunferencia. Por ejemplo,
el movimiento de la lenteja de un péndulo es circular (aunque no complete una
circunferencia) pero en su vaivén, el vector tangente unas veces coincide con el
unitario en la dirección acimutal y otras es el opuesto.
La distancia medida sobre la curva
La velocidad angular va en la dirección normal al plano y es tal que al multiplicarla
vectorialmente por resulta la velocidad. Esto da
La aceleración de la partícula es
con componentes intrínsecas
con el vector normal
Por último, la aceleración angular viene dada por
Con estos ejes, un movimiento circular uniforme corresponde a
con ω constante.
7.4 Oscilador armónico
El movimiento armónico simple se define como el que es:
Rectilíneo
Cumple la ecuación de movimiento
Por ejemplo, el movimiento, descrito en un problema
es armónico simple, sin embargo el movimiento
no lo es, por no ser rectilíneo (es circular uniforme).
No obstante, lo anterior, el comportamiento de un oscilador armónico puede
generalizarse a tres dimensiones como aquel movimiento que verifica la ecuación
Si medimos la posición respecto al punto de equilibrio, sustituyendo por
(entendiendo que tomamos como origen el punto de equilibrio), esta ecuación se
reduce a
La solución general de esta ecuación diferencial es de la forma
siendo y la posición y la velocidad iniciales.
Como en el caso unidimensional, este movimiento es periódico, con periodo
Sin embargo, en general no se trata de un movimiento rectilíneo, sino elíptico
alrededor del punto de equilibrio. Solo será rectilíneo si la posición y la velocidad inicial
son vectores paralelos o alguno de ellos es nulo.
Si separamos en sus componentes cartesianas, el movimiento tridimensional equivale
a la superposición de tres movimientos armónicos unidimensionales