1

Unidad 5: Funciones de varias variables

Integrales dobles sobre regiones rectangulares

2

De igual manera que se integró una función de una

variable de ƒ(x) invirtiendo el proceso de derivación, se

puede utilizar un procedimiento semejante para integrar

una función de dos variables ƒ(x; y). Sin embargo, como

se incluyen dos variables, se debe integrar ƒ(x; y)

manteniendo una variable fija e integrando respecto a la

otra.

Integrales Iteradas:

3

2

1

222

1

2

2

1

x

yxdxxy 2

2

3y

Por ejemplo, para calcular , se integra respecto de x, utilizando el teorema fundamental del cálculo y manteniendo “y” constante.

2

1

2 dxxy

INTEGRO RESPECTO DE X

¡CONSTANTE!

1

1

2

1

2 dydxxyCalcule:

En general, integrar parcialmente una función ƒ(x, y) respecto de x en a, b genera una función que depende sólo de y, y que puede integrarse en c, d como una función de una sola variable, produciendo así lo que se denomina una integral iterada

d

c

b

adydxyxf )),((

Ejemplo:

12

1

2

3 1

1

31

1

1

1

22

1

2

y

y

ydyydydxxy

INTEGRO RESPECTO DE X

¡CONSTANTE!

INTEGRO RESPECTO DE Y

4

De manera semejante, la integral iterada

se obtiene integrando primero respecto de y en c, d, manteniendo x constante, y luego integrando respecto de x en a, b.

b

a

d

cdxdyyxf )),((

5

13

1

3

2 2

1

22

1

2

1

1

1

2

x

x

xxdxdxdyxy

INTEGRO RESPECTO DE Y

¡CONSTANTE!

INTEGRO RESPECTO DE X

Ejemplo:

6

Ejemplos 1

Hallar las siguientes integrales iteradas:

1

1

1

0

233 )3( dydxxyyx

2

0

5

0

2Ln Ln yx dxdye

2

1

1

0 2)(

1dxdy

yx

1.

2.

3.

7

La integral doble de f sobre la región rectangular es:

x

y

a b

d

c

Integral doble sobre una región rectangular:

dy cb,x aR:

d

c

b

a

b

a

d

cR

dydxyxf

dxdyyxfdAyxf

)),((

)),(( ),(

8

Calcule las siguientes integrales dobles sobre las regiones indicadas

51,11: ; y xRdAxeR

y

Ejemplos 2

20 ,21 : ; 1

1

yxRdAy

x

R

1.

2.

9

Valor Medio de una Función de dos Variables

El valor promedio de una función f en dos variables definida sobre el rectángulo R, es

donde A(R) es el área de la región R

R

prom dAyxfRA

f ),()(

1

10

Para más ejercicios, ver la guía del alumno.

Sea la función z = 7 - x2y. Halle el valor medio de dicha función en la región R: 1 x 2 ; 0 y 2

Ejemplo 3