DINÀMICA

1. LA FORÇA

Com mostra l'experiència, en la naturalesa els cossos, d'una o una altra forma, interaccionen entre si. Per exemple, la sabata pressiona sobre el sòl i interacciona amb ell, la interacció gravitatòria entre la Terra i la Lluna fa que aquesta giri al voltant de la primera, la interacció entre la raqueta del tennista i la pilota fa que aquesta modifica el seu moviment, etc.

La força és una mesura de la interacció entre els cossos.

El resultat de la interacció entre els cossos és la seva deformació (canvi de dimensiones o forma del cos), la seva acceleració (variació del vector velocitat) o ambdós efectes alhora. Per exemple, quan un tennista copeja la pilota amb la seva raqueta, una fotografia de l'instant de l'impacte revela que la pilota sofreix una deformació important i simultàniament una acceleració, doncs canvia la seva velocitat. Els efectes de les forces depenen de la seva magnitud i de la direcció i sentit que s'apliquen. Per això la força és una magnitud vectorial que representarem mitjançant la unitat de força en el S.I. és el Newton (N), la força que aplicada a un cos de 1 kg de massa li comunica una acceleració de 1 m/s2. La mesura de les forces no es fa directament, sinó de manera indirecta a partir de la mesura dels seus efectes, deformacions o acceleracions. Normalment resulta més fàcil amidar deformacions que acceleracions. Per aquest motiu, la peça principal del dinamòmetre (instrument per a amidar forces), és una molla el grau de deformació de la qual depèn del valor de la força que s'amida.

Llei de Hooke Els cossos elàstics (una molla) es deformen quan s'aplica una força sobre ells i compleixen en general la llei de Hooke que indica que la deformació d'un cos elàstic és directament proporcional a la força aplicada. En el cas d'una molla, la deformació proporcional a la força aplicada és l'allargament ∆l:

K es denomina constant elàstica o constant recuperadora i és característica de cada molla, l0 és la longitud natural de la molla i l la longitud que assoleix quan se li aplica una força F. Els cossos elàstics tenen uns límits d'elasticitat dintre dels quals es compleix la llei de Hooke. Si se superen aquests límits, el cos no compleix la llei i les deformacions poden ser permanents. Força resultantQuan sobre una partícula o punt material s'aplica més d'una força, l'efecte global de totes elles és el d'una única força igual a la suma vectorial de totes elles, denominada força resultant.

DINÀMICA. PRINCIPIS FONAMENTALS La Dinàmica és la part de la Mecànica que estudia el moviment en relació amb les causes que el determinen, que són les forces. La Dinàmica que vam estudiam va ser establerta per Newton en el segle XVII. Es basa en tres principis fonamentals, la validesa dels quals es prova perquè les seves conseqüències estan d'acord amb l'experiència.

1

DINÀMICA

La Mecànica de Newton no té una validesa total, doncs no explica tots els moviments que es poden observar i experimentar. Quan la velocitat amb que es mou una partícula és pròxima a la de la llum (3·108 m/s), hi ha notables diferències entre les observacions i els càlculs fets amb la Dinàmica newtoniana. Per això en el segle XX, Einstein va formular la Mecànica Relativista que explica els fenòmens mecànics d'una manera més precisa. No obstant això, en els moviments ordinaris, de vehicles, peces de màquines, projectils, coets, naus espacials o de planetes i satèl·lits, la Mecànica de Newton és un instrument suficientment precís.

Primer principi: Principi d'inèrcia Si sobre un cos no actua cap força o la resultant de les quals actuen és zero, el cos mantindrà la seva velocitat constant, en mòdul, direcció i sentit. Això és, si el cos està parat continuarà parat i si està en moviment, continuarà amb moviment rectilini i uniforme. En la vida quotidiana hi ha dues classes de forces que actuen d'una manera universal: la gravitatòria (pes) i la de fregament. Per això “sembla” que el principi no es compleix. Però, què succeirà si vam disminuir a poc a poc aquestes forces? En desplaçar-se per la sorra un carretó es detindrà amb rapidesa; per un tros de vidre el seu moviment durarà més i encara més sobre una superfície de gel, encara que acabarà parant-se. Si en canviar la superfície el cos recorre major distància abans de detenir-se és a causa que la força de fregament que li fa disminuir la velocitat fins parar-se és cada vegada menor. Si la superfície fos absolutament llisa i plana i no hagués fregament, el cos mai es detindria. Aquest és el cas d'un objecte que es desplaci per l'espai lluny de qualsevol altre cos (planeta, estrella ...) sense sofrir cap atracció gravitatòria: el seu moviment és rectilini i uniforme.

Segon principi o llei fonamental de la Dinàmica Les forces, en actuar sobre els cossos, modifiquen la seva velocitat (en mòdul, direcció o sentit). És a dir, les forces són causes que produeixen acceleracions. Quina relació existeix entre la força aplicada i l'acceleració produïda? Experimentalment s'observa que per a un mateix cos el quocient entre el mòdul de la força i el de l'acceleració que produeix és constant, això és, si a una força F1 li correspon una acceleració a1, a F2 correspon a2, etc.:

Aquesta constant m es denomina massa inercial (massa) i amida la inèrcia del cos, això és, la seva resistència a accelerar-se: a major massa, menor tendència a accelerar-se i viceversa. Aquest resultat experimental es formula de forma vectorial com:

Aquesta equació representa la llei fonamental de la Dinàmica i és una equació vectorial. Si descomponem els vectors en els seus components obtenim:

2

DINÀMICA

En la superfície de la Terra, aquesta atreu a tots els cossos amb una acceleració g= 9,8 m/s2 dirigida cap al centre de la Terra (cap avall). Aquesta força es denomina pes i té per mòdul: P = m·g En forma vectorial s'expressa en el nostre sistema de referència habitual:

Tercer Principi o principi d'acció i reacció Si un cos A exerceix una força (acció) sobre un altre B, el segon exerceix sobre el primer una altra força (reacció) igual i de sentit contrari. No existeixen forces aïllades sinó interaccions. Les forces d'acció i reacció s'exerceixen en cossos distints. L'enunciat del tercer principi provoca en ocasions certa confusió: podríem pensar que per ser l'acció i la reacció forces iguals i de sentits oposats, s'anul·len mútuament. Res més lluny de la realitat: les forces d'acció i reacció, en estar aplicades sobre cossos diferents, no s'anul·len entre si. D'aquesta manera, un imant i un tros de ferro s'atreuen amb forces iguals i de sentits contraris, aplicades una sobre l'imant i dirigida cap al tros de ferro i una altra sobre el tros de ferro i dirigida cap a l'imant. Si una persona empeny una paret amb una força F, la paret exerceix sobre la persona una força igual i de sentit contrari. La paret no es mourà en estar subjecta, però la persona pot accelerar-se per efecte de la força de reacció de la paret si es troba sobre una superfície amb poc fregament, com el gel, o bé duu uns patins. Un ruc que llença d'un carro amb velocitat constant realitza una força per a vèncer el fregament. El ruc realitza una força total F, de la qual transmet al carro una part d'aquesta F’ i el carro exerceix sobre el ruc una força -F’; el carro es mou a costa de la força F’ que el ruc li subministra i el ruc a costa de la força F-F’ que actua sobre ell.

RESOLUCIÓ GENERAL DELS PROBLEMES DE DINÀMICA Per a la resolució de qualsevol problema de Dinàmica és convenient seguir els següents passos: a) Dibuixar totes les forces que actuen sobre el cos. b) Elegir un sistema de coordenades i determinar les components de les forces segons aquests eixos. Amb freqüència un eix s'elegeix en la direcció del moviment. c) Aplicar l'equació fonamental en cadascun dels eixos considerats.

Cossos recolzats en superfícies: Un cos donat sobre una superfície exerceix una força sobre aquesta a conseqüència del pes. La superfície, per a no enfonsar-se, realitza una altra força sobre el cos (força de reacció) a fi que no hagi moviment en la direcció perpendicular. Aquesta força que la superfície realitza sempre va dirigida cap a fora i és perpendicular a la mateixa. Per això es denomina força normal. A més, en la majoria dels problemes, que tenen lloc en la superfície de la Terra, hem de considerar el pes, que actua sobre tots els cossos. a) Cos de massa m donat sobre una superfície horitzontal. Quines forces actuen sobre ell i quin és el seu valor? Prenent l'eix X paral·lel a la superfície horitzontal, positiu cap a la dreta i l'eix Y vertical positiu cap amunt: X) No hi ha forces Y) N- mg =0 N=mg

3

DINÀMICA

En aquest cas només actuen sobre el cos el pes i la reacció normal del plànol. Com hem obtingut, ambdues són iguals i de sentit contrari. b) Cos de massa m recolzat sobre una superfície horitzontal. Sobre ell s'exerceix una força horitzontal F. No hi ha fregament. Prenem els eixos com en el cas precedent. X) F = m·a a = F/m Y) N - mg = 0 ; N = mg c) Cos de massa m recolzat sobre una superfície

horitzontal. Sobre ell s'exerceix una força F que forma un angle α amb l'horitzontal. No hi ha fregament. X) F·cosα = m·a a= (F/m)·cosα Y) N + F•senα- mg N= mg - F•senα; d) Càlcul de la

força normal que exerceix el sòl d'un ascensor sobre un objecte de massa m recolzat en ell quan l'ascensor arrenca cap amunt amb acceleració a X) No hi ha forces Y) N - m•g = m•a N = m•(g+a)

e) Càlcul de l'acceleració d'un cos col·locat en un plànol inclinat sense fregament i de la força normal del plànol Prenem l'eix X paral·lel al plànol perquè un dels eixos coincideixi amb la direcció del moviment:

Eix Y: N - Py = 0 N - m•g•cosα= 0 N = m•g•cosαEix X: Px = m•a m•g•senα = m•a a = g•senαf) Siguin dos cossos de masses m1 i m2

recolzats sobre una superfície horitzontal sense fregament com indica la figura. S'aplica una força horitzontal de mòdul F sobre el bloc 1. Determina la força que el bloc 1 exerceix sobre el 2 i l'acceleració del sistema. Les forces i són les interaccions d'acció i reacció entre els blocs. Quan, com en aquest cas hi ha més d'un cos, hem d'aplicar la segona llei de Newton a cadascun d'ells per separat; en aquest cas l'acceleració d'ambdós blocs és la mateixa, ja que es desplacen junts. D'aquesta forma:

Bloc 1: Eix X: F- F’ = m1a Bloc 2: Eix X: F’ = m2a Eix Y: N1 - m1g = 0 Eix Y : N2 - m2g = 0

4

DINÀMICA

De les equacions per a l'eix Y s'obtenen les forces normals sobre cada bloc: N1 = m1g N2 = m2g = 0 Sumant les equacions corresponents a l'eix X obtindrem el valor de l'acceleració i la força d'interacció F’:

F - F’ = m1·a F’ = m2·a

F = (m1+m2)·a

D’on es dedueix que:

FORÇA DE FREGAMENT Fregament de lliscament Empeny un bloc sobre una superfície horitzontal. Per a forces aplicades petites, no es mou. A partir d'un determinat valor de la força es posa en moviment. Per a mantenir-lo en moviment, a velocitat constant, cal aplicar una força. Si es deixa en llibertat, recorre un petit espai i es deté. Aquests fets semblen estar en contradicció amb el principi de la inèrcia. L'explicació és senzilla si pensem que les superfícies dels sòlids són irregulars. En posar dos sòlids en contacte les rugositats d'una superfície s'encaixen en les de l'altra i aquells queden “enganxats”. Per això en intentar moure un d'ells apareixi una força de fregament que s'oposa al moviment. Si apliquem una força petita al bloc en repòs, aquest no es mou ja que es produeix una força de fregament (que s'oposa al desplaçament) igual a la força aplicada i de sentit contrari, que l'equilibra. Si augmentem la força el cos segueix sense moure's fins que per a cert valor de la força de fregament ha arribat a seu màxim valor Frmax. A partir d'aquest valor de F la força de fregament no pot equilibrar la força aplicada i la diferència F-F rmax provoca l'acceleració del cos. Així doncs la força de fregament pot prendre valors compresos entre zero i el seu valor màxim, però mai provoca per ella mateixa el moviment de desplaçament de superfícies, sinó que s'oposa a ell.

F = Fr < Frmax F = Fr = Frmax F > Fr = FrmaxNO HI HA MOVIMENT MOVIMENT MOVIMENT

IMMINENT ACCELERAT

Factors que depèn la Força de fregament màxima Mitjançant experiències senzilles es dedueix que la força de fregament de desplaçament: a) és independent de l'àrea de les superfícies de contacte.

5

DINÀMICA

b) és independent de la velocitat del moviment i actua sempre en sentit contrari a aquest. c) depèn de la naturalesa de les superfícies que freguen i de l'estat del poliment. d) és proporcional a la força normal amb que la superfície sosté al cos:

La constant de proporcionalitat μ que figura en la fórmula anterior es diu coeficient de fregament. Depèn de la naturalesa de les superfícies que freguen i del seu estat. Quan en una màquina hi ha peces en moviment que freguen, cal disminuir el fregament. S'aconsegueix lluentant les superfícies, afegint lubrificants que emplenen les irregularitats de les superfícies o posant, en els coixinets, rodaments a boles que substitueixen el fregament de lliscament per fregament de rodadura que té menor valor. Però sense fregament no podem caminar, ni es “aferran” al sòl les rodes dels nostres vehicles. Sobre gel un automòbil “patina”; llavors s'afegeix terra que augmenta el fregament.

Resolució de problemes amb força de fregament de desplaçament En resoldre aquest tipus de problemes hem de tenir en compte que la força de fregament no va mai a favor del moviment relatiu de les superfícies que freguen. Per això: a) Si el cos situat sobre la superfície amb la qual frega està en moviment la força de fregament serà la màxima (μN) i de sentit contrari al moviment que realitza sobre la superfície. b) Si el cos està inicialment en repòs analitzarem cap a on es desplaçaria si no hagués fregament i suposarem que la força de fregament pren el valor màxim en sentit contrari. Si en calcular l'acceleració obtenim un valor per a ella del mateix sentit que la força de! fregament, ho rebutjarem, doncs moviment de desplaçament de superfícies i força de fregament no poden ser del mateix sentit. En aquest cas el cos no es mou i el valor de la força de fregament és el just perquè el cos romangui en repòs. Si el resultat per a l'acceleració és de sentit contrari a la força de fregament, aquesta pren el valor màxim (μ•N) i el valor obtingut per a l'acceleració és correcte. Exemples: 1) Bloc de 2 kg en repòs inicialment sobre una superfície horitzontal sobre la qual pot lliscar amb coeficient de fregament 0,1. Determina la seva acceleració si se li empeny amb una força horitzontal de: a) 1 N; b) 1,96 N; c) 2,4 N X) F - Fr = m•a Y) N - mg = 0 N = mg = 2•9,8 =19,6 NLa força de fregament màxima val: Frmax = μm•gEn cada cas suposarem que la força de fregament pren el valor màxim en el sentit oposat al possible moviment (a favor de la força F). a) F - μm•g = m•a 1 - 0,1•2•9,8 = 2a a = -0,49 m/s2 No és possible que el lliscament vagi a favor de la força de fregament. Això significa que la força de fregament que actua no és la màxima (com hem suposat), sinó solament la necessària perquè el bloc no es mogui, això és:

6

DINÀMICA

F - R = 0 1 - R = O R = 1N valor comprès entre zero i el màxim (1,96 N).

b) F - μm•g = m•a 1,96 - 0,1•2•9,8 = 2a a = 0

El cos no es mou i la força de fregament pren el valor màxim, igual al de la força exterior F. c) F - μm•g = m•a ; 2,4 - 0,1•2•9,8 = 2a

a = 0,22 m/s2

El cos accelera en el sentit de la força F. La força de fregament, ja que hi ha lliscament pren el valor màxim contrari en sentit de moviment.

2) Bloc de 2 kg que llisca amb velocitat inicial de 10 m/s sobre una superfície horitzontal amb μ= 0,1 sense que cap força horitzontal ajudi al moviment. Determini's la seva acceleració i el temps que triga en detenir-se. En aquest cas la força de fregament pren el seu valor màxim en sentit oposat al moviment fins que el

bloc es detingui. Si prenem l'eix X en sentit positiu a favor del moviment tindrem: X) -Fr = m•a Y) N - m•g = 0 N = m•g Substituint en l'equació de l'eix X:- μ m•g = m•a a = - μ g = -0,1•9,8 = -0,98 m/s2

Triga en detenir-se: v = v0 + a•t 0 = 10 + (-0,98)•t t = 10,2 s

3) Cos inicialment en repòs sobre un plànol inclinat 37°. Calculi's l'acceleració si el coeficient de fregament entre el cos i el plànol és: a) 0,1; b) 0,8. Suposem que la força de fregament és la màxima (μ ·N): Y) N - Py = 0 N - m•g•cosα = 0 X) Px - R = m•a m•g•senα; - μN = dt. Substituint en l'equació de l'eix X: m•g•senα- μ m•g•cosα = m·a Simplificant m s'obté:

a = g(senα- μ cosα)Pot observar-se que l'acceleració és independent de la massa del cos. Aplicam aquest resultat als casos plantejats en l'enunciat: a) μ=0,1; a= 9,8•(sen37° - 0,1•cos37°)= 9,8•(0,6-0,1•0,8)= 5,1 m/s2 b) μ=0,8; a= 9,8•(sen37° - 0,8•cos37°)= 9,8•(0,6-0,8•0,8)= -0,39 m/s2 L'acceleració no pot ser negativa, doncs no pot començar a moure's el bloc a favor de la força de fregament; en conseqüència, el bloc no es mourà i la força de fregament serà la necessària perquè el bloc quedi en repòs: Px - R = 0 mg•senα- R = 0 R=m•g•senα

COSSOS ENLLAÇATS MITJANÇANT CABLES. TENSIÓ Amb freqüència en dinàmica apareixen cossos enllaçats entre si mitjançant cables o cordes, que tenen la missió de transmetre una força d'un cos a un altre. Es tracta de forces d'acció i reacció. Quan una locomotora duu enganxat

7

DINÀMICA

un vagó el cable que uneix ambdues unitats tira del vagó mitjançant una força mentre realitza una força - sobre la locomotora (3ª llei de Newton). Aquesta força que transmeten els cables es denomina tensió. En els problemes que realitzem no tindrem en compte la massa de la corda i la tensió en tots els punts de la mateixa es considera igual. Exemples: 1) Dos cossos de masses m1 i m2

recolzats sobre una superfície horitzontal sobre la qual llisquen amb coeficient de fregament μ i enllaçats mitjançant un cable. Sobre el primer cos actua una força (com indica la figura) suficient per a vèncer el fregament i provocar una acceleració al sistema. Es demana determinar l'acceleració del sistema i la tensió del cable. El diagrama de forces del sistema és el següent:

Ja que l'enunciat indica que el sistema es mou en el sentit de la força F aplicada, el fregament és el màxim en sentit contrari a la mateixa:

Cos 1: Eix X) F - R1 - T = m1•a

F - μ•N1 - T = m1•a Eix Y) N1 - m1g = 0 N1 = m1g

De manera que l'equació de l'eix X queda: F - μ ·m1g - T = m1•a (1) Cos 2:

Eix X) T - R2 = m2·a T - ·N2 = m2·aEixY) N2 - m2g = 0 N2= m2·g

L'equació de l'eix X queda: T - ·m2·g = m2·a (2)Sumant les equacions (1) i (2) obtindrem l'acceleració i la tensió del cable:

F - ·m1g - T = m1·aT - ·m2·g = m2·a_________________F - ·m1g - ·m2·g = m1·a + m2·a

Aïllant a:

Substituint en l'equació 2, una vegada conegut el valor de a podem calcular T. En ocasions en els problemes apareixen corrioles entorn de les quals van enrotllades cordes. En el present curs suposarem que les corrioles tenen una massa despreciable i no freguen en l'eix entorn del com poden girar.

8

DINÀMICA

Simplement faran de transmissores de la tensió de les cordes enrotllades, sent la tensió d'aquestes, al mancar la corriola de massa i fregament, la mateixa a banda i banda de la corriola. Exemple: Sigui el sistema de la figura constituït per dos blocs de masses m1=2 kg i m2=3 kg units mitjançant una corda de massa menyspreable que passa pel coll d'una corriola de massa també menyspreable. Es demana calcular l'acceleració del sistema i la tensió de la corda quan el coeficient de fregament entre la massa donada i el plànol horitzontal és: a) 0; b) 0,2; c) 2

El moviment, si té lloc, es produirà per a la massa 1 verticalment cap avall i per a la massa 2 horitzontalment cap a la dreta. Prendrem per a cada massa un eix paral·lel i un altre perpendicular (┴) al moviment, positiu l'eix paral·lel en el sentit del moviment. D'aquesta manera tenim: Cos 1: ┴: No hi ha forces =: m1g-T=m1·a

Cos 2: ┴: N2 - m2·g = 0 N2 = m2g =: T-R =m2aSuposant que la força de fregament pren el seu valor màxim i sumant les equacions de l'eix paral·lel al moviment:

m1·g - T = m1·aT-·m2·g =m2·a______________

m1·g - ·m2·g = (m1+m2)·a

D’on resulta:

Aquesta és la solució general del problema suposant que la força de fregament pren el valor màxim per a oposar-se al moviment. Analitzem els resultats de cadascun dels casos particulars proposats:

a) m1=2 kg; m2=3 kg; μ=0 m/s2

El resultat és vàlid ja que moviment i fregament van en sentits oposats.

b) m1=2 kg; m2=3 kg; μ=0,2 m/s2

El resultat també és vàlid.

c) m1=2 kg; m2=3 kg; μ =2 m/s2

En aquest cas el resultat per a l'acceleració no és vàlid ja que lliscament i fregament tindrien el mateix sentit. En conseqüència el sistema no es mourà i a=0. En els tres casos la tensió de la corda pot calcular-se, per exemple, a partir de l'equació de l'eix paral·lel per al cos 1: T=m1•(g+a)

9

DINÀMICA

DINÀMICA DEL MOVIMENT CIRCULAR Quan un mòbil realitza una trajectòria circular, en tot moment té una acceleració normal, dirigida cap al centre de la circumferència, que li fa canviar la direcció del vector velocitat. Aquesta acceleració ha d’estar produïda per una força que denominem força normal o força centrípeta (per anar dirigida cap al centre). L'origen de la força centrípeta és diferent en cada cas: si es tracta d'una pedra que està donant voltes lligada a una corda entorn d'un punt fix, la força centrípeta és realitzada per la tensió de la corda; per a la Lluna que gira en tom a la Terra la força centrípeta és ocasionada per l'atracció gravitatòria Terra-Lluna; en el model atòmic de Böhr, segons el qual l'electró gira entorn del nucli descrivint òrbites circulars, la força centrípeta és conseqüència de l'atracció elèctrica entre el nucli amb càrrega positiva i l'electró amb càrrega negativa; per a un tren elèctric que gira en una via circular, la via realitza una força dirigida cap al centre que evita que el tren se surti de la via i alhora giri; un cotxe que pren una corba sofreix una força perpendicular a la trajectòria que’i fa girar a conseqüència del fregament lateral entre els pneumàtics i la carretera, etc. En la majoria dels problemes de dinàmica de moviments circulars no usarem els eixos X i Y, sinó en el punt concret en el qual resolguem el problema utilitza’m els eixos tangent i normal a la trajectòria, ja que sobre ells van dirigides les acceleracions tangencial i normal, respectivament. Suposem un cos que gira en una circumferència horitzontal de ràdio R amb velocitat angular constant ω. Pot ser, per exemple, un tren elèctric sobre una via circular. Quina força provoca aquest moviment? Segons s'indica en la figura, en ser la velocitat angular ω constant, l'acceleració tangencial és nul·la. No obstant això, perquè es produeixi el moviment circular en cada punt ha d’haver una acceleració normal dirigida cap al centre de la circumferència de valor:

Així doncs, en aquest cas, la força total que dóna

lloc al moviment del cos és:

En l'exemple del tren elèctric aquesta força la provoca la reacció normal de la via en direcció lateral que evita que el tren surti d'ella i segueixi amb moviment rectilini. Quan el cos que gira en una circumferència horitzontal té una acceleració tangencial, ha d’existir, a més de la força normal o centrípeta, una força en la direcció tangent a la trajectòria, segons pot apreciar-se en la figura. D'aquesta manera:

10

DINÀMICA

La força total que actua és la resultant d'ambdues. Està representada en la figura i el seu mòdul ve donat per:

Un exemple molt il·lustratiu de la dinàmica del moviment circular és el d'un objecte (una bola o una pedra) de massa m lligat a l'extrem d'una corda de longitud L que gira entorn d'un punt fix en un plànol vertical. En el punt més baix de la seva trajectòria el diagrama de forces està representat en la figura. En l'eix normal tenim:

de manera que la tensió de la corda ve donada per

Per a una pedra de 200 g que girés amb un radi de 50 cm a una velocitat de 3

m/s la tensió seria: N

En el punt més alt de la seva trajectòria, prenent l'eix normal a la trajectòria positiu cap avall:

Aïllant la tensió:

Substituint les dades anteriors obtenim: N

Pot apreciar-se que la tensió en el punt més alt és menor que en el punt més baix, conseqüència que en el punt més alt el pes i la tensió “col·laboren” en el mateix sentit, mentre que en el punt més baix s'oposen. De l'expressió per a la tensió en el punt més alt pot deduir-se que si la velocitat es va fent menor, la tensió també disminueix. Quan v2/R=g, la tensió es fa zero i per a valors menors de la velocitat el valor de la tensió seria negatiu, això és hauria anar cap amunt per a mantenir el gir de la pedra, cosa impossible per a una corda. En conseqüència podem deduir que en aquest cas existeix una velocitat mínima en el punt més alt perquè l'objecte pugui donar la volta completa. És la velocitat corresponent a T=0. Per tant:

Quan l'objecte es troba en la posició indicada en la figura de l'esquerra, formant la corda angle de 90° amb la vertical, l'equació de la dinàmica en els eixos tangencial i normal pren la forma: Tangencial: m•g = m•at

Normal:

11

DINÀMICA

En el punt que la corda forma un angle α amb la vertical, les equacions resulten: Direcció tangent: m•g•senα= m•at

Direcció normal:

Un altre exemple típic de moviment circular és el del pèndol cònic representat en la figura de l'esquerra. Un cos de massa m gira en una circumferència horitzontal de radi r subjecte d'un fil de longitud L que penja d'un punt O fix situat en la vertical del centre de la circumferència i per sobre d'ell. El fil forma en tot moment un angle θ amb la vertical de manera que

Les equacions en els eixos prenen la forma: Eix vertical: Tcosθ – m•g = 0

Eix horitzontal:

12

DINÀMICA

Tema: FORÇA I MOVIMENT

SEGONA LLEI DE NEWTON

L’acceleració que adquireix un cos sota l’acció d’una força és proporcional a la intensitat de la força i té el mateix sentit que aquesta.El quocient entre la força aplicada i l’acceleració amb què es mou és la massa.

F = m · a

La definició original de Newton deia: a mesura que transcorre el temps, les forces aplicades a un punt material modifiquen la seva quantitat de moviment.

F = --------

Si l’acceleració és igual a la gravetat la força es converteix en pes.El pes és la força amb què la Terra atrau un cos de massa m. P = m· g

Punt material: És un punt matemàtic en un cos que té una massa equivalent a la del cos.

Quantitat de moviment o moment lineal, p. El moment lineal d’un mòbil és el producte de la massa per la velocitat. p = m · vEs tracta d’una magnitud vectorial amb unitat de Newton per segon. N·s

TEOREMA DE LA CONSERVACIÓ DE LA QUANTITAT DE MOVIMENTEl moment lineal d’un sistema roman constant mentre no actuï sobre ell una força exterior.

Impuls mecànic: es defineix com el producte de la força mitjana aplicada sobre un cos, F, per l’interval de temps, Δt, durant el qual actua.

I = F · ΔtL’equació de dimensions del moment lineal és igual que la de l’impuls mecànic, per tant les unitats d’ambdues són iguals, N·s.

PRIMERA LLEI DE NEWTON

Si la força total que actua sobre un cos és nul·la, aquest cos es troba en repòs o es mou amb velocitat constant i en línia recta.

13

DINÀMICA

TERCERA LLEI DE NEWTON

Les forces d’interacció que exerceixen dos cossos entre si tenen la mateixa intensitat i direcció, tot i que els sentits són oposats. Facció = - FreaccióLa força d’acció i la força de reacció es diferencien, a més de per què s’apliquen sobre cossos distints, en què tenen sentits contraris dins la direcció comú. És a dir, els vectors que representen aquestes dues forces són de la mateixa longituds i paral·lels, però difereixen en l’extrem en el què està situada la punta de fletxa.

14