Biol 2153

Dr. Félix Aucallanchi V.

Análisis Combinatorio

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Análisis Combinatorio

• El análisis combinatorio es un área de la matemática cuyo estudio comprende la elaboración de reglas para agrupar u ordenar, en diversas formas, los elementos de un conjunto.

• Los tres principales tipos de agrupaciones u ordenaciones se llaman:– Permutaciones– Variaciones– Combinaciones

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Permutaciones

• Se denominan permutaciones de h elementos, los diferentes grupos que se pueden construir, tomándolos todos cada vez.

• Las permutaciones implican orden.

• Cada conjunto ordenado de h elementos se denominará una permutación de los n elementos diferentes.

• La formula es Pn = n!, donde Pn corresponde al número

de permutaciones posibles.

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Ejemplo-1:Permutaciones

• Determine el número de permutaciones posibles de las letras A, B, C, D.

• P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

Representémoslas:

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Permutaciones con Repetición

• Las permutaciones con repetición r, son un caso particular de las variaciones y no existe una ley sencilla para su formación.

• Dado lo complicado del sistema, sólo, se presenta la fórmula que logra el número de esta clase de permutaciones.

• La formula será:

1 21 2

!: ,! !nnP r r r

r r

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Ejemplo-2: Permutaciones con Repetición

• Sean los elementos aa - bbb - cc - d, para permutar con repetición, tendremos 8 elementos repartidos así: dos del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del cuarto, entonces las permutaciones se presentarán así:

y la fórmula respectiva será: 1,2,3,2:8rP

88! 8 7 6 5 4 3 2 1:2,3,2,1

2!3!2! 2 1 3 2 1 2 1P r

16801,2,3,2:8

rP

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Ejemplo-3: Permutaciones con Repetición

• ¿De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de S/.5 y 4 monedas de S/. 10 en una misma línea?

La fórmula respectiva será:

77! 7 6 5 4 3 2 1:3,43!4! 3 2 1 4 3 2 1

P r

354,3:7

rP

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Variaciones

• Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad.

• Dado un conjunto de n elementos diferentes, se denominará permutación parcial o variaciones, de subconjunto de r elementos (r<n) pertenecientes al conjunto dado.

!

!nr

nV

n r

La formula será:

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Ejemplo-3: Variaciones

• Determine el número de variaciones posibles de las letras A, B, C, D; donde las cuatro letras o elementos (n) vamos a permutar de cada 2 (r).

La fórmula respectiva será:

42

4! 4 3 2 112

4 2 ! 2 1V

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Ejemplo-4: Variaciones

• ¿Cuántas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos del 0 al 9, usándolos una vez?

La fórmula respectiva será:

104

10!

10 4 !V

104

10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 15040

10 4 ! 6 5 4 3 2 1V

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Combinaciones

• Son aquellas agrupaciones en las que no interesa el orden de la aparición de elementos del conjunto.

• Será lo mismo AB que BA. Cuando se toma la totalidad de elementos, solamente se puede hacer una combinación.

La fórmula será:

Se lee de la siguiente manera, la combinación de n elementos tomados de r en r.

!

! !nr

n nCr n rr

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Ejemplo 5: Combinaciones

• La combinación de estas 4 letras tomadas de 2 en 2 será:

!

! !nr

n nCr n rr

42

4 4! 62! 4 2 !2

C