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7/21/2019 10 Reinaldo Montaez
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Encuentro de Topologa
Simposio de Topologa Carlos Javier RuizSalguero
Topos geomtricos a partir de espacios Acompactos
Jos Reinaldo Montaez Puentes
Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias
Departmento de Matemticas
Bogot, Enero 25 de 2012
Reinaldo Montaez Topos geomtricos a partir de espaciosAcompactos
http://find/http://goback/7/21/2019 10 Reinaldo Montaez
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Encuentro de Topologa
SeaMun monoide topolgico. Olvidando la topologa sobreM
pero reteniendo su estructura algebraica se determina un topos
demconjuntos que notamosEM.
DefinicinUn topos geomtrico es un topos equivalente a uno de la forma
EM.
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Encuentro de Topologa
Haciendo uso de topologas finales se determina el funtor
T :EMTop
definido porT(X) =X yT(f) =f
Nota
En particular, siMes un monoide topolgico conmutativo las
acciones quedan continuas con respecto a la topologa del
producto tensorial.
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Encuentro de Topologa
Topos geomtricos a partir de espaciosA-Compactos
DefinicinUn espacio topolgicoWse diceA-Compacto si sus
subespacios abiertos son compactos.
Proposicin
SeaWun espacioA-Compacto. Si[W, W]Toptiene la topologacompacta abierta , entonces([W, W]Top, , )es un monoidetopolgico.
Corolario
SeaWun espacioA-Compacto. Entonces,EW(Top)es untopos-topolgico y un topos geomtrico.
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Encuentro de Topologa
Topos geomtricos a partir de espaciosA-Compactos
DefinicinUn espacio topolgicoWse diceA-Compacto si sus
subespacios abiertos son compactos.
Proposicin
SeaWun espacioA-Compacto. Si[W, W]Toptiene la topologacompacta abierta , entonces([W, W]Top, , )es un monoidetopolgico.
Corolario
SeaWun espacioA-Compacto. Entonces,EW(Top)es untopos-topolgico y un topos geomtrico.
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E d T l
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Topos geomtricos a partir de espaciosA-Compactos
DefinicinUn espacio topolgicoWse diceA-Compacto si sus
subespacios abiertos son compactos.
Proposicin
SeaWun espacioA-Compacto. Si[W, W]Toptiene la topologacompacta abierta , entonces([W, W]Top, , )es un monoidetopolgico.
Corolario
SeaWun espacioA-Compacto. Entonces,EW(Top)es untopos-topolgico y un topos geomtrico.
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E t d T l
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Encuentro de Topologa
Ejemplo
Ejemplo
Sea Wun espacio topolgico, con la topologa de los comple-
mentarios finitos. Entonces W es A-Compacto. Por lo tanto
si [W, W]Top tiene la topologa compacta abierta , entonces([W, W]Top, , )es un monoide topolgico.
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Topos geomtricos asociados a espacios mtricos
compactos
Sea (W, d) un espacio mtrico compacto. En [W, W]Topconsideremos la mtrica definida por
D(f, g) :=sup{d(f(x), g(x))|xW}
No necesariamente el monoide de endomorfismos deW resultatopolgico con respecto a la topologa inducida por D. Sin em-
bargo una restriccin sobre dichos endomorfismos produce el
resultado deseado.
Recordemos que una funcin f : W W es una contraccinsi existe un nmero real con 0 1 tal que para todosx, yWse tiene que
d(f(x), f(y)) (d(x, y))
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Topos geomtricos asociados a espacios mtricos
compactos
Puesto que la funcin identidad es una contraccin y la com-
puesta de contracciones es una contraccin, se determina el
monoide de los endomorfismos deWque son contracciones, el
que notamos[W, W]c.
Proposicin
SeaWun espacio mtrico compacto,[W, W]ces un monoide
topolgico con respecto a la topologa inducida por la mtricaD.
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Topos geomtricos asociados a espacios mtricos
compactos
Puesto que la funcin identidad es una contraccin y la com-
puesta de contracciones es una contraccin, se determina el
monoide de los endomorfismos deWque son contracciones, el
que notamos[W, W]c.
Proposicin
SeaWun espacio mtrico compacto,[W, W]ces un monoidetopolgico con respecto a la topologa inducida por la mtrica
D.
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Encuentro de Topologa
Observacin
Notemos conEW(Top)cel topos geomtrico determinado por elmonoide[W, W]c.De nuevo, se determina un funtor de la categora Topen
EW(Top)c. Un espacio topolgicoXse interpreta en el topos
EW(Top)ccomo elm-conjunto[W, X]Topcon la accin dada porcomposicin y una funcin continua en Topda lugar, por
composicin, a unam-aplicacin enEW(Top)c. Puesto que[W, W]ccontiene a las funciones constantes, tambin, en estecasoEW(Top)ccontiene como subcategora reflexiva a lacategoraEW(Top).
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Bibliografa
J. Admeck, H. Herrlich, G. Strecker.
Abstract and Concrete Categories.
John Wiley and Sons Inc, New York, 1990.
J. Montaez, C. Ruiz.
Elevadores y Coelevadores de estructura.
Boletin de Matemticas, Nueva serie. 2004.
Reinaldo Montaez Topos geomtricos a partir de espaciosAcompactos
http://find/