100408 Fase1 Borrador Actualizado

8/18/2019 100408 Fase1 Borrador Actualizado

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Trabajo Colaborativo Fase 1

TUTOR

Héctor Fabio Amaya Díaz

PRESETADO POR

!izet" #ivia$a Al%o$so

Carlos &ario 'e$avi(es

!eo$ar(o Alberto )arz*$

+o"a$a &erca(o P,jaro- ./00100

2i$a (el Pilar 3a4ata

)RUPO 1556507180

U9#ERS9DAD AC9OA! A'9ERTA 2 A D9STAC9A

ESCUE!A DE C9EC9AS AD&99STRAT9#AS: COTA'!ES: ECOO&9CAS

2 DE E)OC9OS ; ECACE ;

CEAD 9'A)UE

&AR3O < /518


2/35

9TRODUCC9=

A continuación desarrollaremos una serie de ejercicios donde se ponen en práctica las

temáticas aprendidas en la Unidad 1 del curso Algebra Lineal.

El trabajo colaborativo fase 1 tiene como finalidad que cada uno de los participantes

refuerce y adquiera nuevos conocimientos sobre las operaciones entre vectores,

magnitud y ángulo tambi!n se reali"aran operaciones de matrices y operaciones entre

matrices y cálculo de determinantes.


3/35

O'+ET9#OS

#esarrollar operaciones entre vectores, magnitud y ángulo.

$eali"ar operaciones sobre matrices, operaciones entre matrices y cálculo de

determinantes.

%articipar de manera colaborativa en la construcción de la &ase 1 del trabajo

colaborativo.

Afian"ar nuestro proceso de aprendi"aje con los temas propuestos por el curso de

Algebra Lineal.

'acer uso del editor de ecuaciones como apoyo para la presentación de cada uno

de los ejercicios.

E+ERC9C9OS PROPUESTOS


4/35

1. (alcule Proyv u sabiendo que)

a¿ .u=2 i+ j ; v=i−2 j

b¿ .u=αi− βj ; v=i+ j ; α y β $eales y positivos, con α


5/35

Sema$a

1. Encuentre la matri" inversa de A=( 1 1

1 2

1 1

−1 21 −11 3

2 1

3 2) -aciendo uso del m!todo de

auss23ordan y luego por el m!todo de los determinantes. $ecuerde que)

AdjA DetA

A *11

=−

*. 'alle la matri" escalonada de la matri" A y luego determine si es una matri"

invertible.

A=( 2 −1 4−1 0 519 7 3

)

Sema$a 8

1. (alcule el determinante, -aciendo uso del m!todo de menores y cofactores)

|1 −13 1

2 0 04 0 0

2 −10

0

0

0

5 0 0

0

0

2

−13

4|


6/35

*. #e un ejemplo en el cual muestre que, en general, no es cierto que Det ( A+b )= Det ( a )+ Det (B)

+. (onsidere el triángulo de la figura

a. Usando trigonometra elemental, muestre que

{cCosA+aCosC =bc cos A +a cos B=ca cos B+b cos C =a

b. 4i el sistema de la parte 5a se considera como un sistema de tres ecuaciones en

las tres incógnitas CosA , CosB ,CosC , pruebe que el determinante del sistema

no es cero.

c. Use la regla de (ramer para resolver el sistema para CosC


7/35

SO!UC9OES

1.c alcule Proyv u sabiendo que:

a¿ .u=2 i+ j ; v=i−2 j

b¿ .u=ai− βj ; v=i+ j ; a y β reales y positivos , con a


8/35

Proyv u=0

b¿ .u=ai− βj ; v=i+ j ; a y β reales y positivos , con a


9/35

cos A=b

2+c2−a2

2bc

cos A=5

2+(√ 34 ¿2−(√ 113¿2

2(5 ) (√ 34 ) =25+34−113

2.5√ 34 = −5458,309=−0,926

A=157 49 ! =158

cos B=a

2+c2−b2

2 ac

cos B= (√ 113¿2

+(√ 34¿2

−52

2√ 113√ 34=113+34−25

123,8

cos B= 122

123,8=0,985

B=crccos (0,985 )

B=9 56 ! =10

cosC =a

2+b2−c2

2ab

cosC =(√ 113¿2+(5¿2−(√ 34¿2

2√ 113.5=

113+25−3410√ 113

= 104

106,301

cos C =0,978

C =12


10/35

.- Determi$e el 4ro(>cto cr>z u × v sabie$(o ?>e@

a¿ .u=10 i+7 j−3 k ; v=−3 i+4 j−3 k b¿ .u=ai+bj+ck ; v=ai+bj−ck

a¿ .u=10 i+7 j−3 k ; v=−3 i+4 j−3 k

u × v=| i j k 10 7 −3−3 4 −3|=i|7 −34 −3|− j|10 −3−3 −3|+k |10 7−3 4|¿ (−21+12 ) i−(−30−9 ) j+ (40+21) k

¿−9 i+39 j+61 k

b¿ .u=ai+bj+ck ; v=ai+bj−c k

u × v=|i j k a b ca b −c|=i|b cb −c|− j|a ca −c|+k |a ba b|


11/35

¿ (−cb−cb ) i−(−ac−ac ) j+(ab−ab ) k

¿−2bci+2 acj

Sema$a 6

1. Un fabricante de joyera tiene pedidos para dos anillos, tres pares de aretes, cinco

fistoles y un collar. El fabricante estima que requiere 1 -ora de trabajo el elaborar un

anillo 1 -ora y media el -acer un par de aretes media -ora el -acer un fistol, y * -oras,

la elaboración de un collar.

a. 8rdenes de trabajo o pedidos como un vector renglón

(2,3,5,1)

b. 9iempos de elaboración de los diversos productos como un vector columna

( 1

1,5

0,5

2 )

c. :0mero de -oras que se requerirán para surtir los pedidos. $; 11 -oras

[ 2 3 5 1 ]∗

[ 1

1,5

0,5

2 ]=2∗1+3∗1,5+5∗0,5+1∗2=2+4,5+2,5+2=11"oras


12/35

*. #ada la matri" A=[1 −2 42 0 3

1 1 5] B=[

15 −5 22 0 0

1 6 5]

b. (alcule A2−3 B sabiendo que)

A2=[

1 −2 42 0 3

1 1 5]∗[

1 −2 42 0 3

1 1 5]=[

1 2 18

5 −1 238 3 32

]

3 B=3∗

[

15 −5 22 0 0

1 6 5

]=

[

45 −15 66 0 0

3 18 15

] A

2−3 B=[1 2 18

5 −1 238 3 32

]−[45 −15 66 0 0

3 18 15]=[

−44 17 12−1 −1 23

5 −15 17]

Sema$a

1. Encuentre la matriz inversa de A=(1

1

1

1

1

2

−13

1

−12

3

1

2

1

2) haciendo uso del método de

Gauss-Jordán y luego por el método de los determinantes. Recuerde que

A−1=

1

DetA∗ AdjA

A=(1

1

1

1

1

2

−13

1

−12

3

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

1 0 0 1 0

2 0 0 0 1)= # 2−1 # 1(1

0

1

1

1

1

−13

1

−22

3

1 1 0 0 0

1 −1 1 0 0

1 0 0 1 0

2 0 0 0 1 )


13/35

# 3−1 # 1

(

1

0

0

1

1

1

−2

3

1

−21

3

1 1 0 0 0

1 −1 1 0 0

0 −1 0 1 0

2 0 0 0 1

) # 4−1 # 1

(

1

0

0

0

1

1

−2

2

1

−21

2

1 1 0 0 0

1 −1 1 0 0

0 −1 0 1 0

1 −1 0 0 1

) # 3+2 # 2(100

0

1

1

0

2

1

−2−3

2

1 1 0 0 0

1 −1 1 0 0

2 −3 2 1 0

1 −1 0 0 1) # 4−2 # 2(100

0

1

1

0

0

1

−2−3

6

1 1 0 0 0

1 −1 1 0 0

2 −3 2 1 0

−1 1 −2 0 1)

−$ 33 (

1 1 1 10 1 −2 10

0

0

0

1 −2/36 −1 |

1 0 0 0−1 1 0 0

1

0

−2/30

−1/3 06 −1 ) # 4−6 # 3(

1 1 1 10 1 −2 10

0

0

0

1 −2/30 3 |

1 0 0 0−1 1 0 0

1

−5−2/3

2

−1/3 02 1 )

$ 4

3 (1 1 1 1

0 1 −2 10

0

0

0

1 −2/30 1

| 1 0 0 0

−1 1 0 01

−5/3−2/3

2 /3−1/3 02/3 1/3

) # 3+ 23 $ 4(1 1 1 1

0 1 −2 10

0

0

0

1 0

0 1|

1 0 0 0

−1 1 0 0−1/9−5/3

−2/92/3

1/9 2 /92/3 1 /3

)$ 2−$ 4 (

1 1 1 1

0 1 −2 00

0

0

0

1 0

0 1|

1 0 0 0

2/3 1/3 −2 /3 −1/31

−5/3−2/3

2 /3−1/3 02 /3 1/3

) # 1−$ 4 (1 1 1 0

0 1 −2 10

0

0

0

1 0

0 3|

8 /3 −2/3 −2/3 −−1 1 0 0−1/9−5 /3

−2/92/3

1/9 22/3 1

$ 2+2 $ 3

(

1 1 1 0

0 1 0 0

0

0

0

0

1 0

0 3

|

8 /3 −2 /3 −2/3 −1/34 /9 −1/9 −4 /9 1 /9−1/9

−5/3−2/9

2 /31 /9 2/92/3 1/3

)$ 1−$ 3

(

1 1 0 0

0 1 0 0

0

0

0

0

1 0

0 3

|

25/9 −4/9 −7 /9 −54 /9 −1/9 −4/9 1/−1/9

−5/3−2/9

2/31/9 2 /92/3 1 /3

$ 1−$ 2 (1 0 0 0

0 1 0 0

0

0

0

0

1 0

0 3|

7 /3 −1/3 −1/3 −2/34 /9 −1/9 −4 /9 1/9−1 /9−5 /3

−2/92/3

1/9 2/92/3 1/3

)


14/35

(1

1

1

1

1

2

−13

1

−12

3

1

2

1

2)(−1)

=

(

7 /3 −1 /3 −1/3 −2/34 /9 −1/9 −4 /9 1 /9−1/9−5

−2/92

1 /9 2/92 1

)&ETODO DETER&9ATE4e calcula el determinante de la matri" A

det A < 2=

#eterminante de la matri" A es distinto de cero, entonces la matri" invertible A21 e/iste.

%ara resolver una matri" invertible calculemos los menores y cofactores de la matri" A

4e calcula un menor >1,1 y cofactores (1,1 de A1,1. En la matri" A eliminemos la fila 1

y columna 1.

% 1.1=| 2 −1 2−1 2 1

3 3 2|=−21

C 1,2=(−1)1+1+1 % 1.1=−21

4e calcula un menor >1,* y cofactores (1,* de A1,*. En la matri" A eliminemos la fila 1

y columna *.

% 1.2=|1 −1 21 2 1

1 3 2|=4

C 1,2=(−1)1+2+1 % 1.2=−4

4e calcula un menor >1,+ y cofactores (1,+ de A1,+. En la matri" A eliminemos la fila 1

y columna +.

% 1.3=|1 2 21 −1 1

1 3 2|=1


15/35

C 1,3=(−1)1+3+1 % 1.3=1


y columna 6.

% 1.4=|1 2 −11 −1 2

1 3 3 |=−15

C 1,4=(−1 )1+4+1 %

1.4=15

4e calcula un menor >*,1 y cofactores (*,1 de A*,1. En la matri" A eliminemos la fila *y columna 1.

% 2.1=| 1 1 1−1 2 1

3 3 2|=−3

C 2,1=(−1 )2+1+ %

2.1=3

4e calcula un menor >*,* y cofactores (*,* de A*,*. En la matri" A eliminemos la fila *y columna *.

% 2.2=|1 1 11 2 1

1 3 2|=1

C 2,2=(−1 )2+2+ %

2.2=1

4e calcula un menor >*,+ y cofactores (*,+ de A*,+. En la matri" A eliminemos la fila *y columna +.

% 2.3=|1 1 11 −1 1

1 3 2|=−2


16/35

C 2,3=(−1 )2+3+ %

2.3=2

4e calcula un menor >*,6 y cofactores (*,6 de A*,6. En la matri" A eliminemos la fila *

y columna 6.

% 2.4=|1 1 11 −1 2

1 3 3|=−6

C 2,4=(−1 )2+4+ %

2.4=−6

4e calcula un menor >+,1 y cofactores (+,1 de A+,1. En la matri" A eliminemos la fila +

y columna 1.

% 3.1=|1 1 12 −1 2

3 3 2|=3

C 3,1=(−1 )3+1+ %

3.1=3

4e (alcula un menor >+,* y cofactores (+,* de A+,*. En la matri" A eliminemos la fila +

y columna *.

% 3.2=|1 1 11 −1 2

1 3 2|=−4

C 3,2=(−1 )3+2+ %

3.2=4

4e calcula un menor >+,+ y cofactores (+,+ de A+,+. En la matri" A eliminemos la fila +

y columna +.

% 3.3=|1 1 11 2 2

1 3 2|=−1

C 3,3=(−1 )3+3+ %

3.4=−1


17/35


y columna 6.

% 3.4=|1 1 11 2 −1

1 3 3 |=6

C 3,4=(−1 )3+4+ %

3.4=−6


y columna 1

% 4.1=|

1 1 1

2 −1 2−1 2 1|=−6

C 4,1=(−1 )4+1+ %

4.1=−6


y columna *.

% 4.2=|1 1 11 −1 2

1 2 1|=−1

C 4,2=(−1 )4+2+ %

4.2=−1

4e calcula un menor >6,+ y cofactores (6,+ de A6,+. En la matri" A eliminemos la fila 6

y columna +.

% 4.3=|1 1 11 2 2

1 −1 1|=2C

4,3=(−1 )4+3+ %

4.3=−2


18/35


y columna 6.

% 4.4=

|1 1 1

1 2 −11 −1 2 |

=−3

C 4,4=(−1 )4+4+ %

4.4=−3

>atri" de cofactores)

C =

(−21 −4 1 15

3 1 2 −63

6

4

−1−1 −6−2 −3)

9ranspuesta de la matri" cofactores)

C & =

(−21 3 3 6−4 1 4 −1

115

2−6

−1 −2−6 −3

)4olución de la matri" invertible)

A−1=

C &

det A=

(

7/3 −1 /3 −1/3 −2/34 /9 −1/9 −4 /9 1 /9−1/9

−5/3

−2/9

2/3

1 /9 2/9

2/3 1/3

)*. 'alle la matri" escalonada de la matri" A y luego determine si es una matri"invertible.


19/35

A=( 2 −1 4−1 0 519 7 3

)

>atri" escalonada reducida

A=( 2 −1 4−1 0 519 7 3

|1 0 00 1 00 0 1

)= $ 12 ( 1 −1/2 2−1 0 519 7 3

|1/2 0 00 1 00 0 1

)

$ 2+1 $ 1

( 1 −1/2 20 −1/2 7

19 7 3|1/2 0 01/2 1 0

0 0 1)$ 3−19 $ 1

(1 −1/2 20 −1/2 70 33/2 −35|

1/2 0 01/2 1 0

−19/2 0 1)$ 2

−12

(1 −1 /2 20 1 −140 33 /2 −35|

1/2 0 0−1 −2 0

−19/2 0 1) $ 3−332 $ 2 (1 −1 /2 20 1 −140 0 196

|1/2 0 0−1 −2 07 33 1

)

$ 3

196 (1 −1/2 20 1 −140 0 1

| 1/2 0 0−1 −2 07 /196 33 /196 1/196)$ 2+14 $ 3 (

1 −1/2 20 1 0

0 0 1| 1/2 0 0−1/2 5 /14 1/14

7/196 33 /196 1/196)

$ 1−2 $ 3 (1 −1/2 00 1 00 0 1

| 3/7 −33 /98 −1/98−1/2 5/14 1/147/196 33/196 1/196 ) $ 1+1/2 $ 2 (

1 0 0

0 1 0

0 0 1| 5/28 −31/196 5/196−1/2 5/14 1/14

7/196 33 /196 1/196)

>atri" invertible)

( 2 −1 4−1 0 519 7 3

)(−1)

=( 5 /28 −31/196 5/196−1/2 5 /14 1/147 /196 33/196 1/196)


20/35

Sema$a 8

1. (alcule el determinante, -aciendo uso del m!todo de menores y cofactores)

|1 −13 1

2 0 0

4 0 0

2 −10

0

0

0

5 0 0

0

0

2

−13

4|#etermnante de la matri" A

|1 −13 1

2 0 04 0 0

2 −10

0

0

0

5 0 0

0

0

2

−13

4|=66#eterminante de la matri" A es distinto de cero, entonces la matri" invertible A21 e/iste.

%ara resolver una matri" invertible calculemos los menores y cofactores de la matri" A


y columna 1.


21/35

1.1=¿| 1 4 0 0

−1 5 0 00

0

0

0

2

−13

4|=99

% ¿

C 1.1=(−1)1+1

% 1.1=99


y columna *.

1.2=¿

|3 4 0 0

2 5 0 0

0

0

0

0

2

−13

4|=77

% ¿

C 1.2=(−1)1+2

% 1.2=−77

4e (alcula un menor >1,+ y cofactores (1,+ de A1,+. En la matri" A eliminemos la fila 1

y columna +.

1.3=¿|3 1 0 0

2 −1 0 00

0

0

0

2

−13

4|=−55

% ¿

C 1.3=(−1)1

+3

% 1.3=−55

4e calcula un menor >1,6 y cofactores (1,6 de A1,6. En la matri" A eliminemos la fila 1 y

columna 6.

M1,4 = ! 1 " #

$ -1 % #

# # # !

& #


22/35

# # # "

4e calcula un menor >1,? y cofactores (1,? de A1,?. En la matri" A eliminemos la fila 1 y

columna ?.

M1,5 =

! 1 " #

$ -1 % #

# # # $

# # # -1

& #

4e calcula un menor >*,1 y cofactores (*,1 de A*,1. En la matri" A eliminemos la fila * y

columna 1.

M2,1 =

-1 $ # #

-1 % # #

# # $ !

# # -1 "

& -!!

4e calcula un menor >*,* y cofactores (*,* de A*,*. En la matri" A eliminemos la fila * y

columna *.

M2,2 & 1 $ # #

$ % # #

# # $ !

& 11

C1,4 = '-1(1)"*1+" &

#

C1,5 & '-1(1)%*1+% &

#

C2,1 & '-1($)1*$+1 &

!!


23/35

# # -1 "

,e calcula un menor *$+! y coactores $+! de /$+!. En la matriz A eliminemos la ila $ y

columna !.

M2,3 &

1 -1 # #

$ -1 # #

# # $ !

# # -1 "

& 11

,e calculemos un menor *$+" y coactores $+" de /$+". En la matriz A eliminemos la ila $ y

columna ".

M2,4 &

1 -1 $ #$ -1 % #

# # # !

# # # "

& #

,e calcula un menor *$+% y coactores $+% de /$+%. En la matriz A eliminemos la ila $ y

columna %.

M2,5 & 1 -1 $ #

$ -1 % #

& #

C2,2 & '-1($)$*$+$ &

11

C2,3 & '-1($)!*$+! &

-11

C2,4 & '-1($)"*$+" &

#


24/35

# # # $

# # # -1


y columna 1.

M3,1 &

-1 $ # #

1 " # #

# # $ !

# # -1 "

& -00

,e calcula un menor *!+$ y coactores !+$ de /!+$. En la matriz A eliminemos la ila ! y

columna $.

M3,2 &

1 $ # #

! " # #

# # $ !

# # -1 "

& -$$

4e calcula un menor >+,+ y cofactores (+,+ de A+,+. En la matri" A eliminemos la fila + y

columna +.

C2,5 & '-1($)%*$+% &

#

C3,1 & '-1(!)1*!+1 &

-00

C3,2 & '-1(!)$*!+$ &

$$


25/35

M3,3 &

1 -1 # #

! 1 # #

# # $ !

# # -1 "

& ""

4e calculemos un menor >+,6 y cofactores (+,6 de A+,6. En la matri" A eliminemos la fila +

y columna 6.

M3,4 &

1 -1 $ #

! 1 " #

# # # !

# # # "

& #

4e calcula un menor >+,? y cofactores (+,? de A+,?. En la matri" A eliminemos la fila + y

columna ?.

M3,5 &

1 -1 $ #

! 1 " ## # # $

# # # -1

& #

C3,3 & '-1(!)!*!+! &

""

C3,4 & '-1(!)"*!+" &

#

C3,5 & '-1(!)%*!+% &

#


26/35

4e calcula un menor >6,1 y cofactores (6,1 de A6,1. En la matri" A eliminemos la fila 6 ycolumna 1.

M4,1 &

-1 $ # #

1 " # #

-1 % # #

# # -1 "

& #

4e calcula un menor >6,* y cofactores (6,* de A6,*. En la matri" A eliminemos la fila 6 y

columna *.

M4,2 &

1 $ # #

! " # #

$ % # ## # -1 "

& #

4e calcula un menor >6,+ y cofactores (6,+ de A6,+. En la matri" A eliminemos la fila 6 y

columna +.

M4,3 &

1 -1 # #! 1 # #

$ -1 # #

# # -1 "

& #

C4,1 & '-1(")1*"+1 &

#

C4,2 & '-1(")$*"+$ &

#

C4,3 & '-1(")!*"+! &

#


27/35


y columna 6.

M4,4 &

1 -1 $ #

! 1 " #

$ -1 % #

# # # "

& $"

4e calcula un menor >6,? y cofactores (6,? de A6,?. En la matri" A eliminemos la fila 6 y

columna ?.

M4,5 &

1 -1 $ #

! 1 " #

$ -1 % #

# # # -1

& -0

4e calcula un menor >?,1 y cofactores (?,1 de A?,1. En la matri" A eliminemos la fila ? y

columna 1.

M5,1 &

-1 $ # #

1 " # #

-1 % # #

# # $ !

& #

C4,4 & '-1(")"*"+" &

$"

C4,5 & '-1(")%*"+% &

0

C5,1 & '-1(%)1*%+1 &

#


28/35

4e calcula un menor >?,* y cofactores (?,* de A?,*. En la matri" A eliminemos la fila ?y columna *.

M5,2 &

1 $ # #

! " # #

$ % # #

# # $ !

& #

4e calcula un menor >?,+ y cofactores (?,+ de A?,+. En la matri" A eliminemos la fila ? y

columna +.

M5,3 &

1 -1 # #

! 1 # #

$ -1 # #

# # $ !

& #

4e calcula un menor >?,6 y cofactores (?,6 de A?,6. En la matri" A eliminemos la fila ? y

columna 6.

M5,4 &

1 -1 $ #

! 1 " #

$ -1 % #

# # # !

& 1

C5,2 & '-1(%)$*%+$ &

#

C5,3 & '-1(%)!*%+! &

#


29/35

4e calcula un menor >?,? y cofactores (?,? de A?,?. En la matri" A eliminemos la fila ? y

columna ?.

M5,5 &

1 -1 $ #

! 1 " #

$ -1 % #

# # # $

& 1$

C5,5 & '-1(%)%*%+% & 1$

*atriz de coactores

C &

22 -33 -%% # #

!! 11 -11 # #

-00 $$ "" # #

# # # $" 0

# # # -1 1$

*. #e un ejemplo en el cual muestre que, en general, no es cierto que

Det ( A+b )= Det ( a )+ Det (B)

Ejemplo) #ada las siguientes matrices

A=(1 23 4)

det A &1 $

! "&

C5,4 & '-1(%)"*%+" &

-1

& 1 4 " - ! 4$

& -$


30/35

B=( 5 67 8)det B & % 0

3

&

A+B=(1 23 4)+(

5 67 8)=(

6 810 12)

det A+B &0

1# 1$&

& % 4 - 3 40

& -$

& 0 4 1$ - 1# 4

& -


31/35

D et ( A+b )= Det (a )+ Det (B)

2 @ 2 * B 52 *

2 @ 2 6

+. (onsidere el triángulo de la figura

a. Usando trigonometra elemental, muestre que

{cCosA+aCosC =bc cos A +a cos B=ca cos B+b cos C =a

La demostración es inmediata)

(omo vemos en la imagen adjunta, por ejemplo demostraremos que

c


32/35

cos ( A )= A'

AC

A(


33/35

Análogamente se demuestra que)

a


34/35

¿abc+abc

¿2 abc

(omo aa, bb y cc son distancias de los lados del triángulo, y por ende magnitudes

positivas) a,b,cFa,b,cF, entonces)

|0 c bc 0 ab a 0

|=2 abc>0

(. Use la regla de (ramer para resolver el sistema para (os(

COC!US9OES

Describa a?>í lo ?>e co$cl>ye co$ realizar esta 4rimera activi(a(-


35/35

'9'!9O)RAFA

Descri4ci*$ (e la biblioBra%ía co$s>lta(a

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