UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CALCULO INTEGRAL

TRABAJO COLABORATIVO 1

Integrantes:

ANGELICA GUARIN RIVERA

Código: 97120214954

EDWARD STEVEN CAMELO CASTILLO

Código: 96122417040

GREESS HURTADO JULIO

Código: 1128060353

JHON ARGEMIRO JIMENEZ VASQUEZ

Código: 96123017681

YENSI VIVIANA GUERRERO

Código: 1123207622

Tutor:

NELSON HUMBERTO ZAMBRANO CORTES

GRUPO: 100411_14

NOVIEMBRE 2014

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 2

Tabla de contenidoINTRODUCCION...................................................................................................................................3

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD..................................................................................................4

Respuesta 1.............................................................................................................................................4

Respuesta 2.............................................................................................................................................4

Respuesta 3.............................................................................................................................................4

Respuesta 4.............................................................................................................................................5

Respuesta 5.............................................................................................................................................6

Respuesta 6.............................................................................................................................................6

Respuesta 7.............................................................................................................................................7

Respuesta 8.............................................................................................................................................7

Respuesta 9.............................................................................................................................................7

Respuesta 10...........................................................................................................................................8

Respuesta 11...........................................................................................................................................8

Respuesta 12...........................................................................................................................................9

CONCLUSION......................................................................................................................................10

REFERENCIAS BIBIOGRAFICAS...................................................................................................11

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 3

INTRODUCCION

Se conoce que La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas. La naturaleza de esta relación es una de las ideas más importantes en matemáticas, y su descubrimiento, teniendo en cuenta que el cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. En el siguiente trabajo serán visibles los conocimientos previos de cálculo diferencial y la aplicación de conceptos básicos del cálculo integral.

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 4

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Respuesta 1

∫ x5+3 x−2x3 dx

¿∫ x5

x3 +3 xx3 − 2

x3 dx

¿∫ x2dx+3∫ 1

x2dx−2∫ 1

x3dx

¿ x3

3+3 (∫ x−2 dx )−2(∫ x−3 dx)

¿ x3

3+3( x−2+1

−2+1 )−2( x−3+1

−3+1 )+c

¿ x3

3+3( x−1

−1 )−2( x−2

−2 )+c

¿ x3

3+3(−1

x )−2(−12 x2 )+c

¿ x3

3−3

x+ 1

x2 +c

Respuesta 2

∫sin x+3 sec 2 x dx

¿∫sin x dx+3∫ sec2 x dx¿−cos x+3 tan x+c¿3 tan x−cos x+c

Respuesta 3

∫ √ t−t+t 3

3√ tdx

¿∫ √t3√t

− t3√t

+ t 3

3√ tdx

¿∫ (t12−

13 )dx−∫ ( t1−

13 )dx+∫ ( t3−

13 )dx

¿∫ t16 dx−∫ t

23 dx+∫ t

83 dx

¿t

16+1

16+1

−t

23+1

23+1

+t

83

+1

83+1

+c

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 5

¿t

76

76

−t

53

53

+t

113

113

+c

¿6 t

76

7−

3 t53

5+

3 t113

11+c

¿ 67

6√ t 7−35

3√ t5+ 311

3√t 11+c

¿ 67

6√ t 6 . t−35

3√ t3 . t2+ 311

3√t 9. t 2+c

¿ 67

t 6√t−35

t3√t 2+ 3

11t3 ( 3√t 2 )+c

¿ t ( 67

6√ t−−35

t3√ t 2+ 3

11t2 .

3√t 2)+c

Respuesta 4

∫ tan3 xdx

¿∫ tan3 x dx

¿∫ tan2 x tan x dx

¿∫ ( sec2 x−1 ) tan x dx

¿∫ sec2 x tan x−tan x dx

¿∫ sec2 x tan xdx−∫ tan x dx

Para la primera integral, se sustituye para sec2 x tan x (la derivada de tan x es sec2 x) :u=tan x y du=sec2 x

∫ sec2 x tan x dx=∫u du=u2

2+c=1

2tan2 x+c

Para la segunda integral, aplicamos la identidad y sustituimos :

∫ tan xdx=∫ sin xcos x

dx

u=cos x y du=−sin x

∫−duu

=−ln|u|+c=−ln|cos x|+c

Por lo anterior queda:

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 6

¿ 12

tan 2 x−(−ln|cos x|)+c

¿ 12

tan 2 x+ln|cos x|+c

Respuesta 5

∫ x2

1+x6 dx

El numerador se encuentra en segundo grado, por lo que si notamos para el denominador

( x3 )2. Aplicamos sustitución así:

u=x3

dudx

=3 x2

du3

=x2 dx

Quedaría de la siguiente manera:

¿∫( du

3 )1+u2

¿∫ du

3 (1+u2 )¿ 1

3∫1

1+u2du

¿ 13

tan−1u+c

¿ 13

tan−1 x3+c

Respuesta 6

∫ [ex−5

√1−x2+2sin x]dx

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 7

¿∫ex dx−5(∫ 1

√1−x2dx )+2(∫sin x dx)

¿ex−5 sin−1 x+2 (−cos x )+c¿ex−5 sin−1 x−2cos x+c

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Respuesta 7

∫cos4 x sin x dx

Sustituimos:u=cos x y du=−sin x→−du=sin x

∫u4 (−du )=−∫ u4 du=−u5

5+c

De lo anterior, reemplazamos en términos de u, coseno:

¿−15

cos5 x+c

Respuesta 8

∫ cos3t +1cos2 t

dt

¿∫ cos3 tcos2 t

+ 1cos2 t

dt

¿∫cos t dt+¿∫ 1

cos2tdt ¿

¿ sin t+∫ sec2 t dt +c¿ sin t+ tan x+c

Respuesta 9Hallar valor promedio de la siguiente función entre los intervalos de [0,2]:

g ( x )=x2√1+x3

∫0

2

x2 √1+x3 dx

Se aplica sustitución:

Aparte, hacemos la integración de la función en solo términos de u como no dio para reemplazar:

¿∫√udu3

u=1+ x3

dudx

=3 x2 Se despeja du

du3

=x2 dx

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 9

¿ 13∫u

12 du

¿ 13 ( u

12

+1

12+1 )=1

3 ( u32

32

)=13 ( 2u

32

3 )=29

u32+c

Sustituimos la integración, recuerde que u=1+ x3

29

u32 ]

0

2

=29

√u3]0

2

= 29√ (1+x3 )3]

0

2

¿ 29√ (1+x3 )3]

0

2

=29

√(1+ (2 )3)3−2

9√ (1+(0 )3 )3=2

9(27 )−2

9=6−2

9=52

9

Respuesta 10Hallar valor promedio de la siguiente función entre los intervalos de [0,1]:

g ( x )=2 x−2 x2

Integramos

∫2 x−2 x2dx

¿2∫ xdx−2∫ x2 dx

¿2( x2

2 )−2( x3

3 )=x2−2 x3

3Se aplica por según la segunda parte del Teorema Fundamental del Calculo

x2−2 x3

3 ]0

1

=(1 )2−2 (1 )3

3−[ (0 )2−

2 (0 )3

3 ]=1−23=

13

Respuesta 11Hallar la derivada de:

H ( x )=∫1

x2

2 t−4dt

ddx [∫

1

x2

2 t−4 dt ]dt=( 2x2−4 x ) d ( x2 )dx

=2 x ( x−2 ) (2x )=4 x2 (x−2 )

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 10Respuesta 12

∫0

π4

sin3 (2 x )cos (2 x ) dx

Se aplica sustitución:

Aparte, hacemos la integración de la función en solo términos de u. Se reemplaza:

¿∫u3 du2

¿ 12∫ u3 du

¿ 12 ( u4

4 )=18

u4+c

Sustituimos la integración, recuerde que u=1+ x3:

¿ 18

u4]0

π4 =1

8sin4 (2 x )]0

π4

¿ 18

sin4[2( π4 )]−1

8sin4 [2 (0 ) ]=1

8sin4( π

2 )−18

sin4 (0 )=18

(1 )−18

(0 )=18

u=sin (2x )dudx

=2 cos (2 x ) Se despeja du

du2

=cos (2 x ) dx

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CONCLUSION

El Cálculo Integral aplica los aprendizajes previos de: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo Diferencial, en el estudio significativo de las funciones y sus diferenciales así como sus aplicaciones en el cálculo de áreas de regiones planas limitadas por curvas y el cálculo de volúmenes de sólidos y demás. En el anterior trabajo se observó la aplicación del cálculo en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general a través de la solución de diferentes ejercicios.

Calculo IntegralUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD 12

REFERENCIAS BIBIOGRAFICAS

Bombal, F., Rodríguez, L., & Vera, G. (1987). Problemas de Análisis Matemático 3. Editorial AC. Obtenido de Cálculo integral.

Sanz, P., & Vázquez, F. J. (1995). Cuestiones de Cálculo. Pirámide.

Universidad Autónoma de Madrid. (2006). El descubrimiento del Calculo Integral. Madrid, España. Obtenido de UAM pagina web: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.html

vitutor. (2007). Integración por sustitución o cambio de variable. Obtenido de vitutor sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_sustitucion.html

Waner , S., & Costenoble , S. (1997). Integrales de Funciones Trigonométricas . Obtenido de zweigmedia sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/trig/trig4.html