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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAECUACIONES DIFERENCIALES

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ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE DOS

Presentado a:FRANCISCO FERNANDEZ

Tutor

Entregado por:

LUIIS CARLOS CUELLO DIAZCódigo: 84104815

LUIS ALBERTO RODRÍGUEZ.

Código: 112401182

CARLOS ENRRIQUE PADILLACódigo: xxxxx

CRISTIAN ROSOCódigo: 72275574

Grupo: 100412_231

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

ABRIL DE 2016

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INTRODUCCION

El presente trabajo resuelve algunos problemas que permiten identificar si una ecuación homogénea o no y, según sea el caso o la complejidad del mismo, se exploran alternativas dsolución por diversos métodos: ecuación auxiliar, variación de parámetros, ecuación de CauchEuler, coeficientes indeterminados y operador diferencial de anulación.

En la segunda parte se estudia un ejercicio propuesto en la guía, para el desarrollo de esactividad colaborativa estudiamos las temáticas de Ecuaciones diferenciales de orden superiortambién se estudiaron las leyes de amortiguación de un resorte, como la ley de Hooke y sistemmasa-resorte y se resalta en letra roja aquello en lo que se está en desacuerdo con lo propuesto la misma. Se trata de un ejercicio que permite reafirmar conceptos e identificar cada caso y manera correcta de notarlo en la ecuación general, lo mismo que el encontrar solucione particulares para cada aparte del ejercicio.

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OBJETIVO GENERALIdentificar de manera clara los métodos a utilizar para la solución de ecuaciones diferenciales orden superior.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: Resolver ejercicios haciendo uso de la ecuación auxiliar. Encontrar los operadores de anulación para ecuaciones diferenciales Reconocer y aplicar el método de variación de parámetros como un modo prácticod

solución de ecuaciones diferenciales de orden superior

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior

Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas concoeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

RespuestaNombre estudiante que realiza el ejercicio:Luis Carlos Cuello Díaz PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZON O EXPLICACION

Esta es una Ecuación diferencial lineal homogénea concoeficiente constante por que se ajusta a la forma y” +ay’ – by= f(x) donde a y b son constantes y f(x) = 0

Se procede a establecer la ecuación característicareemplazando y” = m2 y’= m y = 1 Resolvemos la ecuación cuadrática por factorización

Las soluciones particulares de la ecuación se definen por

Como esta solución son linealmente independiente lasolución general es de la forma.

(1)Reemplazamos la condición inicial en la solucióngeneral y obtenemos la ecuación lineal (1)

(2)

Derivamos la solución general y remplazamos la condición para obtener la ecuación lineal (2)

Se resuelva el sistema de ecuaciones simultaneas (1) y (2)Para encontrar los valores de C1 y C2Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la sumamos a laecuación (2)Reemplazamos C2 en (1) y obtenemos C1

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Reemplazamos C1 y C2 en la solución general y obtenemosla ecuación particular.

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Aporte de LUIS ALBERTO RODRÍGUEZ

1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas concoeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

MODELO, FORMA DE ENTREGAR UN EJERCICIO DE ECUACIONESDIFERENCIALES DE LOS TRABAJOS COLABORATIVOS

EJEMPLO: E Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneacon coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

Donde y (1)=1, y´ (1)=1

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIONMATEMATICA

RAZON O EXPLICACION

√

Se extraen las raíces. De la ecuasion.

Las raíces son iguales;

Rea zamos e proceso.

Solución

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MODELO, FORMA DE ENTREGAR UN EJERCICIO DE ECUACIONESDIFERENCIALES DE LOS TRABAJOS COLABORATIVOS

EJEMPLO: 4. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coeficientesindeterminados:

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIONMATEMATICA

RAZON O EXPLICACION

La ecuaciones característica es;

Tiene por solución, Luego,

Puesto que,entonces, y obtenemos

Sustituyendo;

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Aporte CARLOS ENRRIQUE PADILLA

3. a. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

Primero se obtiene un conjunto fundamental de soluciones para la EDO homogénea asociada

Luego se aplica el método de variación de parámetros para determinar una solución particular.Resolviendo:

Proponiendo se obtiene: √ Entonces: { Funciones que forman un conjunto fundamental de soluciones se propone como solución particular

Considerado que:

Entonces: Sustituyendo en

Y luego la solución general es;

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Entonces y deben satisfacer el sistema

{ El determinante del sistema es| |

La solución del sistema es

| | | |

De aquí que

∫ ∫ ∫

Tomando ; se tiene que, una solución particular es Entonces la solución general es

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Aporte de CRISTIAN ROZO LOPEZ

1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas concoeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

B.

Donde

Es una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes.

Se escribe la ecuación característica asociada a esta ecuación:

(1)

Se resuelve (1)

Son raíces reales y repetidas. La solución general de esta se da por:

Entonces:

(2)

Usando las condiciones iniciales

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Entonces

Derivando en (2)

Como y

La solución se da por:

2. Demostrar que ; son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuacióndiferencial:

Se reemplaza

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Aporte de LUIS CARLOS CUELLO DÍAZ

Análisis y Desarrollo

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le apliuna velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento demasa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. ¿Cuánto tiempo transcurre desde quesuelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

El ejercicio nos pide hallar el tiempo que se demora el resorte en quedar de nuevo en su posicióde equilibrio, luego de que se deja caer la masa y se comienza a generar las oscilaciones dresorte.

Para un caso normal del movimiento de un sistema masa-resorte, se utiliza la siguiente formula

Pero como en nuestro caso el sistemas masa-resorte no tiene amortiguación si no que tenemos caso de vibración simple.

Para esto utilizamos la ecuación:

Para encontrar k observamos que la masa de 4 lb, estira el resorte 3 pulgadas o ¼ pie. Empleanla ley de Hooke.

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La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuaciódel muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida por el resorte con la elongación oalargamiento provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo.

Entonces:

Lo que implica como , se tiene que y por lotanto

√ √

Luego √ √ Imponiendo nuestras condiciones inicial son: , tenemos

√ Lo que implica por consiguiente la ecuación del movimiento de la masa es .

√ √ Para expresar la solución en forma senoidal hacemos

√ √ √

Donde = (4)=1.326

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Por lo tanto, la amplitud es √ , el periodo es √ √ y la frecuencia natural es √ finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por l posición de equilibrio verifica

√ , lo que implica

√

De esta manera obtenemos que el tiempo que tardara el resorte en llegar a su posición dequilibrio nuevamente será de:

Situación y solución planteada:

Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por ecuación diferencial: En donde, x (0) = 1, x'(0) = 0. Encuentre la ecuacióndel movimiento para los siguientes casos:

Caso 1: Movimiento subamortiguado: b = 6.Caso 2: Movimiento críticamente amortiguado: b = 10.

Caso 3: Movimiento sobre amortiguado: b = 14.

1er caso:

√ √ √

Remplazamos Valores

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Luego la solución particular es

2do caso:

Reemplazamos valores

Luego la solución particular es

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3er Caso:

√ √ √ √ √

( √ ) √ Reemplazamos valores

( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )

Sumamos las dos ecuaciones

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Aporte de LUIS ALBERTO RODRÍGUEZ

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el forcolaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscel método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de orden superior:

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le apliuna velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento demasa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

Situación y solución planteada:

Enunciado: El movimiento de un sistemamasa-resorte con amortiguación está regido por laecuación diferencial:

En donde, encuentre la ecuación del movimiento para los siguientes casos:Caso 1: Movimiento subamortiguado: b=6.Caso 2: Movimiento críticamente amortiguado: b=10.Caso 3: Movimiento sobre amortiguado: b=14

Solución:

EJERCICIO Y SOLUCIÓNPLANTEADA

OBSERVACIONES, ANEXOS,MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓNPLANTEADA

Enunciado: El movimiento de un sistemamasa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial: Caso 1, es correcto, y la correcta.

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En donde, encuentrela ecuación del movimiento para lossiguientes casos:Caso 1: Movimiento subamortiguado:b=6.Caso 2: Movimiento críticamenteamortiguado: b=10.Caso 3: Movimiento sobre amortiguado:b=14

Solución:

Caso 1: b=6

La ecuación característica es;

Cuyas raíces son:

√ La ecuación de movimiento tiene forma:

Para , se tiene , por tanto: Y Finalmente la ecuación de movimiento tienela forma;

Caso 2, todo el proceso es correcto,

respuesta es correcta.

Caso 3 el proceso es correcto, y larespuesta es correcta.

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Caso 2 b=10.La ecuación de movimiento tiene la forma:

Cuyas raíces son:

√

Para se tiene elsistema: , Por tanto: y Finalmente la ecuación de movimiento tieneforma:

Caso 3: b=14La ecuación característica es:

Cuyas raíces son: √ √ La ecuación de movimiento tiene la forma:( √ ) ( √ ) √ ( √ )√ ( √ ) Para

se tiene el

sistema: ( √ )( √ ) Por tanto:√ y √ Finalmente la ecuación de movimiento tieneforma:

( √ ( √ )√ ( √ )

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Aquí se presentó un error:

Sería así:

√ Por lo que cambia la solución:

Se deriva

Se reemplazan las condiciones iniciales en la solución

Se reemplazan las condiciones iniciales en la derivada de la solución

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Entonces

La solución general es:


Sería así:

√

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Por lo que cambia la solución:

Se deriva

Se reemplazan las condiciones iniciales en la solución

Se reemplazan las condiciones iniciales en la derivada de la solución

Entonces


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Sería así:

√ √ Cambia la solución:

√ √ Se deriva

√ √ √ √ Se reemplazan las condiciones iniciales en la solución

√ √ Se reemplazan las condiciones iniciales en la derivada de la solución

√ √ √ √

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(√ ) √ Entonces

√ √ √

(√ ) √ √ √ √ √ √ √


√ √ √ √ √ √

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CONCLUSIONES

Se desarrolló la actividad grupal número dos del curso de ecuaciones diferencialesutilizando las herramientas temáticas presentadas en la unidad y en el entorno dconocimiento del curso.

Se realiza la solución del problema planteado para esta unidad, haciendo uso de loconocimientos adquiridos durante el desarrollo de la segunda unidad del curso y la ley delasticidad Hook e.

Una ecuación diferencial de orden superior es una expresión que relaciona una variabdependiente (y) y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variabl

independiente x. Se dice que las funciones son linealmente dependientes en el intervalo, si la combinació

lineal se anula para alguna constante diferente de cero.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Gonzalo, P. (1991). La ley de Hooke, masa y periodo de un resorte. Revista Española de Física , 5(1), 36.

DE HOOKE, L. E. Y. ELASTICIDAD POR TRACCIÓN-LEY DE HOOKE.de Hooke, L. Ley de Hooke.

Núñez, L. A. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior... Zill, D. G. (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado . Thomson

Learning. Ayres, F. (1969).Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales . McGraw-Hill.

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