-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
1/11
FASE 2- UNIDAD 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
PRESENTADO POR:
LUCY NATHALI PARRA PEREZCOD. 1057586298
FRANCY YUREIMA ESCALANTE
COD. 1057587765SERGIO FELIPE HERRERA ROA
COD.1057582598
GRUPO:10012!276
TUTOR:
ADRIANA GRANADOS COM"A#D$%&'()% D&* C+%,)
UNIERSIDAD NACIONAL A"IERTA Y A DISTANCIACEAD
SOGAMOSO-"OYAC/
ESCUELA DE CIENCIAS "/SICAS TECNOLOGA E
INGENIERA18-OCTU"RE-2015
http://campus03.unad.edu.co/ecbti02/user/view.php?id=524762&course=335http://campus03.unad.edu.co/ecbti02/user/view.php?id=524762&course=335
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
2/11
1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales
lineales
homogéneas con coeficientes constantes. y cuáles son
diferenciales lineales nohomogéneas y resuélvalas.
A. ́ ´ + 2 ́ − 8 =
0
m^2 – 2m – 8 = 0
= m!2"^#
m1=m2=2
y= c1 e^2$ % c2 e^2$
&ta'' (s una ecuaci)n diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes.
B. ́ ´ + 8 ́ + 16 =
0
m^2%8m%1*=0
=m%+"m%+"
m1 = + m2= +
y= c1 e^+$ % c2 e^+$
Rta// Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes.
C. y ´ ´ +2 y ́ − y=0 D)3& 4#00
4#0-1
primero vamos haciendo el cambio de variable
{ŝ2 y(s) - sy(0) - y'(0)} + 2{sy(s)-y(0)} + y(s)=0
ahora usando las condiciones iniciales y factorizando
[ŝ2 + 2s + 1] y(s) = 2
ahora factoriza
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
3/11
y(s)= 2/(s+1)̂2
ahora aplicando transformada de la place con el 1 teorema de
translación
y(t) = 2tê-t
D. 3 y ´ ´ +14 y ´ +58 y=0
3 y'' +14 y ' +58 y=0
(cuaci)n au$iliar
3m2+14 m+58=0
(ncontramos las ra,ces
m=−14 ±√ 196−4 (3)(58)
6
m=−14 ±√ −500
2=−7±5 √ 5 i
3
m1=−7+5√ 5 i
3
m2=−7−5√ 5 i
3
-oluci)n general
y=c1e
−7
3
x
sin
(5√ 5
3 x)+c2 e
−7
3
x
cos
(5√ 5
3 x )E. y ´ ´ −4 y ´ +4 y=0
m2+4m+4=02
m+¿¿¿
m+2=0m=−
2
y=(c1 x+c2) e−2 x
y=( c1 x+c2) /e−2 x
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
4/11
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
5/11
6am5ién se cum/le /or consiguiente.
x3 y [ x3] -on soluciones linealmente
inde/endientes
#. &esuelva la ecuaci)n diferencial y ´
´ + y=secx /or el método de variaci)n de
/arámetros.
y ´ ´ + y=0
r2+1=0
r2=−1
r 1=ir 2=−iYh=C 1sin x+C 2cos xW =sinx
cosx = !sin^2 $ – cos^2 $=!1
cosx−sinx
71= | 0 cosxsecx −sinx|W
=−secxcosx
−1 =1
72= |sinx 0cosx secx|W
=secxsinx
−1 =−tanx
9or esto se tiene que.
71= ∫1dx= x72=
∫−tanxdx=−ln|secx|
Y h= xsinx – ln|secx|cosxYg=C 1
sinx+C 2cosx+ xsinx−ln|secx| cos$
4. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de
coeficientesindeterminados:
44241
d2
dx2 ( y )+3
d
dx
( y )+2 y=3 x+1
d2
dx2 ( y )+3
d
dx( y )+2 y=0
d
dx (γxln (e ) )
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
6/11
γxln (e ) d
dx ( x )
γxln (e )1
¿ γ ¿eu γ ¿ γ
¿eγx (γ 2+3 γ +2)γ 2+3γ +2
(γ +1 ) ( γ +2 )=0
γ +1=0 : γ =−1γ +1−1=0−1γ =−1
γ +2=0 : γ =−2γ +2−2=0−2γ =−2
γ 2+3 γ +2=0
γ 2+3γ =−2
γ 2+3γ +
9
4=
1
4
γ +3
2 √ 1
4
γ +3
2=
1
2
2 γ +2 3
2=2
1
2
2 γ +3=12 γ +3−3=1−32γ
2 =−22
x=−1
γ +3
2−√
1
4
γ +3
2=
1
2
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
7/11
2 γ +2 3
2=2
1
2
2 γ +3=1
2 γ +3−3=1−32 γ =−4γ =−2
x=−2, γ =−1
x2+3 γ +2=0
x1,2=b ±√ b
2−4ac
2a
x=−3+√ 3
2−4 ∙2∙1c2 ∙1
=−1
x=−3−√ 3
2−4 ∙2 ∙1c2 ∙1
=−2
x=−1, γ =−2
d2
dx2 ( y )+3
d
dx( y )+2 y=3 x+1
3a0+2a0 x+2a1=3 x+12a0 x+(3a0+2a1
)=3 x+1
[1=3a0+2a13=2a0 ]=32
[1=3 32 +2a1]33
2+2a1
2a1+9
2=1
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
8/11
2∙2a1+29
2=2 ∙1
4 a1+9=24 a1+9−9=2−94 a1=−7
4a14 =−74
a1=−74
y=3
2 x−
7
4
y=3 x
2−
7
4
y=c1e−2 x+c2e x 3 x
2−
7
4
:. &esolver la siguiente ecuaci)n diferencial
x2 y ´ ´ + xy´ + y=0
xm−1+ xm=0
m
2
¿ xm
+ xm
=0
xm ( m2+1)=0
;omo $ es diferente de 0
m2+1=0
m=± i
xm=emlnx
y=C 1 (cos (lnx )+isin (lnx ))+C 2(cos
(lnx )−isin (lnx ))
y=(C 1+C 2 )cos (lnx )+
(C 1−C 2) isin (lnx ) y=C 1cos ( lnx
)+C 2sin (lnx)
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
9/11
6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:
x2 y
, ,+ x y ,+ y=0
Lo que tiene se denomina Ecuación Diferencial de auch! " Euler
en su variante m#s comple$a.% se su solución se plantea as&
y= xm
y;=m xm−1
y,,=m (m−1 ) xm−2
'ustitu!endo
x2∗m ( m−1) xm−2+ x . m xm−1+ xm=0
m (m−1 ) xm+m xm+ xm=0(m (m−1 )+m+1) xm=0
De(e ser ) el primer factorm (m−1 )+m+1=0m
2−m+m+1=0m
2+1=0
m2
=−1m=± i
% cuando m es comple$o la teor&a dice
si m= + !i "cos ( !lnx )+#
sen( !lnx)
y= x ¿Luego en este caso es
x0( " cos (1∗lnx )+#sen (1∗lnx ))
y= "cos (lnx )+#sen (lnx )∀ " ,#∈ $
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
10/11
*na masa que pesa 4 l(+ estira un resorte , pulgadas al llegar
al reposo en equili(rio ! sele aplica una velocidad de - pies/seg
dirigida hacia a(a$o. Despreciando todas las fuerasde amortiguación
o e0ternas que puedan estar presentes+ determine la ecuación
demovimiento de la masa $unto con su amplitud+ periodo ! frecuencia
natural. u#ntotiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta
que pasa por la posición de equili(rio1
'olución:
omo estamos en el caso de una vi(ración simple no amortiguada
tenemos la ecuación:
d2 x
dt 2 +
%
m=0
u!a solución general es:
%
m +¿ t
√ ¿¿
%
m +¿ t
√ ¿¿
x (t )=c1cos¿
2ara encontrar 3 o(servamos que la masa de 4 l(. Estira el
resorte , pulgadas pie. Empleandola le! de 5ooe se tiene:
4=mg=% 1
4
Lo que implica 3 76l(/ pies.
-
8/18/2019 100412_276_Trabajo_Fase 2
11/11
gr: , pies/ seg2
se tiene que m:4/,8 7/9
2or lo tanto:
%
m=¿√
16
1 /8=8√ 2
√ ¿
Luego: x (t )=c1 cos (8√ 2t )+c2 sen
(8√ 2 t ) ,
Lo que implica c1=1
2+c
2=
1
8+ por los siguientes la ecuación del movimiento de la masa
es:
x (t )=1
2cos (8 √ 2 t )+
1
8 sen (8√ 2 t ) ,
2ara e0presar la solución en forma senoidal hacemos:
"=√ C 12+C 1
2=√17
8 , tan (∅ )
c1
c2=4
Entonces:
on ∅=arctan=(4 )=1.326
2or lo tanto+ la amplitud es 8 √17
8+ el periodo es & =
2'
8√ 2=
'
4 √ 2 ! la frecuencia natural
es ( =4√ 2
. ;inalmente el tiempo que transcurre desde que
suelta la masa hasta que pasa por
posición de equili(rio verifica 8√ 2t +∅='
lo que implica el tiempo t =' −∅
8√ 2=016042
