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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozosMatemáticas
3 semanas
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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozosMatemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperadosResumen de la unidadEn esta unidad, los estudiantes representarán, interpretarán y resolverán problemas que impliquen funciones por partes y la función de valor absoluto. Analizarán y harán modelos de funciones definidas a trozos, realizarán la conversión entre las diferentes representaciones de una función (verbal, tablas, símbolos y gráficas) e identificarán los valores de dominio y recorrido.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre los valores y las funciones definidas a trozos para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Funciones de valor absolutoA.PR.10.8.1 Analiza una situación para determinar o interpretar los valores del dominio y alcance de funciones definidas por partes. A.PR.10.8.2 Interpreta, construye y aplica la función parte entera y otras funciones definidas por parte, incluido el valor absoluto, para modelar y resolver problemas. A.PR.10.8.3 Traduce entre representaciones verbales, gráficas, tablas, símbolos de la función parte entera y otras funciones definidas por partes. A.PR.10.8.4 Analiza y traza la gráfica de la función valor absoluto. 14.0 Aplica informalmente los conceptos de cota superior e inferior y el límite.
Ideas grandes/Comprensión duradera: Las funciones definidas por partes nos
permiten examinar los datos que se comportan de forma distinta dependiendo de la entrada.
Los matemáticos son traductores. Los patrones de datos pueden variar su
comportamiento con diferentes entradas. Las características de la gráfica comunican
información esencial.
Preguntas esenciales: ¿Por qué resulta útil entender las funciones
definidas a trozos? ¿En qué se parecen los matemáticos a los
traductores? ¿Cómo pueden los patrones de datos o
funciones comportarse de forma distinta dadas entradas diferentes?
¿De qué forma las gráficas son herramientas importantes para los matemáticos?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...) Las funciones pueden definirse por partes Función definida por partes La función de valor absoluto y su gráfica Los conceptos de valor máximo y mínimo y
límite
Vocabulario de contenido dominio, función definida por partes, parte
de la función, recorrido, transformación,
Destrezas (Los estudiantes podrán...) Analizar una situación para determinar o
interpretar los valores del dominio y alcance de funciones definidas por partes.
Interpretar, construir y aplicar la función parte entera y otras funciones definidas por parte, incluyendo el valor absoluto, para modelar y resolver problemas.
Traducir entre representaciones verbales,
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traslación (deslizamiento), valor absoluto, valor máximo, valor mínimo, vértice
gráficas, tablas, símbolos de la función parte entera y otras funciones definidas por partes.
Analizar y trazar la gráfica de la función valor absoluto.
Aplicar informalmente los conceptos de cota superior e inferior y el límite.
Etapa 2 – Evidencia de avalúoTareas de desempeño
Costos de envío1
Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones definidas por partes haciendo una gráfica de costos de envío.
1. Entrega a cada grupo de dos a tres estudiantes una revista que contenga costos de envío de una empresa en particular. Este proyecto será más divertido para los estudiantes si las revistas contienen artículos que se relacionan con sus intereses (equipo deportivo, artículos para el Prom, etc.).
2. Provee tiempo para que los estudiantes hojeen la revista y luego busquen la página que contiene los costos de envío.
3. Su tarea será escribir y hacer la gráfica de la función definida por partes para obtener el costo total (costo del pedido + costo de envío) para un envío estándar de todos los pedidos hasta $90.00, inclusive. Es posible que tengas que cambiar este número dependiendo de los intervalos en el costo de envío de la revista que están usando tus estudiantes y cuántas ecuaciones te gustaría que incluyeran en su función.
4. Si quieres, también puedes pedirles que comparen los costos de envío en diferentes áreas de los Estados Unidos o para envíos internacionales.
5. Antes de que comiencen, asegúrate de que los estudiantes entiendan que están creando una función de un pedido posible. Como el
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz3
1. Crea la gráfica de y = lxl – 2y=|x|−2.
2. ¿Cuál es el conjunto de solución de
2|x+1|=9?a) {−5 } b) {4 ,−5 }c) {−4 ,−5 } d) {4 }
3. ¿Cuál es el conjunto de solución de
|3−2x|=5?a) {−1,4 } b) {−1 }c) {1 ,−4 } d) {4 }
4. Haz la gráfica de: 1 x < -1
y = lxl -1 < x < 3 2x – 4 x > 2
Diario1. ¿Qué es el valor absoluto de un número?2. ¿Cómo afecta a una ecuación el valor absoluto
de un número? Ilústralo con un ejemplo.3. Utilizando un diagrama de Venn, compara las
funciones de valor absoluto con las funciones definidas por partes.
4. Compara las funciones definidas por partes con las funciones escalonadas.
5. ¿Qué entiendes sobre las funciones definidas por partes? ¿Sobre cosas qué todavía tienes dudas? ¿Cuáles son esas dudas?
6. Describe cómo sabes cómo se ve la gráfica de una ecuación de valor absoluto.
1 Fuente: http://www.pctm.org/magazine/PiecewiseFunctions_S t orm.pdf 3 Fuente: http:/ / www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
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costo del pedido variará de persona a persona, deben usar una variable.
6. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Gráfica de un proyecto de arte2
Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones definidas por partes y valor absoluto creando un proyecto artístico de gráficas.
Instrucciones: 1. En papel cuadriculado, haz un dibujo que
contenga solo gráficas de líneas, parábolas y valores absolutos.
2. El dibujo debe componerse de un mínimo de diez ecuaciones. Debe haber por lo menos dos líneas, dos gráficas de valor absoluto y dos parábolas. Además, unas de las gráficas de valor absoluto o una de las parábolas debe tener una línea horizontal de simetría.
3. Deben entregarse dos copias para la evaluación: una con todas las partes enumeradas para que coincidan con una enumeración de las ecuaciones y el dominio de cada una escrito al lado de la ecuación, y la otra será una copia final con un dibujo delineado con marcador negro y coloreado para hacerlo atractivo. (Los dominios deben ser a la centena más próxima, de no ser enteros.)
4. Debe entregarse junto con el diseño una descripción escrita del proceso de solución y razones por las que se tomó cada paso.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Boletos de entrada/salida1. Haz la gráfica y halla el dominio y recorrido
de: y = lxl + 22. Halla el conjunto de solución de la ecuación
l2x-1l + 4 = 8z.3. Haz la gráfica de: y = 2x-4 dominio x>34. Haz la gráfica de:
-lxl + 1 x < 2y = -1 x > 2
2 Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8BJ.pdf
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Etapa 3 – Plan de aprendizajeActividades de aprendizaje Correcciones del quiz: Después de repasar el material evaluado en un quiz, como los ejemplos de
preguntas para quiz que aparecen más arriba en la sección de “Otra evidencia”, los estudiantes evaluarán su quiz y escribirán una reflexión basada en los errores cometidos. Revisarán también las respuestas incorrectas a partir de los comentarios del maestro. Deberán incluir: el problema original, la solución correcta con todo el proceso necesario y una explicación escrita. Esto les permite a los estudiantes identificar los errores y revisarlos de ser necesario, utilizar recursos adicionales en situaciones de resolución de problemas y reflexionar de forma acertada sobre su progreso, y usar esa reflexión para desarrollar objetivos y diseñar estrategias que les ayuden a mejorar (ver anejo: 10.4 Actividad de aprendizaje - Correcciones del quiz).
A unir funciones definidas por partes: Lección de introducción para descubrir de forma gráfica las funciones definidas por partes. Los estudiantes necesitarán regla, papel transparente y hoja de actividades (ver anejo: 10.4 Actividad de aprendizaje - A unir funciones definidas a trozos). Puedes guiar a los estudiantes en los ejemplos uno y dos, no obstante, podría ser más beneficioso si les permites trabajar en las primeras dos preguntas con un compañero y luego discutir las preguntas tres y cuatro como clase.
Modelo de función escalonada4: Los estudiantes hacen un modelo de una función escalonada en una tabla, gráfica y ecuación. Una compañía de envíos por correo bastante conocida cobra los gastos de envío en función del peso total de todos los artículos adquiridos por el cliente.o El costo por enviar artículos que pesen menos de tres libras es de $5.o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos tres libras, pero menos de seis es de $10.o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos seis libras, pero menos de nueve es de
$15.o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos nueve libras, pero menos de doce es de
$20.o El costo por enviar artículos que por lo menos doce libras, pero menos de quince es de $25.o Y así sucesivamente sigue el patrón de cobro.
Traza la gráfica que represente la relación entre el peso total de todos los artículos adquiridos por el cliente y sus costos de envío.
Esta gráfica representa una función. ¿Por qué? ¿Cuál es el dominio de la función? Explica qué es el dominio en el contexto del problema. ¿Cuál es el recorrido de la función? Explica qué es el recorrido en el contexto del problema. ¿En qué puntos es discontinua la función? Usa la notación de función para escribir una regla de funciones definidas por partes que
sirva de modelo para esta situación en el caso de los artículos que pesen menos de 25 libras.
El modelo Frayer: Utiliza un modelo Frayer para consolidar la comprensión de los estudiantes de las funciones definidas por partes y de valor absoluto. Pídeles a los estudiantes que completen el modelo por cada término o determinen cuál es el término a partir de su definición, características, ejemplos y no ejemplos. Para ejemplos y plantillas, ver anejo: Organizador gráfico — Modelo Frayer.
4 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf
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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozosMatemáticas
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Conjunto de tarjetas de gráfica de valor absoluto: Haz que los estudiantes creen un conjunto de tarjetas con ecuaciones y gráficas de valor absoluto correspondientes. Los estudiantes deben tener por lo menos ocho pares totales de tarjetas y cinco pares que incluyan deslizamientos tanto horizontales como verticales. Los estudiantes intercambian su conjunto de tarjetas con un vecino para corroborar que sus ecuaciones y gráficas se corresponden correctamente. Entonces pueden usar los conjuntos de tarjetas para repasar las transformaciones de asignación.
Ejemplos para planes de la lección Los Pérez se van de paseo5: Los estudiantes aprenden que no todas las gráficas son continuas al
analizar gráficas del paseo de la familia Pérez. Leerán el relato del paseo de la familia, examinarán las gráficas dadas e identificarán cuáles gráficas describen aspectos de su paseo.
Instrucciones:1. Lee el relato del paseo de la familia Pérez (a continuación).2. Luego examina las ocho gráficas (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección: los Pérez se van
de paseo). Cuatro de las gráficas describen aspectos de su paseo: distancia a partir del punto inicial a través del tiempo, distancia total recorrida en el tiempo, velocidad sobre tiempo y hambre sobre tiempo. Las otras cuatro gráficas no se aplican a la historia.
3. Identifica las gráficas que representan la historia y decide cómo debe llamarse el eje vertical de cada una de las gráficas correctas.
Historia: A las 10:00 de la mañana de un domingo la familia Pérez salió de paseo en carro. Durante la primera hora viajaron a una velocidad de 40 millas por hora. En la segunda hora, había mucho tráfico, por lo que solo avanzaron a una velocidad de 20 millas por hora. Entre las 12:00 y 1:00 de la tarde, se pararon para almorzar y no anduvieron en carro. Después del almuerzo, comenzó a llover, así que decidieron regresar a la casa. Viajaron a 30 millas por hora para llegar.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la distancia a partir del punto inicial en el tiempo? ¿Distancia total recorrida en el tiempo? ¿Velocidad sobre tiempo? ¿Hambre sobre tiempo? ¿Cómo le llamarías a los intervalos en el eje de y en cada gráfica?
Conversión de funciones definidas por partes: Los estudiantes convierten funciones definidas a trozos a tablas, gráficas y ecuaciones por medio de un plan de lección guiado. Los estudiantes identifican el carácter único de los valores críticos y documentación de las funciones definidas por partes. (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección - Traslación de funciones definidas a trozos).
Gráfica de valor absoluto: Los estudiantes utilizan sus calculadoras para parear funciones de valor absoluto con sus gráficas. Tras reflexionar sobre cómo "ver" las gráficas de valor absoluto por medio de sus funciones, los estudiantes practican cómo hacer gráficas de funciones de valor absoluto sin calculadora. (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto).
5 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/download/Coll_edc1/TheLinsGoOnanOuting/lins.pdf
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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozosMatemáticas
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Recursos adicionales Planificación de una estrategia de carrera: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit
%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf www.profjserrano.wordpress.com http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf . Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literaturaNota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce Mathematical Scandals de Theoni Pappas
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