UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTN

FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA

DISEO, CONSTRUCCIN Y DETERMINACIN DE LOS

PARMETROS DE OPERACIN DE UN MOLINO DE

BOLAS PARA EL LABORATORIO METALURGICO DE LA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA.

Tesis presentada por los Bachilleres:

NILTON CAMILO, PORTOCARRERO CARNERO

CARMEN TERESA, PASTOR BLANCO

Para optar el ttulo profesional de

INGENIERO QUIMICO

AREQUIPA PERU

2010

PRESENTACION

SEOR DECANO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS DE LA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN.

SEOR DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA

QUIMICA.

SEORES MIEMBROS DEL JURADO:

En cumplimiento con las Disposiciones y Reglamentos de Grados y Ttulos de la

Facultad de Ingeniera de Procesos y con el propsito de optar el Titulo profesional de

Ingenieros Qumicos; Ponemos a su disposicin la presente tesis intitulada:

DISEO, CONSTRUCCIN Y DETERMINACIN DE LOS PARMETROS DE OPERACIN DE UN MOLINO DE BOLAS PARA EL LABORATORIO

METALURGICO DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA

Este trabajo significa la culminacin de nuestra formacin Profesional, que tiene como fin

el aporte a la Escuela Profesional de Ingeniera Qumica, con la construccin de un molino

de bolas, que permitir a los estudiantes consolidar sus conocimientos tericos llevndolos

a la prctica.

Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los docentes de la Escuela

Profesional de Ingeniera Qumica forjadores de nuevas generaciones de Profesionales, por

las enseanzas impartidas a lo largo de nuestra formacin profesional.

Arequipa, Diciembre 2010

Atentamente:

Bachiller: Nilton Camilo Portocarrero Carnero

Bachiller: Carmen Teresa Pastor Blanco

AGRADECIMIENTO

Deseamos expresar nuestras ms sinceras muestras de

agradecimiento:

A Dios y a la Virgencita de Chapi, por ensearnos el camino correcto de la vida,

guindonos y fortalecindonos cada da con su Santo Espritu.

A nuestros Padres, Hermanos y familiares por creer y confiar siempre en nosotros,

apoyndonos en todas las decisiones que hemos tomado en la vida.

A nuestros docentes, en especial a la Ing. Iris Aliaga Villafuerte, y al Ing. Vctor lvarez

Tohalino por sus consejos y por compartir desinteresadamente sus amplios conocimientos y

experiencia.

A todos los docentes de la Escuela profesional de Ingeniera Qumica, por los valiosos

conocimientos adquiridos.

Nilton Camilo Portocarrero Carnero Carmen teresa Pastor Blanco

DEDICATORIA

Esta tesis est dedicada a Dios , a la Virgencita de

Chapi , que estn conmigo en cada paso que doy ,

cuidndome y dndome fuerza para seguir

adelante .

A mis queridos Padres Helarf y Teresa , a quienes

agradezco de todo corazn , son a ellos a quien les

debo todo , horas de consejos , de regaos , de

reprimendas de tristezas y de alegras ; estoy muy

seguro que las han hecho con todo el amor del

mundo para formarme como un ser integral y de

las cuales me siento extremadamente orgulloso ,

que nunca bajaron la guardia pese a las

dificultades que tuvieron que enfrentar .

A mis queridos hermanos Ana , Helarf y Carlos ,

a mis cuados y sobrinos que me motivaron en mi

formacin profesional .

A mi amada esposa Carmen , y a nuestro angelito

que viene en camino , que fueron mi fuerza de

voluntad para seguir adelante , razones que me

llevan al xito .

Nilton Camilo Portocarrero Carnero

DEDICATORIA

Esta tesis est dedicada a Dios, a la Virgencita de

Chapi por llenar mi vida de dicha y bendiciones,

por ser la luz que gua mi camino.

A mis queridos Padres Rolando y Alicia, porque

son ejemplo de trabajo y esfuerzo , que nunca

desmayaron por sacarme adelante , a quienes

agradezco de todo corazn por su amor , cario y

comprensin , por todo lo que me han dado en esta

vida, por estar a mi lado en los momentos difciles,

por creer en m . En todo momento los llevo

conmigo .

A mis queridos hermanos Eder y Natalia , por la

compaa y el apoyo que me brindan . S que

cuento con ellos siempre .

A mi abuelita Carmen Julia que est en el cielo

por todo su amor, cario y dedicacin que me dio .

A mi amado esposo Nilton y a nuestro angelito que

est por llegar, por ser la fuente de mi inspiracin

y motivacin para superarme cada da ms , y as

poder luchar para que la vida nos depare un futuro

mejor.

Carmen Teresa Pastor Blanco

DISEO, CONSTRUCCIN Y DETERMINACIN DE LOS PARMETROS DE

OPERACIN DE UN MOLINO DE BOLAS PARA EL LABORATORIO

METALURGICO DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA.

INDICE

Pagina

CAPITULO I: ASPECTOS GENERALES

1.1.-Introduccin 1

1.2.- Definicin del problema 2

1.3.- Objetivos 3

1.3.1.- Objetivo general 3

1.3.2.- Objetivos especficos 3

1.4.- Justificacin 3

1.4.1.- Justificacin tcnica - acadmica 3

1.4.2.- Justificacin econmica 4

1.5.- Algoritmo de diseo 5

CAPITULO II: MARCO TEORICO

2.1.-Conminucin 6

2.1.1.- Principios de conminucin 7

2.1.2.-Teora de conminucin 9

2.1.3.-Postulados clsicos sobre conminucin 10

2.1.4.- Moliendabilidad 16

2.2.- Teora de la molienda 18

2.2.1.- Aparatos usados en la molienda 19

2.2.3.- Molinos rotatorios 20

2.3.- Molino de bolas 20

2.3.1.- Partes principales de un molino de bolas 22

2.3.2.-Detalles principales de un molino de bolas 23

2.3.2.1.- Casco del molino 24

2.3.2.2.- Rejillas de los molinos 25

2.3.2.3.-Chaquetas o revestimiento del molino 25

2.3.2.4.- Cuerpos trituradores 25

2.3.2.5.- Dispositivos de descarga 26

2.3.2.6.- Sistema de lubricacin 27

2.3.3.- Descripcin, tecnologa y funcionamiento del molino de

Bolas 27

2.3.4.- Sistema de molienda del molino de bolas 29

2.4.- Variables operativas del molino 30

2.4.1.- Carga de mineral 31

2.4.2.- Suministro de agua 31

2.4.3.- Carga de medios de molienda 32

2.4.4.- Condicin de los blindajes 39

2.4.5.- Tiempo de molienda 39

2.5.- Variables de Diseo del molino 40

2.5.1.- Dimetro, longitud y tipo del molino 40

2.5.2.- Potencia instalada 40

2.5.3.- Velocidad de Rotacin 41

2.5.4.- Tipo de descarga del molino 42

2.5.5.- Calidad de Molturantes 42

2.5.6.- Tipo de revestimiento 42

2.5.7.-Carga inicial y distribucin de molturantes 42

2.5.8.- Recarga de Molturantes 43

2.5.9.- Densidad aparente de la carga de molturantes 43

2.6.- Anlisis Granulomtrico por tamizado 43

CAPITULO III: DISEO Y CONSTRUCCION DEL MOLINO

3.1.- Ejecucin del diseo del molino 45

3.1.1.- Seleccin de materiales 45

3.1.1.1.-Materiales para el cuerpo del molino y la estructura 46

3.1.1.2.-Materiales para medios de molienda 46

3.1.2.- Dimensionamiento del molino de bolas 46

3.2.- Variables de operacin del molino 47

3.2.1.- Calculo del work index 47

3.2.2.- Calculo del consumo de energa para reducir el tamao de las partculas

Minerales 50

3.2.3.- Calculo de la capacidad del molino 50

3.2.4.-Calculo de la potencia del motor 51

3.2.5.-Calculo de la velocidad de crtica del molino 52

3.2.6.-Calculo de la velocidad de operacin del molino 53

3.2.7.-Calculo de la carga inicial de bolas al molino 53

3.2.8.-Calculo del tamao mximo de bolas a cargarse al molino 56

3.2.9.- Calculo de la distribucin de bolas 57

3.2.10.-Calculo del tamao de alimentacin al molino 57

3.3.-Proceso de Construccin del molino 58

3.3.1.- Montaje del equipo 63

3.3.2.-Descripcin del equipo Construido y su funcionamiento 66

3.3.3.- Procedimiento de operacin del equipo 67

3.3.4.- Sistema de lubricacin 67

3.3.5.-Mantenimiento Mecnico elctrico 68

3.3.5.1.-Mantenimiento de operacin 68

3.3.5.2.-Mantenimiento de la maquina 69

3.3.5.3.-Mantenimiento del motor 69

3.3.6.-Plan de mantenimiento anual para el molino de bolas 69

3.3.7.- Seguridad e higiene industrial 70

CAPITULO IV: EVALUACION Y DISEO EXPERIMENTAL

4.1.- Generalidades 72

4.2.- Procedimiento Experimental 73

4.2.1.- Descripcin 73

4.2.2.- Granulometra Inicial 73

4.2.3.- Granulometra Final 73

4.3.- Diseo Experimental 73

4.3.1.- Variables a Estudiar 74

4.3.1.1.- Independientes 74

4.3.1.2.- Dependientes 74

4.3.2.- Variacin de Parmetros 74

4.3.2.1.-Seleccinde la Distribucin del tamao de bola 75

4.3.2.2.-Seleccin de la Velocidad de rotacin del molino 75

4.3.2.3.-Seleccin del tiempo de molienda 75

4.3.3.- Matriz del diseo compuesto 76

4.4.- Tcnica Experimental a Emplear 76

4.5.- Ordenamiento de Resultados 78

4.6.- Calculo de efectos 80

4.7.- Anlisis de varianza 83

4.7.1.- Suma de cuadrados en los efectos o tratamientos 84

4.7.2.- Suma de cuadrados debido al error 84

4.7.3.- Calculo del F0 85

4.8.- Modelo Matemtico codificado 87

4.9.-Decodificacin del modelo matemtico a escala natural 89

CAPITULO V: COSTOS DE FABRICACION

5.1.- Generalidades 93

5.2.- Costos Directos 94

5.3.- Costos Indirectos 98

5.4.- Inversin Total 98

5.5.- Financiamiento 99

5.6.- Depreciacin del equipo 99

5.7.- Costo de prueba de molienda 101

CONCLUSIONES 102

RECOMENDACIONES 103

BIBLIOGRAFIA 104

ANEXOS 105

INDICE DE FIGURAS

Pagina

Fig. 2.1 Intensidad Creciente de Energa 9

Fig. 2.2 Movimiento de la Carga en el Interior del Molino 21

Fig. 2.3 Accin Moledora en el Interior del Molino 22

Fig. 2.4 Partes de un Molino de Bolas 23

Fig. 2.5 Casco del Molino 24

Fig. 2.6 Chaquetas o Blindajes 25

Fig. 2.7 Cuerpos Trituradores 26

Fig. 2.8 Volumen Ocupado por las bolas 33

Fig. 2.9 Representacin del Nivel de Llenado de un Molino de Bolas 34

Fig. 3.1 Proceso de Construccin de la Cmara de Molienda 58

Fig. 3.2 Proceso de Construccin del Soporte y Sistema de Transmisin 59

Fig. 3.3 Cmara de Molienda 60

Fig. 3.4 Soportes del Molino 61

Fig. 3.5 Sistema de Transmisin 62

Fig. 3.6 Partes del Molino 64

Fig. 3.7 Vista Lateral del Equipo 65

Fig. 3.8 Equipo Construido 66

Fig. 4.1 Prueba de molienda 77

INDICE DE CUADROS

Pagina

Cuadro 2.1 Tipos de Fractura 8

Cuadro 2.2 Eventos de Fractura 12

Cuadro 2.3 Seleccin de ndices de Trabajo de Bond 18

Cuadro 3.1 Anlisis Granulomtrico en la Alimentacin del molino 48

Cuadro 3.2 Anlisis Granulomtrico en el producto del molino 48

Cuadro 3.3 Calculo del Gpb o Grado de Moliendabilidad 49

Cuadro 3.4 Distribucin del tamao de Bolas 57

Cuadro 4.1 Variacin de Parmetros 74

Cuadro 4.2 Distribucin del Tamao de bolas 75

Cuadro 4.3 Matriz del Diseo Factorial completo 76

Cuadro 4.4 Caracterizacin de la Muestra 77

Cuadro 4.5 Experimento y sus Combinaciones 78

Cuadro 4.6 Media Aritmtica y Error promedio 79

Cuadro 4.7 Experimento, sus Combinaciones y el Vector Respuesta 79

Cuadro 4.8 Matriz Codificada para el Clculo de Efectos e Interacciones 80

Cuadro 4.9 Efecto de las Tres variables e interacciones 82

Cuadro4.10 Anlisis de Varianza 87

Cuadro4.11 Valores Aplicados a la Decodificacin 91

Cuadro 5.1 Materiales para la Construccin del Molino 94

Cuadro 5.2 Materiales para el sistema de Transmisin 95

Cuadro 5.3 Materiales y equipos Auxiliares 95

Cuadro 5.4 Materiales para la Construccin de la Estructura 96

Cuadro 5.5 Insumos para la Construccin del Equipo 97

Cuadro 5.6 Materiales de Acabado 97

Cuadro 5.7 Servicios Requeridos 98

Cuadro 5.8 Depreciacin de Activos 99

Cuadro 5.9 Depreciacin del Equipo 100

1

CAPITULO I

ASPECTOS GENERALES

1.1.- INTRODUCCION

La iniciativa de disear y construir un molino de bolas para el laboratorio metalrgico

de la EPIQ, provino de la necesidad de contribuir con la creacin de condiciones para

la investigacin metalrgica, incentivando el diseo y construccin de equipos para

que los estudiantes consoliden mas sus conocimientos tericos llevndolos a la

prctica.

Dado que actualmente hay una creciente importancia econmica de los procesos de

conminucin dentro del conjunto de etapas asociadas a la extraccin y concentracin

de las especies mineralgicas de valor contenidas en los distintos yacimientos; en

efecto la etapa de reduccin de tamao contribuye grandemente al costo total de

operacin de una planta concentradora y por ende cualquier alternativa de proceso

que posibilite un mejor aprovechamiento de la energa suministrada a las diversas

etapas de conminucin, deber necesariamente ser evaluada en su real dimensin.

2

La liberacin de especies minerales, etapa previa a la concentracin, es sin lugar a

dudas el proceso unitario de mayor relevancia prctica en todo circuito de

beneficiamiento, por cuanto demanda la principal Inversin de Capital, incide

fuertemente en los costos unitarios y determina en gran medida la rentabilidad de la

operacin.

El funcionamiento del molino de bolas dentro de los mrgenes metalrgicos

establecidos es un fiel reflejo de la buena aplicacin de los principios de conminucin.

1.2.- DEFINICION DEL PROBLEMA

Dado que actualmente la minera es una de las alternativas de mayor campo laboral, y

que existen los medios suficientes necesarios, para el diseo y construccin de un

molino de bolas; es primordial la construccin de un molino de bolas para determinar

los parmetros de operacin para una molienda eficiente.

Actualmente el laboratorio de Metalurgia de la EPIQ cuenta con un solo molino de

bolas, el cual no cubre las necesidades de aprendizaje de todos los estudiantes, de tal

manera que hay la necesidad de implementar otro molino de bolas, y as cubrir las

necesidades acadmicas que requieren los estudiantes del curso de Metalurgia para

corroborar la teora aprendida llevndola a la prctica.

Cubrir esta necesidad mediante la donacin de un equipo de molienda es la razn del

proyecto titulado: Diseo, Construccin y Determinacin de los parmetros de

operacin de un Molino de Bolas para el Laboratorio Metalrgico de la Escuela

profesional de Ingeniera Qumica.

De esta manera, se espera que este trabajo sirva como un manual de consulta, para

aplicar los conocimientos bsicos que aqu se dan en forma clara, ordenada y concisa

para la ayuda de futuras generaciones.

3

1.3.- OBJETIVOS

1.3.1.- OBJETIVO GENERAL

Diseo, Construccin y Determinacin de los parmetros de operacin de un

Molino de Bolas.

1.3.2.- OBJETIVOS ESPECIFICOS

a) Disear un Molino de Bolas 8 x 8.

b) Construir el molino haciendo uso de materiales disponibles en nuestro mbito

comercial, para implementar el laboratorio Metalrgico de la Escuela Profesional

de Ingeniera Qumica con fines acadmicos para corroborar la teora aprendida en

el curso de Metalrgica.

c) Instalar y poner en marcha el equipo construido.

d) Determinar los parmetros ptimos que permitan obtener un mayor rendimiento en

el proceso de molienda, mediante pruebas metalrgicas de una especie

mineralgica.

1.4.- JUSTIFICACION

1.4.1.- JUSTIFICACION TECNICA - ACADEMICA

a) Aplicar los Conocimientos Tericos llevndolos a la prctica con la finalidad de

disear, construir y poner en operacin un molino de bolas para laboratorio.

b) Evaluar el molino de bolas mediante pruebas metalrgicas que nos permitan

determinar las variables y parmetros de operacin de molienda de la especie

mineralgica.

c) El diseo del molino por rotacin mediante dos rodillos accionados por poleas;

permitir dar movimiento a otros equipos para realizar pruebas metalrgicas como

cianuracin en botella, acondicionamiento de pulpas, etc.

4

1.4.2.- JUSTIFICACION ECONOMICA

a) Los costos en el mercado nacional de equipos comerciales muestran precios

elevados; por lo tanto se debe incentivar el diseo y construccin de equipos de

molienda, lo cual nos favorecer positivamente a estudiantes y profesionales.

b) El montar un molino de bolas en el laboratorio Metalrgico de la E.P.I.Q. en Ro

Seco; permite implementar dicho laboratorio el cual ser de gran aporte a la

formacin profesional de los estudiantes.

5

1.5.- ALGORITMO DE DISEO

DEFINICION DEL

PROBLEMA

OBJETIVOS DEL

PROYECTO

JUSTIFICACION DEL PROYECTO

REVISION

BIBLIOGRAFICA

CONSTRUCCION DEL MARCO TEORICO

SELECCIN DEL

MOLINO

DETERMINACION DE LAS

VARIABLES DE DISEO

CLCULO Y DISEO DEL

EQUIPO

PLANOS DEL EQUIPO

SELECCIN DE MATERIALES

CONSTRUCCION DEL MOLINO

PUESTA EN OPERACION

CONCLUSIONES

6

CAPITULO II

MARCO TEORICO

2.1.- CONMINUCION

La mayora de los minerales estn finamente diseminados e ntimamente asociados

con la ganga, estos deben ser inicialmente liberados antes de ser llevado a cabo la

separacin de menas y gangas. Esto es logrado por conminucin, en la cual el tamao

de partcula de mineral es progresivamente reducida, hasta que las menas de mineral

puedan ser separados por los mtodos disponibles.

En la Molienda, la reduccin de tamao o conminucin, se lleva a cabo por abrasin e

impacto del material, por el movimiento libre de elementos desconectados, como

barras, bolas o guijarros.

Molinos rotatorios con barras de acero o bolas, o mineral clasificado como medio

moliente, se usa en la ltima etapa de la conminucin, la molienda es generalmente

7

ejecutada "hmeda" para proveer una pulpa de alimentacin al proceso de

concentracin aunque la molienda seca tambin tiene ciertas aplicaciones.

2.1.1.- PRINCIPIOS DE CONMINUCION.

La mayora de los minerales son compuestos cristalinos en el cual los tomos son

regularmente arreglados en lazos tridimensionales. La configuracin de los tomos

es determinada por el tamao y tipo de uniones fsicos y qumicos que los

mantienen juntos. En la red cristalina de los minerales, estas uniones interatmicas

son efectivas solamente en pequeas distancias y pueden ser rotas si son extendidas

por un esfuerzo de tensin o cargas compresivas.

La distribucin de los esfuerzos internos de los minerales depende de las

propiedades mecnicas de cada partcula mineral pero principalmente de la

presencia de fisuras en el mineral, el que acta como puntos de concentracin de

esfuerzos.

A sido demostrado que el aumento de esfuerzo en tales puntos es proporcional a la

raz cuadrada de la longitud de la fisura perpendicular a la direccin del esfuerzo.

Aunque las teoras de la conminucin asumen que el material es frgil, los cristales

pueden, almacenar energa sin quebrarse y liberar esta energa cuando el esfuerzo es

removido. Dicha conducta se conoce como elstico. Cuando la fractura ocurre, algo

de la energa almacenada es transformada en energa libre superficial, el cual es la

energa potencial de los tomos en las superficies nuevas producidas. Debido a este

incremento en la energa superficial, las nuevas superficies formadas son a menudo

qumicamente ms activas y ms asequibles a la accin de los reactivos de notacin

tanto como oxidables ms rpidamente.

La energa requerida para la conminucin es reducida en la presencia del agua y

puede ser reducida ms an por aditivos qumicos que pueden ser absorbidos dentro

8

del slido. Esto puede ser debido al rebajamiento de la energa superficial,

considerando que el humidificador puede penetrar en las fisuras y reducir la energa

de la red cristalina en el extremo de la fisura ante la rotura.

Las partculas reales son de forma irregular, la carga del esfuerzo sino es uniforme

es logrado mediante puntos o pequeas reas de contacto. La rotura se logra

mayormente por chancado impacto o atriccin y los tres modos de fractura

(compresin, tensin y torsin) pueden ser utilizados dependiendo de la mecnica

de las rocas y del tipo de carga del esfuerzo. Cuando las partculas se quiebran por

compresin o chancado los productos caen en dos rangos distintos de tamao,

partculas gruesas resultado de la ruptura por tensin inducida y partculas finas de

la ruptura por compresin cerca de los puntos de la carga.

Cuadro 2.1. Tipos de Fractura

En la rotura por impacto debido a la carga rpida del esfuerzo una partcula

experimenta un esfuerzo ms grande que bajo una carga de esfuerzo ms lento.

Como resultado las partculas absorben ms energa que lo necesario para lograr

simple fracturacin, y tienden a quebrarse ms rpidamente en productos separados

principalmente debido a la rotura por tensin, los productos son a menudo, muy

similares en tamao y forma.

9

Fig. 2.1. Intensidad creciente de energa

2.1.2.- TEORIA DE CONMINUCION

La teora de la connimucin se ocupa de la relacin entre la energa consumida y del

tamao del producto obtenido de un tamao dado de alimentacin. Varias teoras

han sido expuestas, ninguna de ellas es completamente satisfactoria.

El problema ms grande se debe al hecho de que la mayora de la energa

suministrada a una mquina de molienda es absorbido por la maquina en s misma y

solamente una pequea fraccin de la energa total es usada para la rotura del

material. Se espera que hay una relacin entre la energa requerida para quebrar el

material y la nueva superficie producida en el proceso, pero esta relacin puede ser

solamente probado si la energa producida en crear nueva superficie puede ser

medida separadamente.

En los molinos de bolas por ejemplo, ha sido demostrado que menos del 1 % de la

energa total suministrada es usada para la reduccin de tamao. Otro factor es que

un material que es plstico consumir energa en el cambio de la forma sin producir

nueva significante. Todas las teoras de conminucin asumen que el material es

rompible, tal que la energa es absorbida en procesos tal como prolongacin o

contraccin, el cual no es usado en quebradura.

10

2.1.3.- POSTULADOS CLASICOS SOBRE CONMINUCION

POSTULADO DE RITTINGER (1867)

La teora ms antigua es aquella de Rittinger, el cual establece que la energa

especfica consumida en la reduccin de tamao de un slido es directamente

proporcional al rea de la nueva superficie producida.

Este postulado considera solamente la energa necesaria para producir la ruptura de

cuerpos slidos ideales (homogneos, isotrpicos y sin fallas), una vez que el

material ha alcanzado su deformacin critica o limite de ruptura. Podemos entonces

describir:

Er = Cr ( S2 S1 ) (ec.2.1)

Donde:

ER = Consumo de energa especifico (L2T

2).

CR = Constante de proporcionalidad de Rittinger (M/T2).

S2 = Superficie especifica del producto (L2/M).

S1= Superficie especifica del alimento.(L2/M)

La superficie especifica (L2/M) esta dada por:

=S

M=

S

s=

asd2

savd2 =

as

sav

1

(ec. 2.2)

Definiendo:

= as

sav (ec. 2.3)

Obtenindose finalmente:

11

= 1

1

(ec. 2.4)

Donde:

S = Superficie especifica (L2/M).

S = Superficie (L2)

M = Masa del solido (M).

ps = Gravedad especifica del slido (M/L3).

V = Volumen del solido

as = Factor de forma superficial

av = Factor de forma volumtrico

d = Tamao promedio caracterstico (L).

p,f = Subndices relativos al producto y alimentacin, respectivamente.

ER = Consumo de energa especifica (L2/T

2).

KR = Constante de Rittinger (L3/T

2).

T = Tiempo

Aun cuando el postulado de Rittinger carece de suficiente respaldo experimental, se

ha demostrado en la prctica que dicha teora funciona mejor para la fracturacin de

partculas gruesas, es decir, en la etapa de trituracin o chancado del material.

POSTULADO DE KICK

La segunda teora (1885) es de Kick. l estableci que el trabajo requerido es

proporcional a la reduccin en volumen de las partculas.

La energa requerida para producir cambios anlogos en el tamao del cuerpo

geomtricamente similares es proporcional al volumen de esos cuerpos. Esto

significara que iguales cantidades de energa producirn iguales cambios

geomtricos en el tamao de un slido.

12

Kick considero que la energa utilizada en la fractura de un cuerpo solido ideal

(homogneo, isotrpico y sin fallas) era solo aquella necesaria para deformar el

solido hasta su limite de ruptura, despreciando la energa adicional para producir la

ruptura del mismo.

Asi por ejemplo, si para romper un cuerpo en dos partes equivalentes necesitamos

una unidad de energa, entonces, para quebrar estas dos unidades en cuatro se

necesitara otra unidad mas de energa as sucesivamente. De esta manera, de

acuerdo al postulado de Kick, cada evento de fractura consumir una unidad de

energa. Si colocamos en serie las partes equivalentes en las cuales se divide un

cuerpo, y en otra sucesin las unidades de energa requeridas para efectuar tal

divisin, obtendremos la siguiente tabla:

Cuadro N 2.2. Eventos de Fractura

Elemento

Fractura

0 1 2 n

Numero

Partculas

1

20

2

21

4

22

2n

2n

Numero

Unidades

Energa

0 1 2 n

Tamao

partculas

do

do = do/20

d1= do/2

d1= do/21

d2 = d1/2

d2 = d1/22

dn = dn-1/2

dn = do/2n

De la tabla anterior, se observa que el numero de unidades de energa empleadas

equivale al numero de eventos de fractura producidos; adems:

dn = do/2n (ec.2.5)

2n = do/dn (ec.2.6)

Tomando logaritmo natural (base) a ambos miembros de la ecuacin 2.6:

n*Ln2 = Ln(do/dn) (ec. 2.7)

Osea:

13

n = Ek = 1/(Ln2)*Ln(do/dn) (ec. 2.8)

Definiendo Finalmente:

Ek = Kk *Ln(df/dp) (ec. 2.9)

Donde:

Ek = Consumo de energa superficial

Kk = 1/Ln2 : Constante de Kick

dp=do : Tamao promedio volumtrico inicial, caracterstico de la alimentacin (L).

dp=dn : Tamao promedio volumtrico final, caracterstico del producto (L)

Aun cuando el postulado de Kick (al igual que el de Rittinger) carece de suficiente

respaldo experimental, se ha demostrado en la prctica que su aplicacin funciona

mejor para el caso de partculas finas.

POSTULADO DE BOND

Bond postulo una ley emprica que se denomino la Tercera Ley de la

Conminucin. Siendo el enunciado:

La energa consumida para reducir el tamao a 80% de un material es

inversamente proporcional a la raz cuadrada del tamao 80%. Siendo este ultimo

igual a la abertura del volumen en micrones que deja pasar el 80% en peso de la

partcula.

Es decir:

= 1

1

(ec. 2.10)

F. Bond, defini el parmetro KB en funcin del Work Index, Wi (ndice de trabajo

del material), que corresponda al trabajo total (expresado en Kwh/ton corta)

necesario para reducir una tonelada corta de material desde un tamao tericamente

infinito (df ) hasta partculas que en un 80% sean inferiores a 100 micrones (dp

= 100 um, osea aproximadamente 67% -200 mallas). Entonces:

14

= 1

1001/2

1

1/2 =

10 (ec. 2.11)

De donde:

KB = 10 x Wi (ec. 2.12)

Y finalmente, al reemplazar (ec 2.12) en (ec.2.10):

= 1

801/2

1

F801/2 (ec. 2.13)

Donde:

P80 = dp = Tamao 80% pasante del producto (um)

F80 = df = Tamao 80% pasante la alimentacion (um)

Wi = Indice de trabajo del material (Kwh/ton corta).

W = EB = Consumo de energa especifica (Kwh/ton corta), para reducir un material

desde un tamao inicial F80 a un tamao final P80.

Definiendo ahora la razn de reduccin del 80% (Rr) como la razn entre las

aberturas de los tamices por las cuales pasaran el 80% del material de alimentacin

y producto de conminucin, respectivamente se tendr:

Rr = F80

P80 (ec. 2.14)

De donde: F80 = Rr*P80 (ec. 2.15)

Reemplazando (ec. 2.15) en (ec. 2.13) :

= 10

801/2

10

801/2

= 10

80

10

80 =

10

80 1

1

15

= 100

80 1

(ec. 2.16)

Osea:

= 100

80 1

(ec. 2.17)

El parmetro Wi (Indice de Trabajo de Bond) depende tanto del material

(resistencia a la conminucin) como del equipo de conminucin utilizado

(incluyendo la malla de corte empleada en el clasificador, para circuitos cerrados de

conminucin clasificacin), debiendo ser determinado experimentalmente ( a

escala estndar de laboratorio) para cada aplicacin requerida.

Durante el desarrollo de su Tercera teora de la Conminucin, Fred Bond considero

que no existan rocas ideales ni iguales en forma, y que la energa consumida era

proporcional a la longitud de las nuevas grietas creadas. La correlacin emprica

efectuada por F.Bond, de varios miles de pruebas estndar de laboratorio con datos

operacionales de Planta, le permiti ganar ventaja con respecto a la controversia

Kick-Rittinger, haciendo que su teora funcionara tanto para chancado como

molienda, con un error promedio del 20% para la mayora de los casos estudiados.

El Work ndex es el parmetro de la conminucin que expresa la resistencia del

material a ser chancado o molido; numricamente son los kilowatt-hora por

tonelada corta, requerida, para reducir el material desde tericamente tamao

infinito de alimentacin al 80% passing 100 micrones.

Varios intentos han sido hechos para demostrar que las deducciones de Rittinger,

Kick y Bond, son interpretacin de una ecuacin general. Hukki, sugiere que la

relacin entre la energa y el tamao de partcula, es un composito de las tres leyes,

la probabilidad de rotura en conminucin es alta para partculas largas y

rpidamente disminuye para tamaos finos.

16

El demostr que la ley de kick es razonablemente exacto en el rango de encima de 1

cm. de dimetro de las rocas de chancado.

La teora de Bond se aplica razonablemente en el rango de la molienda

convencional en los molinos de barras y bolas y la ley de Rittinger se aplica

bien en la molienda fina en el rango de 10 - 1000 micrones.

2.1.4.- MOLIENDABILIDAD

La moliendabilidad del mineral se refiere a la facilidad con el cual los materiales

pueden ser conminuidos y los datos de las pruebas de moliendabilidad son usados

para evaluar la eficiencia de la molienda y chancado.

Probablemente el parmetro ms ampliamente usado para medir la moliendabilidad

del mineral es el ndice de trabajo de Bond Wi. Si las caractersticas de un material

permanecen constantes, en todos los rangos de tamao, entonces el ndice de trabajo

calculado podra permanecer constante desde que este expresa la resistencia del

material a la rotura. Sin embargo, para la mayora de los materiales, existen

diferencias en las caractersticas de la rotura dependiendo en el tamao de la

partcula, el cual puede resultar en variaciones en el ndice de trabajo. Por ejemplo,

cuando un mineral se quiebra fcilmente en los lmites, pero los granos individuales

son resistentes, entonces la moliendabilidad aumenta con la finura de la molienda.

Consiguientemente los valores de Work Index son obtenidos generalmente para

algn tamao especfico, el cual tipifica la operacin de connimucin evaluado.

La moliendabilidad es basada sobre el performance de un equipo cuidadosamente

definido de acuerdo a un procedimiento estricto. Bond ha sealado varios mtodos

para predecir los requerimientos de energa del molino de barras y bolas, el cual

provee una medida exacta de la moliendabilidad del mineral.

17

El mineral en referencia es molido por un cierto tiempo y la potencia consumida

registrada. Un peso idntico del mineral de prueba es luego molido por un tiempo

tal que la potencia consumida es idntica con la del mineral de referencia. Entonces

si r es el mineral en referencia y p el mineral bajo prueba de la ecuacin de

Bond.

= = 10

10

=

10

10

(ec.2.18)

Entonces:

=

10

10

10

10

(ec. 2.19)

Valores razonables de ndices de trabajo son obtenidos por este mtodo, siempre y

cuando los minerales de referencia y pruebas son molidos cerca de la misma

distribucin del tamao de producto.

La baja eficiencia del equipo de molienda en trminos de la energa actualmente

usada para romper las partculas minerales es comn en todos los tipos de molinos.

Los ndices de trabajo han sido obtenidos de pruebas de moliendabilidad en

diferentes tamaos de varios tipos de equipo, usando idntico material alimentado.

Los valores de Work index obtenidos son indicaciones de eficiencias de las

maquinas. As los equipos que tienen los ms altos Work index y por lo tanto los

ms grandes consumidores de potencia, son las chancadoras de mandbulas,

giratorias y los molinos rotatorios; consumidores intermedios son las chancadoras

de impacto y molinos vibratorios; los ms bajo consumidores los molinos de

rodillos.

Los ms bajos consumidores de energa, son aquellas maquinas que aplican un

estable y constante esfuerzo compresivo en el material.

18

CUADRO 2.3. SELECCIN DE INDICES DE TRABAJO DE BOND

MATERIAL Work ndex MATERIAL Work

index

Barita 4,73 Granito 15,13

Bauxita 8.78 Grafito 43,56

Carbn 13.00 Caliza 12,74

Dolomita 11,27 Cuarcita 9,58

Esmeril 56,70 Cuarzo 13,57

Ferrosilicon 10,01

Los valores de Work Index, pueden ser usados para calcular el efecto de las

variables de operacin como: velocidad del molino, tamao del medio moledor,

tipo de los forros etc. Debe notarse que el valor de "W" es la potencia aplicada al

eje del pin del molino a no ser que el motor sea directamente acoplado al eje del

pin:

La potencia suministrada al motor tiene que ser convertido a la potencia en el eje

del pin del molino. Si no se dispone de un clculo exacto, el factor de conversin

puede asumirse como 0,95.

2.2.- TEORIA DE LA MOLIENDA

Es la liberacin de un trozo de mineral, se inicia con el proceso de chancado y termina

con la molienda. La molienda es el segundo ciclo del proceso de un mineral en toda

planta concentradora. El proceso de molienda es muy importante porque de l depende

el tonelaje y la liberacin del mineral valioso que finalmente termina con la flotacin

por espumas.

19

La molienda es la ltima etapa del proceso de conminucin, en esta etapa las partculas

se reducen de tamao por una combinacin de impacto y abrasin ya sea en seco o

como una suspensin en agua (pulpa). La molienda se realiza en molinos de forma

cilndrica que giran alrededor de su eje horizontal y que contienen una carga de cuerpos

sueltos de molienda conocidos como medios de molienda, los cuales estn libres para

moverse a medida que el molino gira produciendo la conminucin de las partculas de

mena.

En el proceso de molienda partculas de 5 a 250 mm son reducidas en tamao a 10 -

300 micrones, aproximadamente, dependiendo del tipo de operacin que se realice.

El propsito de la operacin de molienda es ejercer un control estrecho en el tamao

del producto y, por esta razn frecuentemente se dice que una molienda correcta es la

clave de una buena recuperacin de la especie til.

Por supuesto, una submolienda de la mena resultar en un producto que es demasiado

grueso, con un grado de liberacin demasiado bajo para separacin econmica

obtenindose una recuperacin y una razn de enriquecimiento bajo en la etapa de

concentracin. Sobremolienda innecesaria reduce el tamao de partcula del

constituyente mayoritario (generalmente la ganga) y puede reducir el tamao de

partcula del componente minoritario (generalmente el mineral valioso) bajo el tamao

requerido para la separacin ms eficiente. Adems se pierde mucha energa, que es

cara, en el proceso. Es importante destacar que la molienda es la operacin ms

intensiva en energa del procesamiento del mineral.

2.2.1.- APARATOS USADOS EN LA MOLIENDA

Las maquinas que se emplean en esta etapa de molienda, utilizan el golpe y la

friccin para pulverizar los granos, el golpe debe ser frecuente y de la fuerza

suficiente para romper las partculas de mineral. La friccin tiene una importancia

relativamente menor. Estos principios mecnicos tienen su realizacin efectiva en

20

los molinos de bolas y aparatos similares, en los cuales dentro de un tambor

giratorio se cargan gran nmero de cuerpos duros y pesados como bolas y barrotes

de acero, los que al girar el tambor ruedan y golpean entre s en forma continua.

Si dentro de estos tambores alimentamos el mineral a moler, sus partculas sern

cogidas y golpeadas por las bolas o barras provocando as su desintegracin.

Normalmente un molino es una mquina que sirve para reducir el mineral a tamaos

tan pequeos que las partculas estarn libres de las impurezas que lo acompaan;

luego es donde justamente en la molienda donde se libera a los minerales valiosos.

2.2.2.- MOLINOS ROTATORIOS

Los molinos rotatorios son bsicamente de tres tipos: barras, bolas y autgenos.

Estructuralmente cada tipo de molinos consiste en un casco horizontal cilndrico,

provisto con forros de desgaste renovables y una carga de medio moledor. El

tambor es suspendido como para rotar en sus ejes por los muones fijados hacia un

extremo.

El dimetro de los molinos determina la presin que puede ser ejercido por el medio

moledor sobre las partculas, en general a mayor tamao de alimentacin se requiere

mayor dimetro del molino, la longitud del molino, en conjuncin con el dimetro,

determina el volumen por tanto la capacidad del molino.

2.3.- MOLINO DE BOLAS

Estas maquinas estn constituidas por un tambor cilndrico, cuyo eje de giro es

horizontal y pasa por el eje geomtrico de la figura, la trituracin del mineral se

efecta dentro de estos tambores por efecto de la cada y choque de los cuerpos

pesados y duros encerrados, lo mismo que el mineral dentro de ellos, como

consecuencia del movimiento giratorio de los tambores.

21

El tamao del alimento que pueden recibir es variable y depende de la dureza del

mineral. Los productos igualmente dependern de las condiciones de operacin y

pueden ser tan gruesos como de malla 35 o tan finos que se encuentran en un 100%

por debajo de la malla 325 con radios de reduccin de 30 o mayores.

Cuando el molino gira, los medios de molienda son elevados en el lado ascendente

del molino hasta que se logra una situacin de equilibrio dinmico donde los cuerpos

de molienda caen en cascada y en catarata sobre la superficie libre de los otros

cuerpos, alrededor de una zona muerta donde ocurre poco movimiento hasta el pie

de la carga del molino, como se ilustra en la figura.

Fig.2.2

Movimiento de la carga en el interior del molino

La accin moledora de este tipo de molinos, es ejercida por contacto entre las bolas y

el mineral mediante accin de golpe y frotamiento efectuado por las cascadas y

cataratas producidas por las bolas de diferentes dimetros elevados por las

ondulaciones de las chaquetas o forros interiores del molino.

Se pueden distinguir tres tipos de movimiento de los medios de molienda en un

molino rotatorio: a) rotacin alrededor de su propio eje, b) cada en cascada, donde

22

los medios bajan rodando por la superficie de los otros cuerpos y c) cada en catarata

que corresponde a la cada libre de los medios de molienda sobre el pie de la carga.

Los molinos de bolas se cargan normalmente entre el 40 al 45% de su volumen, pero

pueden cargarse hasta el 50% que da la carga mxima. El molino de bolas es

adecuado para materiales finos y gruesos, moliendas en hmedo o en seco.

Fig.2.3 Accin moledora en el interior del molino

2.3.1.- PARTES PRINCIPALES DE UN MOLINO DE BOLAS

Las partes principales de un molino de bolas son:

Trommel

El casco o Shell

La tapa de entrada o steel head

El mun de salida o discharge trunnion

La tapa de salida o steel head

Las chaquetas o revestimientos interiores del casco. Liners

Las chaquetas o revestimientos interiores de los cabezales o de las tapas de

entrada y salida.

El engranaje dentado llamado catalina o rueda gear

El engranaje dentado llamado pin. Pinnion.

La tapa de inspeccin o manhole

23

Los dos cojinetes o chumaceras en los cuales se apoyan los muones de entrada

y salida del molino.

El alimentador de combinacin feeders o el cucharon, scoop feeders, como

parte del mun de entrada del molino.

El motor elctrico.

El revestimiento interior de acero al manganeso del mun de entrada o feed

trunnion liners.

El revestimiento interior de acero al manganeso del mun de salida o

discharge trunnion liners.

Las poleas, contraejes, chumaceras del contraeje.

Fig. 2.4 Partes de un molino de bolas

Cabe mencionar que los molinos para laboratorio no usan chaquetas ni forros.

2.3.2.- DETALLES PRINCIPALES DE UN MOLINO DE BOLAS

Las piezas fundamentales de un molino son: Casco, Chaquetas o revestimientos,

Rejillas, Cuerpos trituradores, Dispositivos de carga y descarga y el accionamiento

o mando del molino.

24

2.3.2.1.- CASCO DEL MOLINO

Es la parte ms grande del molino generalmente de acero, es rolado para obtener la

forma de un cilindro, luego se suelda o se remacha. En los extremos del casco se

suelda anillos de hierro o de acero fundido para la fijacin de las tapas del cilindro

del molino mediante pernos.

El casco del molino est diseado para soportar impactos y carga pesada, y est

construido de placas de acero forjadas y soldadas. Tiene perforaciones para sacar

los pernos que sostienen el revestimiento o forros. Para conectar las cabezas de los

muones tiene grandes flanges de acero generalmente soldados a los extremos de

las placas del casco, los cuales tienen perforaciones para apernarse a la cabeza.

En el casco se abre aberturas con tapa llamadas manhole para poder realizar la

carga y descarga de bolas, inspeccin de las chaquetas y para el reemplazo de las

chaquetas y de las rejillas de los molinos.

Fig. 2.5. Casco del Molino

El casco de los molinos est instalado sobre dos chumaceras o dos cojinetes

macizos esfricos.

25

2.3.2.2.- REJILLAS DE LOS MOLINOS

En los molinos se instalan unas rejillas destinadas a retener los cuerpos

trituradores y los trozos de mineral grueso, durante el traslado del mineral molido

a los dispositivos de descarga.

Para dejar el mineral molido, el trunnion de descarga, est separado del espacio

de trabajo por parrillas dispuestas radialmente con aberturas que se ensanchan

hacia la salida. El mineral molido que pasa por las parrillas, es recogido por las

nervaduras, dispuestas radialmente y se vierte fuera del molino por el mun

trunnion de descarga.

Las parrillas y las nervaduras se reemplazan fcilmente cuando se desgastan.

2.3.2.3.- CHAQUETAS O REVESTIMIENTOS DEL MOLINO

Estn instalados con la finalidad de proteger la superficie interior del casco, del

desgaste producido por la percusin y friccin de las bolas y del mineral, se le

reviste con placas o blindajes de acero al manganeso que constituye el

revestimiento interior del molino.

Fig. 2.6. Chaquetas o blindajes

2.3.2.4.- CUERPOS TRITURADORES

Los cuerpos trituradores van a ser utilizados en molinos cuya accin de rotacin

transmite a la carga de cuerpos moledores fuerzas de tal naturaleza que estos se

26

desgastan por abrasin, impacto y en ciertas aplicaciones metalrgicas por

corrosin.

Mientras sea el cuerpo moledor, ms resistente a la abrasin va a ser para trabajos

de abrasin tenemos una gran dureza, pero como dentro de un molino tenemos

molienda por impacto, se desea que el producto sea lo ms tenaz posible.

La bola de acero de grano fino y homogneo es ms resistente a la abrasin e

impacto que la bola de acero de grano grueso y heterogneo. La bola de grano fino

en su estructura interna es variable desde la superficie viene como una martensita

y se transforma al centro de perdida que es poco ms blanda.

Fig.2.7 Cuerpos trituradores

(Bolas de acero)

Los factores principales que determinan el tamao de las bolas de molienda son la

finura del material, que se est pulverizando y el costo de mantenimiento para la

carga de las bolas. Cualquier material grueso alimentado requiere una bola mayor

que una alimentacin fina.

2.3.2.5.- DISPOSITIVOS DE DESCARGA

El sistema de descarga del mineral en los molinos es por el mun de descarga o

trunnion de salida que es hueco y generalmente con nervaduras de espiral en el

interior del trunnion de salida.

27

El mineral al salir del mun de salida que es hueco, cae a travs del tamiz. Las

partculas grandes de los cuerpos extraos, los trozos de bolas gastadas y otros

materiales son retenidos por el tamiz. En el sistema de descarga con rejilla, el

mineral atraviesa la parrilla del molino y entra en el espacio comprendido entre

esta y la pared cabecera del casco. Luego de aqu el mineral es retirado por unos

canales sobre el tamiz selector. Las partculas finamente molidas atraviesan el

tamiz y entra en la tolva de finos, los cuerpos extraos caen desde el tamiz y

abandona el molino.

2.3.2.6.- SISTEMA DE LUBRICACION

La finalidad de la lubricacin es evitar el contacto del metal a metal, que en todo

caso traera como consecuencia la formacin de limaduras y finalmente la ruptura

o en todo caso llegarse a fundir valiosas piezas del molino como son las

chumaceras causando graves prdidas en la produccin y esta es una de las

razones por las cuales se lubrica constantemente el pin y la catalina que son los

engranajes dentados de la transmisin del molino.

2.3.3.- DESCRIPCION, TECNOLOGIA Y FUNCIONAMIENTO DEL MOLINO DE

BOLAS.

Es un molino de accin peridica que est formado de un casco o Shell soldado

elctricamente, con anillos de acero fundido, calzados en caliente o soldados en

ambos extremos y torneados a precisin.

Las tapas de entrada y salida estn fijadas a los muones de entrada y salida

sostenidos por cojinetes o chumaceras.

Para proteger el molino de un rpido desgaste, la carga interna del casco se reviste

interiormente de placas o chaquetas de acero al manganeso o de otro material como

Ni-Hard, cromo-molibdeno o de caucho, de acuerdo a la clase de mineral que se

28

muele. Este molino funciona girando sobre sus muones de apoyo a una velocidad

determinada para cada tamao de molino.

En calidad de agente de molienda se usan bolas de acero de diferentes dimetros, de

distinta dureza y composicin siderrgica. Cuando el molino gira, las bolas junto

con el mineral son elevadas por las ondulaciones de una chaqueta y suben hasta una

altura determinada, de donde caen girando sobre s y golpendose entre ellas y

contra las chaquetas o revestimientos interiores. Luego vuelve a subir y caer y as

sucesivamente. En cada vuelta del molino hay una serie de golpes producidos por

las bolas, estos golpes son los que van moliendo el mineral.

Normalmente los molinos de bolas trabajan con 70 a 78 % de slidos, dependiendo

del peso especifico del mineral.

La cantidad de bolas que se coloca dentro del molino depende en gran parte de la

cantidad disponible de energa para mover el molino, est en un rango del 40% a

29

La duracin de molienda es funcin de las dimensiones del molino, del tamao de

las partculas de mineral entrante y de la finura de molido exigida en la

concentradora.

La sobremolienda del material se trata de evitar en general para minimizar la

produccin de partculas excesivamente finas que frecuentemente interfieren

con los procesos de recuperacin del metal.

La potencia necesaria para el accionamiento del molino es proporcional a su carga y

es de aproximadamente de 1.5Kw-Hr/Tm de mineral y de la carga de las bolas de

acero.

En la operacin por va hmeda se agrega un 50% a 60% de agua en peso para

asegurar una descarga rpida del mineral, normalmente los molinos trabajan con 70%

a 78% de slidos, dependiendo del peso especifico del mineral. La cantidad de

mineral que se puede cargar en un molino de bolas oscila de 0.4 a 0.45 toneladas

por metro cubico de capacidad.

El molino de bolas se diferencia del molino de tubo por tener poca longitud, por

regla general no excede al dimetro.

Los molinos de bolas normales emplean bolas grandes con un mineral alimentado

grueso para rendir un producto relativamente grosero.

En algunos molinos se colocan aros ajustados por la unin de la tolva de

alimentacin por lo cual ingresa el mineral al molino.

Sobre el casco cilndrico se monta una rueda dentada de acero fundido con dientes

fresados, para el accionamiento del molino.

2.3.4.- SITEMA DE MOLIENDA DEL MOLINO DE BOLAS

La seleccin entre la molienda en seco y en va hmeda la suele indicar el uso final

del producto.

30

El consumo de los medios de molienda y el desgaste del recubrimiento por tonelada

de producto es ms bajo para un sistema de molienda en seco. A pesar de esto, el

consumo de energa para un sistema de molienda en seco es aproximadamente 30%

mayor que para la molienda en va hmeda y requiere el empleo de un colector de

polvos.

En el sistema de molienda en seco, el mineral ya molido hasta la finura indicada,

circula hasta que termine de molerse las pocas partculas de mineral grandes no

fraccionadas, lo cual aumenta el consumo de fuerza motriz por unidad de

produccin y disminuye el rendimiento del molino.

Al operar el molino por va hmeda, el mineral finamente molido es extrado con

agua de los intersticios entre las bolas y por lo tanto no perjudica la molienda de las

partculas de mineral gruesas.

Las ventajas de molienda hmeda son:

1. Menor consumo de energa por tonelada de producto

2. Mayor capacidad por unidad de volumen

3. Posibilita el uso de harneado en hmedo o clasificacin mecnica

(centrifuga) para controlar bien el tamao del producto.

4. Elimina el problema de polvo (criterio ambiental)

5. Hace posible el uso de mtodos simples de manejo y transporte de pulpas

tales como bombas, caeras y canaletas.

Los hidrociclones son el equipo de clasificacin usado en circuitos modernos de

molienda hmeda.

2.4.- VARIABLES OPERATIVAS DEL MOLINO

Llamamos variables o parmetros de operacin a todo lo que se puede controlar;

existen muchas en molienda.

31

Variables operacionales de un molino de bolas

Para que la molienda sea racional y econmica hay que considerar 3 factores

fundamentales que influyen en los resultados y son:

La carga del mineral

Alimentacin de agua

Medios de molienda

2.4.1.- CARGA DE MINERAL

Cuanto ms rpido sea la alimentacin al molino ms rpido ser la descarga que

llega al otro extrem y el producto final ser ms grueso, permanecer menos tiempo

sometido a molienda.

La alimentacin de carga del mineral debe ser constante y uniforme; la cantidad se

regula en la faja de alimentacin; de tamao de mineral apropiado, limpias de

planchas de Fe, madera, trapos o piezas de acero que pueden cortar la faja de

alimentacin o bloquear las alimentadores, o producir atoros en la descarga, etc.

Normalmente los molinos trabajan con 70% a 78% de slidos, dependiendo del peso

especifico del mineral, la cantidad de mineral que se puede cargar en un molino de

bolas oscila de 0.45 toneladas por m3 de capacidad.

2.4.2.- SUMINISTRO DE AGUA

Al operar el molino por va hmeda, el mineral finalmente molido es extrado con

agua de los intersticios entre las bolas y por lo tanto no perjudica la molienda de las

partculas de mineral gruesas, por ende en la operaciones se agrega un 50% a 60% de

agua en peso, para asegurar una descarga rpida del mineral. El exceso de agua

dentro del molino lavara las bolas y cuando se hace funcionar el molino pues el

mineral no est pegado en las bolas, haciendo una pulpa demasiado fluida que saca la

carga de mineral demasiado rpida, no dando tiempo a moler y disminuyendo el

32

tiempo de molienda, dando como resultado una molienda excesivamente gruesa.

Consumo exagerado de bolas y desgaste de chaquetas, todas estas condiciones unidas

representan un aumento del costo de produccin y una baja eficiencia de la molienda.

En el circuito las cargas circulares elevadas tienden a aumentar la produccin y

disminuir la cantidad de mineral fino no deseado.

Adems deben tener muy presente, que en la siguiente etapa de FLOTACIN POR

ESPUMAS es muy importante, que todo el mineral para ser flotado tiene que ser

reducido en su tamao hasta tal punto que cada partcula represente una sola especie

mineralgica (liberado); adems su tamao tiene que ser apropiado para que las

burbujas de aire los puedan llevar hasta la superficie de las celdas de flotacin. En

otras palabras, existe un tamao mximo de las partculas que se pueden flotar. Este

tamao mximo, naturalmente, depende de la naturaleza del mineral mismo y de su

peso especifico; por tanto se debe prestar mucha atencin en la molienda, puesto que

las partculas que no han sido liberados se pierden, en el relave y es muy perjudicial

para toda empresa.

2.4.3.- CARGA DE MEDIOS DE MOLIENDA

El volumen o nivel de la carga de bolas est relacionado con la dureza del mineral y

tonelaje de alimentacin que puede tratar el molino para un mismo grado de molienda.

Por ejemplo, un aumento del tonelaje a tratar involucra un menor tiempo de

residencia, lo que se compensa con una mayor carga de bolas, a fin de aumentar la

probabilidad de contacto entre bolas y mineral. Lo mismo sucede frente a un mineral

que presenta una mayor dureza.

La carga de bolas se expresa usualmente como un porcentaje del volumen del molino

que es ocupado por las bolas. El clculo de la fraccin o nivel de llenado para un

molino en forma cilndrica puede hacerse una vez que se conoce la altura desde la

superficie de la carga hasta el tope del molino. Denominamos h a esa altura y D al

dimetro interno del molino, tal como lo muestra la figura:

33

Fig. 2.8. Volumen ocupado por las bolas

El volumen del molino ocupado por la carga est dado por el rea del segmento

achurado multiplicado por el largo interno del molino y la relacin matemtica con la

que se determina l % de llenado de bolas es:

% carga bolas = 113 - 126 *h/D

Normalmente los molinos con descarga por rebalse operan con un volumen aparente

de 40 a 42 % del volumen total del molino, realizando carguos peridicos y

controlados de bolas para recuperar aquellas gastadas durante la operacin de

molienda.

La cantidad de bolas que se coloca dentro de un molino depende en gran parte de la

cantidad de energa disponible para mover el molino.

El grado de llenado de bolas de acero vara entre 28% a 45 %. Por debajo del 28% de

llenado, los cuerpos moledores se deslizan sobre el blindaje del molino. Por encima

del 45% de llenado se originan dificultades en las trayectorias de cada de los cuerpos

moledores.

L

DH

h

34

Fig.2.9

Representacin del nivel de llenado de un molino de bolas

Donde quiera que se desee una produccin mnima de finos se debe usar una carga de

bolas cuyo dimetro est relacionado al tamao del mineral que se alimenta, el

aumento de la carga de bolas, hace elevar el gasto de energa hasta alcanzar un valor

mximo, por encima del cual la energa necesaria disminuye al aumentar la carga, por

acercarse el centro de gravedad de esta al eje de rotacin.

La carga se puede aumentar elevando el peso de bolas cargado al molino aumentando

la densidad de slidos de la pulpa a moler, o trabajando a nivel de lquidos ms alto.

Este nivel de pulpa, que es funcin de la cantidad de molienda, constituye un factor

muy importante en el funcionamiento del molino de bolas.

Normalmente la carga de bolas se debe determinar mediante ensayos metalrgicos

por estudios detenidos. La potencia necesaria es mxima cuando el contenido en

slidos de alimentacin es del orden del 75%.

El consumo de bolas esta dado en funcin al tonelaje tratado, a la dureza del mineral

y al tamao del mineral que se alimenta.

Cuanto ms pequeas sean las bolas mayor ser la finura del producto final, la calidad

de las bolas se fabrican de acero moldeado, fundido, laminado o forjado,

normalmente se emplea acero al manganeso o acero al cromo.

En resumen la eleccin de las dimensiones de las bolas de un molino est en funcin

de muchos factores entre los cuales: la dureza del mineral, el tamao promedio de la

35

alimentacin, como tambin el grado de finura a obtenerse, la humedad de la pulpa, la

forma de las superficies de los forros ya sean onduladas o lisas y se emplean para

molienda gruesas y finas respectivamente, la velocidad del molino afecta a la

capacidad y tambin al desgaste , en proporcin directa hasta el 85% de la velocidad

critica.

Las variables de molienda se controla por:

- Sonido de las bolas

- Densidad del motor

- Ampermetro del motor

El sonido de las bolas nos indica la cantidad de carga dentro del molino. El sonido

deber ser claro. Si las bolas producen un ruido muy sordo u opaco, es porque el

molino est sobrecargado por exceso de carga o falta de agua.

Si el ruido de las bolas es excesivo, es porque el molino esta descargado o vaci, por

falta de carga o mucha agua.

El grado de densidad de densidad en la salida del molino debe ser tal que la pulpa sea

espesa y avance por su mun de descarga con facilidad, sin atorarse, la pulpa no

debe ser de densidad muy baja.

El ampermetro es un aparato elctrico que esta intercalado en el circuito del motor

elctrico del molino

Su funcin es de determinar y medir el consumo de amperios de la intensidad de la

corriente que hace el motor elctrico. Generalmente el ampermetro del motor

elctrico del molino debe marcar entre ciertos lmites normales en cada planta

concentradora.

Factores que Afectan la Eficiencia de molienda

Varios factores afectan la eficiencia del molino de bolas. La densidad de la pulpa de

alimentacin debera ser lo ms alta posible, pero garantizado un flujo fcil a travs

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del molino. Es esencial que las bolas estn cubiertas con una capa de mena; una pulpa

demasiado diluida aumenta el contacto metal-metal, aumentando el consumo de acero

y disminuyendo la eficiencia. El rango de operacin normal de los molinos de bolas

es entre 65 a 80% de slidos en peso, dependiendo de la mena. La viscosidad de la

pulpa aumenta con la fineza de las partculas, por lo tanto, los circuitos de molienda

fina pueden necesitar densidad de pulpa menor.

La eficiencia de la molienda depende del rea superficial del medio de molienda.

Luego las bolas deberan ser lo ms pequeas posible y la carga debera ser

distribuida de modo tal que las bolas ms grandes sean justo lo suficientemente

pesadas para moler la partcula ms grande y ms dura de la alimentacin. Una carga

balanceada consistir de un amplio rango de tamaos de bolas y las bolas nuevas

agregadas al molino generalmente son del tamao ms grande requerido. Las bolas

muy pequeas dejan el molino junto con la mena molida y pueden separarse haciendo

pasar la descarga por harneros.

El exceso de agua en el molino ocasiona

Un exceso lavara las bolas y cuando se hace funcionar el molino no se obtiene una

buena accin de molienda pues el mineral no est pegado a las bolas, haciendo una

pulpa demasiado fluida que saca la carga de mineral demasiado rpida, no dando

tiempo a moler disminuyendo el tiempo de molienda, dando como resultado una

molienda excesivamente gruesa, consumo exagerado de bolas, aumento de costo de

produccin y una baja eficiencia de molienda.

El exceso de agua en la molienda da como resultado:

- Molienda gruesa

- aumento de costo de produccin

- densidad baja

- menor eficiencia del molino

- bajo tonelaje del molino

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- excesivo consumo de bolas y chaquetas o revestimiento

- paradas obligadas del molino por pernos flojos, rupturas de pernos, cada de

chaquetas o revestimiento interiores del molino.

- Costo de molienda altos

Falta de agua en el molino

La pulpa del mineral avanza lentamente y se hace cada vez ms densa, las bolas no

muelen, por que el barro se muele muy espeso alrededor de las bolas, impidiendo

buenos golpes por que el barro amortigua todos los golpes

En estas condiciones de operacin las bolas pueden salir junto con la pulpa de

mineral.

La falta de agua en un molino ocasiona

- molienda gruesa y mala

- paradas obligatorias del molino

- densidad elevada

- molienda deficiente por que el barro se pega a las bolas amortiguando los golpes

- perdidas de tonelaje en el molino

La frecuencia de carga de los agentes de molienda, bolas dependen de estas

variables

- tiempo de operacin de la molienda

- tonelaje de mineral de trabajo

- tamao de la carga en la entrada del molino

- malla deseada por la planta

- dureza del mineral de alimentacin

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La sobre carga del molino puede ser debida por las causas siguientes

- falta de agua en un molino

- mala regulacin del tonelaje

- sobrecargas

- exceso de carga en el molino

La densidad muy baja en la descarga del molino puede ser debido a

- falta de agua en molino

- tonelaje elevado en el molino

- mala regulacin de agua en molino

Las prdidas de tonelaje en el molino son ocasionadas

- paradas innecesarias del molino

- mal funcionamiento de las fajas de alimentacin

- fajas de alimentacin descentradas

- polines trabados en fajas de alimentacin

- swtchs electrnicos flojos en las fajas de alimentacin

- deficiente alimentacin debido a continuos atoros en los chutes

Montaje de los molinos

- el eje del motor deber estar bien nivelado

- el acoplamiento del eje del motor elctrico con el eje qque da movimiento al

molino, deber estar bien alineado.

- los pernos, tuercas, chavetas y todo material que sujeta los engranajes dentados,

deber estar revisados

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2.4.4.- CONDICIN DE LOS BLINDAJES

Es conveniente revisar peridicamente la condicin en que se encuentran los forros,

chaquetas o blindajes, si estn gastadas ya no podrn elevar las barras o las bolas a

1a altura suficiente para que puedan trozar el mineral grueso.

El material de los forros es usualmente acero al manganeso, para los de barras y

para los de bolas que usan mayores de 2" de dimetro. Con tamaos de bolas, ms

pequeos, se usan forros de fierro fundido templado o forros de aleaciones de acero

tal como el Nihard. El consumo promedio de desgaste de forros para condiciones

promedio de operacin est en un rango de 0.11 a 0.16 kg/ton de mineral molido. El

desgaste de forros del casco, es ms alto cerca del lado de la alimentacin; los

forros en el extremo de la alimentacin generalmente se desgasta ms rpido que los

forros del casco; y el desgaste en las zonas del centro, es ms alto que en la periferie

de la tapa de entrada. Los forros de jebe estn incursionando exitosamente en la

industria minera, mostrando buenas ganancias en su uso; las ventajas que se le

atribuyen son: vida ms larga, costos ms bajos por tonelada, operacin ms

silenciosa, facilidad de instalacin y menor prdida de tiempo.

La carga de bolas y condicin de los blindajes se puede controlar directamente por

observaciones o indirectamente por la disminucin de la capacidad de molienda y

por anlisis de mallas del producto de la molienda.

* Los molinos para laboratorio no usan forros ni blindajes.

2.4.5.- TIEMPO DE MOLIENDA.

La permanencia del mineral dentro del molino determina el grado de finura de las

partculas liberadas. El grado, de finura est en relacin directa con el tiempo de

permanencia en el interior del molino, pero el tonelaje de mineral tratado disminuir

si es demasiado prolongado. El tiempo de permanencia se regula por medio de la

cantidad de agua aadida al molino; el tiempo ser mayor cuando ingresa al molino

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menor cantidad de agua y ser menor cuando ingresa al molino mayor cantidad de

agua.

2.5.- VARIABLES DE DISEO DEL MOLINO

2.5.1.- DIAMETRO, LONGITUD Y TIPO DEL MOLINO

Estas variables determinan:

- Capacidad de molienda.

- Tipo de molturante a usar.

- Molino de barras: Molienda primaria.

- Molino de bolas: utilizado indistintamente de acuerdo a los requerimientos.

2.5.2.- POTENCIA INSTALADA: KW-HP

En los equipos de desintegracin y molienda, el clculo de la potencia necesaria

para llevar a cabo la reduccin del tamao del slido, a pesar de los amplios

estudios realizados, presenta an unas notables deficiencias que no se han aclarado

totalmente. Las diferencias entre una unidad de molienda ideal y la correspondiente

real son muy grandes, debindose sobre todo a la gran variacin que se presenta en

el tamao de las partculas del material triturado, lo que complica enormemente la

aplicacin de una teora basada en la uniformidad de tamaos del producto molido.

Por otra parte, la eficiencia de desintegracin, esto es, la relacin entre la energa

superficial creada por la trituracin mecnica (que es la energa final til para

reducir el tamao del slido) y la energa absorbida por el slido (o energa bruta

total suministrada), es extremadamente baja, situndose alrededor del 1%.

Es por ello que la decisin de la potencia a suministrar al equipo de molienda se

debe fundamentar fuertemente en la experiencia, habindose desarrollado unas

correlaciones empricas muy tiles para predecir el comportamiento del equipo de

molturacin.

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2.5.3.- VELOCIDAD DE ROTACION

La magnitud del elevamiento que sufren los medios de molienda depende de la

velocidad de rotacin del molino y del tipo de revestimiento del molino. A

velocidades relativamente bajas o con revestimientos lisos, los medios de molienda

tienden a rodar hacia el pie del molino y la conminucin que ocurre es

principalmente abrasiva. Esta cada en cascada produce molienda ms fina, con gran

produccin de polvo y aumento del desgaste del revestimiento. A velocidades

mayores los cuerpos de molienda son proyectados sobre la carga para describir una

serie de parbolas antes de aterrizar en el pie de la carga. Esta cada en catarata

produce conminucin por impacto y un producto ms grueso con menos desgaste

del revestimiento.

La velocidad crtica del molino es la velocidad mnima a la cual la capa exterior de

medios de molienda se adhiere a la superficie interior del cilindro debido a la fuerza

centrfuga.

A esta velocidad la fuerza centrfuga es justo balanceada por el peso de los medios

de molienda.

La velocidad de operacin de un molino Vo, se especifica por un porcentaje

obtenido al relacionar la velocidad angular N del molino en RPM con la velocidad

critica del Molino Vc, tambin en RPM; se obtiene que: Vc = 76.8/D y la velocidad

de operacin Vo del molino, se encuentra generalmente entre el 60 a 80% de la

velocidad critica, rango en el que produce la mayor energa cintica de la bola o

barra durante el impacto.

Para aplicaciones concretas usar:

Vo. Molino de barras = 60-70 %Vc.

Vo. Molino de bolas = 70-80 %Vc.

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2.5.4.- TIPO DE DESCARGA DEL MOLINO

El tipo de descarga de un molino de bolas puede ser de rebose o de parrilla, el tipo

de parrilla permite lograr mayor capacidad al incrementar el nivel de llenado de

bolas, 50%.

Los molinos para laboratorio trabajan en sistema de alimentacin discontinua, por lo

tanto la descarga se realiza por la tapa del molino.

2.5.5.- CALIDAD DE MOLTURANTES

Referido a la deformacin y rotura de los medios de molienda durante la operacin

del molino.

Tpicamente, se puede esperar 2% de bolas rotas en una carga normal.

2.5.6.- TIPO DE REVESTIMIENTO

Los revestimientos interiores de los molinos, llamados tambin forros, pueden ser

de acero o caucho.

Los primeros son favorables cuando la molienda se efecta principalmente por

impacto.

Los revestimientos de caucho son apropiados cuando la molienda se efecta

principalmente por friccin.

2.5.7.- CARGA INICIAL Y DISTRIBUCION DE MOLTURANTES

La carga en los molinos de bolas puede oscilar entre 40 a 50% dependiendo del tipo

de descarga, rebose o parrilla.

En los molinos de barras se mantiene entre 40 a 45%.

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La distribucin depende del tamao del molino y de las caractersticas del mineral y

del producto deseado obtener.

2.5.8.- RECARGA DE MOLTURANTES

Influyen, la frecuencia y el tamao mximo del molturante recargado, sobre el

balanceo del collar de molturantes, grado de molienda y capacidad de molienda.

La recarga de bolas se realiza, generalmente todos los das.

2.5.9.- DENSIDAD APARENTE DE LA CARGA DE MOLTURANTES

Est relacionado con el rea superficial que expone el molturante al contacto con el

mineral.

2.6.- ANALISIS GRANULOMETRICO POR TAMIZADO

El rendimiento y eficiencia de la molienda es evaluada mediante un anlisis de malla.

El tamiz consiste de una superficie con perforaciones uniformes por donde pasa parte

del material y el resto ser retenido por l. Para llevar a cabo el tamizado es requisito

que exista vibracin para permitir que el material ms fino traspase el tamiz.

De un tamiz o malla se obtienen dos fracciones, los gruesos y los finos: la

nomenclatura para malla 100 es la siguiente:

+100 indica los gruesos.

-100 indica los finos.

Si de un producto se requieren N fracciones (clasificaciones), se requerirn N-1

tamices. Los tipos de tamices que vibran rpidamente con pequeas amplitudes se les

llaman Tamices Vibratorios.

Las vibraciones pueden ser generadas mecnica o elctricamente, las vibraciones

mecnicas usualmente son transmitidas por excntricos de alta velocidad hacia la

cubierta de la unidad, y de ah hacia los tamices. El rango de vibraciones es

aproximadamente 1800 a 3600 vibraciones por minuto.

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El tamao es especificado por la medida reportada en la malla por la que pasa o bien

por la que queda retenida, as se puede tener el perfil de distribucin de los grnulos

en el tamizador de manera grafica. La distribucin granulomtrica de las partculas

puede ser representada grficamente en forma acumulativa o diferencial. Existen

correlaciones empricas utilizadas para describir la distribucin de las partculas en el

mineral, las ms conocidas son la ecuacin de Schumann, la ecuacin de Rosin-

Rammler y la ecuacin de Gaudin.

La forma ms usual de determinar los tamaos de un conjunto de partculas es

mediante el anlisis granulomtrico por una serie de tamices. Por este procedimiento,

el tamao de partculas se asocia al nmero de aberturas que tiene el tamiz por

pulgada lineal, utilizando el concepto de tamao de Feret que se define como el

tamao que corresponde a la distancia entre dos tangentes paralelas a la partcula,

trazadas en la misma direccin de la medicin.

Un anlisis granulomtrico completo, consiste en hacer pasar un material

(generalmente 100 grs.) representativo de la muestra original, por una serie de

tamices comenzando por un de menor nmero de mallas y concluyendo con el de

mayor numero.

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CAPITULO III

DISEO Y CONSTRUCCION DEL MOLINO

3.1.- EJECUCION DEL DISEO DEL MOLINO

La seleccin de la unidad de molienda y las condiciones de operacin para un

funcionamiento optimo, se basara en los clculos de ecuaciones de molienda, de

acuerdo a los postulados empricos.

Se diseara y construir un molino de bolas, por ser adecuado para materiales finos y

gruesos, moliendas en hmedo o en seco. Cuando el material puede ser molido en va

hmeda o seca, el consumo de energa, desgaste del recubrimiento y los costos de

capital determinan el diseo.

3.1.1.- SELECCIN DE MATERIALES

En los trabajos de construccin metlica la seleccin de materiales y los procesos

usados en la fabricacin, son partes que integran el diseo de cualquier maquina.

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Las condiciones de trabajo al cual va a ser sometido el equipo; son factores muy

importantes que siempre se consideran en la seleccin de un material as como

tambin el costo y la disponibilidad de dicho material en nuestro mbito comercial.

3.1.1.1.- MATERIALES PARA EL CUERPO DEL MOLINO Y LA ESTRUCTURA

Es difcil establecer una clasificacin precisa y completa, sin embargo una de las

ms generalizadas es la clasificacin atendiendo a su composicin qumica, el

mejor material para un uso particular es el que proporciona el mejor valor definido

por el rendimiento global y el costo total. Por lo tanto el material designado por

presentar caractersticas adecuadas para la construccin de nuestro equipo es:

* Acero PGLAC A36, (acero estructural) por ser maquinable; ya que nuestro

molino ser de forma tubular siendo necesario obtener un tubo perfectamente

cilndrico, con un espesor de debido a que para molinos tamao laboratorio no

se fabrican blindajes por ser anticomercial.; elegimos este acero por ser resistente

al desgaste por impacto y friccin.

3.1.1.2.- MATERIALES PARA MEDIOS DE MOLIENDA

Los medios de molienda para el molino, cuya accin de rotacin del molino le

transmite fuerzas de tal naturaleza que estos se desgastan por abrasin e impacto,

son bolas de acero fundido, de grano fino y homogneo resistentes a la abrasin e

impacto.

3.1.2.- DIMENSIONAMIENTO DEL MOLINO DE BOLAS

Para el dimensionamiento del molino se requiere datos tales como el work index de

trabajo, la relacin que existe entre longitud y dimetro, % de Velocidad Critica.

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El tamao del molino que se construir para nivel de laboratorio ser 8 x 8 de

dimensionamiento til del molino.

La forma del molino de bolas se expresa en trminos de la relacin Longitud a

Dimetro L/D, usando la longitud efectiva del molino y el dimetro en el interior del

molino para efecto del clculo, por lo que tomaremos una relacin entre L y D = 1a1.

Dimensionamiento til del molino en ft:

interno = 0.67 ft

L interna = 0.67 ft

La capacidad de un molino para laboratorio es 2Kg/hora.

3.2.- VARIABLES DE OPERACIN DEL MOLINO

3.2.1.- CALCULO D