10.8 Patrones, Sucesiones y Series

7/31/2019 10.8 Patrones, Sucesiones y Series

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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series

Matemticas

4 semanas

Junio 2012 1

Etapa 1 - Resultados esperados

Resumen de la unidad

En esta unidad, los estudiantes explorarn la secuenciacin y las relaciones recurrentes para investigar

razones de cambio y patrones. Clasificarn y construirn sucesiones mientras desarrollan trminos

generales y mtodos de clculo, adems de investigar el comportamiento a largo plazo de una relacin

de recurrencia.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrn de la clase con la capacidad de usar su conocimiento

sobre la sucesin y las relaciones de recurrencia para comprender y solucionar problemas por medio

de la aplicacin del razonamiento inductivo.

Estndares de contenido y expectativas

Sucesiones

A.CA.10.9.1 Investiga la razn de cambio encontrada en sucesiones y la utiliza para clasificar las

sucesiones como aritmtica, geomtricas o ninguna.

A.RE.10.9.2 Desarrolla el trmino general para las sucesiones aritmticas o geomtricas y desarrolla

mtodos para calcular la suma de los trminos para una sucesin aritmtica finita o sucesin

geomtrica y la suma de una serie geomtrica infinita.

Patrones

A.PR.10.10.1 Desarrolla relaciones de recurrencia para situaciones de crecimiento aritmtico o

geomtrico.

A.PR.10.1.2 Genera o construye sucesiones a partir de modelos de patrones en relaciones de

recurrencia, en matemticas y en otras disciplinas.A.PR.10.1.3 Investiga el comportamiento a largo plazo la conducta de una relacin de recurrencia, con

o sin tecnologa.

Ideas grandes/Comprensin duradera:

Los patrones dan orden al mundo y nosayudan a darle sentido.

Las razones de cambio y los patrones seinvestigan usando sucesiones y relaciones de

recurrencia.

Las sucesiones se desarrollan en trminosgenerales.

Las relaciones de recurrencia son ecuacionesque definen una sucesin.

Preguntas esenciales:

Por qu son tiles los patrones? Por qu investigar razones de cambio? Cmo se usan los patrones para desarrollar

trminos generales?

Cmo se desarrollan relaciones derecurrencia para situaciones de crecimiento

aritmtico o geomtrico?

Contenido (Los estudiantes comprendern...)

Mtodos de calcular la suma de los trminosde una sucesin aritmtica finita y la suma de

una serie geomtrica infinita

Destrezas (Los estudiantes podrn...)

Investigar la razn de cambio encontrada ensucesiones y utilizarla para clasificar las

sucesiones como aritmtica, geomtrica o


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El concepto de comportamiento asintticoVocabulario de contenido

aritmtico, clasificar, convergencia,divergencia, finito, geomtrico, infinito,

notacin sigma (), patrn, relaciones de

recurrencia, sucesin, serie, tasa de cambio,

trmino general

ninguna.

Desarrollar el trmino general para lassucesiones aritmticas o geomtricas y

desarrollar mtodos para calcular la suma de

los trminos para una sucesin aritmtica

finita y sucesin geomtrica y la suma de una

serie geomtrica infinita.

Desarrollar relaciones de recurrencia parasituaciones de crecimiento aritmtico o

geomtrico.

Generar o construir sucesiones en base amodelos de patrones de relaciones de

recurrencia, tanto en matemticas como enotras disciplinas.

Investigar el comportamiento a largo plazouna relacin de recurrencia, con o sin

tecnologa.

Etapa 2 Evidencia de avalo

Tareas de desempeo

Un milln de dlares1

Los estudiantes demostrarn su comprensin de

las sucesiones aritmticas y geomtricas y de lasseries al describir varias formas de ahorrar un

milln de dlares en una cuenta bancaria.

1. Indcales a los estudiantes que su objetivoser ahorrar un milln de dlares en una

cuenta bancaria.

2. Solicita a los estudiantes que respondan a lassiguientes preguntas:

a. Cmo podras lograrlo en cinco aos si tumtodo de ahorro fuese una sucesin

geomtrica? Una serie geomtrica? Una

sucesin aritmtica? Una serie

aritmtica?b. Describe en lenguaje sencillo cmo cada

uno de estos modelos podra funcionar

como un plan de ahorros.

c. Cul se parece ms al mtodo que lagente realmente usara?

Otra evidencia

Ejemplos de preguntas de examen/quiz4

1. Cul sera una frmula del trmino n de lasucesin B mostrada a continuacin?B = 10, 12, 14, 16,

a) b) c) d)

2. Cul es la frmula del trmino n de lasucesin54, 18, 6,?

a) ()

b) (

)

c) ()

d) ()

1Fuente: www.curriculumframer.com

4Fuente:http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htmhttp://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htmhttp://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htmhttp://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm


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3. Utiliza la rbrica para evaluar el trabajo de losestudiantes (ver anejo: Organizador - Rbricade tarea de desempeo).

Planes de inversin2

Los estudiantes demostrarn su conocimiento de

las sucesiones recursivas diseando un plan de

inversin.

Tarea:

1. Busca y escribe los cinco primeros trminos(aos) de la sucesin representando la

inversin que hace un joven de 21 aos de

$2,000 a un 5.5 % anual.

2. Escribe la forma recursiva de esa sucesin.3. Decide de qu tipo de sucesin se trata y

escribe la forma explcita de la sucesin y

sala para hallar el valor de la inversin a los

55 aos de edad.

4. Compara la cantidad a los 55 del No. 3 con lainversin a los 21 aos de $2,000 compuesta

de forma continua a 5.5 % y describe el

clculo matemtico que hace variar las

cantidades. Muestra todo el proceso y explica

en tus propias palabras lo que hiciste y por

qu diste cada paso.Utiliza la rbrica para evaluar el trabajo de los

estudiantes (ver anejo: Organizador - Rbrica de

tarea de desempeo).

La maravillosa campaa de mercadeo viral3

Los estudiantes demostrarn su comprensin de

las sucesiones y las series al desarrollar una

campaa de mercadeo viral. El estudiante, como

consultor en mercadeo, ayudar a desarrollar

modelos de a cuntas personas se puede llegar,

considerando los efectos de los supuestos y

prediciendo resultados posibles en funcin de la

precisin de estos supuestos. El estudiante deber

adems explicar claramente las limitaciones de

este mtodo con el tiempo a medida que se va

agotando la reserva de clientes potenciales, y

3. Cul es el valor de

a) 1 b) 3c) 2 d) 0

Diario

a) Crea tu propia sucesin. Provee los primeroscuatro trminos y el noveno trmino. De qu

tipo de sucesin se trata? Cmo lo sabes?

b)

Compara las sucesiones aritmticas ygeomtricas. Da ejemplos:

c) Cul es el quinceavo trmino de la sucesin5, -10, 20, -40, 80,?

d) El maestro de Jonathan le pidi que expresarala suma

+

+

+

+

usando notacin sigma.

Jonathan ha propuesto cuatro respuestas

posibles. Cul de estas cuatro respuestas no

es correcta? Explica cmo lo sabes.

a)

b)

c)

d)

Boletos de entrada/salida

1. Compara las sucesiones aritmticas con lasseries.

2. Cul es la diferencia comn de esta sucesinaritmtica 5, 8, 11, 14?

3. Evala:

2Fuente:http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdf

http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdfhttp://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdfhttp://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdfhttp://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdf


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cmo esto afecta la aplicabilidad del modelo.

Tarea:

El propietario de un parque de diversiones acaba

de leer un corto artculo sobre el mercadeo viral y

quiere intentarlo. Le emociona el poder detrs de

la idea de "si cada persona le cuenta a dos

personas, y esas personas le cuentan a dos ms..."

para hacer correr la voz sobre una nueva machina

que van a abrir.

Instrucciones:

1. Desarrolla los modelos para determinar acuntas personas se puede llegar con una

campaa de mercadeo viral.2. Identifica los efectos de los supuestos que

hagas y predice una gama de posibles

resultados en funcin de las opciones

provistas por estos supuestos.

3. Identifica el posible efecto que los errores entus supuestos podran tener en tus

predicciones.

4. Explica claramente las limitaciones de estemtodo con el tiempo a medida que se va

agotando la reserva de clientes potenciales, y

cmo esto afecta la aplicabilidad del modelo.5. Se te evaluar en funcin de cun exhaustiva

sea tu lista de planes, as como tu capacidad

para explicar el uso de supuestos y de

comunicar las limitaciones de tus predicciones

y cmo los supuestos incorrectos podran

afectarlas.

Utiliza la rbrica La maravillosa campaa de

mercadeo viral para evaluar el trabajo de los

estudiantes (ver anejo: 10.8 Tarea de desempeo

- La maravillosa campaa de mercadeo viral).

Etapa 3 Plan de aprendizaje

Actividades de aprendizaje

Sucesiones aritmticas

Aritmtica? Y qu tal un total?: En esta actividad, los estudiantes se centrarn en sucesionesaritmticas y desarrollarn patrones para hallar el trmino nmero n, as como la suma de n

trminos en una sucesin aritmtica (ver anejo: 10. 8 Actividad de aprendizaje Aritmtica? Y

qu tal un total?).


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Dnde en el mundo?: Despus de repasar unos cuantos ejercicios en que se usen sucesiones yseries para hacer modelos de procesos reales, a los estudiantes se les retar a que hagan una lluviade ideas, en parejas o en grupos, para hacer una lista de diez ejemplos del mundo real de

sucesiones y series que sean parte de su vida diaria. De esa lista, debern escoger tres para

elaborarlas, justificando que son aritmticas, usando las frmulas que han aprendido, ilustrando

los resultados de forma grfica y considerando las limitaciones del patrn. (ver anejo: 10.8

Actividad de aprendizaje - Dnde en el mundo)

Cul es la sucesin?: A los estudiantes se les dar un nmero y se les dir que se trata de untrmino especfico de una sucesin. Cul podra ser esa sucesin? Es nica la respuesta? Para

hacerlo ms difcil an, se les dar un nmero y se les dir que se trata de la suma de un cierto

nmero de trminos de una sucesin y se les harn las mismas preguntas (ver anejo: 10.8 Plan de

aprendizaje - Cul es la sucesin).

Sucesiones geomtricas

La "familia Cuarteto": La familia Cuarteto tiene una extraa tradicin, comenzando por Horacio yWilhelmina Cuarteto a principios de los 1800. Horacio y Wilhelmina tuvieron cuatro hijos y

declararon que cada descendiente deba hacer lo mismo. Cada hijo, nieto, biznieto, y as

sucesivamente, ha cooperado: cada uno se ha casado y ha tenido cuatro hijos. Estima cuntos

descendientes tienen al da de hoy, as como el nmero total de personas que hay en el rbol

genealgico (sin incluir cnyuges). (Ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - La familia Cuarteto.)

Sucesiones

Y al dcimo da: Dales a los estudiantes cinco escenarios de la vida real con sucesiones, entre ellasejemplos de sucesiones aritmticas y geomtricas. Solicita que enumeren lo que ocurrira en los

primeros diez das. A continuacin, haz que por cada escenario desarrollen una regla general parael trmino n de la sucesin. Ejemplos (a), (b), (c) y (e) son bastante sencillos, pero el ejemplos (d)

no lo es (ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - Y al dcimo da). Pregntales a los estudiantes

cules sucesiones son similares y cules son diferentes. Introduce y contrasta los trminos de la

sucesin geomtrica y la sucesin aritmtica.

La sucesin de nunca acabar: Usando una herramienta tecnolgica, como la TI-83, que tiene lacapacidad de realizar la misma operacin repetidas veces en las respuestas sucesivas, los

estudiantes investigarn lo que sucede a medida que dejamos que las sucesiones y series

continen indefinidamente. En estas circunstancias, tendern a desaparecer los trminos? Es

posible que una serie infinita tenga una suma finita? (Ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - La

serie sin fin.)

Ni geomtrico ni aritmtico

5

: Los estudiantes considerarn algunos ejemplos de sucesiones que nosean ni aritmticas ni geomtricas, y determinarn los trminos subsiguientes. Intentarn escribir

reglas generales para el trmino n. Dales a los estudiantes un pequeo conjunto de ejercicios

mixtos y solicita que generen los prximos cuatro trminos de cada uno. Incluye en el conjunto

mixto un par de ejercicios aritmticos y geomtricos, pero tambin incluye otros como i) ejercicios

que impliquen combinaciones de operaciones como: 3, 6, 7, 14, 15, 30,... (multiplicar por dos,

luego sumar 1); ii) sucesiones recursivas como: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... (sucesin Fibonacci), y iii) otras



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sucesiones interesantes de los ejercicios de tu libro de texto. Solicita a los estudiantes que las

dividan en sucesiones que ya hayan estudiado, y en las que no se correspondan con estascategoras.

Cul es mi regla?6: Crea una lista de sucesiones y series a partir de ejercicios y discusiones en clasey problemas de asignacin. Incluye ejemplos aritmticos, geomtricos recursivos y ejemplos

cualesquiera que no se adecuen a los otros patrones. Solicita a los estudiantes que analicen los

ejemplos en parejas y grupos pequeos. Por cada ejemplo, debern generar los prximos trminos,

identificar el tipo y explicar cmo llegaron a su conclusin. No se debe tan solo poner nfasis en la

identificacin correcta, sino tambin en comunicar el proceso de razonamiento que los llev a su

decisin.

Ejemplos para planes de la leccin

Patrones, sucesiones y series7: Los estudiantes recibirn instrucciones directas de sucesiones yseries aritmticas. Debern reunir sus experiencias de Y al dcimo da y Aritmtica?Y qu tal

un total? para determinar reglas generales para identificar sucesiones aritmticas, hallar trminos

especficos en la sucesin, calcular la suma de los primeros trminos n y representar sumas usando

notacin sigma. Adems, compararn y contrastarn los trminos de una sucesin aritmtica con

una relacin lineal.

Instrucciones:

1. Solicita a los estudiantes que se refieran a las dos actividades anteriores y que trabajen enpares y grupos pequeos para resumir todo lo que han aprendido sobre las sucesiones

aritmticas. Date la vuelta por el saln y anota las contribuciones en la pizarra. Asegrate de

que se incluyan todas las siguientes en el resumen: (a) cmo identificar una sucesin

aritmtica, (b) cmo hallar un trmino especfico de una sucesin aritmtica y (c) cmo hallar

la suma de los primeros trminos n de una sucesin aritmtica.2. Trabaja a partir de las observaciones y representaciones de los estudiantes para producir las

formas estndares de las frmulas para hallar trmino especficos y sumas de sucesiones

aritmticas. Usa la notacin de suma para describir la suma de los primeros trminos n de una

sucesin.

3. Todava en grupos, dales a los estudiantes un ejemplo (primer trmino = 2, diferenciascomunes = 1.5). Solicita que hallen los primeros cinco trminos y creen una representacin

grfica.

4. Una vez terminen esta parte, pregntales cuntos de ellos conectaron los puntos para formaruna lnea. Aunque es de naturaleza lineal, cmo difiere esto de las relaciones lineales que han

estudiado en el pasado? Esta es una muy buena oportunidad para discutir los nmeros

discretos y los continuos, y los tipos de datos del mundo real que se prestan para cada uno.5. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando frmulas que hayan desarrolladousando ejercicios del libro.

Sucesiones y series geomtricas8: Los estudiantes recibirn instrucciones directas de sucesiones yseries aritmticas. Utilizarn las experiencias de La familia Cuarteto y la Sucesin de nunca

6Fuente:www.curriculumframer.com

7Ibdem.

8Ibdem.
http://www.curriculumframer.com/http://www.curriculumframer.com/http://www.curriculumframer.com/http://www.curriculumframer.com/


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acabar para motivarlos a hallar la frmula general del trmino n, la suma de n trminos y la suma

de una serie infinita. Elaborarn pautas generales para determinar si una serie converge o no. Losestudiantes utilizarn la notacin sigma cuando corresponda.

Instrucciones:

1. Utilizar las actividades anteriores para motivarlos a que elaboren sus propias frmulasgenerales. Dales un ejemplo sencillo (primer trmino = 5, r =2). Solicita que enumeren los

primeros cuatro trminos y escriban todo el proceso.

2. Utiliza ese proceso para escribir una frmula general para el trmino n. Deben poder hacerlopor su cuenta con la ayuda de algunas preguntas gua, de ser necesario.

3. Desarrolla la frmula de la suma de una serie geomtrica finita. La prueba de esto no es muylarga, pero no es razonable esperar que los estudiantes descubran la frmula por su cuenta. Sin

embargo, vale la pena tomarse el tiempo de compartirlo con ellos y asegurarse de que

entiendan que se trata del resultado lgico de propiedades previamente aceptadas que ya hanaprendido, y que resulta chvere ver cmo se eliminan todos los trminos excepto el primero y

el ltimo.

4. Reflexiona sobre la actividad anterior y solicita a los estudiantes que identifiquen qu tipo deserie geomtrica infinita podra tener una suma finita. Un buensimo ejemplo que los

estudiantes pueden asimilar es el que implica la razn 1/2 sobre una interpretacin basada en

la distancia recorrida.

5. Solicita a un estudiante que se pare a 10 pies de la parte de enfrente del saln y que recorra lamitad del camino hasta la pizarra; anota que recorri 5 pies. Repite el proceso un par de veces

con el voluntario, y a continuacin enumera unos cuantos trminos adicionales de la sucesin.

A medida que sigues aadiendo a la sucesin, anota los totales de la distancia total recorrida.

6. Discute esto en trminos de lmites: Llegar a alcanzar la pared el estudiante? A qu seaproxima la cantidad recorrida, pero nunca alcanza? A qu se aproxima la cantidad total

recorrida, pero nunca alcanza? Una vez se haya establecido la suma de una serie geomtrica

finita, solicita a los estudiantes que la amolden a una serie geomtrica infinita. Por cul

trmino deben sustituir el ltimo?

7. Esto debe llevar a una discusin de la convergencia y la divergencia, y de cundo la suma existey cundo no (cuando la suma no tiene lmite). Dedica un tiempo a usar la notacin de suma

para rotular las sumas que vayas encontrando. Mientras que las frmulas no utilizan esta

notacin, las suman que vas encontrando pueden expresarse de esta forma.

8. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando estas frmulas con ejercicios dellibro.

Sucesiones - Definiciones recursivas9: Los estudiantes recibirn instrucciones directas para definirtrminos en una sucesin relacionndolos con trminos anteriores. Una vez lo intenten consucesiones aritmticas y geomtricas, podrn utilizar esta tcnica en la prctica para sucesiones

que no sean ni geomtricas ni aritmticas, y que se describan mejor en trminos recursivos.

Instrucciones:

1. Usa la actividad de aprendizaje Ni geomtrico ni aritmtico para introducir el hecho de queno todas las sucesiones son o aritmticas o geomtricas, y que algunas no se prestan a

descripciones matemticas simples.



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Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

2. Desarrolla las reglas para hallar el trmino n de cada una de las sucesiones, y seala aquellasen que la definicin sea recursiva. Pregntales a los estudiantes si las sucesiones geomtricasse pueden definir de forma recursiva. Discute el hecho de que algunas sucesiones solo pueden

describirse en trminos recursivos, y que no tienen frmulas sencillas para calcular la suma de

trminos n.

3. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar la expresin de sucesiones con definicionesrecursivas, as como generar trminos de sucesiones, dada una definicin recursiva. Un

problema geomtrico bastante conocido y que es un reto divertido conlleva cortar un

bizcocho. Cul es el nmero mximo de trozos que puedes obtener con 4 pedazos? (Los

pedazos no tienen que ser de forma o tamao semejante.) Solicita a los estudiantes que

intenten hacer este problema con un diagrama, y luego describe el total despus de cortar

cada pedazo con una definicin recursiva. (El truco est en asegurarse de que cada pedazo se

cruce con un pedazo ya cortado.) Esto resulta ms difcil con un diagrama en el caso de mspedazos, pero los estudiantes pueden sacar la regla general y hallar el nmero de pedazos para

nmeros de pedazos mayores.

Recursos adicionales

www.profjserrano.wordpress.com http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Preclculo: Funciones y grficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan SnchezConexiones a la literatura

Nota: Aunque los siguientes libros estn dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, stos apuntan a

los principios fundamentales de matemticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo

el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepcin.

Estos libros son una excelente introduccin a las unidades de estudio.

Ms all de la coincidencia de Martin Plimmer El matemtico del reyde Juan Carlos Arce The Man Who Counted: A Collection ofMathematical Adventures de Malba Tahan Math Curse de Jo Scieszka y Lane Smith
http://www.profjserrano.wordpress.com/http://www.profjserrano.wordpress.com/http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdfhttp://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdfhttp://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdfhttp://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdfhttp://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdfhttp://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdfhttp://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdfhttp://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdfhttp://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdfhttp://www.profjserrano.wordpress.com/

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