108521357 Ejercicios Resueltos de Trabajo y Energc3ada

5/24/2018 108521357 Ejercicios Resueltos de Trabajo y Energc3ada

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TALLER TRABAJO Y ENERGA

FSICA MECNICA

1. Un mueble de 40 kg que se encuentra inicialmente el reposo, se empuja con una fuerza de130 N, desplazndolo en lnea recta una distancia de 5 m a lo largo de un piso horizontal decoeficiente de roce 0.3 (ver figura). Calcular: a) el trabajo de la fuerza aplicada, b) el trabajodel roce, c) la variacin de energa cintica, d) la rapidez final del mueble, e) la potencia finalde la fuerza aplicada.

Solucin

El diagrama de fuerzas para el mueble de masa m de la figura se muestra acontinuacin.

a) WF= FXcos= FXcos 0 = FX=(130N)(5m) = 650J

b) fr= N = mg , entonces:Wfr =frx Xcos180=- mgX= WR = -0.3(40Kg)(9.8m/s2)(5m) = -588 J

c) WTotal= Ec WF+WN+ W fr +Wmg= Ec, pero WN= Wmg= 0, ya que lasfuerzas normal y peso son perpendiculares al desplazamiento, entonces:

Ec = WF +WR = 650J588J= 62J


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d) Para calcular la rapidez final, usamos el resultado anterior.

Luego:

2 2(62 )1.76 /

40

cf

E Jv m s

m Kg

e) Usando la definicin de potencia:. cos0 (130 )(1.76 / ) 228.8f fP F v Fv Fv N m s Watt

2. Un trapecio de circo est formado por una barra suspendida por dos cuerdas paralelas,

cada una de longitud l. El trapecio permite al actor balancearse en un arco circularvertical (ver figura). Suponga que una trapecista con masa m sostenida de la barra,baja de una plataforma elevada, partiendo del reposo con un ngulo inicial i conrespecto a la vertical (ver figura). Suponga que; la talla de la trapecista es pequeacomparada con la longitud l del trapecio, que ella no empuja el trapecio parabalancearse ms alto, y que la resistencia del aire es despreciable.

a)Muestre que cuando las cuerdas forman un ngulo con respecto a la vertical, latrapecista debe ejercer una fuerza para mantenerse firme:

(3cos 2 cos )i

F mg

b) Determine el ngulo inicial si en la parte ms baja la fuerza es 2mg.

Solucin.

a) A continuacin se ilustra un diagrama general de la situacin.


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De la figura a) se tiene que con respecto al nivel de referencia (NR), la energamecnica asociada al trapecista en los puntos P y Q son:

(1)P PE mgh y

21 (2)2

Q Q QE mv mgh

Pero en este caso

(1 cos ) (3)P ih l

y

(1 cos ) (4)Qh l Luego al sustituir las ecuaciones (3) en (1) y (4) en (2) se tiene que:

(1 cos ) (5)P iE mgl

21(1 cos ) (6)

2Q QE mv mgl

Como la energa se conserva, entones la energa del sistema en P debe ser igual a laenerga en el punto Q; esto es:

21 (1 cos ) (1 cos )2

Q imv mgl mgl

De donde se tiene que:

2 2 (cos cos ) (7)Q iv gl

De la figura b) y el diagrama de fuerza en el punto Q se tiene que:


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2

cos (8)Q

Q

N

vF F gm m

l

Luego al sustituir la ecuacin (7) en (8) y resolver para F se obtiene el siguienteresultado.

cos 2 (cos cos )iF gm mg

Donde finalmente se tiene que:

(3cos 2 cos ) (9)iF mg

b) Cuando el trapecista est en la parte ms baja se tiene que =0 yF=2mg, por loque al sustituir en la ecuacin (9) se tiene lo siguiente:

02 (3 cos 0 2 cos )img mg

1 1

cos 602i

3. Una varilla rgida ligera mide 77cm de largo. Su extremo superior hace pivote en uneje horizontal de baja friccin. La varilla cuelga en lnea vertical en reposo con unapequea bola unida a su extremo inferior. Una persona golpea la bola, dndole depronto una velocidad horizontal de modo que oscila alrededor en un crculo completo.Qu rapidez mnima se requiere para hacerla llegar a la parte superior?

Solucin.

Un diagrama general de la situacin se ilustra a continuacin.


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Con respecto al nivel de referencia (NR) mostrado en la figura se tiene que la energainicial del sistema es:

21 (1)2

i oE mv

Mientras que cuando la bola alcanza la parte ms alta de la curva la velocidad se hacecero y por tanto la energa mecnica asociada al sistema es netamente potencial; estoes:

2 (2)fE mgL

Como la energa mecnica se conserva, entonces:

i fE E

Esto es:

21 22

omv mgL


4ov gL

Como L=77cm=0.77my g=9.8m/s2, entonces la rapidez mnima que se requiere es:

24 9.8 / (0.77 ) 5.494 /ov m s m m s


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4. El coeficiente de friccin entre el bloque de 3.00 kg y la superficie de la figura es de0.4. El sistema inicia desde el reposo. Cul es la velocidad de la bola de 5 kg cuandoha cado 1.5m?

Solucin.

Una ilustracin general del problema se muestra a continuacin.

De la figura mostrada podemos inferir la ecuacin de ligadura asociada al sistema demasas unidas por una cuerda. Si suponemos que la cuerda es inextensible y delongitudL, entonces se tiene que:

1( )

2d x y R L

Donde d es la distancia fija desde el extremo de la superficie horizontal al centro de lapolea y R es el radio de la polea. Al derivar esta expresin con respecto al tiempo setiene la relacin entre las velocidades de cada masa; esto es:

0dx dydt dt

1 2v v

Con respecto al nivel de referencia (NR) mostrado en la figura y debido a que elsistema parte del reposo, la energa inicial del sistema se debe nicamente a la masam2; esto es:

2 (1)iE m gy

Finalmente cuando la masa m2 ha descendido una distancia h, la masa m1tambin harecorrido sobre la superficie horizontal una distancia h y ambas masas en esemomento tiene una velocidad v, por lo que la energa final del sistema con respecto alnivel de referencia escogido y que se muestra en la figura es:


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2 21 2 21 1

(2)2 2

fE m v m v m g y h

Debido a la presencia de la fuerza de friccin, la cual es una fuerza no conservativa,la energa mecnica del sistema no se conserva y por tanto el cambio en la energa

mecnica es igual al trabajo hecho por la fuerza externa. En este caso la fuerzaexterna que hace trabajo sobre el sistema es la fuerza de friccin.

(3)rf i f

E E W

Como la fuerza de friccin se opone al movimiento de m1 sobre la superficiehorizontal, entones el trabajo realizado por esta fuerza al desplazarse la masa m1unadistancia hes simplemente igual a:

(4)rf r

W f h

Al sustituir (4) en (3) se tiene:

(5)f i rE E f h

Pero por definicin de la fuerza de friccin cintica se tiene en este caso que:

(6)r

f N

Donde es el coeficiente de friccin cintico entre la superficie horizontal y m1yN

es la normal realizada por dicha superficie a la misma masa. Pero la masa m1 notiene movimiento vertical por lo que la normal esta compensada por el peso de lamasa en todo momento, es decir:

1 (7)N m g

Luego al sustituir la ecuacin (6) en (5) se tiene que:

1 (8)

rf m g

Final mente al sustituir las ecuaciones (1), (2) y (8) en (5) se tiene lo siguiente:

2 21 2 2 2 11 1

2 2m v m v m g y h m gy m gh

Resolviendo para v se tiene que:


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2 1

1 2

2 ( )gh m mv

m m

Al sustituir las condiciones iniciales del problema, es decir m1=3Kg, m2=5Kg, =0.4,h=1.5myg=9.8m/s2se tiene finalmente que:

22 9.8 / 1.5 5 0.4 33.74 /

8

m s m Kg Kg v m s

Kg

5. Un muchacho en una silla de ruedas (masa total 47Kg) gana una carrera contra uncompetidor en patn. El muchacho tiene una rapidez de 1.4m/s en la cresta de unapendiente de 2.6m de alto y 12.4m de largo. En la parte ms baja de la pendiente, surapidez es de 6.2m/s. Si la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento se puedenmodelar como una fuerza constante de friccin de 41.0N, encuentre el trabajorealizado por el al empujarse hacia adelante en sus ruedas al viajar cuesta abajo?Solucin.

La situacin general del problema se ilustra en la figura que se observa acontinuacin.

En este casofes una fuerza interna del sistema, mientras que la fuerza de friccin esuna fuerza externa que acta sobre el sistema y realiza trabajo, por lo que el cambioen la energa del sistema es igual al trabajo realizado por la fuerza interna f y externafr.

(1)rf i f f

E E W W

Con respecto al nivel de referencia escogido y el cual se muestra en la figura se tieneque:

21 (2)2

i iE mv mgh


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Mientras que:

21(3)

2f fE mv

Por otro lado se tiene tambin que el trabajo realizado por la fuerza de friccin es:

(4)rf r

W f x

Al sustituir las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1) y resolver para Wfse tiene que:

2 21 1

2 2f i f rmv mv mgh W f x

Entonces:

2 21

2f f i r

W m v v mgh f x

Al sustituir las condiciones iniciales dadas en el problema, es decir vi =1.4m/s, vf=6.2m/s, m=47Kg, h=2.6m,x=12.4m,fr = 41N yg=9.8m/s se tiene que:

2 2 21

47 6.2 / 1.4 / 47 9.8 / 2.6 41 12.42

fW Kg m s m s Kg m s m N m Entonces:

168.12fW J 6. Un bloque de 5 kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con

rapidez inicial de 8 m/s (ver figura). El bloque se detiene despus de recorrer 3 m a lolargo del plano, el cul est inclinado en un ngulo de 30 con la horizontal.Determine para este movimiento:a) El cambio en la energa cintica del bloque.b) El cambio en su energa potencial.c) La fuerza de friccin ejercida sobre el (supuesta constante).d) El coeficiente de friccin cintica.


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Solucin.

Ilustracin general del problema.

Con respecto al nivel de referencia (NR) que se muestra en la figura las energasiniciales y finales del bloque son:

21(1)

2i i

E mv

y

(2)fE mgh mgxsen

a) El cambio en la energa cintica del bloque es:210 .

2f i iK K K mv

Entonces

22 5 8 /1 1602 2

i

Kg m sK mv J

b) El cambio en la energa potencial del bloque es en este caso:0g g f g i g fU U U U

Entonces:

2(5 ) (9.8 / ) (3 ) 30 73.5g g fU U mgxsen Kg m s m sen J


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c) Como el cambio en la energa mecnica es igual al trabajo realizado por la fuerzade friccin, entonces tenemos:

g rK U f x

De donde se tiene finalmente para la fuerza de friccin que:

( ) 160 73.528.8

3

g

r

K U J Jf N

x m

d) El coeficiente de friccin cintica.

Del diagrama de fuerzas que se muestra en la figura anterior se observa que:

cos 30N mg Luego la fuerza de friccin es entonces

cos 30rf N mg

De aqu se tiene que:

228.8

0.679cos30 5 9.8 / cos30

rf N

mg Kg m s

7. Un bloque de 2 kg situado sobre una pendiente rugosa se conecta a un resorte de100N/m. El bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no est deformado, y la

polea no presenta friccin. El bloque se mueve 20 cm hacia abajo de la pendienteantes de detenerse. Encuentre el coeficiente de friccin cintico entre el bloque y elplano inclinado.

Solucin.

Ilustracin general del problema.


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Con respecto al nivel de referencia (NR) que se muestra en la figura las energasiniciales y finales del bloque son:

(1)iE mgxsen

y

21 (2)

2fE Kx

Como la superficie del plano presenta friccin, entonces la energa mecnica no seconserva y por tanto se tiene que:

(3)f i rE E f x

A continuacin se ilustra en el siguiente grfico un diagrama de fuerzas sobre elbloque

Del diagrama de fuerza se observa que:

cosN mg

Por lo que la fuerza de friccin en este caso est dada por:

cos (4)rf N mg

Luego al sustituir (1), (2) y (4) en (3) se tiene lo siguiente:


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21 cos2

Kx mgxsen mgx

Resolviendo para el coeficiente de friccin con los valores iniciales dados en elproblema se tiene:

2

2

12

cos

12 9.8 / 37 100 / 0.2

20.115

2 9.8 / cos 37

mgsen Kx

mg

Kg m s sen N m m

Kg m s

8. Una pequea partcula de masa m se tira de una cuerda a la parte superior de uncuerpo semicilndrico sin friccin, de radio R. La cuerda pasa por la parte superiordel cilindro, como se ilustra. a) Si la partcula se mueve a rapidez constante, la

componente de su aceleracin tangencial debe ser cero en todo tiempo. b) Porintegracin directa de.

.B

AW F drs

Encuentre el trabajo realizado al mover la partcula a rapidez constante desde la parteinferior a la parte superior del cuerpo semicilndrico.

Solucin.

La figura que se muestra a continuacin ilustra de forma general el problemaplanteado.

De la figura se observa que:

cos 0 (1)tF F mg Nota: La sumatoria anterior de las fuerzas en la direccin tangencial es cero porque lamasa se mueve a velocidad constante, por lo que no experimenta aceleracintangencial.


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La sumatoria de las fuerzas normales es:

2

(2)N

vF mgsen m

R

En este caso, la fuerza normal no realiza trabajo sobre la masa, ya que en todomomento esta es perpendicular al desplazamiento de dicha masa. Luego el trabajorealizado al mover la masa hasta la parte superior del semicilindro se debe lacomponente del peso a lo largo de la direccin tangencias, es decir, de la ecuacin (1)se tiene que:

cos (3)F mg

Luego el trabajo realizado lo podemos obtener mediante la expresin:

. (4)B

AW F ds

En este caso dsadems de ser paralela aF se relaciona con el radio del semicilindro yel ngulo barrido mediante la expresin:

s R De donde al derivar se tiene que:

(5)ds Rd

Al sustituir (3) y (5) en (4) se tiene lo siguiente:

2

0cos 0

2W mg Rd mgR sen sen mgR

9. Una partcula de 4 kg se desplaza a lo largo del ejeX. Su posicin vara con el tiemposegn x t2t3, en donde x se mide en m y t en s. Determinar en funcin deltiempo: a) su energa cintica, b) la fuerza que acta sobre ella y su aceleracin, c) lapotencia de la fuerza. d) Determinar el trabajo realizado sobre la partcula en elintervalo de 0 a 2 s.

Solucin

a) Derivando con respecto al tiempo se tiene:

22 2 211 6 2 1 6

2c

dxv t t E t mv t

dt

b)Derivando nuevamente con respecto al tiempo tenemos:


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12 48dv

a t t F t ma t dt

c) La potencia desarrollada por la fuerza ser: 2 48 1 6P t F t v t t t

d) Para calcular el trabajo podemos integrar la potencia ya que en este caso:

dxW F t dx F t dt P t dt

dt

Entonces se tiene que:

2 2

2

0 048 1 6 1248 JW P t dt t t dt

Tambin se puede calcular el trabajo realizado sobre la partcula en el intervalo de 0 a 2 s,calculando la variacin de energa cintica sufrida por la partcula en ese intervalo detiempo; es decir:

2 0 1250 J 2 J 1248 Jc c cW E E E

10. Un objeto de masa minicia desde el reposo y se desliza una distancia dpor un planoinclinado sin friccin de ngulo . Mientras se desliza, hace contacto con un resorteno estirado de masa despreciable, como se muestra en la figura. El objeto se deslizauna distancia adicional x cuando es llevado momentneamente al reposo porcompresin del resorte de constante de fuerza K. Encuentre la separacin inicial dentre objeto y resorte.

Solucin.

Ilustracin del problema.


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Con respecto al nivel de referencia que se muestra en la figura, las energas iniciales yfinales del bloque son:

(1)iE mgh mg d x sen

y

21 (2)2

fE Kx

Como el plano no presenta friccin, entonces la energa se conserva y por lo tantotenemos lo siguiente:

(3)i f

E E

Al sustituir (1) y (2) en (3) se tiene que:

212mg d x sen Kx Entonces:

2

2

Kxd x

mgsen

11. Un bloque de masa 0.250 kg se coloca sobre la parte superior de un resorte verticalligero, de constante de fuerza 5000 N/m, y empujado hacia abajo de modo que elresorte se comprime 0.1m. Despus de que el bloque se suelta desde el reposo, avanzahacia arriba y luego se separa del resorte. A qu altura mxima sube sobre el puntode liberacin?

Solucin.

La figura que se muestra a continuacin ilustra de forma general el problemaplanteado.


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De acuerdo al nivel de referencia (NR) escogido las energas iniciales y finales delbloque son:

21 (1)2

iE Kx

y

(2)fE mg x h

Como la energa se conserva, entonces:

f iE E Esto es:

21( )

2

mg x h Kx


22

2

5000 / 0.10.1 10.2

2 2 0.25 9.8 /

N m mKxh x m m

mg Kg m s

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