108522117 04 2 Matrices de Red Analisis Nodal

U4 (2) – Matrices de Redes Eléctricas

Fundamentos de Ingeniería Eléctrica Posgrado en Ingeniería Eléctrica del Instituto Tecnológico de La Laguna

1

MATRICES DE REDES ELÉCTRICAS (análisis nodal)

INTRODUCCIÓN

En el análisis de circuitos eléctricos es común escoger una técnica de solución

basada en el análisis nodal o análisis de mallas. De estas técnicas surgen las

ecuaciones de la red eléctrica que, cuando se tratan de circuitos de dos o más

nodos o mallas, se obtienen conjuntos de ecuaciones que deben resolverse

simultáneamente; de aquí se derivan las matrices de red del circuito eléctrico.

La técnica de solución llega a ser trascendental cuando la topología del circuito

llega a cambiar. Por ejemplo, se cambia la topología del circuito y se resuelve

usando las leyes de Kirchhoff: leyes de nodos y leyes de mallas

Ecuaciones de circuitos donde los incisos a) y c) serán planteados por mallas y

los incisos b) y d) por nodos.



2

Mallas: ∑V = 0, se calculan las corrientes de malla.

a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−++

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

IzIyIx

ZeZcZeZeZeZdZbZd

ZdZdZa

V

V

0

0

201

La solución es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−++

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

201

0

0 1

V

V

ZeZcZeZeZeZdZbZd

ZdZdZa

IzIyIx

c)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−

−+++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

IzIwIyIx

ZfZcZfZfZfZeZe

ZeZeZdZbZdZdZdZa

V

V

000

000

2001

La solución es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−

−+++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

2001

000

000 1

V

V

ZfZcZfZfZfZeZe

ZeZeZdZbZdZdZdZa

IzIwIyIx

Nodos: ∑I = 0. Solo se cuenta con dos nodos (x e y) y se calculan los

voltajes nodales Vx y Vy. Se cambia la impedancia Z por admitancia Y.

b)

( ) ( )

( )( ) YbVyVxYdYbYaYaVIj

YaVYbVyVxYdYbYa

VyVxYbYdVxVVxYaZb

VyVxZdVx

ZaVVx

−++===−−++=

−++−=−

++−

=

1010

110

Nodo x



3

( ) ( )

( )( )VyYeYcYbYbVxYcV

YcVVyYeYcYbYbVx

VVyYcYeVyVxVyYbZc

VVyZeVy

ZbVxVy

+++−==−+++−=

−++−=−

++−

=

2Im20

220

Nodo y

Matricialmente

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡VyVx

YeYcYbYbYbYdYbYa

II

m

j

La solución es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

m

j

II

YeYcYbYbYbYdYbYa

VyVx 1

d)

( ) ( )

( )( ) YbVyVxYdYbYaYaVIj

YaVYbVyVxYdYbYa

VyVxYbYdVxVVxYaZb

VyVxZdVx

ZaVVx

−++===−−++=

−++−=−

++−

=

1010

110

Nodo x

( ) ( ) ( )

( )( )VyYfYeYcYbYbVxYcV

YcVVyYfYeYcYbYbVx

VVyYcVyYfYeVxVyYbZc

VVyZfVy

ZeVy

ZbVxVy

++++−==−++++−=

−+++−=−

+++−

=

2Im20

220

Nodo y

Matricialmente

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−

−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡VyVx

YfYeYcYbYbYbYdYbYa

II

m

j

La solución es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−

−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

m

j

II

YfYeYcYbYbYbYdYbYa

VyVx 1



4

Se visualiza que:

• En el análisis de mallas aumenta el orden (grado) del sistema de

ecuaciones cuando se agrega un elemento en paralelo.

• En el análisis nodal, considerando admitancias, el elemento paralelo que

se agrega al circuito se suma a la admitancia propia del nodo donde se

agrega el elemento y el orden del sistema de ecuaciones permanece

igual.

• El análisis nodal maneja menor número de ecuaciones y variables que el

análisis de mallas.

• La numeración de nodos en el circuito eléctrico permite manipular el

conjunto de ecuaciones para facilitar la solución del sistema al realizar

partición de matrices como el usado método reducción de Kron.

• El análisis nodal facilita la manipulación de datos en computadora.

• Los voltajes nodales se obtienen directamente de la solución y así las

corrientes de las ramas se calculan fácilmente.

• En el análisis nodal se puede considerar una fuente como la inyección de

corrientes nodales o fuentes de voltaje.

• La matriz de admitancias del análisis nodal muestra la conectividad entre

nodos de la red eléctrica.

El análisis de redes eléctricas de potencia significa que el circuito eléctrico está

conformado por varios cientos de nodos o mallas que deben ser conformados

en un sistema de ecuaciones. Las ventajas del análisis nodal son apreciadas en

este tipo de circuitos y por ello solo se trata el análisis nodal en redes.



5

ANÁLISIS BÁSICO DE REDES ELÉCTRICAS

Los elementos en una red eléctrica son básicamente las fuentes de voltajes y

corrientes, los parámetros como resistencias, inductancias y capacitancias, y

finalmente las cargas como las cargas lineales o no lineales.

La configuración de la red, esto es, la conectividad entre diversos circuitos,

permite solucionar la red a partir de las ecuaciones de red de acuerdo a las

leyes de Kirchhoff.

Las fuentes en una red eléctrica pueden representarse como fuentes

equivalentes de voltaje (de acuerdo a Helmholtz-Thevenin) o como fuente

equivalente de corriente (de acuerdo a Helmholtz-Norton).

Fuente equivalente de voltaje Fuente equivalente de corriente

(equivalente de Thevenin) (equivalente de Norton)

( )

VYoIoIZoV

ZoEo

ZoVEoI

IZoEoV

−=

−=−

=

−=

( )

IZoEoVYoI

YoIo

YoIIoV

VYoIoI

−=

−=−

=

−=

Se recuerdan textualmente la ley de nodos y la ley de mallas mostradas en la

primera figura del documento:

Ley de nodos: “la corriente total que fluye hacia un nodo es cero” o “las

corrientes que entran en un nodo igualan a las corrientes que salen de ese

nodo”.

Ley de mallas: “la suma de voltajes alrededor de una malla cerrada es cero” o

“las fuentes de voltajes en una malla cerrada iguala a la suma de las caídas de

voltajes de la misma malla”.



6

FORMULACIÓN NODAL

En este documento se tratarán dos métodos para formar la matriz de red;

matriz de impedancia Zbus o de admitancia Ybus, las cuales son recíprocas. El

primer método tiene que ver con el análisis de la topología de la red

empleando transformaciones lineales y es muy útil computacionalmente, y el

segundo método más fácil y empleado comúnmente que es por inspección.

Formación de matrices de red por transformaciones lineales

La formulación de un modelo matemático es el primer paso en el análisis de

una red eléctrica. Dicho modelo debe describir las características de los

componentes o elementos individuales de la red así como incluir la

interconexión de estos elementos. Como elementos de la red se pueden

mencionar las impedancias o admitancias de la red y las fuentes de voltaje o

corriente.

Los siguientes pasos resumen la formación de la matriz de red:

• La red eléctrica se reemplaza por una estructura geométrica (grafo),

donde los segmentos de línea son los elementos y los vértices o

terminaciones de línea son los nodos o buses.

o Se deben enumerar los elementos y los nodos de forma arbitraria,

incluyendo el nodo de tierra el cual por conveniencia se numera

como nodo 0.

o Se numeran los buses de manera arbitraria, excepto el de tierra



7

o Enseguida se numeran los elementos, indicando arbitrariamente la

dirección del flujo de potencia, excepto en los elementos (fuentes)

que tienen conexión con nodo 0 porque se supone que el flujo va

de negativo a positivo; de aquí surge el grafo.

o A partir de este grafo se forma la matriz de conectividad

(incidencia) entre nodos dado por los elementos y la matriz de

impedancia primitiva.

o La matriz de conectividad se forma considerando el nodo de salida

como +1 y el nodo de entrada como -1. Esto se da en una matriz

de nodos vs elementos:

Nodos

Element

0 1 2 3 4

e1 1 -1 0 0 0

e2 1 0 -1 0 0

e3 1 0 0 0 -1

e4 0 0 0 -1 1

e5 0 0 1 -1 0

e6 0 1 -1 0 0

e7 0 0 1 0 -1

Enseguida se elimina la columna del nodo 0



8

Nodos

Elem.

1 2 3 4

e1 -1 0 0 0

e2 0 -1 0 0

e3 0 0 0 -1

e4 0 0 -1 1

e5 0 1 -1 0

e6 1 -1 0 0

e7 0 1 0 -1

A esta matriz se le conoce como matriz de incidencia y se denota como A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−

=

10100011011011001000

00100001

A

o La matriz de impedancia primitiva Zprim simplemente se forma como

una matriz diagonal donde el número de elemento es la posición en la

diagonal de la matriz. Existirán elementos fuera de la diagonal si llegara

a existir acoplamientos mutuos entre elementos (impedancias) y esto se

da cuando se conectan alimentadores distintos en paralelo

interconectando los mismos nodos. Cuando esto sucede, a veces por

simplicidad se considera un solo alimentador con su impedancia

modificada por el paralelismo entre líneas.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

7000000060000000500000004000000030000000200000001

7654321

..7..6..5..4..3..2..1

zeze

zeze

zeze

ze

eeeeeee

eeeeeee

Zprim



9

Se puede calcular igualmente la matriz de admitancia primitiva Yprim como: 1−= ZprimYprim

o Entonces, para obtener directamente la matriz de red Ybus se usa la

siguiente expresión:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−−+−−−+++−

−+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−

=

⋅⋅=

743470454507576526

00661

10100011011011001000

00100001

7000000060000000500000004000000030000000200000001

10100011011011001000

00100001

yeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeye

yeyeye

Ybus

yeye

yeye

yeye

ye

Ybus

AYprimAYbusT

T

La matriz Zbus se obtiene de la inversa de Ybus 1−= YbusZbus

Formación de matrices de red por inspección

La formulación de la matriz de red Ybus o Zbus se puede obtener mediante la

inspección o visualización de la conectividad que hay entre nodos por medio de

los elementos de red.

A partir de la matriz Ybus resultante de la formulación anterior se visualiza lo

siguiente (esta es la inspección de la red):

o Los elementos diagonales corresponden a la suma de todas las

admitancias que se conectan o inciden en ese nodo.

o ∑≠=

=n

ikkkiii yY

,0,, para i=1,2,…,n

Donde n = número de nodos exceptuando el de referencia y

k=0 contempla admitancia de elementos paralelo (fuentes,

reactores, capacitores, etc).



10

o Los elementos fuera de la diagonal dan información de la conectividad

entre nodos (es 0 si no hay conexión) y su valor en la matriz es el

negativo de la admitancia del elemento que interconecta dos nodos (j,k)

y su posición en la matriz corresponde a las coordenadas dadas por

dichos nodos que se interconectan.

o kjkjjkjk

kjkj

YyyY

yY

,,,,

,,

=−=−=

−=

Esta reciprocidad hace que en principio la matriz Ybus sea

una matriz simétrica.

Ejemplo 1

Considerar la siguiente red eléctrica en donde existe información de

acoplamientos mutuos entre líneas paralelas.

Impedancias propias Impedancias mutuas

Elementos Z (pu) Nodos ……………… Elementos Z (pu) Líneas entre nodos

e1 0.6 0 – 1 e1—e4 0.2 (0–1) y (0–1)

e2 0.5 0 – 2 e1—e2 0.1 (0–1) y (0–2)

e3 0.5 2 – 3

e4 0.4 0 – 1

e5 0.2 1 – 3



11

1- Formar grafo de la red eléctrica

2- Formar matriz de incidencia por inspección

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−↓→

=

101000111100

01010011

54321

..3..2..1..0

eeeee

elemnodos

A

3- Formar matriz Zprim, con las impedancias mutuas dadas en la tabla

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−

=

2.0000004.0002.0005.0000005.01.002.001.06.0

541,4

321,2

4,12,11

zezeeze

zezeeze

ezeezeze

Zprim

4- Calcular matriz Yprim, con la inversa de Zprim

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

−

−

5000000208.302083.00417.10020002083.000833.24167.000417.104167.00833.2

2.0000004.0002.0005.0000005.01.002.001.06.0 1

1ZprimYprim



12

5- Calcular Ybus con: AYprimAYbus T ⋅⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

72520833.42083.052083.00208.8

101001110

010001

5000000208.302083.00417.10020002083.000833.24167.000417.104167.00833.2

101001110

010001

Ybus

Ybus

T

6- Calcular Zbus con: 1−= YbusZbus

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

−

3609.01885.02299.01885.03437.01264.02299.01264.02713.0

72520833.42083.052083.00208.8 1

Zbus

Ejemplo 2

Considere el circuito del ejemplo 1 pero sin las impedancias mutuas. Utilizar el

método de transformación lineal para comparar resultados y después usar el

método de inspección.

Resumen de datos de impedancias de la red sin impedancias mutuas

Elementos Z (pu) Nodos

e1 0.6 0 – 1

e2 0.5 0 – 2

e3 0.5 2 – 3

e4 0.4 0 – 1

e5 0.2 1 – 3

1- Formar grafo de la red eléctrica



13

2- Formar matriz de incidencia por inspección

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−↓→

=

101000111100

01010011

54321

..3..2..1..0

eeeee

elemnodos

A

3- Formar matriz Zprim, con las impedancias mutuas dadas en la tabla

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

2.0000004.0000005.0000005.0000006.0

54

32

1

zeze

zeze

ze

Zprim

4- Calcular matriz Yprim, con la inversa de Zprim

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

−

−

5000005.2000002000002000006667.1

2.0000004.0000005.0000005.0000006.0 1

1ZprimYprim

5- Calcular Ybus con: AYprimAYbus T ⋅⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

725240501667.9

101001110

010001

5000005.2000002000002000006667.1

101001110

010001

Ybus

Ybus

T

6- Calcular Zbus con: 1−= YbusZbus

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

3056.01528.01667.01528.03264.00833.01667.00833.02.0

725240501667.9 1

Zbus



14

MÉTODO POR INSPECCIÓN:

1- Se plasma el gráfico de la red eléctrica con los valores de admitancia de los

elementos de red.

2- Se calculan los elementos de la diagonal de la matriz como:

∑≠=

=n

ikkkiii yY

,0,, para i=1,2,3 con n=3

( ) { {

{ { {

{ { {

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=++=++=

=++=++=

=+++=++=

00.700.4

1667.9

7250

000.4202

1667.9506667.15.2

3,3

2,2

1,1

2,31,30,33,3

3,21,20,22,2

3,12,10,11,1

2,31,30,3

3,21,20,2

3,12,10,1

YY

YYbus

yyyY

yyyY

yyyY

yyy

yyy

yyy4434421

3- Por inspección se deducen las admitancias que conectan nodos del 1 al 3. El

nodo de referencia no se considera.

Se seguirá el procedimiento completo para verificar la conectividad; una vez

comprendida la metodología, se puede trabajar directamente sobre la matriz

Ybus y la red del sistema.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

−=−=−=−=−=−=−=−==−==−=

252050

00.200.200.500.500

2,31,3

3,21,2

3,12,1

2,32,33,23,23,13,1

1,31,31,21,22,12,1

YYYYYY

Ybus

yYyYyYyYyYyY



15

4- Se conforma la matriz Ybus considerando las matrices anteriores obtenidas

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

725240501667.9

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

YYYYYYYYY

Ybus

Conclusiones

• La existencia de acoplamientos mutuos en una red no permite usar el

método por inspección para formar Ybus. La existencia de acoplamientos

mutuos se hace explícita y es siempre entre diferentes líneas o

alimentadores.

• El método de transformaciones lineales aquí mostrado es ineficiente por

la inversión de Ybus para obtener Zbus.

• El método de transformaciones lineales es aún más poderoso y puede

evitarse el uso de inversión para calcular Zbus, como aquí lo hemos

mostrado. El método versa en la manipulación de la matriz de incidencia

A, de acuerdo a la teoría de grafos aplicada a redes eléctricas.

o Una buena referencia es [Stagg, Computer methods in power

system analysis]

Ejemplo 3

Considere el siguiente sistema de potencia para formar sus matrices de red

Ybus y Zbus. Usar método de inspección.



16

1- Sistema eléctrico en términos de admitancia

2- Calcular elementos de la diagonal principal de Ybus sumando todas las

admitancias que se conectan a dicho bus y por inspección determinar los

elementos fuera de la diagonal principal de la matriz Ybus.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−=

67.2620000002066.26033.333.3000067.1610000033.31066.261033.30033.301066.1633.3000033.333.366.1610000001015

jYbus

3- Calcular Zbus invirtiendo Ybus

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== −

0.1065 0.0920 0.0271 0.0452 0.0520 0.0324 0.0216 0.0920 0.1227 0.0362 0.0603 0.0693 0.0432 0.0288 0.0271 0.0362 0.1016 0.0694 0.0573 0.0422 0.0282 0.0452 0.0603 0.0694 0.1157 0.0956 0.0704 0.0469 0.0520 0.0693 0.0573 0.0956 0.1475 0.0810 0.0540 0.0324 0.0432 0.0422 0.0704 0.0810 0.1505 0.1003 0.0216 0.0288 0.0282 0.0469 0.0540 0.1003 0.1336

1YbusZbus



17

REDUCCIÓN DE KRON

La reducción de Kron es un método que permite eliminar aquellos nodos de

una red que no tienen inyección o extracción de corrientes. Por ejemplo, los

nodos que tienen inyección o extracción de corrientes son aquellos que tienen

conectados algún tipo de fuente como generadores, SVC, FACTS, etc., o cargas

como motores de inducción, reactores, etc. Los nodos de transferencia o de

paso no tienen inyección de corrientes.

Con la eliminación de nodos y las corrientes inyectadas o extraídas se procede

a calcular los voltajes o corrientes en el caso de fuentes de voltaje.

El método consiste en manipular la expresión algebráica I=Ybus*V para

acomodar en la parte superior del vector I las corrientes en los nodos de

inyección-extracción y en la parte baja los nodos con inyección-extracción de

corrientes cero. Consecuentemente la matriz Ybus debe modificarse y con ello

la red eléctrica.

Sea

( )T

reducida

AreducidaAT

AT

AA

AT

XXAT

XAA

X

AT

X

A

LLMKYbus

VYbusVLLMKVLLMKVI

VLMVMVVL

LVKVIVV

MLLK

II

VYbusI

1

11

10

0

*

−

−−

−

−=

=−=−=

−=→+=

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

Se sabe que Ybus es una matriz que proporciona información de la

conectividad entre nodos. Entonces se aprovecha esto para formar el circuito

reducido.



18

Ejemplo 4

Sea la red del ejemplo 3, pero cambiando las fuentes de voltaje por fuentes de

corrientes, emplear la reducción de Kron para formar una red reducida.

Se cambian fuentes de voltaje por corrientes y las impedancias por

admitancias.

Los nodos 1, 5 y 7 tienen inyección de corrientes. Usando la reducción de Kron

se podrán eliminar los nodos 2, 3, 4 y 6. De esta forma será conveniente

acomodar el vector de corrientes y voltajes como:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

4

3

2

7

5

1

6

4

3

2

7

5

1

*

VVVVVVV

Ybus

IIIIIII



19

Se formará la matriz Ybus basandose en el acomodo de los vectores I y V.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−

−−−−

−−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

====

6

4

3

2

7

5

1

6

4

3

2

7

5

1

*

67.2633.333.30200033.366.261033.3010033.31066.1633.3000

033.333.366.1600102000067.260001000067.160000100015

6432751

6432751

0000

VVVVVVV

j

nodonodonodonodonodonodonodo

nodonodonodonodonodonodonodo

IIII

III

De acuerdo a la partición de matrices: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= X

AT

X

A

VV

MLLK

II

0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

67.2633.333.3033.366.261033.333.31066.1633.3

033.333.366.16

200001000000010

200000100000010

67.2600067.1600015

jMjL

jLjK

T

Se calcula la nueva matriz Ybus reducida

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

−=

−

−

7,75,71,7

7,55,51,5

7,15,111

1

1

200001000000010

67.2633.333.3033.366.261033.333.31066.1633.3

033.333.366.16

200000100000010

67.2600067.1600015

YYYYYYYYY

jjYbus

jYbus

LLMKYbus

reducida

reducida

Treducida

10.2396 2.4149- 1.1464- 2.4149- 11.0191 1.9329- 1.1464- 1.9329- 8.0800

Se sabe que los elementos de la diagonal principal son la suma de todas las

admitancias conectadas al bus, incluyendo las admitancias a tierra. Entonces:

50007.51464.19329.10800.80,17,15,10,11,1 ≈=−−=→++= yyyyY



20

Se deduce que las fuentes mantienen sus admitancias a tierra intactas.

De esto se forma la nueva red de admitancias:

Documents

108522117 04 2 Matrices de Red Analisis Nodal